图形的相似知识点总结

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九年级相似图形主要知识点

九年级相似图形主要知识点相似图形是九年级数学中的一个重要知识点，它在几何形状的比较、测量和变换等方面起到了重要的作用。

本文将介绍九年级相似图形的主要知识点，帮助同学们更好地理解和应用这一概念。

一、相似图形的定义及性质相似图形是指形状相似但尺寸不同的两个几何图形。

相似图形具有以下性质：1. 对应角相等：对于两个相似图形中的对应角，它们的度数是相等的。

2. 对应边成比例：相似图形中，对应边的长度之比是相等的。

3. 对应线段成比例：如果在相似图形中，一条线段与另一条线段相似，那么它们的长度比等于对应边的长度比。

二、相似比的计算方法相似比是描述相似图形中对应边长度之比的比值。

计算相似比的方法有两种：1. 直接比较法：分别计算两个相似图形中对应边的长度，然后求它们的比值。

2. 边长比法：如果已知一个相似图形的边长比为a：b，那么另一个相似图形的边长比也是a：b。

三、相似三角形的判定条件判定两个三角形是否相似，有以下三个条件：1. AA判定法：如果两个三角形的两个对应角分别相等，则这两个三角形相似。

2. SSS判定法：如果两个三角形的三对对应边的长度成比例，则这两个三角形相似。

3. SAS判定法：如果两个三角形的某一对对应边的长度成比例，并且夹角也相等，则这两个三角形相似。

四、相似图形的应用相似图形在实际生活和数学问题中具有广泛的应用，例如：1. 测量：利用相似图形的性质，可以根据已知的尺寸计算出未知物体的尺寸。

2. 缩放：利用相似比，可以根据原始图形和比例关系，绘制出放大或缩小的相似图形。

3. 几何问题求解：在解决一些几何问题时，可以利用相似图形的性质，进行角度关系、边长关系等的推导和计算。

五、相似图形的注意事项在应用相似图形的知识时，需要注意以下几点：1. 相似比的计算要准确无误，避免由于计算错误导致结果的错误。

2. 在使用相似三角形进行图形比例计算时，需要注意各边、角之间的对应关系，并合理选择判定条件。

北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》知识点总结

北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》知识点总结
一．比例线段：
1两条线段的比是的比。

将“形”的问题转化为“数”的问题。

2.成比例线段：四条线段a,b,c,d 中，如果，那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段。

比例线段是有顺序的，即a,b,c,d 是成比例线段，则是a:b=c:d
3.如果c
b b
a ，那么
b 叫做a 和
c 的比例中项； 4.比例的性质：
（1）基本性质：如果，那么。

（）等比性质：如果，那么 5.平行线分线段成比例定理：
如图，321////l l l ，则可得比例式： DE//AB,则所得比例式：
6．黄金分割：黄金比二．相似三角形：
1.相似三角形的判定方法：
（1）两角对应的两个三角形相似。

（2）两边对应且相等的两个三角形相似。

（3）三边的两个三角形相似
2.相似三角形的性质：
3.位似图形：
4.位似图形有同向和两种。

在坐标系中，图形上点的坐标都乘以k 时，得到的图形与原图形关于原点位似，且位似比是|k|.
5.判定两个三角形相似的常用步骤：
先通过已知，平行、对顶角、公共角等，看能否找到两对相等的角；若只能找到一对相等的角，再分析夹这个角的两边是否成比例；若找不到相等的角，就分析三边是否成比例。

5.常见的基本模型有：
D E F
1l 3
l 2
l m n
B A C。

八年级数学相似图形知识点

八年级数学相似图形知识点八年级数学相似图形知识点一、定义表示两个比相等的式子叫比例.如果a与b的比值和c与d的比值相等,那么或a∶b=c∶d,这时组成比例的四个数a,b,c,d叫做比例的项,两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项.即a、d为外项,c、b为内项. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比(ratio)AB∶CD=m∶n,或写成 = ,其中,线段AB、CD分别叫做这两个线段比的前项和后项.如果把表示成比值k,则 =k或AB=kCD. 四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即 ,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.黄金分割的定义：在线段AB上,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 ,那么称线段AB被点C黄金分割(golden section),点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.其中0.618.引理：平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.相似多边形：对应角相等,对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 相似多边形:各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.二、比例的基本性质：1、若ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么 .如果(b,d都不为0),那么ad=bc.2、合比性质：如果 ,那么 .3、等比性质：如果 == (b+d++n0),那么4、更比性质：若那么 .5、反比性质：若那么三、求两条线段的比时要注意的问题：(1)两条线段的长度必须用同一长度单位表示,如果单位长度不同,应先化成同一单位,再求它们的比;(2)两条线段的比,没有长度单位,它与所采用的长度单位无关;(3)两条线段的长度都是正数,所以两条线段的比值总是正数.四、相似三角形(多边形)的性质：相似三角形对应角相等,对应边成比例,相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.五、全等三角形的判定方法有：ASA,AAS,SAS,SSS,直角三角形除此之外再加HL六、相似三角形的判定方法,判断方法有：1.三边对应成比例的两个三角形相似;2.两角对应相等的两个三角形相似;3.两边对应成比例且夹角相等;4.定义法: 对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似.5、定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.在特殊的三角形中,有的相似,有的不相似.1、两个全等三角形一定相似.2、两个等腰直角三角形一定相似3、两个等边三角形一定相似.4、两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似.七、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫位似中心,这时的相似比又称为位似比.八、常考知识点：1、比例的基本性质,黄金分割比,位似图形的性质.2、相似三角形的性质及判定.相似多边形的性质.初中数学整式的乘法知识点(一)单项式与单项式相乘1、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

