复杂网络Rossler混沌动态系统的同步

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Rossler混沌系统单一状态变量耦合同步研究

由于混沌系统具有对初始条件敏感性、长期不可预测性和伪随机性等特点，被广泛应用于保密通信、扩频通信［１２］、信息图像加密等［３４］研究领域。其中混沌原理在保密通信的应用中，需要发射终端的混沌系统与接收终端的混沌系统达到同步，因此混沌系统同步控制方法是保密通信的核心内容，近几年受到了广泛关注，并成为研究的热点。混沌同步是指驱动系统的轨道收敛于响应系统轨道的同一个值，学者们提出了许多混沌系统同步控制的方法，比如投影控制同步法［５６］、自适应控制同步法［７］、主动控制同步法［８］、耦合同步控制法和［９］非线性控制同步法等。
Ｒｏｓｓｌｅｒ系统仅含有一个非线性项且存在复杂混沌行为，许多学者对该系统进行了深入的研究，得到了大量的研究结果。文献［１０］研究了Ｒｏｓｓｌｅｒ系统在参数不确定的情况下实现了自适应同步；文献［１１］利用参数识别方法，实现了超混沌Ｒｏｓｓｌｅｒ系统的自适应同步；文献［１２］设计了主动控制器，实现了Ｒｏｓｓｌｅｒ系统与统一混沌系统的渐近同步。在实际工程中，耦合同步的［１３］收敛速度较快、应用较为广泛，主要适用于子系统不能分解的混沌系统，其关键在于耦合强度的确定。耦合同步主要包括单向同步和双向同步。由于双向同步的驱动响应系统互相影响，驱动系统受到干扰，此方法较为少用。单向耦合同步中驱动系统不受干扰，仅对响应系统中的系统状态变量进行耦合，是一种有效且易于实现的方法。文献［１４］通过函数耦合实现了Ｄｕｆｆｉｎｇ系统的混沌同步。文献［１５］通过单向耦合，利用Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定性定理，采用全局同步法分别证明了Ｌｏｒｅｎｚ系统与Ｃｈｅｎ系统实现自同步的可靠性。文献［１６］基于Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定性理论，构造了Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数，实现了Ｃｈｅｎ超混沌系统的线性耦合同步。文献［１７］针对非线性Ｃｈｕａ电路，实现了系统的线性耦合同步。

Lü混沌系统的同步与反同步

｛２Ｘｌ一ｅ一２：ｌ＋ｃ２ｅＺ
（７）
ｒｇｏｆｃｍｌｘｄａｃｌｅｒｓ［】ＩＥｒｍｅｉｎｏｐｅｙｍｉｔｋＪ．ＥＥＴａｏｎａｎｗｏｏｕｏｔｏｔｌ２０，４４：５８９ｎＡｔｉＣｎｒ，０９５（）４－４．ｍａｃｏ８
为ｌｌａ２ｅ＋１ｅ一ａａｅ
图２同步误差曲线
Ｆｉ．Ｇａｈｏｓｎｈｏｉａｉｎｅｒｒｇ２ｒｐｆｙｃｒｎｚｔｏｒｏ
｛Ｘ一ｚｃ＋２＝Ｚ１ｅ＋２
ｌＸｌｘ— ｅ＋３岛：ｌ —ｙｂ３Ｙ
通信等领域倍受关注。近２年来，一些科研工作０
者以经典的控制理论作为指导思想，提出了许多混
沌同步方法口们近年来又提出了反同步方法［－］，１１。１２
Ｉ＝ａｙ（— ）
本文基于Ｌａｕｏ第二方法【］究了参数相ｙｐｎｖ ”研同，初值不同的两个Ｌ混沌系统同步与反同步问ｎ题，等价地转化为讨论对应的线性系统的零解渐近稳定性问题，并用Ｍａａ进行数值仿真，给出了同ｕｂ
ｎｎｎ
Ｕ方洁，姜长生．修正混沌函数投影同步及在保密通错位
Ｌａｕｏ第二方法，可知在式（）ｙｐｎｖ７的控制下，误差系
Ｉ口Ｘ＋ｌ毫＝（１Ｕ — ）
｛一ｚ＋２＝１＋
【＝ —ｚ＋３三ｂ１１
（２）
其中，（Ｕ，，为非线性反馈控制项，并令误Ｕ＝，）Ｕ

