2015年秋季新版华东师大版八年级数学上学期12.3.1、两数和乘以这两数的差课件5

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华师大版八年级数学上册第十二章第二节12.3.1两数和乘以这两数的差同

华师大版数学八年级上册第十二章第二节12.3.1两数和乘以这两数的差同步练习一、选择题1．下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（）A．(x+y)(－x－y) B．(2x+3y)(2x－3z)C．（－a－b)(a－b) D．(m－n)(n－m)答案：C解答：只有两数和乘以两数差时才能用平方差公式，由此只有C符合要求．故选C．分析：根据平方差公式的形式直接找出答案．2．在下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（）A．(x+1)(1+x) B．(12a+b)(b-12a) C．(-a+b)(a-b) D．(x2-y)(x+y)答案：B解答：根据平方差公式的定义可知，一定要是两数和乘以两数积的形式,故选B．分析：根据平方差公式的定义直接找出答案．3．观察下列各式，能用平方差公式计算的是（）A.（-a+b）(b-a)B. (2x+1)(-2x-1)C. (－5y+3)(5y+3)D. (－2m+n)(2m－n)答案：C解答：根据平方差公式的定义可知，一定要是两数和乘以两数积的形式,，故选C．分析：根据平方差公式的定义直接找出答案．4．乘积等于m2－n2的式子是（）A. (m－n)2B.(m－n)(－m－n)C.(n－m)(－m－n)D.(m+n)(－m+n)答案：C解答：解：(m－n)2=m2－2mn+n2;(m－n)(－m－n)= -m2+n2; (n－m)(－m－n)= m2－n2; (m+n)(－m+n)= -m2+n2,故选C．分析：将各选项中的式子展开即得．5．下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A.(x－2y)(2y+x)B.(x－2y)(－2y+x)C. (x+y)(y－x)D. (2x－3y)(3y+2x)答案：B解答：(x－2y)(2y+x)=x2-4y2; (x－2y)(－2y+x)= (x－2y)2; (x+y)(y－x)=y2-x2; (2x－3y )(3y +2x )=4x 2-9y 2,故选B ．分析：根据平方差公式形式直接选出． 6．下列各式中计算正确的是（）A.(a +b )(－a －b )=a 2－b 2B. (a 2－b 3)(a 2+b 3)=a 4－b 6C.(－x －2y )(－x +2y )=-x 2－4y 2D.(2x 2+y )(2x 2－y )=2x 4－y 4答案：B解答：(a +b )(－a －b )=-a 2-b 2+2ab ; (a 2－b 3)(a 2+b 3)=a 4－b 6; (－x －2y )(－x +2y )=x 2-4y 2; (2x 2+y )(2x 2－y )=4x 4－y 2，故选B ．分析：先根据平方差公式计算得出结果．7．下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是( ) A.(－a －b )(－b +a ) B.(xy +z )(xy －z ) C.(－2a －b )(2a +b ) D.(0.5x －y )(－y －0.5x ) 答案：C解答：(－2a －b )(2a +b )=- (2a +b )2,其他选项都符合，故选C ．分析：根据平方差公式形式直接得出答案．8．在下列各式中，运算结果是2236y x -的是（）A. )6)(6(x y x y --+-B. (6)(6)y x y x -+-C. (6)(6)x y x y ++D.)6)(6(x y x y ---答案：D解答：22(6)(6)36y x y x y x -+--=-,222(6)(6)(6)3612y x y x y x y xy x -+-=--=-+-，22(6)(6)1236x y x y x xy y ++=++，22(6)(6)36y x y x y x ---=-+，故选D ．分析：根据平方差公式将各式展开．9．(4x 2－5y )需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算( ) A.－4x 2－5y B.－4x 2+5y C.(4x 2－5y )2D.(4x +5y )2答案：A解答：所选式子必须与(4x 2－5y )有一项相同，一项互为相反数，故选A ．分析：根据平方差公式直接得出． 10．有下列运算： ①2229)3(a a =②2251)51)(15(m m m -=++- ③532)1()1()1(--=--a a a ④626442++=⨯⨯n m n m ，其中正确的是（） A. ①② B. ②③ C.③④ D. ②④ 答案：B解答：222(3)81a a =，故①错误，2251)51)(15(m m m -=++-，故②正确，532)1()1()1(--=--a a a ，故③正确，2624642m n m n ++⨯⨯=，故④错误，故选B ．分析：分别计算出每一个式子的值．11．有下列式子：①)3)(3(y x y x +-- ②)3)(3(y x y x ---③)3)(3(y x y x -+- ④)3)(3(y x y x ++-，其中能利用平方差公式计算的是（）A. ①②B. ②③C.③④D. ②④ 答案：D解答：)3)(3(y x y x +--=-(3x +y )2,故①不能，22(3)(3)9x y x y x y ---=-+，故②能，2(3)(3)(3)x y x y x y -+-=--，故③不能，22(3)(3)9x y x y x y -++=-+，故④能，故选D ．分析：利用平方差公式计算既可得出．12．