两直线平行、重合、相交、垂直的条件

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10.2两条直线平行与垂直的条件

(2)垂直于直线 2x y 3 0 .
10.2.2两条直线垂直的条件
如图，当 l1 l2 时，
（1）斜率均存在时：l1 : y k1x b1 ；l2 : y k2x b2
k1
tan1
BC AB
k2
tan2
tan(π 3 )
tan3
AB BC
所以 k1 k2 1.
（2）如直线 l1 的斜率不存在，即1 90 ，则直线 l2 的倾斜
（1）斜率存在时，l1 : y k1x b1 ；l2 : y k2 x b2（ b1 b2 ）
若 1
平行；
2
0 时，则k1
k2
0，直线
y b1 和直线 y b2
若 1 2 0 时，则 k1 k2 0 ，直线 y k1x b1 和直
线 y k2x b2 平行.
（2）斜率不存在时：l1 : x x1 ，l2 : x x2（ x1 x2 ），
2．P(1,0) 是直线 l上一点，且平行于经过 A(3,5) 和 B(2, 7)两点
的直线，求直线 l 的方程.
3．直线 ax y 5 0 与直线 3x 2y c 0平行，判断 a, c
的取值.
10.2.2两条直线垂直的条件
如图：l1 l2他们的倾斜角之间满足 1 2 90 ，那么他们的斜率之间又存在着什么样的关系呢？
解：（1）两条直线斜率都不存在，即两条直线都与 x 轴垂直，
所以 l1 / /l2 .
（2）l2 可化为y
以 l1 / /l2 .
3x 5，有 kl1
kl2
3
且 bl1
1 bl2
5，所
（3）kl1
2 3
kl2
2 3
，所以 l1与l2 相交

2020年高三理科数学一轮讲义案第九章9.2《两直线的位置关系》附答案解析

2020年高三理科数学一轮讲义案第九章9.2《两直线的位置关系》最新考纲1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.知识梳理1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行. (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应.相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解. 3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d (3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d [微点提醒]1.两直线平行的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0). 2.两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( ) 解析 (1)两直线l 1，l 2有可能重合.(2)如果l 1⊥l 2，若l 1的斜率k 1＝0，则l 2的斜率不存在. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(必修2P114A10改编)两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0之间的距离为( ) A.235B.2310C.7D.72解析由题意知a ＝6，直线3x ＋4y －12＝0可化为6x ＋8y －24＝0，所以两平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72. 答案 D3.(必修2P89练习2改编)已知P (－2，m )，Q (m ，4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________. 解析由题意知 m －4－2－m ＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.答案 14.(2019·郑州调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( ) A.2B.－3C.2或－3D.－2或－3解析直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.答案 C5.(2018·昆明诊断)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( ) A.1 B.2 C. 2D.2 2解析圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y ＝x ＋3得x －y ＋3＝0，则圆心到直线的距离d ＝|－1－0＋3|12＋（－1）2＝ 2.答案 C6.(2019·高安期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A.6x －4y －3＝0 B.3x －2y －3＝0 C.2x ＋3y －2＝0D.2x ＋3y －1＝0解析因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝⎛⎭⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0.答案 A考点一两直线的平行与垂直【例1】 (1)(2019·河北五校联考)直线l 1：mx －2y ＋1＝0，l 2：x －(m －1)y －1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知三条直线2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23 解析 (1)由l 1∥l 2得－m (m －1)＝1×(－2)，得m ＝2或m ＝－1，经验证，当m ＝－1时，直线l 1与l 2重合，舍去，所以“m ＝2”是“l 1∥l 2”的充要条件.(2)由题意得直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点.当直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0分别平行时，m ＝23或－43；当直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时，m ＝－23.所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23.答案 (1)C (2)D规律方法 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件. 2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 【训练1】 (一题多解)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)当l 1∥l 2时，求a 的值； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值.解 (1)法一当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1∥l 2可得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－（a ＋1），解得a ＝－1.综上可知，a ＝－1.法二由l 1∥l 2知⎩⎨⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0，即⎩⎨⎧a （a －1）－1×2＝0，a （a 2－1）－1×6≠0⇒⎩⎨⎧a 2－a －2＝0，a （a 2－1）≠6⇒a ＝－1. (2)法一当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合；当a ≠1时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1⊥l 2，得⎝⎛⎭⎫－a 2·11－a ＝－1⇒a ＝23.法二 ∵l 1⊥l 2，∴A 1A 2＋B 1B 2＝0，即a ＋2(a －1)＝0，得a ＝23. 考点二两直线的交点与距离问题【例2】 (1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为________________.(2)(2019·广州模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________. (3)(2019·厦门模拟)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________.解析 (1)先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1，2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.(2)由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解之得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0，10].(3)依题意知，63＝a －2≠c －1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋（－2）2＝21313，解得c ＝2或－6.答案 (1)5x ＋3y －1＝0 (2)[0，10] (3)2或－6 规律方法 1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程. 2.利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数分别化为相等.【训练2】 (1)(2019·贵阳监测)已知曲线y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过点A (m ，n )，则点A 到直线x ＋y －3＝0的距离为________.(2)(一题多解)直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为________. 解析 (1)由题意，可知曲线y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过点(0，1)，所以A (0，1)，点A (0，1)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|0＋1－3|2＝ 2.(2)法一当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13. ∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意.法二当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0. 当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1，4). ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 答案 (1)2 (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 考点三对称问题多维探究角度1 对称问题的求解【例3－1】若点(a ，b )关于直线y ＝2x 的对称点在x 轴上，则a ，b 满足的条件为( ) A.4a ＋3b ＝0 B.3a ＋4b ＝0 C.2a ＋3b ＝0D.3a ＋2b ＝0解析设点(a ，b )关于直线y ＝2x 的对称点为(t ，0)，则有⎩⎨⎧b －0a －t×2＝－1，b ＋02＝2×a ＋t 2，解得4a ＋3b ＝0.答案 A角度2 对称问题的应用【例3－2】 (一题多解)光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程.解法一由⎩⎨⎧x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2.∴反射点M 的坐标为(－1，2).又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5，0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)，由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.而PP ′的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02，又Q 点在l 上，∴3·x 0－52－2·y 02＋7＝0.由⎩⎨⎧y 0x 0＋5＝－23，32（x 0－5）－y 0＋7＝0，得⎩⎨⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0.法二设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x ＝－23，又PP ′的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x 02－（y ＋y 0）＋7＝0.可得P 点的横、纵坐标分别为 x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813，代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0， ∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.规律方法 1.解决点关于直线对称问题要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，且直线l 与直线MN 垂直.2.如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.3.若直线l 1，l 2关于直线l 对称，则有如下性质：(1)若直线l 1与l 2相交，则交点在直线l 上；(2)若点B 在直线l 1上，则其关于直线l 的对称点B ′在直线l 2上.【训练3】已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为________.解析 A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线所在直线.点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上.设A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎨⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0，3).同理设A 2(x 2，y 2)，易求得A 2(－2，－1). 所以BC 边所在直线方程为2x －y ＋3＝0. 答案 2x －y ＋3＝0[思维升华]1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1，l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法解决问题. [易错防范]1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑.2.在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2时，一定要注意将两方程中x ，y 的系数分别化为相同的形式.数学抽象——活用直线系方程1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.直线系方程的常见类型(1)过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是：y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数且λ≠C )； (3)垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)；(4)过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R ，但不包括l 2). 类型1 相交直线系方程【例1】 (一题多解)已知两条直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点为P ，求过点P 且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程.解法一解l 1与l 2组成的方程组得到交点P (0，2)，因为k 3＝34，所以直线l 的斜率k ＝－43，方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二设所求l 的直线为：4x ＋3y ＋c ＝0，由法一可知：P (0，2)，将其代入方程，得c ＝－6，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.法三设所求直线l 的方程为：x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0，因为直线l 与l 3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0. 类型2 平行直线系方程【例2】求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线方程.解设所求直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠5)，由题意知，2×1＋3×(－4)＋c ＝0，所以c ＝10，故所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0.【例3】已知直线l 1与直线l 2：x －3y ＋6＝0平行，l 1能和x 轴、y 轴围成面积为8的三角形，请求出直线l 1的方程.解设直线l 1的方程为：x －3y ＋c ＝0(c ≠6)，则令y ＝0，得x ＝－c ；令x ＝0，得y ＝c3，依照题意有：12×|－c |×⎪⎪⎪⎪c 3＝8，c ＝±4 3.所以l 1的方程是：x －3y ±43＝0. 【例4】 (一题多解)已知直线方程3x －4y ＋7＝0，求与之平行而且在x 轴、y 轴上的截距和是1的直线l 的方程.解法一设存在直线l ：x a ＋y b ＝1，则a ＋b ＝1和－b a ＝34组成的方程组的解为a ＝4，b ＝－3. 故l 的方程为：x 4－y3＝1，即3x －4y －12＝0.法二根据平行直线系方程的内容可设直线l 为：3x －4y ＋c ＝0(c ≠7)，则直线l 在两坐标轴上截距分别对应的是－c 3，c 4，由－c 3＋c4＝1，知c ＝－12.故直线l 的方程为：3x －4y －12＝0. 类型3 垂直直线系方程【例5】求经过A (2，1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程.解因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋c ＝0，又直线过点A (2，1)，所以有2－2×1＋c ＝0，解得c ＝0，即所求直线方程为x －2y ＝0. 类型4 直线系方程的应用【例6】已知三角形三边所在的直线方程分别为：2x －y ＋4＝0，x ＋y －7＝0，2x －7y －14＝0，求边2x －7y －14＝0上的高所在的直线方程.解设所求高所在的直线方程为2x －y ＋4＋λ(x ＋y －7)＝0，即(2＋λ)x ＋(λ－1)y ＋(4－7λ)＝0，可得(2＋λ)×2＋(λ－1)×(－7)＝0，解得λ＝115，所以所求高所在的直线方程为7x ＋2y －19＝0.【例7】求过直线2x ＋7y －4＝0与7x －21y －1＝0的交点，且和A (－3，1)，B (5，7)等距离的直线方程.解设所求直线方程为2x ＋7y －4＋λ(7x －21y －1)＝0，即(2＋7λ)x ＋(7－21λ)y ＋(－4－λ)＝0，由点A (－3，1)，B (5，7)到所求直线等距离，可得 |（2＋7λ）×（－3）＋（7－21λ）×1－4－λ|（2＋7λ）2＋（7－21λ）2＝|（2＋7λ）×5＋（7－21λ）×7－4－λ|（2＋7λ）2＋（7－21λ）2，整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，解得λ＝2935或λ＝13，所以所求的直线方程为21x －28y －13＝0或x ＝1.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直D.不能确定解析直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率为k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1. 答案 C2.已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( ) A.2B.－2C.12D.－12解析因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a2＝－1，解得a ＝－2.答案 B3.(一题多解)过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( ) A.19x －9y ＝0 B.9x ＋19y ＝0 C.19x －3y ＝0D.3x ＋19y ＝0 解析法一由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得⎩⎨⎧x ＝－197，y ＝37，则所求直线方程为：y ＝37－197x ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.法二设直线方程为x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0，即(1＋2λ)x －(3－λ)y ＋4＋5λ＝0，又直线过点(0，0)，所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，解得λ＝－45，故所求直线方程为3x ＋19y ＝0.答案 D4.从点(2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A.x ＋2y －4＝0B.2x ＋y －1＝0C.x ＋6y －16＝0D.6x ＋y －8＝0解析由直线与向量a ＝(8，4)平行知，过点(2，3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x－2)，其与y 轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于y 轴的对称点为(－2，3)，所以反射光线过点(－2，3)与(0，2)，由两点式知A 正确.答案 A5.(2019·运城二模)在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( ) A.102 B.10 C.5 D.10解析由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，∴MP ⊥MQ ，∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10.答案 D6.(2019·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )A.7B.172C.14D.17解析直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172.答案 B7.已知坐标原点关于直线l 1：x －y ＋1＝0的对称点为A ，设直线l 2经过点A ，则当点B (2，－1)到直线l 2的距离最大时，直线l 2的方程为( )A.2x ＋3y ＋5＝0B.3x －2y ＋5＝0C.3x ＋2y ＋5＝0D.2x －3y ＋5＝0 解析设A (x 0，y 0)，依题意可得⎩⎨⎧x 02－y 02＋1＝0，y 0x 0＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝1，即A (－1，1).设点B (2，－1)到直线l 2的距离为d ，当d ＝|AB |时取得最大值，此时直线l 2垂直于直线AB ，又－1k AB＝32，∴直线l 2的方程为y －1＝32(x ＋1)，即3x －2y ＋5＝0 .答案 B8.一只虫子从点(0，0)出发，先爬行到直线l ：x －y ＋1＝0上的P 点，再从P 点出发爬行到点A (1，1)，则虫子爬行的最短路程是( ) A. 2 B.2 C.3 D.4解析点(0，0)关于直线l ：x －y ＋1＝0的对称点为(－1，1)，则最短路程为（－1－1）2＋（1－1）2＝2.答案 B二、填空题9.(2018·郑州模拟)如果直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，则a ＝________.解析 ∵直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，即直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y －(a －7)＝0平行，∴a 3＝2a －1≠3a －（a －7），解得a ＝3. 答案 310.(2019·安徽四校联考)已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.解析设点M (－3，4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎨⎧b －4a －（－3）＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2，6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案 6x －y －6＝011.(一题多解)(2018·南昌模拟)已知点A (1，0)，B (3，0)，若直线y ＝kx ＋1上存在一点P ，满足P A ⊥PB ，则k 的取值范围是________.解析法一设P (x 0，kx 0＋1)，依题意可得k P A ·k PB ＝－1，即kx 0＋1x 0－1×kx 0＋1x 0－3＝－1，即(k 2＋1)x 20＋(2k －4)x 0＋4＝0，则Δ＝(2k －4)2－16(k 2＋1)≥0，化简得3k 2＋4k ≤0，解得－43≤k ≤0，故k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－43，0. 法二若直线y ＝kx ＋1上存在点P ，满足P A ⊥PB ，则直线y ＝kx ＋1与以AB 为直径的圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，故|2k ＋1|1＋k 2≤1，即3k 2＋4k ≤0，故－43≤k ≤0，k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－43，0. 答案 ⎣⎡⎦⎤－43，0 三、解答题 12.已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2，2).(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.(1)解显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线.∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，∴⎩⎨⎧2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2).(2)证明过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0， ∴M 与Q 不可能重合，即|PM |＝42，∴|PQ |<42，故所证成立.能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2018·丹东二模)已知直线l 1：2x －y ＋3＝0，直线l 2：4x －2y －1＝0和直线l 3：x ＋y －1＝0，若点M 同时满足下列条件：(1)点M 是第一象限的点；(2)点M 到l 1的距离是到l 2的距离的12； (3)点M 到l 1的距离与到l 3的距离之比是2∶ 5.则点M 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫13，2B.⎝⎛⎭⎫13，3718C.⎝⎛⎭⎫19，2D.⎝⎛⎭⎫19，3718 解析设点M (x 0，y 0)，若点M 满足(2)，则|2x 0－y 0＋3|5＝12×|4x 0－2y 0－1|16＋4，故2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0，若点M (x 0，y 0)满足(3)，由点到直线的距离公式，得|2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，故x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0，由于点M (x 0，y 0)在第一象限，故3x 0＋2＝0不符合题意，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12不符合题意；联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝19，y 0＝3718，即点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫19，3718. 答案 D14.(2019·岳阳模拟)已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )且Q (4，0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为( )A.92B.94C.1D.9解析因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，设点Q (4，0)到直线l 的距离为d ，当d ＝|PQ |时取最大值，所以（4－1）2＋（－m ）2＝3，解得m ＝0.所以a ＋c＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝⎛⎭⎫12a ＋2c ＝12·⎝⎛⎭⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12(52＋2c 2a ·2a c )＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号. 答案 B15.若△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，则直线BC 的方程为________.解析由AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0可以知道k AC ＝－2，又A (5，1)，AC 边所在直线方程为2x ＋y －11＝0，联立直线AC 与直线CM 方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3，所以顶点C 的坐标为C (4，3). 设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，由M 在直线2x －y －5＝0上，得2x 0－y 0－1＝0，B 在直线x －2y －5＝0上，得x 0－2y 0－5＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－3，所以顶点B 的坐标为(－1，－3).于是直线BC 的方程为6x －5y －9＝0.答案 6x －5y －9＝016.在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合.若直线l 与直线l 1关于点(2，3)对称，则直线l 的方程是________________.解析由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34，∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点P ⎝⎛⎭⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2，3)的对称点为⎝⎛⎭⎫4－m ，6－b －3m 4， ∴6－b －3m 4＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝18.∴直线l 的方程是y ＝34x ＋18，即6x －8y ＋1＝0.答案 6x －8y ＋1＝0。

