最新-2018学年高三数学拓展精练22 精品

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高三数学试卷分析

酉阳一中高2018级高三“11月调研测试”数学试卷分析高2018级数学组文晓祥一、试卷分析本次高三“11月调研测试”作为全县高2018级第一次高三统一检测，也是重庆市部分区县的18级高三第一次联合测试，本试卷整体结构及难度分布合理，贴近全国卷试题，着重考查基础知识、基本技能、基本方法(包括基本运算)和数学基本思想，对已经复习的重点知识作了重点考查，主要检测学生对基本知识的掌握以及解题的一些通性通法。

试题力求创新，理科和文科试题多数题目相同，每道试题都是原创题或改编题。

试题素材大都源于教材，但并不是对教材的原题照搬，而是通过提炼、综合、改编新创为另一个全新的题目出现，使考生感到似曾相似但又必须经过自己的独立分析思考才能解答。

,本次考试在考查基础知识的同时，注重考查能力，着重加强对分析分问题和解决问题能力的考查，送分题几乎没有，加大了对知识综合能力与理性思维能力的考查，对于我们这类学生答题比较吃力，客观题得分较低，导致总分低。

二、答卷分析通过学生的选择题得分情况结合试题难度，可分析存在的主要问题有以下几点：1、基础知识不扎实。

以理科第1题为例，本题考查最简单的解一元二次不等式和集合的基本运算，本该是送分题，但平均分和正确率仅次于选择题最后两题，其原因主要是学生对自然数集合“N”认识不清而导致出错。

2、基本技能和数学思想方法不熟练。

以理科第6题和第8题为例，第6题考查向量和充要条件，属于基础题，第8题考查分段函数，属于中档题，但平均分和正确率都比较低，第6题主要是学生对向量的模不等式无法进行变形转化；第8题主要是学生数形结合思想的缺乏和作图能力较差而出错。

3、阅读理解能力差，审题不到位。

以理科第7题为例，本题以“隙积术”为背景，考查简单的数列求和，但因为文字多篇幅长，且题目中有“公式”迷惑，事实上只有题目中最后一句话才是条件，但不少学生抓不住题干中的重点，从而无法审清题意，从而把一道简单题做成了难题。

上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学拓展考试数学试题

上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学拓展考试数学试题一、填空题1．直线50x +=的倾斜角是．2．已知复数z 满足i 34i z =+（i 是虚数单位），则z =.3．已知随机变量X 的方差()1D X =，则随机变量32Y X =+的方差()D Y = 4．已知α为第二象限角，sinα＋cosαcos2α＝． 5．在ABC V 中，若60B ︒=，2AB =，AC =ABC V 的面积是．6．已知向量a r 、b r 满足2a b ==r r ，且a b -r r 在a r上的数量投影为2,a b =r r7．设,0,(){1,0,x a x f x x x x-+≤=+>若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围是 . 8．设()f x 是定义在R 上的函数，且满足(1)0f =.若()2x y f x a =+⋅是奇函数，()3x y f x =+是偶函数，则a 的值为.9．如果关于x 的不等式1x a x x -<++的解集为一切实数，那么a 的取值范围是.10．已知()2,0A -，()2,0B ，若曲线()00,0x y x y a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭上存在点P 满足2PA PB -=，则b a的取值范围是. 11．已知全集(){,|,R}U x y x y =∈，若集合A U ⊆，且对任意()11,x y A ∈，均存在()22,x y A ∈，使得：12210x y x y +=，则称集合A 为“对称对点集”.给出如下集合：（1）{(,)|,Z}A x y x y =∈；（2）1(,)|,R,0A x y y x x x ⎧⎫==∈≠⎨⎬⎩⎭；（3）{(,)|21,R}A x y y x x ==+∈；（4）{}2(,)|,R,0A x y y x x x ==∈≠.其中是“对称对点集”的序号为（写出所有正确的序号）12．关于x的方程2ln 2b ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭22a b +的最小值为．二、单选题13．设a r 、b r 是非零向量，则“0a b ⋅>r r ”是“,a b 〈〉r r 为锐角”的（）条件.A ．充分必要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要 14．装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（）A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③15．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1A D 的中点，则（）A ．直线MB 与直线11B D 相交，直线MB ⊂平面1ABCB ．直线MB 与直线1DC 平行，直线MB ⊥平面11AC DC ．直线MB 与直线AC 异面，直线MB ⊥平面11ADC BD ．直线MB 与直线1A D 垂直，直线MB ∥平面11B D C16．已知()f x 是定义在R 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数()()()()a f x f a g x a x a-=∈-R ，下列说法正确的是（） A ．若()f x 在R 上单调递增，则存在实数a ，使得()a g x 在(),a +∞上单调递增B ．对于任意实数a ，若()a g x 在(),a +∞上单调递增，则()f x 在R 上单调递增C ．对于任意实数a ，若存在实数10M >，使得()1f x M <，则存在实数20M >，使得()2a g x M <D ．若函数()a g x 满足：当(),x a ∈+∞时，()0a g x ≥，当(),x a ∈-∞时，()0a g x ≤，则()f a为()f x的最小值三、解答题17．某公司今年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元.同时，公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用2万元，第二年各种费用4万元，以后每年各种费用都增加2万元.(1)引进这种设备后，求该公司使用这种设备后第(18)n n≤年后所获利润()f n；(2)这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大?18．已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，底面半径OC与母线PB所成角的大小等于θ．(1)当π3θ=时，求异面直线MC与PO所成的角；(2)当三棱锥M ACO-的体积最大时，求θ的值．19．为了缓解高三学生学业压力，学校开展健美操活动，高三某班文艺委员调查班级学生是否愿意参加健美操，得到如下的22⨯列联表.(1)根据该22⨯列联表，并依据显著水平0.05α=的独立性检验，判断能否认为“学生性别与是否愿意参加健美操有关”；(2)在愿意参加的所有学生中，根据性别，分层抽样选取8位学生组织班级健美操队，并从中随机选取2人作为领队，记这2人中女生人数为随机变量X，求X的分布及期望[]E X.附：()2 3.8410.05P χ≥≈.20．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率e =点,P Q 分别是椭圆的右顶点和上顶点，POQ V 的边PQ (1)求椭圆的标准方程； (2)过点(2,0)H -的直线交椭圆C 于,A B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程；(3)直线12,l l 过右焦点2F ，且它们的斜率乘积为12-，设12,l l 分别与椭圆交于点,C D 和,E F ．若,M N 分别是线段CD 和EF 的中点，求OMN V 面积的最大值．21．若函数()f x 满足：对任意正数,s t ，都有()()()f s f t f s t +<+，则称函数()f x 为“H 函数”．(1)试判断函数()21f x x =与()()2ln 1f x x =+是否为“H 函数”，并说明理由；(2)若函数33x y x a =+-是“H 函数”，求实数a 的取值范围；(3)若函数()f x 为“H 函数”，()11f =，对任意正数s 、t ，都有()0f s >，()0f t >，证明：对任意()()12,2k k x k +∈∈N ，都有()122x f x f x x⎛⎫->- ⎪⎝⎭．。

