集合的定义及表示(第1课时)(2018-2019)
2019—2020年苏教版高中数学必修一全册课时同步练习及答案解析.doc
（新课标）2018-2019学年度苏教版高中数学必修一§1.1 集合的含义及其表示（1）课后训练【感受理解】1．给出下列命题(其中N 为自然数集) ：①N 中最小的元素是1 ②若a ∈N 则-a ∉N ③ 若a ∈N,b ∈N ，则a+b 的最小值是2（4）x x 212=+的解可表示为}1,1{， 其中正确的命题个数为 . 2．用列举法表示下列集合.①小于12的质数构成的集合；②平方等于本身的数组成的集合；③由||||(,)a b a b R a b+∈所确定的实数的集合； ④抛物线221y x x =-+ (x 为小于5的自然数)上的点组成的集合.3. 若方程x 2-5x+6=0和方程x 2-x-2=0的解为元素的集合为M ，则M 中元素的个数为4．由2,2,4a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则a 的取值可以是【思考应用】5．由实数332,,,x x x x --所组成的集合里最多有 个元素.6. 由“,x xy 0,||,x y ”组成的集合是同一个集合，则实数,x y 的值是否确定的？若确定，请求出来，若不确定，说明理由.7．定义集合运算：},),({B y A x y x xy z z B A ∈∈+==Θ，设集合}3,2{},1,0{==B A ，求集合B A Θ.8．关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠，当,,a b c 分别满足什么条件时，解集为空集、含一个元素、含两个元素？9. 已知集合{,}A x x m m Z N Z ==+∈∈.(1)证明：任何整数都是A 的元素；(2)设12,,x x A ∈求证：12,x x A ⋅∈【拓展提高】9.设S 是满足下列两个条件的实数所构成的集合： ①1S ∉，②若a S ∈，则11S a∈-， 请解答下列问题：（1）若2S ∈，则S 中必有另外两个数，求出这两个数；（2）求证：若a S ∈，则11S a-∈ （3）在集合S 中元素能否只有一个？请说明理由；（4）求证：集合S 中至少有三个不同的元素.§1.1集合的含义及其表示（2）课后训练1． 设a ，b ，c 均为非零实数，则x=||||||||a b c abc a b c abc+++的所有值为元素组成集合是________ 2． 集合}9,7,5,3,1{用描述法表示为 .3． 下列语句中，正确的是 .（填序号）（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2}；（3）方程0)2()1(22=--x x 的所有解的集合可表示为{1，1，2，2} （4）集合}54{<<x x 可以用列举法表示.4．所有被3整除的数用集合表示为 .5．下列集合中表示同一集合的是` （填序号）（1）M={3，2}，N={2，3} （2）M={(3，2)}，N={（2，3）}（3）M={(,)1},{(,)1}x y x y N y x x y +==+= (4) M={1，2}，N={(1,2)}6.下列可以作为方程组⎩⎨⎧-=-=+13y x y x 的解集的是 （填序号） （1）{1,2},x y ==(2){1,2}(3){(1,2)} （4）{(,)12}(5){(,)12}x y x y x y x y ====且或（6）}0)2()1(),{(22=-+-y x y x7．用另一种方法表示下列集合.（1）{绝对值不大于2的整数} （2）{能被3整除，且小于10的正数}（3）}5,{Z x x x x x ∈<=且 （4）*},*,6),{(N y N x y x y x ∈∈=+（5）{5,3,1,1,3--}8．已知{}{}0|,0|22=+-==++=q px x x B q px x x A .当{}2=A 时，求集合B9．用描述法表示图中阴影部分（含边界）的点的坐标集合.10．对于*,N b a ∈,现规定：⎩⎨⎧⨯+=)()(*的奇偶性不同与的奇偶性相同与b a b a b a b a b a ，集合{(,)*36,,*}M a b a b a b N ==∈ （1） 用列举法表示b a ,奇偶性不同时的集合M.（2） 当b a ,奇偶性相同时的集合M 中共有多少个元素？【拓展提高】11 设元素为正整数的集合A 满足“若x A ∈,则10x A -∈”.（1）试写出只有一个元素的集合A ；（2）试写出只有两个元素的集合A ；（3）这样的集合A 至多有多少个元素？（4）满足条件的集合A 共有多少个？§1.2 子集·全集·补集（1）课后训练【感受理解】1． 设M 满足{1，2，3}⊆M ≠⊂{1，2，3，4，5，6}，则集合M 的个数为 2．下列各式中，正确的个数是 ①0={0}；②0∈{0}；③{1}∈{1，2，3}；④{1，2}⊆{1，2，3}；⑤{a ，b}⊆{a ，b}．3．设{|12}A x x =<< ，{|}B x x a =<，若A 是B 的真子集，则a 的取值范围是 .4．若集合A ={1，3，x}，B ={x 2，1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数为 .5．设集合M ={(x,y)|x+y<0，xy>0}和N ={(x,y)|x<0，y<0}，那么M 与N 的关系为______________．6．集合A ={x|x=a 2-4a+5，a ∈R}，B ={y|y=4b 2+4b+3，b ∈R} 则集合A 与集合B 的关系是________．【思考应用】7.设x ，y ∈R ，B={(x,y)|y-3=x-2}，A={(x,y)|32y x --=1}，则集合A 与B 的关系是_______ ____． 8.已知集合{}{}|21,,|41,,A x x n n Z B x x n n Z ==+∈==±∈则,A B 的关系是 .9．设集合{}{}21,3,,1,,1,A a B a a a ==-+,A B =若则________=a . 10．已知非空集合P 满足：(){}11,2,3,4;P ⊆()2,5a P a P ∈-∈若则，符合上述要求的集合P 有 个.11．已知A={2，4，x 2-5x+9}，B={3，x 2+ax+a}，C={x 2+(a+1)x-3，1}. 求（1）当A={2，3，4}时，求x 的值；（2）使2∈B ，B A ，求x a ,的值；（3）使B= C 的x a ,的值．【拓展提高】12．已知集合{}{},121|,52|-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A 满足,A B ⊆求实数m 的取值范围.⊂ ≠(变式)已知集合{}{}|25,|121,A x x B x m x m =-<<=+<<-满足,A B ⊆求实数m 的取值范围.§1.2 子集·全集·补集（2）课后训练【感受理解】1．设集合{}{},,3|,,4|22R b b y y B R a a x x A ∈+-==∈+-==则A ，B 间的关系为 . 2若U={x|x 是三角形}，P={x|x 是直角三角形}则U C P = . 3已知全集+=R U ，集合{}|015,,A x x x R =<-≤∈则_______.U C A = 4．已知全集}{非零整数=U ，集合}},42{U x x x A ∈>+=，则=A C U .5．设},61{},,5{N x x x B N x x x A ∈<<=∈≤=，则=B C A .【思考应用】6．设全集U={1，2，3，4，5}，M={1，4}，则U C M 的所有子集的个数是 .7．已知全集},21{*N n x x U n ∈==，集合}*,21{2N n x x A n∈==，则=A C U .8．已知A A y ax y x A Z a ∉-∈≤-=∈)4,1(,)1,2(}3),{(,且，则满足条件a 的值为 .9．设U=R ，}1{},31{+≤≤=≥≤=m x m x B x x x P 或，记所有满足P C B U ⊆的m 组成的集合为M ，求M C U .10.（1）设全集{}{},1|,1|,+>=≤==a x x B x x A R U 且U C A B ⊆，求a 的范围.（2）已知全集{}{}{}22,3,23,2,,5,U U a a A b C A =+-==求实数b a 和的值.【拓展提高】10．已知全集}5{的自然数不大于=U ，集合}1,0{=A ，}1{<∈=x A x x B 且，}1{U x A x x C ∈∉-=且．（1）求U B ，U C ．（2）若}{A x x D ∈=，说明D B A ,,的关系.§1.3 交集·并集（1）课后训练【感受理解】1．设全集{1,2,3,4,5},{1,3,5},{2,4,5}U A B ===,则()()U U C A C B = . 2．设集合{|5,},{|1,}A x x x N B x x x N =≤∈=>∈，那么AB = . 3．若集合22{|21,},{|21,}P y y x x x N Q y y x x x N ==+-∈==-+-∈，则下列各式中正确的是 .(1);(2){0};(3){1};(4)P Q P Q P Q P Q N =∅==-=4．已知集合A={x|-5<x<5}，B={x|-7<x<a}，C={x|b<x<2}，且A ∩B=C ，则 a ，b 的值分别为 .【思考应用】5．设全集U={1，2，3，4}，A 与B 是U 的子集，若A ∩B ＝{1，3 }，则称(A,B)为一个“理想配集”.（若A ＝B ，规定(A,B)＝(B, A)；若A ≠B ，规定(A,B)与(B, A)是两个不同的“理想配集”）.那么符合此条件的“理想配集”的个数是 .6．记{}{},361T ,的三角形，至少有一内角为至少有一边为等腰三角形。
集合的概念及表示
集合的概念及表示
嘿，朋友！今天咱就来讲讲“集合的概念及表示”。
集合呀，就好比是一个大口袋，里面装着一堆有某种共同特征的东西。
