malthus人口模型
1 人口增长 连续模型
公式(4)能非常准确地反映了在1700-1961年间世 界估计人口总数,
5
但当t=2510年, t=2635年, t=2670年,
x = 21014 (2万亿),
x = 1.81015 (18万亿), x = 3.61015 (36万亿),
显然,这些数字说明马尔萨斯人口模型对长期的 预测是不正确的.
看来为了使人口预报,特别是长期预报更好地符 合实际情况,必须修改指数增长模型关于人口增长率 是常数这个基本假设.
7
荷兰生物学家Verhulst引入常数 xm ,用来表示
自然资源和环境条件所允许的最大人口,并假定人
口增长率
r(t, x(t)) r(1 x(t))
(5)
xm
即人口增长率随着 x(t) 的增加而减少,当 x(t) xm
时，人口增长率趋于零．
其中： r, xm 是根据人口统计数据或经验确定的常数;
因子
(1
x(t) )
xm
体现了对人口增长的阻滞作用.
由此得：Logistic模型
dx
dt
r(1
x )x xm
(6)
x(t ) |tt0 x0
8
解之得：x(t )
xm
(7)
1 ( xm 1)er(tt0 )
x0
根据(6), (7)两式可画出 x ~ t
马尔萨斯模型公式
马尔萨斯模型公式
经济学家托马斯·罗伯特·马尔萨斯提出的模型
马尔萨斯模型来自于英国经济学家托马斯·罗伯特·马尔萨斯于1798 年发表的《人口原理》。在书中马尔萨斯指出，人口按几何级数增长，而生活资源只能按算术级数增长，二者之间的矛盾导致饥荒、战争和疾病的周期性爆发。马尔萨斯人口论的提出有其一定的历史背景和历史局限性。现在用马尔萨斯模型通常指人口的指数增长。
马尔萨斯的人口理论的主要观点、历史背景在词条“马尔萨斯主义”中有较为详细的阐述。本词条主要从数学模型的角度去论述。马尔萨斯的人口论指出：在没有生存资源限制的情况下，人口或生物种群的数量成指数增长。例如：用一个公比为 2 的等比数列的模型，人口的增长规律是1，2，4，8，16，32，64，128，256，……
而用斐波那契数列的模型（公比为黄金分割比(1+√5)/2 ≈1.618），人口的增长规律是
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……
这些模型的共同特征是人口数量在单位时间内增长的百分比r 是一定的。写成一个微分方程的形式，设t = 0 时刻的人口数量为N0，则t 时刻的总人口Nt 满足马尔萨斯认为，人口长期不受控制的指数增长的速度十分惊人，生存资源的增长速度将无法满足众多人口的生存需
要，从而产生一系列人口问题，严重时甚至会爆发饥荒、战争和疾病来除去资源与环境无法承受的过剩人口。
Malthus模型和Logistic模型
Malthus模型和Logistic 模型
随着社会的发展，人口问题与经济、资源、环境、社会的冲突日
益成为制约国家发展的瓶颈，了解了人口增长函数，也就掌握了人口的发展动态和发展规律，这对国家的发展有重要意义。
1798年.英国人口学家和政治经济学家马尔萨斯以两个假设为前提：第一，食物为人类生存所必须；第二，人的性本能几乎无法限制，提出了闻名于世的人口指数增长模型，即Malthus人口模型：人口总数为p(t),人口的出生率为b,死亡率为d。任取时段【t, t + dt ],在此时段中的出生人数为b p(t)dt ,死亡人数为d p(t)dt。假设出生数及死亡数与p(t)及dt均成正比，而且以矩形取代了曲边梯形的面积。在时段【t, t+dt ]中，人口增加量为p(t dt)- p(t)〜d p(t), 它应等于此时段中的出生人数与死亡人数之差，即
d p(t) =b p(t) dt —d p(t) dt = a p(t) dt,
