1.1反比例函数的定义

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反比例函数复习课教案

反比例函数复习课教案第一章：反比例函数的定义与性质1.1 反比例函数的定义1.2 反比例函数的性质1.3 反比例函数的图像第二章：反比例函数的图像与性质2.1 反比例函数的图像特点2.2 反比例函数的性质解析2.3 反比例函数的图像与性质综合应用第三章：反比例函数的解法与应用3.1 反比例函数的解法3.2 反比例函数的应用案例3.3 反比例函数解法与应用的拓展第四章：反比例函数与一元二次方程4.1 反比例函数与一元二次方程的关系4.2 反比例函数在一元二次方程中的应用4.3 反比例函数与一元二次方程的综合问题第五章：反比例函数的综合练习5.1 反比例函数的基本概念练习5.2 反比例函数的图像与性质练习5.3 反比例函数的解法与应用练习第六章：反比例函数与几何图形6.1 反比例函数与圆的关系6.2 反比例函数与双曲线的联系6.3 反比例函数在其他几何图形中的应用第七章：反比例函数与实际问题7.1 反比例函数在实际问题中的应用概述7.2 反比例函数在面积问题中的应用7.3 反比例函数在其他实际问题中的应用第八章：反比例函数的变换与性质8.1 反比例函数的平移变换8.2 反比例函数的缩放变换8.3 反比例函数的性质在变换中的应用第九章：反比例函数的专题讨论9.1 反比例函数的奇偶性9.2 反比例函数的周期性9.3 反比例函数与指数函数、对数函数的关系第十章：反比例函数的综合训练与拓展10.1 反比例函数的综合训练题10.2 反比例函数的拓展问题10.3 反比例函数在不同学科领域的应用探讨重点和难点解析重点一：反比例函数的定义与性质解析：反比例函数的定义容易理解，但要让学生深刻理解其性质，特别是图像的特点，需要通过大量的示例和练习来巩固。

重点二：反比例函数的图像与性质解析：反比例函数的图像是一条通过原点的直线，但其性质在不同的象限中有所不同，需要学生通过绘制图像和分析性质来掌握。

重点三：反比例函数的解法与应用解析：反比例函数的解法涉及到的数学运算较为复杂，需要学生熟练掌握。

反比例函数知识点

反比例函数知识点反比例函数是一种特殊的函数形式，它描述了两个变量之间的关系。

其特点是当一个变量的值增加时，另一个变量的值会减小，反之亦然。

在数学中，反比例函数通常用一个方程表示，形式为y=k/x，其中k是一个常数。

在本文中，我们将探讨一些与反比例函数相关的知识点。

一、反比例函数的定义反比例函数是一种形如y=k/x的函数形式。

其中，k是一个常数，被称为反比例函数的比例常数。

在反比例函数中，变量x和y的变化满足如下关系：当x增加时，y减小；当x减小时，y增加。

二、反比例函数的图像和性质反比例函数的图像是一条直线，经过原点(0,0)。

该函数的图像与坐标轴都有一个渐近线，与x轴共轭于y轴，与y轴共轭于x轴。

同时，反比例函数的图像在第一象限和第三象限中是上升的，即从左下到右上。

三、反比例函数的图像和实际应用反比例函数的图像常常出现在实际问题中，如物理、经济等领域。

例如，某物体的速度与其所受的力成反比，即速度越大，所受的力越小，反之亦然。

又如，在某种化学反应中，反应速率与溶液中的浓度成反比。

这些实际问题可以通过反比例函数来表示和解决。

四、反比例函数的性质和应用由于反比例函数的性质和图像特点，反比例函数在实际问题中有许多应用。

首先，反比例函数可以用来描述两个变量之间的关系，例如速度和力的关系、反应速率和浓度的关系等。

其次，反比例函数可以用来解决一些实际问题，例如求解未知变量的值或优化问题。

五、反比例函数的变形除了常见形式的反比例函数y=k/x，还有其他形式的反比例函数。

例如，y=k/(x-a)、y=(k+x)/(k-x)等。

这些变形形式的反比例函数在实际问题中也有广泛应用，例如电路中的电阻和电流的关系等。

六、反比例函数的应用举例反比例函数的应用非常广泛。

下面以几个具体的实例来说明。

例1：某车辆以恒定的速度行驶，当行驶时间增加时，其行驶距离减小。

这个问题可以用反比例函数来描述，行驶距离与行驶时间成反比。

例2：某工厂的生产成本与产量成反比，即产量越大，生产成本越低，反之亦然。

反比例函数知识点梳理

反比例函数知识点梳理
1. 反比例函数的定义
反比例函数是指当自变量 x 不为零时，函数值 y 的变化遵循比例关系，其中比例常数 k 不等于 0，即 y = k/x。

