兰州一中2010-2011学年第一学期高一年级期末数学试题

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甘肃省兰州一中高一上学期期末考试(数学).doc

甘肃省兰州一中高一上学期期末考试（数学）说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）.第I 卷（选择题）一、选择题(每小题3分，共30分，将答案写在答题卡上) 1．右图是由哪个平面图形旋转得到的( )2. 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有( )A ．4条B . 6条C . 8条D . 10条 3．直线10x +-=的倾斜角是( )A ．30ｏB ．1C ．135ｏD ．150ｏ4．直线3x +4y -13=0与圆1)3()2(22=-+-y x 的位置关系是：（）A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法判定 5. 设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是( )A ①和②B ②和③C ③和④D ①和④6．直线330x y +-=与直线610x my ++=平行，则它们之间的距离为( )A ．4 BCD7．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45ｏ，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A. 2BCD. 18．如下图，正方体ABCD -A 'B 'C 'D '中, 直线D 'A 与DB 所成的角为( )A ．30ｏB ．45ｏC ．60ｏD ．90ｏ9. 如上图，一个简单空间几何体的三视图中，其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则其侧面积是( )A ．12B . 8CD 10. 若直线l 与直线y =1和x -y -7=0分别交于A 、B 两点，且AB 的中点为P (，则直线l 的斜率等于( )A ．32B ．-32C ．23D ．-23第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题4分，共将答案写在答题卡上）11．过点（1，3）且与直线210x y +-=垂直的直线方程是 .12．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为．13 在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为，其余各棱长都为2，则二面角A -BD -C 的大小为 .14．两圆相交于点A （1，3）、B （m ，－1），两圆的圆心均在直线x －y +c =0上，则m +c = . 15．已知两个平面垂直，给出下列一些说法：①一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④在一个平面内过该平面内的任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的说法的序号依次是 .三、解答题(共50分) 16.（本小题8分）如图，四棱锥ABCD 中，底面ABCD 是正方形，O 是正方形ABCD 的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．求证：（1）PA ∥平面BDE ；（2）平面PAC 平面BDE.17.（本小题10分）已知线段AB的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，且∣AB∣=2.（1）求线段AB的中点P的轨迹C的方程；（2）求过点M(1，2)且和轨迹C相切的直线方程.18．（本小题10分）（1）求经过直线l1：x + y– 1 = 0与直线l2：2x– 3y + 8 = 0的交点M，且与直线2x + y + 5 = 0平行的直线l的方程;（2）已知点A(1，1)，B(2，2)，点P在直线l上，求∣PA∣2+∣PB∣2取得最小值时点P的坐标.19. （本小题12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，AA1=1，E是A1C1与B1D1的交点.（1）作出面A1BC1与面ABCD的交线l，并写出作法；（2）若以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，试写出B，E两点的坐标，并求BE的长；（3）求BC1与面BDD1B1所成角的正切值.（本小题10分）已知圆C过点M（0，-2）、N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上.（1）求圆C的方程；（2）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l 垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题(每小题3分，共30分)11．2x-y+ 1=0 12． 3：1：2 13．60°14. 3 15．②④三、解答题(共50分)16.（本小题8分）证明：(1)连结OE．∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．………………………4分(2) ∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC PO=O，∴BD⊥平面PAC．而BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．……………8分17.（本小题10分）解: (1) 方法一：设P(x , y ),∵∣AB∣=2,且P为AB的中点，∴∣OP∣=1 ……………………2分∴点P的轨迹方程为x2+y2=1. ……………………5分方法二：设P(x , y )，∵P为AB的中点，∴A (2x , 0 ), B(0 , 2y ), ………………………2分又∵∣AB∣=2∴(2x)2+(2y)2=2 ………………………4分化简得点P的轨迹C的方程为x2+y2=1. ……………5分(2) ①当切线的斜率不存在时，切线方程为x=1,由条件易得 x =1符合条件; ………………7分②当切线的斜率存在时，设切线方程为 y -2=k (x -1) 即kx -y +2-k =01=得k =34,∴切线方程为y -2=34 (x -1)即 3x -4y +5=0综上，过点M (1，2)且和轨迹C 相切的直线方程为： x =1 或3x -4y +5=0 ……………………10分18.（本小题10分）解：(1) 102380x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得⎩⎨⎧=-=21y x所以交点为（－1，2）……………3分 ∵所求直线与直线2x + y + 5 = 0平行， ∴2-=k∴直线方程为02=+y x ……………………5分 (2) 设P (t ,-2t ) 则2222222(1)(21)(2)(22)10610PA PB t t t t t t +=-+--+-+--=++当310t =-时，22PB PA +取得最小值，∴33(,)105P -…………………………10分19.（本小题12分）解：(1)在面ABCD 内过点B 作AC 的平行线BE ，（或过点B 作A 1C 1的平行线）则此平行线即为所求作的交线l . …………4分(2) B ( 2 , 2 , 0 ) ， E ( 1 , 1 , 1 ) …………6分BE…………………………8分(3)连接BE ，∵C 1E ⊥B 1D 1, C 1E ⊥BB 1 ∴C 1E ⊥面BDD 1B 1 ，∴∠C 1BE 为BC 1与面BDD 1B 1所成的角, …………10分又∵C 1E， BE∴ tan ∠C 1BE=1C E BE==…………………12分本小题10分）解：（1）设圆C 的方程为：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0则有--1024-201030DE EF D E F ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪+++=⎪⎩ …………………2分解得644D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩……………………………4分 ∴圆C 的方程为：x 2+y 2-6x +4y +4=0 …………5分（2）设符合条件的实数a 存在，由于l 垂直平分弦AB ，故圆心(3, 2)C -必在l 上．所以l 的斜率2PC k =-，而1AB PC k a k ==-，所以12a =． …………7分把直线ax -y +1=0 即y =ax +1．代入圆C 的方程，消去y ，整理得22(1)6(1)90a x a x ++-+=．由于直线10ax y --=交圆C 于,A B 两点，故2236(1)36(1)0a a ∆=--+>，即20a ->，解得0a <．则实数a 的取值范围是(,0)-∞．…………………9分由于1(, 0)2∉-∞，P的直线l垂直平分弦AB．………10分故不存在实数a，使得过点(2, 0)。

甘肃省兰州一中度高一数学上学期期末考试

兰州一中2010-2011-1学期高一年级期末数学试题说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）.第I 卷（选择题）一、选择题(每小题3分，共30分，将答案写在答题卡上)1．右图是由哪个平面图形旋转得到的( )A． B. C. D.2. 长方体ABCD-A1B1C1D1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有( )A．4条 B. 6条 C. 8条 D. 10条3．直线10x-=的倾斜角是( )A．30ｏB．120ｏC．135ｏD．150ｏ4．直线3x+4y-13=0与圆1)3()2(22=-+-yx的位置关系是：（）A．相离B．相交C．相切D．无法判定5. 设m、n是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题：④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ其中正确命题的序号是( )A ①和②B ②和③C ③和④D ①和④6．直线330x y+-=与直线610x my++=平行，则它们之间的距离为( )俯视图正视图侧视图C ' A A ' C B DB ' D ' A ．4B ．C ． D．7．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45ｏ，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( ) A. 2+B.C.D. 18．如下图，正方体ABCD-A'B'C'D'中, 直线D'A 与DB 所成的角为( ) A ．30ｏ B ．45ｏ C ．60ｏ D ．90ｏ9. 如上图，一个简单空间几何体的三视图中，其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则其侧面积是( )A ．12B. 8D.10. 若直线l 与直线y=1和x-y-7=0分别交于A 、B 两点，且AB 的中点为P(1,-1)，则直线l 的斜率等于( )A ．32B ．-32C ．23D ．-23第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题4分，共20分，将答案写在答题卡上）11．过点（1，3）且与直线210x y +-=垂直的直线方程是 .12．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为．13 在四面体ABCD 中，已知棱AC 其余各棱长都为2，则二面角A-BD-C 的大小为 . 14．两圆相交于点A （1，3）、B （m ，－1），两圆的圆心均在直线x －y+c=0上，则m+c=. 15．已知两个平面垂直，给出下列一些说法：①一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④在一个平面内过该平面内的任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确的说法的序号依次是.兰州一中2010-2011-1学期高一年级期末数学试题答题卡第I 卷（选择题）第II卷（非选择题）二、填空题（每小题4分，共20分）11．12．13．14．15．三、解答题(共50分)16.（本小题8分）如图，四棱锥ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC⊥平面BDE.PA B CDEO已知线段AB的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，且∣AB∣=2.（1）求线段AB的中点P的轨迹C的方程；（2）求过点M(1，2)且和轨迹C相切的直线方程.18．（本小题10分）（1）求经过直线l1：x + y – 1 = 0与直线l2：2x – 3y + 8 = 0的交点M，且与直线2x + y + 5 = 0平行的直线l的方程;（2）已知点A(1，1)，B(2，2)，点P在直线l上，求∣PA∣2+∣PB∣2取得最小值时点P 的坐标.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，AA1=1，E 是A1C1与B1D1的交点.（1）作出面A1BC1与面ABCD 的交线l ，并写出作法；（2）若以D 为坐标原点，分别以DA,DC,DD1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，试写出B ，E 两点的坐标，并求BE 的长；（3）求BC1与面BDD1B1所成角的正切值.E DC AA B D1 C B1已知圆C过点M（0，-2）、N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上.（1）求圆C的方程；（2）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．兰州一中2010-2011-1学期高一年级期末考试数学参考答案一、选择题(每小题3分，共30分)二、填空题（每小题4分，共20分）11．2x-y+ 1=0 12．3：1：2 13．60°14. 3 15．②④三、解答题(共50分)16.（本小题8分）证明：(1)连结OE．∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．………………………4分(2) ∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC PO=O，∴BD⊥平面PAC．而BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．……………8分17.（本小题10分）解: (1) 方法一：设P(x , y ),∵∣AB∣=2,且P为AB的中点，∴∣OP∣=1 ……………………2分∴点P的轨迹方程为x2+y2=1. ……………………5分方法二：设P(x , y )，∵P为AB的中点，∴A (2x , 0 ), B(0 , 2y ), ………………………2分PA B CDEO又∵∣AB ∣=2∴(2x)2+(2y)2=2 ………………………4分化简得点P 的轨迹C 的方程为x2+y2=1. ……………5分 (2) ①当切线的斜率不存在时，切线方程为x=1,由条件易得 x=1符合条件; ………………7分 ②当切线的斜率存在时，设切线方程为 y-2=k(x-1) 即kx-y+2-k=01=得k=34,∴切线方程为y-2=34 (x-1)即 3x-4y+5=0综上，过点M(1，2)且和轨迹C 相切的直线方程为： x=1 或3x-4y+5=0 ……………………10分18.（本小题10分）解：(1) 102380x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得⎩⎨⎧=-=21y x 所以交点为（－1，2）……………3分 ∵所求直线与直线2x + y + 5 = 0平行， ∴2-=k∴直线方程为02=+y x ……………………5分 (2) 设P(t,-2t) 则2222222(1)(21)(2)(22)10610PA PB t t t t t t +=-+--+-+--=++当310t =-时，22PB PA +取得最小值，∴33(,)105P -…………………………10分19.（本小题12分）解：(1)在面ABCD内过点B作AC的平行线BE，（或过点B作A1C1的平行线）则此平行线即为所求作的交线l. …………4分(2) B( 2 , 2 , 0 ) ，E ( 1 , 1 , 1 ) …………6分…………………………8分(3)连接BE，∵C1E⊥B1D1, C1E⊥BB1∴C1E⊥面BDD1B1 ，∴∠C1BE为BC1与面BDD1B1所成的角, …………10分又∵∴ tan∠C1BE=1C EBE==…………………12分20.（本小题10分）解：（1）设圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0则有--1024-201030DEE FD E F⎧+=⎪⎪+=⎨⎪+++=⎪⎩…………………2分解得644DEF=-⎧⎪=⎨⎪=⎩……………………………4分∴圆C的方程为：x2+y2-6x+4y+4=0 …………5分（2）设符合条件的实数a存在，由于l垂直平分弦AB，故圆心(3,2)C-必在l上．所以l的斜率2 PCk=-，而1ABPCk ak==-，所以12a=．…………7分把直线ax-y+1=0 即y=ax +1．代入圆C的方程，消去y，整理得22(1)6(1)90a x a x++-+=．由于直线10ax y--=交圆C于,A B两点，EDCAA BD CB1故2236(1)36(1)0a a ∆=--+>，即20a ->，解得0a <．则实数a 的取值范围是(,0)-∞．…………………9分由于1(, 0)2∉-∞，故不存在实数a ，使得过点(2, 0)P 的直线l 垂直平分弦AB ．………10分。

甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷(PDF版,含解析)

兰州一中2023-2024-1学期期末考试试题高一数学说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间 120分钟. 答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．己知集合(){}N |30P x x x =∈−≥，{}2,4Q =，则()N P Q ⋃=（） A ．{}1,4B ．{}0,2,4C ．{}0,1,2,4D ．{}1,2,42．坐标平面内点P 的坐标为()sin 5,cos5，则点P 位于第（）象限. A ．一B ．二C ．三D ．四3．若()2222mmy m m x +=−−是幂函数，且在()0,∞+上单调递增，则m 的值为（）A ．(2,3)B ．(3,4)C ．(4,5)D ．(5,6)A ．()3cos f x x =B ．()3sin f x x =C ．()3cos 3f x x =+D ．()sin f x x =二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．若log 0a b <，则函数()x f x a b =+的大致图象是（）A ．B ．．．下列说法错误．．的是（．若α终边上一点的坐标为)，则3cos 5α= ．若角α为锐角，则2第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)(0,1)上()3xf x=，则四、解答题：本题共6分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤2兰州一中2023-2024-1高一期末考试试题(答案)高一数学命题：石磊审题：达志虎周莉说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项符合题目要求. 所以{}N1,2P =()N P Q ⋃=【详解】3π25<<0，则点P 位于第二象限，【详解】因为(y =，0y x ==二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.⎤⎥⎦17,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.四、解答题：本题共6令sin u θ=，则[]1,1u ∈−，记()221h u u u λ=−+，[]1,1u ∈−，故只要()min 0h u ≥，①当1λ≤−时，()()min 1220h u h λ=−=+≥，解得1λ≥−，∴1λ=−，②当11λ−<<时，()()2min 10h u h λλ==−≥，解得11λ−≤≤，∴11λ−<<，③当1λ≥时，()()min 1220h u h λ==−≥，解得1λ≤，∴1λ=．综合①②③得，11λ−≤≤．。

甘肃省高一上学期期末考试数学试题(解析版)