苏科版九年级数学下册第六章《图形的相似》知识点总结+易错点汇总

第六章《图形的相似》知识点一：比例线段1.比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的基本性质：(1)基本性质：a cb d =⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd±；（b 、d ≠0） (3)等比性质：a cb d =＝…＝m n ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k .（b+d …+n ≠0） 3.平行线分线段成比例定理：（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4. 黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例1：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为 cm 。

知识点二：相似三角形的性质与判定5. 相似三角形的判定：(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．如图，若∠A ＝∠D ，AC ABDF DE=，则△ABC ∽△DEF. FE DC B A学班级姓名考试号-----------------------------------------------------------密---------------------------------封----------------------------------线--------------------------------------(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC∽△DEF.6.相似三角形的性质：(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例2：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为 .(2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG= .【学习目标】1.加深了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段，认识图形的相似、位似等概念和性质．2.理解相似图形的性质与判定、位似的性质与把一个图形放大或缩小，在同一坐标系下感受位似变换后点的坐标的变化规律.【重点难点】重点：利用相似三角形知识解决实际的问题；位似的应用及在平面直角坐标系中作位似图形．难点：如何把实际问题抽象为相似三角形、位似形这一数学模型.【知识回顾】1、相似三角形定义：_________________________．2、判定方法：__________________________3、相似三角形性质：（1）对应角相等，对应边成比例；（2）对应线段之比等于；（对应线段包括哪几种主要线段？）（3）周长之比等于；（4）面积之比等于．4、相似三角形中的基本图形．（1）平行型（X型，A型）; （2）交错型；（3）旋转型；（4）母子三角形.5、位似形的性质： .6、将一个图形按一定的比例放大或缩小的步骤为： . 【综合运用】1.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.（1）求证：△ADF∽△DEC（2）若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.2如图，在等腰三角形△ABC中，底边BC=60cm，高AD=40cm，四边形PQRS是正方形，S,R分别在AB,AC上，SR与AD相交于点E.（1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？（2）求正方形PQRS的边长.【矫正补偿】如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB = 2AD．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）保持图1中ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明．【完善整合】1.通过本节课的学习你有那些收获?2.你还有哪些疑惑？第六章《图形的相似》易错疑难易错点1 对黄金分割的概念理解不清而出现漏解AB ，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长为.1. 已知线段20易错点2 找不准三角形的对应关系2. 如图，ACD ∆和ABC ∆相似需具备的条件是() A.AC AB CD BC =； B. CD BCAD AC=C. 2AC AD AB =g ；D. 2CD AD BD =g易错点3 混淆相似三角形的性质，误认为相似三角形的面积比等于相似比 3. 如图，若ADE ABC ∆∆:，DE 与AB 相交于点D ，与AC 相交于点E ，2DE =，5BC =，20ABC S ∆=，求ADE S ∆的值.易错点4 不能区分“相似”写“:”的含义4. 如图，在矩形ABCD 中，10,4AB AD ==，点P 是边AB 上一点，连接,PD PC ，若APD ∆与BPC ∆相似，则满足条件的点P 有个.第4题第5题5. 如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，16BC =cm ，12AC =cm ，点P 从点B 出发，沿BC 以2 cm/s 的速度向点C 移动，点Q 从点C 出发，以1 cm/s 的速度向点A 移动，若点,P Q 分别从点,B C 同时出发，设运动时间为t s ，当t = 时，CPQ ∆与CBA ∆相似. 疑难点1 相似三角形的判定和性质的综合应用1. 如图是一块含30°角的直角三角板，它的斜边8AB =8cm ，里面空心DEF ∆的各边与ABC ∆的对应边平行，且各对应边间的距离都是1 cm ，那么DEF ∆的周长是( )A. 5cm ；B. 6cm ；C. (63)-cm ；D. (33)+cm第1题第2题2. 如图，已知矩形ABCD ，2,6AB BC ==，点E 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向点A 运动，点F 从点B 出发，沿射线AB 以每秒3个单位长度的速度运动，当点E 运动到点A 时，,E F 两点停止运动.连接BD ，过点E 作EH BD ⊥，垂足为H ，连接EF ，交BD 于点G ，交BC 于点M ，连接,CF EC .给出下列结论:①CDE CBF ∆∆:;②DBC EFC ∠=∠;③DE HGAB EH=;④GH 10.上述结论正确的个数为( )A.1B. 2C. 3D. 4 疑难点2 相似图形中的规律探索3.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB 的两边,OA OC 分别在x 轴和y 轴上，且2,1OA OC ==.在第二象限内，将矩形AOCB 以原点O 为位似中心放大为原来的32倍，得到矩形111A OC B ，再将矩形111A OC B 以原点O 为位似中心放大32倍，得到矩形222A OC B ……依此类推，得到的矩形n n n A OC B 的对角线交点的坐标为 .第3题第4题4.如图，已知正方形11ABC D 的边长为1，延长11C D 到1A ，以11A C 为边向右作正方形1122AC C D ，延长22C D 到2A ，以22A C 为边向右作正方形2233A C C D ……依此类推，若112A C =，且点12310,,,,,A D D D D …都在同一直线上，则正方形991010A C C D 的边长是 .疑难点3 相似三角形与函数等知识的综合5. 反比例函数y ＝的图象在第一象限的分支上有一点A （3，4），P 为x 轴正半轴上的一个动点，（1）求反比例函数解析式．（2）当P 在什么位置时，△OP A 为直角三角形，求出此时P 点的坐标．疑难点4 动态问题中的相似三角形6.如图，在直角坐标系中，点(0,4),(3,4),(6,0)A B C --，动点P 从点A 出发以1个单位长度/秒的速度在y 轴上向下运动，动点Q 同时从点C 出发以2个单位长度/秒的速度在x 轴上向右运动，过点P 作PD y ⊥轴，交OB 于点D ，连接DQ .当点P 与点O 重合时，两动点均停止运动.设运动的时间为t 秒.(1)当1t =时，求线段DP 的长;(2)连接CD ，设CDQ ∆的面积为S ，求S 关于t 的函数表达式，并求出S 的最大值; (3)运动过程中是否存在某一时刻，使ODQ ∆与ABC ∆相似?若存在，请求出所有满足要求的t 的值;若不存在，请说明理由参考答案例1. 5(5－1)；例 2.（1）9：4；（2）1：2 综合运用：1.分析：（1）根据平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，即得∠ADF =∠CED ，∠B +∠C =180°，再由∠AFE +∠AFD =180°，∠AFE =∠B ，可得∠AFD =∠C ，问题得证；（2）根据平行四边形的性质可得AD ∥BC ，CD =AB =4，再根据勾股定理可求得DE 的长，再由△ADF ∽△DEC 根据相似三角形的性质求解即可. 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ，AB ∥CD ∴∠ADF =∠CED ，∠B +∠C =180°∵∠AFE +∠AFD =180，∠AFE =∠B ∴∠AFD =∠C ∴△ADF ∽△DEC ；解：（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，CD =AB =4。