a 4+(1－a )(1+a )(1+a 2)的计算结果是( )A.－1B.1C.2a 4－1 D.1－2a 4答案：B解答：a 4+(1－a )(1+a )(1+a 2) = a 4+(1－a 2) (1+a 2) = a 4+(1－a 4) =1，故选B ．分析：利用平方差公式计算既可得出．13．用平方差公式计算))((d c b a d c b a ++--++，结果是（） A. 22)()(d c b a --+ B. 22)()(d b c a --+ C. 22)()(d c d a --+ D.22)()(d a b c --+答案：B22()()[()()][()()]()()a b c d a b c d a c b d a c b d a c b d ++--++=++-+--=+--故选B ．分析：利用平方差公式计算得出，把(a +c )看成一个整体，把（b -d ）看成一个整体．14．对于任意的正整数n ，能整除代数式（3n +1）（3n -1）-（3-n ）（3+n ）的整数是（） A ．3 B ．6 C ．10 D ．9 答案：C解答：（3n +1）（3n -1）-（3-n ）（3+n ） =9n 2-1-9+n 2=10n 2-10所以代数式能被10整除，故选C ．分析：利用平方差公式计算得出． 15．)12()12)(12)(12(242+⋅⋅⋅+++n的值是（）A ．12-nB ．122-nC ．421n -D ．1222-n答案：C解答：解：原式=（22-1）（22+1）（24+1） (22)+1） =（24-1）（24+1）…（22n +1）， =（28-1）（28+1） (22)+1）， =（22n-1）（22n+1）， =24n-1，故选C ．分析：利用平方差公式，逐步计算．二、填空题16．已知622=-y x ，3=+y x ，则=-y x ．答案：2解答：22()()3()6x y x y x y x y -=+-=-=，所以2x y -=，故填：2.分析：利用平方差公式的逆运算得出．17．计算：(2x +5)(2x －5)－(4+3x )(3x －4)= ．答案: －5x 2-9解答：(2x +5)(2x －5)－(4+3x )(3x －4)=（4x 2－25）—（9x 2－16） =4x 2－25－9x 2+16=－5x 2-9 故填－5x 2-9.分析：先利用平方差公式进行乘法运算，再去括号合并同类项. 18．如果a +b =2006,a －b =2,那么a 2－b 2=________. 答案：4012分析：利用平方差公式的逆运算计算得出．19．若))(())((B A B A c b a c b a +-=+-++，则=A ，=B . 答案：a +c ;b解答：()()[()][()]()()a b c a b c a c b a c b A B A B ++-+=+++-=-+．分析：利用单平方差公式把原式变形，注意a +c 看成是一个整体． 20．2004×2006-20052= ．答案：-1解答：2004×2006－20052=(2005－1)(2005+1)－20052=20052－1－20052=-1．分析：利用平方差公式进行简便运算．三、解答题21．运用平方差公式计算：（1）)4)(4(-+ab ab ；答案：2216a b - 解答：解：2222(4)(4)()416ab ab ab a b +-=-=-（2）)14)(14(---a a ；答案：2116a -解答：222(41)(41)(1)(4)116a a a a ---=--=- （3）)4)(2)(2(422++-n n ny y y ；答案：816ny-解答：解：224448(2)(2)(4)(4)(4)16n n n n n n y y y y y y -++=-+=-（4）)12()12)(12)(12(42++++nΛ．答案：解：2424224224442(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)21n n n n n n n n ++++=-++++=-+++=-+++=-++=-+=-L L L L L分析：利用平方差公式计算得出． 22．化简：1(2)(2)(8)2a b a b b a b +---．答案：解答：解：)8(21)2)(2(b a b b a b a ---+2224214b ab b a +--=ab a 212-= 分析：利用平方差公式和整式乘法运算法则计算． 23．两个两位数的十位上的数字相同，其中一个两位数的个位上的数字是6，另一个两位数的个位上的数字是4，它们的平方差是220，求这两位数.. 答案：解：设这个两个数的十位上的数字是x ,则这两个两位数是(10x +6)和(10x +4), 由题意得：(10x +6)2-(10x +4)2=220 解这个方程得：x =5答：这两个两位数分别是：56和54.分析：根据题意列出方程，利用平方差公式将方程化为一元一次方程，解出既得．24．先化简，再求值：(2)(2)(2)a a a a -+--，其中1a =-．答案：解：原式2242a a a =--+ 24a =-．当1a =-时，原式2(1)4=⨯--=-6分析：先利用平方差公式和整式乘法法则化简，再代入求值． 25．观察： 32-12=8; 52-32=16; 52-32=16; 72-52=24; 92-72=32. ……（1）根据上述规律，填空：132-112= ,192-172= . 答案：48 72解答：解：132-112=（13+11）（13-11）=24×2=48192-172=（19+17）（19-17）=36×2=72（2）你能用含n的等式表示这一规律吗？你能说明它的正确性吗？答案：解：（2n+1）2-（2n-1）2=8n．证明：∵（2n+1）2-（2n-1）2=4n2+4n+1-4n2+4n-1=8n答：两个连续奇数的平方差是8的整数倍分析：先利用平方差公式将式子展开，再合并同类项即可．初中数学试卷。