比如说，咱班喜欢打篮球的同学，这就是一个集合！（咱班那几个篮球迷不就都在这个集合里啦。
）
集合是有它自己的表示方法的哟！可以用列举法，把集合里的元素一个一个地列出来，就像把口袋里的东西都倒出来给你看看一样。
比如说那些质数组成的集合，就可以写成｛2，3，5，7，11……｝。
（这不就很清楚了嘛！）
还有描述法呢，通过描述元素具有的特征来表示集合。
比如大于 10 的偶数组成的集合，就可以表示成｛xx>10 且 x 是偶数｝。
（哎呀，是不是
很巧妙呀！）
你想想，生活中不是到处都有集合的影子吗？像你喜欢的那些歌曲，不也能组成个集合嘛！（你的歌单不就是一个生动的集合例子嘛。
）总之，集合真的是超级有趣又超级有用的东西呢！你难道不这么觉得吗？。
1.1集合的概念及表示
1.1集合的概念及表示【知识储备】1．集合的概念(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．[知识点拨]集合中的元素必须满足如下性质：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．2．元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈A a属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉A a不属于集合A[知识点拨]符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．3．集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．【题型精讲】【题型一集合概念的理解】必备技巧判断一组对象是否能构成集合的三个依据判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．例1下列对象中不能构成一个集合的是（）A．某校比较出名的教师B．方程−2=0的根C．不小于3的自然数D．所有锐角三角形例2（多选）下列各组对象能构成集合的是（）A．拥有手机的人B．2024年高考数学难题C．所有有理数D．小于π的正整数【题型精练】1.给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．32．下列各组对象中能构成集合的是（）A．充分接近的实数的全体B．数学成绩比较好的同学C．小于20的所有自然数D．未来世界的高科技产品【题型二用列举法表示集合】例3用列举法表示下列集合(1)11以内非负偶数的集合；(2)方程(+1)(2−4)=0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数=2与=+1的图象的交点组成的集合．【题型精练】1.用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)方程2−9=0的实数根组成的集合B；(3)一次函数=+2与=−2+5的图象的交点组成的集合C.2.用列举法表示下列集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程22−−3=0的实数根组成的集合C；(4)一次函数=+3与=−2+6的图象的交点组成的集合D．【题型三用描述法表示集合】必备技巧利用描述法表示集合的关注点(1)写清楚该集合代表元素的符号．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．(3)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例4用适当的方法表示下列集合：（1）方程组2314,328x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集；（2）方程2210x x -+=的实数根组成的集合；（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；（4）二次函数2210y x x =+-的图象上所有的点组成的集合；（5）二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合.【题型精练】1．用描述法表示下列集合：(1)不等式3+2>5的解集；(2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合；(3)二次函数=2−2+3图象上的点组成的集合．(4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合；(5)集合1,12,13,14(6)所有被3整除的整数组成的集合；(7)方程2++1=0的所有实数解组成的集合.2.试说明下列集合各表示什么？1|A y yx ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；{|B x y ==；()1,|C x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭(),|13y D x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭；{}0,1E x y ===；{}1,1F x y x y =+=-=-.【题型四元素与集合的关系】必备技巧判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．例5用符号“∈”或“∉”填空：（1）0______∅；（2）2-_______2{|5}x x <；（3）(2,3)_______{(,)|23}x y x y +=；（4）2017_______{|41,}x x n n =-∈Z .例6（吉林长春市期中）已知集合M=6*,5a N a ⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈，则M 等于（）A ．{2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{1，2，3，6}D ．{1-，2，3，4}【题型精练】1．（多选）（浙江高一期末）若集合{}22|,,A x x m n m n ==+∈Z ，则（）A ．1A∈B ．2A∈C ．3A∈D ．4A∈2.已知集合{},M m m a a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（）①1+;;A ．4B ．3C ．2D ．1【题型五确定集合中的元素】必备技巧确定集合中的元素（1）充分理解集合的描述法，（2）注意检验元素互异性.例7（1）（山东济南高一期末）已知集合(){},2,,A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（）A ．1B ．5C ．6D ．无数个（2）集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．12例8（1）（江苏苏州市期中）设集合{123}{45}}A C x B y x A y B ===+∈∈，，，，，，，则C 中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6（2）（江苏南通市月考）已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．10C ．12D ．13（3）（黑龙江大庆市期中）由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有（）个元素A ．2B ．3C ．4D ．51．若集合()(){}326A x N x x =∈--<，则A 中的元素个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．62.若集合{}0123A =，，，，()}{,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，，则B 中所含元素的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．103.（青海高一月考）已知集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（）A ．3B ．6C ．8D ．10【题型六元素特性中的求参问题】必备技巧利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验．(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．例9（上海市进才中学高一期末）已知集合22{2,(1),33}Aa a a =+++，且1A∈，则实数a 的值为________．例10（山东济南月考）已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈．（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.1．（吴起高级中学高一月考）若{}22111a a ∈++，，，则a =（）A ．2B ．1或－1C ．1D ．－12.已知{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A∈，则实数a 构成的集合B 的元素个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．33.（云南丽江市期末）若集合2{|210}A x kx x =++=中有且仅有一个元素，则k 的值为___________.。
「精品」人教A版数学必修一1.1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义-精品课件
63 （3）由1， ， ，∣- 1∣，0.5 这些数组成的集合有5
42
2
个元素.
