2020届河北省九校高三上学期第二次联考数学(文)试题(解析版)

所以P1+P2＝
故选C.
【点睛】
本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.
7．下面有四个命题：
①“ ， ”的否定是“ ， ”；
②命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ；
③“ ”是“ ”的必要不充分条件：
④若命题 为真命题， 为假命题，则 为真命题.
其中所有正确命题的编号是
19．如图，在三棱锥 中，正三角形 所在平面与等腰三角形 所在平面互相垂直， ， 是 中点， 于 .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求三棱锥 的体积.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】（1）先证明 平面 ，得到 ，结合已知 ，证得 平面 .（2）将所求 转化为 ，利用（1）的结论得到三棱锥的高为 ，由此计算得三棱锥的体积.
【详解】
如图，设 是 中点， 在抛物线准线上的射影分别为 ，设 ，抛物线 中 ， ， ，∴ ，又 是 的中点，∴ ，
∴ ， ．
故选：B．
【点睛】
本题考查抛物线的焦点弦性质，可直接利用焦点弦性质解题．焦点弦性质：对抛物线 ， 是它的焦点弦， ，则 ． ， ．
9．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为 ，则该三棱锥外接球的表面积为（）
5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下表述：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”.其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派出7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，则前3天共分发大米（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出三棱锥的实物图 ，然后补成直四棱锥 ，且底面为矩形，可得知三棱锥 的外接球和直四棱锥 的外接球为同一个球，然后计算出矩形 的外接圆直径 ，利用公式 可计算出外接球的直径 ，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.
【详解】
三棱锥 的实物图如下图所示：
将其补成直四棱锥 ， 底面 ，
可知四边形 为矩形，且 ， .
矩形 的外接圆直径 ，且 .
所以，三棱锥 外接球的直径为 ，
因此，该三棱锥的外接球的表面积为 .ຫໍສະໝຸດ 故选：C.【点睛】
本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
【详解】
因为 ，所以 ，
因为函数 在 上单调递增，
所以
即 ，解得 且 ，
又 ，∴ ，即 ，
又函数 的图象关于直线 对称，
所以 ，得 ，
又 ，
所以取 ，则 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查根据正弦型函数的单调区间求参数的范围，根据正弦型函数的对称轴求参数的值，属于中档题.
16．如图，正方体 的棱长为 ， 、 、 分别是 、 、 的中点，过点 、 、 的截面将正方体分割成两部分，则较大部分几何体的体积为__________．
【答案】18
【解析】先计算数据的中位数为12,再利用平均值公式得到答案．
【详解】
根据茎叶图：共有12个数，中位数为
平均数为：
故答案为18
【点睛】
本题考查了中位数和平均数的计算，意在考查学生的计算能力.
14．已知正项等比数列 满足 ， 与 的等差中项为 ，则 的值为__________.
【答案】4
【解析】设等比数列 的公比为 ，建立方程计算得到答案.
∴ ，
∴ ，
即 ，
又 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（Ⅱ）由余弦定理可得 ，
即 ，
整理得 ，
解得 或 （舍去）.
∴ ．
【点睛】
根据正余弦定理求三角形的内角时，在求出内角的三角函数值后容易忽视角的范围，从而造成失分．另外，三角形的面积常与解三角形结合在一起考查，在应用余弦定理时要注意整体思路的运用，以简化解题的过程．
∴|OB|=|OA|．
故选A．
点睛：这个题目考查了双曲线的几何意义和双曲线的第一定义；用到了焦三角形的的内切圆的性质和结论．一般无论双曲线还是椭圆，和焦三角形的有关的可以想到，焦三角形的的周长，余弦定理，定义的应用，面积公式等．
二、填空题
13．某市某年各月的日最高气温（℃）数据的茎叶图如图所示，若图中所有数据的中位数与平均数相等，则 __________.
A．234升B．468升C．639升D．903升
【答案】C
【解析】根据题意，得到等差数列的首项 ，公差 ，从而求出其前 项的和，再求出3共分发的大米，得到答案.
【详解】
由题意可知每天派出的人数构成等差数列，
记为 ，且 ，公差 ，
则前3项和 ，
则前3天共分发大米 （升），
故选：C.
