(精选)概率论公式总结
概率论与数理统计公式定理全总结
概率论与数理统计公式定理全总结
一、概率论公式：
1.基本概率公式：对于随机试验E，事件A的概率可以表示为P(A)=事件A的样本点数/所有样本点数。
2.条件概率公式：对于事件A和事件B，若P(B)>，则事件A在事件B发生的条件下的概率可以表示为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
3.全概率公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B有
P(B)=Σ(P(Ai)×P(B，Ai))。
4.贝叶斯公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B，有P(Ai，B)=(P(B，Ai)×P(Ai))/Σ(P(B，Ai)×P(Ai))。
二、数理统计公式：
1.期望：随机变量X的期望E(X)=Σ(Xi×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
2. 方差：随机变量X的方差Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 ×
P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，E(X)为随机变量X的期望，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
3. 协方差：随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))，其中E(X)和E(Y)分别为随机变量X和Y的期望。
4. 相关系数：随机变量X和Y的相关系数ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / √(Var(X) × Var(Y))，其中Cov(X,Y)为随机变量X和Y的协方差，Var(X)和Var(Y)分别为随机变量X和Y的方差。
(整理)概率论公式大全
第一章随机事件和概率
（1）排列组合公式
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）
顺序问题
（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。
一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。
为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：
概率论公式总结
概率公式整理
1．随机事件及其概率吸收律：A AB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)( A
B A A A A
A =⋃⋂∅
=∅⋂=Ω⋂)()(AB A B A B A -==- 反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=
n i i
n i i
A A 1
1
=== n
i i
n i i
A A 1
1
===
2．概率的定义及其计算：)(1)(A P A P -= 若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒
对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=-
加法公式：对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃ )()()(B P A P B A P +≤⋃
)()
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()()(211
111
1
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n
k j i k
j
i
n
j i j
i
n
i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++
-
=∑∑∑
3．条件概率 ()=A B P
)
()
(A P AB P 乘法公式 ())0)(()()(>=A P A B P A P AB P
()())
0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P
全概率公式∑==n
i i AB P A P 1
)()( )()(1
i n
i i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )
概率论公式大全
一.随机事件和概率
1、概率的定义和性质考研数学知识点-概率统计
（4）全概公式
设事件B1, B2,Λ , B n满足
（1）概率的公理化定义
1 °B1, B2,Λ , B n两两互不相容，
设Ω 为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一
个实数P(A)，若满足下列三个条件：
1° 0≤P(A)≤1，
2° P(Ω) =1
3°对于两两互不相容的事件A1 ，A2 ，…有P(B i) > 0(i= 1,2,Λ ,n) ，
A⊂Υn B i
2°i=1 ，
则有
P(A) = P(B1)P(A | B1) + P(B2)P(A | B2)
+Λ +
P(B n)P(A| B n)
⎛∞⎞∑
∞
。
P⎜⎜Υ A i⎟⎟= P A ( i)
⎝= i 1 ⎠=
i 1
此公式即为全概率公式。
常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件A的概率。
（2）古典概型（等可能概型）1°Ω = {ω1,ω2Λ ωn}，（5）贝叶斯公式
设事件B1 ，B2 ，…，B n及A满足
1°B1 ，B2 ，…，B n两两互不相容，P(Bi) >0，i = 1，
2，…，n，
A⊂Υn B i
2°ω= P(ω) = ΛP(ω) =
P( )
1 。2°i=1 ，P( A) > 0 ，
1 2 n n则
设任一事件A，它是由ω1,ω2Λ ωm组成的，则有
/ ) =n
/ ) P(B )P( A B
P(B A i i，i=1，2，…n。
P(A)= {(ω1) Υ (ω2) Υ ΛΥ (ωm)}
ω+ Λ + ωi∑/ )
P(B)P( A B
= P(ω
1) + P(2) ( )
(完整版)概率论公式总结
第一章
P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)
特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式
概率的乘法公式
全概率公式：从原因计算结果
Bayes 公式：从结果找原因
第二章
二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)
泊松分布——X~P(λ)
)
()()|(B P AB P B A P =
)|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==n
k k k B A P B P A P 1)
|()()(∑==
n
k k
k
i i k B A P B P B A P B P A B P 1
)
|()()
|()()|(),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...)
1,0(!