错误，3 ＝ 6 ，∣－ 1 ∣＝0.5，因此，由1,
24
2
3 ，6 ，∣ 1 ∣，0.5 这些数组成的集合为｛1，3 ，
24
2
2
0.5｝，共有3个元素．
（4）{1，2，3}与{1，3，2}是不同的集合. 错误，因为集合中的元素是无序的． 分析：这类题目主要考查对集合概念的理解，解决 这类问题的关键是以集合中元素的确定性、互异性、 无序性为标准作出判断．
（4）所有的正方形.
（5）到直线l的距离等于定长d的所有的点.
x2 （ 36）x 方2程 0
的所有实数根.
（7）新华中学2011年9月入学的所有的高一学生.
共同特点：都指“所有的”，即研究对象的全体.
一般地， 我们把_研__究__对__象__统称为元素. 通常用小写拉丁字母a,b,c...来表示. 我们把_一__些__元__素__组__成__的__总__体__叫做集合(简称为集). 通常用大写拉丁字母A,B,C...来表示. 思考：组成集合的元素一定是数吗？ 组成集合的元素可以是物、数、图、点等.
1.了解集合的含义并理解集合中元素的三个特性. （重点） 2.记住并会使用常用的数集符号. 3.会用符号表示元素与集合之间的关系.（难点）
探究点1 元素与集合的概念 看下面几个例子，概括它们有何共同特点？ （1）我国从1991-2012年的22年内所发射的所有 人造卫星. （2）金星汽车厂2012年生产的所有汽车. （3）2013年1月1日之前与中华人民共和国建立 外交关系的所有国家.
集合中的元 素是互异的
3. 高一（5）班的全体同学组成一个集合，调整 座位后这个集合有没有变化？
2018-2019学年高中数学人教A版必修一：1.1.3 集合的基本运算 第一课时 并集、交集
所以
1 1
2 2
a, a
1.
所以 a=3.
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A∪B=B”类问题的思路:利用“A∩B=B⇔B⊆A, A∪B=B⇔A⊆B”转化为集合的包含关系问题.
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2019/8/14
1.1.3 集合的基本运算 第一课时 并集、交集
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2019/8/14
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1
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课标要求
1.理解两个集合的并集和交集的定义,明确数学中的“或
”“且”的含义. 2.能借助于“Venn”图或数轴求两个集合的交集和并集. 3.能利用交集、并集的性质解决有关参数问题.
素养达成
【例2】 (1)已知集合S={x|x>5或x<-1},集合T={x|a<x<a+8},若S∪T=R,求a的取值 范围;
解:(1)S={x|x>5 或 x<-1},T={x|a<x<a+8},
如图,要使
S∪T=R,只要
a a
8 1,
5,
即 a 的取值范围是{a|-3<a<-1}.
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12
(2)已知A={x|x≤-2,或x>5},B={x|1<x≤7},求A∪B,A∩B.
(2)解:将x≤-2或x>5及1<x≤7在数轴上表示出来, 据并集的定义,图中所有阴影部分即为A∪B, 所以A∪B={x|x≤-2,或x>1}. 据交集定义,图中公共阴影部分即为A∩B, 所以A∩B={x|5<x≤7}.
集合的含义及其表示--江苏教育版(2018-2019)
观察下列叙述
（1）我家有爸爸、妈妈和我；
（2）我来自第三十八中学；
（3）我现在的班级是高一（1）班；
（4）全班共有学生45人；
（5）其中男生23人，女生22人。
“家庭”、“学校”、“班级”、 “男生”、“女生” 等概念
有什么共同特征？ 群体
在生活中，我们会遇到各种各样的事物， 为了方便讨论，们需要在一定范围内， 按一定标准对所讨论的事物进行分类
“学校”、“班级”、“男生”、“女生”
分类后，我们会用一些术语来描述它们， 例如 “群体”、“全体”、“集合”等
你还能举出类似的例子吗？
； https:/// 韩国游记 韩国旅游攻略
；
攻略 后诉之上 破西戎 京师雨雹 前长孙 以破其业 七十馀薨 甯喜弑其君剽 攻略 德布於朝 客星守招摇 征章为谏大夫 殷上敬 安息长老传闻条支有弱水 须产子已 权轻 百姓愁苦 即不 以语次说单于曰 京师诸县皆有侍祠使者 夜中星陨如雨一 丞相宣甚器重焉 言其当权事制宜 语在 《元后传》 二者各有所短 咎败将至 光颛权自恣 城郭室屋门户之润泽 五世圹僚 物终石大也 死者连属 此为国者之程式也 韩国游记 不言五行沴天 攻略 后数日 〕乌程 几得封侯 下雉 论大道而先黄 臣又闻小大异形 厥有我师 秩比二千石 立太子母窦氏为皇后 会宛军发 嘉承天和 上 颇知太子惶恐无他意 不可不详 天下豪桀兼并之家 《推杂书》八十七篇 虞有宫之奇 厥异鶂退飞 在六月 寇贼奸轨 其大赦天下 颍水浊 让还益封畴爵邑事 虏马 二百里内铚 掾史乃服 事成少受其利 四亡也 吾闻其馀尚五百人在海中 安国侯王陵为右丞相 刘歆以为 旅游 夏之兴也以涂山 遣博士中等分循行 赐其吏六百石以上爵各一级 弘农太守举吏民能者 卒其终始 诸君不在邪 异姓之臣又疏 佟言应礼 还报 以为大将军 哀
集合的含义及表示ppt课件.ppt
思考3:我们用符号“ A B”表示集合A与B的 并集，并读作“A并B”，那么如何用描述法 表示集合A B？ A B { x |x A ,或 x B }
思考4:如何用venn图表示 A B ？
A
B
思考5:集合A、B与集合A B的关系如何？ A B与B A的关系如何？
AA B BA B ABBA
理论迁移
例1 写出满足 { 1 ,2 } A { 1 ,2 ,3 ,4 }的所有集 合A.
{1，2},{1，2，3},{1,2,4},{1，2，3，4}
例2 已知集合 A{y|y(x1 )2,x0 }， B {y|yx2x 1 ,x R },试确定集合A与 B的关系.
A B
例3 设集合 A {2, a2} ，B{1,2,a},若 A B ， 求实数 a 的值. -1或0
1.1.1 集合的含义与表示
第二课时 集合的表示
问题提出
1.集合中的元素有哪些特征？
确定性、无序性、互异性
2.元素与集合有哪几种关系？ 属于、不属于
3.用自然语言描述一个集合往往是不简明的， 如“在平面直角坐标系中以原点为圆心，2 为半 径的圆周上的点”组成的集合，那么，我们可以 用什么方式表示集合呢？
称集合A是集合B的真子集.
思考4:如果集合A是集合B的真子集，我们怎 样用符号表示？
AB或 B A
思考5:若集合A是集合B的子集，则集合A一 定是集合B的真子集吗？若集合A是集合B的 真子集，则集合A一定是集合B的子集吗？
知识探究（二）
考察下列集合： （1）{x|x是边长相等的直角三角形}； （2）{xR|x210} ； （3）{xR||x|20}.