超混沌Chen系统和超混沌Lorenz系统的反同步

x4 = x2 x3 + rx4 ,
将其作为驱动系统·其中 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 为状态变量 , a , b , c , d , r 为系统参数·当 a = 35 , b = 3 , c = 12 , d = 7 , 01085 < r ≤01798 时 , 系统 ( 5) 处于超混沌状态·
(7) 定义 2 对于超混沌系统 (5) 和 (6) ,若存在一个控制器 u ,在任意初始状态 ( x (0) , y (0) ) 下 , 均有
lim
t →∞
ei ( t)
= lim t →∞
yi ( t)
+
xi ( t)
= 0,
i = 1 ,2 ,3 ,4
(8)
成立 ,称超混沌系统 (5) 和 (6) 反同步·
1 问题的描述与系统模型
混沌系统是非线性系统的一种特殊情况 ,可用如下非线性微分方程表示 :
x = f ( x , t) ,
(1)
y = g ( y , t) + u ( t , x , y) ·
(2)
其中 :系统 (1) 称为驱动系统 ;系统 (2) 称为响应系统 ; x = [ x 1 , x 2 , …, x n ] T 与 y = [ y1 , y2 , …, y n ] T 为系统的状态变量 ; f ( x , t) 与 g ( y , t ) 为非线性函数 ; u ( t , x , y) 为控制输入·
混沌运动是一种貌似无规则的运动 ,是非线性动力学系统所特有的一种运动形式 ,它广泛地存在于自然界中·近年来 ,对混沌理论的研究已成为非线性控制理论研究的热点之一·由于混沌系统对初值极其敏感 ,所以长期以来人们认为混沌系统是不能控制的 , 混沌同步就更加不可能实现 ·自从 Pecora 和 Carroll[1 ]在 1990 年利用电路实现混沌同步以来 ,混沌同步受到了各个领域学者的广泛

超混沌Lorenz系统与超混沌Rossler系统的异结构同步

超混沌Lorenz系统与超混沌Rossler系统的异结构同步蒋楠【摘要】超混沌系统的异结构同步是非线性科学领域研究的一项重要内容。

基于Lyapunov稳定性理论，在参数全部未知的情况下，分别实现了超混沌Lorenz系统与超混沌Rossler系统的主动和自适应同步，并且利用数值模拟来阐释理论的有效性。

%Synchronization of hyperchaos system in different structures is an important content in research of nonlinear science .Based on Lyapunov stability theory , the active and adaptive synchronization between hyperchaotic Rossler system and hyperchaotic Lorenz system is realized in unknown parameters , and numerical simulation results are used to illustrate the effectiveness of the proposed theory .【期刊名称】《山西广播电视大学学报》【年(卷),期】2013(000)004【总页数】3页(P50-52)【关键词】超混沌系统;主动同步;自适应同步;Lyapunov稳定性理论【作者】蒋楠【作者单位】山西广播电视大学，山西太原 030027【正文语种】中文【中图分类】G728引言最近几年，人们掀起了超混沌系统异结构同步研究的热潮，其中4维不同超混沌系统之间的同步问题已经成为研究者关注的一个重要研究方向。

在保密通讯应用中，由于高维非线性动力系统中通常会产生超混沌现象，即同时存在2个或2个以上的正的Lyapunov指数，故其保密性和抗破译性有了很大的改观，因此研究超混沌系统的异结构同步具有很重要的价值。

混沌与复杂系统动力学研究

混沌与复杂系统动力学研究引言混沌与复杂系统动力学研究是一门跨学科的科学领域，它研究非线性系统中的混沌现象以及复杂系统的动态演化规律。

这一领域涉及数学、物理学、生物学、社会科学等多个学科的交叉和融合，其研究成果对于理解和探索自然界和社会现象的规律具有重要意义。

1. 混沌现象的发现和基本特征混沌现象最早可以追溯到19世纪末叶，但直到20世纪60年代才被正式命名和定义。

混沌现象指的是一类非周期性、极其敏感依赖于初始条件的动态行为。

混沌系统表现出无规则、不可预测的运动，即使在输入稳定的情况下，它们也会产生宏观上似乎无序的行为。

混沌系统的基本特征包括灵敏依赖于初始条件、确定性但不可预测以及自适应性等。

具体而言，混沌系统中微小的初始条件变化会导致系统演化轨迹的巨大差异；虽然混沌系统的演化规律是确定性的，但由于存在非线性效应，其行为不可预测；此外，混沌系统还能够对外界环境的变化作出自适应调整。