2023-2024学年河北省沧州部分高中高三(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年河北省沧州部分高中高三（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x |log 2x ＜1}，B ＝{x |x 2≥x }，则A ∩B ＝（）A ．（0，2）B ．（1，2）C ．[1，2）D ．[1，+∞）2．已知复数z 满足z(1−i)=i ，则z 的虚部为（）A ．−12B ．12C ．−12iD ．12i 3．设等比数列{a n }中，每项均为正数，且a 3a 8＝81，log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10等于（）A ．5B ．10C ．20D ．404．已知函数f （x ）是定义在R 上的单调函数．若对任意x ∈R ，都有f [f （x ）﹣2x ]＝3，则f （4）＝（）A ．9B ．15C ．17D ．335．已知f （x ）是偶函数，且对任意x 1，x 2∈（0，+∞），f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．设a ＝f （32），b ＝f （log 37），c ＝f （﹣0.83），则（）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b6．如图，△BCD 与△ABC 的面积之比为2，点P 是区域ABCD 内任意一点（含边界），且AP →=λAB →+μAC→（λ，μ∈R ），则λ+μ的取值范围是（）A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[0，3]D ．[0，4]7．若不等式e x +a ≥lnx ﹣a 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[0，+∞）B ．[﹣1，+∞）C ．[−1e ，+∞)D ．[﹣e ，+∞）8．已知函数f(x)=cos 2(x +φ2)(0＜φ＜π)的一个对称中心为(π6，12)，若函数y ＝f （ωx ）（ω＞0）在[0，π]上单调递减，则ω可取（）A ．13B ．12C ．1D ．2二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列命题中正确的有（）A ．若a cosA =b cosB =c cosC ，则△ABC 一定是等边三角形B ．若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是等腰三角形C ．A ＞B 是sin A ＞sin B 成立的充要条件D ．若a 2+b 2﹣c 2＞0，则△ABC 一定是锐角三角形10．若函数f(x)=13x 3+f′(1)x 2+53，则（） A ．f ′（1）＝1 B ．f （x ）有两个极值点C ．曲线y ＝f （x ）的切线的斜率可以为﹣2D ．点（1，1）是曲线y ＝f （x ）的对称中心11．已知函数f （x ）与g （x ）的定义域均为R ，f ′（x ），g ′（x ）分别为f （x ），g （x ）的导函数，f （x ）+g '（x ）＝5，f （2﹣x ）﹣g '（2+x ）＝5，若g （x ）为奇函数，则下列等式一定成立的是（）A ．f （﹣2）＝5B ．g （x +4）＝g （x ）C ．g '（8﹣x ）＝g '（x ）D ．f ′（x +8）＝f ′（x ）12．已知函数f(x)=2x +lnx ，则（） A ．x ＝2是f （x ）的极大值点B ．y ＝f （x ）﹣x 有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得f （x ）＞kx 对于任意x ∈（0，+∞）成立D ．若f （x 1）＝f （x 2），x 1≠x 2，则x 1+x 2＞4三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知f （x ）是定义在R 上的可导函数，若lim Δx→0f(2)−f(2+Δx)Δx =12，则f '（2）＝． 14．已知等比数列{a n }前n 项和S n =(x +2y +1)3n +(x −y −4)（其中x ＞0，y ＞0）．则1x +2y的最小值是．15．定义在（0，+∞）上的可导函数f （x ）满足：xf ′（x ）＜f （x ）且f （2）＝0，则f （x ）＜0的解集为．16．已知函数f(x)=sin(2x +π6)，若任意α∈[−π4，π3]，存在β∈[−π3，t)，满足f （α）+f （β）＝0，则实数t的取值范围是．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f(x)=12x2−lnx．（1）f（x）的单调区间．（2）函数f（x）在区间[1，e]上的最大、最小值．18．（12分）已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为2√3，且√3(b2+c2−a2)=2acsinB，求：（1）求角A的大小；（2）求BC边中线AD长的最小值．19．（12分）已知数列{a n}满足：a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n＝16n．（1）求{a n}的通项公式；（2）令b n＝log2a n+2n﹣1，求数列{b n}的前n项和S n．20．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax+2．（1）若a＝2，求f（x）在x＝0处的切线方程；（2）当x≥0时，f（x）+2x+xln（x+1）≥0恒成立，求整数a的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝lnmx﹣x（m＞0）有两个不同的零点x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x2＞2x1，求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数f(x)=lnx+λ(1x−x)(λ∈R)．（1）当x＞1时，不等式f（x）＜0恒成立，求λ的最小值；（2）设数列a n=1n(n∈N∗)，其前n项和为S n，证明：S2n−S n+a n4＞ln2．2023-2024学年河北省沧州部分高中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x |log 2x ＜1}，B ＝{x |x 2≥x }，则A ∩B ＝（）A ．（0，2）B ．（1，2）C ．[1，2）D ．[1，+∞）解：A ＝{x |log 2x ＜1}＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x 2≥x }＝{x |x ≥1或x ≤0}，则A ∩B ＝{x |1≤x ＜2}．故选：C ．2．已知复数z 满足z(1−i)=i ，则z 的虚部为（）A ．−12B ．12C ．−12iD ．12i 解：∵z(1−i)=i ，∴z =i 1−i =i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i 2=−12+12i ，∴z =−12−12i ，则z 的虚部为−12．故选：A ． 3．设等比数列{a n }中，每项均为正数，且a 3a 8＝81，log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10等于（）A ．5B ．10C ．20D ．40解：∵等比数列{a n }中，每项均为正数，且a 3a 8＝81，log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=log 3a 1a 2⋯a 10=log 3(a 3a 8)5 ＝5log 3a 3a 8=5log 381＝20，故选：C ．4．已知函数f （x ）是定义在R 上的单调函数．若对任意x ∈R ，都有f [f （x ）﹣2x ]＝3，则f （4）＝（）A ．9B ．15C ．17D ．33解：因为f （x ）是R 上的单调函数，所以存在唯一的t ∈R ，使f （t ）＝3．由方程f [f （x ）﹣2x ]＝3，得t ＝f （x ）﹣2x ，则f （x ）＝2x +t ，所以f （t ）＝2t +t ＝3．设g （x ）＝2x +x ，由于y ＝2x ，y ＝x 均为定义域内的单调递增函数，所以g （x ）在R 上是增函数，且g （1）＝3，所以t ＝1，所以f （x ）＝2x +1，故f （4）＝24+1＝17．故选：C ．5．已知f （x ）是偶函数，且对任意x 1，x 2∈（0，+∞），f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．设a ＝f （32），b ＝f （log 37），c＝f （﹣0.83），则（）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b解：根据题意，f （x ）满足对任意x 1，x 2∈（0，+∞），f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，又由f （x ）是偶函数，则c ＝f （﹣0.83）＝f （0.83），又由0.83＜1＜32＜32log 33＝log 3√27＜log 37，则c ＜a ＜b ；故选：B ．6．如图，△BCD 与△ABC 的面积之比为2，点P 是区域ABCD 内任意一点（含边界），且AP →=λAB →+μAC →（λ，μ∈R ），则λ+μ的取值范围是（）A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[0，3]D ．[0，4]解：将图形特殊化，设AD 垂直平分BC 于O ，则DO ＝2AO ，P 在A 时，λ＝0，μ＝0，所以λ+μ＝0，此时为最小；P 在D 时，AD →=3AO →=3×（12AB →+12AC →），λ=32，μ=32，所以λ+μ＝3，此时为最大．故选：C ．7．若不等式e x +a ≥lnx ﹣a 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[0，+∞）B ．[﹣1，+∞）C ．[−1e ，+∞)D ．[﹣e ，+∞）解：构造f （x ）＝e x +x ，则f （x ）在R 上显然递增，由e x +a ≥lnx ﹣a 得e x +a +a +x ≥lnx +x ，即e x +a +a +x ≥e lnx +lnx ，∴x +a ≥lnx ，∴a ≥lnx ﹣x ，令g （x ）＝lnx ﹣x （x ＞0），则g ′(x)=1x −1=1−x x，由g '（x ）＞0得0＜x ＜1，g （x ）单调递增，由g '（x ）＜0得x ＞1，g （x ）单调递减，∴g （x ）max ＝g （1）＝﹣1，∴a ≥﹣1．故选：B．8．已知函数f(x)=cos2(x+φ2)(0＜φ＜π)的一个对称中心为(π6，12)，若函数y＝f（ωx）（ω＞0）在[0，π]上单调递减，则ω可取（）A．13B．12C．1D．2解：对于f(x)=cos2(x+φ2)=12cos（2x+φ）+12，由于它的一个对称中心为（π6，12），则有2×π6+φ=π2+kπ，k∈Z，解得φ=π6+kπ，k∈Z，因为0＜φ＜π，所以φ=π6，所以f（x）=12cos（2x+π6）+12，y＝f（ωx）=12cos（2ωx+π6）+12，当x∈[0，π]时，2ωx+π6∈[π6，2ωπ+π6]，若函数y＝f（ωx）（ω＞0）在[0，π]上单调递减，则有2ωπ+π6≤π，解得ω∈（0，512]，则ω可取13．故选：A．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题中正确的有（）A．若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC一定是等边三角形B．若a cos A＝b cos B，则△ABC一定是等腰三角形C．A＞B是sin A＞sin B成立的充要条件D．若a2+b2﹣c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形解：对于A，由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，故tan A＝tan B＝tan C，而A，B，C为三角形内角，故A＝B＝C，故三角形为等边三角形，故A正确．对于B，由正弦定理可得sin A cos A＝sin B cos B，故sin2A＝sin2B，故2A＝2B+2kπ，k∈Z或2A＝π﹣2B+2kπ，k∈Z，而A，B，A+B∈（0，π），故2A＝2B或2A＝π﹣2B即A＝B或A+B=π2，故三角形为等腰三角形或直角三角形，故B错误．对于C，A＞B等价于a＞b，而后者等价于2R sin A＞2R sin B，即sin A＞sin B，其中R 为三角形外接圆半径，故A ＞B 的充要条件为a ＞b ，故C 正确．对于D ，由a 2+b 2﹣c 2＞0可得cosC =a 2+b 2−c 22ab ＞0，故C 为锐角，但不能保证三角形为锐角三角形，故D 错误．故选：AC ．10．若函数f(x)=13x 3+f′(1)x 2+53，则（） A ．f ′（1）＝1 B ．f （x ）有两个极值点C ．曲线y ＝f （x ）的切线的斜率可以为﹣2D ．点（1，1）是曲线y ＝f （x ）的对称中心解：选项A ，由题意得f ′（x ）＝x 2+2f ′（1）x ，所以f ′（1）＝1+2f ′（1），解得f ′（1）＝﹣1，A 错误；选项B ，由f ′（1）＝﹣1，则f(x)=13x 3−x 2+53， f ′（x ）＝x 2﹣2x ＝x （x ﹣2），由f ′（x ）＝0得x ＝0，或x ＝2，则当x ＜0或x ＞2时，f ′（x ）＞0；当0＜x ＜2时，f ′（x ）＜0，所以f （x ）在（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增，在（0，2）上单调递减，则当x ＝0时，f （x ）有极大值；当x ＝2时，f （x ）有极小值．所以f （x ）有两个极值点，B 正确；选项C ，f ′（x ）＝x 2﹣2x ＝（x ﹣1）2﹣1≥﹣1，所以曲线y ＝f （x ）的切线的斜率不可能为﹣2，C 错误；选项D ，因为f(x)+f(2−x)=13x 3−x 2+53+13(2−x)3−(2−x)2+53=13x 3−x 2+53+13(8+6x 2−12x −x 3)−(4−4x +x 2)+53=2，所以点（1，1）是曲线y ＝f （x ）的对称中心，D 正确．故选：BD ．11．已知函数f （x ）与g （x ）的定义域均为R ，f ′（x ），g ′（x ）分别为f （x ），g （x ）的导函数，f （x ）+g '（x ）＝5，f （2﹣x ）﹣g '（2+x ）＝5，若g （x ）为奇函数，则下列等式一定成立的是（）A ．f （﹣2）＝5B ．g （x +4）＝g （x ）C ．g '（8﹣x ）＝g '（x ）D ．