数学学科发展前沿专题六作业(陕师大)
新高考数学新定义 开放性和探究专题(解析版)
新高考新定义开放性和探究专题题型一：数列新题型1(2023·河北张家口·统考二模)欧拉函数φn n ∈N * 的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互质的正整数的个数，例如：φ1 =1,φ3 =2.数列a n 满足a n =φ2n ，其前n 项和为S n ，则S 10=()A.1024B.2048C.1023D.2047【答案】C【分析】根据欧拉函数的定义可求出a n =φ2n =2n -1，再由等比数列的前n 项和公式即可求出答案.【详解】根据欧拉函数的定义可得a 1=φ2 =1,a 2=φ22 =2,a 3=φ23 =4,a 4=φ24 =8，一般地，a n =φ2n =2n -1.事实上，φ2n 表示从1到2n 的正整数中，与2n 互质的正整数的个数，相当于去掉从1到2n 的正整数中所有2的倍数的个数(共2n -1个数)，因此，a n =φ2n =2n -2n -1=2n -1.所以，S 10=1+2+4+⋯+29=1023.故选：C .2(2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测)南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列a n 本身不是等差数列，但从a n 数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列b n (则称数列a n 为一阶等差数列)，或者b n 仍旧不是等差数列，但从b n 数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列c n (则称数列a n 为二阶等差数列)，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64⋯是一阶等比数列，则该数列的第8项是( )．A.28 B.215C.221D.228【答案】C 【分析】设b n -1=a na n -1，得到b n 为等比数列，求得b n =2n -1，结合a n =b n -1⋅b n -2⋯b 1⋅a 1，进而求得a 8的值．【详解】由题意，数列1，1，2，8，64，⋯为a n ，且为一阶等比数列，设b n -1=a na n -1，所以b n 为等比数列，其中b 1=1，b 2=2，公比为q =b 2b 1=2，所以b n =2n -1，则a n =b n -1⋅b n -2⋯b 1⋅a 1=21+2+3+⋯+n -2=2n -1 n -22,n ≥2，所以第8项为a 8=221．故选：C .3(2023·上海黄浦·统考二模)设数列a n 的前n 项的和为S n ，若对任意的n ∈N *，都有S n <a n +1，则称数列a n 为“K 数列”．关于命题：①存在等差数列a n ，使得它是“K 数列”；②若a n 是首项为正数、公比为q 的等比数列，则q ∈[2,+∞)是a n 为“K 数列”的充要条件．下列判断正确的是()A.①和②都为真命题B.①为真命题，②为假命题C.①为假命题，②为真命题D.①和②都为假命题【答案】C【分析】根据给定的定义，按公差的取值情况分类探讨判断①；利用等比数列通项公式及前n项和公式，结合不等式恒成立即可推理作答.【详解】令等差数列a n的公差为d，当d≤0时，S1=a1≥a1+d=a2，不符合题意，当d>0时，S n-a n+1=na1+n(n-1)2d-(a1+nd)=d2n2-32d-a1n-a1，函数f(x)=d2x2-32d-a1x-a1的图象是开口向上的抛物线，对称轴x=32-a1d，存在x0>32-a1d，使得f(x0)>0，取不小于x0的正整数n，则有f(n)>0，即S n>a n+1，不符合题意，综上得①为假命题；等比数列a n首项a1>0，因为数列a n为“K数列”，则有a1=S1<a2=a1q，即q>1，S n=a1(1-q n)1-q,a n+1=a1q n，于是a1(1-q n)1-q<a1q n⇔q n+1-2q n+1>0⇔2-q<1q n，依题意，任意的n∈N*，2-q<1q n，函数y=1qx,x≥1在[1,+∞)单调递减，值域是0,1q ，因此2-q≤0⇔q≥2，所以q∈[2,+∞)是a n为“K数列”的充要条件，②是真命题，判断正确的是①为假命题，②为真命题.故选：C【点睛】关键点睛：数列是特殊的函数，根据数列的特性，准确构造相应的函数，借助函数性质分析求解是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件.题型二：立体几何新定义4(2023·辽宁沈阳·统考一模)刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体(八个面均为正三角形)的总曲率为()A.2πB.4πC.6πD.8π【答案】B【分析】利用正八面体的面积和减去六个顶点的曲率和可得结果.【详解】正八面体每个面均为等比三角形，且每个面的面角和为π，该正面体共6个顶点，因此，该正八面体的总曲率为6×2π-8π=4π.故选：B.5(2021·全国·统考模拟预测)图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3．若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为()A.100πB.600C.200πD.300π【答案】C【分析】由莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，结合已知可得半径为20，由弧长公式求得底面周长，进而可求得结果.【详解】莱洛三角形由三段半径为20，圆心角为π3的圆弧构成，所以该零件底面周长为3×π3×20=20π，故其侧面积为200π．故选：C.6(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测)我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球(如图①)放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体(如图②)，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即12V球=πR2⋅R-13πR12⋅R=23πR3.现将椭圆x24+y29=1绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体(如图③)，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于()A.32πB.24πC.18πD.16π【答案】D【解析】构造一个底面半径为2，高为3的圆柱，通过计算可得高相等时截面面积相等，根据祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积.【详解】解：构造一个底面半径为2，高为3的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，则当截面与顶点距离为h0≤h≤3时，小圆锥底面半径为r，则h3=r2，∴r=23h，故截面面积为：4π-49πh2，把y=h代入x24+y29=1，即x24+h29=1，解得：x=±239-h2，∴橄榄球形几何体的截面面积为πx2=4π-49πh2，由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积为：V=2V圆柱-V圆锥 =2×4π×3-13×4π×3=16π.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，构建圆柱，通过计算得到高相等时截面面积相等，根据祖暅原理得到橄榄球形几何体的体积.题型三：函数新定义7(2023·陕西商洛·统考二模)古希腊数学家普洛克拉斯指出：“哪里有数，哪里就有美．”“对称美”是数学美的重要组成部分，在数学史上，人类一直在思考和探索数学的对称问题，图形中的对称性本质就是点的对称、线的对称．如正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称性也是函数一个非常重要的性质．如果一个函数的图象经过某个正方形的中心并且能够将它的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个正方形的“优美函数”．下列关于“优美函数”的说法中正确的有()①函数f x =x2x+2-x-1≤x ≤1 可以是某个正方形的“优美函数”；②函数f x =4cos 2x -π6 +3只能是边长不超过π2的正方形的“优美函数”；③函数f x =ln 4x 2+1-2x -1可以是无数个正方形的“优美函数”；④若函数y =f x 是“优美函数”，则y =f x 的图象一定是中心对称图形．A.①② B.①③ C.②③ D.②④【答案】B【分析】根据“优美函数”的定义，可判断①③中的函数为奇函数，其图象为中心对称图形，可判断其正误，结合余弦函数的性质可判断②，作图分析，举出反例，判断④.【详解】对于①，f x =x 2x+2-x -1≤x ≤1满足f -x =-x2-x +2x =-f (x )，故为奇函数，则f x 图象原点对称，且连续，所以f x 可以是中心为原点且边长为2的正方形的“优美函数”，故①正确．对于②，令2x -π6=π2+k πk ∈Z ，得x =π3+k π2k ∈Z ，所以f x =4cos 2x -π6+3图象的对称中心为π3+k π2,3 k ∈Z ，故以π3+k π2,3k ∈Z 为中心的正方形都能被函数f x =4cos 2x -π6+3的图象平分，即f x =4cos 2x -π6+3可以同时是无数个正方形的“优美函数”，故②错误．对于③，令g x =ln 4x 2+1-2x ，x ∈R ,则g -x =ln 4x 2+1+2x =-ln 4x 2+1-2x =-f (x )，故g x 为奇函数．又因为f x 的图象是由g x 的图象向下平移一个单位长度得到的，所以f x 图象的对称中心为0,-1 ，故以0,-1 为中心的正方形都能被f x =ln 4x 2+1-2x -1的图象平分，故③正确．对于④，如图所示，图中两三角形面积相等，函数y =f x 是“优美函数”，但其图象不是中心对称图形，可知④错误，故选：B8(2021·陕西渭南·统考三模)已知符号函数sgn x =1,x >0,0,x =0,-1,x <0,偶函数f x 满足f x +2 =f x ,当x ∈0,1 时,f x =x ,则下列结论正确的是()A.sgn f x >0 B.f 40412=1C.sgn f 2k =0k ∈Z D.sgn f k =sgn k k ∈Z【答案】C【分析】利用偶函数以及函数周期为2,作出函数f x 的大致图象,数形结合即可逐个分析答案.【详解】根据题意得函数f x 是周期为2的函数,作出函数f x 的大致图象,如下图所示.数形结合易知f x ∈0,1 ,则sgn f x =0或sgn f x =1,故A 错误;f 40412=f 202012 =12,故B 错误;f 2k =0k ∈Z ,则sgn f 2k =0k ∈Z ,故C 正确;sgn k =1,k >00,k =0,-1,k <0(k ∈Z ),所以sgn k =1,k ≠00,k =0 (k ∈Z ),所以sgn f k ≠sgn k k ∈Z ,故D 错误.故选:C .9(2023·陕西安康·统考二模)宋代理学家周敦颐的《太极图》和《太极图说》是象数和义理结合的表达．《朱子语类》卷七五：“太极只是一个混沦底道理，里面包含阴阳、刚柔、奇偶，无所不有”．太极图(如下图)将平衡美、对称美体现的淋漓尽致．定义：对于函数f x ，若存在圆C ，使得f x 的图象能将圆C 的周长和面积同时平分，则称f x 是圆C 的太极函数．下列说法正确的是()①对于任意一个圆，其太极函数有无数个②f x =log 122x +1 +12x 是x 2+y +1 2=1的太极函数③太极函数的图象必是中心对称图形④存在一个圆C ，f x =sin x +cos x 是它的太极函数A.①④ B.③④ C.①③ D.②③【答案】A【分析】根据“太极函数”、函数的对称性、对数运算等知识对选项4个说法进行分析，由此确定正确答案.【详解】对于①：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积平分，所以对于任意一个圆，太极函数有无数个，故①正确对于②：f -x =log 122-x+1 -12x =log 121+2x 2x-12x ，f x -f -x =log 122x+12x +12x+x =-x +x =0，所以f x 关于y 轴对称，不是太极函数，故②错误；对于③：中心对称图形必定是太极函数，对称点即为圆心．但太极函数只需平分圆的周长和面积，不一定是中心对称图形，故③错误；对于④：曲线f x =sin x +cos x =2sin x +π4存在对称中心，所以必是某圆的太极函数，故④正确．故选：A ．题型四：向量新定义10(2022·浙江·高三专题练习)定义d a ,b =a -b 为两个向量a ，b 间的“距离”，若向量a ，b满足下列条件：(ⅰ)b =1；(ⅱ)a ≠b ；(ⅲ)对于任意的t ∈R ，恒有d a ,tb ≥d a ,b，现给出下面结论的编号，①.a ⊥b ②.b ⊥a -b ③.a ⊥a -b ④.a ≥1⑤.a +b ⊥a -b 则以上正确的编号为()A.①③B.②④C.③④D.①⑤【答案】B【分析】根据题意可得a -tb 2≥a -b 2，转化为t 2-2ta ⋅b +2a ⋅b -1 ≥0对于任意的t ∈R 恒成立，即Δ≤0，整理得a ⋅b -1 2≤0，再利用向量的数量积逐一判断即可.