一、单选题1．关于命题“，”，下列判断正确的是（） x ∃∈N 220x x +=A ．该命题是全称量词命题，且是真命题 B ．该命题是存在量词命题，且是真命题 C ．该命题是全称量词命题，且是假命题 D ．该命题是存在量词命题，且是假命题【答案】B【分析】根据存在量词命题的定义及取可判断.0x =【详解】该命题是存在量词命题，当时，，所以该命题为真命题. 0x =220x x +=故选:B.2．设集合，，则（）{}2A y y x =={}2210B x x x =--<A B = A ． B ．C ．D ．()0,110,2⎛⎫ ⎪⎝⎭[)0,110,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【分析】求集合中函数的值域，解集合中一元二次不等式，得到两个集合，再求 A B A B ⋂【详解】函数值域为，∴， 2y x =[)0,∞+[)0,A =+∞不等式解得，∴， 2210x x --<112x -<<1,12B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则. [)0,1A B ⋂=故选：C3．下列函数为增函数的是（） A ． B ．()31log f x x=()3f x x =C ． D ．()sin f x x =()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据函数的单调性逐项判断即可.【详解】函数与在定义域内为减函数，不符合题意；()31log f x x =()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭函数在上为减函数，不符合题意；()sin f x x =π3π22⎛⎫⎪⎝⎭，根据幂函数的性质知为增函数.()3f x x =故选:B. 4．函数的部分图像大致为（）()22111x f x x +=-+A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用奇偶性和特殊点排除不符合的选项. 【详解】函数的定义域为，，因此()22111x f x x +=-+R ()()()2221211111x x f x f x x x -+-+-=-=-=+-+是上的偶函数，其图象关于轴对称，选项C ，D 不满足； ()f x R y 又，所以选项B 不满足，选项A 符合题意. ()1102f =>故选：A5．已知，，，则（） 0.32=a ln 0.2b =20.3c =A ． B ．C ．D ．a b c >>b a c >>c b a >>a c b >>【答案】D【分析】根据指数函数、对数函数与幂函数的性质比较即可. 【详解】因为，，， 0.321a =>ln 0.20b =<200.31c <=<所以. a c b >>故选:D.6．已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（） ()f x ()2,32()()110f a f ++->a A ． B ．C ．D ．()2,+∞()1,+∞()0,∞+()1,-+∞【答案】C【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，可得其为奇函数，且在上单调递增，R 可转化为，根据单调性即可求解.()()110f a f ++->()()11f a f +>【详解】设幂函数，其图象过点，所以，解得，()y f x x α==()2,32232α=5α=所以.()5f x x =因为，所以为奇函数，且在上单调递增，()()()5f x x f x -=-=-()5f x x =R 所以可化为， ()()110f a f ++->()()()111f a f f +>--=可得，解得，所以的取值范围为. 11a +>0a >a ()0,∞+故选:C.7．下列式子中，可以是函数为奇函数的充分必要条件为（） ()()cos 2f x x φ=+A ． B ． πϕ=3π2ϕ=C ．，D ．，ππ2k ϕ=+k ∈Z π2π2k ϕ=+k ∈Z 【答案】C【分析】利用三角函数的奇偶性和充要条件的定义判定即可．【详解】若为奇函数，则，解得； ()()cos 2f x x φ=+()0cos 0f ϕ==()ππ2k k ϕ=+∈Z 当时，有，则函数为奇函数. ()ππ2k k ϕ=+∈Z ()()cos 2sin 2f x x x ϕ=+=±()f x 所以函数为奇函数的充分必要条件为， ()()cos 2f x x φ=+()ππ2k k ϕ=+∈Z 故选：C8．已知函数满足，若与的图像有交点，()()f x x ∈R ()()2f x f x +-=1y x =+()y f x =()11,x y ，，则（）()22,x y ()33,x y 123123x xx y y y +++++=A ． B ．0C ．3D ．63-【答案】C【分析】两个函数图像都关于点对称，则图像交点也关于点对称，可求值. ()0,1()0,1【详解】由可得，()()2f x f x +-=()()2f x f x -=-函数的图像上任意一点关于点的对称点为，即点，()f x ()(),x f x ()0,1()(),2x f x --()(),x f x --由也满足函数解析式，可得函数的图像关于点对称，()(),x f x --()f x ()0,1函数的图像可以由奇函数的图像向上平移1个单位得到，所以函数的图像也关1y x =+y x =1y x =+于点对称，()0,1若与的图像有交点，，，不妨设，1y x =+()y f x =()11,x y ()22,x y ()33,x y 123x x x <<由对称性可得，，，，1302x x +=20x =1312y y+=21y =所以. 1231233x x x y y y +++++=故选：C二、多选题9．下列命题正确的是（） A ．若，，则 B ．若，则 0a b >>0m >a b m m>1a b <<33a b >C ．若且，则 D ．若正数a ，b 满足，则0x >1x ≠1ln 2ln x x +≥2a b +=112a b+≥【答案】AD【分析】由不等式的性质和基本不等式的运用，逐个判断选项. 【详解】由不等式的性质可知，A 正确，B 错误；当时，，C 错误； ()0,1x ∈1ln 0ln x x+<正数a ，b 满足，则， 2a b +=()1111222221121b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当时，等号成立，D 正确. 1a b ==故选：AD.10．设函数，则（）()()2ln 2f x x =-A ．是偶函数 B ．在上单调递减 ()f x ()f x ()0,∞+C ．的最大值为 D ．的一个零点()f x ln 2x ()f x 【答案】AC【分析】根据函数解析式，研究函数的奇偶性、单调性、最值和零点，验证各选项的结论.【详解】函数，由得的定义域为，关于坐标原点对称，()()2ln 2f x x =-220x ->()f x (又，所以为定义域上的偶函数，A 选项正确；()()f x f x -=()f x令，则，由二次函数的性质，当时，为增函数；当22t x =-ln y t =()x ∈22t x =-(x ∈时，为减函数；22t x =-在定义域内为增函数，由复合函数的单调可知，在上单调递增，在上单ln y t =()f x ()(调递减，B 选项错误；由函数单调性可知，最大值为，C 选项正确； ()f x ()0ln 2f =，解得，则的零点为，D 选项错误.()2ln 20x -=1x =±()f x 1±故选：AC.11．现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60℃.一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80℃，65℃，给出两个茶温T （单位：℃）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟，）的函数模型：①；②.根据所给的数据，t ∈N 380204t T ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭260203tT ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭下列结论中正确的是（）（参考数据：，） lg 20.30≈lg 30.48≈A ．选择函数模型① B ．选择函数模型②C ．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2分钟D ．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟【答案】AD【分析】将分别代入与，从而可判断AB ；解不等式2x =380204t T ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭260203tT ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭可得判断CD.38020604tT ⎛⎫=⋅+≤ ⎪⎝⎭【详解】将代入，得；2x =380204tT ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭65T =将代入，得. 2x =260203tT ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭1403T =故选择函数模型①.由，可得， 38020604tT ⎛⎫=⋅+≤ ⎪⎝⎭1lglg 22 2.532lg 2lg 3lg 4t ≥=≈-故该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分. 故选:AD.12．高斯是德国的天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数，其中不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作．如[]y x =[]x []20222022=，，，记函数，则（）[]1.71=[]1.52-=-()[]f x x x =-A ．B ．的值域为()2.90.9f -=()f x [)0,1C ．在上有5个零点 D ．，方程有两个实根()f x []0,5a ∀∈R ()f x x a +=【答案】BD【分析】根据高斯函数的定义，结合特殊点的函数值、值域、零点、方程的根、函数图象等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】，选项A 错误； ()[]()2.9 2.9 2.9 2.930.1f -=---=---=当时，， 10x -≤<[]1x =-()[]1f x x x x =-=+当时，，； 01x ≤<[]0x =()[]f x x x x =-=当时，，12x ≤<[]1x =()[]1f x x x x =-=-……以此类推，可得的图象如下图所示，()[]f x x x =-由图可知，的值域为，选项B 正确； ()f x [)0,1由图可知，在上有6个零点，选项C 错误；()f x []0,5，函数与的图象有两个交点，如下图所示， a ∀∈R ()y f x =y a x =-即方程有两个根，选项D 正确．()f x x a +=故选：BD三、填空题13．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图，这是折扇的示意图，已知为的中D OA 点，，，则此扇面（扇环）部分的面积是__________. 4OA =3π4AOB ∠=ABCD【答案】9π2【分析】利用扇形的面积公式可求得扇环的面积.【详解】. ()2213π9π42242ABCD AOB DOC S S S =-=⨯⨯-=扇环扇形扇形故答案为：. 9π214．已知，则__________.()sin cos 2sin cos f αααα+=πcos 4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】##12-0.5-【分析】利用同角三角函数的关系，求出函数解析式，再代入求值. 【详解】已知， ()sin cos 2sin cos f αααα+=因为，()2sin cos 12sin cos αααα+=+所以令，则，sin cos t αα=+()21f t t =-则. π11cos 1422f f ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭故答案为：12-15．已知，函数，已知有且仅有5个零点，则的取值范0a >2,0()πsin ,02π5ax a x f x ax x -+-<⎧⎪=⎨⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩()f x a 围为__________．【答案】191229,2,10510⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】当时，在上无零点，所以在上有且仅有5个零点；当2a ≥()f x (,0)-∞()f x [0,2π]2a <时，在上恰有一个零点，所以在上有且仅有4个零点，利用正弦函数的图象()f x (,0)-∞()f x [0,2π]列式可求出结果.【详解】当时，，令，得， 0x <()2f x ax a =-+-()0f x =21x a=-若，即时，在上无零点，所以在上有且仅有5个零点， 210a-≥2a ≥()f x (,0)-∞()f x [0,2π]当时，，所以，即. [0,2π]x ∈πππ,2π555ax a ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦π5π2π6π5a ≤+<1229510a ≤<若，即时，在上恰有一个零点，210a-<2a <()f x (,0)-∞所以在上有且仅有4个零点，所以，即， ()f x [0,2π]π4π2π5π5a ≤+<191255a ≤<又，所以. 2a <1925a ≤<综上所述：的取值范围为.a 191229,2,10510⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭故答案为：.191229,2,10510⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭四、双空题16．已知函数是奇函数，当时，，，则__________.当()f x (),0x ∈-∞()2xf x mx =+()11f =-m =时，__________.()0,x ∈+∞()f x =【答案】 ##12-0.5-122xx ---【分析】利用是奇函数，由，代入函数解析式解出的值；由()f x ()()111f f =--=-m (),0x ∈-∞时的函数解析式利用奇函数的性质求时的解析式.()0,x ∈+∞【详解】因为是奇函数，所以，解得；()f x ()()11112f f m ⎛⎫=--=--=- ⎪⎝⎭12m =-因为当时，，0x <()122xf x x =-当时，，则.0x >0x -<()()112222x xf x f x x x --⎡⎤=--=-+=--⎢⎥⎣⎦故答案为：；12-122xx ---五、解答题17．已知是第二象限角，且. α222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=(1)求的值；tan α(2)求的值.()()πsin sin π23π3cos cos 2αααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【答案】(1)；1tan 2α=-(2). 35【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化为关于的方程，根据所在的象限即可求解； tan αα（2）根据诱导公式可得原式，分子分母同时除以即可求解.cos sin 3sin cos αααα-=-+cos α【详解】（1）由，222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=可得，即， 2222sin 3sin cos 2cos 0cos ααααα--=22tan 3tan 20αα--=解得或.1tan 2α=-tan 2α=因为是第二象限角，所以.α1tan 2α=-（2）. ()()πsin sin πcos sin 1tan 323π3sin cos 3tan 153cos cos 2αααααααααα⎛⎫-++ ⎪--⎝⎭===-+-+⎛⎫-+- ⎪⎝⎭18．已知函数的定义域为集合，集合.()()ln 5f x x =-A {}21B x a x a =-<<-(1)当时，求；2a =()A B R ð(2)若命题：，是假命题，求的取值范围. p x A ∃∈x B ∈a 【答案】(1)； (){}35A B x x x ⋃=<≥R 或ð(2). (],1-∞【分析】（1）求出函数的定义域可得集合，代入，根据集合的补集与并集运算即可求()f x A 2a =解；（2）由题意可得，分与讨论列式即可求解.A B ⋂=∅B =∅B ≠∅【详解】（1）要使函数有意义，则解得，()f x 5010x x ->⎧⎨->⎩15x <<所以集合，. {}15A x x =<<{}15A x x x =≤≥R 或ð因为，所以. {}23B x x =-<<(){}35A B x x x ⋃=<≥R 或ð（2）因为命题：，是假命题，所以.p x A ∃∈x B ∈A B ⋂=∅当时，，解得；B =∅21a a -≥-13a ≤当时，则或，解得.B ≠∅215a a a -<-⎧⎨-≥⎩21211a a a -<-⎧⎨-≤⎩113a <≤综上，的取值范围为.a (],1-∞19．已知幂函数在上单调递增.()()2211m f x m x -=-⋅()0,∞+(1)求的值域； ()f x (2)若，，求的取值范围. 0x ∀>()222f x axx≥-a 【答案】(1) R (2) [)2,+∞【分析】（1）根据幂函数的定义及单调性列式求解即可；（2）由题意可得，，根据二次函数的性质求出的最大值即可. 0x ∀>242≥-a x x 242y x x =-【详解】（1）因为幂函数在上单调递增，()()2211m f x m x -=-⋅()0,∞+所以，解得，()211210m m ⎧-=⎪⎨->⎪⎩2m =所以.()3f x x =故的值域为. ()f x R （2）由题可得，，则， 0x ∀>22ax x≥-242≥-a x x 当时，有最大值2， 4122x =-=-⨯242y x x =-则，即的取值范围为. 2a ≥a [)2,+∞20．已知函数.()()22ln 12nf x x x =+-+(1)证明：当时，在上至少有两个零点；1n =()f x ()0,∞+(2)当时，关于的方程在上没有实数解，求的取值范围.2n =x ()f x m =[]1,2m 【答案】(1)证明见解析；(2).()(),362ln 2,-∞⋃++∞【分析】（1）通过零点存在性定理即可判断零点个数；（2）易判断函数的单调性，求出的值域，结合题设条件，即可求得的取值范围.()f x ()f x m 【详解】（1）当时，，1n =()22ln 2f x x x =-+因为，，， 2110e e f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭()110f =>()2e 4e 0f =-<所以，， ()110e f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭()()1e 0f f <因此，，，，即在上至少有两个零点. 11,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()21,e x ∈()10f x =()20f x =()f x ()0,∞+（2）当时，，易知在上单调递增.2n =()22ln 2f x x x =++()f x []1,2又，，即的值域为,()13f =()262ln 2f =+()f x []3,62ln 2+且关于的方程在上没有实数解，x ()f x m =[]1,2所以的取值范围为.m ()(),362ln 2,-∞⋃++∞21．对于函数，若在定义域内存在两个不同的实数x ，满足，则称为“类指数()f x ()2x f x =()f x 函数”．(1)已知函数，试判断是否为“类指数函数”，并说明理由； ()123x g x =-()g x (2)若为“类指数函数”，求a 的取值范围． ()21x a h x a =--【答案】(1)不是 “类指数函数” ()g x(2)()3-+【分析】（1）是否为“类指数函数”，可以转化为方程是否存在两个不同的实数()g x ()()0f x g x -=根；（2）是否为“类指数函数”，转化为方程是否存在两个不同的实数根，进一步()h x ()()0f x h x -=化简、换元转化为一元二次方程求解.【详解】（1）若函数为“类指数函数”，则在定义域内存在两个不同的实数x 满足方程()123xg x =-，. ()()0f x g x -=()()1223x x f x g x -=-+由于函数与在R 上均单调递增，所以在R 上均单调递增，至多有一个零2x y =13xy =-()()f x g x -点，所以不是 “类指数函数”.()g x （2）若函数为“类指数函数”，则方程有两个不同的实数根，即方程()21x a h x a =--()()0f x h x -=有两个不同的实数根， 2021x xa a -=--整理得，()()22120x x a a -+-=设，则方程有两个不等的正根，20x t =>()210t a t a -+-=，由，解得或()21212Δ140100a a t t a t t a ⎧=++>⎪+=+>⎨⎪=->⎩()2Δ140a a =++>3a <--3a >-+由，解得；由，解得. 1210t t a +=+>1a >-120t t a =->a<0所以.30a -+<故a 的取值范围． ()3-+22．已知函数的部分图像如图所示. ()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式；()y f x =(2)将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得()y f x =12π6到的图像，求函数的单调递增区间；()y g x =()g x (3)在第（2）问的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得1ππ,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦成立?若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由.()()12f x g x m +=m【答案】(1) ()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2) ()ππ5ππ,242242k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z (3)存在，0m =【分析】（1）由题知，，求出从而得的值，将特殊点代入函数中求出，即可1A =7ππ4123T =-T ωϕ解决问题；（2）根据函数伸缩变换与平移变换后的到新函数的解析式，根据函数解析式求解单调区间即可；（3）假设存在实数的值或取值范围满足题意，根据所给条件先由，得m ()()12f x g x m +=，再根据所给的角把范围求出来，根据范围的包含关系列出不等()()21g x m f x =-()()21,g x m f x -式解出即可.【详解】（1）由图可知， 1A =，则，， 7πππ41234T =-=2ππT ω==2ω=所以，. ()()sin 2f x x ϕ=+77sin 126ππ1f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，即 7π2π(Z)π62k k ϕ+=-+∈5π2π(Z)3k k ϕ=-+∈又，所以当时，， π2ϕ<1k =π3ϕ=所以. ()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， ()y f x =12得：， πsin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再向右平移个单位长度得到： π6， ()πππsin 4sin 4633g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由，， πππ2π42π232k x k -+≤-≤+k ∈Z 解得，， ππ5ππ242242k k x -+≤≤+k ∈Z 所以函数的单调递增区间为 ()g x ()ππ5ππ,242242k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z （3）由，得，()()12f x g x m +=()()21g x m f x =-由，得， 1ππ33x -≤≤1ππ2π33x -≤+≤所以，1sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭所以. ()11,m f x m m ⎡-∈-⎢⎣又，得， 2ππ66x -≤≤2πππ433x -≤-≤所以2π1sin 43x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭由题可知， 1,m m ⎡⎡-⊆-⎢⎢⎣⎣得 11m m -≥-⎧⎪⎨≤⎪⎩解得，0m =所以存在， 0m =使得成立. ()()12f x g x m +=。