12.3.1 两数和乘以这两数的差八年级数学上册同步教学辅导讲义(华师大版)

12.3.1两数和乘以这两数的差根底知识22))((b a b a b a -=-+；即两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差。

这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式。

例题例1．先化简，再求值：(3a +4)(3a －4)－(3a +3)(3a －5)其中a =－2．【答案】61a -，13-【分析】根据平方差公式和多项式乘多项式的方法进行计算，再代入求值．【详解】解：原式()22916915915a a a a =---+-61a =-，把2a =-代入，原式()62112113=⨯--=--=-．【点睛】此题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的加减乘除运算以及平方差公式．例2．利用乘法公式计算：()()2201920182020-+⨯-【答案】1【分析】先变形为2201920182020-⨯，将2021×2021转化为〔2021-1〕×〔2021+1〕的形式，利用平方差公式解答．【详解】解：()()2201920182020-+⨯-=2201920182020-⨯=()()220191201912019--⨯+ =22201920191-+=1【点睛】此题主要考查了平方差公式，解题的关键是将算式合理利用平方差公式变形．练习1．以下多项式的乘法中可用平方差公式计算的是〔〕A ．()()11x x ++B ．()()22a b b a +-C ．()()a b a b -+-D ．()()22x y y x -+ 2．计算：()()22x y x y +-=〔〕A ．222x y -B ．222x y +C ．224x y +D ．224x y - 3．a ﹣b ＝3，a +b ＝2，那么a 2﹣b 2的值为〔〕A ．6B ．−6C ．5D ．−54．在以下计算中，不能用平方差公式计算的是〔〕A ．()()m n m n --+B ．()()3333x y x y -+C ．()()a b a bD ．()()2222c d d c -+5．计算2202120222020-⨯的结果是()A ．2B ．2-C ．1-D ．1 6．计算：〔2a +b 〕〔2a ﹣b 〕＝_________．7．224926m n -=，2313m n +=，那么23m n -=__．8．〔﹣5y +2x 〕___＝25y 2﹣4x 2．9．计算2202120192023-⨯的结果是_______．10．在一个边长为13.25cm 的正方形中间挖出一个边长为6.75cm 的正方形后，剩下的面积是__________．11．计算：()()1212a a -+--．12．计算：(2)(2)()(8)m n m n m n m n +---+．13．〔1〕()()()334x y y x y x y +---〔2〕()()()2524x x y y x y y x y --+++14．先化简，再求值：()()()()2423422x x x x +--+-，其中x=12． 15．利用乘法公式计算：2202020192021-⨯参考答案1．B【分析】用平方差公式的结构特征判断即可．【详解】根据平方差公式的结构特征，两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数．所以选项中可用平方差公式计算的是()()222+-2=-4a b b a b a ．故答案为：B ．【点睛】此题考查了平方差公式()()22+-=-x y x y x y ．熟练掌握平方差公式是解答的关键．2．D【分析】根据平方差公式进行计算，然后逐一判断即可．【详解】解：原式224x y =-．应选：D ．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．3．A【分析】利用平方差公式计算即可．平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．〔a +b 〕〔a ﹣b 〕＝a 2−b 2．【详解】解：∵a ﹣b ＝3，a +b ＝2，∴a 2﹣b 2＝〔a +b 〕〔a ﹣b 〕＝2×3＝6．应选：A ．【点睛】此题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构特点是解答此题的关键．4．A【分析】先观察平方差公式为22(+)()=a b a b a b ，抓住两个因式中都是两项式，一项相同，另一项互为相反数特征，对选项进行一一分析看是否符合公式特征即可．【详解】解：∵平方差公式为22(+)()=a b a b a b ，两个因式中都是两项式，一项相同，另一项互为相反数；A.()2()()()()m n m n m n m n m n --+=---=--两项都是互为相反数，不能用平方差公式计算，应选项A 符合题意；B.()()3333x y x y -+两个因式中都是两项式，前项相同，后项互为相反数，()()333366=x y x y x y -+-，能用平方差公式计算，应选项B 不符合题意；C . ()()a b a b 两个因式中都是两项式，后项相同，前项互为相反数22()()=a b a b b a b a b a 能用平方差公式计算，应选项C 不符合题意； D.()()2222c d d c -+两个因式中都是两项式，把第二个括号中利用加法交换律换位，()()2222c d c d -+前一项相同，后一项互为相反数，可以用平方差公式计算，应选项D 不符合题意．应选择A ．【点睛】此题考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的特征是解题关键．5．D【详解】解：2202120222020-⨯1=．应选：D ．6．224a b ﹣【分析】根据平方差公式，即可解答．【详解】解：〔2a +b 〕〔2a ﹣b 〕＝4a 2﹣b 2，故答案为：4a 2﹣b 2．【点睛】此题主要考查平方差公式，解决此题的关键是熟记平方差公式．7．2【详解】解：22-=+-=，m n m n m n49(23)(23)26又2313+=，m n∴-=，13(23)26m n∴-=，232m n故答案为：2．8．-5y-2x【分析】根据平方差公式即可求解．【详解】∵〔﹣5y+2x〕〔﹣5y-2x〕=〔-5y〕2-〔2x〕2＝25y2﹣4x2故答案为：-5y-2x．【点睛】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知平方差公式的运用．9．4【分析】把2021×2023表示成(2021−2)(2021+2)，然后用平方差公式即可完成．【详解】故答案为：4【点睛】此题考查了平方差公式在数值计算中的应用，关键是把2021×2023表示成两数的和与这两数的差的积．10．130cm2【分析】剩下局部的面积=大正方形的面积-小正方形的面积．【详解】解：设剩下局部的面积为S，那么S=13.252-6.752=〔13.25+6.75〕×〔〕=20×6.5=130cm2，故答案为：130cm2．【点睛】此题主要考查用平方差公式在实际生活中的应用，比拟容易．11．214a -．【分析】利用平方差公式展开即可．【详解】原式22(1)(2)a =--214a =-．【点睛】此题考查利用平方差公式计算，熟记平方差公式22()()a b a b a b +-=-是解题关键． 12．247n mn -【分析】根据整式乘法的平方差公式和多项式乘以多项式展开括号，再计算加减法．【详解】解：原式()2222(2)88m n m mn mn n ⎡⎤=--+--⎣⎦247n mn =-．【点睛】此题考查整式的混合运算，正确掌握整式乘法的平方差公式和多项式乘以多项式法那么是解题的关键．13．〔1〕22549y xy x --〔2〕2228x xy y --【分析】(1)根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法那么计算即可；(2)根据单项式乘多项式的运算法那么计算即可．【详解】解：()1原式()222344y x xy y =--+ ()2原式2222210544x xy xy y xy y =---++【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，熟记平方差公式以及单项式乘多项式的运算法那么是解答此题的关键．14．2x ＋4，5【分析】根据整式的运算法那么进行化简，然后将x 的值代入原式即可求出答案．【详解】解：()()()()2423422x x x x +--+-24x =+．当x=12时，原式=2×12+4=5．【点睛】此题考查了多项式乘多项式，平方差公式，解题的关键是熟练运用整式的运算法那么，此题属于根底题型．15．1【分析】首先把20192021⨯化成()()2020120201-⨯+，然后利用平方差公式计算即可．【详解】解：原式()()220202*********=--⨯+ 1=．故答案为：1．【点睛】此题考查了平方差公式，解题的关键是准确运用平方差公式：()()22a b a b a b -+=-．。