【详解】由于d a ,b =a -b ，又对于t ∈R ，恒有d a ,tb ≥d a ,b ，显然有a -tb ≥a -b ，即a -tb 2≥a -b 2，则t 2-2ta ⋅b +2a ⋅b-1 ≥0对于任意的t ∈R 恒成立，显然有Δ=-2a ⋅b 2-42a ⋅b-1 ≤0成立，即a ⋅b -1 2≤0，则a ⋅b=1，故序号①错误，进而a ⋅b =a ⋅bcos θ=1，∵b =1，于是cos θ=1a ≤1，得a ≥1，即序号④正确.再由a ⋅b -1=0得a ⋅b -b 2=0，得b a -b =0，∴b ⊥a -b ，显然序号②正确.从而序号③错误，再由②a ≠b ，故序号⑤错误.综上知本题正确的序号为②④.故选：B .【点睛】本题命制是以新定义为背景，考查向量长度及数量积等知识概念，同时考查了等价转换、不等式恒成立问题，符合以生考熟的高考理念，考查知识内容源于教材，试题面向全体考生，不同思维能力层次的考生度可以利用熟悉的通法来解决问题，从而增强考生的自信心，有利于考生正常发挥，属于中档题.11(2023·全国·高三专题练习)互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P 作两坐标轴的平行线，其在x 轴和y 轴上的截距a ，b 分别作为点P 的x 坐标和y 坐标，记P a ,b ，则在x 轴正方向和y 轴正方向的夹角为θ的斜坐标系中，下列选项错误的是()A.当θ=60°时A 1,2 与B 3,4 距离为23B.点A 1,2 关于原点的对称点为A -1,-2C.向量a=x 1,y 1 与b =x 2,y 2 平行的充要条件是y 1x 2=y 2x 1D.点A 1,2 到直线x +y -1=0的距离为2【答案】D【分析】根据“斜坐标系”的定义，结合向量运算对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设x 轴正方向的单位向量为e 1 ，y 轴正方向的单位向量为e 2，对于A 选项：由已知得e 1 ,e 2 =60°，所以e 1 ⋅e 2 =1×1×12=12.由A 1,2 ,B 3,4 及斜坐标的定义可知OA =e 1 +2e 2 ,OB =3e 1 +4e 2，AB =OB -OA =2e 1 +e 2 =2e 1 +e 2 2=2e 1 2+2e 1 ⋅e 2 +e 2 2=21+1+1=23，故A 选项正确；对于B 选项：根据“斜坐标系”的定义可知：点A 1,2 ，则OA =e 1 +2e 2 ，设A 1,2 关于原点的对称点为Ax ,y ，则OA ' =-OA =-e 1 -2e 2 =x e 1 +y e 2 ，由于e 1 ,e 2 不共线，所以x =-1y =-2 ，故B 选项正确；对于C 选项：a =x 1e 1 +y 1e 2 ,b =x 2e 1 +y 2e 2 ，若a 是零向量，则a ⎳b 成立，同时x 1=y 1=0，所以x 1y 2=x 2y 1成立，此时a ⎳b⇔x 1y 2=x 2y 1；若a 是非零向量，则a ⎳b ⇔存在非零常数λ，使b =λa⇔x 2e 1 +y 2e 2 =λx 1e 1 +λy 1e 2 ⇔x 2=λx 1λy 1=y 2 ⇔λx 2y 1=λx 1y 2⇔y 1x 2=y 2x 1，所以a ⎳b⇔x 1y 2=x 2y 1.故C 选项正确；对于D 选项：设直线x +y -1=0上的动点为P x ,y ,OP =x e 1 +y e 2 ，因为x +y -1=0，所以x +y =1，设OC =e 1 ,OD =e 2 ，则点P x ,y 在直线CD 上，所以直线x +y -1=0过点C 1,0 ,D 0,1 ，因为OA =e 1 +2e 2 ，则AC =OC -OA =2e 2 =2，AD =OD -OA =e 1 +e 2 =e 1 +e 2 2=3，由于OC =OD =1,OC ,OD =60°，所以CD =1.所以AD 2+CD 2=AC 2，所以AD ⊥CD ，所以点A 到直线x +y -1=0的距离为AD=3，故D 选项错误.故选：D12(2023·全国·高三专题练习)向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积．现定义向量的叉乘：给定两个不共线的空间向量a 与b ，a ×b 规定：①a ×b 为同时与a ，b垂直的向量；②a ，b ，a ×b 三个向量构成右手系(如图1)；③a ×b =a b sin a ,b ；④若a=x 1,y 1,z 1 ，b =x 2,y 2,z 2 ，则a ×b=+y 1,z 1y 2,z 2 ,-x 1,z 1x 2,z 2 ,+x 1,y 1x 2,y 2 ，其中a ,b c ,d=ad -bc ．如图2，在长方体中ABCD -A 1B 1C 1D 1，AB =AD =2，AA 1=3，则下列结论正确的是()A.AB ×AD =AA 1B.AB ×AD =AD ×ABC.AB -AD ×AA 1 =AB ×AA 1 -AD ×AA 1D.长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积V =AB ×AD ⋅C 1C【答案】C【分析】利用向量的叉乘的定义逐项分析即得.【详解】解法一：AA 1 同时与AB ，AD 垂直；AA 1 ，AB ，AD三个向量构成右手系，且AB ×AD =AB AD sin AB ,AD =2×2×sin90°=4≠AA 1=3，所以选项A 错误；根据右手系知：AB ×AD 与AD ×AB 反向，所以AB ×AD ≠AD ×AB，故选项B 错误；因为AB -AD ×AA 1 =DB ×BB 1=22×3×sin90°=62，且DB ×BB 1 =-BD ×BB 1 与CA同向共线；又因为AB ×AA 1 =2×3×sin90°=6，且AB ×AA 1 与DA同向共线，AD ×AA 1 =2×3×sin90°=6，AD ×AA 1与DC 同向共线，所以AB ×AA 1 -AD ×AA 1 =62，且AB ×AA 1 -AD ×AA 1 与CA 同向共线，AB -AD ×AA 1 =AB ×AA -AD ×AA 1，故选项C 正确；因为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为2×2×3=12．又因为由右手系知向量AB ×AD 方向垂直底面向上，与C 1C 反向，所以AB ×AD ⋅C 1C<0，故选项D 错误；故选：C ．解法二：如图建立空间直角坐标系：AB =0,2,0 ，AD =-2,0,0 ，AA 1 =0,0,3 ，则AB ×AD=0,0,4 ，所以选项A 错误；C 1C =0,0,-3 ，则AB ×AD ⋅C 1C =-12，故选项D 错误；AD ×AB=0,0,-4 ，故选项B 错误；AB -AD =DB =2,2,0 ，则AB -AD ×AA 1 =6,-6,0 ，AB ×AA 1 =6,0,0 ，AD ×AA 1 =0,6,0 ，则AB ×AA 1 -AD ×AA 1 =6,-6,0 ．所以AB -AD ×AA 1 =AB ×AA 1 -AD ×AA 1 ，故选项C 正确；故选：C ．题型五：开放性题型13(2023·甘肃酒泉·统考三模)已知P 是平行四边形ABCD 对角线上的一点，且AP =λAB +μAD，其中λ∈0,1,μ∈ 0,1 ，写出满足条件的λ与μ的一组λ,μ 的值．【答案】13,23(答案不唯一，满足λ+μ=1或λ=μ即可)【分析】若P 在AC 上可得λ=μ，若P 在BD 上，根据共线定理的推论得到λ+μ=1，填写符合题意的答案即可.【详解】因为AC =AB +AD ，若P 在AC 上，则AC ⎳AP ，又AP =λAB +μAD ，所以λ=μ，若P 在BD 上，即P 、B 、D 三点共线，又AP =λAB +μAD，则λ+μ=1．故答案为：13,23(答案不唯一，满足λ+μ=1或λ=μ即可)14(2023·江西九江·瑞昌市第一中学校联考模拟预测)已知⊙O :x 2+y 2=4，⊙C 与一条坐标轴相切，圆心在直线x -y +7=0上.若⊙C 与⊙O 相切，则⊙C 的一个方程为.【答案】x +4 2+y -3 2=9(答案不唯一)【分析】先根据已知得出⊙C 的圆心在⊙O 的外面.然后分⊙C 与x 轴相切以及⊙C 与y 轴相切，结合已知可得出两圆外切.列出方程，化简整理求解，即可得出答案.【详解】由已知可得，⊙O :x 2+y 2=4的圆心为O 0,0 ，半径R =2，所以点O 0,0 到直线x -y +7=0的距离d =72=722>2，所以，直线与圆相离，所以⊙C 的圆心在⊙O 的外面.当⊙C 与x 轴相切时，设⊙C 的圆心C a ,a +7 ，则⊙C 的半径r 1=a +7 .因为⊙C 与⊙O 相切，且C 在⊙O 的外面，所以两圆外切.所以OC =R +r 1，即a 2+a +7 2=2+a +7 ，整理可得，a 2=4+4a +7 .若a ≤-7，整理可得a 2+4a +24=0无解，所以a >-7，所以a 2-4a -32=0，解得a =-4或a =8，所以⊙C 方程为x +4 2+y -3 2=9或x -8 2+y -15 2=225；当⊙C 与y 轴相切时，设圆心C a ,a +7 ，则⊙C 的半径r 2=a .由两圆外切可得，OC =R +r 2，即a 2+a +7 2=2+a ，整理可得a 2+14a +49=4+4a ，则a <0，所以有a 2+18a +45=0，解得a =-3或a =-15，所以⊙C 方程为x +3 2+y -4 2=9或x +15 2+y +8 2=225.故答案为：x +4 2+y -3 2=9.15(2023·新疆·校联考二模)已知函数f x 满足下列条件：①f x 是y =sin x 经过图象变换得到的；②对于∀x ∈R ，均满足-3=f -π6 ≤f x ≤f π3=1成立；③y =f x 的函数图象过点0,-2 ．请写出符合上述条件的一个函数解析式．【答案】f x =2sin 2x -π6-1(答案不唯一)【分析】由①可设f x =A sin ωx +φ +B ，根据②，设A >0，求得A =2,B =-1，且ω=2，再由③求得φ的一个值为φ=-π6，即可求解.【详解】解：由①可设f x =A sin ωx +φ +B ，又由②可知，不妨设A >0，由-3=f -π6 ≤f x ≤f π3 =1，可得A =1-(-3)2=2,B =1+(-3)2=-1，且T =2π3--π6=π，所以ω=2πT=2，所以f x =2sin 2x +φ -1，由③，可得2sin φ-1=-2，即sin φ=-12，所以φ的一个值为φ=-π6，因此函数f x 的一个解析式为f x =2sin 2x -π6-1.故答案为：f x =2sin 2x -π6-1(答案不唯一).16(2023·江西南昌·校联考模拟预测)正割(Secant )及余割(Co sec ant )这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔·威发首先引入，sec ，csc 这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定义正割sec α=1cos α，余割csc α=1sin α.已知函数f x =1sec x +1csc x，给出下列说法：①f x 的定义域为x x ≠k π,k ∈Z ；②f x 的最小正周期为2π；③f x 的值域为-2,-1 ∪-1,1 ∪1,2 ；④f x 图象的对称轴为直线x =-π4+k πk ∈Z .其中所有正确说法的序号为()A.②③B.①④C.③D.②③④【答案】A【分析】首先化简函数f x =2sin x +π4，再结合原函数的特征，求函数的定义域，以及根据三角函数的性质判断周期，值域和对称性.【详解】f x =1sec x +1csc x =cos x +sin x =2sin x +π4 ，由cos x ≠0，sin x ≠0，得x ≠k π2k ∈Z ，即f x 的定义域为x x ≠k π2,k ∈Z ，①错误；f x 的定义域关于原点对称，故f x 的最小正周期与函数y =2sin x +π4的最小正周期一致，均为2π，②正确；当x =0，π2，π，3π2时，y =2sin x +π4的值分别为1，1，-1，-1，考虑周期性可知，f x 的值域为-2,-1 ∪-1,1 ∪1,2 ，③正确；令x +π4=π2+k πk ∈Z ，得x =π4+k πk ∈Z ，即f x 图象的对称轴为直线x =π4+k πk ∈Z ，④错误，故选：A .17(2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)林业部门规定：树龄500年以上的古树为一级，树龄300~500年之间的古树为二级，树龄100~299年的古树为三级，树龄低于100年不称为古树．林业工作者为研究树木年龄，多用年轮推测法，先用树木测量生长锥在树干上打孔，抽取一段树干计算年轮个数，由经验知树干截面近似圆形，年轮宽度依次构成等差数列．现为了评估某棵大树的级别，特测量数据如下：树干周长为3.14米，靠近树芯的第5个年轮宽度为0.4cm ，靠近树皮的第5个年轮宽度为0.2cm ，则估计该大树属于()A.一级B.二级C.三级D.不是古树【答案】C【分析】由条件抽象出等差数列的基本量，再结合等差数列的前n 项和，求n .【详解】设树干的截面圆的半径为r ，树干周长2πr =3.14，r =0.5m =50cm ，从内向外数：a 5=0.4，a n -4=0.2，S n =r =50=a 5+a n -4 ⋅n2=0.3n ，∴n =5003≈167年，所以为三级.故选:C18(2023春·江西·高三校联考阶段练习)若存在实数k 和m 使得函数f x 和g x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：g x ≤kx +m ≤f x 恒成立，则称此直线y =kx +m 为f x 和g x 的“分离直线”.有下列命题：①f x =x 2和g x =a ln x 之间存在唯一的“分离直线”y =2ex -e 时a =2e ；②f x =x 2和g x =1x(x <0)之间存在“分离直线”，且m 的最小值为-4，则()A.