人教版初中数学第二十七章相似知识点

第二十七章相似一、目标与要求1．掌握相似多边形的定义、表示法,并能根据定义判断两个多边形是否相似.2．能根据相似比进行计算.3．通过与相似多边形有关概念的类比,得出相似三角形的定义,领会特殊与一般的关系.4．能根据定义判断两个多边形是否相似,训练学生的判断能力.5．能根据相似比求长度和角度,培养学生的运用能力.6．通过与相似多边形有关概念的类比,渗透类比的教学思想,并领会特殊与一般的关系.二、知识框架三、重点、难点1．理解并相似三角形的判定与性质2．位似图形的有关概念、性质与作图．3．利用位似将一个图形放大或缩小．4．用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．5．把一个图形按一定大小比例放大或缩小后,点的坐标变化的规律．四、中考所占分数与题型分布本章会出1-2道选择、填空题,简答题必有一道三角形和相似形的综合题,本章约占15-20分.第二十七章相似27.1 图形的相似1.每组图形中的两个图形形状相同,大小不同,具有相同形状的图形叫相似图形.2.相似图形强调图形形状相同,与它们的位置、颜色、大小无关.3.相似图形不仅仅指平面图形,也包括立体图形相似的情况.4.我们可以这样理解相似形：两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．5.若两个图形形状与大小都相同,这时是相似图形的一种特例——全等形.例1：1.从哈哈镜和平面镜中看见不同的镜像,是否相似？2.从放大镜或者望远镜中看见不同的镜像,是否相似？6.相似多边形对应角相等,对应边的比相等.对应边的比称为相似比.例2：在比例尺为1：10000000的地图上,量的A、B两地的距离为10cm,求两地的实际距离.解：地图与实际的环境是相似的,因此地图中的1cm相当于实际10000000cm,即100km.A、B两地相距10cm,相当于1000km.例3：如图27.1-1,四边形ABCD和EFGH相似,求角α、β的大小和EH的长度x.图27.1-1解：四边形ABCD 和EFGH 相似,他们的对应角相等,因此可得83o C α∠=∠=,118o A E ∠=∠=在四边形ABCD 中,四边形ABCD 和EFGH 相似,他们的对应边相等,由此可得EH EF AD AB =,即242118x = 解得28x cm =27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定在△ABC 和△A ‘B ‘C ’中,如果''',,A A B B C C ∠=∠∠=∠∠=∠,''''''=AB BC AC k A B B C AC==,我们就说△ABC 和△A ‘B ‘C ’相似,记作△ABC ∽△A ‘B ‘C ’,k 就是他们的相似比.对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 成比例线段〔简称比例线段〕：对于四条线段a 、b 、c 、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即a =c b d〔或a ：b=c ：d 〕,那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段. 例1.如图27.2-1,在△ABC 中,点D 是边AB 的中点,DE//BC,DE 交AC 于点E,△ADE 与△ABC 有什么关系？解：在△ADE 与△ABC 中,A A ∠=∠DE//BC过点E 作EF//AB,EF 交BC 于点F.在□BFED 中,DE=BF,DB=EF又1,2A C ∠=∠∠=∠∴△ADE ∽△EFCAE=EC=在此处键入公式。

