2009年全国初中数学联赛南昌市八年级竞赛试卷

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全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

2009年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及评分规范说明：评阅试卷时，请依据本评分规范.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分规范规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分规范划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.设1a =，则32312612a a a +--= （）A.24.B. 25.C. 10.D. 12. 【答】A. 由1a =，得2862a a =-=-，故226a a +=.所以32223126123(2)6612a a a a a a a a +--=++--=261212661224a a +-=⨯-=.2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝（） A.. B. 10. C. D. 【答】C.延长CA 至D ，使AD ＝AB ，则1D =ABD =CAB =C 2∠∠∠∠，所以△CBD ∽△DAB ，所以BD CD =AB BD，故2BD AB CD 7(87)105=⋅=⨯+=，所以BD =又因为C D ∠=∠，所以BC BD ==3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=的解的个数为（） A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 【答】C.由方程得232[]x x -=，而[]x x ≤，所以232x x -≤，即2230x x --≤，解得13x -≤≤，从而[]x 只可能取值1,0,1,2,3-.当[]1x =-时，21x =，解得1x =-；当[]0x =时，23x =，没有符合条件的解；当[]1x =时，25x =，没有符合条件的解；当[]2x =时，27x =，解得x =DB[]3x=时，29x=，解得3x=.因此，原方程共有3个解.4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）A.314. B.37. C.12. D.47.【答】B.不妨设正方形的面积为1.容易知道，以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形，它们可以分为两类：（1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的四个顶点之一，这样的三角形有4个，它们的面积都为12；（2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的中心O，这样的三角形也有4个，它们的面积都为14.所以以五个点A、B、C、D、O为顶点可以构成4＋4＝8个三角形，从中任意取出两个，共有28种取法.要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法有12种.因此，所求的概率为123287=.5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE＝（）B.23. C.13. D.【答】D.设BC的中点为O，连接OE、CE.因为A B⊥BC，A E⊥OE，所以A、B、O、E四点共圆，故∠BAE＝∠COE.又AB＝AE，OC=OE，所以△AB E∽△OCE，因此CE OC1=BE AB3=，即BE3CE=.又C E⊥BE，所以BC==，故sin∠CBE＝CE=BC.6．设n是大于1909的正整数，使得19092009nn--为完全平方数的n的个数是（）A.3.B. 4.C. 5.D. 6.【答】B.设2009n a-=，则190910010012009n an a a--==--，它为完全平方数，不妨设为21001ma-=（其中m为正整数），则21001ma=+.验证易知，只有当1,2,3,7m=时，上式才可能成立.对应的a值分别为50，20，10，2.因此，使得19092009nn--为完全平方数的n共有4个，分别为1959，1989，1999，2007.ODC二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知t 是实数，若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是____________.【答】3-.因为,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，所以2(2)4(1)0,10,2,t ab t a b ⎧∆=---≥⎪=-≥⎨⎪+=⎩解得12t ≤≤. 2222222(1)(1)()()1()()21a b ab a b ab a b ab --=-++=-+++22(1)42(1)14t t t =--+-+=-，当1t =时，22(1)(1)a b --取得最小值3-.2．设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E ，作DF//AC 交BC 于点F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.【答】 .设△ABC 的面积为S ,则因为△ADE ∽△ABC ，所以ADAB =. 又因为△BDF ∽△BAC ，所以BDAB =. 1AD BD AB AB =+=1=，解得2S =. 所以四边形DECF 的面积为2m n +--=3．如果实数,a b 满足条件221a b +=，22|12|21a b a b a -+++=-，则a b +=______.【答】1-.因为221a b +=，所以11,11a b -≤≤-≤≤.由22|12|21a b a b a -+++=-可得2222|12|21121a b b a a a a a -+=---=----222a a =--，从而2220a a --≥，解得10a -≤≤.从而120a b -+≥，因此21222a b a a -+=--，即22122(1)b a b +=-=--，整理得2230b b --=，解得1b =-（另一根32b =舍去）. 把1b =-代入212b a +=-计算可得0a =，所以1a b +=-.F BC4．已知,a b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对(,)a b 共有_____对. 【答】 7.2k =（k 为正整数），则215154k b a =+-.令2215q a p =，其中,p q 均为正整数且(,)1p q =.从而2215aq p =，所以2|15q ，故1q =1p=.1m =（其中m 为正整数），则112kp m +=. 又1,1m p ≥≥，所以1122k p m=+≤，所以1,2,3,4k =. （1）1k =时，有1112p m +=，即(2)(2)4p m --=，易求得(,)(4,4)p m =或（3,6）或（6,3）. （2）2k =时，同理可求得(,)(2,2)p m =. （3）3k =时，同理可求得(,)(2,1)p m =或（1,2）. （4）4k =时，同理可求得(,)(1,1)p m =.因此，这样的有序数对(,)a b 共有7对，分别为（240,240），（135,540），（540,135），（60,60），（60,15），（15,60），（15,15）.第二试（A ）一．（本题满分20分）已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P 与y 轴的另一个交点为定点.（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABC S △＝，求b 和c 的值.解（1）易求得点C 的坐标为(0,)c ，设1A(,0)x ，2B(,0)x ，则12x x b +=-，12x x c =.设⊙P 与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是⊙P 的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以O A ×OB ＝O C ×OD ，则121x x c OA OB OD OC c c⨯====.因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为（2）因为AB ⊥C D ，如果AB 恰好为⊙P 的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为(0,1)-，即1c =-. …………………………………15分又12AB x x =-===1122ABC S AB OC =⋅==△，解得b =±. …………………………………20分二．（本题满分25分）设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，1I 、2I 分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC ＝3，BC ＝4，求1I 2I .解作1I E ⊥AB 于E ，2I F ⊥AB 于F.在直角三角形ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB =5=.又C D ⊥AB ，由射影定理可得2AC 9A D =AB 5=，故16BD =AB AD 5-=，12CD =5=. …………………………………5分因为1I E 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以1I E ＝13(AD CD AC)25+-=.…………………………………10分连接D 1I 、D 2I ，则D 1I 、D 2I 分别是∠ADC 和∠BDC 的平分线，所以∠1I DC ＝∠1I DA ＝∠2I DC ＝∠2I DB ＝45°，故∠1I D 2I ＝90°，所以1I D ⊥2I D ，1113I E 5DI sin ADI sin 455===∠︒. …………………………………15分同理，可求得24I F 5=，2D I =. …………………………………20分所以1I 2I=. …………………………………25分三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++=①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=②为三边长可构成一个直角三角形.C证法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b ca b c bc ca ab+-+-+-++++=，即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=， ………………………………10分即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+--+-+=，即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=， ………………………………15分即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc -+----++++=，即222()[2]0b c a ab a b c abc -+--+=，即22()[()]0b c a c a b abc -+--=，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=， …………………………………20分所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=.为三边长可构成一个直角三角形.……………………………25分证法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得222110242()4a b c abc -++=③………………………10分又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=，即16()4096abc ab bc ca =++-. …………………………………15分3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=， …………………………20分所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=.. ……………………………25分第二试（B ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点解因为BN 是∠ABC 的平分线，所以ABN CBN ∠=∠. 又因为C H ⊥AB ，所以CQN BQH 90ABN 90CBN CNB ∠=∠=︒-∠=︒-∠=∠，因此CQ NC =. …………………………………10分又F 是QN 的中点，所以C F ⊥QN ，所以CFB 90CHB ∠=︒=∠，因此C 、F 、H 、B 四点共圆.…………………………………15分又FBH =FBC ∠∠，所以FC ＝FH ，故点F 在CH 的中垂线上. …………………………………20分同理可证，点E 在CH 的中垂线上. 因此E F ⊥CH.又AB ⊥CH ，所以EF ∥AB.…………………………………25分三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试（C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++=①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=②. 解法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b ca b c bc ca ab+-+-+-++++=，即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=， ………………………………10分即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+--+-+=，即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=， ………………………………15分即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc -+----++++=，即222()[2]0b c a ab a b c -+--+=，即22()[()]0b c a c a b -+--=，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=， …………………………………20分所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=.为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.…………………………25分解法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得222110242()4a b c abc -++=③………………………10分又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=，即16()4096abc ab bc ca =++-. …………………………………15分3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=， …………………………20分所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=.为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.……………………………25分。

