机械系统动力学作业---平面二自由度机械臂运动学分析资料讲解

机械系统动力学作业---平面二自由度机械

臂运动学分析

平面二自由度机械臂动力学分析

［摘要］机器臂是一个非线性的复杂动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，这里主要对平面二自由度机械臂进行动力学研究。本文采用拉格朗日方程在多刚体系统动力学的应用方法分析平面二自由度机械臂的正向动力学。经过研究得出平面二自由度机械臂的动力学方程，为后续更深入研究做铺垫。

［关键字］平面二自由度机械臂动力学拉格朗日方程

一、介绍

机器人是一个非线性的复杂动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，简化解的过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的时间是一个受到关注的研究课题。

机器人动力学问题有两类：

■ ■■

(1)给出已知的轨迹点上的■J- ■■■■■■，即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩向量Q。这对实现机器人动态控制是相当有用的。

(2)已知关节驱动力矩，求机器人系统相应的各瞬时的运动。也就是说，给出关节力矩

■ ■■

向量T求机器人所产生的运动風&及&。这对模拟机器人的运动是非常有用的。

二、二自由度机器臂动力学方程的推导过程

机器人是结构复杂的连杆系统，一般采用齐次变换的方法，用拉格朗日方程建立其系统动力学方程，对其位姿和运动状态进行描述。机器人动力学方程的具体推导过程如下：

(1)选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量O r , r=l, 2,…,n。

(2)选定相应关节上的广义力F r :当O r是位移变量时，F r为力；当O r是角度变量时, F r为力矩。

(3)求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。

(4)代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。

下面以图1所示说明机器人二自由度机械臂动力学方程的推导过程。

1平更二自由度机械臂

1、分别求出两杆的动能和势能

设齐、B 2是广义坐标，Q i、Q2是广义力。两个杆的动能和势能分别为:

式中，’是杆1质心C i.，\ ）的速度向量，\是杆2质心C i （ ' , J ）的速

度向量。它们可以根据质心C i、C2的位置方程导出

2、分别求出两杆的速度'-I > 1

4- K曲罠+L沖（屍+即] dt 2

莘国血q十奴q十$）】

at

3、代入拉格朗日方程求得机械臂动力学方程

根据具有完整理想约束的有N个广义坐标系统的拉格朗日方程

我孥-兽十竽三2 r = 1.2......................... «

式中q r――第r个广义坐标；E――系统动能；U――系统势能；Q r――对第r个广义

坐标的广义力。

该问题的为二自由度的动力学研究，贝U n=2，且由于势能函数U与广义速度无

关，即

C1-6J 其中：L = E-U i£称対杭格■期日草于

在这个研究中拉格朗日算子为：'1_ ' - __ -

代入式（1-6 ）导出相应的式子，最后整理成

1 - 1 ■■虫

6 —朋泻比

sm q +嘉血(q +$)]ci-a ——(A sin

(1-3)

〔1一4]

（1-5）由（1-5）式可写成:

^11 =沟：+ 4t +旳（百+/； +吗2沖

即 M 说二叫 f ：+f£, co 寥為）+4,,

M" =

，岖

2 =舛：4/

Q =-叫农血$ （创十沏旳* G =如L 血q A gj =叫盅心久十阻凶片皿比+：皿風十即］

务二马®（q 十站）

式（1-7）就是操作臂在关节空间的动力学方程的一般结构形式，它反映了关节力矩与关 节变量、速度、加速度之间的函数关系。对于

n 个关节的操作臂， M 0 ）是nxn 勺正定对称

■

矩阵，是0的函数，称为操作臂的惯性矩阵； C （此旳是nxi 的离心力和科氏力矢量；

g

（ 0） 是nxi 的重力矢量，与操作臂的形位

0有关。

4、操作空间动力学方程

与关节空间动力学方程相对应，在笛卡儿操作空间中可以用直角坐标变量即末端操作

*•

器位姿的矢量 X 表示机器人动力学方程。因此，操作力 F 与末端加速度工之间的关系可表

示为

式中：'

1

'' ；，：

分别为操作空间惯性矩阵、离心力和科氏力矢量、

重力矢量，它们都是在操作空间中表示的； F 是广义操作力矢量。

关节空间动力学方程和操作空间动力学方程之间的对应关系可以通过广义操作力

F 与

广义关节力Q 之间的关系

(1-5)

和操作空间与关节空间之间的速度、加速度的关系式

（1-10 ）求出。

X = J(9) &

■JI

■ ■ || ■

X = 丁⑹日+J 何&

式中

S2

(1-7)

F 二屹（切？+S 侃$ + £⑹

0-3)