化工原理第二章平面力系
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第2章 平面力系
F1
80㎜
y
F2 B
x
解：如图建立坐标系，则
F1 X Y 0 100
2
F2 30 40
F3 50 0
2
Σ 80 140
A
60㎜
C
F3
FR
X Y
7 4
161 .2 N
所以
Y tg X
[例3] 已知：P=10kN, BC=AC=2m，AC与BC相互垂直。 求：在P的作用下AC、BC所受力的大小。 ①选铰链C为研究对象 ②取分离体画受力图 P B C
F1 R sin sin( 180 )
2. 任意个共点力的合成
力多边形法则：把各力矢首尾相接，形成一条有向 折线段（称为力链）。加上一封闭边，就得到一个 多边形，称为力多边形。
F2 F1 F3 F4
结论：RF F F F 1 2 3 4 即：
R F
R
即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合 力的作用线通过各力的汇交点。
平面汇交力系合成与平衡的解析法
一、力在坐标轴上的投影 力 投影 X=Fx=Fcosa ： Y=Fy=Fsina=F cosβ 投影
2
力
2
F Fx Fy
X Fx cos F F
Y Fy cos F F
二、合力投影定理
由图可看出，各分力在x轴 和在y轴投影的和分别为：
Rx X1X2 X4 X
二、平面汇交力系平衡的条件 平面汇交力系平衡的充要条件是：
F2 F1 F3 F5 F4 R
R F 0
在上面几何法求力系的合力中，合 力为零意味着力多边形自行封闭。 所以平面汇交力系平衡的必要与充 分的几何条件是： 力多边形自行封闭
第二章-平面力系
3 1 6 ( k N ) Q 3 7 5 ( k N )
分析讨论：从Qmin=(Gb+FP)/(x+a) 和 Qmax=G(a+b)/x 可 以看出，为了增加起重机的稳定性，可从减小 x 值或 增加 a 值这两个方面来考虑。 其最终目标是，扩大 [Qmin，Qmax ]的区间范围。
平面任意力系的平衡方程及其应用 14
箕斗对轨道的压力大小分别等于FNA与FNB，方向与之 相反。
平面任意力系的平衡方程及其应用 8
• 平面特殊力系的平衡方程
平面汇交力系的平衡方程 力系中所有各力在任意互成垂直的两个坐标轴上投 影的代数和分别等于零。
平面任意力系的平衡方程及其应用 9
例2-4 重G=20kN的物体被绞车吊起，绞车的绳子绕过 光滑的定滑轮B，如图所示。若滑轮由不计重量的杆 AB、BC支持，A、B、C三点都是光滑铰链联接，滑轮 B的大小可忽略不计，试求杆AB和杆BC所受的力。
平面任意力系的主矢(主向量，主矢量)
F F F R i i
i 1 i 1nLeabharlann n平面任意力系的简化
3
主矢与简化中心位置无关。在直角坐标系下的投影 n n 式为 F F , F F Rx ix Ry iy
i 1 i 1
主矢的大小为
2 2 2 2 F ( F ) ( F ) ( F ) ( F ) R Rx Ry ix iy
主矢与x轴所夹之锐角 为
tan | F / F | iy iy
M M M ( F O i O i)
i 1 i 1 n n
附加的平面力偶系可以合成为一个合力偶，其矩为
平面任意力系的简化
平面力系课件
FR F
它与简化中心位置无关。
（2）主矩 力系中各力对简化中心之矩的代数和称为力系对简化
中心的主矩，即
MOMO(F)
它与简化中心的位置有关。
（3）
F' R
主矢和主矩的解析表达式分别为 O
F R F xiF y j
Mo
M OM O (F )(xiF iy yiF ix )
平面力系
4
平面力系的简化结果 •将平面力系向作用面内一点简化，有三种可能结果：合力、合力偶和平衡。
DC彼此以 铰链 C连 接，并
F
各以铰链A，D连接于铅直
A
B
墙上。如图所示。已知杆
C
AC=CB；杆DC与水平线成
45o角；载荷F=10 kN，作
用于B处。设梁和杆的重量
D
忽略不计，求铰链A的约束
力和杆DC所受的力。
平面力系
10
例题
平面任意力系
例 题1
F 解：
A
B
1. 取AB杆为研究对象，受
C
力分析如图。
0
M C (F )
0
式中A、B、C三点不能共线
•平面平行力系的平衡方程
Fy 0
M A( F ) 0
M A (F) 0 MB (F) 0
•式中Y轴与各力平行， A为平面上任一点
•式中A、B连线不能与各力平行。
•平面平行力系有两个独立的平衡方程， 可解两个未知量。
平面力系
13
•解平面力系平衡问题的方法和步骤归纳如下：
B
处的约束反力；（3）连杆AB受的力；
（4）冲头给导轨的侧压力。
F
平面力系
27
例题
平面任意力系
第2章 平面力系(工程力学).