两直线的位置关系

两直线的位置关系
两直线的位置关系是指两条直线所占据的空间上的关系。

它可以概括为两直线的位置的具体描述，通常用来描述一条直线如何与另一条直线相对立。

一般来说，两直线的位置关系有六种：相交，平行，重合，相离，垂直，截距。

1.相交意味着两条直线相遇，它们有一个公共点，这个点可以使两条直线成为一条新的直线。

2.平行意味着两条直线一直是看着彼此，而没有公共点，也没有交叉点，因此对任意一点而言，这两条直线之间的距离保持不变。

3.重合意味着两条直线完全重合，即它们位于同一条直线上，有无穷多个交点，一旦给出一个点，就可以推断两条直线交于此点。

4.相离意味着这两条直线分别位于间隔较远的两个不同平面上，彼此不再任何关系，不存在公共点，也不能以任何方式成为一条表示其他直线的新直线。

5.垂直意味着这两条直线虽然是共点，但是它们的斜率垂直，一直不会相遇，也不可能在某一点有公共点，但是它们一直都可以在同一个垂线上。

6.截距意味着这两条直线没有公共点，但是它们都跟同一垂线有一个公共截距，也就是说这两条直线有满足某些条件时会碰到它们的截距。

以上就是关于两直线的位置关系的六中情况的介绍，每种情况都有特定的描述，以便给出解决满足条件的特定解决方案。

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

,
�� -1 �� -0
=
3-0 4-1
,
解得
�� = 3, �� = 4.
所以顶点 D 的坐标为(3,4).
反思解决与平行有关的问题时,常借助于它们的斜率之间的关系来解决,即不重合的两条直线l1与l2平行⇒k1=k2或k1与k2都不存在.
-14-
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
关系都不为零)⇔k1k2=-1
为 0⇒l1⊥l2
-6-
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
12
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【做一做2】已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,且k1=5,l1⊥l2,则
k2=
.
解析:∵l1⊥l2,∴k1k2=-1.
∵k1=5,∴5k2=-1,∴k2=−
1.
-12-
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
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典例透析
题型一题型二题型三题型四
【变式训练1】顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点所组
成的图形是( )
A.平行四边形 B.直角梯形
C.等腰梯形
D.以上都不对
解析:因为
kAB=
5-3 2-(-4)
=
13,kCD=
0-3 -3-6
=
1,
3
所以 AB∥CD.
又
kAD=
0-3 -3-(-4)
=
−3,kBC=
3-5 6-2
=
−
1,
2
所以 kAD≠kBC,kAD·kCD=-1,

平行线和垂直线

平行线和垂直线
平面几何中有两条相交的直线，它们之间有以下几种关系：平行、垂直、交错、夹角等。

本文将重点介绍平行线和垂直线的性质
和判定方法。

一、平行线
1. 定义：如果两条直线在同一平面内且不重合，在这个平面内
如果没有一点既在其中一条直线上又在另一条直线上，则这两条直
线互相平行。

2. 性质：
- 平行线永不相交。

- 同一平面内，通过一点，只能有一条直线与给定的直线平行。

- 平行线与平面垂线垂直。

3. 判定方法：
- 两条直线的斜率相等且截距不相等，则这两条直线平行。

- 如果一条直线与另一条直线平行，则与这两条直线垂直的直
线也互相平行。

二、垂直线
1. 定义：两条直线在同一平面内且相交于一点，如果这个交点
的四个相邻角（相邻的角是两个角共用一条边的两个角）中有两个
互为补角，则这两条直线互相垂直。

2. 性质：
- 垂直线交于一点时，交点处的四个角都是直角。

- 两条互相垂直的直线在同一平面内，它们的方向互相垂直。

3. 判定方法：
- 根据定义，可以通过求出两条直线所在平面的法向量，判断
它们是否垂直。

- 如果两条直线的斜率之积为-1，则这两条直线垂直。

以上是平行线和垂直线的简介，掌握了这两个概念和判定方法，可以更好地理解和解决平面几何中的问题。

初中证明直线垂直、平行的方法

证明两条直线垂直（直角）的常用方法（一）相交线与平行线1.定义法：两条直线相交成直角则两直线垂直。

2.两条平行线中有一条垂直第三直线，则另一条也垂直第三直线。

即：若a‖b，a⊥c，则b⊥c。

3.邻补角的平分线互相垂直。

4.到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

（二）三角形5.证直角三角形：直角三角形的两直角边互相垂直。

①三角形的两内角互余，则第三个内角为直角。

②三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这边所对的内角为直角。

③勾股定理的逆定理：三角形一边的平方等于其他两边的平方和，则这边所对的内角为直角。

6.三线合一法：等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

7.三角形相似法：证一个三角形与直角三角形相似。

8.三角形全等法：证一个三角形与直角三角形全等。

（三）四边形9.矩形的两邻边互相垂直。

10.菱形的两条对角线互相垂直平分，且平分每一组对角。

（四）圆12.半圆或直径所对的圆周角是直角。

13.圆的切线垂直于过切点的半径。

（五）图形变换法14.轴对称图形的对称轴垂直平分对应点之间的连线。

15.同一法或反证法（不要求掌握）证明直线平行的常用方法（一）平行线与相交线：1.在同一平面内，两条不相交的直线互相平行。

2.在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行。

3.平行于同一直线的两直线互相平行。

4.平行线的判定方法：（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行。

（二）三角形5.三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。

6.一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，则这条直线平行于三角形的第三边。

（三）四边形7.平行四边形的两组对边互相平行。

8.梯形的两底边平行。

9.梯形的中位线平行于两底。

（四）同一法或反证法（不要求掌握）证明两线段相等的常用方法（一）三角形1.等角对等边：两线段在同一三角形中，证明等腰或等边三角形。

人教版高数必修二第9讲：两条直线的位置关系(教师版)