①、②都是真命題B.①、②都是假命題C.①是假命题，②是真命题D.①是真命题，②是假命题【答案】A【分析】命题①，f(x)=x2和g(x)=2e ln x有公共点e,e，故隔离直线过该点，设为点斜式，结合二次函数性质对参数分类讨论，即可求解；命题②，设隔离直线为y=kx+b，则x2-kx-m≥0kx2+mx-1≤0对任意x<0恒成立，结合二次函数性质对参数分类讨论，即可求解；【详解】对于命题①，函数f(x)=x2和g(x)=2e ln x的图像在x=e处有公共点，若存在f(x)和g(x)的隔离直线，那么该直线过这个公共点e,e，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为y-e=k x-e，即y=kx-k e+e 由f(x)≥kx-k e+e x>0恒成立，即x2-kx+k e-e≥0x>0恒成立，(i)当k=0时，则x2≥e x>0不恒成立，不符合题意；(ii)当k<0时，令u x =x2-kx+k e-e x>0，对称轴x=k2<0，u x 在0,e上单调递增，且u e=0，故k<0不恒成立，不符合题意；(iii)当k>0时，令u x =x2-kx+k e-e x>0，对称轴x=k2>0，则u x min=uk2=-k24+k e-e=-k-2e24≥0，只有k=2e，即直线y=2e x-e下面证明g(x)=2e ln x≤2e x-e，令G(x)=2e x-e-2e ln x,求导G (x)=2e x-ex，令G(x)=0，得x=e，当x∈0,e时，G (x)<0，函数G(x)在区间0,e上单调递减；当x∈e,+∞时，G (x)>0，函数G(x)在区间e,+∞单调递增；故当x=e时，函数G(x)取得极小值，也是最小值，故G(x)≥0，即g(x)≤2e x-e 所以f(x)=x2和g(x)=2e ln x之间存在唯一的隔离直线y=2e x-e.所以命题①是真命题；对于命题②，设f(x)=x2和g(x)=1x(x<0)的隔离直线为y=kx+m，则x2≥kx+m1x≤kx+m对任意x<0恒成立，即x2-kx-m≥0kx2+mx-1≤0对任意x<0恒成立，由kx2+mx-1≤0恒成立，得k≤0(i)当k=0时，则m=0符合题意；(ii)当k<0时，则x2-kx-m≥0对任意x<0恒成立，令h x =x2-kx-m x<0，对称轴x=k2<0，需Δ=k2+4m≤0，即k2≤-4m，故m≤0令d x =kx2+mx-1x<0，对称轴x=-m2k≤0，需Δ=m2+4k≤0，即m2≤-4k，所以k4≤16m2≤-64k，故-4≤k<0同理可得m4≤16k2≤-64m，即-4≤m<0，故m 的最小值为-4故命题①正确，命题②正确；故选：A专题强化一、单选题19(2023·山东潍坊·统考模拟预测)阿基米德螺线是一个点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动而产生的轨迹．如图，在平面直角坐标系xOy 中，螺线与坐标轴依次交于点A 1-1,0 ，A 20,-2 ，A 33,0 ，A 40,4 ，A 5-5,0 ，A 60,-6 ，A 77,0 ，A 80,8 ，并按这样的规律继续下去．若四边形A n A n +1A n +2A n +3的面积为760，则n 的值为()A.18B.19C.21D.22【答案】A【分析】根据四边形的特点，将四边形的面积转化为四个直角三角形的面积，即可求解.【详解】如图，四边形A n A n +1A n +2A n +3的面积由四个直角三角形构成，得12n n +1 +12n +1 n +2 +12n +2 n +3 +12n n +3 =760，n n +1+n +3 +n +2 n +1+n +3 =1520，2n +4 2n +2 =1520，即n +2 n +1 =380，n ∈N *，解得：n =18故选：A20(2023春·湖北·高二校联考阶段练习)高斯(Gauss )被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行1+2+3+⋯+100的求和运算时，他这样算的：1+100=101，2+99=101，⋯，50+51=101，共有50组，所以50×101=5050，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n 项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列a n是公比不等于1的等比数列，且a1a2023=1，试根据以上提示探求：若f(x)=41+x2，则f a1+f a2+⋯+f a2023=()A.2023B.4046C.2022D.4044【答案】B【分析】根据倒序相加法，结合等比数列的下标性质进行求解即可.【详解】根据等比数列的下标性质由a1⋅a2023=1⇒a n⋅a2024-n=1，∵函数f(x)=41+x2，∴f(x)+f1x=41+x2+41+1x2=4+4x21+x2=4，令T=f a1+f a2+⋯+f a2023，则T=f a2023+f a2023+⋯+f a1 ，∴2T=f a1 +f a2023+f a2+f a2022+⋯+f a2023+f a1 =4×2023，∴T=4046．故选：B21(2022秋·山东青岛·高三统考期末)已知定义域为0,1的“类康托尔函数”f x 满足：①∀0≤x1<x2≤1，f x1≤f x2；②f x =2fx3；③f x +f1-x=1.则f12023=()A.132B.164C.1128D.1256【答案】C【分析】根据函数的定义分别赋值得到f(1)=1,f12=12，然后再利用f x =2f x3 得到f(x)=2n⋅f x3n，再次赋值，利用∀0≤x1<x2≤1，f x1 ≤f x2 即可求解.【详解】因为∀0≤x1<x2≤1，f x =2fx3，令x=0可得：f(0)=0，又因为f x +f1-x=1，令x=0可得：f(1)=1，令x=12可得：f12=12，由f x =2fx3可得：f(x)=2f x3 =22⋅f x32=⋯=2n⋅f x3n ，令x=1,n=7，则有f(1)=27f137=128f12187，所以f12187=1128，令x=12，n=6，则有f12=26f1236=64f11458=12，所以f11458=1128，因为12187<12023<11458，所以f12187≤f12023≤f11458，也即1128≤f12023≤1128，所以f12023=1128，故选：C.22(2023·全国·高三专题练习)设定点F1,0，动点M满足以MF为直径的圆与y轴相切，设动点M的轨迹为C ，则下列说法正确的是()A.轨迹C 的方程为y 2=4xB.动点M 到直线l 1：4x -3y +6=0和l 2：x =-2的距离之和的最小值为2C.长度为8的线段两端点在轨迹C 上滑动，中点到y 轴距离的最小值为4D.轨迹C 上一点P 处的切线与x 轴交于Q ，若PQ =FQ ，则切线斜率为3【答案】A【分析】先用直接法求出动点M 的轨迹方程，然后根据轨迹方程为抛物线找出焦点和准线，将BC 两选项中的问题用抛物线的定义进行转化可判断BC 的真假；D 答案需要联立方程设而不求的思想可判断.【详解】设M x ,y ，MF 中点Q x +12,y2，∵以MF 为直径的圆与y 轴相切∴x +12 =12x -12+y 2⇒y 2=4x ，A 正确.对于B ，MM +MM =MM +MP +1=MM +MF +1，MM +MF ≥F 到l 1的距离=2，∴MM +MM ≥3，B 错.对于C ，设AB 中点M ，AB =8，分别过A ，B 作l 2的垂线，垂足为A ,B ，∴MM=AA +BB 2=AF -1+BF -12=AF +BF -22≥AB -22=3∴中点到y 轴距离的最小值为3，C 错.对于D ，切线：x =my +n ，x =my +ny 2=4x消y 可得y 2-4my -4n =0，Δ=0，∴n =-m 2，y =2mx =m2 ，∴Q -m 2,0 ，P m 2,2m ，PQ =FQ ，∴4m 4+4m 2=1+m 2，∴m 2=13，m =±33，斜率±3，D 错.故选：A23(2022·重庆江北·校考一模)已知斐波那契数列a n 满足a 1=a 2=1，a n +2=a n +1+a n ，若a s ，a t 是数列a n 中的任意两项，a s -a t =m ，当m ≤2时，称数组a s ,a t 为数列a n 的“平缓数组”(a s ,a t 与a t ,a s 为相同的“平缓数组”)，m 为数组a s ,a t 的组差.现从a n 的所有“平缓数组”中随机抽取3个，则这3个“平缓数组”的组差中至少有2个相等的取法种数为()A.24B.26C.29D.35【答案】B【分析】先根据“平缓数组”的定义，找出所有的“平缓数组”，然后再计算随机抽取三个“平缓数组”的组差中至少有2个相等的取法种数即可.【详解】由题意得a n +1≥a n ，a n +2-a n +1≥a n +1-a n ，a 1=a 2=1，a 3=2，a 4=3，a 5=5，a 6=8，又a 6-a 5=3，所以当n ≥5时，a n +1-a i ≥3i =1,2,⋅⋅⋅,n ，所以a n 的所有“平缓数组”有a 1,a 2 ，a 1,a 3 ，a 1,a 4 ，a 2,a 3 ，a 2,a 4 ，a 3,a 4 ，a 4,a 5 ，共7个，其中组差为0的有1个为a 1,a 2 ，组差为1的有3个为a 1,a 3 ，a 2,a 3 ，a 3,a 4 ，组差为2的有3个为a 1,a 4 ，a 2,a 4 ，a 4,a 5 ，所以这3个“平缓数组”的组差中至少有2个相等的取法种数为2C 23C 14+2C 33=26，故选：B24(2022秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考期中)十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数n >2时，关于x ，y ，z 的方程x n +y n =z n 没有正整数解”．经历三百多年，于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理根据前面叙述，则下列命题正确的个数为()(1)存在至少一组正整数组x ,y ,z 是关于x ，y ，z 的方程x 3+y 3=z 3的解；(2)关于x ，y 的方程x 3+y 3=1有正有理数解；(3)关于x ，y 的方程x 3+y 3=1没有正有理数解；(4)当整数n >3时关于x ，y ，z 的方程x n +y n =z n 有正实数解A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【分析】当整数n >2时方程没有正整数解，(1)错误，x z 3+y z3=1，没有正有理数解，(2)错误，(3)正确，当x =y =1，z =21n满足条件，(4)正确，得到答案.【详解】当整数n >2时，关于x ，y ，z 的方程x n +y n =z n 没有正整数解，故方程x 3+y 3=z 3没有正整数解，(1)错误；x 3+y 3=z 3没有正整数解.即x z3+y z3=1，z ≠0 ，没有正有理数解，(2)错误，(3)正确；方程x n+y n=z n，当x =y =1，z =21n满足条件，故有正实数解，(4)正确.故选：C25(2022秋·北京·高三北京铁路二中校考期中)德国著名数学家、解析数论的创始人狄利克雷(1805年2月13日~1859年5月5日)，对函数论、三角级数论等都有重要贡献，主要著作有《数论讲义》《定积分》等.狄利克雷函数就是以其名字命名的函数，其解析式为D x =1,x 为有理数,0,x 为无理数, 则下列关于狄利克雷函数D(x )的判断错误的是()A.对任意有理数t ，D (x +t )=D (x )B.对任意实数x ，D (D (x ))=1C.D (x )既不是奇函数也不是偶函数D.存在实数x ，y ，D (x +y )=D (x )+D (y )【答案】C【分析】根据狄利克雷函数的定义判断ABD ，结合奇偶性的定义判断C ．【详解】对于A ，对任意有理数t ，当x 为有理数时，x +t 为有理数，则D (x +t )=1=D (x )；当x 为无理数时，x +t 为无理数，则D (x +t )=0=D (x )，故A 正确；对于B ，若x 为有理数，则D (D (x ))=D (1)=1；若x 为无理数，则D (D (x ))=D (0)=1，故B 正确；对于C ，当x 为有理数时，则-x 为有理数，则D (-x )=1=D (x )；当x 为无理数时，则-x 为无理数，则D (-x )=0=D (x )，于是对任意实数x ，都有D (-x )=D (x )，即狄利克雷函数为偶函数，故C 错误；对于D ，取x =2，y =3，因为2+3为无理数，所以D (2+3)=0=D (2)+D (3)，故D 正确.故选：C .二、多选题26(2023春·吉林白山·高三统考期中)古希腊数学家普洛克拉斯指出：“哪里有数，哪里就有美.”“对称美”是数学美的重要组成部分，在数学史上，人类对数学的对称问题一直在思考和探索，图形中对称性的本质就是点的对称、线的对称.如正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称性也是函数一个非常重要的性质.如果一个函数的图象经过某个正方形的中心并且能够将它的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个正方形的“优美函数”.下列关于“优美函数”的说法中正确的有()A.函数f x =x2x+2-x-1≤x ≤1 可以是某个正方形的“优美函数”B.函数f x =4cos 2x -π6 +3只能是边长不超过π2的正方形的“优美函数”C.函数f x =ln 4x 2+1-2x -1可以是无数个正方形的“优美函数”。