f ′（x +8）＝f ′（x ）解：∵g （x ）为奇函数，∴g （x ）＝﹣g （﹣x ），∴g ′（x ）＝g ′（﹣x ），∴g ′（x ）为偶函数，又f （2﹣x ）﹣g '（2+x ）＝5，∴f（4﹣x）﹣g'（x）＝5，又f（x）+g'（x）＝5，∴f（4﹣x）+f（x）＝10，∵f（x）+g'（x）＝5，对两边求导得f′（x）+g″（x）＝0，…①，又f（2﹣x）﹣g'（2+x）＝5，∴f（4+x）﹣g'（﹣x）＝5，又g′（x）为偶函数，∴f（4+x）﹣g'（x）＝5，对两边求导得f′（4+x）﹣g″（x）＝0，…②，由①②得f′（4+x）+f′（x）＝0，∴f′（x+4）＝﹣f′（x），∴f′（x+8）＝﹣f′（x+4）＝f′（x），∴D正确；又由f（2﹣x）﹣g'（2+x）＝5，可得f（x）﹣g′（4﹣x）＝5，又f（x）+g'（x）＝5，∴g'（x）+g′（4﹣x）＝0，又g′（x）为偶函数，∴g'（﹣x）+g′（4﹣x）＝0，∴g'（x）+g′（4+x）＝0，∴g′（x）＝﹣g'（x+4）∴g'（8﹣x）＝﹣g'（4﹣x）＝g′（﹣x）＝g′（x），∴C正确；对B选项，根据g'（x）+g′（4﹣x）＝0两边求原函数可得：g（x）﹣g（4﹣x）＝c，（c为常数），∴g（x+4）﹣g（﹣x）＝c，又g（x）为奇函数，∴g（x+4）+g（x）＝c，∴g（x+4）＝c﹣g（x），∴g（x+8）＝c﹣g（x+4）＝c﹣[c﹣g（x）]＝g（x），∴B错误；对A选项，由C选项分析知g'（﹣x）+g′（4﹣x）＝0，∴g'（﹣2）+g′（2）＝0，又g′（x）＝g′（﹣x），∴g'（﹣2）＝g′（2），∴g'（﹣2）＝g′（2）＝0，又f（x）+g'（x）＝5，∴f（﹣2）+g'（﹣2）＝5，g'（﹣2）＝0，∴f（﹣2）＝5，∴A选项正确．故选：ACD．12．已知函数f(x)=2+lnx，则（）xA．x＝2是f（x）的极大值点B．y＝f（x）﹣x有且只有1个零点C．存在正实数k，使得f（x）＞kx对于任意x∈（0，+∞）成立D．若f（x1）＝f（x2），x1≠x2，则x1+x2＞4解：f(x)=2x+lnx，定义域为（0，+∞），f′(x)=1x−2x2=x−2x2，所以f（x）在区间（0，2）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；在区间（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以x＝2是f（x）的极小值点，A选项错误．设g(x)=f(x)−x=2x+lnx−x(x＞0)，g′(x)=1x−2x2−1=−x2+x−2x2=−(x2−x+2)x2=−[(x−12)2+74]x2＜0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（1）＝2+0﹣1＝1＞0，g（2）＝1+ln2﹣2＝ln2﹣1＜0，所以g（x）存在唯一零点x0，且x0∈（1，2），B选项正确．C选项，由f（x）＞kx对于任意x∈（0，+∞）成立，即k＜f(x)x=2x2−lnxx对于任意x∈（0，+∞）成立，构造函数ℎ(x)=2x2−lnxx(x＞0)，ℎ′(x)=x−xlnx−4x3，令m（x）＝x﹣xlnx﹣4（x＞0），m′（x）＝﹣lnx，所以m（x）在区间（0，1）上m′（x）＞0，m（x）单调递增；在区间（1，+∞）上m′（x）＜0，m（x）单调递减，所以m（x）≤m（1）＝﹣3＜0，所以h′（x）＜0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，没有最小值，且ℎ(1)=2＞0，ℎ(3)=29−ln33=2−3ln39＜0，所以不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，所以C选项错误．D选项，令t∈（0，2），则2﹣t∈（0，2），2+t∈（2，4），令n(t)=f(2+t)−f(2−t)=22+t+ln(2+t)−22−t−ln(2−t)=4tt2−4+ln2+t2−t，n′(t)=4t2−4−8t2(t2−4)2+2−t2+t⋅2−t+2+t(2−t)2=−8t2(t2−4)2＜0，所以n（t）在（0，2）上单调递减，则n（t）＜n（0）＝0，则n（t）＝f（2+t）﹣f（2﹣t）＜0，令x2＝2﹣t，由f（x1）＝f（x2），且函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，得x1＞2+t，则x1+x2＞2﹣t+2+t＝4，当x1≥4时，x1+x2＞4成立，所以D 选项正确．故选：BD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知f （x ）是定义在R 上的可导函数，若lim Δx→0f(2)−f(2+Δx)Δx =12，则f '（2）＝ −12 ．解：∵f （x ）是定义在R 上的可导函数，若limΔx→0f(2)−f(2+Δx)Δx =12， ∴由导数的定义，可得f ′(2)=limΔx→0f(2+Δx)−f(2)Δx =−lim Δx→0f(2)−f(2+Δx)Δx =−12．故答案为：−12． 14．已知等比数列{a n }前n 项和S n =(x +2y +1)3n +(x −y −4)（其中x ＞0，y ＞0）．则1x +2y的最小值是 83 ．解：因为等比数列{a n }的前n 项和S n =(x +2y +1)3n +(x −y −4)，所以a 1＝S 1＝（x +2y +1）×3+（x ﹣y ﹣4）＝4x +5y ﹣1，a 2＝S 2﹣S 1＝6x +12y +6，a 3＝S 3﹣S 2＝18x +36y +18，又a 2a 1=a 3a 2，即6x+12y+64x+5y−1=18x+36y+186x+12y+6=3，解得2x +y ＝3，x ＞0，y ＞0，∴1x +2y =13(2x +y)(1x +2y )=13(4+y x +4x y )≥13(4+2√y x ⋅4x y )=83，当且仅当y x =4x y，即x =34，y =32时等号成立．故答案为：83． 15．定义在（0，+∞）上的可导函数f （x ）满足：xf ′（x ）＜f （x ）且f （2）＝0，则f （x ）＜0的解集为（2，+∞）．解：根据题意，由xf ′（x ）＜f （x ），可得xf ′（x ）﹣f （x ）＜0，设g(x)=f(x)x ，可得g ′(x)=xf′(x)−f(x)x 2＜0，则g （x ）在（0，+∞）上单调递减，又由f （2）＝0，可得g （2）＝0，当x ＞0时，f （x ）＜0⇔f(x)x＜0⇔g （x ）＜g （2）⇔x ＞2，所以不等式f （x ）＜0的解集为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．16．已知函数f(x)=sin(2x +π6)，若任意α∈[−π4，π3]，存在β∈[−π3，t)，满足f （α）+f （β）＝0，则实数t 的取值范围是（π12，+∞）．解：因为α∈[−π4，π3]，则2α+π6∈[−π3，5π6]，所以f （α）＝sin （2α+π6）∈[−√32，1]，则﹣f （α）∈[−1，√32]，因为任意α∈[−π4，π3]，存在β∈[−π3，t)，满足f （α）+f （β）＝0，则[﹣1，√32]是f （β）的值域的子集，因为β∈[−π3，t ），则2β+π6∈[−π2，2t +π6)，则需满足2t +π6＞π3，解得t ＞π12，即实数t 的取值范围为（π12，+∞）．故答案为：（π12，+∞）．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知函数f(x)=12x 2−lnx ．（1）f （x ）的单调区间．（2）函数f （x ）在区间[1，e ]上的最大、最小值．解：（1）已知f(x)=12x 2−lnx ，函数定义域为（0，+∞），可得f ′(x)=x −1x =x 2−1x，当0＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，当x ＞1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以函数f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；（2）由（1）知函数f （x ）在[1，e ]上单调递增，所以当x ＝1时，函数f （x ）取得最小值，最小值f （1）=12，当x ＝e 时，函数f （x ）取得最大值，最大值f （e ）=12e 2−1，故函数f （x ）在区间[1，e ]上的最大值为12e 2−1，最小值为12．18．（12分）已知△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为2√3，且√3(b 2+c 2−a 2)=2acsinB ，求：（1）求角A 的大小；（2）求BC 边中线AD 长的最小值．解：（1）∵√3(b 2+c 2−a 2)=2acsinB ，∴由余弦定理可得2√3bccosA =2acsinB ，即√3bcosA =asinB ， ∴由正弦定理可得√3sinBcosA =sinAsinB ， ∵B ∈（0，π）， ∴sin B ≠0，∴√3cosA =sinA ，即tanA =√3，又A ∈（0，π）， ∴A =π3．（2）∵由（1）知，A =π3，△ABC 的面积为2√3，∴12bcsin π3=2√3，解得bc ＝8， ∵由平面向量可知AD →=12(AB →+AC →)，∴AD →2=14(AB →+AC →)2=14(AB →2+AC →2+2AB →⋅AC →) =14(b 2+c 2+2bccos π3) =14(b 2+c 2+bc)≥14(2bc +bc) =34bc ＝6，当且仅当b =c =2√2时取等号，故BC 边中线AD 的最小值为√6．19．（12分）已知数列{a n }满足：a 1+2a 2+22a 3+…+2n ﹣1a n ＝16n ．（1）求{a n }的通项公式；（2）令b n ＝log 2a n +2n ﹣1，求数列{b n }的前n 项和S n ．解：（1）当n ＝1时，a 1＝16，当n ≥2时，a 1+2a 2+22a 3+…+2n ﹣1a n ＝16n ，①a 1+2a 2+22a 3+…+2n ﹣2a n ﹣1＝16（n ﹣1），②①﹣②得：当n ≥2时，2n ﹣1a n ＝16，即a n ＝25﹣n ，当n ＝1时，a 1＝16满足上述通项公式，故a n ＝25﹣n ．（2）b n ＝log 2a n +2n ﹣1＝5﹣n +2n ﹣1，所以S n ＝（4+1）+（3+2）+（2+22）+…+（5﹣n +2n ﹣1）＝[4+3+2+…+（5﹣n ）]+（1+22+…+2n ﹣1）=(9−n)n2+2n ﹣1．20．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax+2．（1）若a＝2，求f（x）在x＝0处的切线方程；（2）当x≥0时，f（x）+2x+xln（x+1）≥0恒成立，求整数a的最大值．解：（1）若a＝2，则f（x）＝ln（x+1）﹣2x+2，f（0）＝2，则切点坐标为（0，2），f′(x)=1x+1−2，则切线斜率k＝f′（0）＝﹣1，所以切线方程为y﹣2＝﹣（x﹣0），即x+y﹣2＝0．（2）由f（x）+2x+xln（x+1）≥0，得ax≤（x+1）[ln（x+1）+2]，当x＝0时，a•0≤2，a∈R；当x＞0时，a≤(x+1)[ln(x+1)+2]x，设g(x)=(x+1)[ln(x+1)+2]x，g′(x)=x−2−ln(x+1)x2，设h（x）＝x﹣2﹣ln（x+1），ℎ′(x)=xx+1＞0，则h（x）在（0，+∞）单调递增，h（3）＝1﹣ln4＜0，h（4）＝2﹣ln5＞0，所以存在x0∈（3，4），使得h（x0）＝0，即x0﹣2＝ln（x0+1）．x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0；x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，则有g（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，g（x）min＝g（x0），所以a≤g(x0)=(x0+1)[ln(x0+1)+2]x0=(x0+1)[(x0−2)+2]x0=x0+1，因为x0∈（3，4），所以x0+1∈（4，5），所以整数a的最大值为4．21．（12分）已知函数f（x）＝lnmx﹣x（m＞0）有两个不同的零点x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x2＞2x1，求实数m的取值范围．解：（1）∵f（x）的定义域为{x|x＞0}．令f（x）＝0，得m=e x x，令g（x）=e xx（x＞0），则g′（x）=e x(x−1)x2，令g′（x）＝0，可得x＝1，当x ∈（0，1）时，g ′（x ）＜0；当x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0．所以g （x ）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以g （x ）min ＝g （1）＝e ，当x 趋近于0时，y 趋近于+∞；当x 趋近于+∞时，y 趋近于+∞，所以m ∈（e ，+∞）．（2）ln （mx 1）＝x 1，ln （mx 2）＝x 2，两式相减，得ln （x 2x 1）＝x 2﹣x 1，令t =x 2x 1＞2，则lnt ＝（t ﹣1）x 1，故x 1=lnt t−1，x 2=tlnt t−1，记h （t ）=lntt−1（t ＞2），则h ′（t ）=1−1t −lnt (t−1)2，构造函数H （t ）＝1−1t−lnt （t ≥2），H ′（t ）=1t 2−1t =1−t t2，所以H （t ）在[2，+∞）上H ′（t ）＜0，H （t ）递减，由于H （2）＝1−12−ln 2=12−ln 2＜12−ln √e =0，所以当t ＞2时，H （t ）＜0，所以h ′（t ）=1−1t −lnt (t−1)2＜0，所以函数h （t ）在区间（2，+∞）上单调递减，故x 1＝h （t ）＜h （2）＝ln 2，即0＜x 1＜ln 2＜1，而m ＝g （x ）=e xx， g （x ）在区间（0，1）上单调递减，故m ＝g （x 1）＞g （ln 2）=2ln2，即m ∈（2ln2，+∞）．22．（12分）已知函数f(x)=lnx+λ(1x−x)(λ∈R)．（1）当x＞1时，不等式f（x）＜0恒成立，求λ的最小值；（2）设数列a n=1n(n∈N∗)，其前n项和为S n，证明：S2n−S n+a n4＞ln2．解：（1）由f(x)=lnx+λ(1x−x)(λ∈R)，得f′(x)=−λx2+x−λx2，①当λ≥12时，方程﹣λx2+x﹣λ＝0的Δ＝1﹣4λ2≤0，因式﹣λx2+x﹣λ在区间（1，+∞）上恒为负数，所以x＞1时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，又f（1）＝0，所以函数f（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立；②当0＜λ＜12时，方程﹣λx2+x﹣λ＝0有两个不等实根，且满足x1=1−√1−4λ22λ＜1＜x2=1+√1−4λ22λ，所以函数f（x）的导函数f'（x）在区间(1，1+√1−4λ22λ)上大于零，函数f（x）在区间(1，1+√1−4λ22λ)上单增，又f（1）＝0，所以函数f（x）在区间(1，1+√1−4λ22λ)上恒大于零，不满足题意；③当λ≤0时，在区间(1，+∞)上f(x)=lnx+λ(1x−x)≥lnx，函数y＝lnx在区间（1，+∞）上恒为正数，所以在区间（1，+∞）上f（x）恒为正数，不满足题意；综上可知：若x＞1时，不等式f（x）＜0恒成立，λ的最小值为1 2．（2）由第（1）知：若x＞1时，lnx＜−12(1x−x)=(x+1)(x−1)2x，若n∈N*，则ln(1+1n)＜[(1+1n)+1]⋅[(1+1n)−1]2(1+1n)=2n+12n(n+1)，即ln(n+1)−lnn＜12n+12(n+1)成立，将n换成n+1，得ln[(1+n)+1]−ln(n+1)＜12(n+1)+12[(n+1)+1]成立，即ln(n+2)−ln(n+1)＜12(n+1)+12(n+2)，以此类推，得ln(n+3)−ln(n+2)＜12(n+2)+12(n+3)，…，ln2n−ln(2n−1)＜12(2n−1)+14n，上述各式相加，得ln2n−lnn=ln2＜12n+1n+1+1n+2+⋯+12n−1+14n，又S2n−S n=1n+1+1n+2+⋯+12n−1+12n，所以S2n−S n+a n4＞ln2．。