知识点1 图形相似的定义

知识点1 图形相似的定义定义：我们把形状相同的图形叫做相似图形. （1）两个图形相似，其中一个图形可以看做是由另一个图形放大或缩小得到的. （2）全等图形可以看成是一种特殊的相似图形，即不仅形状相同，大小也相同. （3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是相同，与图形的大小、位置无关，这也是相似图形的本质.【例1】下列图形不是相似图形的是( )A.同一张底片冲洗出来的两张不同尺寸的照片B.用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案C.某人的侧身照片和正面照片D.大小不同的两张同版本中国地图解析：依据图形相似的定义，某人的侧身照片和正面照片是两个不同角度的照片，它们的形状不同，因此不是相似图形. 答案：C知识点2 线段成比例注意：在a cb d ，b=c 时，我们把b 叫做a,d 的比例中项，此时b 2=ad. 点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC >BC )，如果AC 是线段AB 和BC 的比例中项，且ACAB＝BC AC ＝5－12≈0.618，则C 点叫做线段AB 的黄金分割点．【例2】已知线段a 、b 、c 、d 成比例线段，其中 a=2 m ，b=4 m ，c=5 m ，则d=（）A.1 mB.10 mC. mD. m解析：根据比例线段的定义得到a∶b=c∶d,然后把a=2 m，b=4 m，c=5 m代入进行计算即可∵线段a、b、c、d是成比例线段∴a∶b=c∶d而a=2 m，b=4 m，c=5 m∴d= bca452⨯= =10 m答案：B知识点3 相似多边形及其性质定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.注意：（1）仅有角相等，或仅有对应边成比例的两个多边形不一定相似.（2）相似比的值与两个多边形的前后顺序有关.【例3】如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH 的长度解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°，∠β=360°-(83°+78°+118°)=81°，EH：AD=HG：DC∴EH24 2118=∴EH=28(cm)．答：∠=83°，∠=81°，EH=28cm．ABC 相似，且 △DEF 的最大边长为20，则△DEF 的周长为解：∵△DEF ∽△ABC ，△ABC 的三边之比为2：3：4 ∴△DEF 的三边之比为2：3：4 又∵△DEF 的最大边长为20∴△DEF 的另外两边分别为10、15 ∴△DEF 的周长为10+15+20=45 答案：45知识点1 相似三角形的判定定理1平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似因为DE ∥BC ，所以图中△ABC ∽△ADE.【例1】如图所示，已知在ABCD中，E 为AB 延长线上的一点，AB =3BE ，DE 与BC 相交于点F ，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CD,AD//BC∴△BEF∽△CDF,△BEF∽△AED∴△BEF∽△CDF∽△AED∴当△BEF∽△CDF时，相似比k1=BE/CD=1/3 ；当△BEF∽△AED时，相似比K2=BE/AE=1/4；当△CDF∽△AED时，相似比K3=CD/AE=3/4 .知识点2 相似三角形的判定定理2三边成比例的两个三角形相似．这种判定方法是常用的判定方法，也就是说两个三角形只要三条对应边的比相等，就可判定这两个三角形相似.C知识点1 相似三角形的判定定理3两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．如图所示，在△ABC与△DEF中，∠B=∠E，23AB BCDE EF==，可判定△ABC∽△DEF.注意在利用该方法时，相等的角必须是已知两对应边的夹角，才能使这两个三角形相似，不要错误地认为是任意一角对应相等，两个三角形就相似.注意：在两个直角三角形中，若两组直角边的比相等，则这两个直角三角形相似．【例1】如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？知识点2 相似三角形的判定定理4两角分别相等的两个三角形相似如图所示，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，那么△ABC∽△A1B1C1.注意：在两个直角三角形中，若有一个锐角对应相等，则这两个直角三角形相似．知识点3 相似三角形的判定定理的综合运用判定三角形相似的几种基本思路：（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形基本定理；（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹边成比例；（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；（5）条件中若有等腰关系，可找顶角相等或一对底角相等，也可找底和腰对应成比例.知识点1 性质一：相似三角形对应线段的比等于似比相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.已知一个三角形三边长为8，6，12，另一个三角形有一条边为4，要使这两个三角形相似，则另外两边长分别为．知识点2 性质二：相似三角形周长的比等于相似比两个相似三角形对应中线的比为1：4，它们的周长之差为27cm，则较大的三角形的周长为cm．解：令较大的三角形的周长为x cm 小三角形的周长为(x-27)cm由两个相似三角形对应中线的比为1：4得1：4=(x-27)：x，解得x=36 cm答案：36知识点3 相似三角形面积的比等于相似比的平方两个相似三角形的周长是2：3，它们的面积之差是60cm2，那么它们的面积之和是.解：∵两个相似三角形的周长是2：3∴它们的相似比为2：3，面积的比为4：9设两个三角形的面积分别为4k，9k由题意得，9k-4k=60，解得k=12∴两个三角形的面积分别为48cm2，108cm2∴它们的面积之和是48+108=156cm2答案：156cm2。