陕西师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中理科数学试题含解析
A. B. C.2D.
【答案】B
【解析】
【分析】将 代入双曲线方程求出点 的坐标，通过解直角三角形列出三参数 ， ， 的关系，求出离心率的值．
【详解】由于 轴，且 在第一象限，设
所以将 代入双曲线的方程得 即 ，
7.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的边长是m，侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为Sn，则（）
A.Sn无限大B.Sn<3(3＋ )m
C.Sn＝3(3＋ )mD.Sn可以取100m
17.已知 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 的平分线交AB于点D，且 ，求 的最小值；
【答案】（1） ；（2）4
【解析】
【分析】（1）由 ，利用正弦定理将边转化为角得到 ，再根据 ，有 ，然后利用两角差的正弦公式展开求解.
（2）根据 的平分线交AB于点D，且 ，由 ，可得 ，化简得到 ，则 ，再利用基本不等式求解.
【详解】设 ， ，
则 ， ，
如图所示，
连接 交 于点 ，连接 、 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，而 ，所以四边形 是直角梯形，
则有 ，
， ，
所以有 ，
故 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又因为 为正方形，所以 ，
而 平面 ，
所以 平面 ，即 平面 ，
,
所以 ， ，
故答案为：③④.
强基 数学
24. 设函数 f ( x )在[0，1]上有定义，f (0) = f (1)。如果对于任意不同的
，
都有
。求证：
5
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25. 设 k、m 为实数，不等式 2 − − ≤ 1，∀ ∈ , .
证明 − ≤ 2 2.
26. 已知函数 = 3+ 2+ + ≠0 ，
有最大值和最小值 有最大值，则
D.设函数 的定义域为 D，则
的充要条件是：
28. （清华大学）设
的整数部分为 ，小数部分为 。（1）求 ，（2）求
。（3）求
。
6
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29. 已知函数
。
（1）求函数
的最小值；
（2）若
，求证：
。
30. 以 和
为两根的有理系数多项式的次数最小为（ ）
合
写出相应的集合
；
（Ⅱ）对任何具有性质 的集合 ，证明：
；
（Ⅲ）判断
的大小关系，并证明你的结论.
12. 将｛1，2，……，100｝分为三组，各组之和分别是 102，203，304 的倍数，共有 多少种分法。
13. 从 1，2，3，……，2012 中挑选一些数，其中没有两数之和可以被其差整除，选出的
这些数最多有
7. 在一个 的棋盘上放置 11 块 的骨牌，每一块骨牌恰好覆盖两个方格。证明： 无论 11 块骨牌怎么放置，总能两放入一块骨牌？
8. 设
均为整数，性质 P 为：对
中任意 个数，存在一种
分法可将其分为两组，每组 个数，使得两组所有元素的和相等，求证：
数学学科发展前沿完整版
数学学科发展前沿 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】数学学科发展前沿调研报告145407 徐珺，是研究、、、以及等的一门学科，从某种角度看属于形式的一种。
而在人类发展和生活中，数学发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。
一、数学学科的意义数学在人类文明的进步和发展中一直发挥着重要的作用。
过去，人们习惯把科学分为自然科学、社会科学两大类，数、理、化、天、地、生都归属于自然科学。
但是，现在科学家更倾向于把自然科学界定为以研究物质的某一运动形态为特征的科学，如物理学、化学、生物学。
数学是忽略了物质的具体运动形态和属性，纯粹从数量关系和空间形式的角度来研究现实世界的，具有超越具体科学和普遍适用的特征，具有公共基础的地位。
数学的许多高深理论与方法正广泛深入地渗透到自然科学的各个领域中去。
数学在当代科技、文化、社会、经济和国防等诸多领域中的特殊地位是不可忽视的。
发展数学科学，是推进我国科学研究和技术发展，保障我国在各个重要领域中可持续发展的战略需要。
由于数学的性质及其应用途径不断发生变化，新的数学领域不断涌现，数学的应用范围的不断扩充，加之计算机的发展和应用爆炸性的增长，都要求发展新的数学。
数学是打开科学大门的钥匙,数学在科学理论成就中的重要性。
早在古希腊的毕达哥拉斯学派就把数学看作万物之本源；享有“近代科学之父”尊称的伽利略认为，宇宙像一本用数学语言写成的大书，如不掌握数学的符号语言，就像在黑暗的迷宫里游荡，什么也认识不清。
第一位诺贝尔物理奖获得者伦琴在问道科学家需要什么样的修养时，他的回答是：第一是数学，第二是数学，第三是数学。
初中数学中有哪些前沿的研究方向
初中数学中有哪些前沿的研究方向在初中数学的领域中，虽然教学内容主要集中在基础知识和基本技能的培养上，但数学这门学科的发展是永无止境的，其中也蕴含着一些前沿的研究方向，这些方向不仅对于深入理解数学的本质具有重要意义，也可能对未来的数学教育和应用产生深远影响。
一、数学建模与实际问题解决数学建模是将实际问题转化为数学问题，并通过数学方法求解和解释的过程。
在初中阶段，学生已经开始接触简单的数学建模，如通过建立方程解决行程问题、工程问题等。
然而，前沿的研究方向在于如何让初中学生更好地理解和应用复杂的数学模型来解决现实生活中的多变量、非线性问题。
例如，在环境保护领域，如何利用数学模型预测污染物的扩散和生态系统的变化；在城市规划中，怎样通过建模来优化交通流量、资源分配等。
研究如何引导初中学生参与这些实际问题的建模过程，培养他们的创新思维和解决实际问题的能力，是一个具有挑战性和重要价值的方向。
二、数论与密码学数论是研究整数性质的数学分支，它在现代密码学中有着关键的应用。
虽然初中数学中的数论知识相对基础，但前沿的研究在于如何以浅显易懂的方式向初中学生介绍数论在密码学中的应用，激发他们对数学深层次的兴趣。
比如，简单介绍 RSA 加密算法的原理，让学生了解到数学在信息安全中的重要作用。
通过趣味的数学游戏和实例，让学生感受数论的神秘和魅力，为将来进一步学习数学和相关领域打下基础。
三、图形与几何的新视角在初中几何中，学生学习了基本的图形和几何定理。
而前沿的研究方向包括探索新的几何表示方法和空间思维的培养。
例如，引入计算机图形学中的概念，让学生通过编程或使用特定软件来构建和操作几何图形，加深对几何性质的理解。
另外，研究如何培养学生的多维空间想象能力，为他们将来理解更高维度的数学概念做好准备。
四、大数据与数学统计随着大数据时代的到来，数学统计在数据分析和决策中的作用日益凸显。
在初中数学中，可以引入简单的数据分析和统计方法，而前沿的研究在于如何让初中学生在有限的知识范围内，更好地理解数据的价值和统计方法的应用。
《学科前沿讲座》作业
《学科前沿讲座》总结学号：xxx 姓名：xxx本次总结主要针对老师们讲授的web3.0、SDN、GNN和隐私保护。
鉴于xxx对web3.0的讲授，可以对Web3.0时代做出如下的研判和思考。
其一，Web3.0时代，更多地表现出来的是区块链技术与其他技术的深度融合。
区块链仅仅只是局限于区块链本身，是无法激发它的潜能和作用的。
这与区块链的落地和应用仅仅只是数字货币本身，其实是有着内在的相似之处的。
欲要将区块链的功能和作用发挥到最大，非但要拓展它的落地和应用场景，甚至还要强化它与其他技术的深度融合。
其二，Web3.0时代，更多地表现出来的是去中心化的产业生态的完善。
我们一直都在提倡，区块链的核心在于去中心化。
何为去中心化？如何才能让去中心化发挥出它的最大的功能和作用？我认为，缺少了以区块链技术为底层技术的产业生态的形成与完备是无论如何都无法实现的。
而这一点，恰恰只有在Web3.0时代才能够实现。
其三，Web3.0时代，更多地表现出来的是虚实结合的产业嬗变。
透过元宇宙，我们看到的是一场有关虚拟与现实深度融合的完美的体验。
然而，我们同样要看到的是，这样一种改变，仅仅只是局限在体验上的，体验所建构的产业本身并未发生一场深度的虚实集合。
等到了Web3.0时代，我们将会更多地看到的是一场虚实结合的产业嬗变。
鉴于xxx老师对软件定义网络（SDN）的讲授，可以对SDN做出如下的研判和思考。
OpenFlow是一种SDN控制层面的网络协议，其工作模型中，将控制层面与转发层面进行分离，Controller负责将流量控制策略以流表形式下发给受管理的网络设备，交换机设备只需要按照流表上制定的流表项进行逐一匹配和转发，如此一来，很容易实现对于每个网络节点设备的统一管理，SDN的发展使得其在我国受到了非常广泛的关注，尤其是运营商给予的关注更高。
然而运营商在衡量一个产品和技术时，主要是针对其能不能减少运营成本，为企业创造更多的经济利益进行考虑的，基于这一因素提出了对SDN进行路由器设备的更换。
精析结构_多解探究_关注思维_寻根探源——一道联考压轴题的解法探究与背景探源
精析结构㊀多解探究㊀关注思维㊀寻根探源一道联考压轴题的解法探究与背景探源巨小鹏(陕西省汉中市龙岗学校ꎬ陕西汉中７２３１０２)摘㊀要:本文对２０２３届高三第一次学业质量评价数学第１６题第一空做了多视角解法探究ꎬ对第二空做了推广和背景探源分析ꎬ最后通过反馈练习理解双曲线中渐切三角形面积为定值这一应用.关键词:压轴题ꎻ解法探究ꎻ背景探源ꎻ渐切三角形中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０１－００８９－０５收稿日期:２０２３－１０－０５作者简介:巨小鹏ꎬ男ꎬ陕西省汉中人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事数学教育㊁课程与教学论研究.基金项目:陕西省教育科学 十四五 规划２０２１年度课题 教材 阅读材料 在数学学习中的渗透与引领策略研究 (项目编号:ＳＧＨ２１Ｙ１１９４)㊀㊀解析几何问题中ꎬ几何是思考的起点和终点ꎬ也是问题的缘起和归宿ꎬ代数化和 几何 特征是解决几何问题的工具.加深几何特征和曲线与方程有关概念的理解ꎬ从不同角度分析其几何结构ꎬ并寻求其思维方法根源ꎬ将解决问题思维结构化ꎬ以提升 猜想证明㊁化归转化㊁直观想象㊁数学运算㊁严谨逻辑推理和探索实践应用 等关键能力为目标ꎬ内化数学核心素养[１].１试题呈现题目㊀(２０２３届高三第一次Ｔ８联考１６题)已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的左㊁右焦点分别为Ｆ１和Ｆ２ꎬＯ为坐标原点ꎬ过点Ｆ２作渐近线ｙ＝ｂａｘ的垂线ꎬ垂足为点Ｐꎬ若øＦ１ＰＯ＝π６ꎬ(１)双曲线的离心率为ꎻ(２)过点Ｐ作双曲线的切线交另一条渐近线于点Ｑꎬ且ＳәＯＰＱ＝２３ꎬ则该双曲线的方程为.２试题分析与解答分析㊀第一空求双曲线离心率要么直接求出ａꎬｂ和ｃ中的任意两个ꎬ要么求出ａꎬｂ和ｃ之间的关系ꎬ从而求得离心率.根据题意给的几何关系以及条件øＦ１ＰＯ＝π６ꎬ会想到正弦定理和余弦定理ꎬ根据几何特征ꎬ可求得ＰＦ２＝ｂꎬ｜ＯＰ｜＝ａꎬ从而解三角形求得ａ＝３２ｂ这一重要结果ꎬ即可求得双曲线的离心率.第二空ꎬ过点Ｐ的切线ＰＱ与双曲线切于点Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ设Ｐｘ１ꎬｙ１()ꎬＱｘ２ꎬｙ２()ꎬ表示出ＳәＰＯＱ＝ｂａｘ１ｘ２ꎬ利用双曲线的切线方程联立渐近线方程求得ｘ１ｘ２＝ａ２ꎬ从而根据三角形面积求得ｂꎬ即可求得双曲线方程.２.１第(１)问解析解法１㊀(正弦定理视角)设øＰＯＦ２＝αꎬ则有ｔａｎα＝ｂａꎬＦ２(ｃꎬ０)到渐近线ｙ＝ｂａｘ即ｂｘ－ａｙ＝０的距离为ＰＦ２＝｜ｂｃ｜ａ２＋ｂ２＝｜ｂｃ｜ｃ２＝ｂ.而ｔａｎα＝｜ＰＦ２｜｜ＯＰ｜＝ｂａꎬ又因为｜ＯＰ｜＝ａꎬ所以ｓｉｎα＝ｂｃꎬｃｏｓα＝ａｃ.