2.力系的分布又对称于此平面。
2.2
§2.0 平面任意力系引论 ※平面力系的分类 1.平面汇交力系：各个力的作用线都汇交于一点。
2．平面平行力系：各个力的作用线都相互平行。 3．平面力偶系：平面内各个力组成了一组力偶。
4.平面任意力系：各个力的作用线在平面内任意分布。
2.3
§2.1 平面任意力系的简化 2.1.1 平面任意力系向一点简化
注意 ：1）由于坐标轴和矩心的选择是任意的，在选择时应遵循以下
原则 （1） 坐标轴应与尽可能多的未知力垂直（或平行）； （2） 矩心应选在较多未知力的汇交点处。
2）列平衡方程时要注意力的投影和力矩的“+、-”号。 3.解平衡方程，求得未知量； 4.校核。
2.18
§2.2 平面力系的平衡方程及其应用 例2．3 悬臂吊车如图 所示，横梁AB长 l=2.5m，自重G1=1.2kN；拉杆CD 倾斜角α =30°，自重不计；电葫芦连同重物共重G2=7.5kN。当电葫芦在图 示位置时平衡，a=2m，试求拉杆的拉力和铰
4）校核 选择B点为矩心，重新计算约束力偶MA
M B (F ) 0, M A - FAy l 0 M A FAy l 50N 2m 100N m
所以计算结果正确，计算结果为正值说明未知力实际方向与图（b）中的方 向相同。
2.17
§2.2 平面力系的平衡方程及其应用 解题方法与步骤 1．确定研究对象，画其受力图； 注意：一般应选取有己知力和未知力共同作用的物体为研究对象，取出分 离体画受力图； 2.选取投影坐标轴和矩心，列平衡方程；
2．平面任意力系平衡方程的其它形式
Fx 0
Fy 0
M O (F ) 0
2.2
§2.0 平面任意力系引论 ※平面力系的分类 1.平面汇交力系：各个力的作用线都汇交于一点。
2．平面平行力系：各个力的作用线都相互平行。 3．平面力偶系：平面内各个力组成了一组力偶。
4.平面任意力系：各个力的作用线在平面内任意分布。
2.3
§2.1 平面任意力系的简化 2.1.1 平面任意力系向一点简化
注意 ：1）由于坐标轴和矩心的选择是任意的，在选择时应遵循以下
原则 （1） 坐标轴应与尽可能多的未知力垂直（或平行）； （2） 矩心应选在较多未知力的汇交点处。
2）列平衡方程时要注意力的投影和力矩的“+、-”号。 3.解平衡方程，求得未知量； 4.校核。
2.18
§2.2 平面力系的平衡方程及其应用 例2．3 悬臂吊车如图 所示，横梁AB长 l=2.5m，自重G1=1.2kN；拉杆CD 倾斜角α =30°，自重不计；电葫芦连同重物共重G2=7.5kN。当电葫芦在图 示位置时平衡，a=2m，试求拉杆的拉力和铰
4）校核 选择B点为矩心，重新计算约束力偶MA
M B (F ) 0, M A - FAy l 0 M A FAy l 50N 2m 100N m
所以计算结果正确，计算结果为正值说明未知力实际方向与图（b）中的方 向相同。
2.17
§2.2 平面力系的平衡方程及其应用 解题方法与步骤 1．确定研究对象，画其受力图； 注意：一般应选取有己知力和未知力共同作用的物体为研究对象，取出分 离体画受力图； 2.选取投影坐标轴和矩心，列平衡方程；
2．平面任意力系平衡方程的其它形式
Fx 0
Fy 0
M O (F ) 0
第2章 平面力系
平面任意力系向一点简化，一般可得到一个主矢 FR ′和一个主
矩 MO，但这并不是最终的简化结果。最终简化结果通常有以下四种
情况：
（1） FR ′=0 ， MO ≠0 表明原力系等效为一个力偶，即力系可简 化为一个合力偶，其力偶矩等于主矩 。
（2） FR ′ ≠ 0 ， MO =0表明原力系等效为一个力，即力系可简化 为一个合力 。
若将力F沿x轴和y轴方向分解，所得分力 、Fy与力F在同轴上的
投影 、Fy大小相等，但力的分力是矢量，而投影是代数量。
Байду номын сангаас
若已知力F的投影 、Fy的值，可反求力F的大小和方向，即
第2章 平面力系
2．合力投影定理