通常我们把它写成y = k/x+b，其中 b 为常数。

2. 反比例函数的图像
反比例函数的图像在 x 轴上有一个垂线渐近线，而在 y 轴上具有一个水平渐近线。

当 x 接近 0 时，y 显著变化，而当 x 变得很大时，y 变得很小。

例如，如果 k = 1，则函数 y = 1/x+b 的图像看起来如下：
3. 反比例函数的性质
反比例函数的图像不会穿过垂线渐近线和水平渐近线。

当自变量 x 非常大或非常小时，反比例函数的值渐近于 0。

反比例函数也不具有最大值或最小值。

4. 反比例函数的应用
反比例函数有很多实际应用，如工业、商业、科学等领域。

例如，在数学中，它可用于表征第一定律的 Ohm 定律，即电流与电压成反比例关系。

5. 反比例函数的问题解决
解决反比例函数问题的关键在于找到比例常数 k 和常数 b。

这可以通过已知的点对、图像或其他信息来确定。

以上是反比例函数的知识点梳理，希望对您有所帮助。

湘教版数学九年级上册1.1反比例函数课件

数．
知识点 2 确定反比例函数表达式
知2－讲
确定反比例函数表达式的方法是待定系数法，由于
在反比例函数 y k ( k ≠0 )中只有一个待定系数，因此 x
只需要一对 x , y 的对应值或图像上一个点的坐标，即可
求出 k 的值，从而确定其表达式.
知2－讲
例2 已知 y 是 x 的反比例函数，当 x = 3 时，y = 6. (1) 写出 y 关于 x 的函数表达式； (2) 当 x = -2 时，求 y 的值； (3) 若 y = 4.5，求 x 的值.
总结：当两个量的积是一个定值时，这两个量成反比例关系，如 xy =m ( m 为一个定值 )，则 x 与 y 成反比例.
知识点 1 反比例函数的定义
知1－导
下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数式表
示? (1) 京沪线铁路全程为 1463 km，某次列车的平均速度 v ( 单位：km/h ) 随此次列车的全程运行时间 t ( 单位：h ) 的变化而变化；
(2) 食堂存煤 15 000 kg ，试写出可使用的天数 t ( 天 ) 关于平均每天的用煤量 Q ( kg ) 的函数表达式，并写出自变量的取值范围.
知3－讲
解题秘方：
(1) 根据矩形的面积公式写出函数表达式；
(2) 根据“ 可使用的天数 =
存煤量
”
平均每天的用煤量
写出函数表达式.
解： (1) y = 1 000（x＞0）. x
x
的反比例函数，其中 x 是自变量，常数 k ( k ≠ 0 ) 称
为反比例函数的比例系数.
知1－讲
2. 反比例函数的三种情势：
①y
k x，
② y=kx-1，

反比例函数概念与性质

反比例函数概念与性质反比例函数的概念与性质一、反比例函数的概念1.反比例函数可以写成y=k/x的形式，其中自变量x的指数为-1.在解决有关自变量指数问题时，应特别注意系数。

2.反比例函数也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式。

3.反比例函数的自变量不能为0，故函数图象与x轴、y轴无交点。

二、反比例函数的图象1.在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）。

2.反比例函数的图象是双曲线。

随着k的增大，图象的弯曲度越小，曲线越平直；随着k的减小，图象的弯曲度越大。

3.反比例函数的图象与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线。

当k>0时，图象的两支分别位于第一、第三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两支分别位于第二、第四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。

4.反比例函数的图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在另一支上。

5.反比例函数的k值的几何意义是：如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B 点，则矩形PBOA的面积是k；如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥XXX的延长线于C，则三角形PQC的面积也是k。

6.反比例函数的增减性需要将两个分支分别讨论，不能一概而论。

7.直线y=k与双曲线y=k/x的关系：当k>0时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称；当k=0时，两图象有一个公共点O；当k<0时，两图象没有交点。

8.反比例函数与一次函数的联系：当k=0时，反比例函数变为一次函数y=0.求反比例函数的解析式的方法主要有三种：待定系数法、反比例函数k的几何意义、实际问题。

四、反比例函数解析式的确定一、反比例函数的定义：反比例函数是指函数表达式为y=k/x的函数，其中k为非零常数。

初三反比例函数知识点

初三反比例函数知识点反比例函数知识点概述一、反比例函数的定义反比例函数是形如y = k/x (k ≠ 0，x ≠ 0) 的函数，其中 k 为常数，称为比例常数，x 为自变量，y 为因变量。

二、反比例函数的图象1. 形状：反比例函数的图象是一组双曲线。

2. 位置：当 k > 0 时，图象位于第一和第三象限；当 k < 0 0 时，图象位于第二和第四象限。

3. 对称性：反比例函数的图象关于原点对称。

三、反比例函数的性质1. 单调性：在每一象限内，随着 x 的增大，y 也增大；随着 x 的减小，y 也减小。

2. 无界性：当 x 趋向于 0 时，y 趋向于无穷大；当 x 趋向于无穷大时，y 趋向于 0。

3. 交点：反比例函数的图象不与 x 轴和 y 轴相交。

四、反比例函数的应用反比例函数常用于描述两个变量间的反比关系，如物理中的压力与体积的关系（波义耳定律），化学中的浓度与体积的关系等。

五、反比例函数的运算1. 复合函数：若有两个反比例函数 y = k1/x 和 w = k2/z，它们的复合函数为 v = (k1/x) / (k2/z) = (k1/k2) * z/x。