在әＯＦ１Ｐ中ꎬøＦ１ＰＯ＝π６ꎬ根据正弦定理ꎬ得ａｓｉｎ[α－(π/６)]＝ｃｓｉｎ(π/６).即ａ(ｂ/ｃ) (３/２)－(ａ/ｃ) (１/２)＝２ｃ.所以ａ＝３ｂ－ａ.则２ａ＝３ｂ.即ａ＝３２ｂ.所以ｅ＝ｃａ＝ａ２＋ｂ２ａ２＝２１３.解法２㊀(余弦定理视角)可知Ｆ１(－ｃꎬ０)ꎬＦ２(ｃꎬ０)ꎬＰＦ２的方程为ｙ＝－ａｂ(ｘ－ｃ)ꎬ与直线ｙ＝ｂａｘ联立得Ｐａ２ｃꎬａｂｃæèçöø÷.所以ＰＦ１＝ａ２＋ｃ２ｃæèçöø÷２＋ａｂｃæèçöø÷２＝３ａ２＋ｃ２.又因为｜ＯＰ｜＝ａ２ｃæèçöø÷２＋ａｂｃæèçöø÷２＝ａꎬＯＦ１＝ｃꎬ在әＯＰＦ１中ꎬ根据余弦定理ꎬ得ＯＦ１２＝ＰＦ１２＋｜ＯＰ｜２－２｜ＯＰ｜ＰＦ１ｃｏｓøＦ１ＰＯ.则ｃ２＝３ａ２＋ｃ２＋ａ２－２ａ３ａ２＋ｃ２３２.即３ｃ２＝７ａ２.所以ｅ＝ｃａ＝７３＝２１３.解法３㊀(中线定理＋余弦定理视角)根据解法１可知ＰＦ２＝ｂꎬ｜ＯＰ｜＝ａꎬ｜ＯＦ１｜＝ｃ.根据三角形中线定理ꎬ得ＰＦ１２＋ＰＦ２２＝２ＯＰ２＋ＯＦ１２.所以ＰＦ１＝３ａ２＋ｃ２ꎬ下同解法２.解法４㊀(辅助线视角１)根据解法１可知ＰＦ２＝ｂꎬ｜ＯＰ｜＝ａꎬ｜ＯＦ１｜＝ｃ.过点Ｐ作ＰＨʅＦ１Ｆ２于点Ｈꎬ则｜ＯＨ｜＝ａ２ｃꎬ｜ＰＨ｜＝ａｂｃ.在ＲｔәＰＨＦ１中ꎬ根据勾股定理ꎬ得ＰＦ１２＝ＰＨ２＋Ｆ１Ｈ２＝３ａ２＋ｃ２ꎬ下同解法２.解法５㊀(辅助线视角２)根据解法１可知ＰＦ２＝ｂꎬ｜ＯＰ｜＝ａꎬ｜ＯＦ１｜＝ｃ.如图１ꎬ过点Ｆ１作Ｆ１Ｍ垂直于渐近线ｙ＝ｂａｘ于点Ｍꎬ可知ＲｔәＯＭＦ１ɸＲｔәＯＰＦ２ꎬ｜ＯＰ｜＝｜ＯＭ｜.图１㊀解法５示意图在ＲｔәＰＭＦ１中ꎬ｜ＰＭ｜＝３ｂ＝２｜ＯＰ｜＝２ａꎬ下同解法２.解法６㊀(辅助线视角２优化)在ＲｔәＰＭＦ１中ꎬｔａｎøＦ１ＰＭ＝Ｆ１ＭＰＭ＝ｂ２ａ＝ｔａｎπ６＝３３ꎬ则ｂａ＝２３３.则ｅ＝(ｂａ)２＋１＝２１３.解法７㊀(辅助线视角２优化)过点Ｆ１作Ｆ１Ｍ垂直于渐近线ｙ＝ｂａｘ于点Ｍ并延长至点Ｍᶄꎬ使得Ｆ１Ｍ｜＝｜Ｆ１Ｍᶄ｜.因为øＦ１ＰＭ＝π６ꎬ所以әＰＦ１Ｍᶄ是边长为２ｂ的等边三角形.所以｜ＰＭ｜＝２ａ＝３ｂ.下同解法６.解法８㊀(张角定理视角)根据解法１可知ＰＦ２＝ｂꎬ｜ＯＰ｜＝ａꎬ｜ＯＦ１｜＝ｃ.根据张角定理ꎬ得ｓｉｎøＦ１ＰＦ２｜ＯＰ｜＝ｓｉｎøＦ１ＰＯ｜ＰＦ２｜＋ｓｉｎøＯＰＦ２ＰＦ１.即３/２ａ＝１/２ｂ＋１ＰＦ１.得｜ＰＦ１｜＝２ａｂ３ｂ－ａ.又因为ＳәＰＯＦ１＝ＳәＰＯＦ２ꎬ所以１２ａ｜ＰＦ１｜ｓｉｎπ６＝１２ａｂｓｉｎπ２.所以｜ＰＦ１｜＝２ｂ.所以２ａｂ３ｂ－ａ＝２ｂ.则２ａ＝３ｂ.即ａ＝３２ｂ.所以ｅ＝ｃａ＝ａ２＋ｂ２ａ２＝２１３.解法９㊀(张角定理＋邻补角＋正弦定理视角)由解法８得｜ＰＦ１｜＝２ａｂ３ｂ－ａ.在әＯＰＦ１中ꎬｓｉｎøＰＯＦ１＝ｓｉｎøＰＯＦ２＝ｂｃꎬ根据正弦定理ꎬ得ＰＦ１ｓｉｎøＰＯＦ１＝ｃｓｉｎøＦ１ＰＯ.即２ａｂ/(３ｂ－ａ)ｂ/ｃ＝ｃ１/２.则２ａ＝３ｂ.即ａ＝３２ｂ.所以ｅ＝ｃａ＝ａ２＋ｂ２ａ２＝２１３.评注㊀本题破题关键是找到ａꎬｂ和ｃ之间的关系得到２ａ＝３ｂ.解法１和２以正弦定理为目标ꎬ做种种转化ꎬ解法３引入中线定理ꎬ解法４㊁５㊁６利用条件中的垂直和π６ꎬ借助辅助线和其几何特征使思路更加清晰明了ꎬ解法８和９利用了张角定理和正弦定理解决ꎬ此法不易想到ꎬ但不失为一个解决问题的好方法ꎬ当然解法８用完面积法也可以用余弦定理求得离心率.考查学生对基础知识和基本方法的掌握和理解ꎬ也考查了学生观察几何特征和代数运算等关键能力.２.２第(２)问解析解析㊀如图２ꎬ过点Ｐ的切线ＰＱ与双曲线切于点Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ设Ｐｘ１ꎬｙ１()ꎬＱｘ２ꎬｙ２()ꎬ又因为点ＰꎬＱ均在双曲线的渐近线上ꎬ故设Ｐｘ１ꎬｂａｘ１æèçöø÷ꎬＱｘ２ꎬ－ｂａｘ２æèçöø÷ꎬ又因为ｔａｎα＝ｂａꎬ图２㊀第(２)问解析图所以ｓｉｎ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓαｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝２ｔａｎα１＋ｔａｎ２α＝２ ｂ/ａ１＋(ｂ/ａ)２＝２ａｂａ２＋ｂ２.所以ＳәＰＯＱ＝１２｜ＯＰ｜｜ＯＱ｜ｓｉｎ２α＝１２ ｘ２１＋ｂａｘ１æèçöø÷２ ｘ２２＋－ｂａｘ２æèçöø÷２２ａｂａ２＋ｂ２＝ｂａｘ１ｘ２.过点Ｍ的切线ＰＱ方程为ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝１.即ｙ＝ｂ２ｘ０ｘｙ０ａ２－ｂ２ｙ０.代入ｂ２ｘ２－ａ２ｙ２＝０ꎬ化简ꎬ得ａ２ｙ２０－ｂ２ｘ２０()ｘ２＋２ａ２ｂ２ｘ０ｘ－ａ４ｂ２＝０.又因为ｂ２ｘ２０－ａ２ｙ２０＝ａ２ｂ２ꎬ所以－ａ２ｂ２ｘ２＋２ａ２ｂ２ｘ０ｘ－ａ４ｂ２＝０.即ｘ２－２ｘ０ｘ＋ａ２＝０.所以ｘ１ｘ２＝ａ２.所以ＳәＰＯＱ＝ｂａｘ１ｘ２＝ａｂ＝３２ｂ ｂ＝２３.即ｂ＝２ꎬａ＝３.故双曲线的方程为ｘ２３－ｙ２４＝１.评注㊀设出Ｐｘ１ꎬｙ１()ꎬＱｘ２ꎬｙ２()ꎬ破题关键要利用过双曲线上一点的切线方程联立渐近线方程ꎬ根据韦达定理求得ｘ１ｘ２＝ａ２ꎬ进而利用三角形面积解决问题ꎬ当然此题也可进行仿射变换仿射成反比例函数解决ꎬ不再赘述.本题是一类特殊的中心三角形ꎬ即双曲线的渐近线与切线围成的三角形称为渐切三角形.３试题背景探源３.１渐切三角形问题若直线ｌ与直线ｌ１:ｂｘ－ａｙ＝０㊁直线ｌ２:ｂｘ＋ａｙ＝０分别交于ＰꎬＱ两点ꎬ且直线ｌ与双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)只有一个公共点Ｍꎬ则(１)切点Ｍ为ＰꎬＱ中点ꎻ(２)әＯＰＱ的面积为定值ａｂ[２]ꎻ(３)ｋＯＭ ｋＰＱ＝ｂ２ａ２.证明㊀(１)当切线斜率不存在时ꎬ此时顶点即为ＰꎬＱ中点ꎻ当切线斜率存在时ꎬ设Ｐｘ１ꎬｙ１()ꎬＱｘ２ꎬｙ２()ꎬ切线方程为ｙ＝ｋｘ＋ｍꎬ与Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)联立ꎬ得(ｂ２－ａ２ｋ２)ｘ２－２ｋｍａ２ｘ－ａ２ｂ(２＋ｍ２)＝０.则ｘ１＋ｘ２＝２ｋｍａ２ｂ２－ａ２ｋ２.即切点Ｍ横坐标为ｋｍａ２ｂ２－ａ２ｋ２.切线方程为ｙ＝ｋｘ＋ｍꎬ与Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝０联立得㊀(ｂ２－ａ２ｋ２)ｘ２－２ｋｍａ２ｘ－ａ２ｂ２＝０.则ｘ１＋ｘ１＝２ｋｍａ２ｂ２－ａ２ｋ２.即ＰꎬＱ中点横坐标为ｋｍａ２ｂ２－ａ２ｋ２.即切点Ｍ为ＰꎬＱ中点.(２)当切线斜率不存在时ꎬ即ｘ＝ʃａꎬ此时әＯＰＱ的面积为定值ａｂꎻ当切线斜率存在时ꎬ证明参考２０２３届Ｔ８联考１６题第二空解法.(３)因为ＰꎬＱ两点在直线ｌ１和直线ｌ２上ꎬ则ｘ２１ａ２－ｙ２１ｂ２＝０ꎬｘ２２ａ２－ｙ２２ｂ２＝０.ìîíïïïï作差后ꎬ得ｙ１＋ｙ２ｘ１＋ｘ２ ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝(ｙ１＋ｙ２)/２(ｘ１＋ｘ２)/２ ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝ｂ２ａ２.即ｋＯＭ ｋＰＱ＝ｂ２ａ２.３.２高考试题背景探源(２０１４年高考福建理科１９题)已知双曲线Ｅ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的两条渐近线分别为直线ｌ１:ｙ＝２ｘ㊁直线ｌ２:ｙ＝－２ｘ.(１)求双曲线Ｅ的离心率ꎻ(２)如图３ꎬＯ为坐标原点ꎬ动直线ｌ分别交直线ｌ１ꎬｌ２于ＡꎬＢ两点(ＡꎬＢ分别在第一ꎬ四象限)ꎬ且әＡＯＢ的面积恒为８ꎬ试探究:是否存在总与直线ｌ有且只有一个公共点的双曲线Ｅ?若存在ꎬ求出双曲线Ｅ的方程ꎻ若不存在ꎬ说明理由.图３㊀２０１４年高考福建理科１９题图解析㊀(１)因为双曲线Ｅ的渐近线分别为ｙ＝２ｘꎬｙ＝－２ｘ.所以ｂａ＝２.所以ｃ２－ａ２ａ＝２.所以ｃ＝５ａ.从而双曲线Ｅ的离心率ｅ＝５.(２)由(１)知ꎬ双曲线Ｅ的方程为ｘ２ａ２－ｙ２４ａ２＝１.设直线ｌ与ｘ轴相交于点Ｃ.当ｌʅｘ轴时ꎬ若直线ｌ与双曲线Ｅ有且只有一个公共点ꎬ则｜ＯＣ｜＝ａꎬ｜ＡＢ｜＝４ａ.又因为әＯＡＢ的面积为８ꎬ所以１２｜ＯＣ｜ ｜ＡＢ｜＝８.所以１２ａ ４ａ＝８ꎬ解得ａ＝２.此时双曲线Ｅ的方程为ｘ２４－ｙ２１６＝１.若存在满足条件的双曲线Ｅꎬ则Ｅ的方程只能为ｘ２４－ｙ２１６＝１.以下证明:当直线ｌ斜率不存在时ꎬ双曲线Ｅ:ｘ２４－ｙ２１６＝１也满足条件.当直线ｌ斜率存在时设直线ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ｍꎬ依题意ꎬ得ｋ>２或ｋ<－２.则Ｃ(－ｍｋꎬ０).记Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ由ｙ＝２ｘꎬｙ＝ｋｘ＋ｍꎬ{得ｙ１＝２ｍ２－ｋ.同理得ｙ２＝２ｍ２＋ｋ.由ＳәＯＡＢ＝１２｜ＯＣ｜ ｜ｙ１－ｙ２｜ꎬ得１２｜－ｍｋ｜ ｜２ｍ２－ｋ－２ｍ２＋ｋ｜＝８.即ｍ２＝４｜４－ｋ２｜＝４(ｋ２－４).由ｙ＝ｋｘ＋ｍꎬｘ２４－ｙ２１６＝１ꎬìîíïïï得(４－ｋ２)ｘ２－２ｋｍｘ－ｍ２－１６＝０.因为４－ｋ２<０ꎬ所以ә＝４ｋ２ｍ２＋４(４－ｋ２)(ｍ２＋１６)＝－１６(４ｋ２－ｍ２－１６).又因为ｍ２＝４(ｋ２－４)ꎬ所以ә＝０.即ｌ与双曲线Ｅ有且只有一个公共点.综上所述ꎬ存在总与ｌ有且只有一个公共点的双曲线Ｅꎬ且Ｅ的方程为ｘ２４－ｙ２１６＝１.４结束语本题考查了双曲线的性质㊁直线与双曲线的位置关系和渐切三角形的面积表示ꎬ考查学生对基本概念和基本性质的理解以及数学运算等核心素养.２０１５年湖北理科２１题考查了椭圆中渐切三角形问题ꎬ后期会继续进行探究.参考文献:[１]巨小鹏.强化 几何 特征重视 结合 意识:例谈解析几何中强化 几何 特征和综合解题意识培养[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２２(３１):２５－３０.[２]苏汉杰ꎬ赵月灵.双曲线的切线与渐近线所围成的三角形面积的探究[Ｊ].中小学数学ꎬ２０２２(Ｚ２):６５－６６.[责任编辑:李㊀璟]。
陕西师范大学学科数学
陕西师范大学学科数学陕西师范大学的学科数学课程是其优势学科之一，其官方宣称能够“为广大学生提供面向未来的数学学习，为教师提供更丰富的教学支持”。
这一学科的核心模块包括：高等代数、几何学、概率论、统计学、数学分析、偏微分方程、离散数学和计算数学。
此外，还有一些其它相关的学科，如系统科学、信息论、模式识别、科学计算、应用数学、智能数学、科学可视化和科学计算方法等。
陕西师范大学的学科数学教学强调理论和实践相结合，全面考虑学生的学习实际和综合发展，旨在培养具有良好数学素养、理论基础扎实、分析解决能力强、实际操作熟练的优秀数学人才。
在课程教学中，重点介绍数学的基本理论，扩展学生的概念、结构和分析，提升学生的数学实践能力。
形式化的数学理论的应用范围包括：计算机科学、信息科学、生物工程、经济学和管理学等，以及一系列应用技术，如数值分析、优化方法、统计学和数据挖掘等。
在教学活动中，教师把学生分解成小组，组织学生们参与不同的探究及团队活动，培养学生的团队合作、主动发现、分析解决问题的能力；有时还会以此为契机邀请外教进行交流，从不同视角全面探讨和深入探究相关知识，以激发学生学习兴趣。
另外，为增强教学效果，陕西师范大学还建立了专业的实验室，以及大量的计算机软件和教学辅助系统，让学生可以体验数学学习的先进技术。
此外，学校还举办一系列学术研讨会和比赛，提供广泛、多样的实践交流平台，以提高学生的学术实力和能力。
陕西师范大学的学术数学课程不仅注重数学的基本知识，而且强调理论和实践的结合，让学生获得全面的数学知识，以及更高层次的理论思维能力和实践技能。
教学旨在培养学生的数学思维能力，帮助他们比较客观地分析和解决实际问题，以满足面向未来的发展需求。
本课程将为学生提供一个完整的学习体系，以帮助学生掌握基本的数学知识，在一定程度上拓展他们的知识面，为他们今后学习创新技术、科学发展打下坚实的基础。
数学的前沿研究
数学的前沿研究数学是一门古老而又深奥的学科，它一直以来都在不断地发展和演进。
随着科学技术的不断进步，数学的前沿研究也在与时俱进，不断探索新的数学领域和解决更加复杂的问题。