使用规设范在说某刚明体上的A点受F1 、F2 两力的作用，合力为 FR，它们在x
轴的投影分别为 F1x、F2x、FRx，在y轴的投影分别为F1y、F2y、FRy，
如图2-4所示。分析可得
图2-4
第2章 平面力系
将上述结论推而广之，若刚体在某点受到一平面汇交力系
使F用2 、规…范、说Fn 明的作用，它们的合力为 FR，则有
F1、
即合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和
，这就是合力投影定理。
由式（2-3）可得合力的大小和方向为
第2章 平面力系
（3） FR ′ ≠ 0 ， MO ≠0 根据力的平移定理的逆过程，可以将 和 合成为一个合力 。
（4） FR ′=0 ， MO=0表明原力系为平衡力系，则刚体在此力系 作用下处于平衡状态。
第2章 平面力系
使2用.2规.3范说平明面力系的平衡方程及其应用
02平面力系
2 平面力系
本章提要
本章主要研究力的投影和力对点之矩的计 算、合力投影定理、合力矩定理、各种平面力 系的平衡方程及应用、考虑摩擦时物体的平衡。
所谓平面力系是指各力的作用线都在同一平面 内的力系。
在平面力系中，若各力的作用线交于一点，则 称为平面汇交力系(图2.1)； 若各力的作用线相互平行，则称为平面平行力 系(图2.2)； 若各力的作用线既不完全交于一点也不完全相 互平行，则称为平面一般力系(图2.3)。
如果已知力F在直角坐标轴上的投影Fx和Fy，则 力F的大小和方向可由下式确定
F Fx2 Fy2 Fx 力F的指向可由投影Fx和Fy的正负号来确定(见表 2.1)。
如果把力F沿x、y轴分解为两个分力F1、F2，投 影的绝对值等于分力的大小，投影的正负号指明了分 力是沿该轴的正向还是负向。
tan
图2.12
图2.13
图2.14
图2.15
2.2.2 合力矩定理
平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等 于力系中各分力对同一点之矩的代数和。这就是平 面汇交力系的合力矩定理。 如图2.16
图2.16
【例2.8】支架如图2.17所示，已知AB=AC=30cm, BD=15cm,F=100N,α=30°,试分别根据力矩的定义和合力 矩定理求力F对A、B、C三点的力矩。并比较计算结果。 【解】（1） 根据力矩定义计算，由式(2.6)得
R ( Fx )2 ( Fy )2
可知：欲使R=0,必须且只需
∑Fx=0
∑Fy=0
于是得平面汇交力系平衡的必要和充分的解析 条件为：力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上 的投影的代数和都等于零。式(2.5)称为平面汇交力系 的平衡方程。
【例2.3】一梯子AB自重W=100N，重心假定在梯子长度 中点C。梯子的上端A靠在光滑的墙上，下端B放置在与 水平面成40°倾角的光滑斜坡(图2.8(a))。试求梯子在自 身重力作用下平衡时，两端的约束反力。
本章提要
本章主要研究力的投影和力对点之矩的计 算、合力投影定理、合力矩定理、各种平面力 系的平衡方程及应用、考虑摩擦时物体的平衡。
所谓平面力系是指各力的作用线都在同一平面 内的力系。
在平面力系中，若各力的作用线交于一点，则 称为平面汇交力系(图2.1)； 若各力的作用线相互平行，则称为平面平行力 系(图2.2)； 若各力的作用线既不完全交于一点也不完全相 互平行，则称为平面一般力系(图2.3)。
如果已知力F在直角坐标轴上的投影Fx和Fy，则 力F的大小和方向可由下式确定
F Fx2 Fy2 Fx 力F的指向可由投影Fx和Fy的正负号来确定(见表 2.1)。
如果把力F沿x、y轴分解为两个分力F1、F2，投 影的绝对值等于分力的大小，投影的正负号指明了分 力是沿该轴的正向还是负向。
tan
图2.12
图2.13
图2.14
图2.15
2.2.2 合力矩定理