相似图形知识点

相似图形知识点知识点一:比例线段1．相似形：在数学上，具有相同形状的图形称为相似形2．比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段3. 比例的项：已知四条线段a 、b 、c 、d ，如果a ∶b ＝c ∶d ，那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的项，线段a 、d叫做比例的外项，线段b 、c 叫做比例的内项，线段d 叫做a 、b 、c 的比例第四比例项；比例中项：如果比例内项是两条相同的线段a ∶b ＝b ∶c ，即，那么线段b 叫做线段a 和c 的比例中项。

4. 比例的性质（1）基本性质:bc ad dc b a =⇔=， a ∶b ＝b ∶c ⇔b 2=ac （2）合、分比性质:dd c b b a d c b a d d c b b a d c b a -=-⇒=+=+⇒=或（3）比例中项:若c a b c a b c b b a ,,2是则即⋅==的比例中项. 知识点二：比例尺 = 实际长度图上长度（做题之前注意先统一单位）拓展：两个物体的图上长度之比等于实际长度之比（同一时刻的物高之比等于影长之比）知识点二：黄金分割：如果点C 在线段AB 上，分AB 为两部分AC 与BC ，AC ＞BC ，且AB AC =AC BC ,那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.小：大 = 大：全=≈-2150.618 另外一个黄金分割点382.0253≈- 注意：一条线段都有两个黄金分割点，且关于中点对称。

长与宽的比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形。

底边和腰的比等于黄金比的三角形叫做黄金三角形，黄金三角形可以一直“黄金”下去7. 平行线分线段成比例定理（1）已知l 1∥l 2∥l 3,可得EFBC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.（2）由DE ∥BC 可得：ACAE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或. A A D l 1 D EB E l 2B CC F l 38．相似三角形的判定：(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似,记作: △ABC ∽△A /B /C /。

第四章图形的相似(知识点)

第四章图形的相似一．成比例线段1.线段的比※1.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成nm B A =. ※2.成比例线段及比例的性质：（1）成比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即d c b a =,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段.※注意点:①a:b=k,说明a 是b 的k 倍； ②由于线段a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数； ③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致.（2）比例的基本性质:若dc b a =, 则ad=bc ；若ad=bc, 则d b c a d c b a ==或 ※合比性质:如果dc b a =，那么d d c b b a ±=±； ※等比性质：如果n m d c b a =⋅⋅⋅==（0≠+⋅⋅⋅++n d b ），那么n d b m c a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++＝b a 注意：若没有“b+d+…+n ≠0”这个条件，需分类讨论.二.平行线分线段成比例※平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图1，1l //2l //3l ，则EFBC DE AB =.推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例.定理推论：①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例.②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.三.黄金分割如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果ACBC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比，一条线段有两个黄金分割点.≈-=215AB AC ：0.618:1；AB BC 253-=四．相似多边形一般地,形状相同的图形称为相似图形.1.概念：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.2.性质：相似多边形的对应角相等、对应边成比例；周长等于相似比；面积比等于相似比的平方.（3）判定：对应角相等、对应边成比例的两个多边形相似.（两个条件缺一不可）五．三角形的相似（“∽”不需分类讨论，“相似”需分类讨论）1.探索三角形相似的条件※相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.①两角对应相等；②两边对应成比例,且夹角相等；③三边对应成比例. ①一个锐角对应相等；②两条边对应成比例；a. 两直角边对应成比例；b.斜边和一直角边对应成比例.2.相似三角形的判定定理的证明3.利用相似三角形测高（3种方法）（1）利用太阳光线平行运用方法1:可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高.（2）利用标杆运用方法2：观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度.（3）利用反射运用方法3：光线的入射角等于反射角.4.相似三角形的性质（1）对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.（2）全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.（3）性质：①相似三角形对应角相等，对应边成比例；②相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；④相似三角形面积的比等于相似比的平方.※5.图形的位似：→位似图形的概念：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行或在一条直线上,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比.→位似图形的性质：（1）位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质；（2）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中的对应线段平行（或在一条直线上）.→位似图形的画法：（1）画出基本图形；（2）选取位似中心；（3）根据条件确定对应点，并描出对应点；（4）顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形.例题：如图，已知△ABC 和点O.以O 为位似中心，求作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长扩大到原来的两倍.注意：给出基本图形和位似中心，可以做两个图形与原图形位似，分别在位似中心同侧和异侧各有一个，在具体的题中需根据实际情况作图.→位似变换与坐标在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k.例如：点A(x,y)的对应点为A ´，则A ´点的坐标可以这样确定xA ´=xA ×k ，yA ´=yA ×k 即A ´（kx,ky ）或xA ´=xA ×(-k)，yA ´=yA ×(-k) 即A ´（-kx,-ky ）例题：在平面直角坐标系中, 四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O 为位似中心,相似比为21的位似图形.题：△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，点A的对应点A′的坐标为____________总结：至此，我们学过的图形变换有：平移，轴对称，旋转，位似.（1）平移：上下移：横坐标不变，纵坐标随之平移左右移：纵坐标不变，横坐标随之平移（2）轴对称:关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数（3）旋转:绕原点旋转180度（中心对称）：横坐标、纵坐标都互为相反数（4）位似:以原点为位似中心，相似比为k的位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.。