2009年八年级数学竞赛试卷.doc

八年级数学竞赛试卷1一、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）1、已知数轴上有A，B两点，它们的距离为2，点A与原点O的距离为3，那么所有满足条件的点B与原点O的距离和等于.2、若ab＞0，则的值等于.3、如图，点O在直线AB上，OC，OD，OE，OF是位于AB同一侧的射线，那么在这个图形中，不大于平角的角共有.4、已知关于x，y的方程组为，若x+y=-1，则m= .5、根据指令[s，A]（s≥0，0°＜A＜180°），机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A，再朝其面对的方向沿直线行走距离s，现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，若下指令[4，90°]，则机器人应移动到点.6、有数组（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），…，则第100组的三个数之和为 .7、完成某项工程，甲、乙合做要2天，乙、丙合做要4天，丙、甲合做要2.4天，则甲单独完成此项工程要天.8、如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D点在边BC上，且BD=1，DC=2，则AD= .二、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）9、已知x≠0，则的值是（）A、0B、-2C、0或-2D、0或210、已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为5，若此三角形周长为奇数，则第三边长的最小值为（）A、8B、7C、6D、511、方程组的解的个数为（）A、1B、2C、3D、412、已知一次函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点（-2，0），则不等式ax＞b的解集为（）A、x＞-2B、x＜-2C、x＞2D、x＜213、已知x是实数，则的值是（）A、B、C、D、无法确定的14、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A、两条直角边对应相等B、斜边和一锐角对应相等C、斜边和一条直角边对应相等D、面积相等15、已知函数f（x）=x5+ax3+bx-8，且f（-2）=10，那么f（2）等于（）A、-26B、-18C、-10D、1016、设[x]表示不大于x的最大整数，如[3.4]=3，[2]=2，[-3.4]=-4，则下列结论中，不成立的有几个（）①[x]≤x＜[x]+l；②x-1＜[x]≤x；③[-x]=-[x]；④[2x]=2[x]；⑤[x]+[l-x]=1．A、4B、3C、2D、1三、解答题（共4小题，满分40分）17、两个八位数11111111和99999999的乘积有几个数字是奇数？18、定义新运算“⊕”，对任意实数a，b有，求解方程4⊕x=5．19、如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且，求∠ABC+∠ADC的度数．20、已知：在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为AC中点，AE ⊥BD于E，延长AE交BC于F，求证：∠ADB=∠CDF．。

2009年全国初中数学联赛试题

2009年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题（每小题7分，共42分）1、设17-=a ，则=--+12612323a a a （）.A、24B、25C、1074+D、1274+2、在ΔABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的2倍，且AB=7，AC=8,则BC=（).A、27B、10C、105D、373、[]x 表示不超过x 的最大整数，则方程[]0322=--x x 的解的个数为（）.A、1B、2C、3D、44、设正方形ABCD 的中心为O，在以五个点A、B、C、D、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（).A、143B、73C、21D、745、如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 做半圆的切线AE，则sin∠CBE=（）.A、36B、32C、31D、10106、设n 是大于1909的正整数，则使得n n -20091909-为完全平方数的n 有（）个.A、3B、4C、5D、6二、填空题（每小题7分，共28分）1、已知t 是实数，若b a ,是关于x 的一元二次方程0122=-+-t x x 的两个非负实根，则()()1122--b a 的最小值是________.2、设D 是ΔABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E,作DF//AC 交BC 于点F,已知ΔABC、ΔDBF 的面积分别为n m ,，则四边形DECF 的面积为________.3、如果实数b a ,满足条件22221221,1a b a b a b a -=+++-=+，则=+b a ______.4、设b a 、是正整数，且满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 15152是整数，则这样的有序数对()b a ,共有_____对.第二试一、（20分）已知二次函数)0(2<++=c c bx x y 的图像与x 轴的交点为C,设ΔABC 的外接圆的圆心为P .（1）证明：⊙P 与y 轴的另一个交点为定点；（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径，且ABC S =2,求c b ,的值.二、（25分）设CD 是RtΔABC 的斜边AB 上的高，21I I 、分别是ΔADC、ΔBDC 的内心，AC=3,BC=4,求21I I .三、（25分)已知c b a 、、为正数，且满足32=++c b a ，41=-++-++-+ab c b a ca b a c bc a c b .证明：以c b a 、、三边长可构成一个直角三角形.。

全国初中数学联合数学竞赛试题(2009年)