其中a=b—d称为人口的净增长率。于是p(t)满足微分方程
^=ap(t). (1)
dt
若已知初始时刻t=t0时的人口总数为P0,那么p(t)还满足初始条件t=t0 时，p(t) =p0. (2)
可以求得微分方程(1)满足初始条件⑵ 的解为(设a是常数) p(t)=p c e a(t _t0), ⑶
即人口总数按指数增长。
模型参数的意义和作用：t0为初始时刻(初始年度)，P0为初始年度t0的人口总数，a为每年的人口净增长率，b为人口出生率，d 为人口死亡率。Malthus 人口模型所说的人口并不一定限于人，可以是认可一个生物群体，只要满足类似的性质即可。
数学应用典型案例模型1马尔萨斯人口增长(指数增长)模型
K
dN
p n1
12
M 年的利息之和是
I y1 y2 ... y12m
p 12
P0
12 m n1
1
p 12
n1
12ma
12 m
a
n 1
1
p 12
n1
1
p
12m
1
1
p
12 m
人是经济领域中最活跃的、最重要的因素。一个地区、一个国家乃至全世界 人口的多少对其经济发展都是非常重要的，所以，很早以前，人们就密切关注人 口的发展变化，预测未来的人口数量。人类历史上最早利用微积分的方法预测人 口的人口学家是英国一位宗教界人士----T.J.Malthus（1766-1834）。
T.J.Malthus 根据他那个时代欧洲百余年的人口统计资料，利用微积分的方 法，于 1798 年成功地建立了人口指数增长模型，被公认为“Malthus 人口论”。 1.1 问题的提出
马尔萨斯模型公式推导
马尔萨斯模型公式推导
马尔萨斯模型是一个经济学模型，用于描述人口增长率和资源增长率之间的关系。该模型由英国经济学家托马斯·马尔萨斯于1798年提出。
马尔萨斯模型的公式推导从初始人口数开始。假设初始人口数为P0，人口增长率为r，资源增长率为g，时间为t。则在t时刻，人口数Pt可以表示为：
Pt = P0 * (1 + r)^t
而资源数Gt可以表示为：
Gt = G0 * (1 + g)^t
其中，G0为初始资源数。由于人口增长率和资源增长率之间存在负相关关系，因此可以将r和g的关系表示为：
r = a - b * Gt
其中，a为初始人口增长率，b为反映资源枯竭程度的常量。将r代入Pt的公式中，得到：
Pt = P0 * (1 + a - b * Gt)^t
这就是马尔萨斯模型的公式。它描述了人口增长率随着资源增长率的减少而减缓的过程。在模型中，当资源增长率为零时，人口增长率将趋于零，即人口数量将达到一个稳定值。
当然，这只是马尔萨斯模型的简化版，实际情况往往更加复杂。但是，该模型为我们理解人口增长与资源消耗之间的关系提供了一个基础框架。
人口指数增长模型
《数学模型》实验报告
实验名称：如何预报人口的增长成绩：___________
实验日期：2009 年 4 月22 日
实验报告日期：2009 年 4 月 26 日
人类文明发展到今天,人们越来越意识到地球资源的有限性,我们感受到"地球在变小",人口与资源之间的矛盾日渐突出,人口问题已成为当前世界上被最普遍关注的问题之一,当然人口增长规律的发现以及人口增长的预测对一个国家制定比较长远的发展规划有着非常重要的意义.本节介绍几个经典的人口模型.
模型I:人口指数增长模型(马尔萨斯Malthus,1766--1834)
1) 模型假设
时刻t人口增长的速率,即单位时间人口的增长量,与当时人口数成正比,即人口增长率为常数r.
以P(t)表示时刻t某地区(或国家)的人口数,设人口数P(t)足够大,可以视做连续函数处理,且P(t)关于t连续可微.
2) 模型建立及求解
据模型假设,在t到时间内人口数的增长量为
,
两端除以,得到
,
即,单位时间人口的增长量与当时的人口数成正比.