数学相似图形知识点总结归纳

数学相似图形知识点总结归纳※1、如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n,或写成.※2、四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c 与d的比,即,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.※3、注意点:①a:b=k,说明a是b的k倍;②由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;④除了a=b之外,a:b≠b:a,与互为倒数;⑤比例的基本性质:若,则ad=bc;若ad=bc,则※1、如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.※2、黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.三、相似多边形¤1、一般地,形状相同的图形称为相似图形.※2、对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.※1、在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.※2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.※3、全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1.注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.※4、相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.※5、相似三角形周长的比等于相似比.※6、相似三角形面积的比等于相似比的平方.※1、相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.①两角对应相等;②两边对应成比例,且夹角相等;③三边对应成比例.①一个锐角对应相等;②两条边对应成比例:a.两直角边对应成比例;b.斜边和一直角边对应成比例.※2、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.※3、平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.※1.如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形;这个点叫做位似中心;这时的相似比又称为位似比.※2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.◎3.位似变换:①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.。

第四章图形的相似(知识点)

一般三角形
直角三角形
基本定理 : 平行于三角形的一边且和其他两边 ( 或两边的延长线 ) 相交的直线 , 所
截得的三角形与原三角形相似 .
①两角对应相等；
①一个锐角对应相等；
②两边对应成比例 , 且夹角相等；
②两条边对应成比例；
③三边对应成比例 .
a. 两直角边对应成比例；
b. 斜边和一直角边对应成比例 .
那么这样的两个图形叫做位似图形 , 这个点叫做位似中心 . 这时两个相似图形的相似比又叫做
它们的位似比 .
→位似图形的性质：
（1）位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质；
（2）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中的对应线段平行（或在一条直线上）
.
→位似图形的画法：
③比与所选线段的长度单位无关 , 求出时两条线段的长度单位要一致 .
（2）比例的基本性质 : 若 a
c
a
, 则 ad=bc ；若 ad=bc, 则
c或 a
bd
bd c
※合比性质 :如果 a
c
ab
，那么
c d；
bd
b
d
※等比性质：如果 a c
m（b d
n 0 ），那么 a c
bd
n
bd
注意：若没有“ b+d+ +n ≠ 0 ”这个条件，需分类讨论 .
※2. 成比例线段及比例的性质：
（1）成比例线段：四条线段 a、 b、c、d 中 , 如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比 , 即 a b
么这四条线段 a、 b、 c、 d 叫做成比例线段 , 简称比例线段 .