)(==
=-k e k k X P k
，λλ∑≤==≤=x
k k X P x X P x F )
()()(
概率密度函数
怎样计算概
率
均匀分布X~U(a,b)
指数分布X~Exp ()
对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系：
二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法
联合密度函数 联合分布函数
1)(=⎰
+∞
∞
-dx x f )
(b X a P ≤≤⎰=≤≤b
a
dx x f b X a P )()(⎰∞-=≤=x
dt t f x X P x F )()()(⎰
∞
-=≤=x
dt t f x X P x F )()()()
,(y x f )
,(y x F 0
),(≥y x f 1
),(=⎰⎰
+∞∞-+∞
∞
概率论公式总结
第一章
P(A+B)=P(A)+P(B)
条件概率公式
概率的乘法公式
P(AB) = P(B)P(A\B) =P(A)P(B\A)
全概率公式：从原因计算结果
BQP(AIBQ
*=1
Bayes 公式：从结果找原因
◎心严”(心)
±P(BJP(A\BJ
«=1
第二章
二项分布(Bemoulli 分布) -------
X~B(n,p) Pd = C"(l-p)e 伙二0,1,・・・,")
P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)
特别地，当A 、B 互斥时，
F(x) = P(X<x) = Y P(X = k) k<x 0<F(x y y)<\ F(x y y) = P{X<x 9Y<y}
泊松分布——x~pa)
概率密度函数
怎样计算概P(a<X<b) P(a < X <b) = f(x)dx
均匀分布X~U(a,b)
(a<x< b) 指数分布X~Exp (0 )
F (x) = /(x)
分布函数
对离散型随机变量
对连续型随机F(x) = P(X<x) = £j(t)dt变量分布函数与密度函数的重要关系:
二元随机变量及其边缘分布
分布规律的描述方法
联合密度y(x,>?)函数联合分布尺兀
刃函数
匚匸心，)皿心=1
联合密度与边缘密度
齐⑴二匸fd，y)dy
A (y) = j f(x,y)clx
离散型随机变量的独立性
P{X=i,Y = j} = P{X =i}P{Y = j}
连续型随机变量的独立性
f(x,y) = f x (x)f Y (y)
概率公式总结范文
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概率是概率论的核心概念之一，它描述的是事件发生的可能性大小。概率公式是计算和推导概率的数学公式，它们给出了不同情况下概率的具体计算方法。下面是一些常见的概率公式总结。
1.加法公式：
加法公式适用于计算联合事件发生的概率，即两个事件中至少一个事件发生的概率。加法公式可以分为两种情况：
-互斥事件的加法公式：如果两个事件A和B是互斥的（即两个事件不可能同时发生），则它们的概率之和等于它们各自的概率之和。
P(A∪B)=P(A)+P(B)
-非互斥事件的加法公式：如果两个事件A和B不是互斥的，则它们的概率之和等于它们总概率减去它们的交集概率。
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
2.乘法公式：
乘法公式适用于计算复合事件发生的概率，即两个事件同时发生的概率。乘法公式可以分为两种情况：
-独立事件的乘法公式：如果两个事件A和B是独立的（即一个事件的发生不会影响另一个事件的发生），则它们的概率乘积等于它们各自的概率之积。
P(A∩B)=P(A)*P(B)
-非独立事件的乘法公式：如果两个事件A和B不是独立的，则它们的概率乘积等于事件A发生的条件概率乘以事件B发生的条件概率。
P(A∩B)=P(A)*P(B，A)
3.条件概率公式：
条件概率是指在已知另一个事件发生的情况下，其中一事件发生的概率。条件概率公式可以表示为：
P(A，B)=P(A∩B)/P(B)
其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，
P(A∩B)表示事件A和事件B共同发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
4.贝叶斯公式：
概率论公式总结
概率论公式总结
公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-
第一章
P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时，
P(A+B)=P(A)+P(B)
条件概率公式
概率的乘法公式
全概率公式：从原因计算结果
Bayes 公式：从结果找原因
第二章
二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)
泊松分布——X~P(λ)
概率密度函数
怎样计算概率
均匀分布X~U(a,b)
指数分布X~Exp (θ)
分布函数
对离散型随机
变量 对连续型随机变量
分布函数与密度函数的重要关系：
二元随机变量及其边缘分布
分布规律的描述方法
)(b X a P ≤≤∑≤==≤=x k k X P x X P x F )()()(⎰∞-=≤=x
dt
t f x X P x F )()()(1),(0≤≤y x F
联合密度
函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度
离散型随机变量的独立性
连续型随机变量的独立性
第三章 数学期望
离散型随机变量，数学期望定义
连续型随机变量，数学期望定义
E(a)=a ，其中a 为常数
E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数
E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量
随机变量g(X)的数学期望
常用公式
方差
定义式
常用计算
式
常用公式
当X 、Y 相互独立时：
方差的性质
D(a)=0，其中a 为常数
D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数 ),(y x f ),(y x F ∑+∞-∞=⋅=k k k P x X E )([]22)()()(X E X E X D -=
概率论的公式大全