令,就可以写出下面的微分方程:
,
如果设时刻的人口数为,则满足初值问题:
(1)
下面进行求解,重新整理模型方程(1)的第一个表达式,可得
,
两端积分,并结合初值条件得
.
显然,当时,此时人口数随时间指数地增长,故模型称为指数增长模型(或Malthus模型).如下图3-2所示.
3) 模型检验
19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好的吻合.19世纪以后的许多国家,模型遇到了很大的挑战.
注意到,而我们的地球是有限的,故指数增长模型(Malthus模型)对未来人口总数预测非常荒谬,不合常理,应该予以修正.
人口指数增长模型和Logistic模型
表1 美国人口统计数据
指数增长模型：rt e x t x 0)(=
Logistic 模型：()011m
rt
m x x t x e x -=
⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
解：模型一:指数增长模型。Malthus 模型的基本假设下，人口的增长率为常数，记为r ，记时刻t 的人口为 )(t x ，（即)(t x 为模型的状态变量）且初始时刻的人
口为0x ，因为⎪⎩⎪⎨⎧==0
)0(x x rx
dt dx
由假设可知0()rt x t x e = 经拟合得到：
}2
120010120
()ln ()ln ,ln (),,ln rt a y a t a x t x e x t x rt r a x e
y x t a r a x =+=⇒=+⇒
=====
程序：
t=1790:10:1980;
x(t)=[ ]; y=log(x(t));a=polyfit(t,y,1) r=a(1),x0=exp(a(2)) x1=x0.*exp(r.*t);
plot(t,x(t),'r',t,x1,'b') 结果：a =
r= x0=
所以得到人口关于时间的函数为：0.02140()t x t x e =，其中x0 = ， 输入：t=2010;
x0 = ;
x(t)=x0*exp*t)
得到x(t)= 。即在此模型下到2010年人口大约为 610⨯。
模型二：阻滞增长模型（或 Logistic 模型） 由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为 x 的减函数，如设)/1()(m x x r x r -=，其中 r 为固有增长率 (x 很小时 ) ，m x 为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）， 于是得到如下微分方程：
Leslie模型(数学建模)
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建立模型:
a(0) a(1) a(2) • • • a(n)
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分析：
1.当t<r时，p(r,t)完全由年龄为r-t的人口的初始密度及 这些人的死亡率决定。 2.t>r 时，p(r,t)完全由未来的生育状况f(t-r)及死亡率决 定。
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两个重要模型: Keyfitz Leslie
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一些定义:
b(0)
构造n+1阶方阵 L=
b(1) b(2)
•••
那么I (1)=(L-H)K ; I (t)=(L-H) I (t-1)
b(n-1)
I (t)= (L-H) tK
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定理：Leslie矩阵具有唯一的正特征根1，
与之对应的特征向量为
N=（ 1k/(P0P1…P k-1), 1k-1(P1…P k-1),…, 1/P k-1,1)T
(4)p社会人口老龄化指数 w(j)=y(j)/Q(j)
malthus人口模型
常微分方程在数学建模中的应用
这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型
由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.
例1（ 马尔萨斯 （Malthus ） 模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.
解 设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ∆+时间段内,人口的增长量为
t t rN t N t t N ∆=-∆+)()()(,
并设0t t =时刻的人口为0N ,于是
⎪⎩⎪⎨⎧==．
，
00)(d d N t N rN t N
这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为
)(00e )(t t r N t N -=,
此式表明人口以指数规律随时间无限增长.