2. 反函数：反比例函数的反函数仍然是一个反比例函数，形式为 x =k/y。

六、反比例函数的图像变换1. 平移：若原函数为 y = k/x，将其向右平移 a 个单位，向上平移b 个单位，新函数为 y = k/(x-a) + b。

2. 伸缩：若原函数为 y = k/x，将其横向伸缩 m 倍，纵向伸缩 n 倍，新函数为 y = k/(m*x)。

七、反比例函数的极值问题反比例函数没有最大值和最小值，但可以通过求导数来分析函数的增减性。

八、反比例函数的积分与微分1. 微分：对于函数 y = k/x，其导数为 dy/dx = -k/x^2。

2. 积分：对于函数 y = k/x，其不定积分为∫(k/x)dx = k*ln|x| + C。

九、反比例函数的方程求解1. 解析解：通过交叉相乘法等代数方法求解。

第1章反比例函数知识点清单最新最全

第1章反比例函数1.1反比例函数知识点1反比例函数的定义1.定义：一般地，如果两个变量y与x的关系可表示成y= k（k为常x数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数，其中x是自变量，常数k(k≠0)称为反比例函数的比例系数.2.反比例函数的三种形式:①y=kx②y= kx -1,③xy=k (其中k为常数，k≠0)三种基本形式要牢记,这是识别反比例函数的关键特别提醒：①形如y= 1+1,(x+1)y=3,y=(x+1)-1等的函数都不是y关于x的反x比例函数.②反比例函数的表达式y= k中无论变量x, y怎样变化,k的值始终x等于x与y的乘积.若k=0,则y= k=0恒成立,为常数函数,失去了x反比例函数x, y成反比例的意义,所以k≠0.知识点2 反比例关系与反比例函数的关系1.如果两个量x,y满足xy=k(k为常数，k≠0),那么x,y就成反比例关系，这里的x和y既可以代表单项式，也可以代表多项式；当x,y只代表一次单项式时，x,y这两个量才成反比例函数关系.2.成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量必成反比例关系.示例：y= k(k为不等于0的常数),y与x²成反比例，x2但y不是关于x的反比例函数.3.反比例函数中有自变量和函数的区分，而反比例关系中的两个变量没有这种区分.示例解读( k为常数,k≠0);若y+2与x - 5成反比例,则y+2=kx − 5若y与x2成反比例,则y = k( k为常数, k≠0).x2知识点3求反比例函数表达式1.确定反比例函数表达式的方法是待定系数法，由于在反比例函数y=k(k≠0)中只有一个待定系数，因此只需要一对x,y的对应值或图×象上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其表达式.2 用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤特别解读1.用待定系数法求反比例函数的表达式的实质是代入一对对应值，解一元一次方程.2.当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关（k为常数，k≠0).系”时，可直接设函数的表达式为y= kx1.2反比例函数的图象与性质知识点1 反比例函数的图象1.图象的画法(描点法):画实际问题中的反比例函数的图象时,要考虑自变量的取值范围,一般地,实际问题的图象是反比例函数图象，在第一象限内的一支或其中一部分.(1)列表：先取一些自变量的值，在原点的两边取三对或三对以上互为相反数的值，如1和-1,2和-2,3和-3等. 求y值时，只需计算原点一侧的函数值，另一侧的函数值可以随之得出.(2)描点：根据表中提供的数据，即点的坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点.(3)连线：用平滑的曲线顺次把这些点连接起来并延伸，注意双曲线的两支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交.2.图象的特点：(1)反比例函数y= k(k为常数，k≠0)的图象是双曲线.x(2)反比例函数图象的两支分别位于第一、三象限或第二、四象限.(3)双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交.(4)双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点),又是轴对称图形(对称轴是直线y=x和直线y=-x).示意图(如图1.2-1).y知识点2 反比例函数的性质反比例函数的性质主要研究它的图象的位置和函数值的增减情况，如下表所示.特别提醒在描述反比例函数的增减性时,必须指明"在每个象限内"因为当k> 0（k<0)时,整个函数不是y随x的增大而减小(增大)的,而是函数在每个象限内,y随x的增大而减小(增大).知识点3 反比例函数y= kx(k≠0)中k 的几何性质1.矩形的面积如图所示，过双曲线y= kx(k≠0)上任意一点p（x,y）分别作x轴，y轴的垂线PM，PN ,所得得矩形PMON得面积为S=PM ·PN =I y I·I x I,因为y= kx, 所以xy= k ,所以S =y=I k I，即过双曲线y= kx(k≠0)上任意一点作x轴，y轴的垂线，所得得矩形面积为I k I.2.三角形的面积：如图1.2-3, 过双曲线y= kx(k≠0)上的任意一点E作EF垂直于y轴，垂足为F,连接EO,则S▲EOF= I k I2, 即过双曲线y= kx任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为I k I 2.因为y= kx( k≠0)中只有正、负之分,所以在利用函数表达式求矩形或三角形面积时,都要加上绝对值符号.1.3反比例函数的应用知识点1 建立反比例函数模型解实际问题1.在生活与生产中，如果某些问题的两个量成反比例关系,那么可以根据这种关系建立反比例函数模型，再利用反比例函数的有关知识解决实际问题.运用反比例函数解决实际问题时常用的两种思路：(1)通过问题提供的信息，明确变量之间的函数关系，设出相应的函数表达式，再根据题目条件确定函数表达式中待定系数的值；(2)已知反比例函数模型的表达式，运用反比例函数的图象及性质解决问题.2.建立反比例函数表达式常用的两种方法：(1)待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数是反比例函数，则设函数表达式为y=k,( k为常数，k≠0),再求出k的值；x(2)列方程法：若题目所给的信息中两个变量之间的函数关系不明确，通常列出关于两个变量的方程，通过变形得到反比例函数表达式 .3.用反比例函数解决实际问题的一般步骤：(1)审：审清题意，找出题目中的常量、变量；(2)设：根据常量、变量间的关系，设出函数表达式，待定的系数用字母表示；(3)列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；(4)写：用函数的图象和性质去解决实际问题.。