八年级数学上册 12.3 乘法公式 1《两数和乘以这两数的差》教案2 (新版)华东师大版

问题6：计算：
（1）（2x +3）（3x－3）；（2）（b+2a）（2a－b）．
【设计意图】对学生常出现的错误，作具体的分析，以加深学生对公式的理解，进一步掌握平方差公式的本质特征和运用平方差公式必须具备的条件．
（七）拓展深化，发展思维
问题7：计算：
（1）98×（－102）；（2）．
【设计意图】把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，此题体现了转化的思想和数式通性；另一题是平方差公式与一般多项式乘法的综合，注意不能用公式的仍按多项式乘法法则进行．
②让学生说明以上四个算式中，哪些式子相当于公式中的a和b，明确公式中a和b的广泛含义，归纳得出：a和b可能代表数或式．
【设计意图】通过观察平方差公式，体验公式的简洁性并通过分析公式的本质特征掌握公式．在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果．
（四）总结归纳，发现新知
问题4：你能用文字语言表示所发现的规律吗？
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的语言组织与表达能力．
（五）剖析公式，发现本质
在平方差公式中，其结构特征为：
①左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即；
教学重难点
利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，分析公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算．
教学过程
（包含教师活动、学生活动、设计意图、技术应用等）
（一）创设情境，引出课题
问题１：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1）（m+2）（m-2）=

12.3.1两数和乘以这两数的差课件华东师大版八年级数学上册(1)

当x=-2，y=3. 原式=10×(-2)2-10×32=40-90=-50
1.计算：
（1）(2x+
1 2
)(2x-
1)
2
解 (2x+ 1 )(2x- 1 )
2
2
= 4x2- 1
4
（2）(-x+2)(-x-2) 解 (-x+2)(-x-2)
=-(-x+2)(x+2) =-(4-x2) =x2-4
（3）(-2x+y)(2x+y) 解 (-2x+y)(2x+y)
写成两数和乘以这两数差的形式，可使计算简便.
例3 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规
划后，南北向增加2米，东西向减少2米.改造后得到一块长方形的草坪.求这块长方形草坪的面积.
a
(a+2)(a-2) =a2-4
2
答：改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)平方米.
补充例题
计算： (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1).
-(2x+y) （4）(-2x-y)(2x-y)
=-(2x+y)(2x-y) =-(4x2-y2) =-4x2+y2
(-y-2x) 或（4）(-2x-y)(2x-y)
=(-y-2x)(-y+2x) =(-y) 2-(2x)2 =y2 -4x2
例2 计算：1998×2002.
1998×2002 =(2000-2)×(2000+2) =20002-22 =4000000-4 =3999996
【解析】 (2x3-3a)(-2x3-3a)=-(2x3+3a)(2x3-3a)=-4x6+9a2.故选B.

华师版八年级上册第十二章 12.3.1 两数和乘以这两数的差

课题12.3.1 两数和乘以这两数的差主备人课型新授课课时安排 1 总课时数 1 上课日期学习目标1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.2.灵活运用平方差公式进行计算和解决实际问题.学习重难点重点：经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.难点灵活运用平方差公式进行计算和解决实际问题.教·学过程札记一．导多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项_________另一个多项式的每一项，再把所得的积_______．算一算：根据多项式乘以多项式的法则进行计算：①（x ＋ 1)( x－1）=x2-x+x-1=_______________；②（m ＋ 2)( m－2）=m2-2m+2m-4=_______________；③（2m＋ 1)(2m－1）=_______________=_______________.二、思阅读课本完成探究一探究点1：平方差公式问题观察算一算中的式子与它的结果，它们有什么共同的特点？【要点归纳】当出现两个多项式相乘的时候，呈现的形式如(a+b)(a−b)=_________,（其中a,b代表数、字母或式子）即两数和与这两数差的积,等于这两数的__________.试一试：在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩余的两个长方形拼成一个长方形，你能用这两个图形的面积说明平方差公式吗？剩余部分的面积为：____________，新长方形的面积为：____________，则有等式为：___________________.例1利用平方差公式计算：(1)(x－5)(x＋5)； (2)(－a－b)(b－a)；（3）（12x+1）（﹣12x+1）.三、检测1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( )A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x －y)2.计算（2x2+1）（2x2-1）等于（）A．4x4-1 B．2x4-1 C．4x2-1 D．4x4+13.将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是______________________．图1 图24.已知x2-y2=8，x+y=4，则x-y= .5.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．6.利用平方差公式计算：（1）(a+3b)(a- 3b)；（2）(3+2a)(－3+2a)；（3）(－2x2－y)(－2x2+y).7.计算：（1）20222－2021×2023；（2)(a-2)(a+2)(a2 + 4).8.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2.9.对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？。