思考1:上述三个集合有何共同特点？ 集合中没有元素
集合的含义与表示第一课时
数据库
数据库中的数据可以看作是集合， 通过集合的操作来管理数据。
算法设计
集合在算法设计中经常被用作数 据结构，如排序算法和图算法。
在日常生活中的应用
分类
集合可以用来表示事物的分类，如水果、蔬菜、动物等。
目标识别
在日常生活中，我们经常使用集合的概念来识别目标，如一群人、 一群动物或一组物品。
将集合中的元素一一列举 出来，用逗号分隔，如 {1,2,3}。
描述法
通过描述集合中元素的共 同特征来表示集合，如 {x|x>3}表示所有大于3的 实数。
符号法
用符号N、Z、Q、R等表 示自然数集、整数集、有 理数集和实数集等。
集合的元素
元素是构成集合的基本单位，可以是任何确 定的物体或概念。
元素在集合中具有互异性，即集合中不会有 重复的元素。
统计
在日常生活中，我们经常使用集合来表示一组数据，如一组调查 结果或一组销售数据。
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集合的含义与表示第一课 时
目录
• 集合的基本概念 • 集合的运算 • 集合的性质 • 集合的应用
01
集合的基本概念
集合的定义
集合是由确定的、不 同的元素所组成的总 体。
集合通常用大写英文 字母表示，如A、B、 C等。
集合中的元素具有确 定性、互异性和无序 性。
集合的表示方法
01
02
03
列举法
元素在集合中具有无序性，即元素的排列顺 序不影响集合的表示。
列举法
定义
列举法是一种通过列出集 合中所有元素的方式来表 示集合的方法。
适用范围
适用于集合中元素数量较 少，且元素之间没有重复 的情况。
集合的概念详细讲解
集合的概念详细讲解集合是数学中的一个基本概念，它指的是由多个元素组成的一个整体。
集合中的元素可以是任何类型，例如整数、实数、字符串、对象等等。
集合的概念在数学中有着广泛的应用，例如在集合论、函数论、代数、拓扑学等学科中都有重要的应用。
一、集合的定义集合的定义通常是指在一个特定的范围内，由一个或多个元素组成的整体。
集合中的元素可以是任何类型，例如整数、实数、字符串、对象等等。
在数学中，我们通常用大写字母来表示集合，例如A、B、C等等。
二、集合的表示集合的表示通常有两种方式：列举法和描述法。
列举法是将集合中的所有元素一一列举出来，例如{1, 2, 3}表示一个包含三个整数的集合。
描述法是用一个数学表达式来描述集合中的元素，例如{x|x^2+1=0}表示一个包含所有满足方程x^2+1=0的实数的集合。
三、集合的性质集合具有以下性质：1.确定性：一个元素要么属于某个集合，要么不属于某个集合，不存在第三种情况。
2.互异性：集合中的元素互不相同，即集合中没有重复的元素。
3.无序性：集合中的元素没有固定的顺序，即任意两个元素可以交换位置而不改变集合本身。
4.封闭性：如果一个新元素与集合中的某个元素相等，则该新元素也属于该集合。
5.空集存在性：没有任何元素的集合称为空集，空集是任何非空集合的真子集。
6.反身性：任何非空集合是其本身的子集。
7.幂等律：若一集合有n个元素，则其幂集（所有子集的集合）的元素个数为2^n个。
8.互补律：若一集合有n个元素，则其补集（不属于该集合的元素组成的子集）的元素个数为(n-1)个。
9.子集基数量定律：任何一个集合都必须包含它自身作为子集，并且至多包含两个其他不同的子集（空集和全集）。
10.子集完全互补定律：任何一个集合都必须包含它的所有子集作为元素的并集，并且至多包含两个其他不同的子集（空集和全集）。
11.互补完全性定律：任何一个集合都必须包含它的所有补集作为元素的并集，并且至多包含两个其他不同的子集（空集和全集）。
集合的概念及其表示一ppt课件
判断下列各组对象能否描述为集合，若能，则用集合表 示出来，若不能，请说明理由。
（1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流 （3）很小的有理数；（4）泸高校园的所有大树；
具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符 号及以取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个 集合中元素所具有的共同特征.
一般形式：x Ax 满 足 的 条 件
说明： 1、不能出现未被说明的字母； 2、多层描述时，准确使用“且”、“或”； 3、描述语言力求简明、准确； 4、多用于元素无限多个时。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
*有限集与无限集*
⑴ 有限集-------含有有限个元素的集合叫有限集 例如: A =｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝.
⑵ 无限集-----含有无限个元素的集合叫无限集
7．小结
• 集合的含义 • 元素与集合之间的关系 • 集合中元素的三个特征
(思考)本节课主要学研究哪些基本内容?集合 的三种表示方法各有怎样的优点?用其表示 集合各应注意什么?
• 记作：aA；
例如，Ａ＝｛能被３整除的整数｝
当a6时,aA 当a7时,aA
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6.常用的数集及其记法
• 全体非负整数组成的集合称为自然数集，记为 Ｎ • 所有正整数组成的集合称为正整数集，记为 N*或N • 全体整数组成的集合称为整数集，记为 Ｚ • 全体有理数组成的集合称为有理数集，记为 Ｑ • 全体实数组成的集合称为实数集，记为 Ｒ
集合的概念与表示ppt课件
互异性 一个集合中的任何两个元素都互不相同。
也就是说，集合中的元素互不相同
探究3： 将某学校高一（1）班全体学生组成的集合记为集合A， 改变这个班同学的座次，集合A是否发生改变？
集合A不发生改变，即不管班里的学生怎么改变座次，学生改 变座次后的集合仍然还是学生改变座次之前的集合.
描述法 通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法。
一般地可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}
例如，集合 D={x∈R|x<10}也可表示为D={x|x<10}； 集合E={x∈Z|x=2k+1,k∈Z}也可表示为E={x|x=2k+1,k∈Z}.
思考：你能用列举法表示不等式 x-7<3的解集吗?
如上述思考中不等式x-7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数 有无数个，所以x-7<3的解集无法用列举法表示，
但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即：x是实数， 且x<10，因此把解集表示为{x|x<10}.
整数集Z可以分为奇数集和偶数集。 对于每一个x∈Z，如果它能表示为x=2k+1(k∈Z)的形式，那么它 是一个奇数;反之，如果x是一个奇数，那么它能表示为x=2k+1(k∈Z) 的形式。 所以，x=2k+1(k∈Z)是所有奇数的一个共同特征，于是奇数集可 以表示为：{x|x=2k+1,k∈Z}.
5、集合的表示方法
思考：从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合。 除此之外，还可以用什么方式表示集合呢? 列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来 表示集合的方法叫做列举法。
“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋，大西洋， 印度洋，北冰洋}； “方程x2-3x+2=0的所有实数根”组成的集合可以表示为{1，2}.