概率论的公式大全
概率论是数学的一个分支，研究随机事件发生的概率。以下是概率论中常用的公式。
1.基本概率公式：
P(A)=n(A)/n(S)
其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的样本空间中的有利结果数量，n(S)表示样本空间中的总结果数量。
2.加法公式：
P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A且B)
其中，P(A或B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
3.乘法公式：
P(A且B)=P(A)×P(B，A)
其中，P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
4.条件概率公式:
P(A，B)=P(A且B)/P(B)
其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。5.全概率公式：
P(A)=Σ(P(A，Bi)×P(Bi))
其中，P(A)表示事件A的概率，Bi表示S的一个划分，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率。
6.贝叶斯公式：
P(Bi，A)=(P(A，Bi)×P(Bi))/Σ(P(A，Bj)×P(Bj))
其中，P(Bi，A)表示在事件A发生的条件下，事件Bi发生的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率。
7.期望值公式：
E(X)=Σ(Xi×P(Xi))
其中，E(X)表示随机变量X的期望值，Xi表示X的取值，P(Xi)表示X取值为Xi的概率。
8.方差公式：
Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 × P(Xi))
(完整版)概率论公式总结
第一章
P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)
特别地，当 A、B 互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式
P( A | B) P( AB)
P( B)
F ( x) P( X x)P( X k)
k x
概率的乘法公式
P( AB) P( B) P(A | B)P( A) P(B | A)
全概率公式：从原因计算结果
n
P( A)P(B k )P( A | B k )
k 1
Bayes 公式：从结果找原因
P(B i )P( A | B i )
P (B k | A)n
P( B k )P( A | B k )
k 1
第二章
二项分布（ Bernoulli 分布）—— X~B(n,p) P(X k) C n k p k(1 p)n k，(k 0,1,...n,)
泊松分布—— X~P( λ)
k
P( X k)e，( k0,1,...)
k!
概率密度函数
f (x)dx 1
怎样计算概P(a X b) 率P (a X b) b f (x) dx
a
均匀分布 X~U(a,b)
1
f ( x)( a x b)
b a
指数分布 X~Exp ()
对连续型随机F ( x) P( X x) x
f (t )dt 变量
分布函数与密度函数的重要关系：
F ( x) P( X x) x
f (t )dt
二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法
联合密度联合分布f(x, y)
F ( x, y)
函数
函数
f ( x, y)0
f ( x, y)dxdy 1
联合密度与边缘密度
f X (x) f (x, y)dy
f Y (y) f (x, y)dx
概率论公式总结
概率公式整理
1．随机事件及其概率吸收律：A
AB A A A A =⋃=∅⋃Ω
=Ω⋃)(
A
B A A A A A =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)()(AB A B A B A -==-
反演律：
B
A B A =⋃
B
A A
B ⋃=
n i i
n
i i
A A
1
1
===
n
i i
n
i i
A A
1
1
===
2．概率的定义及其计算：)(1)(A P A P -= 若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒ 对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=-
加法公式：对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃ )()()(B P A P B A P +≤⋃
)()
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111
1
n n n
n
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n
j i j i
n
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n
i i A A A P A A A
P A A
P A
P A P -≤<<≤≤<≤==-+++
-
=
∑∑∑
3．条件概率 ()=A B P
)
()(A P AB P 乘法公式
())0)(()()(>=A P A B P A P AB P
()()
)
0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P
全概率公式
∑
==
n
i i AB P A P 1
)
()(
)
()(1
i n
i i B A P B P ⋅=
∑
=Bayes 公式
)
(A B P k )
()(A P AB P k =
∑==
n
i i i
k k B A
（完整版）概率论基本公式
（完整版）概率论基本公式
概率论与数理统计基本公式
第⼀部分概率论基本公式
1、)(;A B A B A AB A B A B A -?=?-==--
例：证明：
成⽴。得证。
成⽴，也即成⽴，也即（不发⽣，从⽽发⽣，则不发⽣，，知由（证明：（B A B A AB A B B A AB A B B B A B A B A AB A B B A --=-?-?-==-=-?-
-
)).