甘肃省兰州市第一中学高一数学上学期期末考试试题

兰州一中2016-2017-1学期期末考试试题高一数学说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间100分钟. 答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将答案写在答题卡上.)1．过点)1,4(A 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是( ) A ．5=+y x B ．5=-y xC ．045=-=+y x y x 或D ．045=+=-y x y x 或 2．已知n m ,表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若n m n m //,//,//则αα B ．若n m n m ⊥⊂⊥则,,αα C ．若αα//,,n n m m 则⊥⊥ D ．若αα⊥⊥n n m m 则,,//3．如图，矩形''''C B A O 是水平放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图，其中cm D C cm A O 2,6''''==，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．梯形D ．菱形4．如图，将正方形ABCD 沿对角线AC 折成一个直二面角，则异面直线CD AB 和所成的角是( ) A ．30 B ．45 C ．60 D ．905．若圆锥的高等于其内切球半径长的3倍，则圆锥侧面积与球表面积的比值为( ) A ．21 B ．23 C ．31 D ．346．已知三棱锥ABC P -的四个顶点C B A P ,,,都在半径为R 的同一个球面上, 若PC PB PA ,, 两两相互垂直,且3,2,1===PC PB PA ,则R 等于 ( )ABCDOA ．214 B ．14 C ．213 D ．3 7．如图，已知两点)4,0(),0,4(B A ，从点)0,2(P 射出的光线经直线AB 反射后射到直线OB 上，再经直线OB 反射后射到P 点，则光线所经过的路程NP MN PM ++等于( )A ．102B ．6C ．33D ．528．定义在R 上的奇函数)(x f 满足：当0>x 时，x x f x2017log 2017)(+=，则在R 上，函数)(x f 零点的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A ．25B ．24C ．4D ．610．已知点),1,0(),0,1(),0,1(C B A -直线)0(≥+=k b kx y 将ABC ∆分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是( )A ．)1,0(B ．)21,31[ C ．]31,221[- D ．)21,221[-第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题 (本大题共4小题,每小题4分，共16分,请将答案写在答题卡上.)11．如图，长方体1111D C B A ABCD -中，4,3==BC AB ， 51=CC ,则沿着长方体表面从A 到1C 的最短路线MN长为 ________．12．若幂函数)()(为常数ααx x f =的图象恒过定点A , 直线0312=+++-k y kx 恒过定点,B 则直线 AB 的倾斜角是________．13．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，每生产1件该产品还需要增加投资 1万元，年产量为)(*∈N x x 件．当20≤x 时，年销售总收入为)33(2x x -万元；当20>x 时，年销售总收入为260万元．则该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大. (年利润=年销售总收入－年总投资)．14．已知函数⎩⎨⎧≥--<-=)1()2)((4)1( 2)(x a x a x x a x f x . 若0)(=x f 恰有2个实数根，则实数a 的取值范围是_______________. 三、解答题(本大题共5小题，共44分．)15．(本小题8分)如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，AC AB =， H F E ,, 分别是AC BC C A ,,11 的中点. (1)求证：平面ABE HF C 平面//1 . (2)求证：11BCC B AEF 平面平面⊥16．(本小题8分)(1)已知直线062:1=++y ax l 和直线01)1(:22=-+-+a y a x l .当21//l l 时，求a 的值.(2)已知点)1,2(-P ，求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，并求出最大距离.17． (本小题8分) 如图，长方体1111D C B A ABCD -中， 41==DC D D ，2=AD ，C D E 1为的中点．ABC1A 1C 1B EFH1C(1)求三棱锥ADE D -1的体积. (2)AC 边上是否存在一点M ,使得MDE A D 平面//1？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．18． (本小题10分) 如图，在四棱锥ABCD P -中， ABCDPA 平面⊥,AD AB ⊥,CDAC ⊥，60=∠ABC ，BC AB PA ==，E 是PC 的中点．(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小. (2)求二面角C PD A --的正弦值．19. (本小题10分)设二次函数a ax x x f ++=2)(．(1) 若方程0)(=-x x f 的两实根1x 和2x 满足1021<<<x x ．求实数a 的取值范围.(2) 求函数x x a x af x g 2)1()()(2-+-=在区间]1,0[上的最小值．兰州一中2016-2017-1学期期末考试高一数学答题卡第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分，共40分.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题 (本大题共4小题,每小题4分，共16分.)11.________________ 12.______________________13.________________ 14.______________________三、解答题(本大题共5小题，共44分．)15．(本小题8分)16．(本小题8分) 17． (本小题8分)ABC 1A1C1BEFH1C18．(本小题10分)19. (本小题10分)兰州一中2016-2017-1学期期末考试高一数学答案一、选择题(本大题共10小题,每小题4分，共40分.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CBDCBAACDD二、填空题 (本大题共4小题,每小题4分，共16分.)11.74 12. 150 13. 16 14.),2[)1,21[+∞⋃ 提示: 8. 别漏了(0,0)9. 构造正方体模型(如左下图)该多面体为三棱锥BCD -10. 221, 0-==b k 时; , 0时>k 如右上图, (,0),1M b k b N y k k +-=+令11(1)212MNBb k b S k k ∆+=+⋅=+,得210212<∴>-=b b b k 14. 当0≤a 时,方程0)(=x f 无实根;当10<<a 时,要使0)(=x f 恰有2个实数根，须12≥a ,121<≤∴a 当1≥a 时, 要使0)(=x f 恰有2个实数根，须021≤-a 2≥∴a 综上,所求为),2[)1,21[+∞⋃三、解答题(本大题共5小题，共44分.)15．(本小题8分)如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，AC AB =，H F E ,, 分别是AC BC C A ,,11 的中点. (1)求证：平面ABE HF C 平面//1 . (2)求证：11BCC B AEF 平面平面⊥ADCB1A 1C 1B EANOMCB证明: (1)H F , 分别是AC BC ,的中点，AB HF //∴. 又H E , 分别是AC C A ,11的中点， AH EC //1∴ 又AH EC =1 HA EC 1四边形∴为平行四边形.AE H C //1∴，又A AB AE H HF H C =⋂=⋂,1 ，所以平面ABE HF C 平面//1 .(2)AC AB = ,中点为BC F ,BC AF ⊥∴ABC B B 平面⊥1 ,ABC AF 平面⊂,AF B B ⊥∴1,1B BC B B =⋂ 11BCC B AF 平面⊥∴又AEF AF 平面⊂ ,11BCC B AEF 平面平面⊥∴16．(本小题8分) (1)已知直线062:1=++y ax l 和直线01)1(:22=-+-+a y a x l .当21//l l 时，求a 的值.(2)已知点)1,2(-P ，求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，并求出最大距离．解: (1)由01221=-B A B A ，得021)1(=⨯--a a ，由01221≠-C B C B ，得0)1(6)1(22≠---a a ，1-=∴a (2)过P 点且与原点距离最大的直线,是过P 点且与OP 垂直的直线，由OP l ⊥ 得1-=OP l k k ．所以2=l k ．由直线方程的点斜式得)2(21-=+x y ，即052=--y x ，所以直线052=--y x 是过P 点且与原点距离最大的直线，最大距离为555d -==．17． (本小题8分) 如图，长方体1111D C B A ABCD -中， 41==DC D D ，2=AD ，C D E 1为的中点． (1)求三棱锥ADE D -1的体积．(2)AC 边上是否存在一点M ,使得MDE A D 平面//1？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．解: (1)11DED A ADE D V V --= 长方体中, CD D AD 1平面⊥ ，AD ∴是三棱锥DE D A 1-的高． C D E 1为的中点，且41==DC D D ，41=∴∆DE D S 又2=AD ，所以3811==--DED A ADE D V V ． 1B 1C 1D 1ECDBA(2)取AC 中点M ，连接DM EM ,，因为C D E 1为的中点，M 是AC 的中点，A D EM 1//∴.又MDE EM 平面⊂ ，MDE A D 平面⊄1，MDE A D 平面//1∴．5=∴AM ．即在AC 边上存在一点M ，使得MDE A D 平面//1，此时M 是AC 的中点5=AM ．18． (本小题10分)如图，在四棱锥ABCD P -中， ABCD PA 平面⊥, AD AB ⊥,CD AC ⊥，60=∠ABC ，BC AB PA ==，E 是PC 的中点．(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小． (2) 求二面角C PD A --的正弦值．解: (1)在四棱锥ABCD P -中，ABCD PA 平面⊥ ，ABCD AB 平面⊂，AB PA ⊥∴．又AD AB ⊥，A AD PA =⋂，PAD AB 平面⊥∴. 故PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而APB ∠为PB 和平面PAD 所成的角. 在PAB Rt ∆中，PA AB =，故 45=∠APB ．所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为 45．(2) 在四棱锥ABCD P -中，ABCD PA 平面⊥ ，ABCD CD 平面⊂，CD PA ⊥∴．由条件CD AC ⊥，A AC PA =⋂，PAC CD 平面⊥∴．又PAC AE 平面⊂ ，AE CD ⊥∴．由BC AB PA ==，60=∠ABC ，可得PA AC =．∵E 是PC 的中点，AE PC ⊥∴．又C PC CD =⊥ ，PCD AE 平面⊥∴．过点E 作PD EM ⊥，垂足为M ，连接AM ，如图所示． PCD AE 平面⊥ ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ， PD AM ⊥∴．AME ∠∴是二面角C PD A --的平面角．由已知 30=∠CAD ,1=∴CD 设,3==AC PA 则,7,6,2===PD PC AD . PAC Rt ∆中, 2621==PC AE . 在ADP Rt ∆中，PD AM ⊥ ,AD AP PD AM ⋅=⋅∴,得7212=AM . 在AEM Rt ∆中，414sin ==∠AM AE AME ．所以二面角C PD A --的正弦值为414． 19．(本小题10分)设二次函数a ax x x f ++=2)(．甘肃省兰州市第一中学高一数学上学期期末考试试题11 / 11 (1)若方程0)(=-x x f 的两实根1x 和2x 满足1021<<<x x ．求实数a 的取值范围;(2)求函数x x a x af x g 2)1()()(2-+-=在区间]1,0[上的最小值．解: (1)令a x a x x x f x m +-+=-=)1()()(2．依题意，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<>∆0)0(0)1(12100m m a 得2230-<<a ,故实数a 的取值范围为 )223,0(- . (2) x ax x g 2)(2-=①当0=a 时，x x g 2)(-=在]1,0[上递减，2)1()(min -==∴g x g ．②当0>a 时，函数a a x a x g 1)1()(2--=图象的开口方向向上，且对称轴为10x a =>．若111≥≤a a 即，函数)(x g 在]1,0[a 上递减，在]1,1[a 上递增．aa g x g 1)1()(min -==∴. 若1011<<>a a即，函数)(x g 在]1,0[上递减．2)1()(min -==∴a g x g ． ③当0<a 时，函数a a x a x g 1)1()(2--=的图象的开口方向向下，且对称轴01<=ax ， )(x g 在]1,0[上递减, 2)1()(min -==∴a g x g综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=)1( 1)1( 2)(min a aa a x g。

兰州一中高一上学期期末考试数学试题(解析版)