本文将介绍一些数学的前沿研究领域和其背后的基本原理。
一、代数几何代数几何是研究代数和几何间关系的数学分支。
它是对代数方程和几何图形之间的联系进行研究，探索代数和几何之间的共同性质。
在代数几何中，有一项前沿研究就是研究奇点理论。
奇点是代数方程曲线上的一个特殊点，研究奇点可以帮助我们了解更多关于曲线的性质和结构。
二、群论群论是研究代数结构以及其在数学中的应用的分支。
在群论的前沿研究中，一个重要的领域是编码理论。
编码理论是将信息通过编码的方式传输和存储的数学理论。
它主要研究如何通过加入冗余信息来纠正和检测传输或存储中出现的错误。
编码理论在通信领域中有广泛的应用，特别在数据传输和数据存储方面发挥着重要作用。
三、概率论和统计学概率论和统计学是研究随机现象的数学分支。
在概率论和统计学的前沿研究中，一个热门的领域是机器学习和深度学习。
机器学习和深度学习是人工智能领域的重要组成部分，通过使用大数据和复杂的算法模型，使得计算机能够学习和自主进行决策。
在机器学习和深度学习中，概率论和统计学的方法被广泛运用，以解决模式识别、辨认和预测等问题。
四、数论数论是研究整数性质的数学分支。
在数论的前沿研究中，一个重要的领域是密码学。
密码学是关于加密算法和安全通信的科学，它主要研究如何保护信息的安全性和隐私性。
在现代社会中，密码学发挥着重要的作用，保障着信息传输和存储的安全。
五、微分方程微分方程是研究函数和其导数之间关系的数学分支。
在微分方程的前沿研究中，一个热门的领域是混沌理论。
混沌理论研究的是不可预测的动态系统，这些系统具有极其敏感的初始条件，即使微小的变化也会导致系统最终结果的巨大变化。
混沌理论在许多领域中有广泛的应用，如气象学、天文学等。
六、拓扑学拓扑学是研究空间性质和不变量的数学分支。
2023年陕西师范大学附属中学中考六模数学试题
22．某校运动会筹备组组织了一次“会徽设计”比赛活动，十位评委依据设计要求对每个 作品进行打分．对参加比赛的甲、乙、丙三个作品得分的数据进行整理、描述和分析， 下面给出了部分信息． A．甲、乙两个作品得分的折线图：
12．点
A 1,y1 ，B2,y2 Nhomakorabea，C
3,
y3
均在反比例函数
y
k x
的图象上，若
y1
y2
，则
y2
试卷第 2 页，共 7 页
______ y3 （填“>”、“<”或“=”）． 13．如图，菱形 ABCD 的边长为 5，将一个直角的顶点放置在菱形的中心 O 处，此时直 角的两边分别交边 AD ， CD 丁点 E ， F ，当 OE AD 时， OE 的长为 2，则 EF 的长是 ______．
B．丙作品得分：10，10，10，9，9，8，4，9，8，10 C．甲、乙、丙三个作品得分统计表： 作品 平均分/分 中位数/分 众数/分 方差
试卷第 4 页，共 7 页
甲
8.7
9
t
1.61
乙
8.7
n
10 和 9 1.21
丙
m
9
10 3.01
根据以上信息，回答下列问题： (1)填空： n ______， t ______； (2)求表格中 m 的值； (3)在参加比赛的作品中，如果某作品得分的 10 个数据的方差越小．则认为评委对该作 品的评价越一致．据此推断：评委对______的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）． 23．如图是某景区的观光扶梯建设示意图，其中 AC 、DE 为两段扶梯，CD 为平台，EB 为水平地面，扶梯 AC 和平台 CD 形成的 ACD 为 135°， DE 段的坡角为 30°（即 DEB 30 ）， AC 段扶梯长 20 米， A 到 EB 的距离为 30 米．求 DE 段扶梯的长度．
陕西省西安市八校(陕西师大附中等)2021-2022学年高三上学期联考理科数学试题
西安市教育学会教研信息专业委会员2022届高三卷●启用前机密西安地区陕师大附中西安高级中学西安高新一中西安交大附中西安市83中西安市85中西安市一中西安铁一中西安中学西工大附中八校联考（八校顺序以校名全称按汉语拼音方案字母表顺序排列；再行增减校名时“八校联考”名称不变）2022届高三年级数学（理科）试题命题：特聘教研员文德靖审定：西铁一中广隶审校：朱景峰本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹整洁．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题无效．4．保持纸面清洁，不折叠，不破损．5．若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．数据2-，0，1，2，5，6的方差是（）．A ．46B ．233C ．693D ．232．已知全集U N = （N是自然数集），集合{}41,A x x x Z =-<∈，则U A =ð（）．A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2,3C ．{}1,2D ．{}0,1,23．已知复数z 满足()()1i 51i z +=+（i 为虚数单位），则z =（）．A ．13i+B ．2i-C ．3i+D ．13i 55+4．如图，在直角AMN △中，90A =︒，B AM ∈，C MN ∈，D AN ∈，2DN =，8BM =．向AMN △中任意投掷一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD 区域内的概率是（）．A ．13B ．49C ．59D ．235．已知双曲线M ：()22108x y a a a -=>+的离心率为2，则双曲线M 的渐近线方程是（）．A ．3y x=±B ．33y x =±C ．3y x =±D ．2y =±6．如图所示算法框图，则输出的z 的值是（）．A ．82-B ．132-C ．212-D ．1327．将函数()sin cos f x x x =+的图像向左平移4π个单位，得函数()y g x =的图像．则34g π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）．A ．12B ．1C ．62-D ．1-8．一个空间几何体的三视图如右图所示，三个视图都是外轮廓为边长是4的正方形，则其表面积S =（）．A ．64315+B ．74C ．64103+D ．6486+9．若()523450123452x a a x a x a x a x a x -=+++++，则3a =（）．A ．80-B ．40-C ．40D ．8010．第十四届全国运动会开幕式，于2021年9月15日20点在西安奥体中心隆重开幕．本次盛会的观众席中有1800名是“西安铁一中”师生，这些师生中还有800名学生参加了文艺演出．开幕式之后，在这1800名师生中，按照“参加了演出”和“未参加演出”分层抽样抽取了9名师生，参加“西安电视台”举办的“弘扬十四运精神”座谈会，并且在这9人中随机抽取4人再作问卷，则4人中恰有3人是“参加了演出”的概率是（）．A ．1063B ．2063C ．15126D ．1711．如图，在正方形ABCD A B C D ''''-中，M ，N 分别是A D ''，D C ''的中点，则直线AM 与平面BND 的位置关系是（）．A ．垂直B ．平行C ．相交但不垂直D ．无法确定12．已知函数()247f x x x =-+，()()ln g x ax x a R =-∈，若对()0,x e ∀∈，1x ∃，()()2120,x e x x ∈≠，使得()()()12f x g x g x ==，则a 的取值范围是（）．A ．18,e e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．21,e e⎤⎤⎥⎥⎦⎦C ．28,e e⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中相应的横线上）13．已知向量()1,3a =-，(),4b x = ，且a b ∥，则x =________．14．已知等比数列{}n a 中，11a =，22a =．设n T 为数列{}n a 的前n 项乘积，则满足3023n T ≥的正整数n的最小值是________．15．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，过F 且倾斜角为4π的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，则线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离是________．16．已知ln 2a =，ln 22b -=，()lg ln 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是________．三、解答题（本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17．（本小题满分12分）设函数()()2sin cos 102f x x x ωωωπ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期为π．（I ）求ω的值；（II ）设ABC △的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若4a =，6b c +=，()32f A =-，求ABC △的面积ABC S △．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a ，定义：“11S a =，当2n ≥时，123n n S a a a a =---⋅⋅⋅-，则()n S n N +∈叫作数列{}n a 的前n 项差”．设23n a n =-．（I ）求数列{}n a 的前n 项差n S ；（Ⅱ）若2nn b =，n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n M ．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是边长为12，60A ∠=︒的菱形，侧面BPC △是90P ∠=︒的等腰直角三角形，M 为PD 的中点，且平面BPC ⊥平面ABCD ．（I ）求线段AM 的长；（Ⅱ）求直线AM 与平面PBD 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆S ：()222210x y a b a b +=>>的离心率22e =，左、右焦点分别为1F 、2F ，点(2,P 在椭圆S上，过2F 的直线l 交椭圆S 于A ，B 两点．（I ）求椭圆S 标准方程；（Ⅱ）求1ABF △的面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()()()2ln 2f x ax x a R =+-∈．（I ）求()f x 的极值；（Ⅱ）若12x e≤-（e 为自然对数的底数）时()()1422f x a x ≤--恒成立，求a 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写．22．[选修4-4极坐标与参数方程]（本小题满分10分）已知极坐标系与直角坐标系的极点与原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合，有相同的单位长度．在直角坐标系中，曲线S 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线l 过点()3,1P --．（I ）求曲线S 极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线S 交于A 、B 两点，求AB 的最小值及AB 最小值时直线l 的方程．23．[选修4-5不等式选讲]（本小题满分10分）已知()315f x x x x =-+++-．（I ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）求不等式()2f x x ≥的解集．