2. 混沌系统的数学建模为了研究混沌现象，科学家们发展了多种数学模型和工具，用以描述和分析混沌系统的动态行为。

其中最著名的一个模型是洛伦兹系统，它由1970年诺贝尔物理学奖得主爱德华·洛伦兹提出。

洛伦兹系统通过一组微分方程描述了大气环流的混沌现象，成为混沌研究的重要里程碑。

除了洛伦兹系统外，还有一些其他经典的混沌系统模型，例如，受力摆、双曲正弦映射等。

这些模型通过一组微分方程、差分方程或映射方程描述系统的演化过程。

数值计算和计算机模拟成为研究混沌现象的重要手段，通过模拟系统演化过程，科学家们能够揭示混沌系统的动态行为和性质。

3. 复杂系统动力学的研究框架随着混沌系统的研究逐渐深入，学者们开始意识到混沌现象只是复杂系统动力学的一个方面。

复杂系统动力学研究的范围更加广泛，它研究的是由大量相互作用的元素组成的系统，元素之间的相互作用可能是非线性的，从而呈现出复杂的动态行为。

在复杂系统动力学研究中，人们关注系统整体的行为和演化规律，而不仅仅是个别元素的行为。

R_ssler混沌同步在保密通信中的应用

第18卷　第2期2008年3月黑　龙　江　科　技　学　院　学　报Journal of Heil ongjiang I nstitute of Science &Technol ogy　Vol .18No .2 M ar .2008文章编号:1671-0118(2008)02-0140-04R ssler 混沌同步在保密通信中的应用马文−,　褚衍东,　李险峰,　张建刚(兰州交通大学数理与软件工程学院,兰州730070)摘　要:基于混沌的特性,选用R ssler 系统产生混沌信号。

利用混沌同步的保密通信方案,采取混沌掩盖的途径来讨论混沌同步在信息传输中的应用。

同时,将保密通信方案进行了仿真,并进行了简单评估。

结果表明,该方法具有设计简单、同步速度快、保密程度高等特点。

关键词:R ssler 系统;混沌同步;保密通信中图分类号:T N918文献标识码:AApp li ca ti o ns of chao ti c synchroniza tion of R ssl e rsyst e m in secur e co mm unica tionMA W enjun,　CHU Yandong,　L I X ianfeng,　ZHAN G J ian ’gang(School of Mathe matics,Physics and Soft w are Engineering,Lanzhou J iaot ong University,Lanzhou 730070,China )Abstract:This paper,based on the chaos characters,intr oduces the selecti on of the R ssler syste m f or generati on of chaos signals,the use of the secure communicati on sche me of the chaotic synchr onizati on and chaos masking f or study the secure infor mati on trans m itting,the si m ulati on of the secure communica 2ti on,and the evaluati on of the si m ulati on results si m p ly .The si m ulati on results shows that method offers a more si m p le design,a greater synchr o s peed and secret 2keep ing perf or mance .Key words:R ssler syste m;chaos synchr onizati on;secure communicati on 收稿日期:2007-12-07 基金项目:甘肃省自然科学科研基金重点资助项目(3ZS0512A252030,3ZS 20422B252049);兰州交通大学科研基金(DXS 20720028,DXS 207200289)0　引　言自1990年Pecora 和Carr oll 发现混沌同步以来,混沌同步就在化学反应、生物系统和通信等各个领域受到广泛的关注[1]。

Rossler混沌系统的同步研究

系统进行了研究，计出各种控制器，现了设实
ｔ｝８
图１Ｒｓｌ系统时间响应图ｏｓｒｅ
Ｆ晷１Ｆｇｒｆｔｔｓｈｎｔｎｏｍｅｉｉｅａｅａｅｆｃｉｆｉｕｏｓｔｕｏｔ
Ｒｓｌ系统的自同步，ｏｓｒｅ以及异结构混沌同步控制．从而避免了计算响应系统的条件李雅普诺夫指数，
性，ＴＬＢ数值仿真结果证明了以上方法的有效性．ＭＡＡ关键词：ｏｓｒＲｓｌ混沌系统；ｅ同步；ａｕｏ定性Ｌｙｐｎｖ稳
中图分类号：２０３２文献标识码：Ａ
０引言
混沌系统是一种对初始条件极其敏感，具有整体稳定但局部不稳定特性的非线性系统，而混沌同步是当前非线性科学及其交叉领域的一个重要
２００７年８月
文章编号：０１４７（０７０－１５０１０ —３３２０）４５ —４０
Ｒｏｓｅ混沌系统的同步研究ｓｌｒ
杨丽新，褚衍东，张文琦，孙军芳
（兰州交通大学，数理与软件工程学院，甘肃，兰州，３００７０７）
基础项目：省自然科学基础项目（Ｚ－２Ｂ５４）甘肃３Ｓ０－２— ９４０
作者简介：杨丽新（９０）女，１８－，甘肃定西人，硕士研究生．
维普资讯
１６５
兰州交通大学学报（自然科学版）
维普资讯
第２卷６
第４期
兰州交通大学学报（自然科学版）