平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等 于力系中各分力对同一点之矩的代数和。这就是平 面汇交力系的合力矩定理。 如图2.16
图2.16
【例2.8】支架如图2.17所示，已知AB=AC=30cm, BD=15cm,F=100N,α=30°,试分别根据力矩的定义和合力 矩定理求力F对A、B、C三点的力矩。并比较计算结果。 【解】（1） 根据力矩定义计算，由式(2.6)得
R ( Fx )2 ( Fy )2
可知：欲使R=0,必须且只需
∑Fx=0
∑Fy=0
于是得平面汇交力系平衡的必要和充分的解析 条件为：力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上 的投影的代数和都等于零。式(2.5)称为平面汇交力系 的平衡方程。
【例2.3】一梯子AB自重W=100N，重心假定在梯子长度 中点C。梯子的上端A靠在光滑的墙上，下端B放置在与 水平面成40°倾角的光滑斜坡(图2.8(a))。试求梯子在自 身重力作用下平衡时，两端的约束反力。
第二章 平面力系的简化与平衡
问题。
在物体系统平衡问题的研究中，一般是对符合可解条件的分 离体先行求解，然后将求得的力通过作用与反作用的关系，转移 到其他物体上作为已知力，逐步扩大已知力的数目，最终使所有 的未知量全部求解。这是求解物系平衡问题的大致顺序。
上式只有一个方程式，可解一个未知量。
第三节
物体系统的平衡
一、静定与静不定问题的概念
工程中常会遇到由若干物体通过一定的约束组成的系统。当整个
系统平衡时，则组成该系统的每个物体均是平衡的。假设系统由n个 物体组成，且每一个物体都受平面一般力系作用。则该系统就可列出 3n个独立的平衡方程，从而求解出3n个未知量。因此，对于所研究的 平衡问题，其未知量的个数少于或等于可列出的独立平衡方程的数目 时，全部未知量都可由静力平衡方程求出，这样的问题称为静定问题。 例如，图2-12a、b所示的结构均为静定问题。反之，如果未知量的个
1) 主矢FR′≠0，主矩MO≠0：力系简化为一个合力FR。由力的平移
定理的逆过程(见图2-4)可知，其主矢FR′与主矩MO可进一步合成为 一个合力FR，合力的大小FR= FR′，合力作用线到简化中心的距离 为
至于合力作用线在O点的哪一侧，则应根据主矢的方向与主矩的转 向确定。
2) 主矢FR′=0，主矩MO≠0：力系简化为一个力偶M。因为主矢为零， 所以原力系不论向哪一点简化均与一个力偶等效。由于力偶对作用面 内任一点之矩恒等于力偶矩，故合力偶矩即等于主矩，且与简化中心 的位置无关。 3) 主矢FR′≠0，主矩MO=0：力系简化为作用于简化中心的一个力 FR。因为主矩为零，所以原力系与作用于简化中心的主矢等效，且
式中，α 为主矢FR′的作用线与x轴之间所夹锐角，其具体指 向由∑Fx与∑Fy的正负确定。 应用力偶的合成法则可以将附加平面力偶系合成为一个合力偶，其 合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代数和，即
02 第二章平面力系
mi 0
[例2-5] 练习册2-7 已知梁AB上作用一力偶，力偶矩为M，梁长为l，梁重不计。 求在图a,b,两种情况下，支座A和B的约束力。
[例2-6] 练习册2-8 在图所示结构中二曲杆自重不计， 曲杆AB上作用有主动力偶，其力偶矩为M， 试求A和C点处的约束反力。
[例2-7] 练习册2-11 滑道摇杆机构受两力偶作用，在图示位置平衡。 已知OO1=OA=0.4m，M1=0.4kN.m, 求另一力偶矩M2。及O、O1处的约束力。
力偶特性二： 力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶 等效），因而也只能与力偶平衡。
2、力偶臂——力偶中两个力的作用线之间的距离。 3、力偶矩——力偶中任何一个力的大 小与力偶臂d 的乘积，加上正负号。
d