西安地区“八校”2022届高三年级联考●理数试题参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，共60分．题号123456789101112答案BACBACDDBABC提示：12．()()()0,f x x e ∈的值域为[)3,7，()()()10,g x a x e x'=-∈，当1a e≤时，()0g x '<，()g x 在()0,e 上单调递减．当1a e >时，由()0g x '=时得到()10,x e a=∈，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1,x e a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 在1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增．得min 1()1ln g x g a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，又()1g e ea =-，0x +→时，()g x →+∞．由题意，得1ln 3,17,1a ea a e ⎧⎪+<⎪-≥⎨⎪⎪>⎩得28a e e ≤<．选C ．二、填空题：每小题5分，共20分．13．43-；14．9；15．4；16．a b c >>．提示：16．0c <．设ln 2x <，()2xf x a b x -=-=-．∵232e e <<，∴213x <<．又()12ln 20xf x -'=+>．()f x 在2,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，得()1233224322336f x f --⨯⎛⎫>=-=⎪⎝⎭．∵31334643254⎛⎫=>⨯= ⎪⎝⎭，∴13432>⨯，∴()0f x >，得a b c >>．三、解答题：共70分．17．解：（I ）()()()22sin sin 12sin 1cos 220f x x x x x ωωωωω=--=--=->．∵()f x 的最小正周期是π，∴2ππ2ω=，得1ω=．（II ）由（I ）得()cos 22f x x =-．∴()3cos 222f A A =-=-，得1cos 22A =，又0A <<π，022A <<π．∴π23A =或5π23A =，得π6A =或5π6A =．①当π6A =时，由余弦定理得()2222π342cos 2262b c bc b c bc bc =+-=+--⨯．又6b c +=．∴2246222bc bc =--⨯，得(202bc ==-．∴((111sin 20252222ABC S bc A ==⨯⨯=△．②当5π6A =时，由余弦定理同理得(202bc =+．∴((111sin 20252222ABC S bc A ==⨯+⨯=+△．综上所述，当π6A =时，(52ABC S =-△；当5π6A =时，(52ABC S =+△．18．解：（I ）∵23n a n =-，∴11a =-，11S =-．当2n ≥时，()()()212311231233422122n n n n n n n S a a a a a a a a a -+---=---⋅⋅⋅-=-+++⋅⋅⋅+=⨯--=，满足11S =-．∴2342n n n S --=．（II ）()232nn n n c a b n =⋅=-⋅．()23124272232n n M n =-⨯-⨯-⨯+⋅⋅⋅+-⨯①∴()23412124272232n n M n +=-⨯-⨯-⨯+⋅⋅⋅+-⨯②①-②得()2341232323232232n n n M n +-=--⨯-⨯-⨯+⋅⋅⋅-⨯--⨯()()()111121222321053212n n n n n -++-=----⨯=--⋅-．∴()153210n n M n +=-⋅-．19．解：（I ）设BC 的中点为O ，连接PO ，DO ，则由题意，得6PO =，DO =OD ，OC ，OP 两两互相垂直．以O 为原点，直线OC ，OD ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．则()0,0,0O ，()0,0,6P，()D ，()6,0,0B -，()A -．得()M ．∴AM =．∴线段AM 的长为（II ）由（I ）得()12,AM =- ，()6,0,6BP =，()6PD =- ．设平面PBD 的一个法向量为(),,n x y z = ，则0,0,n BP nPD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即660,60,x z z +=⎧⎪⎨-=⎪⎩即0,0,xz z +=⎧⎪-=取1y =，得z=，x =(n = ．设直线AM 与平面PBD 所成角为θ，则2105sin cos ,35n AMn AMn AMθ⋅==．∴直线AM 与平面PBD 所成角的正弦值为210535．20．解：（I ）设椭圆S 的半焦距为()0c c >，由题意，得(22222222,2,21,c a a b c ab ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩解之得2,2,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆S 的标准方程为22184x y +=．（II ）由（I ）得()12,0F -、()22,0F ．设l ：2x my =+，代入22184x y +=，得()222440m y my ++-=设()11,A x y ，()22,B x y ．则12242m y y m +=-+，12242y y m =-+∴1222y y m -===+∴()1121221821211ABF S F F y y m =-=≤=++△．当且仅当211m +=，即0m =时，等号成立，故1ABF △的面积的最大值为21．解：（I ）()f x 的定义域为(),2-∞．()122f x a x'=--（2x <，a R ∈）．当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在(),2-∞上单调递减，()f x 无极值．当0a >时，由()0f x '=，得1122222x a a ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，当122x a <-时，()0f x '>，()f x 在1,22a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增．当1222x a -<<时，()0f x '<，()f x 在12,22a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．()f x 在122x a =-处取得极大值，()f x 无极小值．()()1241ln 202f x f a a a a ⎛⎫=-=--> ⎪⎝⎭极大值．综上所述，当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极大值，极大值为41ln 2a a --，无极小值．（II ）若12x e≤-（e 为自然对数的底数）时()()1422f x a x ≤--恒成立，即()()12ln 2422ax x a x +-≤--恒成立，就是()()()1122ln 2222a x x x x e ⎛⎫-≥-+≤- ⎪-⎝⎭，即()()2ln 21122222x a x x e x -⎛⎫≥+≤- ⎪-⎝⎭-恒成立．设122x t x e ⎛⎫-=≤-⎪⎝⎭，则2x t =-，1t e ≥．设()2ln 112t g t t t t e ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭．则()2321ln 11111ln t g t t t t t t t e -⎛⎫⎛⎫'=-=--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．令()10g t t e ⎛⎫'=≥⎪⎝⎭，即2111ln 0t t t ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，11ln 0t t --=，显然，1t =是方程的一个解．设()11ln t t tϕ=--，()()2110t t t tϕ'=-+>，由()0t ϕ'=得1t =，当11t e ≤<时，()0t ϕ'>，()t ϕ在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，当1t >时，()0t ϕ'<，()t ϕ在()1,+∞上单调递减．∴()()10t ϕϕ≤=（仅在1t =时等号成立），得()10g t t e ⎛⎫'≤≥⎪⎝⎭．得()g t 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减．∴当1t e =时，()g t 取最大值221ln111212e e g e e e e ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭∴当12x e =-时，()()2ln 21222x x x -+--取最大值22e e -．∴222e a e ≥-，即222424e e e e a -≥-=.得a 的取值范围为22,4e e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．22．解：（I ）将参数方程的参数θ消去，得曲线S 的普通方程为()()22219x y ++-=，即22424x y x y ++-=．将222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上述方程，得曲线S 极坐标方程为24cos 2sin 40ρρθρθ+--=．（II ）由（I ）知在直角坐标系中曲线S 是以()2,1M -为圆心，半径为3的圆，点()3,1P --在M 内．∴当MP AB ⊥时AB 最小．∵MP ==，∴min 4AB ==．∵()11232MP k --==---，112AB MP k k =-=-．∴直线l 方程为()1132y x +=-+，即250x y ++=．∴AB 的最小值为4，AB 最小值时直线l 的方程为250x y ++=．23．解：（I ）方法一：()37,1,9,13,3,35,37, 5.x x x x f x x x x x -+<-⎧⎪-+-≤<⎪=⎨+≤≤⎪⎪->⎩当1x <-时，()10f x >；当13x -≤<时，()610f x <≤；当35x ≤≤时，()68f x ≤≤；当5x >时，()8f x >．∴()6f x ≥（3x =时，()6f x =），即()f x 得最小值是6．方法二：()315315f x x x x x x x =-+++-=-+++-．()f x 的三个零点（即每个绝对值等于零时x 的取值）为3，1-，5，且135-<<．∴当3x =时，()()min 516f x =--=．（II ）由（I ）得不等式()2f x x ≥等价于下面的不等式组①1,372,x x x <-⎧⎨-+≥⎩或②13,92,x x x -≤<⎧⎨-+≥⎩或③35,32,x x x ≤≤⎧⎨+≥⎩或④5,372,x x x >⎧⎨-≥⎩由①得1x <-，由②得13x -≤<，由③得3x =，由④7x ≥．∴不等式()2f x x ≥得解集为{}{}{}{}{}113373,7x x x x x x x x x x x <-⋃-≤<⋃=⋃≥=≤≥或．。
PT-对称及PT-结构
Ｖｏ １ ．１ ６ Ｎｏ． ３
Ｊ ｕ １ ．２ ０ １ ３
文章 编号 ： １ ０ ０ ８ － ５ ５ ６ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ － ０ ０ ０ １ ０３ －