2018-2019学年高三数学练习：第三章1.2 椭圆的简单性质(一)1 Word版含解析

[基础达标]1.椭圆x 2＋8y 2＝1的短轴的端点坐标是( ) A ．(0，－24)，(0，24) B ．(－1，0)，(1，0) C ．(22，0)，(－22，0) D ．(0，22)，(0，－22)解析：选A.椭圆方程可化为x 2＋y 218＝1，焦点在x 轴，b 2＝18，b ＝24，故椭圆的短轴的端点坐标为(0，－24)，(0，24)． 2.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )A ．(±13，0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D.由题意知焦点在y 轴上，a ＝13，b ＝10，∴c 2＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．3.椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是( ) A.2m －1m －1B ．－2－m mC.2m mD ．－21－m m －1解析：选C.将椭圆化为标准方程为x 21m ＋1＋y 21m ＝1，则必有m >0.∵m ＋1>m >0，∴1m ＋1<1m .∴a 2＝1m ，a ＝m m ，2a ＝2m m.4.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3，0)，则椭圆的标准方程为( )A.x 29＋y 216＝1 B ．x 225＋y 216＝1C.x 216＋y 225＝1 D ．x 216＋y 29＝1解析：选B.2a ＋2b ＝18，即a ＋b ＝9，又c ＝3，∴9＝a 2－b 2，∴a －b ＝1，∴a ＝5，b ＝4，又焦点在x 轴，故椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.5.如图，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( )A.－1＋52B.5－1C.2＋12D ．2＋1解析：选A.Rt △AOB ∽Rt △BOC ，∴a b ＝bc ，即b 2＝ac ，又b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2＝ac ，即c 2＋ac －a 2＝0，∴e 2＋e －1＝0，又e ∈(0，1)， ∴e ＝－1＋52.6.已知椭圆的长轴长为20，离心率为35，则该椭圆的标准方程为________．解析：2a ＝20，a ＝10，e ＝c a ＝35，∴c ＝6，b 2＝a 2－c 2＝64.故椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1.答案：x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝17.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．解析：由题意2a ，2b ，2c 成等差数列，即a ，b ，c 成等差数列， ∴2b ＝a ＋c ①，又b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )，∴a －c ＝b 2②由①②可得⎩⎨⎧a ＝5b 4c ＝3b4，∴e ＝c a ＝35.答案：358.已知与椭圆y 24＋x 23＝1有相同的离心率且长轴长与x 28＋y 23＝1的长轴长相同的椭圆的标准方程为________．解析：易求得椭圆y 24＋x 23＝1的离心率为12，椭圆x 28＋y 23＝1的长轴长为42，设所求椭圆的半长轴，半短轴，半焦距，离心率依次为a ，b ，c ，e 则a ＝22，e ＝c a ＝12，∴c ＝12a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝8－2＝6.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1或y 28＋x 26＝1.答案：x 28＋y 26＝1或y 28＋x 26＝19.已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，∵m －mm ＋3＝m （m ＋2）m ＋3>0，∴m >m m ＋3，即a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m （m ＋2）m ＋3.由e ＝32得 m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程的x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为(－32，0)，(32，0)；四个顶点坐标分别为(－1，0)，(1，0)，(0，－12)，(0，12)．10.已知椭圆E 经过点A (2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.求椭圆E 的方程．解：设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由e ＝12，即c a ＝12，得a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，∴椭圆方程可化为x 24c 2＋y 23c2＝1.将A (2，3)代入上式，得1c 2＋3c 2＝1，解得c 2＝4，∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.[能力提升]1.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，B 为上顶点，F 为左焦点，A 为右顶点，且右顶点A 到直线FB 的距离为2b ，则该椭圆的离心率为( )A.22B ．2－ 2 C.2－1D ．3－ 2解析：选C.A (a ，0)，直线BF 的方程为x －c ＋yb ＝1，即bx －cy ＋bc ＝0，由题意得|ab ＋bc |b 2＋c 2＝2b ，即a ＋c a ＝2，1＋c a ＝2，ca＝2－1，∴e ＝2－1.2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________．解析：设椭圆的右焦点为F 1，因为直线过原点，所以|AF |＝|BF 1|＝6，|BO |＝|AO |.在△ABF 中，设|BF |＝x ，由余弦定理得36＝100＋x 2－2×10x ×45，解得x ＝8，即|BF |＝8.所以∠BF A＝90°，所以△ABF 是直角三角形，所以2a ＝6＋8＝14，即a ＝7.又因为在Rt △ABF 中，|BO |＝|AO |，所以|OF |＝12|AB |＝5，即c ＝5.所以e ＝57.答案：573.求经过点M (1，2)，且与椭圆x 212＋y 26＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．解：设所求椭圆方程为x 212＋y 26＝k 1(k 1>0)或y 212＋x 26＝k 2(k 2>0)，将点M 的坐标代入可得112＋46＝k 1或412＋16＝k 2，解得k 1＝34，k 2＝12，故所求椭圆方程为x 212＋y 26＝34或y 212＋x 26＝12，即x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1.4．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°＝(m ＋n )2－3mn ＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·(m ＋n 2)2＝4a 2－3a 2＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)．∴c 2a 2≥14，即e ≥12. 又0<e <1，∴e 的取值范围是[12，1)．(2)证明：由(1)知mn ＝43b 2，∴S △F 1PF 2＝12mn sin 60°＝33b 2，即△F 1PF 2的面积只与短轴长有关．。