力偶矩正负规定： 若力偶有使物体逆时针旋转的趋势，力偶矩取正 号；反之，取负号。在平面内，力偶矩是代数量
平面任意力系实例
Q P 中 心 内 容 ： 力 系 简 化 平 衡 方 程
A
Q
B
+
P
FYA FXA A B FB
§2.2.1 平面任意力系的简化 一、力的平移定理
力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力F 平行移到任一 点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶 的矩等于原来的力 F 对新作用点B的矩。
F4
F1
O
F1 b F2
a
F2
c
F3 F4
d
F3
力多边形自行封闭是平面汇交力系平衡的几何条件
讨论题
平面汇交的两个力三角形中，三个力的关系是否一样？ 用数学式应该怎样表示？
F3 F2 F1
(a)
F3 F2 F1
(b)
思考题
化工原理第二章平面力系
如图所示，平面上作用一力 F ，在同平面内任取一点O， 点O称为矩心，点O到力的作用线的垂直距离h称为力臂。
力对点的矩：
力对点之矩是一个代数量， 它的绝对值恒等于力的大小与力臂的乘积， 它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转向转动 时为正，反之为负。 力 F 对于点O的矩
由右图容易看出，力F对点O的矩的大 小也可用三角形OAB面积的两倍表示， 即
(2)画受力图。
滑轮受到钢丝绳的拉力
＝
＝P；
由于滑轮的大小可忽略不计，故这些力可看作是汇交力系。
(3)列平衡方程 为使每个未知力只在一个轴上有投影， 在另一轴上的投影为零，坐标轴应尽量 取在与未知力作用线相垂直的方向。这 样在一个平衡方程中只有一个未知数， 不必解联立方程，故选取坐标轴如图所 示。 (a)
和
当Ox、Oy两轴不相垂直时，力沿两轴的分力 值上也不等于力在两轴上的投影X、Y。
、
在数
2．平面汇交力系合成的解析法
设由n个力组成的平面汇交力系作用 于一个刚体上。以汇交点O作为坐 标原点，建立直角坐标系Oxy 。
此汇交力系的合力
合矢量投影定理：合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同 一轴上投影的代数和。 由此可得
例2—3 如图所示，重物P＝20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮 B上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并 以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩 擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。
解：(1)取滑轮B为研究对象。 AB、BC两杆都是二力杆，假 设杆AB受拉力、杆BC受压力；
平面汇交力系可简化为一合力．其合力的大小与方向等于各分 力的矢量和(几何和)，合力的作用线通过汇交点。设平面汇交 力系包含n个力，以 表示它们的合力矢，则有
化工设备第二章-力学基础第二讲
结构和构件既要满足强度要求，也要满足刚度要求。 工程中一般以强度控制设计，然后校核刚度。
结构/构件强度的控制参量是应力 工作应力： 构件在可能受到的最大工作载荷作用下的应力。 ( 由力学分析计算得到 ) 极限应力： ys 、 b 材料可以承受的强度指标。 塑性材料： ys ； 脆性材料： b ( 通过材料力学性能的实验得到 ) 强度判据： ( 作用 抗力 )
如果杆件受到的外力多于两个，则杆件不同部分 的横截面上有不同的轴力。
F 1 1 F 1 F 2 2F 2 1 2F 2 2F 3 F
2
3
FN1=F
FN 3 F
3 F 3
FN 2 F
（压力）
轴力图——表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。