两条直线的位置关系一、两直线平行、相交与重合的条件1．已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2i ＋B 2i ≠0，i ＝1,2)． (1)l 1与l 2相交的条件：A 1B 2-A 2B 1≠0或．(A 2B 2≠0)(2)l 1与l 2平行的条件：A 1B 2-A 2B 1=0而B 1C 2-B 2C 1≠0或A 2C 1-A 1C 2≠0; 或(A 2B 2C 2≠0(3)l 1与l 2重合的条件：A 1= A 2, B 1= B 2, C 1= C 2 ( ) 或．(A 2B 2C 2≠0)2.已知两直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2. (1)l 1∥l 2的条件：k 1＝k 2且b 1≠b 2.(2)l 1与l 2重合的条件：k 1＝k 2且b 1＝b 2. (3)l 1与l 2相交的条件：k 1≠k . 二、两直线垂直的条件1．两直线垂直的条件 (1)l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2i ＋B 2i ≠0)， l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.(2)l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2， l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. 类型一两条直线平行例1：判断下列各组中两条直线的位置关系．(1)l 1：y ＝3x ＋4，l 2：2x －6y ＋1＝0；(2)l 1：2x －6y ＋4＝0，l 2：y ＝x 3＋23；(3)l 1：(2－1)x ＋y ＝3，l 2：x ＋(2＋1)y ＝2； (4)l 1：x ＝5，l 2：x ＝6.解析：有两条直线的位置关系判定公式判定直线的关系.答案：(1)A 1＝3，B 1＝－1，C 1＝4；A 2＝2，B 2＝－6，C 2＝1.∵A 1A 2≠B 1B 2，∴l 1与l 2相交．(2)A 1＝2，B 1＝－6，C 1＝4；把l 2化为x －3y ＋2＝0，∴A 2＝1，B 2＝－3，C 2＝2. ∵A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2，∴l 1与l 2重合． (3)A 1＝2－1，B 1＝1，C 1＝－3；A 2＝1，B 2＝2＋1，C 2＝－2.∵A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，∴l 1与l 2平行．(4)l 1与l 2平行．练习1：判定下列每组中所给两直线l 1与l 2的位置关系．(1)l 1：x ＋2y －3＝0，l 2：2x ＋4y ＋1＝0.(2)l 1：y ＝－3x ＋1，l 2：y ＝13x ＋2.(3)l 1：2x －3y ＋1＝0，l 2：4x －6y ＋2＝0. 答案：(1)平行 (2)相交 (3)重合练习2：下列命题：①若直线1l 与2l 的斜率相等，则12//l l ；②若直线12//l l ，则两直线的斜率相等；③若直线12,l l 的斜率均不存在，则12//l l ；④若两直线的斜率不相等，则两直线不平行；⑤如果直线12//l l ，且1l 的斜率不存在，那么2l 的斜率也不存在．其中正确命题的序号为 ___ ．答案：④⑤例2、已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，直线l 1与l 2 (1)相交；(2)平行；(3)重合．解析：充分利用条件，但要考虑直线垂直于x 轴或平行于x 轴的情况．答案：当m ＝0时，则l 1：x ＋6＝0，l 2：2x －3y ＝0，∴l 1与l 2相交；当m ＝2时，则l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：3y ＋4＝0， ∴l 1与l 2相交；当m ≠0，m ≠2时，A 1A 2＝1m －2，B 1B 2＝m 3，C 1C 2＝62m.当A 1A 2＝B 1B 2时，1m －2＝m3，解得m ＝－1，或m ＝3.当A 1A 2＝C 1C 2时，1m －2＝62m，解得m ＝3. 综上所述，(1)当m ≠－1，且m ≠3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫A 1A 2≠B 1B 2方程组有惟一解，l 1与l 2相交； (2)当m ＝－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫A 1A 2＝B 1B 1，A 1A 2≠C 1C 2方程组无解，l 1与l 2平行； (3)当m ＝3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2方程组有无数组解，l 1与l 2重合．练习1：(2014·辽宁大连市第三中学高一期末测试)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则实数a 的取值是( )A ．－1或2B ．0或1C ．－1D ．2答案：∵l 1∥l 2，∴a (a －1)－2＝0， ∴a ＝－1或2.当a ＝2时，l 1与l 2重合，∴a ＝－1.练习2：已知两直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋(a ＋4)y ＋2＝0，若l 1∥l 2，求a 的值．答案：当a ＝－4时，l 1：4x －3y ＋3＝0与l 2：4x ＋2＝0不平行，∴a ≠－4.∵l 1∥l 2，∴－a 3＝－4a ＋4，∴a 2＋4a －12＝0，∴a ＝2或a ＝－6.当a ＝－6时，l 1：－6x ＋3y －3＝0，即2x －y ＋1＝0，l 24x －2y ＋2＝0，即2x －y ＋1＝0，此时l 1与l 2重合，∴a ≠－6.当a ＝2时，l 1：2x ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y ＋2＝0，即2x ＋3y ＋1＝0，∴l 1∥l 2. 综上可知，a ＝2.例3：试求三条直线ax ＋y ＋1＝0，x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0构成三角形的条件．解析：三条直线构成三角形，则任两条直线都相交，且不能相交于一点．答案：解法一：任两条直线都相交，则a 1≠1a ，a 1≠11，故a ≠±1. 且三条直线不共点，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋1＝0x ＋y ＋a ＝0的交点(－1－a,1)不在ax ＋y ＋1＝0上，即a (－1－a )＋1＋1≠0，a 2＋a －2≠0，(a ＋2)(a －1)≠0，∴a ≠－2且a ≠1，综合上述结果，此三条直线构成三角形的条件是a ≠±1，a ≠－2.解法二：∵三条直线能构成三角形，∴三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点，若l 1、l 2、l 3交于一点，则l 1：x ＋y ＋a ＝0与l 2：x ＋ay ＋1＝0的交点P (－a －1,1)在l 3：ax ＋y ＋1＝0上， ∴a ·(－a －1)＋1＋1＝0，∴a ＝1或a ＝－2.若l 1∥l 2，则有1a ＝1，a ＝1.若l 1∥l 3，则有1a ＝1，a ＝1. 若l 2∥l 3，则有1a＝a ，a ＝±1.∴l 1、l 2、l 3构成三角形时，a ≠±1，a ≠－2.练习1：三条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：x －y ＝0，l 3：x ＋ay －3＝0能构成三角形，求实数a 的取值范围．答案：∵kl 1＝－1，kl 2＝1，∴当a ＝±1时，l 3与l 1、l 2中一条平行，此时三条直线不能构成三角形．又l 1与l 2交点为(1,1)，若点(1,1)在l 3上，则a ＝2，综上可知：a ≠2，且a ≠±1时，三条线可构成三角形．练习2：直线l 经过2320x y -+=和3420x y --=的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程．答案：由23203420x y x y -+=⎧⎨--=⎩ 得410x y =⎧⎨=⎩∴交点坐标是()14,10∵直线l 与两坐标轴围成等腰直角三角形 ∴其斜率为1± ∴所求直线的方程为：()1014y x -=±- 即40x y --=或240x y +-=类型二两条直线垂直例4：当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？解析：在利用k 1·k 2＝－1判定垂直关系时，一定要注意直线的斜率是否有可能不存在这一情况．答案：解法一：①当1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直；②当2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直；③若1－a ≠0且2a ＋3≠0，则直线l 1、l 2的斜率k 1、k 2存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3.当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋21－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －12a ＋3＝－1，∴a ＝－1. 综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.解法二：∵直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1. 故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.练习1：判断下列各组中两条直线l 1与l 2是否垂直． (1)l 1：2x －y ＝0，l 2：x －2y ＝0；(2)l 1：2x －4y －7＝0，l 2：2x ＋y －5＝0； (3)l 1：2x －7＝0，l 2：6y －5＝0. 答案：(1)不垂直．∵k 1＝2，k 2＝12，∴k 1k 2＝1，故l 1与l 2不垂直． (2)垂直．k 1＝12，k 2＝－2，∴k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1：x ＝72，l 2：y ＝56，故l 1⊥l 2.练习2：如图，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，则l 2的斜率为( )A ．－33B.33C ．－ 3D. 3 答案：C例5：若直线(a ＋2)x ＋(1－a )y ＝a 2(a >0)与直线(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a 等于( )A ．1B ．－1C ．±1D ．2解析：由题意得，(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，即a 2＝1，又∵a >0，∴a ＝1. 答案：A练习1：若直线l 1：(2a ＋5)x ＋(a －2)y ＋4＝0与直线l 2：(2－a )x ＋(a ＋3)y －1＝0互相垂直，则( )A ．a ＝2B ．a ＝－2C ．a ＝2或a ＝－2D ．a ＝2,0，－2 答案：C练习2：已知直线2ax ＋y －1＝0与直线(a －1)x ＋ay ＋1＝0垂直，则实数a 的值等于( )A.12B.32C ．0或12D ．0或32答案：C1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0 答案：A 2．经过两条直线2x ＋y －4＝0和x －y ＋1＝0的交点，且与直线2x ＋3y －1＝0平行的直线方程是( )A ．2x ＋3y －7＝0B ．3x －2y ＋1＝0C ．2x ＋3y －8＝0D ．2x －3y ＋2＝0 答案：C3．直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m 的值为( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3 答案：C4．直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0垂直，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2 答案：B5．过点P (－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋7＝0 答案：B6. 以A (－2,1)、B (4,3)为端点的线段的垂直平分线的方程是( )A ．3x －y ＋5＝0B ．3x －y －5＝0C ．3x ＋y －5＝0D ．3x ＋y ＋5＝0 答案：C7. l 1过点A (m,1)、B (－3,4)，l 2过点C (0,2)、D (1,1)，且l 1∥l 2，则m ＝________. 答案：08.求过直线x －y －2＝0和4x －2y －5＝0的交点且与直线2x ＋3y ＋5＝0垂直的直线方程．答案：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝04x －2y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝－32.∴过点(12，－32)且与直线2x ＋3y ＋5＝0垂直的直线方程为y ＋32＝32(x －12)，即6x －4y －9＝0._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．若直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－16，12B.⎝⎛⎭⎫－12，12C.⎝⎛⎭⎫0，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，－16∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案：A2．对于直线ax ＋y －a ＝0(a ≠0)，以下说法正确的是( )A ．恒过定点，且斜率与纵截距相等B ．恒过定点，且横截距恒为定值C ．恒过定点，且与x 轴平行D ．恒过定点，且与x 轴垂直答案：B3．和直线3x ＋4y －7＝0垂直，并且在x 轴上的截距是－2的直线方程是________________．答案：4x －3y ＋8＝0 4．下列命题：①若两条直线平行，则其斜率必相等；②若两条直线垂直，则其斜率的乘积必是1-；③过点()1,1-且斜率为2的直线方程是121y x -=+；④同垂直于x 轴的两条直线都和y 轴平行或重合．其中真命题的由．答案：④5．已知三角形三顶点A (4,0)、B (8,10)、C (0,6)，求：(1)AC 边上的高所在的直线方程； (2)过A 点且平行于BC 的直线方程．答案：(1)k AC ＝6－00－4＝－32，∴AC 边上的高所在的直线的斜率k ＝23，其方程为y －10＝23(x －8)，即2x －3y ＋14＝0.(2)k BC ＝6－100－8＝12，∴过A 点且平行于BC 的直线方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.能力提升6．设P 1(x 1，y 1)是直线l ：f (x ，y )＝0上一点，P 2(x 2，y 2)是不在直线l 上的点，则方程f (x ，y )＋f (x 1，y 1)＋f (x 2，y 2)＝0所表示的直线与l 的关系是( )A ．平行B ．重合C ．相交D ．位置关系不确定答案：A7. 设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|y －3x －1＝2，x 、y ∈R ，B ＝{(x ，y )|4x ＋ay －16＝0，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，则a 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－2D ．－4或2答案：C8. 已知直线3ax －y ＝1与直线⎝⎛⎭⎫a －23x ＋y ＋1＝0互相垂直，则a 的值是( ) A ．－1或13B ．1或13C ．－13或－1D ．－13或1答案：D 由(2m ＋1)x －(m －2)y ＋5(m ＋2)＝0，得m (2x －y ＋5)＋(x ＋2y ＋10)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋5＝0x ＋2y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－3.故无论m 取何值，直线(2m ＋1)x －(m －2)y ＋5(m ＋2)＝0都过定点(－4，－3)．9. 无论m 取何值，直线(2m ＋1)x －(m －2)y ＋5(m ＋2)＝0都过定点________．答案：(－4，－3)10. 已知直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －5y ＋C ＝0垂直相交于点(1，m )，则a ＝________，C ＝________，m ＝________.答案：∵直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －5y ＋C ＝0垂直，∴－a 2·25＝－1，∴a ＝5.又∵点(1，m )在直线5x ＋2y －1＝0上，∴m ＝－2.又∵点(1，－2)在直线2x －5y ＋C ＝0上， ∴C ＝－12.11. 平行四边形的两邻边的方程是x ＋y ＋1＝0和3x －y ＋4＝0，对角线的交点是O ′(3,3)，求另外两边的方程．答案：建立如图所示的直角坐标系，根据⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝03x －y ＋4＝0，得顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，14.因为O ′是对角线AC 的中点，且O ′为(3,3)，所以顶点C 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫294，234.由x ＋y ＋1＝0知，k AB ＝－1，所以k CD ＝－1，由点斜式得y －234＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －294，即x ＋y －13＝0.因为k AD ＝3，所以k BC ＝3，由点斜式得y －234＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －294，即3x －y －16＝0，∴另外两边的方程分别为x ＋y －13＝0,3x －y －16＝0.12.已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0.求：(1)顶点C 的坐标； (2)直线BC 的方程．答案：(1)设点C 的坐标为(m ，n )，∵k BH ＝12，∴k AC ＝－2，∴n －1m －5＝－2. 又点C (m ，n )在直线2x －y －5＝0上， ∴2m －n －5＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2m －n －5＝0n －1m －5＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4n ＝3.∴点C 的坐标为(4,3)．(2)设点B 的坐标为(a ，b )，则a －2b －5＝0，AB 的中点M 的坐标为(a ＋52，1＋b2)，∴2×a ＋52－1＋b2－5＝0，即2a －b －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧a －2b －5＝02a －b －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－3.∴点B 的坐标为(－1，－3)， ∴直线BC 的方程为y －3－3－3＝x －4－1－4，即6x －5y －9＝0.。