华东师大版八年级数学12.3.1两数和乘以两数差

注：必须符合平方差公式特征的代数式才能
用平方差公式
8
平方差公式： (a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积,
等于这两数的平方差.
大家议一议，平方差公式有什么特点？
9
平方差公式
相同为a
适当交换
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相反为b
合理加括号
相同项的平方减去相反项的平方 10
9 918
计算：x 3 y x 2 9 y 2 x 3 y
解原式= x3yx3yx2 9y2 x2 9y2 x2 9y2
x4 81y4
19
例4 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米，
4
知识回顾
1．利用多项式与多项式的乘法法则说出 (x＋a)(x＋b)的结果。
(x＋a)(x＋b)=x2＋(a＋b)x＋ab
2．计算：
(1)(x＋3)(x－3)；
(2)(a＋2b)(a－2b)；
(3)(4m＋n)(4m－n)； (4)(5＋4y)(5－4y)。
5
探究新知
(x ＋ 3)(x － 3) (a＋2b)(a－2b) (4m＋n)(4m－n) (5＋4y)(5－4y) (a ＋ b)(a－b)
( 5 ) ( x 2 y ) ( x 3 y ) x 2 6 y 2 ( ×)
16
例2 计算 1998×2002。解 1998 2002 = （2000-2）（2000+2）
200 2022
=4000000-4 =3999996
17
例3 用简便方法计算：
90 1 89 8

华东师大版八年级数学上册 12.3.1两数和乘以两数的差公式学案

§12.3.1两数和乘以这两数的差【学习目标】：1.会推导两数和乘以它们的差公式，并能运用公式进行简单的计算。

2．了解两数和乘以它们的差公式的几何背景。

【学习重点】：平方差公式的推导及运用。

【学习难点】：平方差公式的运用。

【学习过程】：一、新课探究：1.计算下列各式。

（1）（a+b）•(a-b) （2）（x+3）（x-3）（3）(3a＋1)(3a－1)(4)(-x+y)(-x-y)2.仔细观察上面各式的结果，发现什么？用发现的规律口算①（y+5）（y-5）=②(1-2a)(1+2a)=3.可以得出什么计算公式：（用字母表示）4.思考：（1）什么特征的式子可以应用上面的公式进行计算？（2）结果中的平方差可以任意减吗？5.平方差公式的几何背景：图12.3.1先观察图12.3.1，再用等式表示下图中图形面积的运算：＝－．6.例题学习：1）下面各式能用平方差公式计算的是（1）（a＋3）（a－3）（2）（3b+2a）（2a－3b）（3）（2c+1）（1－2c ）（4）（－2x －y ）（2x －y ）(5) (-2m-2n)(2m+2n) (5)(-x+2)(x-2)2）写出1）中能用平方差公式计算的各题的结果3）计算： 1998×20027.讨论：利用平方差公式进行计算时，怎样避免出错？二、用心做一做：1. 下列各式中，计算正确的是（）Ａ.（x －２）（２＋x ）＝x 2－２Ｂ.（x ＋２）（３x －２）＝３x 2－４Ｃ.（ab －c ）（ab ＋c ）＝a 2b 2－c 2 Ｄ.（－x －y ）（x ＋y ）＝x 2－y 2 2. 计算：（课后练习）（1）（2x ＋21）（2x －21）；（2）（－x ＋2）（－x －2）；（3）（－2x ＋y ）（2x ＋y ）；（4）（y －x ）（－x －y ）．3. 计算：（1） 498×502；（2） 999×1001 （3）9931×100324. ①若x －y ＝４，x ＋y ＝７，则x 2－y 2＝ .②已知x+y=6，x 2-y 2=12，则2x+5y=三、本课小结：本节课你学到什么知识？还有哪些疑惑？四、当堂小测： 1. ①（a ＋51）（a －51）＝，②（－a －4）（）＝16－a 2. ③（）（）=9x 2-41y 22.计算：(教材第36页习题12.3第1题)（1）（a ＋2b ）（a －2b ）（2）（2a ＋5b ）（2a －5b ）（3）（－2a －3b ）（－2a ＋3b ）（4）（－31a ＋21b ）（31a ＋21b ）（5）)1)(1(22x x +- （6）３０.８×２９.２五、课外延伸：⑴计算（x 4＋１）（x 2＋１）（x ＋１）（x －１）的结果是（）Ａ.x 8＋１Ｂ. x 8－１Ｃ.（x ＋１）8 Ｄ.（x －１）8⑵利用乘法公式计算：（２a ＋１）2－（１－２a ）2⑶先化简，再求值：①（x ＋２y ）（x －２y ）－（２x －y ）（－２x －y ），其中x ＝８，y ＝－８； ②（x ＋２y ）（x －２y ）（x 2+４y 2），其中x ＝２，y ＝－１.⑷计算①)13)(13)(13)(13(842++++ ②（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）……（264+1）。