malthus模型方程
malthus模型方程
Malthus模型方程
引言
Malthus模型方程是由英国经济学家托马斯·罗伯特·马尔萨斯于18世纪末提出的，用于描述人口与资源之间的关系。该模型方程对人口增长和资源供给的平衡进行了预测，揭示了人口增长可能引发的问题和限制。本文将详细介绍Malthus模型方程的背景、假设和应用，并探讨其对人类社会发展的启示。
背景
在18世纪末，人口增长迅速成为社会关注的焦点。马尔萨斯观察到，人口呈指数增长，而资源供给增长缓慢，因此提出了马尔萨斯模型方程。他认为，人口将以指数方式增长，而资源供给则以线性方式增长，这种不平衡将导致人口过剩和资源匮乏的问题。
假设
Malthus模型方程基于以下假设：
1. 人口增长率是指数函数，即人口数量以指数方式增长。
2. 资源供给增长率是线性函数，即资源供给以固定的速度增长。
3. 人口和资源之间的平衡取决于人口增长率和资源供给增长率之间的关系。
4. 当人口增长率大于资源供给增长率时，将发生人口过剩和资源匮乏的问题。
Malthus模型方程可以表示为：dP/dt = rP - k
其中，dP/dt表示人口数量随时间的变化率，r表示人口增长率，P 表示人口数量，k表示资源供给增长率。
解读与应用
Malthus模型方程的解释和应用可以从以下几个方面进行探讨：
1. 人口过剩与资源匮乏
根据Malthus模型方程，当人口增长率大于资源供给增长率时，将导致人口过剩和资源匮乏。这意味着人口数量超过了资源供给的可持续范围，人们将面临食物、水源、能源等资源的短缺问题。这对人类社会的可持续发展构成了挑战，需要采取相应的措施来调整人口增长和资源利用的平衡。
人口预测模型
⼈⼝预测模型
⼈⼝预测模型
想要预测未来某⼀年的⼈⼝数量，我们要建⽴⼈⼝增长模型，⼈⼝增长模型常见的有以下⼏种： 1)马尔萨斯(Malthus)模型——指数模型已知单位时间内⼈⼝增长率为r 。
设t 时刻时⼈⼝数为x(t),则t ?时间内增长的⼈⼝数为： )()
()()()()(t rx t
t x t t x t t rx t x t t x =?-?+??=-?+
当0→?t 时，得微分⽅程
0)0(,x x rx dt
dx
== 求解得
rt
e
x t x 0)(=
待求参数r x ,0.
2) 罗杰斯特(Logistic)模型-阻滞型⼈⼝模型
已知环境能容纳的最⼤⼈⼝数为m x ，⼈⼝净增长率随⼈⼝数量的增加⽽线性减少，即
)1()(m
x x r t r -
= 设t 时刻时⼈⼝数为x(t)，由此建⽴为微分⽅程：
0)0(),1(x x x x
rx dt dx m
=-= 求解得
rt
m
m
e x x x t x --+=
)1(1)(0
待求参数r x x m ,,0. 举例说明：
下⾯是美国近两个世纪的⼈⼝统计数据（百万），试建⽴数学模型，预测2010年美国的⼈⼝数。
⼀建模分析
⽬标：寻找⼈⼝数量随时间变化的规律,即函数关系式.
⼈⼝的变化规律有其内在的规律，如Malthus 模型,
Logistic 模型.
题⽬中给的数据有什么作⽤呢？⽤这些数据做散点图，观察散点图分布规律，确定⼈⼝模型.