2015-2016学年甘肃省兰州一中高一上学期期末考试数学试题一、选择题1．下列说法中，正确的是（）A．幂函数的图象都经过点（1，1）和点（0，0）B．当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D．幂函数y＝xα，当α＜0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】试题分析：对于A．幂函数的图象都经过点（1，1），但不一定经过点（0，0），如幂函数1yx=，不经过点（0，0）；B．当α＝0时，函数y＝xα的图象不是一条直线，它不包括（0，0），C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，不一定满足y＝xα在定义域内y随x的增大而增大，反例幂函数1yx=；D．幂函数y＝xα，当α＜0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小是正确的．【考点】幂函数的性质．2．如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】A【解析】试题分析：由三视图复原几何体，如图该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积为12422432+⨯⨯⨯=，所以应选A．【考点】三视图、棱锥的体积．3．下列关于函数y＝f（x），x∈[a，b]的叙述中，正确的个数为（）①若且满足f（x0）＝0，则（x0，0）是f（x）的一个零点；②若x0是f（x）在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；③函数f（x）的零点是方程f（x）＝0的根，f（x）＝0的根也一定是函数f（x）的零点；④用二分法求方程的根时，得到的都是根的近似值．A ．0B ．1C ．3D ．4 【答案】B【解析】试题分析：对于①、[]0,x a b ∈且满足0()0f x =，则是f （x ）的一个零点，而不是（0x ，0），所以①错误；②、因为函数f （x ）不一定连续，所以②错误；③、函数f （x ）的零点是方程f （x ）＝0的根，方程f （x ）=0的根一定是函数f （x ）的零点，所以③正确的；④、用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，所以④错误．故选 B ．【考点】函数的零点、二分法等基本知识．【方法点睛】对于①，根据零点的概念即可判断；对于②考虑零点存在性定理的条件：函数f （x ）一定连续进行判断；对于③根据零点的概念即可判断；对于④，利用二分法求根时，得到的根也可能是精确值，故④错．我们把函数y=f （x ）的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，即方程的根．f （x ）的零点就是方程f （x ）=0的解．这样就为我们提供了一个通过函数性质确定方程的途径．函数的零点个数就决定了相应方程实数解的个数．零点存在性定理：若函数y=f （x ）在闭区间[a ，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号不同，即f （a ）•f （b ）≤0，则在区间[a ，b]内，函数y=f （x ）至少有一个零点，即相应的方程f （x ）=0在区间[a ，b]内至少有一个实数解．4．如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，E 为棱SC 的中点，若AC ＝23，SA ＝SB ＝SC ＝AB ＝BC ＝2，则异面直线AC 与BE 所成的角为（）A ．30° B．45° C ．60° D ．90° 【答案】C【解析】试题分析：取SA 的中点F ，连接EF ，BF ，则∵E 为棱SC 的中点，∴EF ∥AC ，∴∠BEF （或其补角）为异面直线AC 与BE 所成的角，AC ＝23SA ＝SB ＝SC ＝AB ＝BC ＝2，3BE EF BF ∴===， 060BEF ∴∠=，所以应选C ．【考点】异面直线及其所成的角．5．如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF ＝22，则下列结论中错误的是（）A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．直线AB 与平面BEF 所成的角为定值D ．异面直线AE 、BF 所成的角为定值【答案】D【解析】试题分析：：∵AC ⊥平面BB 1D 1D ，又BE ⊂平面BB 1D 1D ，∴AC ⊥BE ．故A 正确．∵EF 垂直于直线AB 1，AD 1，∴A 1C ⊥平面AEF ．故B 正确．C 中由于点B 到直线B 1D 1的距离不变，故△BEF 的面积为定值．又点A 到平面BEF 的距离为22，故V A-BEF 为定值．C 正确；当点E 在D 1处，F 为D 1B 1的中点时，异面直线AE ，BF 所成的角是∠FBC 1，当E 在上底面的中心时，F 在C 1的位置，异面直线AE ，BF 所成的角是∠EAA 1显然两个角不相等，D 不正确．故选D ．【考点】直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角． 6．若函数 ()(0x f x a x a a =-->且1a ≠）有两个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．(0,1) B ．(1,)+∞ C ．(2,+)∞ D ．20⎛⎤⎥ ⎝⎦，【答案】B【解析】试题分析：令()xg x a =（a ＞0，且a ≠1），h()x x a =+分0＜a ＜1，a ＞1两种情况，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图，若函数f （x ）=a x-x-a 有两个不同的零点，则函数g （x ），h （x ）的图象有两个不同的交点．根据画出的图象只有当a ＞1时符合题目要求．【考点】函数的性质及应用．7．已知,m n 为异面直线， m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则（）A ．α∥β，且l ∥αB ．αβ⊥，且l β⊥C ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 【答案】D【解析】试题分析：由m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以//l α，又n ⊥平面β，l n ⊥，l β⊄，所以//l β．由直线m ，n 为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m ∥n ，与m ，n 异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l ．故选D ．【考点】平面与平面之间的位置关系，平面的基本性质及推论，线面平行、线面垂直的判定与性质．8．已知直线（1+k ）x+y-k-2＝0过定点P ，则点P 关于直线x-y-2＝0的对称点的坐标是（） A ．（3，﹣2） B ．（2，﹣3） C ．（3，﹣1） D ．（1，﹣3）【答案】C【解析】试题分析：由直线（1+k ）x+y-k-2=0化为k （x-1）+（x+y-2）=0，令1020x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩于是此直线恒过点P （1，-1）．设点P 关于直线x-y-2=0的对称点为P ′（m ，n ），则1120221111m n n m --⎧--=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩解得31m n =⎧⎨=-⎩∴P ′（3，-1）．故选C ．【考点】直线的性质和轴对称的性质．9．如图，平面α⊥平面β，A α∈，B β∈， AB 与两平面α、β所成的角分别为45°和30°．过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB ：A′B′＝（）A ．2 ：1B ．3 ：1C ．3 ：2D ．4 ：3 【答案】A【解析】试题分析：∵平面α⊥平面β，A α∈，B β∈，， AB 与两平面α、β所成的角分别为45°和30°，∴∠ABA'=30°，∠BAB'=45°，连结AB ′，设AB=2，则AA ′=1， ∴AB ′222()()1AB AA ''-=AB ：A′B′＝2:1【考点】两条线段的比值的求法．10．经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正值，若截距之和最小，则直线的方程为（） A ．x ＋2y －6＝0 B ．2x ＋y －6＝0 C ．x －2y ＋7＝0 D ．x －2y －7＝0 【答案】B【解析】试题分析：设直线的方程为1(0,0)x ya b a b+=>>，直线经过点P （1，4），则有141a b+= ∴144()()5549b a a b a b aba b+=++=++≥+= 当且仅当4141b a a ba b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即a=3，b=6时取“=”．∴直线方程为2x+y-6=0．故选B ．【考点】直线方程的截距式，利用基本不等式求截距和的最小值．【方法点睛】（1）一般情况下直线在x 轴的截距即当y=0时x 的值，直线在y 轴的截距即当x=0时y 的值，如果把方程设为截距式（一定要保证截距不为0），这样截距比较直观；（2）利用基本不等式求最值必须满足一正，二定，三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值二、填空题11．已知直线1l : x+（1+m ）y+m-2=0与直线2l :mx ＋2y ＋8＝0平行，则经过点A （3，2）且与直线1l 垂直的直线方程为________．【答案】2x-y-4＝0【解析】试题分析：因为直线1l : x+（1+m ）y+m-2=0与直线2l :mx ＋2y ＋8＝0平行，所以28112m m m =≠+-，解得1m =，直线1l 方程为210x y +-=，因为所求的直线方程与直线1l 垂直，所以可设为20x y λ-+=，又因为经过点A （3，2），所以2320λ⨯-+=，解得4λ=-，所以所求直线为2x-y-4＝0．【考点】两直线平行满足的条件及如何求直线方程．12．用斜二测画法得到的四边形ABCD 是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为2，则原四边形的面积是________．【答案】82试题分析：作DE ⊥AB 于E ，CF ⊥AB 于F ，则AE=BF=ADcos45°=1， ∴CD=EF=3．将原图复原（如图）则原四边形应为直角梯形，∠A=90°，AB=5，CD=3，AD=2 则原四边形的面积是1(53)22822+⋅=【考点】斜二测画法的理解和应用【方法点睛】将直观图放在还一个平面直角坐标系x oy ''中，还原成平面图的关键是找与,x y ''轴平行的直线或线段，且平行与x '轴的线段还原时相等，且平行与y '轴的线段还原时放大为直观图中相应线段的2倍，由此图形的各个顶点，顺次连接即可；对于面积问题直观图的面积是原几何图形面积的24倍，在选择及填空题中可直接应用【解析】13．已知三棱锥A-BCD 2则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】3π【解析】试题分析：如图所示，设球心为O 点，底面△ABC 的中心为O 1，球的半径为R ．∵三棱锥A-BCD 的所有棱长都2所以123623CO == 222116232()33PO PC O C =-=-=在1OAO ∆中，22236()33R R =-+ 解得32R =∴该三棱锥的外接球的表面积22344(3S R πππ===，故答案为：3π．【考点】正三棱锥的性质、球的表面积计算公式．14．已知关于x 的方程22210x mx m +++=有两根，其中一根在区间(1,0)-内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围是________．【答案】5162m -<<-【解析】试题分析：设f （x ）=x 2+2mx+2m+1，问题转化为抛物线f （x ）=x 2+2mx+2m+1与x 轴的交点分别在区间（-1，0）和（1，2）内，则(0)210(1)20(1)420(2)650f m f f m f m =+<⎧⎪-=>⎪⎨=+<⎪⎪=+>⎩，解得5162m -<<-．【考点】一元二次方程根的分布与系数的关系． 15．甲、乙、丙、丁四个质点同时从某一点出发向同一个方向运动，其轨迹f i （x ）（i=1，2，3，4）关于时间x （x ≥0）的函数关系式分别为1()21x f x =-， 22()f x x =，3()f x x =，42()log (1)f x x =+，有以下结论：①当x＞1时，甲在最前面；②当x＞1时，乙在最前面；③当0＜x＜1时，丁在最前面，当x＞1时，丁在最后面；④丙不可能在最前面，也不可能在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为___________ （把正确结论的序号都填上，多填，错填或少填均不得分）．【答案】③④⑤【解析】试题分析：因为路程f i（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系是： f1（x）＝2x−1，f2（x）＝x2，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型．当x=2时，f1（2）=3，f2（2）=4，∴命题①不正确；当x=4时，f1（5）=31，f2（5）=25，∴命题②不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面，命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确．故答案为：③④⑤．【考点】几种基本初等函数的变化趋势，关键是注意到对数函数、指数函数与幂函数的增长差异，属于基础题．【方法点睛】分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知命题④正确．三、解答题16．如图（1）所示，在直角梯形ABCD中， BC∥AP， AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2．又 E、F、G 分别为线段PC、PD、BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD（图（2））．（1）求证：平面EFG∥平面PAB；（2）求三棱锥C-EFG的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）1 6【解析】试题分析：（1）由三角形中位线定理证明EF∥AB．利用直线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAB．然后利用平面与平面平行的判定定理证明平面EFG∥平面PAB．（2）利用等体积V C-EFG=V G-CEF，转化求解即可．试题解析：证明：（1）∵E、F分别是PC，PD的中点，∴EF∥CD又CD∥AB．∴ EF∥AB．∵EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴EF ∥平面PAB ．同理，EG ∥平面PAB ，∵EF EG E =，EF ⊂平面EFG ，EG ⊂平面EFG ∴平面EFG ∥平面PAB ．（2）V C －EFG ＝V G －CEF ＝13S △CEF ·GC＝13×（12×1×1）×1＝16．【考点】平面与平面平行的判定定理及几何体的体积的求法【名师点睛】1、判断面面平行的方法（1）利用定义:（常用反证法）；（2）利用面面平行的判定定理；（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行，（4）利用平行平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行； 2、在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算．17．已知两点)3,4(-A ，)1,2(-B ，直线0234=-+y x l ：，求一点P 使PB PA =，且点P 到直线l 的距离等于2．【答案】)4,1(-P 或)78,727(-P 【解析】试题分析：先求出直线 AB 的垂直平分线，再根据),(b a P 在直线05=--y x 上及已知点P 到l 的距离为2，即可得到结论试题解析：设点P 的坐标为),(b a P ．∵)3,4(-A ，)1,2(-B ． ∴AB 的中点M 的坐标为)2,3(-．又AB 的斜率12413-=-+-=AB k ． ∴AB 的垂直平分线方程为32-=+x y ，即05=--y x ．而),(b a P 在直线05=--y x 上． ∴05=--b a ． ①又已知点P 到l 的距离为2． ∴点P 必在于l 平行且距离为2的直线上，设直线方程为034=++m y x ，由两条平行直线之间的距离公式得：252=+m ∴8=m 或12-=m ．∴点P 在直线0834=++y x 或01234=-+y x 上． ∴0834=++b a 或01234=-+b a ② ∴①②得：1=a ，4-=b 或727=a ，78-=b ． ∴点)4,1(-P 或)78,727(-P 为所求的点．【考点】线段的垂直平方线及点到直线的距离18．（1）已知圆C 经过(0,0)O ， (2,2)Q -两点，且被直线y=1截得的线段长为23．求圆C 的方程．（2）已知点P （1，1）和圆x 2＋y 2－4y ＝0，过点P 的动直线l 与圆交于A ，B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．【答案】（1）22224040x y x x y y ++=+-=或；（2）22330x y x y +--+=【解析】试题分析：（1）先设圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，再将O ，Q 两点代入得到D ，E ，F 的关系式，再把直线方程与圆联立，得到二元一次方程，利用韦达定理得到根与系数的关系，又得到一个D ，E ，F 的关系式，联立解出D ，E ，F 的值，得到圆C的方程；（2）先求出圆x 2＋y 2－4y ＝0圆心坐标，利用圆心与弦中的的连线垂直该弦，得到斜率之间的关系，从而得到M 点的轨迹方程试题解析：（1）设圆方程为220x y Dx Ey F ++++=．因为点O ，Q 在圆上，代入220x y Dx Ey F ++++=：可得04=0F D E =⎧⎨--⎩又由已知，联立：解得：2+10x Dx E ++=由韦达定理知：1212+,1x x D x x E =-⋅=+．所以：12-23x x =．即()21212+412x x x x -⋅= 即：24412D E --=．即：24=0D D -．则 0,44,0D E D E ==-==或者．所以所求圆方程为：22224040x y x x y y ++=+-=或．（2）设点M （x ，y ），圆2240x y y +-=的圆心坐标为C （0，2）．由题意：1CM AB k k ⋅=-，又AB PM k k = ．所以：2111y y x x --⋅=-- 化简: 22330x y x y +--+=所以M 点的轨迹方程为 22330x y x y +--+=【考点】（1）求圆的方程；（2）求轨迹方程．19．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ， AB ⊥AD ， AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°， PA ＝AB ＝BC ， E 是PC 的中点．（1）求PB 和平面PAD 所成的角的大小；CA PBDE（2）证明：AE⊥平面PCD；（3）求二面角A-PD-C的正弦值．【答案】（1）45°；（2）见解析；（3）14．【解析】试题分析：（1）由线面垂直得PA⊥PB，又AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而∠APB是PB与平面PAD所成的角，由此能求出PB和平面PAD所成的角的大小．（2）由线面垂直得CD⊥PA，由条件CD⊥PC，得CD⊥面PAC，由等腰三角形得AE⊥PC，由此能证明AE⊥平面PCD．（3）过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，由此得∠AME是二面角A-PD-C的平面角，由此能求出二面角A-PD-C得到正弦值．试题解析：（1）解：在四棱锥P—ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD，∴PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°．所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°．（2）证明：在四棱锥P—ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴ CD⊥PA．由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A ∵CD⊥平面PAC．又AE⊂平面PAC，∴AE⊥CD．由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．又PC∩CD＝C，综上得AE⊥平面PCD．（3）解：过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示．由（2）知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则可证得AM⊥PD．因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知，可得∠CAD＝30°．设AC＝a，可得PA＝a，AD 23，PD＝213a，AE＝22在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM·PD＝PA·AD，则AM＝PA ADPD27．在Rt△AEM中，sin∠AME＝AEAM14．所以二面角A—PD—C 14．【考点】直线和平面所成角的大小的求法，直线与平面垂直的证明及二面角的正弦值的求法．【方法点睛】（1）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化．（2）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．20．诺贝尔奖的奖金发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，分别奖励给在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半；另一半利息计入基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6．24%．资料显示：1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f（x）表示第x（x∈N）年诺贝尔奖发放后．的基金总额（1999年记为f（1），2000年记为f（2），…，依次类推）（1）用f（1）表示f（2）与f（3），并根据所求结果归纳出函数f（x）的表达式；（2）试根据f（x）的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．（参考数据：1．031 29≈1．32）【答案】（1）f（x）＝19 800（1＋3．12%）x-1（x∈N），（2）是假新闻【解析】试题分析：（1）由题意先求得f（2）和f（3），结合指数式的特点，由此归纳出f（x）的表达式即可；（2）先计算出2012年诺贝尔奖发放后基金总额及2013的度诺贝尔奖各项金额，发现与150万美元相比少了约14万美元，从而判断出新闻的真实性．试题解析：（1）由题意知：f（2）＝f（1）（1＋6．24%）－12f（1）·6．24%＝f（1）×（1＋3．12%），f（3）＝f（2）×（1＋6．24%）－12f（2）×6．24%＝f（2）×（1＋3．12%）＝f（1）×（1＋3．12%）2，∴f（x）＝19 800（1＋3．12%）x-1（x∈N）．（2）2008年诺贝尔奖发放后基金总额为 f（10）＝19 800（1＋3．12%）9＝26 136，故2009年度诺贝尔奖各项奖金为16·12·f（10）·6．24%≈136（万美元），与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．【考点】函数模型的选择与应用、函数值、归纳推理等【名师点睛】解函数应用题的一般步骤：（1）审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；（2）建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；（3）求模——求解数学模型，得到数学结论；（4）还原——将用思想方法得到的结论还原为实际问题的意义；（5）反思回顾——对于数学模型得到的结果，必须验证是否有实际意义．。