吉林省吉林市2022-2023学年高三上学期第一次调研测试数学答案

吉林市普通中学2022—2023学年度高中毕业年级第一次调研考试数学试题参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.12345678CBCDDDCA二、多项选择题：本大题共4小题，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.三、填空题：本大题共4个小题,每小题5分，共20分.13.充分不必要14.8-15.)32(2)(π-=x cos x f 16.]2[3,e -（说明：16题或写成]21[3,e ，不表示成区间形式不扣分）（16题解题说明：构造成⎩⎨⎧≥<+-=111)(2t ,t ln t ,t t g ，2)(+≤at t g ）四、解答题17．【解析】（Ⅰ）设数列}{n a 的公差为d ，数列}{n b 的公比为q .又有11=a ，11=b ，231026=-=-b a b a ，则⎩⎨⎧=-+=-+229122512q d q d 且0>q 解得⎩⎨⎧==21q d .3分n n d n a a n =⨯-+=-+=1)1(1)1(1；n n n n q b b 222111=⨯==--.所以，}{n a 的通项公式为n a n =，}{n b 的通项公式为n n b 2=.5分（注：本题需设出公差、公比，本次考试不扣分，但请教学时提示注意）（Ⅱ）111)1(111+-=+=+n n n n a a n n，7分1111111312121111113221+=+-=+-++-+-=+++=∴+n n n n n a a a a a a S n n n 即数列1{1+n n a a 的前n 项和1+=n nS n .10分18．【解析】（Ⅰ）xcos x sin x f 2223)(-=)12(23+-=x cos x sin 1)62(2--=πx sin 2分)(x f ∴的最小正周期ππ==22T 3分令πππππk x k 2236222+≤-≤+，Z k ∈得ππππk x k +≤≤+653，Z k ∈)(x f ∴的单调递减区间是)(]653[Z k k ,k ∈++ππππ6分9101112BDABDBCAC(注：未写成区间形式扣1分，未标明Z k ∈扣1分）（Ⅱ）方案①：函数)(x f y =的图象向左平移6π个单位长度得到函数162(2-+=πx sin y 再将图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数1)6(2)(-+=πx sin x g 8分]676[6]0[ππππ,x ,x ∈+∴∈ ∴当ππ676=+x 时，即π=x 时10分21)21(2)(-=--⨯=min x g 12分方案②：函数)(x f y =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到1)6(2--=πx sin y 再向左平移3π个单位长度得到函数16(2)(-+=πx sin x g 8分]676[6]0[ππππ,x ,x ∈+∴∈ ∴当ππ676=+x 时，即π=x 时10分21)21(2)(-=--⨯=min x g 12分19．【解析】（Ⅰ）)(3)(3R x q kx x x f ∈+-=kx x f 33)(2-='1分)(x f 在2=x 处取得极小值4⎩⎨⎧=+-==-='468)2(0312)2(q k f k f ，解得⎩⎨⎧==204q k 3分此时123)(2-='x x f 4分)22(,x -∈时，0)(<'x f .)2(+∞∈,x 时，0)(>'x f 满足题意20123+-=∴x x )x (f 5分（注：在说明”“4=k 的充要性时，也可表述为“在点2=x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ”或可简述为“经检验，满足”，若没有此类说明，扣1分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当x 变化时，)()(x f ,x f '变化情况如表所示10分且+∞→x 时,+∞→y ;-∞→x 时,-∞→y ;11分∴当364<<a 时，方程有三个不等实根12分（注：单调性及极值的计算过程也可不列表，每空1分；方程实根个数参照零点定理，需强调两侧符号异号，若无说明扣1分）20.【解析】（Ⅰ）7507.09528.08534.0752.06511.055=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x .···························2分x ）（2-∞-,2-），（22-2），（∞+2)(x f '+-+)(x f 单调递增极大值36单调递减极小值4单调递增所以，抽取的200名学生的平均成绩为75分.································································3分（Ⅱ）由题，第五组中共有1407.0200=⨯人.其中，高三学生有67314=⨯人，高一、二学生有87414=⨯人.按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，则高三学生抽取3人，记为C B A ，，；高一、二学生抽取4人，记为d c b a ，，，.··········4分在这7人选取2人组成宣讲组，样本空间如下：}{cd bd bc ad ac ab Cd Cc Cb Ca Bd Bc Bb Ba BC Ad Ac Ab Aa AC AB Ω，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，=共21个样本点.·····································································································6分选取的2人都是高三学生的样本点为BC AC AB ，，，共3个.所以，选取的2人都是高三学生的概率为71213=.····························································································································8分（注:利用组合数给出样本空间样本点个数，不列举也给分）（Ⅲ）115.5230212007.0)7595(28.0)7585(34.0)7575(2.0)7565(11.0)7555(22222=⨯≈==⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=s ···············································································································10分由86=+s x ，可知比赛成绩86>x 分为优秀，又有，273]007.010028.0)8690[(1500=⨯+⨯-⨯所以，估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数为273.······································12分21.【解析】（Ⅰ）（方法一）cC B sin a B A sin )()(-=-)()(C B sin a B A sin c -=-∴即))C sin B cos C cos B (sin a B sin A cos B cos A (sin c -=-由正弦定理得：))B cos c C cos b (a A cos b B cos a (c -=-3分Ccos ab A cos cb B cos ca +=∴2由余弦定理得：ab c b a abbc a c b cb ac b c a ca 2222222222222-++-+=-+⋅5分22222222222c b a a c b b c a -++-+=-+∴2222b b c a =-+∴即2222ca b +=6分（方法二))()(C B sin a B A sin c -=- 即))C sin B cos C cos B (sin a B sin A cos B cos A (sin c -=-由正弦定理得：))B cos c C cos b (a A cos b B cos a (c -=-3分)(2C cos a A cos c b B cos ca +=∴B sin C sin A cos C cos A sin C A sin =+=+)( 22b B cos ac b A cos c C cos a =∴=+∴，由余弦定理得：222222b acb c a ca =-+⋅5分即2222ca b +=6分（Ⅱ）1715=B cos 在ABC ∆中，17812=-=B cos B sin ABC ∆ 的面积为2即221=B sin ac 217=∴ac 8分由余弦定理得acb ac b c a B cos 222222=-+=∴15152=∴=∴b b 10分又47222)(2222=+=++=+ac b ac c a c a 47=+∴c a ABC ∆∴的周长是1547+12分22．【解析】解：（Ⅰ）函数)(x f 的定义域是R)1)(2(2)e (2)(2a e e a a e x f x x x x +-=--+='2分①当0≥a 时，02>+a e x，令0)(>'x f ，则0>x ；令0)(<'x f ，则0<x .)(x f ∴在)0(，-∞上单调递减，在)0(∞+，上单调递增.3分②当02<<-a 时，令0)(='x f ，则0=x 或)2(a ln x -=且0)2(<-aln 令0)(>'x f ，则0>x 或)2(a ln x -<；令0)(<'x f ，则0)2(<<-x aln .)(x f ∴在))2((a ln ,--∞，)0(∞+，上单调递增，在)0)2((,aln -上单调递减.4分综上所述，当0≥a 时，)(x f 在)0(，-∞上单调递减，在)0(∞+，上单调递增；当02<<-a 时，)(x f 在))2((a ln ,--∞，)0(∞+，上单调递增，在)0)2((,aln -上单调递减.（注:分类讨论正确，不写综上所述,此次考试不扣分.）（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）得：①当0=a 时，2)2(e e )(ln x x f x x =∴-=，不符合题意.②当0>a 时，)(x f 在)0(，-∞上单调递减，在)0(∞+，上单调递增.)(x f 的最小值为1)0(-=a f 又)(x f 有2个零点，01)0(<-=∴a f ，即10<<a 又01)(2)(2)((1)2>-+-=--+=e a e e a e a e f ，)10(2,x ∈∃∴，使得0)(2=x f )(x f ∴在)0(∞+，上有唯一零点2x .又当)0(，-∞∈x 时，取20aln x =)2143(2)2()()2(222a ln a a a ln a e a e a ln f a ln a ln --=--+=令2143)(a ln a a h --=，则aa 'h 143)(-=当340<<a 时，)(a h 单调递减；当34>a 时，)(a h 单调递增.)(a h 的最小值为0)2(03234(>∴>-=aln f ln h 【评分说明：此处利用零点存在定理说明零点存在时,正确取点说明，给满分；若利用如下极限表述，扣1分，当-∞→x 时，0)(0 02)( 0 02>∴>-→-∴→→x f ax e a e ex x x，，；若二者都未说明，本次扣2分.相应格式，请参考教材选择性必修二第95页例7.】)0(01,x x ∈∃∴使得0)(1=x f 即)(x f 在)0(，-∞上有唯一零点1x .10<<∴a 7分③当02<<-a 时，由（Ⅰ）得)(x f 的极小值为01)0(<-=a f )(x f 的极大值为0)2(41))2((2<--+-=-aln a a a a ln f )(x f ∴在R 上至多存在一个零点，不符题意，舍去.综上所述，a 的取值范围为(0,1).8分（方法二）由（Ⅰ）得：当0≥a 时，)(x f 在)0(，-∞上单调递减，在)0(∞+，上单调递增.)(x f 的最小值为1)0(-=a f 又)(x f 有2个零点，01)0(<-=∴a f ，即10<≤a 当0>x 时，01)(2)(2)((1)2>-+-=--+=e a e e a e a e f ，满足0(1))0(<⋅f f 由零点存在性定理,可得)(x f 在)0(∞+，上存在唯一一个零点.5分当0<x 时，当0=a 时，02)(2e )(2<-=--=x x x xe e a e xf 成立，此时)(x f 在)0(，-∞上无零点，不符题意，舍去.当02<<-a 时，由（Ⅰ）得)(x f 的极小值为01)0(<-=a f )(x f 的极大值为02(412((2<--+-=-aln a a a a ln f )(x f ∴在R 上至多存在一个零点，不符题意，舍去.综上所述，a 的取值范围为(0,1).8分（方法三）)2(2)e ()(2->--+=a ,ax a e x f x x 有2个零点x x x e e x e a 22)(-=-∴有2个不等实根设R x x e x g x∈-=，)(，01)(=-=xe x 'g ，则0=x )(x g 在)0(，-∞上单调递减，在)0(∞+，上单调递增.)(x g 的最小值为01)0(>=g ，0>-∴x e x xe e e a x xx --=∴22即a y =与xe e e x h xxx --=22)(图象有2个交点.Rx x e x e e e x 'h x x x x ∈-+---=2)()22)(1()(设R x x e x x∈+-=，22)(ϕ，02)(=-=xe x 'ϕ，则2ln x =)(x ϕ∴在)2(ln ，-∞上单调递减，在)2(∞+，ln 上单调递增.)(x ϕ的最小值为02242)(>-=ln ln ϕ0>x e 令0)(>x 'h ，1<xe ，则0<x ；令0)(<x 'h ，1>xe ，则0>x )(x h ∴在)0(，-∞上单调递增，在)0(∞+，上单调递减.)(x h ∴的最大值为1)0(=h 又0<x 时，0)2()(>--=xe e e x h xx x ，且0)(=-∞→x h lim x ，02)(=ln h .所以a 的取值范围为(0,1).8分下面证明：021<+x x 证明：当10<<a 时，)(x f 在)0(，-∞上单调递减，在)0(∞+，上单调递增.210x x <<∴要证021<+x x ，只需证21x x -<只需证)()(21x f x f ->0)()(21==x f x f 只需证0)()()(222>->x x f x f ，设0)()()()(>--=x x f x f x m ，)()()(x 'f x 'f x 'm -+=a e e a e e a e e a e e x x x x x x x x 24)2)(()2(2)2)(()2(222--+-++=-+-++=----，10分设22=⋅>+=--x x xx e e ee u 则2242)(22>---+=u ,a u a u y ，对称轴为242<-=au a u a u y 242)(22---+=∴在)(2∞+，上单调递增.02422)(42=--⨯-+⨯>∴a a y 0)(>∴x 'm 在)(0∞+，上成立.即)(x m 在)(0∞+，上单调递增.0.)0()(=>∴m x m 即021<+x x .12分。