时间序列数据分析中的混沌理论和复杂网络研究

时间序列数据分析中的混沌理论和复杂网络研究时间序列数据分析是一种研究时间变化规律的科学方法。

在该领域，混沌理论和复杂网络研究已经成为一个热门话题。

这些理论及方法可以帮助人们揭示自然界中复杂系统的规律，并且可以应用到许多不同的领域，如金融市场、气候变化、交通管理等等。

一、混沌理论混沌理论是一种研究不可预测系统行为的数学理论。

在时间序列数据分析中，混沌理论通常用于分析系统随时间演化的规律性。

混沌系统通常表现出的是无序和复杂的运动规律，其取决于系统的初始状态以及微小的变化。

混沌理论可以帮助我们理解这种现象，并且可以揭示出系统中的一些重要属性。

时间序列数据中的混沌现象通常表现为小幅度的起伏，看起来似乎没有规律可循。

然而，混沌系统的运动规律是经过严格计算的。

特别是在金融市场和气候变化等需要长期预测的领域，混沌理论的应用尤其重要。

二、复杂网络复杂网络是由大量节点和连线构成的网络系统。

时间序列数据分析中的复杂网络研究主要是通过构建网络来研究和分析数据。

复杂网络的研究有许多不同的应用，例如社交网络、蛋白质相互作用网络和交通网络。

在金融市场中，复杂网络分析也可以被应用在分析股票市场的变化和预测蓝筹股的走势。

同样，气候变化也可以通过复杂网络方法来研究。

例如，研究全球气温变化的复杂网络可以结合气象数据和政策因素，得出更准确的预测结果。

三、混沌理论和复杂网络的应用混沌理论和复杂网络的应用范围非常广泛。

在金融市场中，混沌理论和复杂网络的方法可以帮助分析市场变化趋势，并预测股价的波动。

这对投资者和分析师来说非常有利，可以帮助他们做出更好的投资决策。

在气候变化领域，混沌理论和复杂网络可以通过模拟气象数据，研究全球气温变化趋势。

这对国家政策的制定非常重要。

例如，通过预测太平洋海面温度的变化可以预测气象灾害的发生，并实施相应的预警措施。

除此之外，混沌理论和复杂网络还可以应用于研究人类行为。

例如，社交网络中人们的互动行为可以通过建立复杂网络来分析。

R_ssler系统中的混沌控制

ROssler 系统中的混沌控制渠慎明，侯松鹂（河南大学，河南开封475004）摘要：基于线性反馈控制方法和R outh-Hurwitz 判据研究了R ossler 系统中的混沌控制问题。

给出了将受控R ossler 系统镇定到不稳定平衡点的条件，并进行了理论证明，同时进行了数值仿真，进一步验证了所用控制方法的有效性。

关键词：R ossler 系统；混沌控制；线性反馈控制中图分类号:TP391文献标识码:A·计算技术与自动化·Chaos Cont r ol of Rossler Chaot ic Syst emQU Shen-ming ，HOU Song-li(Henan University,Henan Kaifeng 475004)Key words:R o ssler system ；chaos control ；linear feedback control混沌系统属于非线性的随机系统，对系统初始值极端敏感。

由于混沌的奇异特性，尤其是对初始条件极其微小的变换的高度敏感性及不稳定性，使得混沌控制难以实现。

1990年，Ott 、Grebogi 和York 基于参数扰动法，成功实现了混沌系统的控制，此后，在物理学界掀起了混沌控制的研究热潮。

所谓混沌控制[1]，一种是对混沌现象的抑制，即消除有害的混沌；另一种是混沌的反控制，即控制一个非混沌系统产生有利的混沌；还包括混沌追踪问题，即通过施加控制使受控系统的输出信号达到事先给定的参考信号，其特殊而重要的情形就是镇定问题。