平行线和垂直线的解题技巧和方法

地理学
在地图制作中，利用平行线间距离的计算可以确定不同地理位置之间的相对距离和方向。
03
CATALOGUE
垂直线间角度关系分析
垂直线与水平线间角度关系
垂直线与水平线形成的角度
当一条直线与水平线垂直时，它与水平线形成的角度为90度。
角度的性质
在垂直线与水平线的交点上，两个锐角的角度和为90度。
平行线和垂直线的解题技巧和方法
目录
• 平行线与垂直线基本概念 • 平行线间距离计算 • 垂直线间角度关系分析 • 平行线与垂直线在几何图形中应用 • 解题技巧总结与提高
01
CATALOGUE
平行线与垂直线基本概念
定Hale Waihona Puke 及性质平行线定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
。
垂直线定义
两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直
是两条平行线。
使用方法
首先确定两条平行线的方程，然后提取出a、b、c1和c2的值，代入公式进行计算即可得到平行线间的距离。
注意事项
在使用公式时，要确保两条直线是平行的，即它们的斜率相等。
特殊情况下距离计算
水平线和竖直线间的距离
当两条平行线中有一条是水平线或竖直线时，可以直接使用点到直线的距离公式进行计算。
图形表示
平行线的图形表示
用两条平行的直线表示，通常标注为 “//”。
垂直线的图形表示
用两条相交的直线表示，标注为 “⊥”，表示两直线垂直相交。
02
CATALOGUE
平行线间距离计算
公式法求距离
公式介绍
平行线间距离的公式为d = |c1 c2| / √(a^2 + b^2)，其中ax + by + c1 = 0和ax + by + c2 = 0

两直线相交平行与重合的条件

两条直线相交、平行与重合的条件课标导航1．会通过解方程组发现直线相交、平行、重合的条件2．会用两条直线相交、平行或重合的条件判断两直线的位置关系3．理解用代数方法推导平行条件的思路自主预习1．已知直线0:1111=++C y B x A l ,2l ：0222=++C y B x A ,则有11l 与2l 相交⇔ ;21l 与2l 平行⇔31l 与2l 重合⇔2．已知直线1l ：11y 22211l ∥2l ⇔ ；21l 与2l 重合⇔21k k =且21b b =;典例分析例1：根据下列条件,判断直线1l 与2l 是否平行;11l 经过点)1,2(A ,)5,3(-B ,2l 经过点)33(-，C ；)78(-，D21l 的斜率为3,2l 经过点)31(，M ,)322(--，N ;变式练习1：判断直线1l 与2l 是否平行：11l 平行于y 轴,2l 经过点)2,0(-P ,)5,0(Q ；21l 经过点)1,0(E ,)1,2(--F ,2l 经过点)4,3(G ,)3,2(H ;例2：求实数m 、n 的值,使直线1l ：08=++n y mx ,2l ：012=-+my x 互相平行;变式练习2：当时,直线1l ：062=++y m x ,2l ：023)2(=++-m my x m 相互平行; 例3：求过直线1l ：01=+-y x 与2l ：052=-+y x 的交点且斜率为－1的直线的方程;变式练习3：求过直线1l ：012=++y x 与2l ：023=-+y x 的交点和原点的直线的方程;基础达标1．下列与直线012=+-y x 平行的是A ．012=++y xB ．012=+-y xC ．0224=+-y xD ．0124=+-y x2．直线014=-+y ax 与直线03=--c y x 重合的条件是A ．≠=c a ,120B ．41,12=-=c aC ．41,12-=-=c a D ．41,12-≠-=c a 3．直线033)1(2=-++m y x m 和直线023=+-m y x 的位置关系是A ．平行B ．重合C ．相交D ．不确定4．平行于直线02=++c ay ax 且过点)2,1(-P 的直线方程为 ;5．直线1l ：06=++my x 与直线2l ：023)2(=++-m y x m 互相平行,则实数=m;6．对于直线l 上任一点y x ,,点)3,24(y x y x ++也在直线l 上,求直线l 的方程;能力提高1．平行于直线0334=-+y x ,且不过第一象限的直线的方程是A ．0743=++y xB ．0734=++y xC ．04234=-+y xD ．04243=-+y x2．过点M 1,4,N a ,22+a 的直线与直线032=--y x 平行,则必有A ．1=aB ．1≠aC ．1-=aD ．1-≠a3．已知直线1l 过点A 1,1,B 3,a ,直线2l 过点C 2,2,D a +3,4,若1l ∥2l ,=a ;4．求与直线0532=++y x 平行,且在两坐标轴上的截距之和为65的直线的方程;两条直线相交、平行与重合的条件自主预习102221≠-B A B A 或21A A ≠21B B 022≠B A 201221=-B A B A 而02121≠-B C C B 或02112≠-C A C A 21A A =21B B ≠21C C 0222≠C B A 3)0(,,212121≠===λλλλC C B B A A 21A A =21B B =21C C 0222≠C B A 典型例题例1：解：1因为1514325k -==---,2734835k -+==--,12k k =,且A,B,C,D 四点不共线,所以 1l ∥2l2因为1k =2k ==12k k =,所以1l ∥2l 或1l 与2l 重合; 变式训练1：解：1由题意知,1l 的斜率不存在,且不是y 轴,2l 的斜率也不存在,恰好是y 轴,所以1l ∥2l ; 2因为111120k --==--,234123k -==-,虽然12k k =,但是E,F,G ,H 四点共线,所以1l 与2l 重合; 例2：解：由820m m ⋅-⨯=得m ＝±4,由8(1)0n m ⨯--⋅≠,得1224,24,2n m n m n l ≠-=≠-=≠、，即或时，∥2l ;变式训练2：解：由题意,得23(2)26(2)m m m m m =-≠-且,即(1)(3)03m m m m +-=≠且,解得01m m ==-或;所以,当01m m ==-或时,1l ∥2l ;例3：解：由题意,得 ,解得2,1==y x 即直线的交点坐标为1,2;又所求直线的斜率1-=k ,故直线的方程为2(1)y x -=--,即03=-+y x 为所求;变式训练3：解：由题意,得 ,解得1,1=-=y x ,即直线的交点坐标为－1,1; 又所求直线过原点,1-=k ,故直线的方程为0=+y x基础达标1．选D,由于2-11=4-21≠,故选D; 05201=-+=+-y x y x 023012=-+=++y x y x2．选C,1410044a ax y x y +-=⇔+-=,113,,12,444a c a c ∴=-=-=-=-即; 3．选C,由2212212(1)9211A B A B m m -=-+-=--＜0得两直线相交;4．解析：平行于直线20ax ay c ++=的方程为20x y c '++=;将点P-1,2的坐标代入,得(2)3c x y '=-+=-;故直线230x y +-=为所求;5．解析：由已知得10,20.m m l ≠-≠∴直线的斜率11k m =-,直线2l 的斜率223m k -=- ∵12k k =,∴212,230,313m m m m m m --=---===-即得或当123m l l =时，显然与重合,故当11m l =-时，∥2l ;6．解：设直线l 的方程为：0Ax By C ++=①点42,3x y x y ++在直线l 上,∴(42)(3)0A x y B x y C ++++=②∵①②为同一条直线,∴当C ≠0时,0(423A B C A B A B A B C ==⇒==++舍去）；当C=0时,423A B A B A B=++, ∴(2)()0,200A B A B x y x y +-=∴-=+=或;能力提高1．选B 平行于直线0334=-+y x 的直线具有形式034=++c y x ,故排除A ,D ;但选项C 中直线的截距为正,直线过第一象限,不符合条件,故应选B;2．选B 依题意,过点)22,(),4,1(+a a N M 的直线斜率21422=--+=a a k ,此时1≠a ,即当1≠a 时,两条直线互相平行; 3．解析：∵211311-=--=a a k ,∴2k 存在且1223242+=-+-=a a k ; 由于1l ∥2l ,∴21k k =,即1221+=-a a ,解之得5±=a , 又当5±=a 时,经检验,1l 与2l 不重合,∴5±=a 适合题意;4．解：设所求直线方程为)5(032≠=++λλy x ,令0=x ,得纵截距3λ-=b ；令0=y ,得横截距2λ-=a ;由656532=-=--=+λλλb a , 得1-=λ;故所求的直线方程为0132=-+y x。

8.4.2两条直线平行垂直的条件

例1 已知两条直线： l1:2x-4y+7=0,l2:2x+y-5=0, 求证:l1⊥l2.
• 变式1:求过点A(2,1)且与直线2x+y10=0垂直的直线方程. • 变式2:已知直线ax+(1-a)y-3=0与直线 (a-1)x+(2a+3)y-2=0互相垂直,求a的值.
判定定理：当直线Ｌ１和Ｌ２有斜截式方程 L1：y=k1x+b1 L2: y=k2x+b2 时，
结论：
l1 l2 a·b 0 1 k1k 2 0 即k1k 2 1

l1 l2 A1 A2 B1B2 0
④若两直线斜率都不存在,则两直线平行. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
1. 判断下列直线对是否平行平行
经过两点A( 2, 3), B(-1, 0)的直线 l1
经过点P(1,0)且斜率为1的直线 l2 2. 已知过A(-2, m)和B(m ,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m的值为( A ) A. - 8 B. 0 C. 2 D. 10
那么L1∥L2 k1=k2且b1≠b2
l1 // l2 k1 k2且b1 b2或l1 , l2斜率都不存在且不重合

• 练习：判断下列直线组的位置关系： • (1)l1：2x-4y+7=0，l2：x=2y-5；
•
(2)l1：x-2y+1=0， l2：3x=6y-3．
练习：求过点A(1,-4)，且与直线 2x+3y+5=0平行的直线方程。
例1 ：两条直线L1:2x-4y+7=0，L2:x-2y+5=0求证:L1∥L2
例 2：求过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线的方程。