Ⅰ f30 f20 4kN 6kN 3kN f10 2kN
三、平面汇交力系
凡各力的作用线均在同一平面内的力系，称为平面力系。各 力的作用线全部汇交于一点的平面力系，称为平面汇交力系。 如图2－11所示，滚筒、起重吊钩受力都是平面汇交力系，它 是最基本的力系。
(1)力在坐标轴上的投影
设力F作于物体的A点，如图2-2（a）所示。在力F所在的平面内取直角坐 标系，从力F的两端A和B分别向轴作垂线，得垂足a和b。线段ab称力F在x轴上的投 影，用Fx表示。同理，从A、B两点分别向y轴引垂线，得到垂足、，线段称为力F 在y 轴上的投影，用Fy表示。
（2）拉压杆件的强度设计
依据强度条件，进行强度设计，包括：
1) 强度校核 =FN/A[] 对初步设计的构件，校核是否满足强度条件。 若强度不足，需要修改设计。 2) 截面设计 AFN/[] 选定材料，已知构件所承受的载荷时， 设计满足强度要求的构件的截面面积和尺寸。 3) 确定许用载荷 FNA[] 已知构件的几何尺寸，许用应力，计算结构或
平面力系的知识点总结
平面力系的知识点总结一、平面力系的基本概念1. 平面力系的定义平面力系是指在一个二维平面内作用的一组力的系统。
这些力可以是来自外界对物体的作用，也可以是物体之间相互作用的力，它们共同作用在一个平面内的物体上。
2. 平面力系的分类根据力的性质和作用方式，平面力系可以分为静力系和动力系。
静力系是指平面内的力平衡系统，各个力之间的合力为零；动力系是指平面内的力不平衡系统，各个力之间的合力不为零。
在实际应用中，我们常常会遇到既有静力又有动力的复杂力系。
3. 平面力系的作用效果平面力系对物体的作用效果可以通过合力和力矩来描述。
合力是力系中所有力的矢量和，描述了力系对物体整体的作用效果；力矩是力系对物体旋转的作用效果，描述了力系对物体的扭转和转动情况。
二、平面力系的性质和特点1. 平面力系的合力性质当一个物体受到多个力的作用时，这些力之间可能会有不同的方向和大小。
因此，了解平面力系的合力性质对于分析物体的受力情况至关重要。
在平面力系中，合力的方向由力的合成规律确定，合力的大小由力的平行四边形法则确定。
2. 平面力系的力矩性质平面力系对物体的扭转和转动作用效果可以通过力矩来描述。
力矩的大小与力的大小、力臂的长度和力的方向都有关系，力矩的方向由右手螺旋法则确定。
对于平面力系，力矩的合成规律和平行四边形法则都是适用的。
3. 平面力系的平衡条件在静力学中，平面力系的平衡条件是一个非常重要的概念。
对于一个平面力系而言，当合力和力矩均为零时，该力系达到平衡状态。
这意味着力系中所有的力相互平衡，物体不会发生加速度和转动。
4. 平面力系的简化和等效在实际应用中，我们常常需要对复杂的平面力系进行简化和等效处理。
这就涉及到平面力系的合成、分解和等效变换。
通过合成、分解和等效处理，我们可以将复杂的力系转化为简单的等效力系，从而更方便地进行分析和计算。
三、平面力系的相关定律和公式1. 力的合成定理和分解定理力的合成定理指出，若几个力作用在物体上，其合力可以通过将这些力按照特定规则进行合成而得到。
第二章 平面基本力系
平衡方程
Fx 0 Fy 0
第一节 平面汇交力系
例2-1 圆筒形容器重量为G，置于托轮A、B
上，如图所示，试求托轮对容器的约束反力。
第一节 平面汇交力系
解：取容器为研究对象,画受力图 容器自重G
托轮对容器是光 滑面约束，其约束 反力为FNA和FNB
FNA
FNB G
第一节 平面汇交力系
B F
a C
Fx
O
Fx
x
Fx=±Fcosa
Fy=±Fsina
y
b1
C
Fy
a1 B
Fx
A
F a
Fy
O
Fx
x
F Fx2 Fy2
tana Fy / Fx
第一节 平面汇交力系
2．合力投影定理
ad=ab+bc-cd 即 Fx=F1x+F2x+F3x Fy=F1y+F2y+F3y
第一节 平面汇交力系