反比例函数的图象与性质教案范文

反比例函数的图象与性质教案范文第一章：反比例函数的定义与表达式1.1 反比例函数的定义引导学生回顾正比例函数的定义，提出反比例函数的概念。

通过实际例子，让学生理解反比例函数的意义。

1.2 反比例函数的表达式介绍反比例函数的一般形式y = k/x （k 为常数，k ≠0）。

解释反比例函数中x 和y 的关系，强调它们成反比例关系。

第二章：反比例函数的图象2.1 反比例函数图象的形状引导学生观察反比例函数图象的特点，如双曲线形状。

解释反比例函数图象的渐近线及其意义。

2.2 反比例函数图象的截距分析反比例函数图象在x 轴和y 轴上的截距。

引导学生理解反比例函数图象与坐标轴的交点。

第三章：反比例函数的性质3.1 反比例函数的单调性探讨反比例函数在不同区间的单调性，即在每个象限内的增减性。

通过实例和图形，解释反比例函数单调性的原因。

3.2 反比例函数的奇偶性证明反比例函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)。

引导学生理解奇函数性质在反比例函数上的体现。

第四章：反比例函数的渐近线4.1 反比例函数的渐近线方程推导反比例函数的渐近线方程y = x 和y = -x。

解释渐近线在反比例函数图象中的位置和意义。

4.2 反比例函数图象与渐近线的关系分析反比例函数图象与渐近线的交点及其性质。

通过实例，让学生理解反比例函数图象在渐近线附近的特征。

第五章：反比例函数的应用5.1 反比例函数在实际问题中的应用提供实际问题，让学生利用反比例函数解决问题。

引导学生将反比例函数的应用与现实生活联系起来。

5.2 反比例函数的综合练习设计综合练习题，涵盖反比例函数的定义、图象、性质和应用。

引导学生通过练习题加深对反比例函数的理解和运用能力。

第六章：反比例函数的斜率6.1 反比例函数的斜率概念解释在反比例函数图象上任意两点的斜率公式。

引导学生理解斜率在反比例函数图象上的变化规律。

6.2 反比例函数斜率的计算提供具体例子，演示如何计算反比例函数图象上点的斜率。

反比例函数的图像和性质j教案

教案：反比例函数的图像和性质第一章：反比例函数的定义与表达式1.1 反比例函数的定义引导学生回顾函数的概念，强调函数的输入输出关系。

引入反比例函数的定义：若函数f(x) 的定义域为D，值域为R，且对于D 中的任意元素x，都有f(x) ×x = k（k 为常数），则函数f(x) 为反比例函数。

1.2 反比例函数的表达式解释反比例函数的一般形式：f(x) = k/x（k ≠0）。

强调反比例函数的参数k 的作用，k 决定了函数图形的形状和位置。

第二章：反比例函数的图像2.1 反比例函数图像的性质引导学生观察反比例函数图像的一般形状，如双曲线。

解释反比例函数图像的渐近线，即y = 0 和x = 0。

强调反比例函数图像在第一象限和第三象限是对称的。

2.2 参数k 对图像的影响分析不同参数k 对反比例函数图像形状的影响，如k > 0 和k < 0。

引导学生通过实际例子绘制反比例函数图像，观察参数k 对图像的影响。

第三章：反比例函数的性质3.1 反比例函数的单调性引导学生分析反比例函数在各个象限的单调性，如在第一象限和第三象限单调递减。

解释反比例函数在不同象限的单调性变化。

3.2 反比例函数的奇偶性证明反比例函数的奇偶性，即f(-x) = -f(x)。

引导学生通过实际例子观察反比例函数的奇偶性。

第四章：反比例函数的应用4.1 反比例函数在实际问题中的应用提供实际问题，如在物理学中反比例函数的应用，引导学生运用反比例函数解决问题。

强调反比例函数在实际问题中的重要性。

4.2 反比例函数图像的绘制与应用引导学生使用图形计算器或绘图软件绘制反比例函数图像。

提供实际问题，如确定反比例函数图像与坐标轴的交点，引导学生运用反比例函数图像解决问题。

回顾本章内容，强调反比例函数的关键概念和性质。

5.2 复习反比例函数的性质和应用提供复习问题，巩固学生对反比例函数性质的理解。

提供实际问题，引导学生运用反比例函数解决实际问题。

反比例函数及其图象教学教案

反比例函数及其图象教学教案第一章：反比例函数的概念1.1 反比例函数的定义解释反比例函数的定义，即形如y = k/x (x ≠0) 的函数，其中k 是常数。

强调反比例函数的定义域为x ≠0。

1.2 反比例函数的性质探讨反比例函数的性质，如：当x 增大时，y 减小；当x 减小时，y 增大。

引导学生理解反比例函数的图象是一条通过原点的曲线。

第二章：反比例函数的图象2.1 反比例函数图象的画法介绍如何画出反比例函数的图象，强调需要确定两个点，画出通过这两点的曲线。

举例说明如何选取合适的点来画出反比例函数的图象。

2.2 反比例函数图象的特点分析反比例函数图象的特点，如：图象是一条通过原点的曲线，且在每个象限内，随着x 的增大，y 的值减小。

引导学生理解反比例函数图象与坐标轴的交点是无穷远点。

第三章：反比例函数的性质3.1 反比例函数的单调性解释反比例函数的单调性，即在每一个象限内，反比例函数是单调递减的。

通过图象引导学生观察反比例函数的单调性。

3.2 反比例函数的渐近线介绍反比例函数的渐近线，即y = 0 和x = 0。

强调反比例函数的渐近线不是图象的一部分，但它们对函数的图象有重要的影响。