高中数学课件：第二章 2.2.3 第一课时两条直线相交、平行与重合的条件

(2)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线系可设为(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝ 0.
[通一类] 3．求经过直线l1：x－y＋1＝0与l2：x＋2y－5＝0的交点且斜率为－1的直线的方程．
x－y＋1＝0 解：法一：由题意，得 x＋2y－5＝0
法二：所求直线方程为 x＋3y－4＋λ(5x＋2y＋6)＝0(λ∈R)．将点 A(2,3)的坐标代入，有 7 2＋3×3－4×λ(5×2＋2×3＋6)＝0，∴λ＝－22， 7 故所求直线为 x＋3y－4－22(5x＋2y＋6)＝0，即 x－4y＋10＝0.
[悟一法]
(1)两条直线的交点坐标是直线方程对应方程组的解；
提示：不一定．当A2· 2＝0时不成立． B
3．下列各组直线中，相交的有哪些？平行的有哪些？ (1)a：2x－y＋1＝0；b：x＋2y＝0 (2)c：y＝2x＋3；d：x－y＋1＝0 (3)e：x－3y＝0；f：2x－6y＋4＝0 1 (4)g：2x＋y－1＝0；h：4x＋2y－2＝0
提示：相交的有(1)(2)；平行的有(3)(4)．
[研一题] [例2] (1)求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程； (2)求过点P(3,2)且与经过点A(0,1)，B(－2，－1)的直线平行的直线方程．
[自主解答]
2 (1)法一：已知直线的斜率为－3，因为所
2 求直线与已知直线平行，因此它的斜率也是－3，根据点斜 2 式，得到所求直线的方程是 y＋4＝－3(x－1)，即 2x＋3y＋10＝0.
有无数个解
重合
A1 B1 C1 λC2(λ≠0) 或 A ＝ B ＝ C
2 2 2

两条直线位置关系以及点到直线距离公式

行()1112222220A B CA B CA B CÛ=¹¹。

3）对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）轴时需要单独讨论） 3.相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。

相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。

1）斜截式：111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+相交12k k Û¹2）一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=相交1221A B A B Û¹ 3）对于特殊情况（如果一条直线有斜率，而另一条直线没有斜率，那么这两条直线相交）。

例1：已知直线()212:260,:110l ax y l x a y a ++=+-+-=，求适合下列条件的a的取值范围。

的取值范围。

1）1l 与2l 相交；相交； 2）12//l l ； 3）1l 与2l 重合。

重合。

两条直线位置关系以及点到直线距离公式两条直线位置关系以及点到直线距离公式一、两条直线相交、平行、重合条件一、两条直线相交、平行、重合条件1. 重合：如何两条直线重合，那么化简之后的重合：如何两条直线重合，那么化简之后的方程方程是相同的，具体为：是相同的，具体为：1）斜截式：直线111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+重合1212,k k b b Û==。

2）一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=重合()1112222220A B C A B C A B C Û==¹。

3）对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）。

2．平行：如果两条．平行：如果两条直线斜率直线斜率相同或垂直于x 轴，并且不重合，那么这两条直线就是平行的。

初中数学如何判断两条直线是否相交

初中数学如何判断两条直线是否相交在初中数学中，我们可以使用以下方法来判断两条直线是否相交：方法一：比较斜率两条直线相交的一个必要条件是它们的斜率不相等。

假设直线1的斜率为m1，直线2的斜率为m2。

如果m1不等于m2，则两条直线一定相交。

这是因为两条不平行的直线在平面上一定会相交。

注意：当直线垂直于x轴时，斜率为无穷大。

如果直线1和直线2中至少有一条是垂直于x轴的，我们可以通过比较斜率是否相等来判断两条直线是否相交。

方法二：比较截距如果两条直线的斜率相等，我们还需要比较它们的截距。

假设直线1的截距为c1，直线2的截距为c2。

如果c1不等于c2，则两条直线一定相交。

这是因为当两条直线的斜率相等时，它们可能平行，但如果截距不相等，它们一定不是重合的直线，因此相交。

方法三：解方程组对于两条直线的方程，我们可以将它们表示为y = m1x + c1和y = m2x + c2。

我们可以将这两个方程组成一个方程组，然后通过求解方程组来判断两条直线是否相交。

1. 将两个方程相减，得到一个新的方程：(m1 - m2)x = c2 - c1。

2. 如果(m1 - m2)不等于0，那么方程有唯一解，即x的值确定，代入任意一个方程可以求得y的值。

这意味着两条直线相交于一点。

3. 如果(m1 - m2)等于0，那么方程无解。

这意味着两条直线平行或者重合，而不相交。

这些方法可以帮助我们判断两条直线是否相交。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择适合的方法来进行判断。

同时，了解和掌握这些方法可以帮助我们更好地理解和应用数学中的直线相交的概念。

高中数学知识点总结(第九章平面解析几何第二节两直线的位置关系)

第二节两直线的位置关系一、基础知识1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 3．三种距离公式 (1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)点到直线的距离公式点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两平行直线间的距离公式两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0 间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.二、常用结论(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直或平行的直线方程可设为： ①垂直：Bx －Ay ＋m ＝0；②平行：Ax ＋By ＋n ＝0. (2)与对称问题相关的四个结论：①点(x ，y )关于点(a ，b )的对称点为(2a －x,2b －y )．②点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x,2b －y )． ③点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )． ④点(x ，y )关于直线x ＋y ＝k 的对称点为(k －y ，k －x )，关于直线x －y ＝k 的对称点为(k ＋y ，x －k )．考点一两条直线的位置关系[典例] 已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当2m ＋8m ＝0，即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n8＝－1，∴n ＝8.即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.[解题技法]1．．由一般式确定两直线位置关系的方法[题组训练]1．已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t,1)，则n的值为() A．7B．9C．11 D．－7解析：选A由直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直得，20－2m＝0，m＝10.直线4x＋10y－6＝0过点(t,1)，所以4t＋10－6＝0，t＝－1.点(－1,1)又在直线5x－2y＋n＝0上，所以－5－2＋n＝0，n＝7.2．(2019·保定五校联考)直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件，故选C.考点二距离问题[典例](1)过点P(2,1)且与原点O距离最远的直线方程为()A．2x＋y－5＝0B．2x－y－3＝0C．x＋2y－4＝0 D．x－2y＝0(2)若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是5，则m ＋n＝()A ．0B ．1C ．－2D ．－1[解析] (1)过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线为过点P (2,1)且与OP 垂直的直线，因为直线OP 的斜率为1－02－0＝12，所以所求直线的斜率为－2，故所求直线方程为2x ＋y －5＝0.(2)因为l 1，l 2平行，所以1×n ＝2×(－2)，1×(－6)≠2×m ，解得n ＝－4，m ≠－3，所以直线l 2：x －2y －3＝0.又l 1，l 2之间的距离是 5，所以|m ＋3|1＋4＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，所以m ＋n ＝－2，故选C.[答案] (1)A (2)C[解题技法]1．点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． 2．两平行线间的距离的求法(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两平行线间的距离公式． [题组训练]1．已知点P (2，m )到直线2x －y ＋3＝0的距离不小于25，则实数m 的取值范围是________________．解析：由题意得，点P 到直线的距离为|2×2－m ＋3|22＋12≥25，即|m －7|≥10，解得m ≥17或m ≤－3，所以实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[17，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[17，＋∞)2．如果直线l 1：ax ＋(1－b )y ＋5＝0和直线l 2：(1＋a )x －y －b ＝0都平行于直线l 3：x －2y ＋3＝0，则l 1，l 2之间的距离为________．解析：因为l 1∥l 3，所以－2a －(1－b )＝0，同理－2(1＋a )＋1＝0，解得a ＝－12，b ＝0，因此l 1：x －2y －10＝0，l 2：x －2y ＝0，d ＝|－10－0|12＋－22＝2 5.答案：25考点三对称问题[典例] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)． (1)求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． [解] (1)设A ′(x ，y )，再由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，所以A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又因为m ′经过点N (4,3)，所以由两点式得直线m ′方程为9x －46y ＋102＝0.[变透练清] 1.变结论在本例条件下，则直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程为________________．解析：法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上．易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得 l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法二：设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为 P ′(－2－x ，－4－y )，∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0. 答案：2x －3y －9＝02．(2019·合肥四校联考)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.答案：6x －y －6＝0[解题技法]1．中心对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于点对称若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1进而求解．(2)直线关于点对称①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程； ③轨迹法，设对称直线上任一点M (x ，y )，其关于已知点的对称点在已知直线上． 2．轴对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ×x 1＋x 22＋B ×y 1＋y22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．(2)直线关于直线的对称一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[课时跟踪检测]1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选C 因为直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率k ＝－2.所以所求直线的方程为y －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0.2．已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0和l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( ) A ．2或12B.13或－1 C.13D ．－1解析：选B 因为直线l 1⊥l 2，所以2a (a ＋1)＋(a ＋1)(a －1)＝0，解得a ＝13或－1.3．若点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2) 解析：选C 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋－12＝2，化简得|4x －6|＝2，即4x －6＝±2，解得x ＝1或x ＝2，故P (1，2)或(2，－1)．4．(2018·揭阳一模)若直线l 1：x －3y ＋2＝0与直线l 2：mx －y ＋b ＝0关于x 轴对称，则m ＋b ＝( )A.13 B ．－1 C ．－13D ．1解析：选B 直线l 1：x －3y ＋2＝0关于x 轴对称的直线为x ＋3y ＋2＝0.由题意知m ≠0. 因为mx －y ＋b ＝0，即x －y m ＋bm＝0，且直线l 1与l 2关于x 轴对称，所以有⎩⎨⎧－1m＝3，bm ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝－13，b ＝－23，则m ＋b ＝－13＋⎝⎛⎭⎫－23＝－1. 5．点A (1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是( )A ．－32B.54 C ．－65D.56解析：选D 由题意，知⎩⎨⎧3－11＋2·k ＝－1，2＝k ·⎝⎛⎭⎫－12＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－32，b ＝54.∴直线方程为y ＝－32x ＋54，它在x 轴上的截距为－54×⎝⎛⎭⎫－23＝56.故选D. 6．(2019·成都五校联考)已知A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．2x ＋y －7＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0解析：选B 由|P A |＝|PB |得点P 一定在线段AB 的垂直平分线上，根据直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，可得A (－1,0)，将x ＝2代入直线x －y ＋1＝0，得y ＝3，所以P (2，3)，所以B (5,0)，所以直线PB 的方程是x ＋y －5＝0，选B.7．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．22C ．3 3D ．42解析：选A 依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0.根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2. 8．已知点A (1,3)，B (5，－2)，在x 轴上有一点P ，若|AP |－|BP |最大，则P 点坐标为( )A ．(3.4,0)B ．(13,0)C ．(5,0)D ．(－13,0)解析：选B 作出A 点关于x 轴的对称点A ′(1，－3)，则A ′B 所在直线方程为x －4y －13＝0.令y ＝0得x ＝13，所以点P 的坐标为(13,0)．9．经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0得x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．因为l ⊥l 3，所以直线l 的斜率k ＝－43，所以直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.答案：4x ＋3y －6＝010．已知点P 1(2,3)，P 2(－4,5)和A (－1,2)，则过点A 且与点P 1，P 2距离相等的直线方程为________．解析：当直线与点P 1，P 2的连线所在的直线平行时，由直线P 1P 2的斜率k ＝3－52＋4＝－13，得所求直线的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线过线段P 1P 2的中点时，因为线段P 1P 2的中点坐标为(－1,4)，所以直线方程为x ＝－1.综上所述，所求直线方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－111．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是________．解析：由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝012．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________．解析：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，把B 点坐标代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 答案：x ＋4y －4＝013．已知△ABC 的三个顶点是A (1,1)，B (－1,3)，C (3,4)． (1)求BC 边的高所在直线l 1的方程；(2)若直线l 2过C 点，且A ，B 到直线l 2的距离相等，求直线l 2的方程．解：(1)因为k BC ＝4－33＋1＝14，又直线l 1与BC 垂直，所以直线l 1的斜率k ＝－1k BC ＝－4，所以直线l 1的方程是y ＝－4(x －1)＋1，即4x ＋y －5＝0.(2)因为直线l 2过C 点且A ，B 到直线l 2的距离相等，所以直线l 2与AB 平行或过AB 的中点M ，因为k AB ＝3－1－1－1＝－1，所以直线l 2的方程是y ＝－(x －3)＋4，即x ＋y －7＝0. 因为AB 的中点M 的坐标为(0,2)，所以k CM ＝4－23－0＝23，所以直线l 2的方程是y ＝23(x －3)＋4，即2x －3y ＋6＝0. 综上，直线l 2的方程是x ＋y －7＝0或2x －3y ＋6＝0.。