目前，用的较为广泛的混沌控制方法[2][3]可分为反馈和非反馈两类：反馈方法主要是通过控制混沌系统中的不稳定周期轨道实现混沌控制；非反馈方法是在控制参数或状态变量上施加一个弱的外部周期扰动，使得混沌系统转化为周期轨道，从而达到控制混沌的目的。

本文利用线性反馈控制方法实现了R o ssler 混沌系统的不稳定平衡点的镇定问题，给出了理论证明，并通过数值仿真验证了反馈控制方法的有效性。

Rossler混沌系统的追踪控制与同步

， & " ( %（ & ! # )）式中 ’ ，，要 (， ) 为系统参数 * 现给定参考信号（ + ,）设计一个控制器 - ，使受控 )*++,-. 系统
{
・・・
， ! " #（ $ % & ） $ " ! % ’$ ，（’）
& " ( %（ & ! # ) ）% （ ,）追踪给定的参考信号（，即满足的输出信号 ! + ,） ,>= . （ / , ）. " $，
第 9’ 卷第 " 期 &$$& 年 " 月（$"） ’$$$<#&:$ P &$$& P 9’ P $%":<$"
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超混沌Rossler系统混沌同步的反馈控制实现

ｅ３一ｙｙ一ｌ＋３￡ｅＩ３３（）４一一Ｃｅ十ｄ１４１３ｅ＋４ｆ（）
（）３
驱动系统（）响应系统（）的同步问题转化为误差系统（）在原点（，，）的稳定性问题。择适１和２３Ｏ０Ｏ选
现同步的充分条件以及控制器参数的取值范围。
１同结构系统的反馈控制同步
下面研究具有相同参数、不同初值的２个超混沌Ｒｓｌｒ统之间的同结构同步问题。驱动超混沌ｏｓ系ｅ
Ｒｓｌｒ统可描述为：ｏｓ系ｅ
敛到零，快速实现同步，显示了方法的有效性。
［键词］超混沌Ｒｏｓｒ统；超混沌Ｌｒｎ关ｓｌ系ｅｏｅｚ系统；反馈控制；混沌同步［图分类号］Ｔ２１中Ｐ７［献标识码］Ａ文［章编号］１７文６３—１０（００３４９２１）０一Ｎ１１０５—３
超混沌Ｒｓｌｒ系统混沌同步的反馈控制实现ｏｓｅ
吴琛义，明成（高长江大学与数学学院，信息湖北荆州４４２）３０３李勇（桂林理工大学理学院，广西桂林５４４０）１０
［要］基于Ｌａｕｏ摘ｙｐｎｖ稳定性理论，采用非线性反馈控制方法，在参数未知的情况下，设计出了２个超
当的控制器［。Ｕ，。Ｕ］得误差系统（）， “ ，使３稳定于原点，驱动系统（）响应系统（）则１与２就实现了同步。

复杂网络的同步与控制

在比较具有相同动力学的网络的同步能力时提出最大横向lyapunov指数的区域为同步化区域c为复平面它是由孤立节点上的动力学函数耦合强度以及外耦合矩阵和内耦合矩阵函数确定的
Complex Network Synchronization and Topology
indentification 第5讲：复杂网络的动力学同步与控制
• Network Synchronization
Synchronization Theorem
• Let
0 1 2 N x1(t) x2(t) xN (t) s(t)
c2 d
be the eigenvalues of the coupling matrix A.
The synchronization state is exponentially stable,
N
xi f (xi ) aij (t)(t)x j , i 1, 2, , N j 1
如果A是常数矩阵，内联是自治的,则动力网络是非时变的，否则是时变动力网络。
网络同步定义: 首先定义同步流形为线性子空间
M＝ x : xi xj ,i, j
如果当 t 时，x趋近于M，则称网络同步. 即对于所有的节点，在任意初始条件下
Chaos Communications
Francis C M Lau, Michael C K Tse, PolyU Centre for Chaos Control and Synchronization
Network Synchronization
同步是复杂网络的集体行为.
Synchronization Is one of the most Pervasive phenomena in the Universe

典型混沌系统和混沌同步的简介

2典型混沌系统和混沌同步的简介2.1典型混沌系统的介绍混沌从表述形式上大体包括两大类：以微分方程表述的时间连续函数和以状态方程表述的时间离散函数。

时间离散系统多用于扩频通信，而时间连续函数多见于保密通信之中。

介于本文主要考虑连续系统在保密通信之中的应用，这里就重点介绍连续时间混沌系统中的典型模型：Lorenz 系统、蔡氏电路、统一混沌系统。

2.1.1 Lorenz 系统混沌的最早实例是由美国麻省理工学院的气象学家洛伦兹在1963年研究大气运动时描述的。

他提出了著名的Lorenz 方程组：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----cz xy y xz bx y x y a x ＝ｚ＝＝。