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线. 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（）．（A ）7 （B ）（C ）（D ）5 【答】（A ）解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得21x ==， 2y ==，所以444y x +=22233y x ++- 2226y x=-+=7．另解：由已知得：2222222()()30()30x x y y ⎧-+--=⎪⎨⎪+-=⎩，显然222y x -≠，以222,y x -为根的一元二次方程为230t t +-=，所以 222222()1,()3y y x x-+=--⨯=- 故444y x +＝22222222[()]2()(1)2(3)7y y x x-+-⨯-⨯=--⨯-= 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的（第3题）图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736（D ）12【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P =. 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条（B ） 8条（C ）10条（D ）12条【答】（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（）．（A（B ）1 （C （D ）a 【答】（B ）解：如图，连接OE ，OA ，OB ．设D α∠=，则 120ECA EAC α∠=︒-=∠．又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒-120α=︒-，所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==．另解：如图，作直径EF ，连结AF ，以点B 为圆心，AB 作⊙B，因为AB ＝BC ＝BD ，则点A ，C ，D 都在⊙B 上，（第4题）由11603022F EDA CBA ∠=∠=∠=⨯︒=︒ 所以2301AE EF sim F sim =⨯∠=⨯︒=5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）．（A ）2种（B ）3种（C ）4种（D ）5种【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是．【答】0a >，或1a <-．解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04a x a x ++++=，依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，，解得，0a >，或1a <-．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔（第8题）D 3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 s y x =-66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ② 由①，②可得 x s 4=，所以4=xs．即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为．【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ．又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，所以 12FN MN AB ==．因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9．另解：如图，过点C 作AD 的平行线交BA 的延长线为E ，延长MF AE 于点N.则E BAD DAC ACE ∠=∠=∠=∠所以11AE AC ==. 又//FN CE ，所以四边形CENF 是等腰梯形，即11(711)922CF EN BE ===⨯+=9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为．【答】163．解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ， BC 边上的高为a h ，则（第8题答案）11()22a ABC ah S abc r ==++△，所以a r ah a b c=++．因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此a a h r DEh BC-=，所以 (1)(1)a a a h r r aDE a a a h h a b c-=⋅=-=-++()a b c a b c +=++，故 879168793DE ⨯+==++（）．另解：ABC S rp ∆==＝=（这里2a b cp ++=）所以112r ==，228ABC a S h a ⨯===△由△ADE ∽△ABC ，得23a a h r DE BC h -===，即21633DE BC === 10．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213⨯，其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<．所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从而13s -＝7．于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；，因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，另解：因为222(104)(104)2104216x y -++=⨯= 则有2(104)21632,y +≤又y 正整数，所以 143y ≤≤令22|104|,|104|,21632a x b y a b =-=++=　则因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6；当22,a b 的个位数是1和1时，则,a b 的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与22a b +的十位数字为3矛盾。

2009-2010学年上学期八年级竞赛数赛数学试题(含答案)97

2009--2010学年上学期八年级竞赛数学试题（总分100分）一、选择题（每小题5分，共30分）1、已知三点A （2,3),B(5，4)，C （-4，1）依次连接这三点，则（） A.构成等边三角形 B.构成直角三角形 C.构成锐角三角形 D.三点在同一直线上2、边长为整数，周长为20的三角形个数是（） **个 B.6个 C.8个 D.123．已知a+b+c≠0，且a+b c =b+c a =a+cb =p ，则直线y=px+p 不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．若交换代数式中的任意两个字母，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a+b+c 就是一个完全对称式.已知三个代数式：①a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)；②ab c ac b bc a 222++；③ac bc ab c b a ---++222．其中是完全对称式的( ) A ．只有①② B ．只有①③C ．只有②③D ．有①②③5．已知=++++++++2009200913312211112222 （） A.1 B.20092008 C ．20102009 D ．200920106．下图是韩老师早晨出门散步时,离家的距离y 与时间x 之间的函数图象,若用黑点表示韩老师家的位置,则韩老师散步行走的路线可能是（）二、填空题（每小题5分，共30分）7．已知正数a,b,c, 满足ab+a+b=bc+b+c=ca+c+a=99,则(a+1)(b+1)(c+1)= . 8．当x ＝3时，函数y=33++qx px 的值是2005，则当x ＝－3时，函数y=33++qx px 的值为 .9．已知62-+x x 是多项式12234-+++-+b a bx ax x x 的因式，则=a ，=b .10．如图，已知Rt △ABC ，∠C ＝90°，∠A ＝30°，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有 . 11．一次函数111+++-=k x k k y （k 为正整数）的图像与x 轴、y 轴的交点是O B A ,,为原点.设Rt △ABO 的面积是k S ，则2009321S S S S ++++ = .12．如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC ＝120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则△AMN 的周长为 .三、解答题（每小题10分，共40分）13．阅读下列解题过程：2545)4()5()45()45()45()45(145122-=-=--=-⨯+-⨯=+；56)5()6(56)56()56()56(156122-=--=-⨯+-⨯=+．请回答下列问题：（1）观察上面的解题过程，请直接写出式子=-+11n n ；（2）利用上面所提供的解法，请化简9101451341231121++++++++++ 的值．第6题图C BA14．已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得△CDE 是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点. 求证：△CMN 是等边三角形.15．设关于x 的一次函数11b x a y +=与22b x a y +=，则称函数)()(2211b x a n b x a m y +++=（其中1=+n m ）为此两个函数的生成函数．（1）当x=1时，求函数1y x =+与y=2x 的生成函数的值；（2）若函数11b x a y +=与22b x a y +=的图象的交点为P ，判断点P 是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．16．我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售。