Ｐ Ｔ一对 称 及 尸 一结 构
刘晓华 ， 段媛媛 ， 陈峥 立
（ 陕 西师范大学 数 学与信息科学学院 ， 西安 ７ １ ０ ０ ６ ２ ）
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｉ ｎ ｒ ｅ ｃ ｅ ｎ ｔ ｙ ｅ ａ ｒ ｓ 。ｓ ｏ ｍｅ ｅ ｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ａ ｒ ｙ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ Ｐ —ｓ ｙ ｍｍｅ ｔ ｙ ｒ ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｓ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ
子计算研究．
２
西安 文 理 学院学报 ： 自然科 学版
第ｌ ６卷
其中 表示系统 的状态 ， 称为波函数 ， 日为复 Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空间 Ｋ中的稠定 自伴算子（ 称为哈密尔顿量算
符） ． Ｐ 对称理论研究 的是量子系统关于“ 空间对称变换 ” 与“ 时间反演变换 ” 的对称性 ． 这两种变换 是状态空间 Ｋ＝ Ｌ （ Ｆ Ｘ Ｒ ） 上的两个算子 Ｐ与 ， 它们的定义是 （ （ ， ）＝ 厂 （ 一 ， ｔ ） ， （ （ ， ｔ ） ＝ ， 一 ｔ ） ， Ｖ ， ∈ （ Ｆ × Ｒ ） ．
年来 ， Ｐ Ｔ 一 对称性 的一些基本观念和它们 的数学或物理描述 已经被人们所研究 ， 本文就 Ｐ Ｔ 一 对称理论
给出了一些更深层次的数学方面的讨论．
按照薛定谔理论 ， 经典量子力学的动力学性质通过以下的薛定谔方程描述 ：
ｆ ｉ ： ，
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３ － ０ ３ ＿ ２ ９
陕西省西安交通大学附属中学雁塔校区2023届高三高考前最后一卷理科数学试题 (2)
一、单选题1.若函数为奇函数，且在单调递减，则下列函数在一定单调递增的是（ ）A．B．C．D．2. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）．A ．5B．C ．45D．3. 已知一个机械工件的正(主)视图与侧(左)视图如图所示，俯视图与正(主)视图完全一样，若图中小网格都是边长为1的正方形，则该工件的表面积为A ．24B ．26C ．28D ．304. 魔方又叫鲁比克方块（Rubk's Cube ），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克·艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为（）A．B．C．D．5. 设函数则满足的实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．6. 下图是某地区2001年至2021年环境保护建设投资额（单位：万元）的折线图．根据该折线图判断，下列结论正确的是（ ）A ．为预测该地2022年的环境保护建设投资额，应用2001年至2021年的数据建立回归模型更可靠B ．为预测该地2022年的环境保护建设投资额，应用2010年至2021年的数据建立回归模型更可靠C ．投资额与年份负相关D．投资额与年份的相关系数陕西省西安交通大学附属中学雁塔校区2023届高三高考前最后一卷理科数学试题 (2)陕西省西安交通大学附属中学雁塔校区2023届高三高考前最后一卷理科数学试题 (2)二、多选题7. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（）A ．180B ．192C ．300D ．4208. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则的值为（ ）A．B．C．D．9. 悬链线指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，例如悬索桥等，因其与两端固定的绳子在均匀引力作用下下垂相似而得名．适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其标准方程为（，其中a 为非零常数，e 为自然对数的底数）．当a ＝1时，记，则下列说法正确的是（ ）A．B．是周期函数C ．的导函数是奇函数D ．在上单调递减10. 已知定义域为R的函数满足，且函数是奇函数，，则下列说法正确的是（ ）A ．函数的一个周期是8B．C ．函数是偶函数D ．若，则11.如图，已知二面角的棱上有两点，，且，则（）A ．当时，直线与平面所成角的正弦值为B ．当二面角的大小为时，直线与所成角为C．若，则三棱锥的外接球的体积为D．若，则二面角的余弦值为12.如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为，直线与圆的另一个交点为，且点满足.记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，则下列说法不一定正确的是（ ）三、填空题四、解答题A．B．C．D．13.已知函数，（，，）的大致图象如图所示，将函数的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为_______.14.若函数的值域是，则此函数的定义域为___________．15. 有一个几何体的三视图及其尺寸（单位cm ），则该几何体的表面积为：_____.16. 已知函数．（1）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（2）若，且曲线与抛物线有两条公切线，求正数的取值范围．17. 在平面直角坐标系中，已知点，直线与的斜率之积为．(1)求点的轨迹的方程；(2)过的直线交曲线于两点，直线与直线交于点，求证：为定值．18. 已知函数和函数有相同的最大值.(1)求的值；(2)设集合，(b 为常数).①证明：存在实数b ，使得集合中有且仅有3个元素；②设，，求证：.19. 如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，．(1)证明：平面；(2)若平面，求二面角的正弦值．20. 如图在多面体中，，平面，为等边三角形，，，，点M是AC的中点.(1)若点G是的重心，证明：点G在平面内；(2)求点G到的距离.21. 如图所示的斜三棱柱中，点在底面的投影为边的中点，，，，.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.。
2022-2023学年陕西省西安市西电附中高一数学第一学期期末调研试题含解析
【点睛】本题考查已知函数单调性求参数,考查分段函数,考查一次函数的单调性的应用
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明 ，再根据线面平行的判定定理即可证明结论；
（2） 即为异面直线 与 所成的角，求出即可
若 是R上的减函数，则 ，无解，所以②正确；
当 时， 单减，且当 时，值域为 ，而此时 单增，最大值为 ，所以函数 值域不为R；
当 时， 单增， 单增，若 的值域为R，则 ，所以 ，与 矛盾；所以不存在实数a，使得 的值域为R；
由①可知，当 时，函数 值域不为R；当 时， 单减，最小值为 ， 单增，且 ，所以函数 值域不为R，综上③错误；
17．已知正方体 ，
（1）证明： 平面 ；
（2）求异面直线 与 所成的角
18．计算下列各式的值
（1） ；
（2）
19．已知函数 对任意实数x，y满足 ， ，当 时，
判断 在R上的单调性，并证明你的结论
是否存在实数a使f 成立？若存在求出实数a；若不存在，则说明理由
20．已知线段AB的端点A的坐标为 ，端点B是圆 : 上的动点.
A. B.
C. D.18
4．将函数 图象向右平移 个单位得到函数 的图象，已知 的图象关于原点对称，则 的最小正值为（）
A.2B.3
C.4D.6
5．直线 的斜率为 ，在y轴上的截距为b，则有（ ）
A. B.
C. D.
6．“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的
A.充分不必要条件
B 必要不充分条件
C.充要条件
试题解析：（1）设 ，∴ ，又 ，
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1.什么是信息，信息科学研究的内容主要包含哪些方面？
答：信息含义：
1）形式化信息：
就是将技术观的信息或申农所首先明确的通信意义上的信息概念推广，之所有的经过语音、文字符号、图像、或电子技术处理的信息。
2)狭义信息：
包括形式化信息和效用信息。
所谓效用信息就是某些人在定义信息时要求的具有新颖性、价值性等特点的信息，及那些被人们认为具有某种经济、政治、军事或其他社会价值的信息。
3）广义信息：
广义信息包括狭义信息以及目前被很多学者认为属于信息的东西。
如被表述出来的感觉和认知、书本知识、各种数据资料、消息以及一些尚未被辨识的事物之间的某些联系等。
主要内容：光通讯技术：光通讯的基本概念，光通讯的发展趋势，光通讯的重要意义和应用。
通信与信息系统：介绍通讯与信息系统的基本概念，通信与信息系统的应用领域，通信与信息系统的历史和最新进展等。
物理电子与纳米技术：电子学与物理的关系、纳米材料技术、纳米电子学、纳米表征技术等。
无线通信技术：无线通讯的基本概念，无线通讯的发展现状与趋势等。
量子电子学与激光技术：量子电子器件的基本知识、发展历史和现状、量子电子的应用领域等。
计算机软件：介绍计算机软件的概念、计算机软件的主要研究内容，计算机软件的发展趋势，软件工程等。
计算机体系结构：：计算机体系结构的基本概念，计算机体系结构的发展历史、现状与趋势。
计算机网络与信息系统：计算机网络的基本概念，计算机网络的基础知识，计算机网络的主要作用。
数字多媒体技术：数字媒体技术的基础知识、标准以及国内外的发展现状和未来。
2.什么是数字签名，数字签名有什么特征？
答：以电子形式存在于数据信息之中的，或作为其附件的或逻辑上与之有联系的数据，可用于辨别数据签署人的身份，并表明签署人对数据信息中包含的信息的认可。
鉴权
公钥加密系统允许任何人在发送信息时使用私钥进行加密，数字签名能够让信息接收者利用发送者的公钥确认发送者的身份。
当然，接收者不可能百分之百确信发送者的真实身份，而只能在密码系统未被破译的情况下才有理由确信。
鉴权的重要性在财务数据上表现得尤为突出。
举个例子，假设一家银行将指令由它的分行传输到它的中央管理系统，指令的格式是(a,b)，其中a是账户的账号，而b是账户的现有金额。
这时一位远程
客户可以先存入100元，观察传输的结果，然后接二连三的发送格式为(a,b)的指令。
这种方法被称作重放攻击。
完整性
传输数据的双方都总希望确认消息未在传输的过程中被修改。
加密使得第三方想要读取数据十分困难，然而第三方仍然能采取可行的方法在传输的过程中修改数据。
一个通俗的例子就是同形攻击：回想一下，还是上面的那家银行从它的分行向它的中央管理系统发送格式为(a,b)的指令，其中a是账号，而b是账户中的金额。
一个远程客户可以先存100元，然后拦截传输结果，再传输(a,b3)，这样他就立刻变成百万富翁了。
在密文背景下，抵赖这个词指的是不承认与消息有关的举动（即声称消息来自第三方）。
消息的接收方可以通过数字签名来防止所有后续的抵赖行为，因为接收方可以出示签名给别人看来证明信息的来源。
3.什么是密码协议，有哪些分类？
答：定义：密码协议是指使用密码技术的信息交换协
议。
所谓协议，就是两个或者两个以上的参与者为完成某项特定的任务而采取的一系列步骤。
包含三层含义：（1）协议自始至终是有序的过程，在前一步没有执行之前，后面的步骤不能执行；（2）协议至少需要两个参与者；（3）通过协议必须能够完成某项任务。
分类：身份鉴别协议；数字签名协议；密钥分配协议。