(2-1)这是一个三阶常微分方程组。

它以无限平板间流体热对流运动的简化模型为基础，由于它的变量不显含时间t ，一般称作自治方程。

式中x 表示对流强度，y 表示向上流和向下流在单位元之间的温度差，z 表示垂直方向温度分布的非线性强度，-xz 和xy 为非线性项，b 是瑞利数，它表示引起对流和湍流的驱动因素 (如贝纳对流上下板的温度差△T)和抑制对流因素 (如(Prandtl)数粘性)之比，是系统 (2-1)的主要控制参数。

kv a =是普朗特数(v 和k 分别为分子粘性系数和热传导系数)，c 代表与对流纵横比有关的外形比，且a 和c 为无量纲常数。

在参数范围为)1/()3(--++⋅>c a c a a b 时，Lorenz 系统均处于混沌态。

在混沌区域内选择系统参数a=10, b=28，c=8/3，取系统的初始状态为[x(0), y(0), z(0)]=[10, 10, 10]，此时，系统为一混沌系统，系统的三维吸引子如图2.1所示，二维吸引子如图2.3所示，图2.2所示分别为分量x 、y 随时间t 的变化情况。

图2.1 Lorenz 系统的吸引子图2.2 分量x随时间t的变化情况图2.3 Lorenz系统的x-y相图总体上，Lorenz吸引子由左右两个环套而成，每个环绕着一个不动点，它实际上是一条双螺旋的曲线，就像以十分灵巧的方式交织起来的一对蝴蝶的翅膀。

复杂网络基础5

距离
1987 年，美国数学家Devaney 从拓扑学的角度给出了一个更全面的混沌定义如下：定义5.4：称动力系统（I，f）为是Devaney 混沌的，

如果：
（1）映射f 是拓扑传递的；（2）映射f 是初值敏感依赖的；（3）映射f 的周期在I 中是稠密的。

5.2.2 混沌模型

2. 测度熵

当轨道的初始值不能精确地获得时，随着轨道的演化，解的发散意味着信息的丢失。在混沌系统中，为了度量系统的混沌程度，Kolmogorov 等人引进了测度熵的概念，又称K 熵，它反映了信息损失的平
均速率，其定义如下：

定义5.7：设式（5.4）描述的动力学系统的相空间具有有限体积（测度），给定相空间的一个有限分割α，

1. 李雅普诺夫指数
李雅普诺夫指数（Lyapunov exponent）是混沌理论中一个重要概念，是目前用于判断非线性系统是否存在混沌行为的主要判据。李雅普诺夫指数可以给出吸引子相邻轨道平均指数发散率的定量度量，是对吸引子拉伸和收缩性质的长时间平均度量，可以定量表示轨道的稳定性和蝴蝶效应的强弱。m 维系统的李雅普诺夫指数定义可以描述如下：定义5.5：设m 维自治系统为：其中，各个时刻t 的取值X（t）∈R m 构成了m 维相空间，映射f：Rm→Rm。

数如下
Hausdoff 维数有两个缺点：其一是当奇怪吸引子的维数较高时，计算量十分巨大；其二是没有反映几何对象的不均匀性，含有一个元素的格子和众多元素的格子在式中均具有相同权重。为了改进第二个缺点，引进了如下的信息维数定义：定义5.9：设
5.2.3 混沌系统的刻画指标
混沌运动的描述方式有很多种。如何判断一个给定的系统是否处于混沌运动状态以及混沌的程度，是混沌研究的重要问题之一。最直接的方法是观察动力学系统的时间演化。为了对运动的定性有确切的结论，还需要有比较可靠的分析方法。其中，李雅普诺夫（Lyapunov）指数、测度熵、分数维、功率谱和彭加莱截面是几个最常用的手段。