直线的五种方程形式,适用条件,平行垂直的充要条件

直线的五种方程形式,适用条件,平行垂直的充要条件在数学中，直线是一种最基本的平行图形，它由两个点构成并连接在一起。

据统计，直线在日常生活和科学研究中都有广泛的应用。

直线可以用不同的方程式来表示，其中最基本的形式是一元一次方程形式。

这比较常见，可以解决许多基本的几何问题。

因此，识别并理解直线的不同方程式、适用条件以及直线平行和垂直的充要条件是非常重要的。

二、直线的五种方程形式1.一元一次方程形式：y=mx+b，其中m表示斜率，b表示y轴截距。

该方程描述的是一条斜率不等于0的直线。

2.斜截式：y-y1=m(x-x1)，其中m表示斜率，(x1,y1)表示直线上一点。

该方程描述的是一条斜率不等于0的直线。

3.方程形式的优势在于可以以变换的斜率m来描述直线。

m=(y2-y1)/(x2-x1)，其中(x1,y1)(x2,y2)是直线上两个不同的点。

4.点斜式：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)，其中(x1,y1)(x2,y2)是直线上两个不同的点。

该方程描述的是一条斜率不等于0的直线。

5.垂直方程形式：x=a，其中a是直线上的一点坐标。

该方程描述的是一条斜率等于0的直线。

三、适用条件1.一元一次方程形式及其变体适用于斜率不等于0的直线，即斜率存在时可以直接用一元一次方程形式或它的变体表示。

2.而对于斜率为0的直线，可以直接用垂直方程形式y=a来表示其斜率为0，其中a是直线上的一点坐标。

四、平行垂直的充要条件1.线平行：两条不同的直线平行的充要条件是它们的斜率相等，即m1=m2。

2.线垂直：两条不同的直线垂直的充要条件是它们的斜率的乘积等于-1，即m1*m2=-1。

五、结论以上介绍了直线的五种方程形式、适用条件以及直线平行和垂直的充要条件。

这些充分条件对于解决几何问题非常重要，因此在学习中一定要了解相关知识。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解61---两条直线的位置关系