第四章：反比例函数的应用4.1 反比例函数在实际问题中的应用举例说明反比例函数在实际问题中的应用，如：面积一定的长方形和矩形问题。

引导学生理解反比例函数可以描述一些实际问题中的比例关系。

4.2 反比例函数的变换介绍反比例函数的平移、缩放等变换规律。

强调反比例函数的变换遵循数学的规律，即保持函数的基本性质不变。

第五章：反比例函数的综合应用5.1 反比例函数与其他函数的组合探讨反比例函数与其他函数的组合，如：反比例函数与一次函数、二次函数的组合。

引导学生理解反比例函数与其他函数的组合可以产生复杂的函数图象和性质。

5.2 反比例函数的综合应用实例举例说明反比例函数在实际问题中的综合应用，如：优化问题、物理问题等。

强调反比例函数的综合应用需要结合实际情况，灵活运用函数的知识。

第一课时 1.1 反比例函数(1)..1 反比例函数(1)

第一课时第1章反比例函数 1.1 反比例函数（1）学习目标：1、引导学生从具体问题中探索出数量关系和变化规律，抽象出反比例函数的概念；2、理解反比例函数的概念和意义；3、培养学生自主探究知识的能力。

学习重点：对反比例函数概念的理解学习难点：建立反比例函数模型学习过程：一、旧知回顾：1、函数的概念：一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说___是自变量，____是_____的函数.2、一次函数的概念：一般地，如果y=_________（k 、b 是常数，k ≠0）那么y 叫做x 的_____ 函数. 如：y=3x+1，____________ …当b=0时，有y=kx （k 为常数，k ≠0）则y 叫做x 的正比例函数。

如：y=-x 21， y=______________， …二、探知：1、有反比例函数概念：一般地，如果两个变量y 与x 的关系可以表示成y=__________（为k 常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数.其中常数k 称为反比例函数的比例系数2、强调：①自变量在分母中，指数为1，且x ≠0；②也可以写成y=kx -1的形式，此时自变量x 的指数-1；③自变量x 的取值为_________的一切实数；④由于k ≠0，x ≠0；因此函数值y__________.三、小结1、牢记反比例函数的概念；2、能正确区别正、反比例函数.四、反馈练习1、下列函数中，x 均表示自变量，那么哪些是反比例函数，并指出每一个反比例函数中相应的k 值.⑴ y=x 5 ⑵y=2x 4.0 ⑶ y=-3x ⑷ xy=2 解： ⑴ y=x 5是反比例函数，5k ； ⑵⑶⑷2、若函数y= mx 1- m 是反比例函数，求出m 的值并写出解析式3、已知反比例函数的图象经过点（-1，2），求其解析式。

反比例函数知识点总结

反比例函数知识点总结反比例函数知识点归纳知识点1 反比例函数的定义反比例函数是指形如 y = k/x（k为常数，k≠0）的函数。

其中，自变量x的取值范围为x≠的一切实数，而函数值y的取值范围为y≠0.知识点2 用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数只有一个待定系数k，因此只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，有两个分支，分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，与原点对称。

由于自变量x≠，函数值y≠，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点。

画反比例函数的图像应该先列表，再描点，最后用光滑的曲线连接。

知识点4 反比例函数的性质反比例函数的图像位置与函数值的增减情况与k的符号有关。

当k>0时，函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小；当k<0时，函数图像的两个分支分别在二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大。

反比例函数的图像位置和函数的增减性由反比例函数系数k的符号决定。

在每个象限内，当k>0时，y随x的增大而减小；当k0.反比例函数y=k/x中，k的几何意义可以通过双曲线上任一点P(x,y)分别作x轴、y轴的垂线，得到矩形OEPF的面积S=k=xy=x*y=PF*PE。

在反比例函数y=k/x中，k越大，双曲线y=k/x越小，离坐标原点越远；k越小，双曲线y=k/x越大，离坐标原点越近。

双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=-x。

练题：1、反比例函数是y=k/x，其中k≠0.2、函数y1=kx和y2=1/2x的图象如下所示，自变量x的取值范围相同的是第四象限。

3、函数y=m/x和y=mx-m(m≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是第一象限和第三象限。

4、反比例函数y=k/x的图象的两个分支分别位于第一象限和第三象限。

反比例函数中的面积问题专题课程教案

反比例函数中的面积问题专题课程教案第一章：反比例函数的概念与性质1.1 反比例函数的定义引导学生回顾反比例函数的定义，即形如y = k/x (k ≠0) 的函数。