超Lorenz混沌系统的同步及其在保密通信中的应用_于茜

发送端的驱动系统如下：
x1 = σ (x2 − x1 ) + x4 + x5
x2 = ρx1 − x2 − x1x3 + x5
x3 = x1x2 − bx3 + x5
(7)
x4 = −x2 x3 + cx4
x5 = −3x1 + m(t)
式 (5) 在反馈控制器 u 的作用下得到响应系统：
xr
→
x ，即驱动
系统和响应系统达到同步。
2 基于线性输出反馈控制的超 Lorenz 系统的同步分析
2.1 超 Lorenz 混沌系统的提出
著名的 Lorenz 系统是美国气象学家 Edward
Lorenz 于 1963 年提出来的，其方程为：
x1 = σ(x2 − x1)
x2 = ρx1 − x2 − x1x3
1 反馈控制同步理论分析
假设混沌系统的系统方程为：
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩xy
= =
f (x) Cx
(1)
其中， x∈ Rn, y ∈ Rn ， y 为系统的输出， C 为输出
增益矩阵。
线性输出反馈控制的响应系统具有如下形式：
收稿日期：2010-10-30；修回日期：2010-12-19 作者简介：于茜（ 1 98 6 — ），女，河北人，研究生，从事保密通信研究。
产生新的系统为：
x1 = σ (x2 − x1) + x4 + x5
x2 = ρx1 − x2 − x1x3 + x5 x3 = x1x2 − bx3 + x5
(4)
x4 = −x2 x3 + cx4

基于Rossler超混沌系统模糊同步的保密通信方案

Ｚｈｎｅｂ ’ ＷｕＸｉｏｉｇａｇＷｎｏ’ ’ 。ａｐｎ
（ｏｌｇｆＥｅｔｏｉｇｎｅｉｇ，ＮａａｉｅｓｔｆＥｇｎｅｉｇ，Ｗｕａ４０３）ＣｌｅｏｌｃｒｎｃＥｎｉｅｒｎｅｖｌＵｎｖｒｉｏｎｉｅｒｎ ” ｙｈｎ３０３
中图分类号Ｔ２３Ｐ７
ＡｅｕｅＣｏｍｕｃｔｏｈｅｅＳｃｒｍｎｉａｉｎＳｃｍ
ＢａｅｎＦｕｚｙＳｎｈｒｎｚｔｏｆＲｏｓｅｙｅｃｏｉｙｓｅｓｄｏｚｙｃｏｉａｉｎｏｓｌｒＨｐｒｈａｔｃＳｔｍ
ｔｏｉｎ．
ＫｅｏｄＲｏｓｅｙｅｃａｔｃｓｓｅ，ｆｚｙｅｕｅｃｍｍｕｉａｉｎｙＷｒｓｓｌｒｈｐｒｈｏｉｙｔｍｕｚ，ｓｃｒｏｎｃｔｏＣｌｓｍｂｒＴＰ２３ａｓＮｕｅ７
湛江５４０）２０５
（海军工程大学电子工程学院” 武汉４０３）９８４队３０３（２５部
摘
要
在对Ｒｓｌ超混沌系统模糊建模的基础上，造了模糊调制过程的发射系统与接收系统，ｏｓｒｅ构并通过实现接收
系统与发射系统的同步来实现信号的解调，而实现了保密通信。在研究接收系统和发射系统的同步时，进运用精确线性化方法对同步误差系统进行了简化，通过Ｌａｕｏ并ｙｐｎｖ稳定性条件的推导确定了两个系统的同步条件，而得到了调制参数进矩阵的求解方法。仿真结果验证了该模糊混沌保密通信方案的有效性和实用性。关键词Ｒｓｌｒｏｓｅ超混沌系统；糊；模保密通信

一般复杂动态网络的混沌同步

J. Lu et al. / Physica A 334 (2004) 281 – 302
283
Fig. 2. Random graph network (source: Strogatz, Nature, Vol. 410, 2001).
A regular network is clustered, but does not exhibit the small-world e ect [5]. However, the random graph shows the small-world e ect, but does not show clustering. Recently, Watts and Strogatz [5] developed an interesting model of small-world networks. Shortly after, Newman and Watts [6] in some sense further improved the original WS model. Most of the recent work on small-world models were performed using the variant of the WS model: the NW model. Fig. 3 displays a typical small-world network. The small-world networks have intermediate connectivity properties but exhibit a high degree of clustering as in regular networks and a small average distance between two connected nodes as in random networks. It is demonstrated that, like power grids, neural networks, social networks and collaboration graphs of ÿlm actors, can be modelled using small-world networks. The spread of an epidemic is much faster in a small-world network than in a regular network and almost close to that of a random network [1,7,8]. Moreover, random graph model and the WS model are both exponential networks, which are homogeneous in nature. However, in many real networks, some nodes are more highly connected than the others, such as in the Internet, the WWW, and the metabolic network. That is, they are scale-free: the degree distributions of these networks follow a power-law form P (k ) ∼ k − for a large integer k , where P (k ) is the probability that a node in the network is connected to k other nodes, and is a positive real number [2]. The origin of such typical power-law degree distributions observed in networks was ÿrst addressed by BarabÃ asi and Albert, who argued that the scale-free nature of real networks is rooted in two general mechanisms: growth and preferential attachment [2,9]. Furthermore, a scale-free network is inhomogeneous in nature, and most nodes have very few connections but a small number of particular nodes have many connections, as shown by the example in Fig. 4.