华东师大版八年级上册数学教学设计《12.3.1两数和乘以这两数的差》

华东师大版八年级上册数学教学设计《12.3.1两数和乘以这两数的差》一. 教材分析《12.3.1两数和乘以这两数的差》是华东师大版八年级上册数学的一节内容。

这部分内容主要让学生掌握两数和乘以这两数的差的计算方法，并能够灵活运用。

在教材中，通过例题和练习题的形式，帮助学生理解和掌握这个公式。

在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究，发现这个公式的规律，并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析学生在学习这节内容时，已经有了一定的代数基础，比如掌握了有理数的乘法、加法等。

但部分学生可能对这个公式理解不够深入，不能灵活运用。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行讲解和辅导，帮助学生理解和掌握这个公式。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握两数和乘以这两数的差的计算方法，并能够灵活运用。

2.过程与方法：通过观察、思考、探究，发现这个公式的规律，培养学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.重点：让学生掌握两数和乘以这两数的差的计算方法。

2.难点：如何引导学生发现这个公式的规律，并能够灵活运用到实际问题中。

五. 教学方法1.引导发现法：通过引导学生观察、思考、探究，发现这个公式的规律。

2.实例讲解法：通过例题和练习题，帮助学生理解和掌握这个公式。

3.小组讨论法：让学生在小组内进行讨论，培养学生的团队合作精神。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示例题和练习题。

2.练习题：准备一些相关的练习题，帮助学生巩固所学知识。

3.教学道具：准备一些教学道具，如黑板、粉笔等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用教学道具，引导学生回顾已学过的有理数乘法、加法的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）通过课件展示本节课的主要内容，引导学生观察、思考，发现两数和乘以这两数的差的规律。

3.操练（10分钟）让学生分组进行讨论，每组找出几个实例，验证这个规律。

华师大版-数学-八年级上册-12.3.1 两数和乘以这两数的差教案

两数和乘以这两数的差教学目标知识与技能理解两数和乘以它们的差的结构特点：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘积中的两项的平方差，即相同项的平方减去相反数项的平方。

会正确熟练地用乘法的平方差公式进行计算，公式中字母可以表示单项式，也可以是多项式，只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式。

过程与方法通过运用多项式乘法法则，推导出乘法的平方差公式，培养学生由一般法则认识特殊法则的能力，理解乘法的平方差公式的意义，并能正确地运用公式计算。

情感态度与价值观在推导和应用乘法的平方差公式的过程中，让学生感悟从一般到特殊的研究方法和换元的思想，培养学生辩证唯物主义观点。

教学重点掌握两数和乘以它们的差的结构特征教学难点正确理解两数和乘以它们的差的公式意义教学内容与过程教法学法设计一.复习提问，回顾知识，请看下面的问题：1.幂的运算都有_____________，______________ ，_________，___________________ ，2.整式的乘法有_____________，___________，____________。

3.以上知识所涉及的表达式都是什么？4.请你计算：（1）()() x y x y +•-；（2）()() m n m n+•-；（3）()()22x x +•-；（4）()()33y y+•-.面向全体学生提出相关的问题。

明确要研究，探索的问题是什么，怎样去研究和讨论。

.留给学生一定的思考和回顾知识的时间。

二.导入课题，探索知识本节课我们来研究特殊的多项式乘法------------- -------两数和乘以这两数的差。

为学生创设表现才华的平台。

三．归纳知识，提高能力：两数和乘以这两数的差的法则：1.两数和与它们的差的积，等于这两数的平方差。

2.表达式：()()22a b a b a b+•-=-四．应用知识，分析问题：例1．计算⑴(a+3)(a-3) ⑵(2a+3b)(2a-3b)⑶(1+2c)(1-2c) ⑷(b+2a)(b-2a) ⑸(-x+y)(x+y) ⑹(-x+y)(-x-y)解：⑴(a+3)(a-3)＝a2-32=a2-9⑵(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2⑶(1+2c)(1-2c)=12-(2c)2=1-4c2⑷(b+2a)(b-2a)=b2-(2a)2=b2-4a2⑸(-x+y)(x+y)=(y+x)(y-x)=y2-x2⑹(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2=x2-y2例2.计算1996×2004解：1996×2004＝(2000-4)(2000+4)=20002-42=4000000-16=3999984五.课后小结：两数和乘以这两数的差的乘法.六.课后作业：复印给学生。

数学华东师大版八年级上册12.3.1两数和乘以这两数的差

§12.3.1两数和乘以这两数的差【教学目标】知识与技能：通过创设问题情景，让学生主动参与，激发学生的学习热情和兴趣，激活学生的思维；引导学生发现乘法公式与整式的乘法之间的关系，会推导并掌握两数和乘以它们的差公式，向学生渗透数学中相互转化的思想；通过乘法公式的几何背景图，让学生通过用式子表示图形面积的运算加深对公式的理解，了解两数和乘以它们的差公式的几何背景，体会数形结合的数学思想方法。

过程与方法：经历探究两数和乘以及两数的差的过程，让学生明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式乘法的辩证思想，掌握两数和乘以这两数的差的公式结构特征，并能运用公式进行简单的计算。