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第61讲两条直线的位置关系考向预测核心素养一是利用直线方程判定两条直线的位置关系；二是利用两条直线间的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目，大部分都是客观题.直观想象、数学运算一、知识梳理1．两条直线的平行与垂直 (1)两条直线平行若l 1∥l 2，则l 1与l 2的倾斜角α1与α2相等，由α1＝α2，可得tan α1＝tan α2，即k 1＝k 2.因此，若l 1∥l 2，则k 1＝k 2．(2)两条直线垂直设两条直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，k 1)，b ＝(1，k 2)，于是l 1⊥l 2⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔1×1＋k 1k 2＝0，即k 1k 2＝－1.也就是说，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1．2．两条直线的交点坐标已知两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交，则交点P 的坐标是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离点点距点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2点线距点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2线线距两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2常用结论1．两个充要条件(1)两条直线平行或重合的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.(2)两条直线垂直的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.2．三种直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B 1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.3．四种常用对称关系(1)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．(2)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．(4)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．二、教材衍化1．(人A选择性必修第一册P67习题2.2 T8(3)改编)已知直线l过点(0，3)，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )A ．x ＋y －2＝0 B.x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0D.x －y ＋3＝0解析：选D.依题意得直线l 的斜率为1，又直线l 过点(0，3)，所以直线l 的方程为y －3＝1×(x －0)，即x －y ＋3＝0.2．(人A 选择性必修第一册P 79习题2.3 T 9改编)若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．解析：由⎩⎨⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.所以点(1，2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9. 答案：－93．(人A 选择性必修第一册P 79习题2.3 T 7改编)两条平行直线l 1：2x ＋3y －8＝0，l 2：2x ＋3y －10＝0之间的距离为________．解析：因为l 1∥l 2，所以由两条平行直线间的距离公式得d ＝|－8－（－10）|22＋32＝21313. 答案：21313一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)若两直线的解析式组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( ) (3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.( ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、易错纠偏1．(忽略两直线平行的充要条件致误)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( )A ．2 B.－3 C ．2或－3D.－2或－3解析：选 C.直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或m ＝－3.故选C. 2．(距离公式使用不当致误)两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0之间的距离为( )A.235B.2310C ．7D.72解析：选D.由题意知a ＝6，直线3x ＋4y －12＝0 可化为6x ＋8y －24＝0，所以两平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72.3．(忽略两直线垂直的充要条件致误)已知直线l 1：ax ＋y －4＝0和l 2：2x ＋ay ＋1＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________．解析：因为l 1⊥l 2，则2a ＋a ＝0，所以a ＝0. 答案：04．(位置关系考虑不周全致误)已知点A (3，2)和B (－1，4)到直线ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a 的值为________．解析：由点到直线的距离公式可得|3a ＋2＋1|a 2＋1＝|－a ＋4＋1|a 2＋1，解得a ＝12或a ＝－4. 答案：12或－4考点一两条直线的位置关系(自主练透)复习指导：能根据斜率判定两条直线的位置关系．1．(多选)(链接常用结论1)(2022·重庆调研)已知直线l 1：x ＋my －1＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋3＝0，则下列说法正确的是( )A ．若l 1∥l 2，则m ＝－1或m ＝3B ．若l 1∥l 2，则m ＝3C ．若l 1⊥l 2，则m ＝－12D ．若l 1⊥l 2，则m ＝12解析：选BD.若直线l 1∥l 2，则3－m (m －2)＝0，解得m ＝3或m ＝－1，但m ＝－1时，两直线方程分别为x －y －1＝0，－3x ＋3y ＋3＝0即x －y －1＝0，两直线重合，只有m ＝3时两直线平行，A 错误，B 正确；若l 1⊥l 2，则m －2＋3m ＝0，解得m ＝12，C 错误，D 正确．2．经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A ．6x －4y －3＝0 B.3x －2y －3＝0 C ．2x ＋3y －2＝0 D.2x ＋3y －1＝0解析：选A.因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝⎛⎭⎪⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0.3．已知三条直线2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－43，23 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－43，23，43C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫43，－23D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－43，－23，23解析：选D.由题意得直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0或4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点．当直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0或4x ＋3y ＋5＝0平行时，m ＝23或m ＝－43；当直线mx －y －1＝0过2x －3y＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时，m ＝－23.所以实数m 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－43，－23，23.4．(多选)(2022·葫芦岛协作校高二考试)已知A (1，2)，B (－3，4)，C (－2，0)，则( )A ．直线x －y ＝0与线段AB 有公共点 B ．直线AB 的倾斜角大于135°C ．△ABC 的边BC 上的中线所在直线的方程为y ＝2D ．△ABC 的边BC 上的高所在直线的方程为x －4y ＋7＝0 解析：选BCD.如图，因为k OA ＝2>1，k OB <0，所以直线x －y ＝0与线段AB 无公共点，A 错误；因为k AB ＝4－2－3－1＝－12>－1，所以直线AB 的倾斜角大于135°，B 正确；因为线段BC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，2，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＝2，C 正确；因为k BC ＝4－3＋2＝－4，所以BC 上的高所在直线的方程为y －2＝14(x －1)，即x －4y ＋7＝0，D 正确．(1)两条直线平行、垂直的判断方法若已知两条直线的斜率存在．①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等． ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1. [提醒] 判断两条直线位置关系应注意：〈1〉注意斜率不存在的特殊情况．〈2〉注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)由两条直线平行与垂直求参数的值的解题策略在解这类问题时，一定要“前思后想”．“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解．考点二两条直线的交点与距离问题(多维探究)复习指导：1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2．探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．角度1 两条直线的交点(1)对于任给的实数m ，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都通过一定点，则该定点的坐标为( )A ．(9，－4) B.(－9，－4) C ．(9，4)D.(－9，4)(2)经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线的方程为__________________．【解析】 (1)(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5即为m (x ＋2y －1)＋(－x －y ＋5)＝0，故此直线过直线x ＋2y －1＝0和－x －y ＋5＝0的交点．由⎩⎨⎧x ＋2y －1＝0，－x －y ＋5＝0得定点的坐标为(9，－4)．(2)由方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－53，y ＝79，即交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，79.因为所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，所以所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋53，即4x －3y ＋9＝0.【答案】 (1)A (2)4x －3y ＋9＝0 角度2 距离问题已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P . (1)点A (5，0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程； (2)求点A (5，0)到直线l 的距离的最大值．【解】 (1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为 2x ＋y －5＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，所以|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3，解得λ＝12或λ＝2.所以直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2，1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到直线l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)．所以d max ＝|PA |＝10.若将本例变为：直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点且到点A (1，0)和点B (3，4)的距离相等，求直线l 的方程．解：由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0解得交点坐标为(2，1)．当AB ∥l 时，又k AB ＝2，所以直线l 的方程为y －1＝2(x －2)即2x －y －3＝0，当l 过AB 中点时，又AB 的中点为(2，2)．所以直线l 的方程为x ＝2.利用距离公式应注意的点(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |. (2)两条平行线间的距离公式要先把两条直线方程中x ，y 的系数化为相等再利用距离公式求解．|跟踪训练|1．(多选)已知直线l 1：2x ＋3y －1＝0和l 2：4x ＋6y －9＝0，若直线l 到直线l 1的距离与到直线l 2的距离之比为1∶2，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋3y －8＝0 B.4x ＋6y ＋5＝0 C ．6x ＋9y －10＝0 D.12x ＋18y －13＝0解析：选BD.设直线l ：4x ＋6y ＋m ＝0，m ≠－2且m ≠－9，直线l 到直线l 1和l 2的距离分别为d 1，d 2，由题知：d 1＝|m ＋2|16＋36，d 2＝|m ＋9|16＋36，因为d 1d 2＝12，所以2|m ＋2|16＋36＝|m ＋9|16＋36，即2|m ＋2|＝|m ＋9|，解得m ＝5或m ＝－133，即直线l 为4x ＋6y ＋5＝0或12x＋18y －13＝0.2．(多选)(2022·北京昌平区一中上学期期中)点(0，1)到直线y ＝k (x ＋1)的距离可能为( )A ．0 B.1 C. 2D. 3解析：选ABC.直线y ＝k ()x ＋1过点()－1，0，所以()0，1到直线y ＝k ()x ＋1的距离的最大值为()－1－02＋()0－12＝ 2.3．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为________．解析：因为36＝48≠－125，所以两条直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.答案：2910考点三对称问题(思维发散)复习指导：对称问题的核心是点关于直线的对称问题，要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，且直线l 与直线MN 垂直．(链接常用结论3)已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．【解】 (1)设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，所以M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝3，所以N (4，3)．又因为m ′经过点N (4，3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.在本例条件下，求直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．解：设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，因为P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解． (2)中心对称可以利用中点坐标公式，两点轴对称问题利用垂直和中点两个条件列方程解题．|跟踪训练|如图，已知A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．3 3 B.6 C.210D.2 5解析：选C.直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2，0)关于直线AB 的对称点为D (4，2)，关于y 轴的对称点为C (－2，0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.[A 基础达标]1．(2022·哈师大附中模拟)已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋1＝0, l 2：x ＋ay ＋2＝0, 其中a ∈R, 则“a ＝－3”是“l 1⊥l 2”的()A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A.直线l 1⊥l 2的充要条件是a ＋(a ＋2)a ＝0，所以a (a ＋3)＝0，所以a ＝0或a ＝－3 .故选A.2．(2022·广州期末)若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是()A ．－6＜k ＜－2 B.－5＜k ＜－3 C ．k ＜－6D.k ＞－2解析：选A.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ＋3k ＋14，x －4y ＝－3k －2，得⎩⎨⎧x ＝k ＋6，y ＝k ＋2.因为直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，所以⎩⎨⎧k ＋6＞0，k ＋2＜0，解得－6＜k ＜－2.3．已知直线l ：ax ＋by ＋c ＝0与直线l ′关于直线x ＋y ＝0对称，则l ′的方程为()A ．bx ＋ay －c ＝0 B.ay －bx －c ＝0 C ．ay ＋bx ＋c ＝0 D.ay －bx ＋c ＝0解析：选A.在l 的方程中以－x 代替y ，以－y 代替x ，即得l ′的方程．直线ax ＋by ＋c ＝0关于直线x ＋y ＝0对称的直线l ′的方程是a (－y )＋b (－x )＋c ＝0，即bx ＋ay －c ＝0.4．(2022·亳州市质量检测)若动点M ()x 1，y 1，N ()x 2，y 2分别在直线x ＋y ＋7＝0与直线x ＋y ＋5＝0上移动，则MN 的中点P 到原点距离的最小值为()A ．2 3 B.3 3 C.3 2D.2 2解析：选C.由题意知，MN 的中点P 的轨迹为平行于两直线且到两直线距离相等的直线，故其方程为x ＋y ＋6＝0，所以P 到原点的距离的最小值为d ＝612＋12＝3 2. 5．(多选)(2022·宜昌市夷陵中学检测)已知直线l 的一个方向向量为u ＝(－36，12)，且l 经过点()1，－2，则下列结论中正确的是() A ．l 的倾斜角等于150° B ．l 在x 轴上的截距等于233C ．l 与直线3x －3y ＋2＝0垂直D ．l 与直线3x ＋y ＋2＝0平行解析：选CD.因为直线l 的一个方向向量为u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，12，所以直线l 的斜率为k ＝12－36＝－3，设直线的倾斜角为α(α∈[0°，180°))，则tan α＝－3，所以α＝120°，所以A错误；因为l经过点()1，－2，所以直线l的方程为y＋2＝－3(x－1)，令y＝0，则x＝－233＋1，所以l在x轴上的截距为－233＋1，所以B错误；因为直线3x－3y＋2＝0的斜率为33，直线l的斜率为－3，所以－3×33＝－1，所以l与直线3x－3y＋2＝0垂直，所以C正确；因为直线3x＋y＋2＝0的斜率为－3，直线l的斜率也为－3，且两直线截距不相等，故两直线平行，所以D正确．6．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为________．解析：过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－45，故所求直线方程为x－3y＋4－45(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.答案：3x＋19y＝07．已知点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上的任意一点，则（m－1）2＋（n＋2）2的最小值为________．解析：因为点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上的任意一点，所以（m－1）2＋（n＋2）2的最小值为点(1，－2)到直线2x＋y＋5＝0的距离，即最小值为d＝|2－2＋5|22＋12＝ 5.所以（m－1）2＋（n＋2）2的最小值为 5.答案： 58．已知直线l1：ax＋y＋3a－4＝0和l2：2x＋(a－1)y＋a＝0，则原点到l1的距离的最大值是________；若l1∥l2，则a＝________．解析：直线l1：ax＋y＋3a－4＝0等价于a(x＋3)＋y－4＝0，则直线过定点A(－3，4)，当原点到l1的距离最大时，满足OA⊥l1，此时原点到l1的距离的最大值为|OA|＝（－3）2＋42＝5.若a ＝0，则两直线方程为y －4＝0和2x －y ＝0，不满足直线平行；若a ＝1，则两直线方程为x ＋y －1＝0和2x ＋1＝0，不满足直线平行；当a ≠0且a ≠1时，若两直线平行，则a 2＝1a －1≠3a －4a ，由a 2＝1a －1得a 2－a －2＝0，解得a ＝2或a ＝－1. 当a ＝2时，a 2＝3a －4a，舍去，当a ＝－1时，a 2≠3a －4a，成立，即a ＝－1. 答案：5 －19．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：(1)因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)－b ＝0. 又因为直线l 1过点(－3，－1)，所以－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2. (2)因为直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，所以直线l 1的斜率存在．所以a b＝1－a .①又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，所以l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .②联立①②可得a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.10．已知四边形ABCD 为平行四边形，A (0，3)，B (4，1)，D 为边AB 的垂直平分线与x 轴的交点．(1)求点C 的坐标；(2)一条光线从点D 射出，经直线AB 反射，反射光线经过CD 的中点E ，求反射光线所在直线的方程．解：(1)如图，设AB 中点为M ，则M (2，2)，由AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，可知k MD ·k AB ＝－1，因为k AB ＝1－34－0＝－12，所以k MD ＝2，所以直线MD 的方程为y －2＝2(x －2)，即y ＝2x －2. 令y ＝0，则x ＝1，所以D 点的坐标为(1，0)．又因为四边形ABCD 为平行四边形，设C (a ，b )，因为＝，即(a －1，b )＝(4，－2)，所以a ＝5，b ＝－2，即点C 的坐标为(5，－2)．(2)由(1)知，直线AB 的方程为x ＋2y －6＝0，如图，设点D 关于直线AB 的对称点为D ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，m ＋12＋2·n2－6＝0，整理可得⎩⎨⎧2m －n －2＝0，m ＋2n －11＝0，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝4，所以D ′(3，4)，又因为CD 的中点E 的坐标为E (3，－1)，因此，反射光线所在直线D ′E 的方程为x ＝3.[B 综合应用]11．(多选)(2022·重庆市永川景圣中学月考)下列说法正确的是() A ．过点P ()1，2且在x ，y 轴截距相等的直线方程为x ＋y －3＝0 B ．直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为－2 C ．直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角为60°D ．过点()－1，2且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为2x ＋y ＝0解析：选BD.过点P ()1，2且在x ，y 轴截距相等的直线方程为x ＋y －3＝0和y ＝2x ，A 错误；取x ＝0，y ＝－2，则直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为－2，B 正确；直线3x ＋y ＋1＝0的斜率为k ＝－3，倾斜角为120°，C 错误；垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程斜率为k ＝－2，过点()－1，2的直线方程为y ＝－2()x ＋1＋2＝－2x ，即2x ＋y ＝0，D 正确．12．(2022·山东省精英对抗赛)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点N ，则直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为()A ．2x ＋3y －12＝0 B.2x ＋3y ＋12＝0 C ．2x －3y ＋12＝0 D.2x －3y －12＝0解析：选B.由ax ＋y ＋3a －1＝0可得a (x ＋3)＋y －1＝0，令⎩⎨⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y ＝1，所以N (－3，1)．设直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)．则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)．所以所求直线方程为2x ＋3y ＋12＝0，故选B.13．(2022·宝鸡模拟)光线沿着直线y ＝－3x ＋b 射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax ＋2射出，则有()A ．a ＝13，b ＝6B.a ＝－3，b ＝16C ．a ＝3，b ＝－16 D.a ＝－13，b ＝－6解析：选D.由题意，直线y ＝－3x ＋b 与直线y ＝ax ＋2关于直线y ＝－x 对称，所以直线y ＝ax ＋2上的点(0，2)关于直线y ＝－x 的对称点(－2，0)在直线y ＝－3x ＋b 上，所以(－3)×(－2)＋b ＝0，所以b ＝－6，所以直线y ＝－3x －6上的点(0，－6)关于直线y ＝－x 的对称点(6，0)在直线y ＝ax ＋2上，所以6a ＋2＝0，所以a ＝－13.14．(2022·乳山市第一中学月考)从点A (2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在直线的方程为________．解析：点A ()2，3关于y 轴的对称点为()－2，3，由于入射光线与a ＝(8，4)平行，所以反射光线的斜率是－48＝－12，所以反射光线所在直线方程为y －3＝－12(x ＋2)，即x ＋2y －4＝0.答案：x ＋2y －4＝0[C 素养提升]15．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2，2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.解：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．因为方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，所以⎩⎨⎧2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2)．(2)证明：过点P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0. 但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，所以M 与Q 不可能重合，|PM |＝42，所以|PQ |<42，故所证成立． 16.如图所示，m ，n ，l 是三条公路，m 与n 是互相垂直的，它们在O 点相交，l 与m ，n 的交点分别是M ，N ，且|OM |＝4，|ON |＝8，工厂A 在公路n 上，|OA |＝2，工厂B 到m ，n 的距离分别为2，4.货车P 在公路l 上．(1)要把工厂A ，B 的物品装上货车P ，问：P 在什么位置时，搬运工走的路程最少？ (2)P 在什么位置时，工厂B 搬运工与工厂A 搬运工走的路程差距最多？(假设货物一次性搬运完)解：以m ，n 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则有A (2，0)，B (－2，－4)，M (0，4)，N (－8，0)，故公路l 所在的直线方程为x －2y ＋8＝0.(1)P 在什么位置时，搬运工走的路程最少，即求|PA |＋|PB |的值最小时P 的位置．设点A 关于直线l 的对称点A ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2＝－2，m ＋22－2×n ＋02＋8＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－2，n ＝8，所以A ′(－2，8)．又P 为直线l 上的一点，则|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时等号成立，此时|PA |＋|PB |取得最小值|A ′B |，点P 就是直线A ′B 与直线l 的交点．联立⎩⎨⎧x ＝－2，x －2y ＋8＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3，所以P (－2，3)．(2)由题意可知，原问题等价于求点P 的位置，使||PB |－|PA ||的值最大．A ，B 两点在直线的同侧，P 是直线上的点，则||PB |－|PA ||≤|AB |，当且仅当A ，B ，P 三点共线时等号成立，此时||PB |－|PA ||取得最大值|AB |，点P 即为直线l 与直线AB 的交点．又直线AB 的方程为y ＝x －2，由⎩⎨⎧y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝10，所以P (12，10)．。