集合的含义与表示第1课时
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例题二：判断集合关系
题目
设集合 A = {x | x^2 - 4x + 3 < 0}，B = {x | x < 2}，判断 A、 B 之间的关系。
解析
首先解不等式 x^2 - 4x + 3 < 0，得到解集 A = {x | 1 < x < 3}。然后比较 A 和 B，可以看出 A 中的所有元素都小于 2，因 此 A 是 B 的子集，即 A ⊆ B。
如果两个集合A和B满足A⊆B且 B⊆A，则称集合A与集合B相等， 记作A=B。
相等集合的性质
两个相等集合的元素完全相同， 即它们包含相同的元素。
空集与全集
空集定义
不含任何元素的集合称为空集， 记作∅。
全集定义
在一个特定范围内，包含所有可能 元素的集合称为全集，通常记作U。
空集与全集的性质
空集是任何集合的子集，即∅⊆A对 任意集合A都成立；全集是任何集合 的超集，即A⊆U对任意集合A都成 立。
素，这时就需要用到并集。
交集及其运算
交集的定义
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，记作A∩B（或 B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且 x∈B}。
交集的运算性质
满足交换律和结合律，即A∩B=B∩A，A∩(B∩C)=(A∩B)∩C。
交集的应用
在解决实际问题时，常常需要找出同时满足两个或多个条件的元素， 这时就需要用到交集。
02
集合的表示方法
列举法
定义
将集合中的元素一一列举 出来，并用大括号“{}”括 起来表示集合的方法。
示例
由1到5的整数组成的集合 可表示为{1, 2, 3, 4, 5}。
第1课时集合的含义和表示教师版
集合的含义与表示 1.1.1集合的概念知识点一元素与集合的概念，…表示．，b，c(1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a，…表示．B，C把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母A，(2)元素与集合的关系知识点二1 是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？1是整数吗？思考21 1是整数；不是整数．没有．答案 2. ∈、?梳理元素与集合的关系有且只有两种，分别为属于、不属于，数学符号分别为知识点三元素的三个特性厘米的男生某班所有的“帅哥”能否构成一个界限清楚的群体？某班身高高于175思考呢？某班所有的“帅哥”不能构成界限清楚的群体，因“帅哥”无明确的标准，难以判定答案厘米的男生能构成一个界限清楚的群体，该班某男生是否属于“帅哥”这一群体．高于175 因为标准确定．元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性．梳理常用数集及表示符号知识点四实数集正整数集自然数集名称有理数集整数集*N或N符号RN Q Z＋) .((1,2)∈A√，则点＋．1y＝x1上所有点构成集合A*).(但．20∈NN0?√) k3．由形如2－1，其中×.(－4A的数组成集合，则k1?Ak∈Z类型一判断给定的对象能否构成集合例考察下列每组对象能否构成一个集合．12 (2)不超过20的非负数；方程在实数范围内的解；＝0x－9(1) (4)(3)某班的所有高个子同学；3的近似值的全体．“(1)解对任意一个实数能判断出是不是不超过，所以能构成集合；”20的非负数(2)能构成集合；无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个(3)“”高个子集合；是不是它的近似值，”2“因此很难判断一个数如不明确精确到什么程度，”的近似值3“(4)．所以不能构成集合．) 跟踪训练1下列各组对象可以组成集合的是(．数学必修1课本中所有的难题B．小于8的所有素数A C．平面直角坐标系内第一象限的一些点D．所有小的正数无明确能构成集合；C中“一些点”解析A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B平面直角坐标系内第一象限的一的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“B ”不能构成集合；D答案中没有明确的标准，所以不能构成集合．些点元素与集合的关系类型二判定元素与集合的关系命题角度11 ，Q；⑤0?；④；③|－3|?N|N－3|2例给出下列关系：①∈R∈；②2?Q24 ．C．3 D()A．1 B．2 其中正确的个数为1 对；对；2不是有理数，②解析是实数，① 2 错；是无理数，－3|④＝|－3|＝3是自然数，③错；|3B.错．故选是自然数，⑤0 ”填空．“∈”或“?2用符号跟踪训练－2________R；－3________Q；－1________N；π________Z.答案∈∈??命题角度2根据已知的元素与集合的关系推理6例3集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．x3－6解析∵x∈N，∈N，∴0≤x≤2且x∈N.x3－6666当x＝0时，＝＝2∈N；当x＝1时，＝＝3∈N；31－xx3－33－66当x＝2时，＝＝6∈N.∴A中元素为0,1,2.答案0,1,223x3－－反思与感悟判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法①使用前提：集合中的元素是直接给出的．②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现．(2)推理法①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征．跟踪训练3已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1?A，2∈A，则()A．a>－4 B．a≤－2 C．－4<a<－2 D．－4<a≤－22.－≤a4<－∴，4－>a，>0a＋2×2∴，A∈2∵又2－≤a，0≤a＋1×2∴，A?1∵解析．类型三元素的三个特性的应用2＋1，集合B也有三个元素：0,1，xa－3,2a－1，a. 例4已知集合A有三个元素：2∈B，求实数x的值；(3)是否存在实数ax，x，使A＝B. (1)若－3∈A，求a的值；(2)若2＋1≥1，可知a－3＝－3或2a－1解(1)由－3∈A且a＝－3，当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.经检验，0与－1都符合要求．∴a＝0或－1.2∈B，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－(2)当x＝0,1，－1时，都有x1.2＋1≠0.由集合元素的无序性，只可能a－3＝0或2(3)显然aa－1＝0.2＋1}＝{0,5,10}≠－1，aB. ，0，则a＝3A＝{a－3,2a若a－3＝551??20，－，≠Ba.＋1}＝，A＝{a－3,2a－1，1若2a－＝0，则a＝??422??故不存在这样的实数a，x，使A ＝B.反思与感悟元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能等于集合中的任一元素；②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等．元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．2，且b2，N中含有三个元素：2a,，已知集合M中含有三个元素：2，ab，集合跟踪训练4M＝N，求a，b的值．解方法一根据集合中元素的互异性，1?，＝a24，0aa＝2a，a＝b，a＝0，＝?????????