强调反比例函数中k 的作用，k 表示函数在x 轴和y 轴上的截距。

1.2 反比例函数的性质分析反比例函数的图像特征，如双曲线、渐近线等。

探讨反比例函数的单调性、奇偶性等性质。

第二章：反比例函数图像的绘制2.1 绘制反比例函数图像的基本方法介绍利用坐标轴、点斜式等方法绘制反比例函数图像。

强调反比例函数图像的中心对称性和轴对称性。

2.2 利用尺规作图绘制反比例函数图像引导学生运用尺规作图的方法，绘制特定k 值的的反比例函数图像。

讨论不同k 值对图像形状和位置的影响。

第三章：反比例函数中的面积问题3.1 反比例函数图像的面积计算引入反比例函数图像中任意三角形、四边形的面积计算方法。

强调利用函数值和坐标轴围成的封闭区域的面积计算公式。

3.2 反比例函数图像与坐标轴围成的面积引导学生探讨反比例函数图像与坐标轴围成的封闭区域的面积。

分析不同k 值对封闭区域形状和面积的影响。

第四章：反比例函数图像的交点问题4.1 反比例函数图像与直线交点的求解引导学生运用解析几何方法，求解反比例函数图像与直线的交点。

强调运用韦达定理、判别式等工具解题。

4.2 反比例函数图像与圆的交点问题探讨反比例函数图像与圆的交点个数和位置关系。

引导学生运用代数方法解反比例函数与圆的交点问题。

第五章：反比例函数图像的应用问题5.1 反比例函数图像在实际问题中的应用引入实际问题，如面积、距离、速度等，运用反比例函数图像解决。

强调反比例函数图像在实际问题中的直观性和实用性。

5.2 反比例函数图像的综合应用问题引导学生运用反比例函数图像解决综合应用问题，如平面几何、物理等。

强调运用反比例函数图像解决问题的方法和技巧。

第六章：反比例函数图像的变换6.1 反比例函数图像的平移讲解反比例函数图像如何通过平移实现变换，包括上下左右平移。

反比例函数的图象和性质教案设计

反比例函数的图象和性质教案设计第一章：反比例函数的定义与表达式1.1 反比例函数的定义引导学生回顾正比例函数的定义，提出反比例函数的概念。

通过实际例子，让学生理解反比例函数的定义：当两个变量x和y满足y=k/x （其中k为常数，k≠0）时，称y是x的反比例函数。

1.2 反比例函数的表达式介绍反比例函数的一般表达式y=k/x，解释k的含义。

强调反比例函数中x不能等于0的条件。

第二章：反比例函数的图象2.1 反比例函数图象的特点引导学生绘制反比例函数的图象，观察图象的特点。

总结反比例函数图象是一条经过原点的曲线，且在每个象限内，随着x的增大，y的值减小。

2.2 反比例函数图象的渐近线解释反比例函数图象在x趋近于正无穷和负无穷时，y趋近于0的性质。

引导学生理解反比例函数图象在x轴和y轴上分别有两条渐近线。

第三章：反比例函数的性质3.1 反比例函数的单调性分析反比例函数在不同区间上的单调性。

引导学生得出结论：反比例函数在每一个象限内是单调递减的。

3.2 反比例函数的奇偶性探讨反比例函数的奇偶性，证明反比例函数是奇函数。

引导学生理解反比例函数的奇偶性与x的奇偶性有关。

第四章：反比例函数的应用4.1 反比例函数在实际问题中的应用提供实际问题，让学生运用反比例函数解决问题。

强调反比例函数在实际问题中的应用，如比例尺计算、速度与时间的关系等。

4.2 反比例函数的综合应用引导学生综合运用反比例函数解决复杂问题。

通过案例分析，让学生学会将实际问题转化为反比例函数问题，并求解。

第五章：反比例函数的性质总结与拓展5.1 反比例函数的性质总结回顾本章所学的内容，总结反比例函数的定义、表达式、图象和性质。

强调反比例函数的重要性和在实际问题中的应用。

5.2 反比例函数的拓展引导学生思考反比例函数与其他函数的关系，探讨反比例函数的图象与性质的拓展。

提供一些反比例函数的拓展问题，激发学生的学习兴趣。

第六章：反比例函数的变换6.1 反比例函数的平移解释反比例函数图象如何通过平移进行变换。

《反比例函数》讲义

《反比例函数》讲义一、反比例函数的定义一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。

需要注意的是，这里的x 不能为0，因为在分数中，分母不能为0。

例如，当速度 v 一定时，路程 s 与时间 t 的关系可以表示为 s ＝ vt。

如果路程一定，为常数 s₀，那么时间 t 与速度 v 的关系就可以表示为 t ＝ s₀/v，此时 t 是 v 的反比例函数。

二、反比例函数的表达式反比例函数常见的表达式有以下三种形式：1、 y ＝ k/x （k 为常数，k≠0）这是最基本的形式，也是我们最常见的形式。

2、 xy ＝ k （k 为常数，k≠0）将 y ＝ k/x 两边同乘 x 就可以得到 xy ＝ k。

3、 y ＝ kx⁻¹（k 为常数，k≠0）因为 x⁻¹＝ 1/x，所以这种形式与 y ＝ k/x 是等价的。

三、反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线。

当 k ＞ 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内y 随 x 的增大而减小；当 k ＜ 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。