初中九年级数学相似知识点

初中九年级数学相似知识点相似是数学中一个重要的概念，也是数学学习中的基础内容之一。

在初中九年级的数学学习中，相似是一个重要的知识点。

本文将介绍初中九年级数学中相似的相关知识点，以及相关应用。

一、相似的概念及性质相似是指两个图形的形状相同但尺寸不同。

在数学中，我们可以通过相似来解决一些几何问题。

相似的概念有以下几个性质：1. 对应角相等性质：两个相似图形的对应角相等。

2. 对应边成比例性质：两个相似图形的对应边成比例。

二、相似三角形的判定条件在初中九年级数学中，我们通常需要判断两个三角形是否相似。

以下是判定两个三角形相似的条件：1. AAA 判定相似定理：若两个三角形的三个角分别相等，则这两个三角形相似。

2. AA 判定相似定理：若两个三角形的两个角分别相等，并且对应边成比例，则这两个三角形相似。

三、相似比例相似的两个图形的对应边成比例。

在初中九年级的数学中，我们经常会涉及到相似比例的计算。

相似比例的计算方法如下：1. 如果两个图形相似，我们可以通过已知的两组对应边的长度，计算出它们的相似比例。

2. 设相似比例为k，则相似图形中相同位置的边长度之比为k。

四、相似图形的应用相似图形在实际问题中有广泛的应用。

以下是一些常见的相似图形应用：1. 测量高楼的高度：通过在两个相似的三角形之间设置高度比例，我们可以根据已知高楼和测量结果的比例，计算出高楼的实际高度。

2. 制作地图：在地图制作过程中，我们可以通过相似的关系将一个大区域缩小到合适的尺寸，以便于绘制。

3. 三角测量：在实际测量中，我们可以利用相似三角形的边长比例关系，计算得到难以直接测量的距离。

五、总结相似是数学中一个重要的概念，在初中九年级的数学学习中，相似是一个重要的知识点。

相似的性质和判定条件可以帮助我们解决实际问题，同时也为我们理解几何形状的变化提供了基础。

相似比例的应用也是数学在实际生活中的体现。

通过深入学习相似的概念和应用，我们可以更好地理解数学知识，提高我们的数学水平。

相似图形知识点

相似图形知识点在我们的数学世界中，相似图形是一个非常重要的概念。

它不仅在数学的学习中经常出现，而且在实际生活中也有着广泛的应用。

那什么是相似图形呢？相似图形，简单来说，就是形状相同，但大小不一定相同的图形。

就好比两个不同大小的正方形，它们的形状都是正方形，但边长可能不同。

再比如，不同大小的等边三角形，它们的角度都一样，形状相同，只是大小有差别。

相似图形具有一些显著的特点和性质。

首先，对应角相等。

比如说，如果两个三角形相似，那么它们对应的角的度数是完全一样的。

其次，对应边成比例。

这意味着，如果一个三角形的一条边是另一个相似三角形对应边的两倍，那么其他对应边也会有相应的比例关系。

相似图形的判定方法有多种。

如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形就是相似的。

对于三角形来说，判定方法就更加具体和多样了。

比如，如果两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似。

又或者，如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，这两个三角形也是相似的。

在实际生活中，相似图形的应用非常广泛。

比如建筑师在设计建筑时，常常会根据小比例的模型来建造实际的大型建筑，这里模型和实际建筑就是相似图形的关系。

再比如，地图也是相似图形的应用之一，地图上的距离和实际的距离是按照一定比例缩小的，这样我们才能通过地图来了解实际的地理情况。

相似三角形是相似图形中的重要部分。

在解决相似三角形的问题时，我们常常会用到一些定理和方法。

比如，相似三角形的面积比等于相似比的平方。

如果两个相似三角形的相似比是 2:3，那么它们的面积比就是 4:9。

相似三角形的性质在解决实际问题中有着很大的作用。

比如，在测量一些无法直接测量的物体高度或距离时，我们就可以利用相似三角形的性质来解决。

例如，要测量一棵大树的高度，但我们无法直接测量。

这时候，我们可以在同一时间，同一地点，测量一根已知长度的杆子的影子长度和大树的影子长度。

初三数学九年级上册知识点——图形的相似

九年级数学上册知识点图形的相似一、成比例线段1.定义：（1）线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m:n,或者写成AB/CD=m/n. （2）成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。

2.定理：如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0),那么（a+c+m）/(b+d++n)=a/b二、平行线分线段成比例1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

2.平行于三角形一边的直线与其他两边相交。

截得的线段成比例。

三、相似多边形定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比。

四、探索三角形相似的条件1.两角分别相等的两个三角形相似。

2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3.三边成比例的两个三角形相似。

4.概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。

五、相似三角形判定定理的证明判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似。

(此定理用的最多)判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

六、利用相似三角形测高1.利用阳光下的影子2.利用标杆3.利用镜子的反射七、相似三角形的性质1.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。

图形相似与相似三角形知识点

图形相似与相似三角形知识点相似是指形状相同但大小不同的两个图形，类似于放大或缩小后的图像。

相似的两个图形具有以下特点：•对应顶点角度相等•对应边比例相等•对应边平行因此，我们可以根据这些共同点判断两个图形是否相似。

相似三角形相似三角形是指具有相似形状的三角形，但是它们的边长不一定相等。

相似三角形的判断条件为：•AAA准则：两个三角形的三个内角相等，则它们相似。

•AA准则：两个三角形的两个内角相等，则它们相似。

•SAS准则：两个三角形的一对边和它们夹角相等，则它们相似。

其中，SAS准则是使用最广泛的判断方式，因为它是判断两个三角形是否相似的最有效方法。

相似三角形的性质相似三角形有许多重要的性质，以下是其中一些：•对应边比例相等。

对于相似三角形ABC和DEF，有AB/DE = AC/DF = BC/EF，其中AB和DE、AC和DF、BC和EF分别是对应边。

•相似三角形的高线、中线、角平分线和垂直平分线也是相似的。

例如，如果三角形ABC和DEF相似，则它们的高线、中线、角平分线和垂直平分线也相似。

•相似三角形的面积比等于对应边比的平方。

例如，如果三角形ABC 和DEF相似，则它们的面积比为S(ABC)/S(DEF) = (AB/DE)^2 = (AC/DF)^2 = (BC/EF)^2。

解决实际问题相似三角形的知识可以有效地应用于实际问题中。

以下是一些示例：•使用相似三角形来计算高度：当需要计算无法直接获得高度的对象高度时，可以利用相似三角形的原理来计算。

例如，一位工程师需要计算一栋建筑物的高度，但是他无法直接获得建筑物的高度。

在这种情况下，他可以站在一个已知的位置并利用三角函数（正切）计算出地平线上某个点的角度。

然后，他可以测量人的高度并利用相似三角形来计算出建筑物的高度。

•使用相似三角形来计算距离：当需要计算无法直接获得距离的对象距离时，可以利用相似三角形的原理来计算。

例如，一位地质学家需要计算一个峭壁的高度和距离，但他无法测量峭壁高度和距离。

九年级《图形的相似》知识点归纳

苏科版九下《图形的相似》知识点归纳知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即512AC BC AB AC == 简记为：512长短＝＝全长注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形（3）合、分比性质：a c a b c db d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n mf e d c b a ，那么ban f d b m e c a =++++++++ ．知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 特别在三角形中：由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（上图）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似．3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．5、判定定理4：直角三角形中，“斜边和一直角边对应成比例” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“斜边和一直角边对应成比例”（3如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则 ∽ ＝＝＞ AD 2=BD ·DC ，∽ ＝＝＞ AB 2=BD ·BC ，∽ ＝＝＞ AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）FE D CB A E BD E D(3)B C AE DBC(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。

初三数学相似图形知识点归纳

初三数学相似图形知识点归纳（一）线段的比1.两条线段的比的概念：两条线段的比就是两条线段长度的比例：（1）线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，所以两线段a ,b 的比为3 : 6=1 : 2, 对吗？不对，因为a 、b 的长度单位不一致，.注意在量线段时要选用同一个长度单位•（3 ）若二E ，且 a 「b ，c=8，则 a = 。