甘肃省兰州一中高三数学上学期期末考试文【会员独享】

兰州一中2010—2011学年度高三第一学期期末考试数学试题（文）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120 分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设全集U 是实数集,R 22{|4},{|1},1M x x N x x =>=≥- =N M （）A ．{|21}x x -≤<B ．{|22}x x -≤≤C ．}32|{≤<x xD ．{|2}x x < 2．下列结论正确的是（）A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且B ．21,0≥+>xx x 时当C ．xx x 1,2+≥时当的最小值为2D ．当(0,]2x π∈时，4()sin sin f x x x=+的最小值是4 3．已知正项数列{}n a 为等比数列，且4a 是22a 与33a 的等差中项，若22a =，则该数列的前5项的和为（）A ．3312B ．31C ．314D ．以上都不正确4．“a =3”是“直线ax －2y －1=0”与“直线6x －4y +c =0平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件D ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=a 平移后与圆522=+y x 相切，则c 的值为（）A ．8或－2B ．6或－4C ．4或－6D ．2或－86．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为3，且它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则此双曲线的方程为（）A ．16322=-y x B ．132322=-y xC ．1964822=-y x D ．1241222=-y x 7．设函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+≠><的图像关于直线23x π=对称，且它的最小正周期为π，则（）A ．()f x 的图像经过点1(0,)2B ．()f x 在区间52[,]123ππ上是减函数 C ．()f x 的图像的一个对称中心是5(,0)12πD ．()f x 的最大值为A8．已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=，点C 在AOB ∠内，且AOC ∠=30°，设 (),OC mOA nOB m n R =+∈,则m n等于（）A ．13B ．3CD9．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， E 、F 分别为棱AA1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G=λ（0≤λ≤1）则点G 到平面D 1EF 的距离为（）ABC ．3 D ．510．设函数y=f （x ）存在反函数y =1()f x -,且函数()y x f x =-的图象过点（1,2），则函数1()y f x x -=-的图象一定过点（）A ．（-1,2）B ．（2,0）C ．（1,2）D ．（2,1）11．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC所成的角等于（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°12．若x bx ax x f 2011)(20122010++=满足2)2011(='f ，则=-')2011(f （）A ．-2010B ．4020C ．2011D ．0第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13．若tan θ=2，则2sin 2θ－3sin θcos θ= ．14．设x ，y 满足约束条件24,1,20,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为．15．若直线20kx y --=||1x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是______________．16．若球O 的球面上共有三点A 、B 、C ，其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的1,6经过A 、B 、C这三点的小圆周长为，则球O 的体积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )444x x xm n ==．（1）若1m n ⋅=,求2cos()3x π-的值；（2）记x f ⋅=)(，在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,且满足C b B c a cos cos )2(=-，求函数f （A ）的取值范围．18．（本小题满分12分）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠=，12AB AA ==，B 1C 1A 1M1AC =，M ，N 分别是11A B ，BC 的中点．（1）证明：1AB AC ⊥；（2）证明：MN ∥平面11ACC A ；（3）求二面角M AN B --的余弦值．19．（本小题满分12分）已知圆C ：224x y +=．（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||AB =l 的方程; （2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程．20．（本小题满分12分）设函数f （x ）=x 3+ax 2-9x -1 （a <0）,若曲线y=f （x ）的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行．（1）求a 的值;（2）求函数f （x ）的单调区间．m21．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+．（1）设12n n n b a a +=-，证明：数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若2(32)nn n c a n =+,n T 为{}n c 的前n 项和，求证：n T 23<．22．（本小题满分12分）已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点．（1）求双曲线C 2的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案涂在答题卡相应位置上．．．．．．．． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B B B A A C B D A C B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 13．5214.5， 15. 442,,233⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦16. 288π 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )444x x xm n ==．（1）若1m n ⋅=,求2cos()3x π-的值；（2）记x f ⋅=)(，在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,且满足C b B c a c o s c o s )2(=-，求函数f (A )的取值范围．解：（1）23sin cos cos 444x x x m n ⋅=⋅+ 1sin()262x π=++∵1m n ⋅= ∴1sin()262x π+=211cos()12sin ()23262x x ππ+=-+= 21cos()cos()332x x ππ-=-+=- ............5分（2）∵（2a-c ）cosB=bcosC由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC 2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC ∴2sinAcosB=sin(B+C) ∵A B C π++= ∴sin()sin 0B C A +=≠，∴1cos ,23B B π== ∴203A π<<∴1,sin()(,1)6262262A A ππππ<+<+∈........10分18．解法一：（Ⅰ）证明：因为1CC ⊥平面ABC ，所以AC 是1AC 在平面ABC 内的射影，…… 2 分由条件可知AB ⊥AC ，所以1AB AC ⊥． ………………… 4 分（Ⅱ）证明：设 AC 的中点为D ，连接DN ，1A D ．因为D ，N 分别是AC ，BC 的中点，所以DN //=12AB ．又1A M =1211A B ，11A B //=AB ，所以1A M //=DN ．所以四边形1A DNM 是平行四边形．所以1A D ∥MN ． …………………6 分因为1A D ⊂平面11ACC A ，MN ⊄平面11ACC A ，所以MN ∥平面11ACC A ． …………… 8 分（Ⅲ）如图，设AB 的中点为H ，连接MH ，所以MH ∥1BB ．因为1BB ⊥底面ABC ，所以MH ⊥底面ABC ．在平面ABC 内，过点H 做HG ⊥AN ，垂足为G ．连接MG ，则MG ⊥AN ．所以∠MGH 是二面角M AN B --的平面角． ……… 10 分因为MH =1BB =2，由AGH ∆∽BAC ∆，得HG=． DABB 1CC 1A 1 MNHG所以MG．所以cos MGH ∠=HG MG=21．二面角M AN B --的余弦值是21． ………………… 12 分解法二：依条件可知AB ，AC ，1AA 两两垂直．如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -．根据条件容易求出如下各点坐标：(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(1,0,0)C -，1(0,0,2)A ，1(0,2,2)B ，1(1,0,2)C -，(0,1,2)M ，1(,1,0)2N -．（Ⅰ）证明：因为(0,2,0)AB =，1(1,0,2)AC =-，所以1AB AC ⋅=0(1)20020⨯-+⨯+⨯=． …………… 2 分所以1AB AC ⊥．即1AB AC ⊥． ………………… 4 分（Ⅱ）证明：因为1(,0,2)2MN =--，(0,2,0)AB =是平面11ACC A 的一个法向量，且MN AB ⋅=10022002-⨯+⨯-⨯=，所以MN AB ⊥． ……………6 分又MN ⊄平面11ACC A ，所以MN ∥平面11ACC A ． ………………… 8 分（Ⅲ）设(,,)x y z =n 是平面AMN 的法向量，因为(0,1,2)AM =，1(,1,0)2AN =-，由=0,=0,AM AN ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩n n 得020,10.2y z x y ++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得平面AMN 的一个法向量(4,2,1)=-n ．由已知，平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=-m ． ………………… 10 分设二面角M AN B --的大小为θ，则cos ||||θ⋅=n m n m=21．二面角M AN B --． ………………… 12 分 19．解（Ⅰ）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，l 与圆的两个交点坐标为()3,1和()3,1-，其距离为32，满足题意……… 2分20．解(1) '()f x =3x 2+2ax-9 …………………………………2分.3-9-)('42a x f a x 取得最小值时，当-=因为斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,即该切线的斜率为-12,所以9,123922=-=--a a 即 ,a =±3 又a <0，所以a =-3……………………………6分 (2) 由(1)知a =-3，f(x)=x 3-3x 2-9x -1'()f x =3x 2-6x-9=3(x -3)(x +1)令'()f x =，解之得x 1=-1, x 2=3当x ∈(-∞,-1)时, '()f x >0, '()f x 在(-∞,-1)是增函数；当x ∈(-1,3)时, '()f x <0, '()f x 在(-1,3)是减函数；当x ∈(3,+∞)时, '()f x >0 , '()f x 在(3,+∞)是增函数；所以函数f(x)的单调递增区间为 (-∞,-1)和(3,+∞)；单调递减区间为(-1,3). …………………………………12分 21．解：（I ）由11,a =及142n n S a +=+，有12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=由142n n S a +=+，．．．① 则当2n ≥时，有142n n S a -=+．．．．．② ②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=- 又12n n n b a a +=-，12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =，公比为２的等比数列．…….4分（II ）由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=⋅，113224n n n n a a ++∴-= ∴数列{}2n na 是首项为12，公差为34的等差数列． ∴1331(1)22444n n a n n =+-=-，2(31)2n n a n -=-⋅ …….8分 (Ⅲ) 4(31)(32)n c n n =-+所以n T =111111141124(...)()32558313132313n n n ⋅-+-++-=-<-++ ………12分22．解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12222=-b y a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由故C 2的方程为.1322=-y x ……………………………………………6分（II ）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k y x kx y 得代入由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k即 .412>k ① 0926)31(1322222=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将. 由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即 )2)(2(,66319,3126),,(),,(22+++=+<+<⋅--=⋅-=+B A B A B A B A B A B A B A B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x OB OA k x x k k x x y x B y x A 而得由则设 .1373231262319)1(2)(2)1(222222-+=+-⋅+--⋅+=++++=k k kk k k k x x k x x k B A B A .0131315,613732222>--<-+k k k k 即于是解此不等式得 .31151322<>k k 或 ③ 由①、②、③得.11513314122<<<<k k 或故k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1( ----………12分。