情感与态度：形成自主探究、合作交流的意识，树立良好的学风，体验知识的严密性，发展数感和符号感。

【教学重点】对两数和乘以它们的差公式的理解，掌握两数和乘以它们的差公式的结构特征，熟练运用两数和乘以它们的差公式进行简单计算。

【教学难点】理解两数和乘以它们的差公式的几何意义及特点，理解公式中字母的广泛含义，代数推理能力的培养。

【教学准备】多媒体课件【教学过程】一、情境屋，请君入内问题：王军同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王军就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合。

售货员很惊讶地说：“你好象是个神童，怎么算得这么快？”王军同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式。

”你知道王军同学用的是一个什么样的公式吗?（设计意图：通过创设问题情景，让学生主动参与，激发学生的学习热情和兴趣，激活学生的思维。

让学生明白看似单调、僵死的数学它就来源于身边的生活，从而拉近数学教学与生活的距离，诱导学生养成学数学、用数学的好习惯。

）二、探究园，任你驰骋1.自学指导自学教材30页至32页。

和你的小组合作探讨完成下列内容。

（时间8分钟）1、通过30页的做一做，你能得出平方差公式吗？能否用语言叙述？等式左边的两个多项式有什么特点？等式右边的多项式有什么规律？公式中的a,b可以表示什么？2、通过31页的试一试，你和同学们能懂其意并写出吗？3、例1中的计算题能用多项式乘以多项式的法则计算吗？你用了这个法则了吗？为什么？4 、你和你的同伴会做例2和例3吗？S:学生根据教师交给的问题，分组讨论，尝试探究，并由小组长做好记录。

华东师大版八年级数学上册12.3.1 两数和乘以这两数的差教学设计

《两数和乘以这两数的差》教学设计教材分析本节课选自华师版八年级上册第12章第三节内容，它是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例．对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简等内容奠定了基础，同时也为学习完全平方公式提供了方法．因此，平方差公式作为初中阶段的第一个公式，在教学中具有很重要地位，同时也是最基本、用途最广泛的公式之一。

学情分析学生在前面的学习中，已经学习了整式的有关内容，并经历了用字母表示数量关系的过程，有了一定的符号感．经过一个学年的培养，学生已经具备了小组合作、交流的能力。

学生刚学过多项式的乘法，已具备学习并运用平方差公式的知识结构。

教学目标一、知识与技能了解平方差公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，能应用公式进行计算。

二、过程与方法经历探索平方差公式的过程，培养学生观察、分析和归纳能力。

通过对公式验证，感受代数与几何的内在统一性，同时体会数形结合的思想方法。

在运用公式的过程中，渗透转化、建模等数学思想，培养学生思维能力和数学应用意识。

三、情感态度和价值观通过对公式的概括、验证、应用，让学生体会数学的严密性，优化数学思维品质。

在合作探究活动中让学生体验成功，增强自信。

教学重点理解平方差公式，掌握公式结构特征。

教学难点平方差公式的灵活应用。

教学方法采用引导发现、启发讨论相结合的教学方法。

以“问”之方式启发学生深思，以“变”之方式诱导学生灵活善变，以“梳”之方式引导学生归纳总结。

课前准备多媒体辅助教学。

教学过程一、回顾旧知复习多项式乘以多项式的法则(m＋n)(a＋b) =ma＋ mb＋ na ＋nb二、探索新授算一算，看谁算得又快又准。

①（x ＋ 4)( x－4）②（1 ＋ a)( 1－a）③（m＋ 6n)( m－6n）④（5y ＋ z)(5y－z）观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？用自己的语言叙述你的发现。

华东师大版八年级数学上册12.3.1两数和乘以这两数的差公开课优质教案(1)

重点：掌握两数和乘以它们的差的结构特征。
难点：正确理解两数和乘以它们的差的公式意义。
课前
预习
【导学提纲】根据下面的要求，用5分钟时间自学教材P29-30，请在不明白的地方作上符号，或把问题写下来。
1、多项式与多项式相乘的法则是：
用式子表示： =
★2、两数和与它们的差的积，等于这两数的
用式子表示： =
（2）找出公式中的第一个数，第二个数，两数和乘以这两数差；
（3）公式中的、可代表数字、字母，也可以是一个代数式。
知识
拓展
计算：
★(3)
★（4）
课后
反思
两数和乘以这两数的差（平方差公式）
课题
12.3.1两数和乘以这两数的差（平方差公式）
课型
新课
教师复备
教学
目标
1、从已有的整式乘法的知识中提炼出两数和乘以它们的差这一乘法公式，明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式的乘法的辩证思想；
2、掌握两数和乘以它们的差的公式的结构Biblioteka 并能正确地运用。教学重点、难点
【问题2】计算：(1) ；
巩固
运用
1、下列各题中不能运用平方差公式进行计算的是（）
（A）（B）
（C）（D）
2、计算：；；
（）= ； =。
3、计算：
4、(1)已知：，则的值为；
(2)先化简，再求值：，其中
小结
反馈
1、平方差公式：两数和与它们的差的积，等于
用式子表示：
公式逆用：
2、注意：（1）抓住本节公式结构特征，判断哪些算式符合公式特征，哪些不符合公式特征；
自主
练习
【预习检测】相信你，一定能行！