2009国赛试题及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ，b 满足24242a b a -++=，则a b +等于（）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2【答】C ．解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为20b +=，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（）．（A）12 （B）12 （C ）1 （D ）2 【答】A ．解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以BO BC AB AC=，即 11a a a =+，所以， 210a a --=．由0a >，解得a = 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，只有正数解的概率为（）．（A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）3613 【答】D ．解：当20a b -=时，方程组无解．当02≠-b a 时，方程组的解为62,223.2b x a b a y a b -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226b a a b a b 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a 由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2345612a b =⎧⎨=⎩，，，，，，，共有 5×2＝10种情况；或1456a b =⎧⎨=⎩，，，，共3种情况．又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为3613． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点 B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图象如图2所示，则△ABC 的面积为（）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）32【答】B ．解：根据图像可得BC ＝4，CD ＝5，DA ＝5，进而求得AB ＝8，故S △ABC ＝12×8×4＝16. 5．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ，y ）的组数为（）．（A ）2组（B ）3组（C ）4组（D ）无穷多组【答】C ．解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为22(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根，则判别式∆≥0，且是完全平方数．由 2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0，解得 2y ≤11616.57≈．于是显然，只有216y =时，4∆=是完全平方数，符合要求．当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-；当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x ==．所以，原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩ 223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩ 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k .又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kx ky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相加，得 ()()250003000k x y k x y k +++=，则 237501150003000x y +==+． 7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AH AB的值为．解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ．由题设知13AC AD =，13AB AE =，在△FHA 和△EF A 中， 90EFA FHA ∠=∠=︒，FAH EAF ∠=∠所以 Rt △FHA ∽Rt △EF A ， AH AF AF AE=. 而AF AB =，所以AH AB 13=. 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为．【答】 10．解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯，所以1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=．由123459a a a a a ++++=，可得10b =．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于．【答】7．解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ．故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形，且90ACB ∠=︒．作EF ⊥BC ，垂足为F ．设EF ＝x ，由1452ECF ACB ∠=∠=︒，得CF ＝x ，于是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以E F B F A C B C=，即 201520x x -=，解得607x =．所以7CE ==． 10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．【答】2-．解：设报3的人心里想的数是x ，则报5的人心里想的数应是8x -．于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x --=+，报9的人心里想的数是 16(4)12x x -+=-，报1的人心里想的数是 20(12)8x x --=+，报3的人心里想的数是4(8)4x x -+=--．所以4x x =--，解得2x =-．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．函数22(21)y x k x k =+-+的图象与x 轴的两个交点是否都在直线1x =的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线1x =的右侧时k 的取值范围．解：不一定，例如，当k ＝0时，函数的图象与x 轴的交点为（0，0）和（1，0），不都在直线1x =的右侧． ………………5分设函数与x 轴的两交点的横坐标为12,x x ，则21212(21),x x k xx k+=--=，当且仅当满足如下条件12120,(1)(1)0,(1)(1)0x x x x ∆⎧⎪-+->⎨⎪-->⎩≥ ………………10分时，抛物线与x 轴的两交点都在直线1x =的右侧．由 222(21)40,210,20,k k k k k ⎧--⎪-->⎨⎪+>⎩≥解之，得 1,41,220.k k k k ⎧⎪⎪⎪<-⎨⎪<->⎪⎪⎩≤或 ………………15分所以当2k <-时，抛物线与x 轴的两交点在直线1x =的右侧．………………20分12．在平面直角坐标系xOy 中，我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”，求二次函数2(90)4907y x =--的图象上所有“好点”的坐标．解：设2,y m =22(90)x k -=，m ，k 都是非负整数，则22770114907k m -=⨯=⨯，即 ()()7701149k m k m -+=⨯=⨯． ……………10分则有 701,49077; 1.k m k m k m km +=+=⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩ 解得 1212354,2454,347;2453.k k m m ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 所以 312412342544,444,264,2364,120409;120409;6017209;6017209.x x x x y y y y ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩故“好点”共有4个，它们的坐标是：4441204092641204092544601720923646017209--（，），（，），（，），（，）. ………………20分13．如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．解法1：结论是DF EG =．下面给出证明． ………………5分因为FCD EAB ∠=∠，所以Rt △FCD ∽ Rt △EAB ．于是可得CD DF BE AB=⋅．同理可得 CE EG AD AB =⋅． ………………10分又因为tan AD BE ACB CD CE∠==，所以有BE CD AD CE ⋅=⋅DF EG =．………………20分解法2：结论是DF EG =．下面给出证明．……………… 5分连接DE ，因为90ADB AEB ∠=∠=︒，所以A ，B ，D ，E四点共圆，故 CED ABC ∠=∠． ………………10分又l 是⊙O 的过点C 的切线，所以ACG ABC ∠=∠． ………………15分所以，CED ACG ∠=∠，于是DE ∥FG ，故DF ＝EG ．………………20分14．n 个正整数12n a a a ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<= ；且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．解：设12n a a a ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ，12i n = ，，，．即 12()1n i i a a a a b n +++-=- ．于是，对于任意的1≤i j <≤n ，都有1j ii j a a b b n --=-，从而 1()j i n a a --． ………………5分由于 11200811n n a a b b n n --==--是正整数，故 312251n -⨯． ………………10分由于 ()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++-≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=- ，所以，2(1)n -≤2008，于是n ≤45.结合312251n -⨯，所以，n ≤9． ………………15分另一方面，令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+，…，8871a =⨯+， 982511a =⨯+，则这9个数满足题设要求．综上所述，n 的最大值为9. ………………20分。

2009年南昌市数学竞赛_初二_

2010 年第 4 期
25Biblioteka 求 x 和 y.参考答案
一、 1 D. 易知直线 AB 的解析式为 y = 1 x + 7 . 3 3 当 x = - 4 时, y = 1 . 于是, 点 C 在直线 AB 上. 2 C. 设三角形三边长为 a、 b、 c( a #b #c). 由 a + b + c= 20 a #7 . 又 a + b > a, 2a < 20 a < 10 ,则 7∃a ∃9 . 故可列出 ( a, b, c) = (9 , 9 , 2 ), ( 9 , 8 , 3 ), ( 9 , 7 , 4), ( 9 , 6 , 5), (8 , 8 , 4 ), ( 8 , 7 , 5 ), ( 8 , 6 , 6), ( 7 , 7 , 6), 共八组 . 3 C. 1 001 1 002 因为 3 的个位数字为 3 , 7 的个位 1 003 数字为 9 , 13 的个位数字为 7 , 所以 , N 的个位数字为 9 . 4 B. 如图 3, 过点 B 作 BP % BP, 使 BP % = BP, 联结 P % A. 易得
P% A = PC. 设 PA = k. 则 PB = 2k, PC = P % A = 3k. 联结 PP % . 在 Rt∀PBP % 中, 有 P% PB = 45 且 PP % = 2 2k. 2 2 2 在 ∀P % AP 中 , 有 P % A = P% P + PA . 所以, P% PA = 90 APB = 135 . 5 C. 2 因为 - ( a + 1 ) < 0, 所以, 在每个象限中 , y 随 x 的增大而增大 . 因此, y 1 < y 2. 1 又 ( - 1, y 1 ) 在第二象限中 , 而 , y 在 2 3