兰州一中—高一数学期末考试题及答案

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）.1.300tan 的值为（） A. 33 B. 33- C. 3 D. 3- 2. 已知(4,1),(1,)AB BC k ==-，若A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值为（）A. 4B. 4-C. 14-D. 143．已知两个单位向量12,e e 的夹角为θ，则下列结论不正确．．．的是（） A ． 12e e 在方向上的投影为cos θ B ． 121e e ⋅=C ． 2212e e =D ． 1212()()e e e e +⊥-4. 已知 D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（）A ．0AD BE CF ++=B ．0BD CF DF -+=C ．0AD CE CF +-=D. 0BD BE FC --= 5. 已知扇形的圆心角的弧度数为2，扇形的弧长为4，则扇形的面积为（）A. 2B. 4C. 8D. 166. 下列关系式中正确的是（）A. sin11cos10sin168<<B. sin11sin168cos10<<C. sin168sin11cos10<<D. sin168cos10sin11<<7. 已知3sin(30)2α+=，则cos(60)α-的值为（） A. 12 B. 12- C. 32 D. 32- 8. 若1,2,,a b c a b c a ===+⊥且，则向量a b 与的夹角为（）A. 30B. 60C. 120D. 1509. 已知平面上四点A ，B ，C 满足()0BC BA AC +⋅=，则△ABC 的形状是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形10. 已知3cos()45x π+=-，且x 是第三象限角，则1tan 1tan x x +-的值为（） A. 34－ B. 43－ C. 34 D. 43 11. 已知函数()sin(),(,0)4f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，将)(x f y =的图像向左平移||ϕ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（）A. 2πB. 83πC. 4πD. 8π 12. 已知A ，B ，C 三点不在同一条直线上，O 是平面ABC 内一定点，P 是△ABC 内的一动点，若1(),[0,)2OP OA AB BC λλ-=+∈+∞，则直线AP 一定过△ABC 的（） A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 函数1tan y x =- __________________________.14. 函数2sin cos y x x =+的值域是________________________.15. 下面四个命题中，其中正确命题的序号为____________.① 函数()tan f x x =是周期为π的偶函数； ② 若βα、是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin >；③ 8π=x 是函数)452sin(π+=x y 的一条对称轴方程； ④ 在(,)22ππ-内方程tan sin x x =有3个解. 16. 在△ABC 中，AB = 4，AC = 3，60A ∠=，D 是AB 的中点，则CA CD ⋅=______.三、解答题（本大题共5小题，共48分）17. （6分）已知点A (1,1)-，点B (1,2)，若点C 在直线3y x =上，且AB BC ⊥. 求点C 的坐标.18. （8分）已知sin()3sin()2()112cos()cos(5)2f παπααπαπα++--=---. （Ⅰ）化简()f α；（Ⅱ）已知tan 3α=，求()f α的值．19．（11分）已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，255a b -=．（Ⅰ）求cos()αβ-的值；（Ⅱ）若02πα<<，02πβ-<<，且5sin 13β=-，求sin α．20. （11分）已知向量(3,cos 2),(sin 2,1),(0)a x b x ωωω==>，令(),f x a b =⋅且)(x f 的周期为π．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若[0,]2x π∈时()3f x m +≤，求实数m 的取值范围．21. （12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)A ωϕπ>><，在同一周期内，当12x π=时，()f x 取得最大值3；当712x π=时，()f x 取得最小值3-. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅲ）若,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()2()1h x f x m =+-有两个零点，求实数m 的取值范围．参考答案即 ()422cos 5αβ--=， ()3cos 5αβ∴-=．（Ⅱ）0,0,022ππαβαβπ<<-<<∴<-<， ()3cos 5αβ-=， ()4sin .5αβ∴-= 5sin 13β=-， 12cos 13β∴=， ()()()sin sin sin cos cos sin 412353351351365ααββαββαββ∴=-+=-+-⎡⎤⎣⎦⎛⎫=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭……………11分。

甘肃省兰州一中2010-2011学年高一上学期期末考试

甘肃省兰州一中2011-2012学年高一上学期期末考试历史试题说明：本试卷分第I卷（单项选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间100分钟。

答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。

第I卷（单项选择题）一、选择题（共30小题，每题2分，共60分）1．穿越历史时空，假设你和甲、乙、丙三位同学回到西周武王时代，请判断你们谁被封为诸侯王的可能性最小？（）A．你是商朝末年的贵族，后归附周武王B．甲同学曾随武王伐纣，立下汗马功劳C．乙同学出身于平民，但才能、人品俱佳D．丙同学属于西周姬姓王族成员，整日养尊处优2．西周宗法制的最大特点是嫡长子继承制。

宗法制的作用主要体现在（）①巩固了周王对全国的统治②保证了贵族在政治上的垄断和特权地位③构织了遍布全国的交通网络④维护了统治集团内部的稳定和团结A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④3．中央集权制度对中国历史的发展产生了深远的历史影响，这一制度形成于（）A．西周 B．秦朝 C．西汉 D．元朝4．唐朝掌管草拟和颁发政令以及审核政令的机构分别是（）A．中书省和门下省 B．门下省和尚书省C．政事堂和门下省 D．中书省和尚书省5.从明朝废除丞相到清朝设立军机处，说明了（）A．皇权日益加强 B．封建国家军事实力不断加强C．相权战胜皇权 D．近代民主制度雏形出现6．下列关于我国古代中央集权制度的叙述，不正确．．．的是（）A．中央集权制度是我国封建社会最基本的政治制度B．在中央集权制度下中央对地方进行多层次多渠道的管理C．西汉中外朝制度创立标志着中央集权制度高度完备D．清朝军机处的设立是专制皇权高度发展的标志7．鸦片战争爆发的根本原因是（）Ａ．保护鸦片贸易 B．掠夺原料和打开中国商品市场Ｃ．割占中国领土Ｄ．争取外交礼仪平等8．一名日本人在重庆拿到了清政府准许其开办工厂的营业执照，这一现象最早可能出现在（）A．1840年 B．1860年 C．1895年 D．1901年9．西方列强发动的曾经攻破北京的战争有①鸦片战争②第二次鸦片战争③甲午中日战争④八国联军侵华战争（）A．①②③B．②③C．①②④ D．②④10.中国近代第一个资产阶级革命团体是（）A．兴中会 B．华兴会 C．光复会 D．中国同盟会11．对《中华民国临时约法》的理解正确和全面的是（）①是中国历史上第一部资产阶级民主宪法性质的临时大法②体现了三权分立的政治体③革命派想以此限制袁世凯的独裁④具有反对封建专制制度的进步意义A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④12．孙中山说：“国民党正在堕落中死亡。