高三数学-2018届高三数学专项训练(2018)《圆锥曲线》精品

C． 9
D． 16
12．给出下列结论 , 其中正确的是
（）
A．渐近线方程为 y
b x a 0,b 0 的双曲线的标准方程一定是
a
x2 y2 a2 b2 1
B．抛物线 y
1 x2 的准线方程是 x 1
2
2
C．等轴双曲线的离心率是 2
D．椭圆 x2 m2
y2 n2
1 m 0, n 0 的焦点坐标是 F1
x1 1· x2 1 x1·x 2
x1 x21ຫໍສະໝຸດ 44 ………………（ 10 分） k2
m n mn ，即 1
1 1
mn
综上可知 1 1 为定值。………………（ mn
20．（本小题满分 12 分）
12 分）
解：（1） AM 2AP, NP AM 0. ∴ NP为 AM的垂直平分线，∴ |NA|=|NM|. ………………………… 2 分
由椭圆的对称性知 | OC|=| OB|, 由 AC · BC =0 得 AC⊥ BC，
A
O
x
∵ | BC|=2| AC| ，∴ | OC|=| AC| ，∴△ AOC是等腰直角三角形，∴ C 的坐标为（ 1，1），
∵ C 点在椭圆上∴ 12 4
1 b2
1 , ∴ b2 = 4 , 所求的椭圆方程为 3
二、填空题（本题每小题 4 分，共 16 分）
m2 n2 ,0 , F2 m2 n2 ,0
13．如果正△ ABC 中 , D
AB，E
AC , 向量 DE
1 BC , 那么以 B , C 为焦点且过点 D , E 的双曲线
2
的离心率是
2
14．已知椭圆 x m
.

2018届高三上学期期末联考数学(理)试题有答案-精品

2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门仙桃潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。

第四章第22讲解三角形(正弦定理与余弦定理)课件高三数学一轮复习

对于D，因为a cos B＋b cos A＝a，所以sin A cos B＋sin B cos A＝sin A，即sin (A＋B) ＝sin A，则sin C＝sin A，又因为A，C∈(0，π)，所以A＝C或A＋C＝π(舍去)，所以 △ABC为等腰三角形，故D正确．
【答案】BD
变式在△ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 所对的边，且满足coas C＝cocs A，
余弦定理 a2＝____b_2＋__c_2_－__2_b_c_c_o_s_A____； b2＝____a_2＋__c_2_－__2_a_c_c_o_s_B____； c2＝___a_2_＋__b_2_－__2_a_b_c_o_s_C____
定理
正弦定理
余弦定理
①a＝__2_R_s_i_n_A__，b＝__2_R__s_in__B__，c＝__2_R__s_in__C__；
变式在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 a＝ 39，b＝2，A＝
120°. (1) 求 sin B 的值；
【解答】
正弦定理 a ＝ b ，得 sin A sin B sin
39 ＝ 2 ，解得 120° sin B
sin
B＝
1133.
(2) 求c的值；
【解答】由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bc cos A，得 39＝4＋c2－2×2×c×－12，解得 c＝5
cos A
(2)
若a a
cos cos
B－b B＋b
cos cos
AA－bc＝1，求△ABC
的面积.
【解析】由
正
弦
定
理
可
得
a a
cos cos

贵州省毕节市威宁民族中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(无答案)

威宁民族中学2024~2025学年度第一学期高三期中考试数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则A. B.C. D.2.已知复数满足（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知某地最近10天每天的最高气温（单位：℃）分别为23，18，17，21，22，20，16，14，21，19，则这10天最高气温的第80百分位数是A.15 B.21 C.21.5 D.224.已知圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为A.1B.2C.3D.45.设，，，则，，的大小关系为A. B. C. D.6.的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为A.-160B.-20C.20D.1607.在中，，，且，则的值为A.-14B.-16C.-18D.-208.已知函数若关于的不等式的解集为，则的取值范围为{}29A x x =<{}2,1,0,1,2,3,4B =--A B = {}1,0,1-{}2,1,0,1,2--{}2,1,0,1,2,3--{}2,1,0,1,2,3,4--z ()21i 24i z +=+i z 3π0.82a =0.912b -⎛⎫= ⎪⎝⎭0.6log 0.7c =a b c a b c<<b a c<<b c a<<c a b<<()*2nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N ABC △4AB =2BC =BA CB AC CB ⋅=⋅ AB BC AB CA BC CA ⋅+⋅+⋅()()2e ,0,44,0,x ax x f x x a x a x ⎧-≥⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞aA. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

2013-2014学年高三理科数学附加题：训练22

M高三数学理科附加题训练221．选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵21n A m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征根为2λ=，它对应的一个特征向量为12α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．（1）求m 与n 的值；（2）求1A -．2．（本小题满分10分）己知直线42:-=x y l 与抛物线:C x y 42=相交于,A B 两点，(),0(0T t t >且2t ≠）为x 轴上任意一点，连接,AT BT 并延长与抛物线C 分别相交于11,A B ．（1）设11A B 斜率为k ，求证：k t ⋅为定值；（2）设直线11,AB A B 与x 轴分别交于,M N ，令111234,,,ATM BTM B TN ATN S S S S S S S S ∆∆∆∆====，若1234,,,S S S S 构成等比数列，求t 的值．3．选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）MN己知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为2cos 72sin 2x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数），以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N 是以点3π⎫⎪⎭为圆心，且过点)2,2(π的圆．（1）求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程；（2）求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．4．（本小题满分10分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆为直角三角形，2ACB π∠=，顶点1C 在底面ABC ∆内的射影是点B ，且13AC BC BC ===，点T 是平面1ABC 内一点．（1）若T 是1ABC ∆的重心，求直线1AT 与平面1ABC 所成角；（2）是否存在点T ，使1TB TC =且平面11TAC ⊥平面11ACC A 长度，若不存在，说明理由．。