全国初中数学竞赛试题

2009年全国初中数学竞赛试题及答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.）1．已知非零实数a，b 满足2242(3)42a b a b a-+++-+=，则a b+等于（）．（A）－1 （B）0 （C）1 （D）22．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（）．（A）512+（B）512-（C）1 （D）23．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组322ax byx y+=⎧⎨+=⎩，只有正数解的概率为（）．（A）121（B）92（C）185（D）36134．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，90B∠=︒. 动点P从点B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y. 把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（）．（A）10 （B）16 （C）18 （D）325．关于x，y的方程22y+x，y）的组数为（）．（A）2组（B）3组（C）4组（D）无穷多组（第4题）（第2题）图1 图2二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AHAB的值为．8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于．10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，,(22y x 且3222221-+=+t t x x . （1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值.（第9题）（第10题）（第7题）12．已知正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和．13．如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．（第13题）14．n 个正整数12n a a a L ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<=L ；且12n a a a L ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.） 1．【答】C ．解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为22(3)0b a b +-=，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．2．【答】A ．解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以BO BCAB AC=，即11aa a =+，所以， 210a a --=．由0a >，解得15a += 3．【答】D ．解：当20a b -=时，方程组无解．（第2题）当02≠-b a 时，方程组的解为62,223.2b x a ba y ab -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226b a a b a b即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2345612a b =⎧⎨=⎩，，，，，，，共有 5×2＝10种情况；或1456a b =⎧⎨=⎩，，，，共3种情况．又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为3613． 4．【答】B ．解：根据图像可得BC ＝4，CD ＝5，DA ＝5，进而求得AB ＝8，故S △ABC ＝12×8×4＝16. 5．【答】C ．解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为 22(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根，则判别式∆≥0，且是完全平方数．由 2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0，解得 2y ≤11616.577≈．于是 2y0 1 4 9 16 ∆11610988534显然，只有216y =时，4∆=是完全平方数，符合要求．当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-；当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x ==．所以，原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩ 223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩ 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k.又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kxky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相加，得()()250003000k x y k x y k +++=，则 237501150003000x y +==+．7．解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ．由题设知13AC AD =，13AB AE =，在△FHA 和△EF A 中， 90EFA FHA ∠=∠=︒，FAH EAF ∠=∠所以 Rt △FHA ∽Rt △EF A ，AH AFAF AE=.而AF AB =，所以AH AB 13=. 8．【答】 10．解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯，所以1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=．由123459a a a a a ++++=，可得10b =．9．【答】6027．解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ．故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形，且90ACB ∠=︒．作EF ⊥BC ，垂足为F ．设EF ＝x ，由1452ECF ACB ∠=∠=︒，得CF ＝x ，于是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以EF BFAC BC =，即 201520x x-=，解得607x =．所以60227CE x ==．10．【答】2-．解：设报3的人心里想的数是x ，则报5的人心里想的数应是8x -．于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x --=+，报9的人心里想的数（第9题）（第10题）（第7题）是 16(4)12x x -+=-，报1的人心里想的数是 20(12)8x x --=+，报3的人心里想的数是4(8)4x x -+=--．所以4x x =--，解得2x =-．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．解：（1）联立2y x =与c x t y --=)12(，消去y 得二次方程2(21)0x t x c --+= ①有实数根1x ，2x ，则121221,x x t x x c +=-=．所以2221212121[()()]2c x x x x x x ==+-+ =221[(21)(23)]2t t t --+-＝21(364)2t t -+． ② ………………5分把②式代入方程①得221(21)(364)02x t x t t --+-+=． ③………………10分t 的取值应满足2221223t t x x +-=+≥0， ④且使方程③有实数根，即22(21)2(364)t t t ∆=---+＝2287t t -+-≥0， ⑤解不等式④得 t ≤-3或t ≥1，解不等式⑤得 222-≤t ≤222+所以，t 的取值范围为222-≤t ≤222+. ⑥ ………………15分(2) 由②式知22131(364)(1)222c t t t =-+=-+. 由于231(1)22c t =-+在222-≤t ≤222+时是递增的，所以，当222t =- 时,2min 3211162(21)2224c -=--+=. ………………20分 12．解：由3192191a +可得31921a -．619232=⨯，且()[]311(1)1(1)(1)(1)a a a a a a a a -=-++=-++-．………………5分因为()11a a ++是奇数，所以6321a -等价于621a -，又因为3(1)(1)a a a -+，所以331a -等价于31a -．因此有1921a -，于是可得1921a k =+．………………15分又02009a <<，所以0110k =L ，，，．因此，满足条件的所有可能的正整数a 的和为11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分13．解法1：结论是DF EG =．下面给出证明． ………………5分因为FCD EAB ∠=∠，所以Rt △FCD ∽ Rt △EAB ．于是可得CDDF BE AB =⋅．同理可得 CEEG AD AB=⋅．………………10分又因为tan AD BEACB CD CE∠==，所以有BE CD AD CE ⋅=⋅，于是可得（第13A 题）DF EG =． ………………20分解法2：结论是DF EG =．下面给出证明．……………… 5分连接DE ，因为90ADB AEB ∠=∠=︒，所以A ，B ，D ，E 四点共圆，故 CED ABC ∠=∠． ………………10分又l 是⊙O 的过点C 的切线，所以ACG ABC ∠=∠． ………………15分所以，CED ACG ∠=∠，于是DE ∥FG ，故DF ＝EG ．14．解：设12n a a a L ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ，12i n =L ，，，．即 12()1n i i a a a a b n +++-=-L ．于是，对于任意的1≤i j <≤n ，都有1j ii j a a b b n --=-，从而 1()j i n a a --． ………………5分由于 11200811n n a a b b n n --==--是正整数，故 312251n -⨯． ………………10分由于 ()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++-L≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=-L ，所以，2(1)n -≤2008，于是n ≤45.结合312251n -⨯，所以，n ≤9． ………………15分另一方面，令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+，…，8871a =⨯+，（第13A 题）982511a=⨯+，则这9个数满足题设要求．综上所述，n的最大值为9. ………………20分。