复杂网络Rossler混沌动态系统的同步

河北工业大学硕士学位论文复杂网络Rossler混沌动态系统的同步姓名：孟卜娟申请学位级别：硕士专业：理论物理指导教师：张旭20070601河北工业大学硕士学位论文复杂网络Rossler混沌动态系统的同步摘要网络是能够较好的反映客观世界的一种数学模型，随着科学技术的发展，人们逐渐认识到许多现实中的复杂网络既不是完全规则的，也不是完全随机的。

复杂网络便成为许多领域科学家研究的热点。

其中复杂网络的同步机制是物理领域内的一个前沿课题。

这一领域的研究能够很好的解释许多现实网络机制，有着巨大的应用潜力。

本文主要以超小世界网络模型和一个NW型小世界网络模型为研究对象，通过数值模拟来研究这网络模型上的复杂动态系统的同步问题，并用理论分析加以证实。

其主要工作如下：第一部分引入一种新的复杂网络模型—超小世界网络模型，通过数字实验成功地实现了同构超小世界网络Rossler混沌动态系统的特殊的同步，然后通过理论分析，验证同步的稳定性与鲁棒性，并得出了此模型能够实现同步的条件。

第二部分在同构超小世界网络的基础上，构造出异构超小世界网络模型，即把同构网络模型的中央节点的Rossler振子换成Lorenz振子，同样通过数值模拟仍可以实现整个动态系统的同步；最后通过理论分析加以验证。

第三部分构造一个NW型小世界网络模型，同时采用两种不同性质的耦合，发现在一定条件下此模型上的Rossler混沌动态系统可以很快达到稳定性同步。

通过理论分析，来说明它与最近邻耦合网络模型上的动力系统的区别，并验证所研究的动力系统的同步稳定性。

关键词：复杂网络，超小世界网络模型，NW型小世界网络模型，同步，稳定性分析i复杂网络Rossler混沌动态系统的同步iiSYNCHRONIZATION OF ROSSLERCHAOTIC DYNIMICALSYSTEM IN COMPLEX NETWORKABSTRACTThe network is deemed to a kind of mathematical model, because it can reflect objectiveworld really. Along with the science and technology development, people know complex network in really world gradually, and find it isn't completely regular or completely random. The complex network has become a bit hot in many research fields. The synchronization of complex network is an advancing topic in physical realm. The research of this field can explain many realistic network mechanisms accurately, there is a huge applied potential.In this paper, we first make the smallest world network model and NW small world network model as research target; pass the numerical simulation to study the synchronization problem of complex dynamical system in complex network model. Then, we confirm the result of numerical experiment by the theoretic analysis. The fundamental works are summarized as follows: In the first part, we introduce a new network model—the smallest world network model. We carry out the synchronization of the Rossler dynamical system in isomorphic model of the smallest world network by numerical experiment, then, passing the theories analysis, we can verify the synchronous stability and the robustness. Draw the condition which the network can arrive synchronization.In the second part, we make isomorphic model of the smallest world network as foundation, construct isomerous model of the smallest world network: we replace the central node with Lorenz oscillator. We research the synchronization of isomerous dynamical system by numerical simulation, and prove the result of numerical experiment by theoretical method.河北工业大学硕士学位论文The third part is mainly connected with NW small world network. We construct a NW small world by special method. Let nodes of nearest neighbor couple by both-way intercoupling, but make long-range connection couple by one-way coupling. We can find the dynamical system can carry out synchronization in some condition. Then, passing the theory proving, make out this model differs from the nearest neighbor network. And we verified the Rossler dynamical system of this model having synchronization stability.KEY WORDS: complex network, the smallest world network, NW small world network, synchronization, stability analysisiii河北工业大学硕士学位论文第一章绪论§1-1复杂网络1-1-1研究背景近年来，随着人们对网络的不断认识,在国内外各领域内掀起了对各种复杂网络研究的热潮。