散点图Matlab 程序：
x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204,226.5,251.4,281.4]; t=1:22; plot(t,x,'*')% scatter(t,x)
人口模型
龄组的人数所占的比例。
显然 ai 0(i 1, 2,L , n), 0 bi 1(i 1, 2,L , n 1). 不允许任何 bi 等于0，否则就没有一个女性会活到超过第i年龄组
征向量 X1 来决定的。
定理2 如果 1 为莱斯利矩阵L的唯一的正特征值，i
是L的特征值，它可以是任意实数或复数，若| i | 1
1 称为L的主特征值。如果对L的所有其他特征值有
| i | 1 ，那么1 称为L的严格主特征值。并不是所
有的莱斯利矩阵都满足这个条件，例如
0 0 6
孩数，即
x(k ) 1
a1x1(k 1)
a2 x2(k 1)
... an xn(k 1). （1）
x(k) i 1
bi xi(k 1) , i
1, 2,..., n 1. （2）
将上两式用矩阵表示即得
X (k)
x1(k x2(k
) )
a1
X
(2)
LX
(1)
L2 X
(0) ,
X
(3)
LX (2)
马尔萨斯模型
z1=exp(z)
r=a(1) plot(t,p,’bo',t,z1,'r')
短期数据拟合(1790-1900)
90 80 70 60 实际数据 理论曲线
人口数量
50 40 30 20 10 0 1780
误差不大
1800
1820
1840 时间
1860
wk.baidu.com
1880
1900
r = 0.0274，x（1790）=4.1884，x（1900）=85.6179
长期数据拟合(1790-2000)
t=[1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000]; p=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4]; y=log(p); a=polyfit(t,y,1) r=a(1) z=polyval(a,t);
dx rx, x(0) x0 dt
rt
x(t ) x0 e
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
人口模型
一、微分方程模型
1.人口模型
一、指数增长模型 （Malthus ）
1.模型假设
人口自然增长率 r 为常数，即单位时间内人口的增长量与当时的人口呈正比。 ()x t :t 时刻的人口数 r :人口增长率
2.模型建立 0(0)dx rx dt
x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩
3.模型求解 0()r t x t x e =
4.模型分析
0r >⇒()x t →+∞ 人口将按指数规律无限增长！ 0r =⇒0
()x t x ≡ 人口将始终保持不变！ 0r <⇒()0x t → 人口将按指数规律减少直至绝灭。
M a l t h u s 模型预测的优点是短期预报比较准确，但是不适合中长期预报，原因是预报时假设人口增长率 r 为常数。没有考虑环境对人口增长的制约作用。
二、阻滞增长模型 (Logistic)
1.模型假设
假设人口增长率 r (x )是人口 x (t ) 的减函数 ：()1m x r x r x ⎛⎫=- ⎪
⎝⎭
其中: x m 为自然资源条件所能容纳的最大人口数量
r 为固有增长率
2.模型建立0
1(0)m d x x rx dt x x x ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩ 3.模型求解：
0()11m
rt m x x t x e x -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭
4.模型分析（定性分析）
0m x x >⇒()m x t x ↓→ 人口将递减并趋向于x m ，
0m x x =⇒()m x t x ≡ 人口将始终保持x m 不变 ，
00m x x <<⇒()m
x t x ↑→ 人口将递增并趋向于x m ， 无论在哪种情况下，人口最终将趋向于最大人口容量！
Malthus人口指数增长模型
Malthus人口指数增长模型
从1790—1980年间美国每隔10年的人口记录如下表：
用以上数据检验马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进。
提示：Malthus 模型的基本假设是：人口的增长率为常数，记为 r。记时刻t的人口为x(t），（即x(t）为模型的状态变量）且初始时刻的人口为x0，于是得到如下微分方程：
需要先求微分方程的解，再用数据拟合模型中的参数。
试验代码：
建立M函数文件：
function x=fun(r,t)
x=r(1)*exp(r(2)*t);
建立运行文件：
r0=[1,0];
tdata=[1790:10:1980];
xdata=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5]
[r,resnorm,residual,flag]=lsqcurvefit('fun',r0,tdata,xdata)
plot(tdata,xdata,'r')
图像：
17801800182018401860188019001920194019601980
050
100
150
200
250
人口预测模型
解：由伟尔侯斯特假定，马尔萨斯模型应该为
N dN = r (1 − )N Nm dt N (t ) = N 0 0
上式就是逻辑模型。该方程可分离变量，其解为
N (t ) = Nm Nm 1+ ( − 1)e − r (t −t0 ) N0
下面，我们对模型作一些简要分析பைடு நூலகம்。
1838年荷兰生物数学家伟尔侯斯特verhulst引入常数用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数一般说来一个国家工业化程度越高他的生活空间就越大食物就越多从就越大并假设净增长率等于即净增长率随着nt的增加而减小时净增长率趋于零按此假定建立人口预测模型
人口预测模型
由于资源的有限性,当今世界各国都注 意有计划的控制人口增长.为了得到人口预 测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素 ,而影响人口增长的因素很多,如人口的自 然出生率 人口的自然死亡率 人口的迁移 自然灾害 战争等诸多因素.如果一开始就 把所有因素考虑进去,则无从下手.因此,先 把问题简化,建立比较粗糙的模型,在逐步 修改,得到较完善的模型.