例如，函数 y ＝ 2/x，因为 k ＝ 2 ＞ 0，所以它的图象在第一、三象限，在每个象限内，当 x 增大时，y 会减小。

而函数 y ＝－3/x，因为 k ＝－3 ＜ 0，所以它的图象在第二、四象限，在每个象限内，当 x 增大时，y 会增大。

四、反比例函数图象的性质1、对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形。

它的对称轴有两条，分别是直线 y ＝ x 和直线 y ＝ x。

其对称中心是坐标原点（0，0）。

2、渐近线当 x 趋向于正无穷大或负无穷大时，反比例函数的图象无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。

也就是说，x 轴和 y 轴是反比例函数图象的渐近线。

3、增减性在反比例函数 y ＝ k/x 中，当 k ＞ 0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k ＜ 0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。

反比例函数

26.1.1反比例函数知识点1反比例函数的定义1.一般地,形如的函数,叫做反比例函数,其中是自变量,是函数,自变量的取值范围是.反比例函数还可以写成或(k为常数,k≠0)的形式.2.下列函数中,能表示y是x的反比例函数的是()A.y=B.y=-C.y=D.y=3.若函数y=是关于x的反比例函数,则m需满足的条件是()A.m≠0B.m≠3C.m≠-3D.m为一切实数4.已知y=2x2m是反比例函数,则()A.m=B.m=-C.m≠0D.m为一切实数5.反比例函数y=的自变量x的取值范围是.6.下列哪些关系式中的y是x的反比例函数?每一个反比例函数相应的k值是多少?①y=+1;②y=-;③y=;④xy=;⑤y=;⑥=2;⑦y=;⑧y=-2x-1.知识点2根据实际问题列反比例函数解析式7.(1)苹果每千克x元,花10元钱可买y千克的苹果,则y与x之间的函数解析式为;(2)矩形的面积为4,一条边的长为x,与其相邻的一条边的长为y,则y与x之间的函数解析式为(不用体现自变量的取值范围).8.已知一个长方体的体积是100cm3,它的长是y cm,宽是10cm,高是x cm.(1)写出y与x之间的函数解析式;(2)当x=2时,求y的值.知识点3用待定系数法求反比例函数的解析式9.已知y与x成反比例,且当x=-2时,y=3,则y与x之间的函数解析式是,当x=-3时,y=.10.已知y是x的反比例函数,且当x=2时,y=-3,请你确定该反比例函数的解析式,并求当y=-8时自变量x的值.11.下列问题情景中的两个变量成反比例的是()A.汽车沿一条公路从A地驶往B地所需的时间t与平均速度vB.圆的周长l与圆的半径rC.圆的面积S与圆的半径rD.在电阻不变的情况下,电流强度I与电压U12.计划修建铁路m km,铺轨天数为t(d),每日铺轨量为s(km/d),则在下列三个结论中,正确的是()①当m一定时,t是s的反比例函数;②当t一定时,m是s的反比例函数;③当s一定时,m是t的反比例函数.A.①B.②C.③D.①②③13.已知y与x-1成反比例,且当x=2时,y=3,则y与x之间的函数解析式为.14.已知y是x的反比例函数,下表给出了x与y的一些对应值:x-2-1-1213y232-1(1)写出这个反比例函数的解析式;(2)根据函数解析式完成上表.15.已知y=(m2+2m).(1)当m为何值时,y是x的正比例函数?(2)当m为何值时,y是x的二次函数?(3)当m为何值时,y是x的反比例函数?26.1.2第1课时反比例函数的图象和性质知识点1反比例函数图象的识别及画法1.下列图象中是反比例函数y=的大致图象的是()2.下列说法错误的是()A.反比例函数的图象是双曲线B.画反比例函数的图象时,注意用平滑的曲线连线C.反比例函数的图象与坐标轴没有交点D.反比例函数的图象经过原点3.在如图所示的直角坐标系中画出反比例函数y=与y=-的图象.知识点2反比例函数的图象和性质4.反比例函数y=的图象在()A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限5.如果反比例函数y=(a是常数)的图象在第二,四象限,那么a的取值范围是()A.a<0B.a>0C.a<2D.a>26.若点A(-3,y1),B(-2,y2),C(1,y3)都在反比例函数y=-的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y2<y1<y3B.y3<y1<y2C.y1<y2<y3D.y3<y2<y17.已知反比例函数y=-,则下列结论不正确的是()A.图象必经过点(-1,2)B.y随x的增大而增大C.图象在第二、四象限D.若x>0,则y<08.反比例函数y=的图象如图26-1-3,则函数y=-kx+2的图象可能是图26-1-4中的()图26-1-3图26-1-49.反比例函数y=(k≠0)的图象的两个分支分别位于第象限.10.已知函数y=-,当x<0时,y0,此时,其图象的相应部分在第象限.11.在反比例函数y=的图象的每一支上,y都随x的增大而增大,则k的取值范围是.12.已知反比例函数y=的图象在第一、三象限内,则k的值可以是.(写出满足条件的一个k的值即可)13.已知点A(x1,3),B(x2,6)都在反比例函数y=-的图象上,则下列关系式一定正确的是()A.x1<x2<0B.x1<0<x2C.x2<x1<0D.x2<0<x114.在同一平面直角坐标系中,函数y=-x+k与y=(k为常数,且k≠0)的图象可能是()15.已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点的坐标为(1,3),则另一个交点的坐标是.16.在如图所示的平面直角坐标系中,作出函数y=的图象,并根据图象回答下列问题:(1)当x=-2时,求y的值;(2)当2<y<4时,求x的取值范围;(3)当-1<x<2且x≠0时,求y的取值范围.18.如图,已知反比例函数y=的图象经过点A(1,3),B(3,m).(1)求反比例函数的解析式及点B的坐标;(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,求满足条件的点P的坐标.26.1.2第2课时反比例函数的性质的应用知识点1反比例函数图象上点的坐标与解析式之间的关系1.下列各点中,在反比例函数y=图象上的是()A.(-1,8)B.(-2,4)C.(1,7)D.(2,4)2.点(-1,4)在反比例函数y=的图象上,则下列各点在此函数图象上的是()A.(4,-1)B.-,1C.(-4,-1)D.,23.已知反比例函数y=的图象经过点(1,1),则k的值为()A.-1B.0C.1D.24.A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数y=-的图象上的两点,若x1<0<x2,则下列结论正确的是()A.y1<0<y2B.y2<0<y1C.y1<y2<0D.y2<y1<05.A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数y=的图象上的两点,若x1<0<x2,y1>y2,则k的取值范围是()A.k>B.k<C.k≥D.k≤6.已知反比例函数的图象经过点(1,2).(1)求这个反比例函数的解析式;(2)请判断点(-1,-2)是否在这个反比例函数的图象上,并说明理由.知识点2反比例函数比例系数k的几何意义7.过双曲线y=(k为常数,k≠0)上任意一点P(x,y)分别作x轴,y轴的垂线PM,PN,所得的矩形PMON的面积S=,S△POM=S△PON=.8.如图已知A为反比例函数y=(x<0)的图象上一点,过点A作AB⊥y轴,垂足为B.若△OAB的面积为2,则k的值为()A.2B.-2C.4D.-49.如图,A是反比例函数y=(x>0)的图象上一点,过点A作AB⊥x轴,垂足为B,线段AB交反比例函数y=(x>0)的图象于点C,则△OAC的面积为.8题图9题图10.如图,在平面直角坐标系中,过点M(0,2)的直线l与x轴平行,且直线l与反比例函数y=(x>0)和y=(x<0)的图象分别交于点P,Q.(1)求点P的坐标;(2)若△POQ的面积为8,求k的值.11.如下图,在平面直角坐标系中,A是x轴正半轴上的一个定点,B是反比例函数y=(x>0)的图象上的一个动点,当点B的横坐标逐渐增大时,△OAB的面积将会()A.逐渐增大B.不变C.逐渐减小D.先增大后减小12.如图,平行于x轴的直线与反比例函数y=(k1>0,x>0),y=(k2>0,x>0)的图象分别相交于A,B两点,点A在点B的右侧,C为x轴上的一个动点.若△ABC的面积为4,则k1-k2的值为()A.8B.-8C.4D.-413.如图,矩形ABCD的边AB与x轴平行,顶点A的坐标为(2,1),点B与点D都在反比例函数y=(x>0)的图象上,则矩形ABCD的周长为.12题图13题图14.在平面直角坐标系xOy中,点A(a,b)(a>0,b>0)在双曲线y=上.点A关于x轴的对称点B 在双曲线y=上,则k1+k2的值为.15.已知反比例函数y=(m为常数)的图象在第一、三象限.(1)求m的取值范围;(2)如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D,点A,B的坐标分别为(0,3),(-2,0).求出反比例函数的解析式;(3)若点E(x1,y1),F(x2,y2)都在该反比例函数的图象上,且x1>x2>0,则y1和y2有怎样的大小关系?。

