SP(Lecture2)

目录2-1随机过程:随机游动与鞅1Lecture2日期:2011-03-23作者:杨广宇摘要目录1随机游动、例子2-2 2输光问题2-3 3首达时2-5 4反射原理、反正弦律及对偶2-9 5Wald等式2-156附注2-186.1鞅停止定理......................................2-186.2稳定律的一个例子..................................2-191随机游动、例子2-21随机游动、例子随机游动是最简单的随机过程，它同Brown运动、马氏过程、鞅以及L´e vy过程都有紧密的联系，并且在金融、物理、化学和生物信息学中都有广泛和深入的应用。

我们这里仅介绍随机游动的一些基本性质。

定义1设{ξn,n≥1}是独立同分布的随机变量序列，其分布函数为F。

x∈Z，令S0=x,S n=x+n∑i=1ξi,n≥1.(1)称随机过程{S n,n≥0}为从x出发，具有步长分布F的随机游动。

无说明情况下，总取x=0。

习题2随机游动{S n,n≥0}也可以表示为S0=0，S n=S n−1+ξn,n≥1。

也即可将S n解释为粒子在时刻n的位置，每个时刻粒子以同样的分布随机的选择一个步长，并跳转到位置S n−1+ξn。

试证明S2n−S n与S n相互独立并具有相同的分布。

例3(简单随机游动)若步长随机变量ξ1和−ξ1的分布相同，则说随机游动{S n}是对称随机游动。

特别的，若P(ξ1=1)=P(ξ=−1)=1/2，称{S n}为Z上简单(对称)随机游动。

若P(ξ1=1)=1−P(ξ=−1)=p=1/2，称{S n}为有偏紧邻随机游动。

自然可以考虑Z d上的简单随机游动和有偏紧邻随机游动。

例4(Gauss随机游动)若步长随机变量ξ1取值空间为R，并且ξ1服从标准正态分布N(0,1)，则说随机游动{S n}为Gauss随机游动。

易知S n服从均值为0，方差为n的正态分布。

习题5由正态分布的可加性知：S n∼N(0,n)。

试证明n−1S n a.s.−−→0。

例6(重尾随机游动)若步长随机变量ξ1是具有重尾分布1的随机变量，则说随机游动{S n}为重尾随机游动。

譬如，令ξ1为具有密度函数f(x)={α2·1|x|α+1,若|x|≥1;0,其它.1重尾随机变量：设X为非负随机变量，若任意的λ>0，EeλX=∞，则称X是重尾的，否则，若存在λ0使得对任意的0<λ<λ0，EeλX<∞，称随机变量X是轻尾的。

用分布来说，若任意的s≥0，lim t→∞[1−F(t+ s)]/[1−F(t)]=1，则说F为重尾分布。

关于“重尾”有多种不同形式的定义，直观上，若密度函数依幂指衰减到0，则该分布为重尾分布；若密度函数依指数衰减0，则该分布为轻尾分布。

常说的重尾分布一般为幂律分布。

2输光问题2-3的连续型随机变量，其中参数α∈(0,2)。

则{S n}为重尾随机游动。

重尾随机游动和Gauss 随机游动的轨道有显著的差别，特别的重尾随机游动没有中心极限定理。

简单随机游动 重尾随机游动注记7(速度的切线解释)设步长随机变量ξ1满足E|ξ1|=µ<∞，则由上一讲中的强大数定−−→µ，步长随机变量ξ1的期望恰好是随机游动的粒子的渐近速度。

特别的，律知道：n−1S n a.s.若µ>0，粒子以线性速度趋于+∞；若µ<0，粒子以线性速度趋于−∞；若µ=0，粒子的速度为0。

所以，对任意的x∈Z，速度非零的随机游动至多达到该点有限多次。

进一步的，若步长随机变量ξ1又满足E|ξ1|2=σ2<∞，则n−1/2(S n−nµ)以分布收敛于均值为零，方差为σ2的正态随机变量。

若µ=0,σ2=1，则S n的分布渐近于Gauss随机游动的分布。

切线解释习题8若步长随机变量ξ1服从Cauchy分布，即其概率密度函数为f(x)=[π(1+x2)]−1，则随机游动{S n}为重尾随机游动。

试证明n−1S n也服从Cauchy分布，并且强大数定律不成立。

2输光问题问题：设一赌徒初始资本为x元，每次押注一元，输赢的几率各半，问赌徒在破产前（即赌徒赌资为零，若出现赌徒赌资为零则该游戏结束）其资本增长到A的概率有多大？这个问题可以用简单随机游动模型来精确描述。

令{ξn,n≥1}为独立同分布随机变量，P(ξ1=1)=P(ξ1=−1)=1/2。

取S0=x，对n≥1，记S n=x+∑n i=1ξi，S n表示了n时2输光问题2-4刻赌徒的赌资。

定义随机变量T =T [0,A ]:=min {n :S n =0或A }，则上述问题转化为事件{S T =A }的概率：P (S T =A )=？(a).T 几乎处处有限直观上来看，持续抛掷一个均匀的硬币，事件“正面比反面多出现A 次”是一个必然的事件（Why?），所以随机变量T 几乎处处是有限的。

(b).差分方程对任意的初始值x ，定义u (x )=P x (S T =A )。

显然u (A )=1,u (0)=0。

若0<x <A ，P x (S T =A )=P x (S T =A ,ξ1=−1)+P x (S T =A ,ξ1=1)=12u (x −1)+12u (x +1),也即u (x )满足差分方程u (x )=12u (x −1)+12u (x +1),1≤x ≤A −1.(2)边值条件为u (A )=1,u (0)=0。