2009年全国初中数学竞赛江西赛区预赛试题及答案

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3b 23a 0b -a 23b 23a 0b -a 20b -a 23-a 20b -a 2b2-6b -a 23-a 2y b -a 2b 2-6x ＞＜＜或＜＞＞即＞＞由已知，得种情况共，，或种情况共有，，，，3654b 1a ;102521b 65423a ⎩⎨⎧===⨯⎩⎨⎧==2009年全国初中数学竞赛江西赛区预赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）以下每道小题均给出代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填，多填或错填都的0分） 1、已知非零实数a 、b 满足|2a －4|+|b+2|+(a-3)b 2+4=2a ，则a+b 等于（） A 、－1 B 、0 C 、1 D 、2解有题设知a≥3，题设等式化为|b+2|+(a-3)b 2 =0，于是a=3，b=－2，从而a+b=1，选C 2、如图所示，菱形ABCD 边长为a ，点O 在对角线AC 上一点，且OA=a ，OB=OC=OD=1,则a 等于（） A 、5+12 B 、5-12C 、1D 、2 解：∵△BOC∽△ABC，∴B0AB =BC AC 即1a =a a+1∴a 2－a －1=0由于a ＞0，解得a=5+12，选A 3、将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方形骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=+2y 2x 3by ax 只有正数解的概率为（）A 、112B 、29C 、518D 、1336 解当2a －b=0时，方程组无解当2a －b ≠0时，方程组的解为由a 、b 的实际意义为1，2，3，4，5，6可得又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况，故所求概率为1336选D4、如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=90°，动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，把y 看作x 的函数，函数图象如图2所示，则△ABC 的面积为（）A 、10B 、16C 、18D 、32解根据图象可得BC=4,CD=5,DA=5,进而求的AB=8，故 S △ABC =12×8×4=16 选B5、关于x 、y 的方程x 2+xy+y 2=29的整数解（x 、y ）的组数为（） A 、2组 B 、3组 C 、4组 D 、无穷多组解可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为x 2+yx+（2y 2－29）=0 由于该方程有整数根，根据判别式△≥0，且是完全平方数由△=y 2－4(2y 2－29)= －7y 2+116≥0解得y 2≤1167≈16.57显然只有y 2=16时，△=4是完全平方数，符合要求当y=4时，原方程为x 2+4x+3=0，此时x 1=－1，x 2=－3 当y=－4时，原方程为x 2－4x+3=0，此时x 3=1，x 4=3 所以，原方程的整数解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==4-y 3x 4-y 1x 4y 3-x 4y 1-x 44332211；；；选C 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6、一自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎。

2009年全国初中数学联合竞赛试题1

市（区、县）学校姓名性别报考号______________________ （密封装订线内不要答题）
2009年全国初中数学联合竞赛试题
第二试（A ）
（4月12日上午10﹕00——11﹕30）
考生注意：本试共三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分.
一、（本题满分20分）
已知二次函数2
(0y x bx c c )=++<的图象与轴的交点分别
为A 、B ，与轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P. x y
（1）证明：⊙P 与轴的另一个交点为定点.
y （2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且，求b 和的值. 2ABC S △＝c
二、（本题满分25分）
设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，、分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC ＝3，BC ＝4，求.
1I 2I 1I 2I
C
三、（本题满分25分）
已知为正数，满足如下两个条件：
,,a b c 32a b c ++= ①
1
4
b c a c a b a b c bc ca ab +−+−+−++= ②
）题答要不内线订装封密（。