c) 只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变,可 以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短, 而不改变力偶对刚体的作用。
d) 力偶对其作用面内任一点之矩恒为常数，且等 于力偶矩，与矩心的位置无关。
第三节 平面力偶系
二. 平面力偶系的合成和平衡条件
1.平面力偶系的合成 平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干力偶的总称。
M o (Fn ) Fn h Fn r cosa
2）合力矩定理 将力Fn分解为切向力Ft和法(径)向力Fr， 即
Fn Ft Fr
由合力矩定理得：
M o (Fn ) M o (Ft ) M o (Fr ) Ft r 0
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如图所示，平面上作用一力 F ，在同平面内任取一点O， 点O称为矩心，点O到力的作用线的垂直距离h称为力臂。
力对点的矩：
力对点之矩是一个代数量， 它的绝对值恒等于力的大小与力臂的乘积， 它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转向转动 时为正，反之为负。
力 F 对于点O的矩
由右图容易看出，力F对点O的矩的大 小也可用三角形OAB面积的两倍表示， 即
(a)
(b)
(4)求解方程
由式(a)得 由式(b)得
所求结果， 为正值，表示这力的假设方向与实际方向相同， 即杆BC受压。 为负值，表示这力的假设方向与实际方向相 反，即杆AB也受压力。
例 如图所示的压榨机中，杆AB和BC的长 度相等，自重忽略不计。A、B、C处为铰 链连接。已知活塞D上受到油缸内的总压力 为F＝3kN，h＝200mm，l＝1500mm。试 求压块C对工件与地面的压力，以及AB杆 所受的力。
解：先选活塞杆DB为研究对象。设二力杆 AB、BC均受压力。
列出平衡方程 解得 解得
再选压块C为研究对象，通过二力杆BC的
平衡，可知
。按图示坐标轴列出
平衡方程
解得
§2-2 平面力对点之矩, 平面力偶
力对刚体 的作用效应
移动效应 转动效应
1．力对点之矩(力矩)
用力矢来度量 用力对点的矩(简称力矩)来度量
2．平面汇交力系合成的解析法 设由n个力组成的平面汇交力系作用 于一个刚体上。以汇交点O作为坐 标原点，建立直角坐标系Oxy 。
此汇交力系的合力
合矢量投影定理：合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同 一轴上投影的代数和。
由此可得
其中 和 ， 和 ，…， 和 分别为各分力在x和y轴上 的投影。 合力矢的
此时B处的约束反力
(3)从图中可以清楚地看到，当拉力与 垂直时，拉动碾子的 力为最小，即
3 平面汇交力系合成与平衡的解析法
1．力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式
力在某轴的投影，等于力的模乘以力 与投影轴正向间夹角的余弦。
X=Fx=F·cosa Y=Fy=F·sina = F ·cosb
注：力在轴上的投影为代数量，当力与轴间夹角为锐角时，其值为 正；当夹角为钝角时，其值为负。
大小
方向余弦
3．平面汇交力系的平衡方程 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力 等于零，即
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个坐 标轴上投影的代数和分别等于零，即满足平面汇交力系 的平衡方程
（两个独立的方程， 可以求解两个未知量）