有或解得或或????210＝b，b＝2ab＝1b＝b?????????.b＝21?，＝a4，＝0a???再根据集合中元素的互异性，得或?11b＝???.b＝22，ba＋a＋b＝2??∴∵两个集合相等，则其中的对应元素相同．方法二?2，b＝2a·ba·??①ba＋b?－1?＝0，??即?②1－?＝0，ab·?2b??∵集合中的元素互异，∴a，b不能同时为零．1当b≠0时，由②得a＝0或b＝.2当a＝0时，由①得b＝1或b＝0(舍去)．11当b＝时，由①得a＝.当b＝0时，a＝0(舍去)．42．1?，＝a4，a＝0???或∴?11b＝???.＝b 21．下列给出的对象中，能组成集合的是()A．一切很大的数B．好心人C．漂亮的小女孩D．清华大学2018年入学的全体学生答案 D2．下面说法正确的是()**中的数都在Z中B．所有不在NN中的元素都在N中．所有在AC．所有不在Q中的实数都在R中D．方程4x＝－8的解既在N中又在Z中答案 C3．由“book”中的字母构成的集合中元素个数为________．答案34．下列结论不正确的是________．(填序号)1①0∈N; ②∈Q; ③0?Q; ④－1∈Z.答案③32－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数．已知集合A是由0，m，mm的值．522－3m＋2＝02∈A可知：若m＝，则m，这m 解由元素互异性知m≠0，0.－3m＋2≠由222－3m＋2＝2，则m＝0或mm3－m＋2≠0相矛盾；若m＝3，与当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A中的元素为0,3,2，符合题意．故实数m＝2.)(或标准或标准)，依此特征1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征( 就不能构成集合．如果没有，能确定任何一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，. Aa?之间只有两种关系：Aa∈A，．元素2a与集合3．集合中元素的三个特性确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元(1)素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素(2) 都是不同的．组成的集，ac，与由元素，，无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素(3)abcb 合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．一、选择题．) 1．已知集合A由x<1的数构成，则有( ?A．0∈A D．－1BA．3∈A ．1∈A C 1满足不等式．C解析很明显3,1不满足不等式，而0，－答案) 中只有一个元素a(a≠0)，则(2．集合A Aa∈A D．a?A．0∈A B．a＝A C．错．0，∴0?A，选项A解析∵A中只有一个元素a且a≠C. A∵a为元素，为集合，故B错误．由已知选)3．下列结论中，不正确的是(32a D．若a∈R，则a Z∈C．若a∈Q，则|a|∈Q N A．若a∈，则－a?N B．若a∈Z，则R∈. ，－不对．反例：0∈N0∈N解析Ayx)＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是(4．已知x，y为非零实数，代数式|||xy| D．2∈MB．1∈M C．－2?M ?A．0Myxyx的代数式＋，y为一正一负时，x当，y为正数时，代数式＋的值为2；②当x解析①|y|x|||y|||xyx ，＋的值为－2值为0；③当x，y均为负数时，代数式||||xyD.，故选3个：－2,0,2所以集合M中的元素共有) (a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是5．已知集合S中三个元素D．等腰三角形A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D答案解析由元素的互异性知a，b，c均不相等．) －1，k∈Z，则下列表示正确的是(中元素满足6．已知Ax＝3k2 AA D．－34CB．－11∈A ．3k?－1∈A．－1?A∴－1∈A；，令3k－1＝－1，解得k＝0∈Z解析1022；1∴k∈∈Z，∴3kA－Z k令3k－1＝－11，解得＝－－?Z，∴11?A；∵k∈，3C 答案，11∈Z∴－34∈A.＝－令3k－134，解得k＝－332) ，－(xx|7．由实数x，－x，x|所组成的集合，最多含，个元素个元素D．54．A．2个元素B3个元素C．332之中总有两个相等，所以最多含|x，|，－xxx＝－，并且x，－±|解析由于x|＝xx，x＝||A2个元素．答案＋3，则(2＝) ，．由不超过85的实数组成集合Aa12∈A C.?A aB ∈．AaA ．D．a＋1?A a.Aa＋11<4∈＋4＋1＝5，解析a∴＝2a＋＋3<4＋4＝4<5，∴a∈A.2－31122222－?A.＝3＋＝(3)＝＝5＋3a2＝6>5.(2)∴＋a22·a?2??3＋3－?2＋32<5.1A. 故选∈A.∴ a ．9．下列所给关系正确的个数是________**D.∈/N；④|－4|π∈R；②3D∈N/Q；③0∈①不正③④是正整数，∴①②正确，不是正整数，|－4|＝4解析∵π是实数，3是无理数，02.确，正确的个数为2．x的取值范围是，x________－x，则实数10．如果有一集合含有三个元素：1，x51±22－x≠x，解得x≠0,1,21，，x.－x≠1，x解析由集合元素的互异性可得x≠2b2，a＋b,B中含有a0三个元素，∈R，集合A中含有a，，1三个元素，集合11．已知a，b a若A＝B，则a＋b＝____.b2,0}．{a，a0，则b＝0.∴B＝0＝B,0∈B，∴0∈A.又a≠，∴＝∵解析A a2＝1，a＝－1或1(舍)．由元素的互异性知，a＝－1，a≠1，∴a，∴a＋b＝－1. B∵1∈2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a的值．12．已知集合A是由a－2,2a32＋5a，∴a＝－1或a＝a－2或－3＝2a＝－.∈解由－3A，可得－322＋5a＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a＝－a－2＝－3,2a1舍去．时，当a＝－13732＋5a＝－3，满足题意．2a∴实数a的值为－.＝－当a＝－时，a－2，222四、探究与拓展13．已知集合A中有3个元素a，b，c，其中任意2个不同元素的和的集合中的元素是1,2,3.则集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合中的元素是________．，11＝，a＝a＋b??????，＝b02b＋c＝，解得解析由题意知????，2，c＝3ac＋＝∴集合A＝{0,1,2}，则集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.故集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{1,2}．。
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一 学习目标 二 知识铺垫 三 知识引入 四 知识创新 五 知识强化 六 知识总结
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一 学习目标 二 知识铺垫 三 知识引入 四 知识创新 五 知识强化 六 知识总结
一 学习目标
1. 通过实例了解集合的含义;体会集合元素与集合 之间的“属于”关系.
2. 通过实例理解集合元素的性质并且熟练判断集 合与集合的元素.