2009年全国初中数学联赛南昌市竞赛试卷(八年级)附答案

2009年全国初中数学联赛南昌市竞赛试卷（八年级）（2009年3月22日上午9：00~11：30）喻老师整理一、选择题（本大题共6小题，每个小题7分，满分42分），每小题均给出四个选项，其中有且仅有一个正确的选项，请将正确的选项的代号填在下表指定的位置1、已知三点A（2,3),B(5，4)，C（-4，1）依次连接这三点，则A、构成等边三角形B、构成直角三角形C、构成锐角三角形D、三点在同一直线上解：AB的解析式为y=13x+73当x= -4时，y=1，即点C在直线AB上，∴选D2、边长为整数，周长为20的三角形个数是（）A、4个B、6个C、8个D、12解设三进行三边为a、b、c且a≥b≥c，a+b+c=20，⇒a≥7，又b+c＞a，2a＜20⇒a＜10，又7≤a≤9，可列出（a、b、c）有：（9，9，2）（9，8，3）（9，7，4）（9，6，5）（8，8，4）（8，7，5）（8，6，6）（7，7，6）共八组，选C3、N=31001+71002+131003，则N的个位数字是（）A、3B、6C、9D、0解31001的个位数字为3，71002的个位数字为9，131003的个位数字为7，∴N的各位数字为9，选C4、P为正方形ABCD内一点，若PA:PB:PC=1：2：3，则∠APB的度数为（）A、120°B、135°C、150°D、以上都不对解：过P作BP’⊥BP，且使BP’=BP，连P’A易得△P’AB≌△PBC,则P’A=PC,设PA=k，则PB=2k，PC=P’A=3k，连PP’,则Rt△PBP’中，∠P’PB=45°且PP’=2 2 k，在△P’AP中有：P’A2=P’P2+PA2,∴∠P ’PA=90°，∴∠APB=135° 选B5、在函数y= -a 2+1x （a 为常数）的图象上有三点：（-1，y 1）（-14 ，y 2）（12 ，y 3），则函数值y 1，y 2，y 3的大小关系是（）A 、y 1＜y 2＜y 3B 、y 3＜y 2＜y 1C 、y 3＜y 1＜y 2D 、y 2＜y 1＜y 3 ∵-（a 2+1）＜0，∴在每个象限，y 随x 的增大而增大，因此y 1＜y 2 又∵（-1，y 1）在第二象限，而（12 ，y 3）在第四象限，∴y 3＜y 1 选C 6、已知a+b+c ≠0，且a+b c =b+c a =a+cb =p ，则直线y=px+p 不经过（） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限解 ⎪⎭⎪⎬⎫=+=+=+bp a c ap c a cp b a 20)()(2=⇒⎭⎬⎫≠++++=++⇒p c b a c b a p c b a因此，直线y=px+p 不可能通过第四象限，选D二、填空题（本大题有4小题，每小题7分，满分28分）请将正确答案填在下表的指定位置7、如果a 是方程x 2-3x+1=0的根，那么分式2a -6a +2a -a -13a的值是；解根据题意a 2-3a+1=0，原式=2a 3(a 2-3a+1)-(a 2+1)3a=-a 2+13a =-1，∴填-1 8、甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录仪表明：当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1.01米，经过计算，这条跑道长度不标准，这这条跑道比100米多；解设跑道实际长为x 米，甲、乙两位机器人的速度分别为v 甲，v 乙，甲距离终点1米时说花的时间为t ，v 乙·t=x-2，于是v 甲v 乙=x-1x-2又设甲到达终点时所花的时间为t ’则v 甲·t ’=x ，v 乙·t ’=x-1.01 于是v 甲v 乙 =x x-1.01 ，因此可得方程x-1x-2 =xx-1.01 ，解得x=101米，因此，这条跑道比100米多1米，填19、根据图中所标的数据，图中的阴影部分的面积是；解有对称性可知5个三角形中的面积为S 0=S ’0, S 1=S ’1, 且S 0S 1=32 即2S 0=3S 1, 又2S 0+S 1=152 即3S 1+ S 1=152 , S 1=258 S 0=4516又S 2+S 1=2,∴S 2=5-S 1=258 填25810、有三个含有30°角的直角三角形，它们的大小互不相同，但彼此有一条边相等，这三个三角形按照从大到小的顺序，其斜边的比为；解设三角形甲的勾=三角形乙的股=三角形丙的弦，则三者的弦分别为2，233 ，1即所求比为2：233 ：1，填2：233 ：1三、解答题（本大题共有3小题，第11小题20分，第12、13小题各25分，满分70分）11、已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得△CDE 是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，求证：△CMN 是等边三角形证明：∵△ACD ≌△BCE ∴AD=BE,AM=BN ……6分又∵△AMC ≌△BNC∴CM=CN,∠ACM=∠BCN ……12分又∠NCM=∠BCN-∠BCM ∠ACB=∠ACM-∠BCM ∴∠NCM=∠ACB=60°∴△CMN 是等边三角形 ……20分12、已知n 是大于1的整数求证：n 3可以写出两个正整数的平方差证明：n 3=（n2 ）2·4n ……8分=（n2 ）2[(n+1)2-（n-1）2] ……15分=[n 2 (n+1)]2-[n2 (n-1)]2 ……20分∵n （n+1），n （n-1）不仅大于1，而且均能被2整除 ∴n 2 (n+1)，n2 (n-1)均为正整数因此，命题得证 ……25分13、已知正整数x 、y 满足条件：2x +1y =a ，（其中，a 是正整数，且x ＜y ）求x 和y解 ∵x ≥1，y ≥2，2x +1y ≤2+12 ，即a ≤212 因此a=1或a=2当a=1是，2x +1y =1，若x=1，则1y =-1，与y 是正整数矛盾，∴x ≠1，若x=2，则1y =0，与y 是正整数矛盾，∴x ≠2 若x ≥3，则2x +1y ≤23 +14 ＜1，与2x +1y =1矛盾，∴x ＜3 综上所述，a ≠1当a=2时有2x +1y =2，若x=1，则1y =0，与y 是正整数矛盾，∴x ≠1 若x ≥3，则2x +1y ≤23 +14 ，与2x +1y =2矛盾，∴x ＜3 因此1＜x ＜3，∴x=2，y=1。

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2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.设1a =，则32312612a a a +--= （ A ）A.24.B. 25.C. 10.D. 12.2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝（ C ）A. B. 10.C.D.3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=的解的个数为（ C ） A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（ B ） A.314. B. 37. C. 12. D. 47.5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则sin ∠CBE ＝（ D ）B. 23. C. 13.D. .6．设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数是（ B ）A.3.B. 4.C. 5.D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知t 是实数，若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是_____3-_______.2．设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E ，作DF//AC 交BC 于点F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.3．如果实数,a b 满足条件221a b +=，22|12|21a b a b a -+++=-，则a b +=__1-____.4．已知,a b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对(,)a b 共有___7__对. DC第二试（A ）一．（本题满分20分）已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P 与y 轴的另一个交点为定点.（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABC S △＝，求b 和c 的值.解（1）易求得点C 的坐标为(0,)c ，设1A(,0)x ，2B(,0)x ，则12x x b +=-，12x x c =.设⊙P 与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是⊙P 的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以O A ×OB ＝O C×OD ，则121x x c OA OB OD OC c c⨯====.因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为(0,1). （2）因为AB ⊥C D ，如果AB 恰好为⊙P 的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为(0,1)-，即1c =-.又12AB x x =-===1122ABC S AB OC =⋅==△，解得b =±.二．（本题满分25分）设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，1I 、2I 分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC ＝3，BC ＝4，求1I 2I .解作1I E ⊥AB 于E ，2I F ⊥AB 于F.在直角三角形ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB =5=.又C D ⊥AB ，由射影定理可得2AC 9A D =AB 5=，故16BD =AB AD 5-=，12CD =5=. 因为1I E 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以1I E ＝13(AD CD AC)25+-=. 连接D 1I 、D 2I ，则D 1I 、D 2I 分别是∠ADC 和∠BDC 的平分线，所以∠1I DC ＝∠1I DA ＝∠2I DC ＝∠2I DB＝45°，故∠1I D 2I ＝90°，所以1I D ⊥2I D，1113I E 5DI sin ADI sin 455===∠︒.同理，可求得24I F 5=，2D I =所以1I 2I=.C三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②. 证法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b ca b c bc ca ab+-+-+-++++=，即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=，即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+--+-+=，即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc -+----++++=，即222()[2]0b c a ab a b c abc -+--+=，即22()[()]0b c a c a b abc -+--=，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=，所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=..证法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得222110242()4a b c abc -++= ③又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=，即16()4096abc ab bc ca =++-. 3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=，所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=..第二试（B ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F.求证：EF ∥AB.解因为BN 是∠ABC 的平分线，所以ABN CBN ∠=∠. 又因为C H ⊥AB ，所以CQN BQH 90ABN 90CBN CNB ∠=∠=︒-∠=︒-∠=∠，因此CQ NC =.又F 是QN 的中点，所以C F ⊥QN ，所以CFB 90CHB ∠=︒=∠，因此C 、F 、H 、B 四点共圆. 又FBH =FBC ∠∠，所以FC ＝FH ，故点F 在CH 的中垂线上. 同理可证，点E 在CH 的中垂线上.因此E F ⊥CH.又AB ⊥CH ，所以EF ∥AB.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试（C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②. 解法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b ca b c bc ca ab+-+-+-++++=，即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=，即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+--+-+=，即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc-+----++++=，NB即222()[2]0b c a ab a b c abc -+--+=，即22()[()]0b c a c a b abc -+--=，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=，所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=.90°.解法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得222110242()4a b c abc -++= ③又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=，即16()4096abc ab bc ca =++-. 3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=，所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=.90°.。