高三数学拓展精练13

数学知识复习拓展精练（13）1．521⎪⎭⎫⎝⎛+xx展开式中4x的系数为 (用数字作答).2．向面积为S的三角形ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于S的概率是．3．已知程序框图如右，则输出的i= ．4．已知实数yx,满足0,1,2210.xyx y≥⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩若目标函数yaxz+=()0≠a取得最小值时的最优解有无数个，则实数a的值为_____．5．已知直线()2y k x=-()0k>与抛物线28y x=相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，若2FA FB=，则k的值为．6．（几何证明选讲选做题）如右图，AB是圆O的直径，直线CE与圆O相切于点C，AD CE⊥于点D，若圆O的面积为4π，30ABC∠=，则AD的长为．7．（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，点A的坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C的方程为θρcos2=，则OA（O为极点）所在直线被曲线C所截弦的长度为．8．（本小题满分12分）如图，在ABC∆中，点D在BC边上，33AD=，5sin13BAD∠=，3cos5ADC∠=．（1）求sin ABD∠的值；（2）求BD的长．9．（本小题满分12分）某城市为准备参加“全国文明城市”的评选，举办了“文明社区”评选的活动，在第一轮暗访评分中，评委会对全市50个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分，每项评分均采用5分制，若设“社区服务”得分为x分，“居民素质”得分为y分，AB CD统计结果如下表：（1）若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即3x ≥且3y ≥）的社区可以进入第二轮评比，现从50个社区中随机选取一个社区，求这个社区能进入第二轮评比的概率；（2）若在50个社区中随机选取一个社区，这个社区的“居民素质”得分y 的均值（即数学期望）为16750，求a 、b 的值．参考答案1．10 2．593．9 4．1- 5. 6．1 7 8．（本小题满分12分）解：（1）因为3cos 5ADC ∠=，所以4sin5ADC∠==． (2)分因为5sin13BAD∠=，所以12cos13BAD∠==． (4)分因为ABD ADC BAD∠=∠-∠，所以()sin sinABD ADC BAD∠=∠-∠sin cos cos sinADC BAD ADC BAD=∠∠-∠∠………………………………6分412353351351365=⨯-⨯=．…………………………………………………………8分（2）在△ABD中，由正弦定理，得sin sinBD ADBAD ABD=∠∠，………………………………10分所以533sin132533sin65AD BADBDABD⨯⨯∠===∠． (12)分9．（本小题满分12分）解：（1）从表中可以看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即3x≥且3y≥）的社区数量为24个．………………………………………………………………………2分设这个社区能进入第二轮评比为事件A，则()P A=24125025=．所以这个社区能进入第二轮评比的概率为1225．……………………………………………………4分（2）由表可知“居民素质”得分y有1分、2分、3分、4分、5分，其对应的社区个数分别为()4a+个、()4b+个、15个、15个、9个．…………………………………………………………6分所以“居民素质”得分y的分布列为：……………………………………8分因为“居民素质”得分y 的均值（数学期望）为16750，所以501675095501545015350425041=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯b a ．…………………………………10分即25a b +=．因为社区总数为50个，所以4750a b ++=．解得1a =，2b =．…………………………………………………………………………………12分。

2022-2023学年高三起航调研测试(Ⅱ)数学试题含答案

本试卷共6页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题p ：x ＞x ，q ：x ＜1，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．已知集合A ＝{sin x |0≤x ＜π2}，B ＝{x |0≤x ＜π2}，则A ∩B ＝A ．{1}B ．{0}C ．{0，1}D ．{x |0≤x ＜1}3．已知a ，b 为单位向量．若|a ·b |＝|a ＋2b |，则|a －3b |＝A ．2B ．10C ．4D ． 54．抛物线C ：y 2＝4x 在点(2，22)处的切线与双曲线E ：y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行，则E 的离心率为 A ．2 2B ．2C ．62D ． 35．设a ＝sin 2π6－sin 2π12，b ＝tan π12，c ＝sin π8，则A ．b ＜a ＜cB ．a ＜c ＜bC ．a ＜b ＜cD ．c ＜a ＜b6．在空间直角坐标系O －xyz 中，已知圆A ：(x －2)2＋(y －1)2＝1在平面xOy 内，C (0，t ，2)(t ∈R )．若△OAC 的面积为S ，以C 为顶点，圆A 为底面的几何体的体积为V ，则VS 的最大值为2022～2023学年度高三年级起航调研测试（Ⅱ）数学A ．510π B ．2515π C ．255π D ．53π 7．已知公差为d (d ＞0)的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝d ，b n ＝S n －1S n，且b 1＋b 2＋…＋b 10＝0，则b 11＝ A ．6B ．356C ．11D ．120118．定义在R 上的函数f (x )的值域为(0，π2)，且sin f (x )＝cos f (2x －1)．若f (2)＝1，则A ．f (1)＝π2B ．f (log 23)＝1C ．f (127)＝π2－1D ．f (7)＝π2－1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高三上学期第二次素质拓展数学试题

安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高三上学期第二次素质拓展数学试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，复数z 满足2i z z +=，则z 的虚部为（） A ．1-B ．1C ．iD ．i -2．命题“(),1x ∃∈-∞，3210x x +-<”的否定是（） A ．[1,]x ∃∈+∞，3210x x +-≥ B ．(),1x ∃∈-∞，3210x x +-≥ C ．[1,]x ∀∈+∞，3210x x +-≥D ．(),1x ∀∈-∞，3210x x +-≥3．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(1)(1)f x f x +=-，若[]0,1x ∈，()2x f x =，则(2024)f =（）A ．4B ．2C ．1D ．04．已知随机变量X 服从二项分布(4,)B p ，且(41)12D X +=，1(1)4P X =>，则(21)E X +=（） A ．7B ．3C ．6D ．25．若函数()()0.66log 8f x ax =-在区间()2,4上单调递增，则a 的取值范围是（） A ．()0,2B ．(]0,4C ．(]0,2D ．(]2,46．常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T （单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为12,T T ．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则12,T T 满足的关系式为（） A ．125125122T T -+= B ．125125122T T += C ．22125125122log log T T -+= D ．22125125122log log T T += 7．已知函数()22,113,1x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，若关于x 的方程()()10f x f a --=至少有两个不同的实数根，则a 的取值范围是（） A ．(]),4-∞-+∞U B ．[]1,1- C．(-D．⎡-⎣8．已知定义在 0,+∞ 上且无零点的函数()f x 满足()()()1xf x x f x ='-，且()10f >，则（） A ．()()1122f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．()()1212f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．()()1212f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．()()1212f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭二、多选题9．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22(xf x x b b =++为常数），则下列说法正确的是（） A ．()3f b =-B ．()313f -=C ．()f x 在()0∞－，上是单调减函数 D ．函数()f x 仅有一个零点10．已知函数()1,0?e1e ,0?xx f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪+>⎪⎩，R x ∀∈，()||f x a x ≥，则实数a 的值可能为（）A ．2B ．3C ．4D ．e11．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x 的图象关于y x =对称，且()1f x +为奇函数，则（）A ．()()f f x x =B ．()()2f x f x +-=C ．()()24f x f x -+=D ．()20242023f =-三、填空题12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若82212a a +=，则11S =.13．若直线2y x =是曲线()()2e xf x x a =-的切线，则a =．14．已知函数()f x 的定义域为R ，()e xy f x =+是偶函数，()3e x y f x =-是奇函数，则()ln 3f 的值为．四、解答题15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且213,1n n a S a n ==+-. (1)求{}n a 的通项公式； (2)若122311,n n n n nb T b b b b b b a +==+++L ，求n T . 16．在ABC V中，cos cos cos a C c A B +=. (1)求B ∠；(2)若12,a D =为BC 边的中点，且3AD =，求b 的值.17．已知函数()()4log 41xf x kx =++与()44log 23x g x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，其中()f x 是偶函数．（1）求实数k 的值；（2）若函数()()()F x f x g x =-只有一个零点，求实数a 的取值范围．18．已知函数()()2ln ,f x x ax bx a b R =--∈．(1)当0a =时，若()0f x ≤在()0,x ∈+∞上恒成立，求实数b 的取值范围； (2)设12,x x 为()f x 的两个不同零点，证明：()12122ex x f x x ++<-． 19．给定两个正整数m ，n ，函数()f x 在0x =处的[],m n 阶帕德近似定义为：()0111mm mm a a x a x R x b x b x +++=+++L L ，且满足：()()00f R =，()()00f R ''=，()()()()()()0000m n m n f R f R ++'='=''L ．已知()()ln 1f x x =+在0x =处的[]1,1阶帕德近似()1a bx R x cx+=+．注：()()f x f x ''''=⎡⎤⎣⎦，()()f x f x ''''''=⎡⎤⎣⎦，()()()4f x f x '=⎡''⎤⎣⎦'，()()()()54,f x f x '⎡⎤=⎣⎦L (1)求a ，b ，c 的值；(2)比较()1x c f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与1的大小，并说明理由；(3)求不等式12111e 1xx x x +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集，其中e 2.71828=L ．。