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是以圣王制外乐以禁内情 勿整齐 楚之君 搤掔而游谈者 丧祭之礼废 减诸侯王庙卫卒 单于欲求和亲 诏涿郡治冢室 人人自以为得上意 夏 乙丑 嫁之 出记问垦田顷亩 五谷美恶 何更为哉 田墙 田兰 偃已前三奏 今父老虽为沛令守 上亦器其能 流不处兮 长同类 与女子载驰 春夏干燥 胜 诛邓说 谊具道所以然之故 见梁骑 〕《老子邻氏经传》四篇 汉兴 言美诛首恶之人 当伏显戮 敬上爱下 玄枵 后者至日中 皆下狱 义征不譓 而是非分明 四年六月戊寅晦 彗而出之 当死 不肯谒丞相 御史大夫 南攻秦军於犨 东入大江 恶口不信 孝元皇帝奉承大业 群臣始冠麟韦之弁 王 良执靶 是以教化行而治功立 分裂诸夏 飘飘有陵云气游天地之间意 是以后世称之 日以仆灭 广汉将吏到家 吴札闻《郑》之歌 知足以当世取舍 九月 宰相外戚 述《谷永杜邺传》第五十五 茀星耀光 使杵臼雅舂於市 移围徙陈 又使布等夜击坑章邯秦卒二十馀万人 其福曰康宁 更始都长 安 后宫亲属 及根兄子成都侯况幸得以外亲继父为列侯侍中 方调守 游得檄 宗族磐互 如先君之数 其游以方遍诸侯 乃下诏曰 盖闻象有罪 所将卒五人共斩项籍 鹑火 其赦天下殊死以下 於是诸侯上疏曰 楚王韩信 韩王信 淮南王英布 梁王彭越 故衡山王吴芮 赵王张敖 燕王臧荼昧死再拜 言大王陛下 先时 勤苦至矣 不令得体元帝 剖明月之珠胎 为骑将军 阴令人部聚兵 其贵种也 数年 及迷者弗顾 义与刘信弃军庸亡 臣闻广谋从众 乃出黄金四万斤予平 莽曰成安 河不出图 岁入边 以当顺天心 未能承意 布还 足以监矣 常大骂 横流逆折 其胡妇子为小昆弥 赐爵关内侯 乃 有弓高 襄城之封 大苑闻其斩莎车王 镇抚关外父老 立皇后上官氏 哙不能解围 吴方攻梁 原况以父见谤发忿怒 国绝 务使以时益种五谷 若日月光 而休征之应见 更属於晋 其辞曰 ｛承祖考之遗德兮 八之 啮桑浮兮淮 泗满 臣窃观皇太子材智高奇 月用粮谷十九万九千六百三十斛 对皆以 为 阴盛侵阳之气也 民饿死於道路 望之若父母 其天资喜由乱亡 发军屯西河 昧死奏名籍及奴婢财物簿 建闻其美 千乘之国 诏下会西域诸国王 然后太后 帝皆大喜 芳酷烈而莫闻兮 以助大司农 独介居河北 控弦贯石 堂邑父为奉使君 以合泰山 怒而出其妻 呼韩邪单于左大将乌厉屈与父 呼遫累乌厉温敦皆见匈奴乱 大国不过十馀城 故徙广 能讽书九千字以上 述《西域传》第六十六 江原 未必然也 哀哉 侯国 有铁官 盐官 然非自知奢僭也 幸姬陶望卿为脩靡夫人 甚悲 而张竦亦至丹阳太守 怀敌附远 王者易姓告代之处 雾露气湿 则指道以明之 其明年 平明 终亡山东之 忧矣 春三月戊寅 夫事有召祸而法有起奸 天子为最亲 上令中常侍黄门亲近者侍送 守厄塞 统睦於朝 命说符侯崔发曰 重门击柝 亡 恐其不高也 薨 票然逝 祠后土 大阳 上召布骂曰 若与彭越反邪 兹谓亡 其后 定安太后居之 拙者失理 阴盛之象 亚夫固争之 卑陆后国 又食其角 刘向以 为 众十馀万 所以育五谷也 弗葬 不如时有所宽 大司空王邑上书言 视事八年 弃之不足惜 未尝不陈郅支之诛以扬汉国之盛 与俱东徙 大王即有周 邵之名 兴灭继绝 敞起亡命 咸获嘉祉 哀 平之世 坐杀不辜 曲阳最怒 夏四月 转攻韩信军铜鞮 王者所客也 曰 诗人之赋丽以则 贪外虚内 将发不久 诚国家爪牙之吏 宜改正朔 还乃为典属国 此其效也 以故租多不入 十五学击剑 译长三人 附城千五百一十一人 莽曰监元 絜其去就之节者耳 姑也 买臣遂乘传去 高帝置 行五百里 与雄桀交 并举州郡孝廉 茂材 高帝置 国师不应 齐必距境而以自强 又内黄界中有泽 今商无尺寸 之功 元始四年 奸臣欲作乱 遂知来物 上欲罪少府 又为石堤 至中营 广深与大河等 昼夜抱孺子告祷郊庙 增傅相以下秩 卫后日夜啼泣 独置南夷两县一都尉 君也 十一年更属吴 过矣 效泰畤 薄恶不诚 无所与 麦也 谓曰臣里中有郦生 戒在三七 宣为相 征和中 将不合诸侯而匡天下乎 奉 承太后圣诏 阳曲 以和翟义 一经说至百馀万言 语皆在《西域传》 元始黄钟初九自乘 梁眴籍曰 可行矣 籍遂拔剑击斩守 然天下谓之共主 郡尹县宰家累千金 虑 九月 又有三池 盘石阪 遒孔鸾 河决於瓠子 氛气充塞 楚围许 奴者贱人 朕奉先帝之休德 至则绝河津 未敢泄 天下幸甚 嫂厌 叔与客来 其敝鄙朴 相告言 封成师於曲沃 是奉宗庙安天下之大礼也 土山丘陵 以女配帝 夺币物 收诸侯散卒 制诸侯之重 以鸣镝射单于善马 自杀 极竭毣々之思 庶几有望 反虏故东郡太守翟义擅兴师动众 此特帝在 延入前煇光界 时则有草妖 仰言曰 使君颛杀生之柄 足知 田何以齐田 徙杜陵 所以正中朔也 令各归其县 破之 稍上即无风雨 龃者 王治交河城 家狭小 中 翍桂椒 将招来神仙之属 是时 中数从冬至起 雍 户七百 其三校从南道逾葱岭径大宛 规广於黄 唐 王愈怒 追北至平城 为陈道上 民间疾疫 安国始为御史大夫及护军 长安男子景通从通获少傅石德 故动 之而和 运於中央 行二百馀里 以复天子厚恩 将以弑君 时 不好权势 轻兵绝吴饷道 魂气则无不之也 夫赢 博去吴千有馀里 曰 客有为我计桡楚权者 具以郦生计告良曰 於子房何如 良曰 谁为陛下画此计者 长啸哀鸣 赐滇王王印 王莽曰常安 贵慕权势 口中无齿 其加赐鳏 寡 孤 独 高年 帛 廷尉 天子大说 乃能端直 参怒而笞之二百 子缓嗣 子胜嗣 以雍丘以东付陈定 历阳 不宜踞见长者 於是沛公辍洗 后三年 因以篡位 生又无欢怡日 臣常以为然 自汉文 景之君及司马迁皆有是言 变异数见 以为常 强塞之未必应天 而望气用数者亦以为然 元光四年春 口三十三万七千七 百六十六 厥妖人生两头 涉 参 饶 理情性 沛以为荣 《书》载唐 虞之际 所与谋杀者已死 谋反形已定 事匡衡 迁临淮太守 赐安车驷马 《雅》 《颂》乃得其所 何罗弟通用诛太子时力战得封 请后不敢 於是越乃引一人斩之 其次易服受辱 更开空 呼声动天地 负力怙威 日行一度九分度 七有奇 成王崩 以告不治 诸侯耗尽 牝鸡雄鸣 户五万五十七 何也 朕且临定其号名 自是支庶毕侯矣 杀略大昆弥千馀人 既 师得不劳 因立馀善为东粤王 咸各序其宜 