2009年全国初中数学联赛试题及解答

2009年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题1.设1a =−，则32312612a a a +−−=（）A.24.B. 25.C. 10+.D. 12+.2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝（）A..B. 10.C..D. 3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x −−=的解的个数为（） A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）A.314. B. 37. C. 12. D. 47. DC5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则CBE ＝（）sin ∠A.3. B. 23. C. 13.D. 10.6．设是大于1909的正整数，使得n 19092009n n−−为完全平方数的n 的个数是（）A.3.B. 4.C. 5.D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知是实数，若是关于t ,a b x 的一元二次方程221x x t 0−+−=的两个非负实根，则(1的最小值是____________.22)(1)a b −−22|21a b a b a 2．设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E ，作DF//AC 交BC 于点F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为和，则四边形DECF 的面积为______.m n 3．如果实数满足条件，|1,a b 221a b +=2−+++=−，则a b +=______. 4．已知是正整数，且满足,a b 是整数，则这样的有序数对共有对. (,)a b第二试（A）一．已知二次函数的图象与2(0y x bx c c =++<)x 轴的交点分别为A 、B ，与轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.y （1）证明：⊙P 与轴的另一个交点为定点.y （2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且，求和的值.2ABC S △＝b c 二．设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，I 、I 分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC ＝3，BC ＝4，求I .1212I 三．已知为正数，满足如下两个条件：,,a b c 32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab+−+−+−++= ②.第二试（B）一．题目和解答与（A ）卷第一题相同.NB二．已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F.求证：EF ∥AB.三．题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试（C）一．题目和解答与（A ）卷第一题相同. 二．题目和解答与（B ）卷第二题相同. 三．已知为正数，满足如下两个条件：,,a b c 32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +−+−+−++=② .2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题 1．A 2．C 3．C 4．B 5．D 6．B 二、填空题 1． 3−2． 3． 1−4．7第二试（A）一．解（1）易求得点的坐标为，设，，则C (0,)c 1A(,0)x 2B(,0)x 12x x b +=−，12x x c =.设P ⊙与轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是P ⊙的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以OA×OB ＝OC×OD ，则y 121x x c OA OB OD OC c c×====. 因为，所以点C 在轴的负半轴上，从而点D 在轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为(0,1).0c <y y （2）因为AB CD ⊥，如果AB 恰好为P ⊙的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点的坐标为，即.C (0,1)−1c =−又12AB x x =−===，所以12ABC S ==△，解得b =±.二．解作E ⊥AB 于E ，F ⊥AB 于F.1I 2I 在直角三角形ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB =5=.又CD ⊥AB ，由射影定理可得2AC 9A D =AB 5=，故16BD =AB AD 5−=，12CD =5=.C 因为E 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以I ＝1I 1E 13(AD CD AC)25+−=. 连接D 、D 2，则D 1I 、2I 分别是ADC ∠和∠BDC 的平分线，所1I DC ＝∠A ＝∠2I DC ＝∠2I DB 45°∠1I D 2I ＝90°，所以1ID 2D ，1I I D 以∠D ＝，故⊥1I I 1I E 1135DI sin ADI sin 45===5∠°.同理，可求得24I F 5=，2D I 5=. 所以1I 2I =. 三．证法1 将①②两式相乘，得()b c a c a b a b ca b c bc ca ab+−+−+−()8++++=，即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +−+−+−++=，即222222()()()44b c a c a b a b c bc ca ab +−+−+−−+−+=0，即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab−−−−+−++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab −+−−−+−−+++−++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc−+−−−−++++=，即222()[2]0b c a ab a b c abc −+−−+=，即22()[()]b c a c a b abc 0−+−−=，即()()()b c a c a b c a b abc−++−−+=0，所以或或，即0b c a −+=0c a b +−=0c a b −+=b a c +=或c a b +=或. c b a +=.证法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab −−−++=，变形，得222110242()4a b c abc −++=③ 又由①式得，即， 2()1024a b c ++=22210242()a b c ab bc ca ++=−++代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc −−++=，即 16()4096abc ab bc ca =++−.3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c −−−=−+++++−3409625632160=−+×−=，所以或或16a =16b =16c =.结合①式可得b a 或或c b .c +=c a b +=a +=.第二试（B）二．证明因为BN 是∠ABC 的平分线，所以ABN CBN ∠=∠.又因为CH ⊥AB ，所以， CQN BQH 90ABN 90CBN CNB ∠=∠=°−∠=°−∠=∠因此.CQ NC =又F 是QN 的中点，所以CF ⊥QN ，所以CFB 90CHB ∠=°=∠，因此C 、F 、H 、B 四点共圆.又，所以FC ＝FH ，故点F 在CH 的中垂线上.FBH =FBC ∠∠N B同理可证，点E 在CH 的中垂线上. 因此EF CH.⊥又AB CH ⊥，所以EF AB. ∥第二试（C）三．解法1 将①②两式相乘，得()b c a c a b a b ca b c bc ca ab+−+−+−++++()8=，即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +−+−+−++=，即222222()()()44b c a c a b a b c bc ca ab +−+−+−−+−+=0，即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab −−−−+−++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab −+−−−+−−+++−++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc−+−−−−++++=，即222()[2]0b c a ab a b c abc −+−−+=，即22()[()]b c a c a b abc 0−+−−=，即()()()b c a c a b c a b abc−++−−+=0，所以或0b c a −+=0c a b +−=或0c a b−+=，即b ac +=或c a b +=或.c b a +=90°. 解法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab −−−++=，变形，得22211024 ③ 2()4a b c abc −++=又由①式得，即， 2()1024a b c ++=22210242()a b c ab bc ca ++=−++代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc −−++=，即 16()4096abc ab bc ca =++−.3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c −−−=−+++++−3409625632160=−+×−=，所以或或.16a =16b =16c =结合①式可得b a 或c a 或c b c +=b +=a +=.90°.。