【点睛】
本题主要考查等差数列的前 项和公式，属于简单题.
【点睛】
本题主考查了向量的减法运算的三角形法则，考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质，属于中档题．
11．已知函数 若函数 在R上单调递增，则实数a的取值范围为（）
A． B． C．[0，2）D．
【答案】D
【解析】由题得 在R上单调递增,故考虑 在 上单调递增, 在 上单调递增.且当 时, 的值大于等于 的值.
A．①②④B．①③C．①④D．②④
【答案】C
【解析】通过全称命题的否定来判断①；
通过否命题的写法来判断②；
通过指数，对数不等式的解来确定充分性和必要性来判断③；
通过复合命题的真假关系来判断④.
【详解】
全称命题的否定是特称命题，所以①正确；
命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”，所以②错误；由 ，可得 ，而由 ”，可得 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以③错误；
18．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， .
（Ⅰ）求角 ；
（Ⅱ）若 ， ，求 及 的面积.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） ，
【解析】（Ⅰ）根据正弦定理将所给条件变形、并结合三内角的关系可得 ，于是得到 ，故 ．（Ⅱ）由余弦定理求出 ，进而可得三角形的面积．
【详解】
（Ⅰ）由题意及正弦定理可得 ．
∵ ，
【详解】
因为函数 在R上单调递增,首先 在 上单调递增,故 ,则 ①；其次 在 上单调递增,而 ,令 ,故 或 ,故 ,即 ②；最后,当 时, ③；综合①②③,实数a的取值范围为 ,
故选：D．
【点睛】
本题主要考查分段函数的单调性,主要注意每段函数上满足单调性,且区间分段处左右两段的函数值也要满足单调性.
12．已知双曲线 的左右焦点为 为它的中心， 为双曲线右支上的一点， 的内切圆圆心为 ，且圆 与 轴相切于 点，过 作直线 的垂线，垂足为 ，若双曲线的离心率为 ，则（）
A． B． C． D． 与 关系不确定
【答案】A
【解析】
F1（﹣c，0）、F2（c，0），内切圆与x轴的切点是点A
∵|PF1|﹣|PF2|=2a，及圆的切线长定理知，
6．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则（）
附：
【答案】（1）有，理由见解析；（2） .
【解析】（1）列出 列联表，根据表格中的数据计算出 的观测值，并将 的值与 作大小比较，即可判断出题中结论的正误；
（2）根据表格中的数据得出参与志愿服务活动时间超过 小时的频率，然后乘以 即可得出结果.
【详解】
（1） 列联表如下表所示：
超过 小时
不超过 小时
2．已知复数 （其中 为虚数单位），则 在复平面内对应的点在（）
A．第一象限B．第三象限
C．直线 上D．直线 上
【答案】C
【解析】因为 在复平面内对应的点为 在第二象限，在直线 上，选C.
3．设 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】一是借助于中间值1，二是化为同底数的对数比较可得．
|AF1|﹣|AF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，
则|（x+c）﹣（c﹣x）|=2a
∴x=a；
|OA|=a，
在△PCF2中，由题意得，F2B⊥PI于B，延长交F1F2于点C，利用△PCB≌△PF2B，可知PC=PF2，
∴在三角形F1CF2中，有：
OB= CF1= （PF1﹣PC）= （PF1﹣PF2）= ×2a=a．
【详解】
， ， ，
∴ ，即 ．
故选：B.
【点睛】
本题考查对数和幂的比较大小，比较大小时，同是对数的能化为同底数的化为同底数，同是幂的化为同底数或者化为同指数，不能转化的借助中间值如1，0等等比较．
4．函数 图象的大致形状为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据函数的性质，结合函数图象特点即可得到结论．
2020届河北省九校高三上学期第二次联考数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解出集合A中的不等式，得出解集，求出集合B，即可求得 .
【详解】
解不等式 ， ，得 ，
所以 ，
，
所以 .
故选：B
【点睛】
此题考查解一元二次不等式，求函数值域，求两个集合的并集，关键在于根据集合关系准确求解.
A．P1•P2＝ B．P1＝P2＝ C．P1+P2＝ D．P1＜P2