例2—3 如图所示，重物P＝20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮 B上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并 以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩 擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。
解：(1)取滑轮B为研究对象。
AB、BC两杆都是二力杆，假 设杆AB受拉力、杆BC受压力；
(2)画受力图。
滑轮受到钢丝绳的拉力 ＝ ＝P； 由于滑轮的大小可忽略不计，故这些力可看作是汇交力系。
(3)列平衡方程 为使每个未知力只在一个轴上有投影， 在另一轴上的投影为零，坐标轴应尽量 取在与未知力作用线相垂直的方向。这 样在一个平衡方程中只有一个未知数， 不必解联立方程，故选取坐标轴如图所 示。
第二章 平面力系
引言
力系分为：平面力系、空间力系
①平面汇交力系 平面力系 ②平面 力偶系
③平面一般力系(平面任意力系) 平面汇交力系：
各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。
T 例：起重机
§2-1 平面汇交力系
1、平面汇交力系合成的几何法、力多边形规则 一、两个共点力的合成
解： ①选碾子为研究对象 ②取分离体画受力图
F
R
(1)由图中几何关系，可求得
故 再由各矢量的几何关系，可得
解得 根据作用与反作用关系，碾子对地面及障碍物的压力分 别等于11.34kN和10kN。
(2)碾子能越过障碍物的力学条件是 离开地面时，其封闭的力三角形为
由几何关系，此时水平拉力
，因此，碾子刚刚
平面汇交力系可简化为一合力．其合力的大小与方向等于各分 力的矢量和(几何和)，合力的作用线通过汇交点。设平面汇交 力系包含n个力，以 表示它们的合力矢，则有
合力 对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。
力 称为该力系的合力。
共线力系：各力的作用线都沿同一直线的力系。
平面汇交力系的特殊情况，它的力多边形在同一直线上。
力系中各力的矢量和等于零
例 如图所示的压路碾子，自重P＝20kN，半径R＝0.6m， 障碍物高h＝0.08m。碾子中心O处作用一水平拉力F。试求： (1)当水平拉力F＝5kN时，碾子对地面及障碍物的压力；(2)欲 将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；(3)力F沿什么 方向拉动碾子最省力，此时力F为多大。
若沿直线的某一指向为正，相反为负，则力系合力的大小 与方向决定于各分力的代数和，即
2、平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充要条件是：该力系的合力等于零。 即
在上面几何法求力系的合力中，合力 为零意味着力多边形自行封闭。所以平 面汇交力系平衡的必要与充分的几何条 件是：
力多边形自行封闭 或
力F沿正交轴Ox、Oy可分解为两个分力 和 时，其分力 与力的投影之间有下列关系:
由此，力的解析表达式为
其中i、j分别为x、y轴的单位矢量。
力矢的
大小
方向余弦
力在轴上的投影X、Y为代数量，而力沿轴的分量
和
为矢量。
当Ox、Oy两轴不相垂直时，力沿两轴的分力 、 在数
值上也不等于力在两轴上的投影X、Y。
显然，当力的作用线通过矩心，即力臂等于零时，它对矩心 的力矩等于零。 力矩的单位常用N·m或kN·m。
由力的平行四边形 法则作，也可用力 的三角形来作。 由余弦定理：
合力方向可应用正弦定理确定：
二、 任意个汇交力的合成
多边形abcde称为此平面汇交力系的力多边 形，矢量 称此力多边形的封闭边。封闭 边矢量 即表示此平面汇交力系合力 的大小与方向(即合力矢)，而合力的作用线 仍应通过原汇交点A。 根据矢量相加的交换律，任意变换各分 力矢的作图次序，可得形状不同的力多 边形，但其合力矢仍然不变。