华师版八年级数学上册第12章整式的乘除1 两数和乘以这两数的差

=[(3x)2-y2]-[(3y)2-x2]
=9x2-y2-9y2+x2
=10x2-10y2
当x=-2，y=3时，
原式=10×(-2)2-10×32=40-90=-50.
1．下列能用平方差公式计算的式子是( )
A．(a-b)(a-b) B．(-a+b)(a-b)
C．(-a-b)(-a+b) D．(-a-b)(a+b)
=20232-(20232-1)
=1．
(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为
平方差公式.
项不符合题意.
故选：C．
2．如图，大正方形与小正方形的面积差为72，则阴影部分的面积为
（）
A．22
B．24
C．30
D．36
【详解】解：设大正方形边长为x，小正方形边长为y，
则AE=x-y，x2-y2=72，
阴影部分的面积是：
1
1
1
· + · = (x-y)x·x+(x-y)·y
程所揭示的乘法公式
．
【详解】解：∵图1中阴影部分的面积为a2-b2，
图2中阴影部分的面积为(a+b)(a-b)，
∴可得乘法公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，
故答案为：a2-b2=(a+b)(a-b)．
6．计算：(1-a)(1+a)(1+a2)=
【详解】解：(1-a)(1+a)(1+a2)
=(1-a2)(1+a2)
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.

华东师大初中数学八上《12.3.1两数和乘以这两数的差》word教案 (2)

两数和乘以这两数的差教学内容教科书P.30——P.31的内容教学目标知识与技能：能说出平方差公式的特点，并会用式子表示，能正确地利用平方差公式进行多项式的乘法；过程与方法：使学生从已有的整式乘法的知识中提炼出两数和乘以它们的差这一乘法公式，让学生明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式的乘法的辩证思想；情感态度与价值观：通过平方差公式得出的过程，使学生明白数形结合的思想。

教学分析重点：掌握平方差公式的特点，牢记公式。

难点：具体问题要具体分析，会运用公式进行计算。

关键：抓住本节公式结构特征，判断哪些算式符合公式特征，哪些不符合公式特征。

教学过程一、新课引入。

王剑同学去商店买了单价是9.8元／千克的糖块10.2千克，售货员刚拿起计算器，王剑就说出应付99.6元，结果与售货员计算出的结果相吻合。

售货员惊讶地问：“这位同学，你怎么算得这么快?”王剑同学说：“我利用了在数学上刚学过的一个公式。

”你知道王剑同学用的是一个什么样的公式吗?你现在能算出来吗?学了本节之后，你就能解决这个问题了。

从而引出课题：平方差公式。

二、知识回顾。

1．多项式乘以多项式的法则： ___________________________。

2．利用多项式与多项式的乘法法则说出(x＋a)(x＋b)的结果。

3．计算：(1)(x＋3)(x－3)； (2)(a＋2b)(a－2b)； (3)(4m＋n)(4m－n)； (4)(5＋4y)(5－4y)。

三、引导观察。

1．请你观察一下这几个多项式与多项式相乘的乘法式子，两个因式有什么特点?积有什么特点?2．这四个题目与(x＋a)(x＋b)=x2＋(a＋b)x＋ab有什么关系?你还能再举出这样的几个例子来吗?(引导学生发现：当a=－b时，(x＋a)(x＋b)=x2－b2，从而得出平方差公式。

)3．观察这个公式，你能说出它左边的特征吗?右边呢?4．你能用图形来验证它的正确性吗?5．你能用语言叙述这个公式吗?四、学例及应用。

华东师大版八年级数学上册12.3.1两数和乘以这两数的差优秀教学案例

（二）问题导向
问题导向是一种有效的教学策略，通过提出问题，引导学生思考和探索，促进他们的思维发展。在教学过程中，我可以提出一些富有挑战性和启发性的问题，如“为什么两数和乘以这两数的差的结果是这样的？”“你能找到其他的方法来计算这个结果吗？”等。通过问题导向，我可以激发学生的思考，培养他们的解决问题的能力。
5.全面的教学目标：本节课的教学目标涵盖了知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个部分，注重培养学生的综合素质。通过本节课的学习，学生不仅能够掌握两数和乘以这两数的差的运算方法，还能够培养他们的自主学习能力、团队合作能力和解决问题的能力。
（二）讲授新知
在导入新课后，我开始讲授新知。我首先介绍了两数和乘以这两数的差的概念，让学生理解并掌握这个概念。然后，我通过示例和讲解，向学生展示了如何进行两数和乘以这两数的差的运算。我强调了运算的步骤和注意事项，并给出了运算的公式。在讲授过程中，我注意观察学生的反应，及时解答他们的疑问，确保他们能够理解和掌握所学的知识。
（四）反思与评价
反思与评价是教学过程中的重要环节，通过反思与评价，学生可以对所学知识进行巩固和提高。在教学过程中，我可以让学生对自己的学习进行反思，思考自己是否真正理解了两数和乘以这两数的差的概念和运算方法。同时，我也可以对学生的学习进行评价，评价他们的理解程度和应用能力。例如，我可以设计一些练习题，让学生进行练习，通过练习的结果来评价他们的学习情况。通过反思与评价，我可以及时了解学生的学习情况，对教学进行调整和改进，提高教学效果。
（五）作业小结
在课堂的最后，我布置了一些作业，让学生进行练习。这些作业包括一些实际问题的解决和两数和乘以这两数的差的运算。通过作业的练习，学生可以进一步巩固和应用所学的知识。在学生完成作业后，我进行了作业的批改和小结，对学生的学习情况进行了评价，并对他们在作业中遇到的问题进行了指导和解答。