解：设时刻t的人口为N(t)，把N(t) 当作连续、可微函数处理（因人口总数很 大，可近似的这样处理，此乃离散变量连 续化处理），根据马尔萨斯的假设，在t 到 t + ∆t 时间段内，人口的增长量 为
N (t + ∆t ) − N (t ) = rN (t )∆t
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常微分方程在数学建模中的应用
这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型
由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.
例1（ 马尔萨斯 （Malthus ） 模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.
解 设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ∆+时间段内,人口的增长量为
t t rN t N t t N ∆=-∆+)()()(,
并设0t t =时刻的人口为0N ,于是
⎪⎩⎪⎨⎧==．
，
00)(d d N t N rN t N
这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为
)(00e )(t t r N t N -=,
此式表明人口以指数规律随时间无限增长.
模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为9
1006.3⨯,而在以后7年中,人口总数
以每年2%的速度增长,这样19610=t ,9
01006.3⨯=N ,02.0=r ,于是
)
1961(02.09e
1006.3)(-⨯=t t N .
这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）．
但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改.
例2（逻辑Logistic 模型） 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地
球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.
1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数m N ,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而m N 就越大）,并假设将增长率等于⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-
m N t N r )(1,即净增长率随着)(t N 的增加而减小,当m N t N →)(时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型.
解 由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为
00d 1d ()m N N r N t N N t N ⎧⎛⎫
=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩
，， 上式就是逻辑模型,该方程可分离变量,其解为,
)
(00e 11)(t t r m m
N N N t N --⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=
.
下面,我们对模型作一简要分析.
（1）当∞→t ,m N t N →)(,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值m N ； （2）当m N N <<0时,01d d >⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=N N N r t N m ,这说明)(t N 是时间t 的单调递增函数；
（3）由于N N N N N r t N m m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211d d 222,所以当2m N N <时,0d d 22>t N ,t N d d 单增；当2m N N >时,0d d 2
2 N d d 由增变减,在2m N 处最大,也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早 会达到零,这是减速生长期； （4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合,自从1930年以后,误差愈来愈大,一个明显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺点之一是m N 不易确定,事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食物就越丰富, m N 的值也就越大； (5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计,029.0=r ,又当人口总数 为9 1006.3⨯时,人口每年以2%的速率增长,由逻辑模型得 ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=m N N r t N N 1d d 1, 即 ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⨯-=m N 91006.31029.002.0, 从而得 9 1086.9⨯=m N , 即世界人口总数极限值近100亿. 值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,逻辑模型有着广泛的应用. 二、市场价格模型 对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程. 例3 试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型 解 假设在某一时刻t ,商品的价格为)(t p ,它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格)(t p 的变化率 t p d d 与需求和供给之差成正比,并记),(r p f 为需求函数,)(p g 为供给函数（r 为参数）,于是 ()()[]⎪⎩ ⎪⎨⎧=-=，， 0)0(,d d p p p g r p f t p α 其中0p 为商品在0=t 时刻的价格,α为正常数. 若设b ap r p f +-=),(,d cp p g +=)(,则上式变为 ⎪⎩ ⎪⎨⎧=-++-=，，0)0()()(d d p p d b p c a t p αα ① 其中d c b a ,,,均为正常数,其解为 c a d b c a d b p t p t c a +-+⎪⎭⎫ ⎝⎛ +-- =+-)(0e )(α.