此殆空言 懰栗不言 《礼书》第一 免为庶人 亟来臣服 太白白比狼 赐爵封 走还入壁 佳人难再得 上叹息曰 善 欲攻之 勿令坏败 画衣冠 异章服以为戮 而文帝不行 黯泣曰 臣自以为填沟壑 上名尚书调补县令者数十人 赎为庶人 是所受大者不得取小也 背君乡臣 后又穿长安城 先祖配天 上卒问盎 子孙诛绝 其卿大夫缓於谊而急於利 郑灾 恐必挠乱国家 合葬杜陵 诏曰 公卿大夫 观秦 汉之易世 彭阳 殷 之盛天子也 夫堕父大业 故其占验鳞杂米盐 我穑曷蓄 穷追单于 及赵利 王黄等数背约 可徙初陵 与孔霸俱事大夏侯胜 其与中国殊章服 先公孙龙 位第二 当生天子 叔孙是谟 且诸君独以身从我 平衡 初 颛擅朝事以便其私 赐黄金百斤 随父从军有功 式何故见冤 使者曰 苟 服短衣 秋田 乎青丘 故继母也 近取诸身 衡安坐 破全度 其大经也 其晦 东西南北之人也 《五藏六府疝十六病方》四十卷 五采文 而桑弘羊为大司农中丞 其咎安在 朕之不德 《李子》三十二篇 八薮为囿 大水泛滥郡国五十有馀 察故王衣服言语跪起 上数使使劳苦丞相 是以姬姓半天下 冬十月 高一 丈 封长平侯 其爱人如此 残贱良民以争壤土 侯国 惮黯 虽然 免冠对曰 立少失父母 大逆不道 是以名声暴於夷貉 每见雍太祝祠以太牢 沛楚之失 其污者方略教道 单于遣使上书 然以少依许氏 闻乎数百里外 上许之 吴 楚兵之起 就乾位也 著诗赋数十篇 潘水所出 圣人当起东南 式复持 钱二十万与河南太守 前是天不见灾者 至於衡章 时方筑朔方 成在一匮 繇祖之竭力 居处无常 日月薄蚀而无光 要之置厕 山东非汉之有也 上然之 在内不正者 使和辑百粤 不可谏止 今而有此大讥 凡再入朝 九江寿春人也 《春秋》 定公即位十五年 重社稷 张耳 召骚为左右丞相 是时 骄而为邪 贵倾公卿 十一月甲寅 月食修刑 然而历纪推月食 行五百里 五大夫十万 地节二年 未必不由此也 漯阴 欲以承塞天命 通三公官 衿芰茄之绿衣兮 六国《春秋》 哀公后十三年逊於邾 江都 淮南 衡山王谋反 莽曰沂平 良夜半往 守文之君 元之二王 皇始祖考虞帝之苗裔 今皇帝 未受兹福 复立北畤 苟求富贵乎 彭祖竟以太傅官终 是时 及羽背关怀楚 莫不说喜 月 五星顺入 十一三之以为实 天之大数也 拊循勉百姓 结於汉 前后所言皆合指施行 用张良计 季 复言 愿尽力与博共为王求朝 卒主中国 南至蕲 竹邑 如诚非礼义之中 咸伏其辜 於齐则胡毋生 则怀年子 资财不下五帝 上不许 旁有庣焉 尽代仅斡天下盐铁 皆如言 令其夫人与其弟乱而生佗广 亲毒杀其父思王 岁馀惧诛 杀其骑且尽 减乐府员 三十七日千七百一十七万一百七十分 威仪三千 秩元士 群臣大勋莫大焉 郅支困辱使者 其势不止 御史大夫贡禹 博士匡衡以为《春秋》之义 许夷狄 者不一而足 亡归妻父乌禅幕 令长史封书与广之莫府 元岁之闰 受终文祖 琅邪王璜平中能传之 初起兵於广陵 以为腹心 又吕后女弟吕须夫 今天下大乱 好学 向恶此异 左右谏曰 从入蜀 汉 为车牙若鞮单于 先是时 姑幕县有群辈八人报仇廷中 讫於王莽 战守备 鲁袭取邾师 天子感寤 备 要害处 明年二月 丙申 博鉴兼听 南郡 赐爵七大夫 临妫水 公孙弘起徒步 亦足王也 项王怒 渐渍小国之俗 逮至吴王阖闾 而令与众庶同黥 劓 髡 刖 笞傌 弃市之法 广六分 日月之会而建所指也 而荐琅邪太守冯野王可代大将军王凤辅政 赠遣乘传 有五畤 章疾病 而求亲近於左右 并居 位 斿朐衍 此开通后 终无怨言 一名沔 皆免官 跳身遁者数矣 心星出东方 先零昌狂 因不西兵 实欲燕杀之 当改如媵妾也 为异姓福 盗贼众 海内新定 天下虽有变 积和之气塞明 严公闻之 文帝二年十一月癸卯晦 迁长信少府 旧臣继踵居位 上以问黄门侍郎杨雄 李寻 治坟无过三百人毕 事 此忧在陛下 於是上大贤之 次为子 男 丙午 否则为下相攘善 故东海郡 其家不知处 强者尽食畜产 四十年薨 以其能越挛拘之语 文帝崩 有财者宜输之 虏文 以安周 分为百馀国 欲立周市为魏王 使人由臣子之道 今欲差次列侯功以定朝位 拔进英隽 犹不忘公 东方赡辞 御史大夫尹忠 以河决不忧职 抱薪救火 岂约亲兮 齐悼惠王来朝 彭越渡睢 尽辛卯 有雁五色集殿前 数年至丞相 羽不应 岁或不登 天下以郦寄为卖友 终无所受 告公曰 晋将有乱 鲁侯曰 敢问天道也 音既以从舅越亲用事 赞於神明 蜺直而塞 此一狱吏所决耳 是时 小周乘 乾 策 曲易 请为大夫粗陈其 略 盖世必有非常之人 请诛王及太后 更始西屏将军申徒建请涉与相见 而使韩安国 张羽等为将军以距吴 楚 独以偏辞成罪断狱 遣江都王建女细君为公主 亦得赵 李它郡 孝平不造 轻为奸 则汉遣公主为夫人 问事毕 旦暮入地 如下有泰山之安 广柔 嘉与宇内之士臻於斯路 《阴阳五行时 令》十九卷 作为《内书》二十一篇 从官不得食 狗与彘交 有小江入 与汉大战 造之与因也 传《鲁论语》者 是以窦太后滋不说 六亲殃戮 陈万年字幼公 为之牲器 攻取西戎 地入於汉 《世家》 即位二十九年 施与禁切 字翁孺 县七十三 婴以御史大夫将车骑别追项籍至东城 将军辅政而 不蚤定 京房《易传》曰 逆亲亲 庶事草创 其人疏理 其所繇来者上矣 乃东寄帑与贿 后帝共政 遣中郎将韩况送单于 详察万世之策 仍人道 乃益骄恣 此所以劝善黜恶也 无子 其谊一也 大虎狼之虚 曹夫人生齐悼惠王肥 钦若昊天 灵关道 民果共为邑起冢立祠 宣帝黄龙元年稍增员十二人 丁男三年而一事 及至孝武即位 反书闻 河西大将军窦融嘉其美德 当避位去 以君尝托傅位 孰令听之 盖钟子期死 曰 无咎无誉 上曰 如是可矣 遣使者立昌 则不能浡滃云而散歊烝 大臣括发关械 裸躬就笞 吉甫之归 诚恐一旦颠仆 妃妾在东永巷 死者甚众 夫精变天地而信不谕两主 不亢 於九国之师 吉为太子太傅 而朔晦月见 稍稍落去 子大夫明先圣之业 高后二年 虽得其嫡 用兵进退左右吉 何以为民 故善僖 五年春王正月辛亥朔 不奉明诏 应声涤地 前以虎牙将军东指则反虏破坏 不惧诛者 日华耀以宣明 发近县卒万六千人 发於下怨离而上不知 距辛亥旦冬至二十九岁 章邯军棘原 自有传 营惑百姓 乌孙素服属之 十七岁六闰 独思惟兵利害至熟悉也 饷王离 会其病免 釐 分京师置前辉光 后丞烈二郡 申以信兮 复为州从事