甘肃省兰州一中高三数学上学期期末考试文

兰州一中2010—2011 学年度高三第一学期期末考试数学试题（文）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150 分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60 分）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．请把答案涂在答题卡．相．应．位．置．上．．．．1．设全集U 是实数集R, 2 2M { x | x 4}, N { x | 1} ,x 1M N （）A．{ x| 2 x 1} B．{x| 2 x 2}C．{ x|2x 3} D．{ x | x 2}2．以下结论正确的选项是（）1A．当 2x 0且x 1时,lg xlg x1B． 2当x 0时, xxC．1当x 2时, x 的最小值为2xD．当x (0, ] 时，2 f (x) sin x4sin x的最小值是 43．已知正项数列{ a n} 为等比数列，且a4 是2a2 与3a3 的等差中项，若a2 2 ，则该数列的前 5 项的和为（）A．3312B．31 C．314D．以上都不正确4．“a=3”是“直线ax－2y－1=0”与“直线6x－4y+c=0 平行”的（）A．充分不用要条件B．必需不充分条件D．充要条件D．既不充分也不用要条件2 y25．若直线2x y c 0 按向量 a (1, 1)平移后与圆x 5相切，则c的值为（）A．8 或－2 B．6 或－4 C．4 或－6 D．2 或－82 2x y6．设双曲线1(a 0,b 0)2 2a b 2的离心率为 3 ，且它的一条准线与抛物线y 4x的准线重合，则此双曲线的方程为（）专心爱心专心- 1 -2 y 2xA． 13 62 y 2x 2 B． 13 32 y2xC． 148 962 y 2xD． 112 247．设函数 f (x) A sin( x )(A 0, 0,| | ) 的图像对于直线22x 对称，且它的3最小正周期为，则（）A．f (x) 的图像经过点1 (0, )2B．f (x) 在区间5 2[ , ]12 3上是减函数C．f (x) 的图像的一个对称中心是5 ( ,0) 12D．f (x) 的最大值为 A8．已知|OA| 1, | OB | 3, OA OB 0 ，点C 在AOB 内，且AOC 30°，设OC mOA nOB m,n R ,则m n等于（）A．13B．3C．33D． 39．以下图，在棱长为 1 的正方体ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别为棱AA1、BB1 的中点，G为棱A1B1 上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1）则点G 到平面D1EF的距离为（）A． 3 B．2 2C．23D．5510．设函数y=f（x）存在反函数y= f x ,且函数y x f (x) 的图象过点（1,2），则函数1( )1( )y f x x的图象必定过点（）1( ) A．（-1,2）B．（2,0）C．（1,2）D．（2,1）11．直三棱柱ABC A1B1C1中，若BAC 90 ，A B AC AA ，则异面直线1 BA 与A C11专心爱心专心- 2 -所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°2010 201212．若f (x) ax bx 2011x知足 f (2011) 2 ，则 f ( 2011) （）A．-2010 B．4020 C．2011 D．0第Ⅱ卷（非选择题共90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共20 分．请把答案直接填写在答题卡相应地点上．213．若tan =2，则2sin －3sin cos = ．x 2y4,x y 1,，则目标函数z＝3x－y 的最大值为．14．设x，y 知足拘束条件x 2 0,15．若直线kx y 2 0 与曲线 21 (y1) | x | 1有两个不一样的交点，则实数k 的取值范围是______________．16．若球O 的球面上共有三点A、B、C，此中随意两点间的球面距离都等于大圆周长的16, 经过A、B、C这三点的小圆周长为 4 3 ，则球O 的体积为．三、解答题：本大题共 6 小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10 分）已知向量x x x2m ( 3sin ,1), n (cos ,cos ) ．4 4 4（1）若m n 1,求2cos( x) 的值；3（2）记f (x) m n，在△ABC中，角A, B,C 的对边分别是a,b, c 且知足(2a c) cos B b cosC ，求函数f（A）的取值范围．18．（本小题满分12 分）已知三棱柱A BC A B C的侧棱垂直于底面，BAC 90 ，AB A A1 2，1 1 1专心爱心专心- 3 -C1A1 MB1AC 1，M ，N 分别是A B，BC 的中点．1 1（1）证明：AB AC1；（2）证明：MN ∥平面A CC A ；1 1（3）求二面角M AN B 的余弦值．19．（本小题满分12 分）已知圆 C ： 2 2 4x y ．（1）直线l 过点P 1,2 ，且与圆 C 交于A、B 两点，若| AB | 2 3 ，求直线l 的方程;（2）过圆 C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON ，求动点Q 的轨迹方程．20．（本小题满分12 分）3+ax2-9x-1 （a<0）,若曲线y=f（x）的斜率最小的切线与直线12x+y=6 设函数f（x）=x平行．（1）求 a 的值;（2）求函数f（x）的单一区间．m专心爱心专心- 4 -21．（本小题满分12 分）设数列{a } 的前n项和为S n, 已知a1 1, S n 1 4a n 2n．（1）设b a 1 2a ，证明：数列{b n} 是等比数列；n n n（2）求数列{a n }的通项公式；（3）若cnn2a (3n 2)n,T n 为{c n} 的前n 项和，求证：T n23．22．（本小题满分12 分）2x2已知椭圆C1的方程为 1y ，双曲线C2 的左、右焦点分别为C1 的左、右极点，4 而C2 的左、右极点分别是C1 的左、右焦点．（1）求双曲线C2的方程；（2）若直线l : y kx 2 与椭圆C1 及双曲线C2 都恒有两个不一样的交点，且l 与C2 的两个交点 A 和B 知足O A OB 6（此中O 为原点），求k 的取值范围．专心爱心专心- 5 -参照答案一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．请把答案涂在答题卡．相．应．位．置．上．．．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C B B B A A C BD A C B二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共20 分．请把答案直接填写在答题卡相应地点上．13．2514.5，15.4 42, ,23 316. 288 π三、解答题：本大题共 6 小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10 分）已知向量x x x2m ( 3sin ,1), n (cos ,cos ) ．4 4 4（1）若m n 1,求cos( 2 )x 的值；3（2 ）记f (x) m n ，在△A BC 中，角A, B,C 的对边分别是a,b,c 且满足(2a c) c o s B b c o C s，求函数f(A)的取值范围．解：（1）m n x x x23sin cos cos4 4 4x 1 sin( )2 6 2∵m n 1 ∴x 1 sin( )2 6 21 x 12cos( x ) 1 2sin ( )2 3 2 6 22 1cos( x) cos(x ) ............5 分3 3 2（2）∵（2a-c）cosB=bcosC由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC ∴2sinAcosB=sin(B+C) ∵A B C ∴sin( B C) sin A 0 ，∴1cos B ,B ∴2 30 A23∴ A ,sin( A ) (1,1)6 2 6 2 2 6 2专心爱心专心- 6 -........10 分18．解法一：（Ⅰ）证明：由于C C 平面ABC ，1因此AC 是A C 在平面ABC 内的射影，⋯⋯2 分1由条件可知AB AC ，因此A B AC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯4⋯分1（Ⅱ）证明：设AC 的中点为 D ，连结DN ，A D．1由于D ，N 分别是AC ，BC 的中点，因此DN // 12A B ．又A M=1 12A B ，A1B1 // AB ，1 1因此A M// DN ．1C1因此四边形 A DNM 是平行四边形．1 A1 MB1因此A D∥MN ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯6⋯分1由于A D平面1 ACC A ，M N 平面1 1ACC A ，1 1C因此MN ∥平面ACC A ．⋯⋯⋯⋯⋯8 分1 1D N（Ⅲ）如图，设AB 的中点为H ，连结MH ，GABH因此MH ∥B B ．1由于B B 底面ABC ，1因此MH 底面ABC ．在平面ABC 内，过点H 做HG AN ，垂足为G ．连结MG ，则MG AN ．因此MGH 是二面角M AN B 的平面角．⋯⋯⋯10 分由于MH = BB =2，1由AGH ∽BAC ，得HG = 15．专心爱心专心- 7 -因此 MG = MH2HG 2=21 5．因此 cos MGH = H G MG =21 21．二面角 M ANB 的余弦值是21 21． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯1⋯2 分解法二：依条件可知 AB ， AC ， AA 两两垂直．1zC 1 如图，以点 A 为原点成立空间直角坐标系 A xyz ．A 1MB 1依据条件简单求出以下各点坐标：A(0,0,0) ， B(0, 2,0) ， C ( 1,0,0) ，CNA， 1(0,0,2)B 1(0,2,2) ，C 1( 1,0,2) ，M (0,1,2) ， 1N ( ,1,0) ．2xABy（Ⅰ）证明：由于AB (0,2,0) ，AC 1 ( 1,0,2) ，因此 A B AC0 ( 1) 2 0 0 2 0．⋯⋯⋯⋯⋯2 分1因此 A B AC ．1即 A BAC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯4⋯分1（Ⅱ）证明：由于1MN( ,0, 2) ， A B (0,2,0) 是平面 ACC 1 A 1 的一个法向量， 2且M N AB1 20 0 2 2 0 0 ，因此 MN AB ．⋯⋯⋯⋯6⋯分又 MN平面 A CC A ，1 1因此 MN ∥平面 A CC A ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯8⋯分1 1（Ⅲ）设 n ( x, y, z) 是平面 AMN 的法向量，由于AM (0,1,2) ， 1AN( ,1,0) ， 2专心爱心专心- 8 -AM AN nn= 0,= 0,得0y 2z 0,12x y 0.由解得平面AMN 的一个法向量n(4, 2, 1) ．由已知，平面ABC 的一个法向量为m(0,0, 1) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯1⋯0分设二面角M AN B 的大小为，则cos n m|n||m|=121 1=2121．二面角M AN B 的余弦值是2121．⋯⋯⋯⋯⋯⋯1⋯2分19．解（Ⅰ）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为x 1，l 与圆的两个交点坐标为1, 3 和1, 3 ，其距离为2 3 ，知足题意⋯⋯⋯ 2 分20．解(1) 2+2ax-9 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分f x =3x' ( )a当x 时，f '(x)获得最小值4 - 9 -2a3.由于斜率最小的切线与直线12x+y=6 平行, 即该切线的斜率为-12,专心爱心专心- 9 -2a2因此12,即9 ,a =±3 又a<0，因此a=-3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分9 a3(2) 由(1)知a=-3，f(x)=x3-3x2-9 x-1f x =3x' ( ) 2-6x-9=3(x-3)( x+1)令f x =，解之得x1=-1, x2=3' ( )' ( )当x∈(-∞,-1)时, f '(x)>0, f x 在(-∞,-1)是增函数；'( )'( )当x∈(-1,3)时, f ' (x) <0, f x 在(-1,3)是减函数；'( )'( )当x∈(3,+∞)时, f ' (x)>0 , f x 在(3,+∞)是增函数；' ( )' ( )因此函数f(x)的单一递加区间为(-∞,-1)和(3,+∞)；单一递减区间为(-1,3). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分21．解：（I）由a1 1, 及S n 1 4a n 2，有a1 a2 4 a1 2, a2 3a1 2 5, b1 a2 2a1 3由S 1 4a 2，．．．①则当n 2 时，有S n 4a n 1 2．．．．．②n n②－①得a 1 4a 4a 1, a 1 2a 2(a 2a 1)n n n n n n n又b a1 2a ，b n 2b n 1n n n{b } 是首项nb1 3 ，公比为２的等比数列．⋯⋯.4 分（II）由（I）可得n 1b a 1 2a 3 2 ，n n n a a 3 n 1 nn 1 n2 2 4an 数列{ }n2 是首项为12，公差为34的等差数列．a 1 3 3 1 n(n 1) n ，n2 2 4 4 4n 2a (3n 1) 2 ⋯⋯.8 分n(Ⅲ) cn4(3n 1)(3n 2)因此T =n1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 24 ( ... ) ( )3 2 5 5 8 3n 1 3n 1 3 2 3n 1 3⋯⋯⋯12 分2 2x y ，则 4 1 3, 1.2 a2 b2 c2 b2 22．解：（Ⅰ）设双曲线C2 的方程为 1a 再由得2 2a b2x2故C2 的方程为 1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分y3专心爱心专心- 10 -2x2 2 2（II ）将 1 (1 4 ) 8 2 4 0. y kx 2代入 y 得 k x kx 4 由直线 l 与椭圆 C 1 恒有两个不一样的交点得2 2 2 1 (8 2) k16 (1 4k ) 16(4 k 2 1) 0, 1 2 即 k .①4 2x2 2 2将y kx 2代入y 1得(1 3k )x 6 2kx 9 0 .3 由直线 l 与双曲线 C 2 恒有两个不一样的交点 A ，B 得21 3k0,2 ( 6 2k 2 ) 36 (1 3k 2 2 ) 36 (1 k ) 0. 即k 2 1 3 且k2 1. 设 A( x A , y ), A B( x B , y B ),则 x A x B6 1 2k 2 3k , x A x B 1 93k2 由OA OB 6得 x AxB y A y B 6, 而 x A x By A y B x A x (kx B A 2 )( k x B 2) 2 (k 1)x A x B 2k(x A x B) 2 2 (k 1) 1 9 3k 2 2k 6 1 2k 2 3k23k 3k 2 2 71.2 2 3k7 15k 13 于是6, 解此不等式得即 0.2 2 3k1 3k 1 132 12 k k 或 .③ 15 3由①、②、③得 1 21 132 k或 k 4 3 151.13 3 1 1 3 13故k 的取值范围为( 1,) ( , ) ( , ) ( ,1) ⋯⋯⋯12 分15 3 2 2 3 15专心爱心专心- 11 -。

甘肃省兰州一中2011届高三数学上学期期中考试理旧人教版【会员独享】

兰州一中2010—2011学年度高三期中考试数学试题（理）注意：该试卷总分150分，考试时间120分钟，交卷时只交答题卡。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

1．若命题:,p x A B p ∈⋃⌝则是（）A ．x A xB ∉∉且 B ．x A x B ∉∉或C ．x A B ∉⋂D ．x A B ∈⋂2．已知{0,1},{|}P M x x P ==⊆，则P 与M 关系为（）A ．P N ⊆B ．P N ∉C ．M P ⊆D ．P M ∈3．函数*()()f n k n N =∈其中，k 是2的小数点后第n 位数，2 1.41421356237,={[(8)]}f f f 则的值等于（）A ．1B ．2C ．4D ．64．若函数(21)xy f =-的定义域为[1，2]，则函数(21)f x +定义域为（）A ．1[0,]2B ．[1，2]C ．[0，1]D ．[1，3] 5．函数21x y x -=-的图象是（）6．函数9()f x x x=+的单调递增区间是（）A ．（-3，3）B ．(3,)-+∞C ．(3,0),(0,3)-D ．(,3),(3,)-∞-+∞ 7．在,cos cos ABC A B A B ∆><中是的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件8．已知命题p ：不等式|1||2|x x m -++>的解集为R ：命题(52):()log m q f x x -=为减函数。

则p q ⌝⌝是成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数2()(21)3f x x a x =-+-+在[1，2]上的值恒为正，则a 的取值范围是（）A ．1324a -<<B ．12a <-C ．1324a a <->或D ．34a > 10．函数2log (1)1xy x x =>-的反函数是（）A ．2(0)21xxy x =<- B ．2(0)21xxy x =>-C ．21(0)2x xy x -=> D ．21(0)2x xy x -=< 11．若数列*1611{}(),2010,n n n a a a n n N a a +=+∈=满足且则=（）A ．1670B ．240C ．180D ．17512．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件3()()2f x f x +=-，且函数3()4y f x =-是奇函数，由下列四个命题中不正确．．．的是（）A ．函数f （x ）是周期函数B ．函数()f x 的图象关于点3(,0)4-对称C ．函数f （x ）是偶函数D ．函数()f x 的图象关于直线34x =对轴二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。