)Θ 2、对偶率：.-
-
-
-
==B A B A B A B A ； 3、概率性率：
(1))()()(212121A P A P A A P A A +=?为不相容事件，则、有限可加：
(2)
)
()();()()(),()()(B P A P B P A P B A P A B AB P A P B A P ≥-=-?-=-时有：特别，
（3）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?对任意两个事件有：
)
();();();()1(.4.0)(2.0)(5.0)(AB P B A P B A P AB P B P B A P A P ?-===-
-求：，，例：已知：.
3.0)(1)(,7.0)()()()(3
.0)()()(,5.0)(.,2.0)()()()(,=?-=?==-+=?=-=-∴===+∴=+-
--B A P B A P AB P AB P B P A P B A P AB P A P B A P A P AB P B P B A P AB P B A B B B A AB ΘΘ⼜即是不相容事件，、且解：
概率论公式总结
概率公式整理
1．随机事件及其概率吸收律：A
AB A A A A =⋃=∅⋃Ω
=Ω⋃)(
A
B A A A A A =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)()(AB A B A B A -==-
反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=
n
i i
n
i i
A A 1
1
=== n
i i
n
i i
A A 1
1
===
2．概率的定义及其计算:)(1)(A P A P -= 若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒ 对任意两个事件A , B ， 有 )()()(AB P B P A B P -=-
加法公式：对任意两个事件A ， B ， 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃ )()()(B P A P B A P +≤⋃
)()
1()()
()()(211
111
1
n n n
n
k j i k
j
i
n
j i j
i
n
i i n
i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++
-
=∑∑∑
3．条件概率 ()=A B P
)
()
(A P AB P 乘法公式 ())0)(()()(>=A P A B P A P AB P
()()
)
0)(()()(12112112
121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P
全概率公式
∑==n
i i AB P A P 1
)
()(
)
()(1
i n
i i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式
)(A B P k )
()
(A P AB P k =
概率论公式总结汇总
第一章
P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当
A 、
B 互斥时，
P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式
概率的乘法公式
全概率公式：从原因计算结果
Bayes 公式：从结果找原因
第二章
二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)
)
()()|(B P AB P B A P =
)|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==n
k k k B A P B P A P 1)
|()()(∑==
n
k k
k
i i k B A P B P B A P B P A B P 1
)
|()()
|()()|(∑≤==≤=x
k k X P x X P x F )
()()(1
),(0≤≤y x F }
,{),(y Y x X P y x F ≤≤=
泊松分布——X~P(λ)
概率密度函数
怎样计算概率
均匀分布X~U(a,b)
指数分布X~Exp (θ)
),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...)
1,0(!
)(==
=-k e k k X P k
，λλ1)(=⎰
+∞
∞
-dx x f )
(b X a P ≤≤⎰=≤≤b
a
dx x f b X a P )()()
0(1
)(/≥=
-x e
x f x θ
θ
)(1)(b x a a
b x f ≤≤-=
分布函数 对离散型随机变量
对连续型随机变量
分布函数与密度函数的重要关系：
二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法
联合密度函数 联合分布函数
联合密度与边缘密度
概率论公式总结归纳
第一章P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
特别地，当A 、B 互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B)
条件概率公式
概率的乘法公式
全概率公式：从原因计算结果
Bayes 公式：从结果找原因
第二章
二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)
泊松分布——X~P(λ)
概率密度函
数 怎样计算概率
均匀分布X~U(a,b)
指数分布X~Exp(θ)
分布函数
对离散型随机
变量 对连续型随机变量
分布函数与密度函数的重要关系：
二元随机变量及其边缘分布
分布规律的描
述方法 联合密度函数
)(b X a P ≤≤∑≤==≤=x k k X P x X P x F )()()(⎰∞-=≤=x
dt t f x X P x F )()()(),(y x f 1),(0≤≤y x F
联合分布函数
联合密度与边缘密度
离散型随机变量的独立性
连续型随机变量的独立性
第三章
数学期望
离散型随机变量，数学期望定义
连续型随机变量，数学期望定义
● E(a)=a ，其中a 为常数
● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数
● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量
随机变量g(X)的数学期望
常用公式
方差
定义式
常用计算
式
常用公式
当X 、Y 相互独立时：
方差的性质
D(a)=0，其中a 为常数
D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数
当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)
协方差与相关系数
),(y x F ∑+∞-∞=⋅=k k k P x X E )([]22)()()(X E X E X D -=
概率论公式总结
第1章随机事件及其概率
第二章随机变量及其分布
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
(
f)
dx
x
第六章样本及抽样分布