湘教版九年级数学上册课件1.1反比例函数

新课引入
问题1：
甲、乙、丙、丁在3000米赛马过程中的平均速度分别为15m/s,14.5m/s,14.2m/s,14m/s, 那么他们谁先到达终点？
当路程s=3000m时，时间t(s)与速度v(m/s)的
关系是：
t= 3000 v
问题2：
学校课外生物小组的同学准备自己去动手，用旧围栏建一个面积为24m²的矩形饲养场，设一边长为x(m),求另一边的长y(m)与x的函数关系式。
y
y= 24 x
x
由以上实例得到的函数关系式
t= 3000 v
y= 24 x
它们具有怎样的特点？

新课讲授
反比例函数的定义
一般地，如果两个变量y与x的关系可以表示成：
y = k (k为常数，k 0） x
那么，y是x的反比例函数。注意：自变量x不能为零，因为分母无意义。变形： (1) y=kx-1(k 0) (2) xy=k (k 0)
解：由反比例函数的定义得：
m-10 解得： m1
m -2= -1
m=1
m= -1
所以，当m= -1时，函数解析式为
y= - 2 x
课堂练习
1、教材练习1,2题。 2、教材习题1.1 A组。
总结
1、反比例函数的定义 2、待定系数法求函数解析式
已知y=y1 +y2，y1与x成正比例，y2与x 2 成反比例，且x=2时，y=0；x=-1时， y=4.5，求y与x之间的函数解析式。
练一练
1、下列函数中哪些是反比例函数？
(1) y=3x-1
(3) y= 1 x
(2) y=2x2
(4) y= 2x 3
2、下列哪些是反比例函数，并指出k的值。