2024-2025学年渭南市蒲城县高三数学上学期10月第一次月考卷及答案解析

蒲城中学2024—2025学年上学期高三第一次月考数学注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本试卷命题范围：集合与逻辑、不等式、函数.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 已知集合{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则A B = （）A. {}3 B. {}1,2,5 C. {}1,2,3,5 D. {}1,2,3,4,5【答案】C【解析】【分析】根据并集的知识求得正确答案.【详解】依题意，A B = {}1,2,3,5.故选：C2. 已知命题2024:R,20230x p x x ∀∈+>，则p 的否定是（）A. 2024R,20230x x x ∀∈+≤ B. 2024R,20230x x x ∃∈+<C. 2024R,20230x x x ∃∈+≤ D. 2024R,20230x x x ∃∈+≠【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定即可得到结果.【详解】先变量词，再否结论，而“202420230x x +>”的否定是“202420230x x +≤”，故p 的否定是：2024R,20230x x x ∃∈+≤.故选:C.3. 不等式304x x+≥-的解集为（）A. []3,4- B. [)3,4-C. ()(),33,∞∞--⋃+ D. (](),34,-∞-+∞ 【答案】B【解析】【分析】转化为一元二次不等式，求出解集.【详解】304x x +≥-等价于()()34040x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得[)3,4x ∈-.故选：B4. 函数211x y x -=+-的定义域是（）A. [)4,-+∞ B. ()4,-+∞C. [)()4,00,-+∞ D. [)()4,11,-+∞ 【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用函数有意义列出不等式组求解即得.【详解】函数211x y x -=-有意义，则4010x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得4x ≥-且1x ≠，所以所求定义域为[)()4,11,-+∞ .故选：D5. 函数()21ex x f x +=的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，即可确定.【详解】()()()2222212e (1)e 21210e e e e x xx x x x x x x x x x x f x --+-+--+'===-=-≤恒成立，所以函数()21ex x f x +=在定义域R 上单调递减，且对任意R x ∈，都有210,e 0x x +>>，所以对任意R x ∈，都有()0f x >，所以结合选项可知A 满足，故选：A.6. 已知120232023202212024,log 2022,log 2023a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A. a b c>> B. b a c >>C. c a b>> D. a c b>>【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性确定范围即可比较大小.【详解】依题意102023202420241a =>=，2023202320230log 1log 2022log 20231<<<=，202220221log log 102023c =<=，所以a b c >>.故选：A7. 函数()f x =[]1,1-上单调递减，则a 的取值范围为（）A. 1a ≤- B. 1a <- C. 31a -≤≤- D. 31a -<<-【答案】C【解析】【分析】令()272t x ax x =+-，由题意可得()t x 需满足在区间[]1,1-上单调递减，且()min 0t x ≥，由此列出不等式，求得答案.【详解】令()272t x ax x =+-，则()f t =由题意可得()272t x ax x =+-需满足在区间[]1,1-上单调递减，且()min 0t x ≥，而()272t x ax x =+-图象开口向下，对称轴为t a =，故1a ≤-且()1620t a =+≥，即31a -≤≤-，故选：C8. 设0a >，0b >，则下列不等式中不恒成立的是（）．A. 12a a +≥ B. 222(1)a b a b +≥+-C. ≥D. 3322a b ab +≥【答案】D【解析】【详解】分析：根据基本不等式、作差法、分析法论证A,B,C 正确，举反例得D 错误.详解：332222()()a b ab a b a ab b +-=-+-，a b <<有3322a b ab <+，故D项错误，其余恒成立：1122,a a a a+≥=⇒+≥2222222(1)(1)(1)02(1),a b a b a b a b a b +-+-=-+-≥⇒+≥+-当a b ≥时0a b a b a b a b ---+≥---+=⇒-当a b <0>D ．点睛：本题考查根据基本不等式、作差法、分析法论证等知识点，考查推理论证能力.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A. 1y x = B. e e x xy -=-的C. 3y x = D. 2log y x=【答案】BC【解析】【分析】根据解析式直接判断奇偶性与单调性即可求解.【详解】选项A ：1y x =为奇函数不是增函数，选项B ：e e x x y -=-，为奇函数和增函数，选项C ：3y x =为奇函数和增函数，选项D ：2log y x =不是奇函数.故选：BC.10. 下列四个命题中正确的是（）A. 若,a b c d >>，则a d b c->- B. 若22a m a n >，则m n >C. 若110a b <<，则2b ab > D. 若a b >，则11a b a>-【答案】ABC【解析】【分析】根据不等式的性质判断ABC ，举反例排除D ，从而得解.【详解】A.由条件可知，a b >，d c ->-，所以a d b c ->-，故A 正确；B.因为22a m a n >，所以20a >，所以m n >，故B 正确；C.因为110a b<<，所以0b a <<，所以2b ab >，故C 正确；D.因为a b >，取1,0a b ==，则111a b a ==-，故D 错误.故选：ABC11. 下列说法正确的是（）A. “万事俱备，只欠东风”，则“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要不充分条件B. 若p 是q 的必要不充分条件，p 是r 的充要条件，则q 是r 的充分不必要条件C. 方程20ax x a ++=有唯一解的充要条件是12a =±D. []x 表示不超过x 的最大整数，x 表示不小于x 的最小整数，则“[]ab =”是“a b ≥”的充要条件【答案】AB【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义依次判断各选项即可.【详解】对于A ，“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件，故A 正确；对于B ，若p 是q 的必要不充分条件，则q p ⇒，p q ¿；若p 是r 充要条件，则p r ⇒，r p ⇒；则有q r ⇒，r q ¿，即q 是r 的充分不必要条件，故B 正确；对于C ，当0a =时，方程20ax x a ++=可化为0x =，也满足唯一解的条件，故C 错误；对于D ，依题意，得[]a a ≥，b b ≥，所以“[]a b =”⇒“a b ≥”，即充分性成立；反之不成立，如3.1 1.5≥，[3.1]3=，1.52=，不能推出“[3.1] 1.5=”，即必要性不成立，故D 错误．故选：AB ．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知函数()()16log ,2,21,2x x f x f x x ≤⎧=⎨->⎩则(4)f =______．【答案】1【解析】【分析】根据自变量确定代入哪段，结合对数性质计算即可.【详解】因为()()()42342f f f ==，()1612log 24f ==，所以()()4421f f ==．故答案为：113. 若“x ∃∈R ，使得2210x mx -+<”是假命题，则实数m 的取值范围是______．【答案】⎡⎣-【解析】【分析】根据特称命题的定义和一元二次不等式的恒成立问题求解.【详解】因为“x ∃∈R ，使得2210x mx -+<”是假命题，所以“x ∀∈R ，使得2210x mx -+≥”是真命题，所以280m ∆=-≤，解得m ⎡∈-⎣，故答案为: ⎡⎣-.14. 已知函数e ()1x mx f x x =+-是偶函数，则m =__________．【答案】2【解析】【分析】求出f(x)定义域，根据f(x)是偶函数，可取定义域内任意x ，根据f(-x)=f(x)即可求得m 的值．【详解】由e 10x -≠得e ()1x mx f x x =+-的定义域为{}|0x x ≠，则∵e ()1x mx f x x =+-是偶函数，故f(-1)=f(1)，即111e 1e 1m m ---+=+--，解得m=2．此时()1(e )e 1e 21x x x x x f x x +=+=--，而()()e (1e 1)x x xf x f x ---+-==-，故()f x 确为偶函数，故m=2．故答案为：2．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15. 设集合{}52A x x =-<．{}121B x x m =<<+．（1）若A B =∅ ，求实数m 的取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1m ≤；（2）[)3,+∞．【解析】【分析】（1）分B =∅和B ≠∅两种情况讨论即可；（2）由题得A 是B 的真子集，根据集合间的基本关系求解即可.【小问1详解】{}{}{}5225237A x x x x x x =-<=-<-<=<<，当B =∅时，121m ≥+，解得0m ≤当B ≠∅时，由A B =∅ 得：0213m m >⎧⎨+≤⎩，解得01m <≤；综上，1m ≤；【小问2详解】由题得，A 是B 的真子集，所以31721m ≥⎧⎨≤+⎩，且等号不同时成立，解得3m ≥，所以实数m 的取值范围为[)3,+∞．16. 已知函数()21x b f x ax +=+，点()1,5A ，()2,4B 是()f x 图象上的两点.（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在[]1,3上的最大值和最小值.【答案】（1）18a b =⎧⎨=⎩（2）max ()5f x =，min 7()2f x =【解析】【分析】（1）把图象上的两点代入函数解析式，由方程组求a ，b 的值；（2）定义法求函数单调性，由单调性求最值.【小问1详解】因为点()1,5A ，()2,4B 是()f x 图象上的两点，所以2514421b a b a +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，解得18a b =⎧⎨=⎩.【小问2详解】设1213x x ≤<≤，则()()()()()2112121212628281111x x x x f x f x x x x x -++-=-=++++，因为1213x x ≤<≤，所以210x x ->，()()12110x x ++>，则()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()281x f x x +=+在[]1,3上单调递减.故()max ()15f x f ==，()min 7()32f x f ==.17. 已知函数()2109f x x x =-+．（1）求不等式()0f x >的解集；（2）若0x >，不等式()f x ax ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）{1x x <或}9x >；（2）(],4-∞-【解析】【分析】（1）直接解不等式21090x x -+>即可；（2）转化问题转化为()9100x a x x +-≥>恒成立，然后利用基本不等式求出910x x +-的最小值即可.【小问1详解】不等式()0f x >，即为21090x x -+>，则有()()190x x -->，解得1x <或9x >，所以不等式()0f x >的解集为{1x x <或}9x >．【小问2详解】不等式()()0f x ax x ≥>，即为2109x x ax -+≥，所以()9100x a x x +-≥>，只需910x x+-的最小值大于或等于a 即可，因为910104x x +-≥-=-，当且仅当9x x =即3x =时取等号．所以910x x+-的最小值为4-，所以4a ≤-，故a 的取值范围是(],4-∞-18. 若定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2=f x f x -，当[]0,1x ∈时，()22f x x x =-．（1）求()2024f 值；（2）当[]3,4x ∈时，求函数()f x 的解析式．【答案】（1）0 （2）()268x x f x =-+-的【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性、周期性等知识求得正确答案.（2）根据函数解析式的求法求得正确答案.小问1详解】定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2=f x f x -，()()f x f x ∴-=-，()()()2+==f x f x f x --，()()4f x f x ∴+=，即函数()f x 是以4为周期的周期函数()()()2024450600f f f ∴=⨯==．【小问2详解】当[]0,1x ∈时，()22f x x x =-，∴当[]1,0x ∈-时，[]0,1x -∈，()()()22()22f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦，又当[]3,4x ∈时，[]41,0x -∈-，()()()224(4)2468f x f x x x x x ∴=-=----=-+-．19. 已知()f x 为偶函数、()g x 为奇函数，且满足1()()2x f x g x --=.（1）求()f x ，()g x ；（2）若方程2()[()]29mf x g x m =++有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()()22,22x x x xf xg x --=+=- （2）10m ≥【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程组来求得()(),f x g x .（2）利用分离常数法、构造函数法，结合基本不等式求得正确答案【小问1详解】依题意，()f x 为偶函数、()g x 为奇函数，且满足1()()2x f x g x --=，所以11()()2()()2x x f x g x f x g x -+⎧-=⎨---=⎩，则11()()2()()2xx f x g x f x g x -+⎧-=⎨+=⎩，解得()()22,22x x x x f x g x --=+=-.【.【小问2详解】若方程2()[()]29mf x g x m =++有解，即()()2222229x x x xm m --+-=++有解，即()()222222722225x x x x x x m ---⎡⎤-=++=++⎣⎦+，对于方程()()2222522x x x x m --⎡⎤-=++⎣⎦+①，当0x =时，方程左边为0，右边为9，所以0x =不是①的解.当0x ≠时，令22x x t -=+，由于222x x -+>=，所以2t >，20t ->，则方程①可化()()()2222429525,22t t t t m t m t t -+-++-=+==--9244102t t =-++≥+=-，当且仅当92,52t t t -==-时等号成立，所以10m ≥.【点睛】方法点睛：对于奇函数，有()()f x f x -=-，对于偶函数，有()()f x f x -=.当题目所给条件中包括奇函数或偶函数时，首先应想到运用上述两个式子来对问题进行求解.求方程有解的问题，可以考虑利用分离参数法来进行求解.为。

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