差分方程(2)易化为u (x +1)−u (x )=u (x )−u (x −1)，解该带有边值条件的线性差分方程，可得u (x )=P x (S T =A )=x /A ，也即我们给出了赌博停止时的随机变量S T 的分布。

从这个概率分布可以看出，如果赌博是公平的话，参与者的本金越大，则他达到目标的可能性越大。

习题9试解上述线性差分方程(2)。

习题10Fibonacci 数列{F n }定义为：F 1=1,F 2=1,F n =F n −1+F n −2,n >2，试通过解差分方程给出该数列的表达式。

注记11马氏链和马氏过程的首达时问题总是和某类差分或微分算子的边值问题相联系的，这也是通常所说的概率位势理论。

在实际问题中，这也是很有用的，我们可以通过计算机模拟（通过随机游动或马氏链，马氏链蒙特卡洛方法）给出边值问题的解。

(c).赌博的持续时间令v (x )=E x T ，有v (0)=v (A )=0。

同(b)中推到类似可得v (x )=1+12v (x −1)+12v (x +1),1≤x ≤A −1.令d (x )=v (x )−v (x −1)，有d (x +1)=d (x )−2，即[d (x +1)−2]=[1101][d (x )−2]3首达时2-5递归可得[d (x )−2]=[1101]x −1[d (1)−2].(3)习题12试验证[1101]x =[1x01].由习题(12)可知d (x )=d (1)−2(x −1)。

由d (x )的定义以及边值条件v (0)=0，可得d (1)=v (1)，v (x )=x∑k =1d (k )=xv (1)−x (x −1),因为v (A )=0，所以v (1)=A −1，故可得v (x )=E x T =x (A −x )。

习题13（1）试利用Cramer 法则解上述的线性方程组。

（2）试考虑非公平赌博的输光问题，也即用有偏紧邻随机游动模型，通过解线性差分方程给出该问题的解。

注记14关于输光问题的详细讨论可参见Feller 的经典著作《概率论及其应用(I)》第14章。

3首达时定义15(停时)设(Ω,F ,P )是完备概率空间，{F n ,n ≥1}是其上单增的σ-代数流，称随机变量τ:Ω→{0,1,2,...,∞}为关于σ-代数流{F n }的马尔科夫时，如果对任意的n ，{τ=n }∈F n 。

进一步的，若P (τ<∞)=1，称τ为停时。

例16设X ={X n ,F n }是随机过程，B ∈B R ，定义τB =min {n ≥0:X n ∈B }，称τB 为集合B 的首中时，则τB 是马尔科夫时。

这是因为：对任意n ≥0，{τB =n }={X 0¯∈B ,X 1¯∈B ,...,X n −1¯∈B ,X n ∈B }∈F n .给定随机过程X ={X n ,F n }以及马尔科夫时τ，可以定义停止过程X τ={X n ∧τ,F n }，其中X n ∧τ=∑n −1k =0X k 1{τ=k }+X n 1{τ≥n }。

特别的，若随机过程X 是鞅，则对应的停止过程3首达时2-6Xτ也是鞅。

这是因为：由X n∧τ之定义知X n∧τ关于F n可测，并且是可积的；另一方面X(n+1)∧τ−X n∧τ=1{τ>n}(X n+1−X n)，所以E(X(n+1)∧τ−X n∧τ|F n)=1{τ>n}E(X n+1−X n|F n)=0.(4)设{S n}是Z上的简单随机游动，也即其步长随机变量ξ1的分布为P(ξ1=1)=P(ξ=−1)=1/2。

取S0=0，定义随机变量τ:=τ(1)=min{n≥0:S n=1};τ(m)=min{n≥0:S n=m},m≥2.则τ是马尔科夫时，称其为随机游动的“首达时”。

我们主要探讨首达时τ的概率分布。

(a).τ几乎处处有限由第一讲中习题知道：随机游动{S n}是鞅，并且过程{M n:=eσS n(2eσ+e−σ)n,n≥0}也是鞅。

因为M0=1并且停止鞅仍然是鞅，我们有1=EM n∧τ=E[eσS n∧τ(2eσ+e−σ)n∧τ](5)固定σ>0，知2eσ+e−σ<1，令n→∞有，(2eσ+e−σ)n∧τ→{(2eσ+e−σ)τ,若τ<∞;0,若τ=∞.又因为S n∧τ≤1，所以0<eσS n∧τ<eσ并且0<eσS n∧τ(2eσ+e−σ)n∧τ<eσ。

再令n→∞，可得lim n→∞eσS n∧τ(2eσ+e−σ)n∧τ={eσ(2eσ+e−σ)τ,若τ<∞;0,若τ=∞.由有界收敛定理及式子(5)，可得E[eσ(2eσ+e−σ)τ1{τ<∞}]=1,(6)对任意的σ∈(0,1]，注意到0<eσ(2eσ+e−σ)τ1{τ<∞}≤e，在式子(6)中令σ↓0，由有界收敛定理知E1{τ<∞}=1，即P(τ<∞)=1。

因此可以将式子(6)改写为E[eσ(2eσ+e−σ)τ]=1.(7)(b).τ的概率生成函数3首达时2-7给定z ∈(0,1)，令z =2e σ+e −σ，化简得：z (e −σ)2−2e −σ+z =0。