53 2 --------a b c 令 k ,贝 V a=5k ， b=3k ， c = 2k 解： 5 3 2a-b c=5k-3k 2k=4k=8 k=2 a = 5k =10（4 ）若 x:y:z =2: 3: 4，则3x一2y z=。

y -------------------解：设 x=2k , y=3k , z=4k3x -2y z 3 2k -2 3k 4k 6k - 6k 4k 4k 4y ~ 3k - 3k 一 3k 一 3（二）比例尺二图上距离/实际距离.例1.已知：A 、B 两地的实际距离是 80千米，在某地图上测得这两地之间的距离为 1cm ,则该地图的比例尺为 ________ 。

现量得该地图上太原到北京的距离为6.4cm ，则两地的实际距离为 ___________ （用科学记数法表示）。

相距50千米的C 、D 两地在该地图上的距离为比例尺二1丁 1解:80 千米 80000006.4 8000000 二 51200000cm 二 512km = 512 102km50.625 (cm ) 8000000 8000000 82答案：1： 8000000; 5.12 X 10 km ; 0.625cma c(1)若 5a =7b ，则-=b(2)若 8x -5y = 0，贝V x =50km 5000000（三）比例的基本性质：如果那么ad 二bey为50cm , 求 ABC 的周长。

(4)a 右一b - k ，则 k -b c a ca bA. 1或_1B. 1C. TD.- 222a c e 5(1)-解: b d f7a 2c-3e 5b 2d -3f 7 a 2c -3e _ 5 b 2d - 3f 7(2) 8x = 5yx 5x = 5k ，y = 8ky 8x y 5k 8k 13k 13 x -y 5k -8k --3k 3 (3)已知x yz 11 十，求 x 。

初三数学相似形的知识点

判断两个图形是否相似时，要注意比较的是对应边之比，而不是长度的大小；
在计算面积、体积时，要注意使用相似形的性质，并正确计算对应边之比；
在解决解析几何问题时，要注意利用相似形的性质，并根据题意确定对应边。
希望以上内容能够帮助您更好地理解相似形的概念和应用。
在初中数学学习中，相似形是一个重要的概念。
1.定义：如果两个图形在同一坐标系内，且任意一个图形的任意一条边与任意一条角的对应边或对应角相等，则这两个图形为相似形。
2.相似形的性质：
两个相似形的相似比等于每对对应边之比的乘积相等；两个相似形源自面积之比等于每对对应边之比的平方相等；
两个相似形的体积之比等于每对对应边之比的立方相等。
3.相似形的判定：
两个图形相似，当且仅当它们的所有内角相等；
如果两个图形的两条对应边之比相等，则它们的所有内角相等；
如果两个图形的三条对应边之比相等，则它们的所有内角相等。
4.相似形的应用：
利用相似形的性质解决计算面积、体积的问题；
利用相似形的性质解决解析几何问题，如求线段中点、垂足等。
5.相似形的注意事项：

图形关系知识点总结

图形关系知识点总结一、相似三角形1. 定义：如果两个三角形的对应角相等，那么我们称它们为相似三角形。

2. 判定条件：两个三角形相似的充分必要条件是它们的对应角相等。

3. 相似三角形的性质：a. 对应边成比例：如果两个三角形是相似的，那么它们的对应边长成比例。

b. 相似三角形的高成比例定理：相似三角形的高与边的长度成比例。

c. 相似三角形点到边的距离成比例：相似三角形中的相似三角形的对应边上的高分别成比例。

4. 相似三角形的判定方法：a. 角-角-相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形是相似的。

b. 三角形的高分成比例定理：如果两个三角形的高分成比例，则这两个三角形是相似的。

二、全等三角形1. 定义：如果两个三角形的对应边和对应角分别相等，那么我们称它们为全等三角形。

2. 判定条件：两个三角形全等的充分必要条件是它们的对应边和对应角分别相等。

3. 全等三角形的性质：全等三角形的所有对应元素都相等。

4. 全等三角形的判定方法：a. 边-边-边全等定理：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形是全等的。

b. 边-角-边全等定理：如果两个三角形的一对对应边和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。

c. 角-边-角全等定理：如果两个三角形的两对对应角和一对对应边分别相等，则这两个三角形是全等的。

三、平行四边形1. 定义：四边形的对边分别平行,两对对角相等的四边形叫做平行四边形。

2. 平行四边形性质：a. 对边平行性质：在平行四边形中，对边是平行的。

b. 对角相等性质：在平行四边形中，对角相等。

c. 对角平分性质：在平行四边形中，对角平分。

d. 传递性：如果一方是平行四边形，那么这一方的异边，对角也是平行四边形。

3. 平行四边形的判定方法：a. 对边平行定理：如果四边形的一对对边平行，那么这个四边形是平行四边形。

b. 对角相等定理：如果四边形的一对对角相等，那么这个四边形是平行四边形。

四、直角三角形1. 定义：含有一个直角的三角形叫做直角三角形。

图形的相似知识点总结

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知识点1 图形相似的定义

相似图形知识点

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九年级《图形的相似》知识点归纳

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