高考数学一轮复习第8章解析几何第2讲两条直线的位置关系

第二讲两条直线的位置关系知识梳理·双基自测知识梳理知识点一两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合__三种情况． (1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1,l 2：y ＝k 2x ＋b 2,l 1∥l 2⇔k 1＝k 2,且b 1≠b 2．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0, l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0,且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1,l 2：y ＝k 2x ＋b 2,l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,l 1⊥l 2⇔__A 1A 2＋B 1B 2＝0__．知识点二两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．相交⇔方程组有__唯一解__；平行⇔方程组__无解__；重合⇔方程组有__无数个解__．知识点三三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22．特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|＝x 2＋y 2． (2)点P(x 0,y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2． (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2．重要结论1．求解距离问题的规律运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式；运用两平行线间的距离公式时,需先把两平行线方程中x,y 的系数化为相同的形式．2．对称问题的求解规律(1)中心对称：转化为中点问题处理．(2)轴对称：转化为垂直平分线问题处理．特殊地：点P(a,b)关于直线x ＋y ＋m ＝0对称的点坐标为(－b －m,－a －m),点P(a,b)关于直线x －y ＋m ＝0对称的点坐标为(b －m,a ＋m)．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两直线的斜率相等,则两直线平行,反之,亦然．( × )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直,那么它们的斜率之积一定等于－1．( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1,B 1,C 1,A 2,B 2,C 2为常数),若直线l 1⊥l 2,则A 1A 2＋B 1B 2＝0．( √ )(4)点P(x 0,y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b|1＋k2．( × ) (5)若点A,B 关于直线l ：y ＝kx ＋b(k≠0)对称,则直线AB 的斜率等于－1k ,且线段AB 的中点在直线l上．( √ )题组二走进教材2．(课本习题改编)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( A ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．(必修2P 110B 组T2)已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1,则a 等于( C ) A ． 2 B ．2－ 2 C ．2－1D ．2＋1[解析] 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1．解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2． ∵a ＞0,∴a ＝－1＋2．题组三走向高考4．(2020·高考全国Ⅲ)点(0,－1)到直线y ＝k(x ＋1)距离的最大值为( B ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2 [解析] 解法一：由y ＝k(x ＋1)可知直线过定点P(－1,0),设A(0,－1),当直线y ＝k(x ＋1)与AP 垂直时,点A 到直线y ＝k(x ＋1)距离最大,即为|AP|＝2,故选B ．解法二：因为点(0,－1)到直线y ＝k(x ＋1)距离d ＝|1＋k|k 2＋1＝k 2＋2k ＋1k 2＋1＝1＋2kk 2＋1；∵要求距离的最大值,故需k ＞0；可得d ＝1＋2k ＋1k≤2,当且仅当k ＝1时取等号,故选B ．5．(2018·全国)坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为__(6,－6)__． [解析] 设坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(a,b),则⎩⎪⎨⎪⎧b a ×1＝－1a 2－b2－6＝0,解得a ＝6,b ＝－6,∴坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(6,－6)．考点突破·互动探究考点一两条直线平行、垂直的关系——自主练透例1 (1)(2021·高安期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( A )A ．6x －4y －3＝0B ．3x －2y －3＝0C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0(2)“m＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2021·青岛调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行,则m ＝( C ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3D ．－2或－3(4)(多选题)等腰直角三角形斜边的中点是M(4,2),一条直角边所在直线的方程为y ＝2x,则另外两边所在直线的方程为( CD )A ．3x ＋y －14＝0B ．x ＋2y －2＝0C ．x －3y ＋2＝0D ．x ＋2y －14＝0[解析] (1)因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32,所以所求直线l的方程为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12,化为一般式,得6x －4y －3＝0．(2)由l 1⊥l 2,得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0,∴m ＝3或m ＝－2,∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件．(3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m m ＋1＝6，4m≠－4，解得m ＝2或－3．故选C ．(4)设斜边所在直线的斜率为k,由题意知tan π4＝2－k 1＋2k ＝1,∴k ＝13,∴斜边所在直线方程为y －2＝13(x －4),即x －3y ＋2＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x x －3y ＋2＝0可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45,∴A 关于M 的对称点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫385，165,∴另一条直角边的方程为y －165＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －385,即x ＋2y －14＝0,故选C 、D ．名师点拨(1)当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．〔变式训练1〕(1)(2021·吉林长春模拟)曲线f(x)＝2sin x 在x ＝π3处的切线与直线ax ＋y －1＝0垂直,则a ＝__1__．(2)(2012·浙江)设a ∈R,则“a＝1”是“直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)由题得f′(x)＝2cos x,∴k ＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1．所以1×(－a)＝－1,∴a ＝1． (2)l 1∥l 2⇔a 2＋a －2＝0⇔a ＝1或－2,∴a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．故选A ．考点二两直线的交点、距离问题——师生共研例2 (1)两条垂直直线l 1：2x ＋y ＋1＝0与l 2：ax ＋4y －6＝0的交点到原点的距离为__2__．(2)已知点P(2,－1)．①求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；②求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程,最大距离是多少？③是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在,求出方程；若不存在,请说明理由． (3)(2020·上海)已知直线l 1：x ＋ay ＝1,l 2：ax ＋y ＝1,若l 1∥l 2,则l 1与l 2的距离为__2__． [解析] (1)kl 1＝－2,kl 2＝－a 4,由l 1⊥l 2知－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＝－1,∴a ＝－2,∴l 2：x －2y ＋3＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0x －2y ＋3＝0得交点A(－1,1),∴|AO|＝2．(2)①过点P 的直线l 与原点的距离为2,而点P 的坐标为(2,－1),显然,过点P(2,－1)且垂直于x 轴的直线满足条件,此时l 的斜率不存在,其方程为x ＝2．若斜率存在,设l 的方程为y ＋1＝k(x －2), 即kx －y －2k －1＝0．由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2,解得k ＝34．此时l 的方程为3x －4y －10＝0．综上,可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0．②作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线,如图．由l ⊥OP,得k l k OP ＝－1, 所以k l ＝－1k OP＝2．由直线方程的点斜式,得y ＋1＝2(x －2),即2x －y －5＝0．所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线,最大距离为|－5|5＝5．③由②可知,过点P 不存在到原点的距离超过5的直线,因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．(3)直线l 1：x ＋ay ＝1,l 2：ax ＋y ＝1, 当l 1∥l 2时,a 2－1＝0,解得a ＝±1；当a ＝1时l 1与l 2重合,不满足题意；当a ＝－1时l 1∥l 2,此时l 1：x －y －1＝0,l 2：x －y ＋1＝0；则l 1与l 2的距离为d ＝|－1－1|12＋－12＝2．名师点拨距离的求法(1)点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离：①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； ②利用两平行线间的距离公式．提醒：在应用两条平行线间的距离公式时,应把直线方程化为一般形式,且使x 、y 的系数分别相等．〔变式训练2〕(1)(2021·西南名校联盟联考)设直线l 1：3x －y －1＝0与直线l 2：x ＋2y －5＝0的交点为A,则A 到直线l ：x ＋by ＋2＋b ＝0的距离的最大值为( C )A ．4B ．10C ．3 2D ．11(2)(多选题)已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0距离相等,则m 的值可以为( AC ) A ．－6 B ．－12C ．12D ．1(3)(2021·绵阳模拟)若P,Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点,则|PQ|的最小值为( C )A ．95B ．185C ．2910D ．295[解析] (1)解法一：显然l 1与l 2的交点A(1,2),又直线l 过点B(－2,－1),∴所求最大距离为|AB|＝32,故选C ．解法二：显然l 1与l 2的交点为A(1,2),则A 到直线l 的距离d ＝|1＋2b ＋2＋b|1＋b2＝31＋b 2＋2b1＋b2＝31＋2b 1＋b2≤32(当且仅当b ＝1时取等号),故选C ． (2)直线mx ＋y ＋3＝0与直线AB 平行或过AB 中点,∴－m ＝4－2－1－3＝－12,即m ＝12；AB 中点(1,3),∴m＋3＋3＝0即m ＝－6,故选A 、C ．(3)因为36＝48≠－125,所以两直线平行,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即|－24－5|62＋82＝2910,所以|PQ|的最小值为2910．考点三对称问题——多维探究角度1 线关于点的对称例3 (2021·河北五校联考)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M,则直线2x ＋3y －6＝0关于M点对称的直线方程为( D )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0[解析] 由ax ＋y ＋3a －1＝0,可得y －1＝－a(x ＋3),所以M(－3,1),M 不在直线2x ＋3y －6＝0上,设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c≠－6),则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c|4＋9,解得c ＝12或c ＝－6(舍去),所以所求方程为2x ＋3y ＋12＝0,故选D ．另解：在直线2x ＋3y －6＝0上取点A(0,2)、B(3,0),则A 、B 关于M 的对称点分别为A′(－6,0),B′(－9,2),又k A′B′＝2－0－9－－6＝－23,故所求直线方程为y ＝－23(x ＋6),即2x ＋3y ＋12＝0．故选D ．角度2 点关于线的对称例4 (2021·长沙一模)已知入射光线经过点M(－3,4),被直线l ：x －y ＋3＝0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为__6x －y －6＝0__．[解析] 设点M(－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M′(a ,b),则反射光线所在直线过点M′,所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1,b ＝0．又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1,即6x －y －6＝0． (代入法)当x ＝－3时,由x －y ＋3＝0得y ＝0, 当y ＝4时,由x －y ＋3＝0得x ＝1．∴M(－3,4)关于直线l 的对称点为M′(1,0)．又k NM′＝6－02－1＝6,∴所求直线方程为y ＝6(x －1),即6x －y －6＝0．[引申]本例中入射光线所在直线的方程为__x －6y ＋27＝0__．[解析] N(2,6)关于直线l 的对称点N′(3,5),又k MN′＝5－43－－3＝16,∴所求直线方程为y －4＝16(x＋3),即x －6y ＋27＝0．角度3 线关于线的对称例5 (2021·合肥模拟)已知直线l ：x －y －1＝0,l 1：2x －y －2＝0．若直线l 2与l 1关于l 对称,则l 2的方程是( B )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0[解析] 解法一：因为l 1与l 2关于l 对称,所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上,故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0,－2)为l 1上一点,设它关于l 的对称点为(x,y),则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0),(－1,－1)为l 2上两点,可得l 2的方程为x －2y －1＝0．解法二：在l 1上取两点A(0,－2),B(1,0),则A 、B 关于l 的对称点分别为A′(－1,－1),B′(1,0),∴k A′B′＝0－－11－－1＝12．∴l 2的方程为y －0＝12(x －1),即x －2y －1＝0．故选B ．解法三：设P(x,y)是直线l 2上任一点,则P 关于直线l 的对称点为P′(y＋1,x －1),又P′∈l 1,∴2(y ＋1)－(x －1)－2＝0,即直线l 2的方程为x －2y －1＝0．故选B ．名师点拨对称问题的解法以光线反射为代表的很多实际问题,都可以转化为对称问题,关于对称问题,一般常见的有： (1)中心对称①点P(x,y)关于O(a,b)的对称点P′(x′,y′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2a －x ，y′＝2b －y.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称 ①点A(a,b)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B≠0)的对称点A′(m ,n),则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×－AB＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．特别地,当对称轴的斜率为±1时,可类比关于y ＝x 的对称问题采用代入法,如(1,3)关于y ＝x ＋1的对称点为(3－1,1＋1),即(2,2)．〔变式训练3〕已知直线l ：2x －3y ＋1＝0,点A(－1,－2)．求： (1)(角度2)点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；(2)(角度3)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程； (3)(角度1)直线l 关于点A(－1,－2)对称的直线l′的方程． [解析] (1)设A′(x ,y),由已知条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413．(2)在直线m 上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l 的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a ,b),则 ⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013．设直线m 与直线l 的交点为N,则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N(4,3)．又∵m′经过点N(4,3),∴由两点式得直线m′的方程为9x －46y ＋102＝0． (3)设P(x,y)在l′上任意一点,则P(x,y)关于点A(－1,－2)的对称点为P′(－2－x,－4－y), ∵点P′在直线l 上,∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0, 即2x －3y －9＝0．名师讲坛·素养提升巧用直线系求直线方程例6 (1)求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R)恒过定点,并求出定点坐标；(2)求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P,且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．[解析] (1)证明：解法一：令m ＝0,则直线方程为 3x ＋y ＋1＝0．再令m ＝1时,直线方程为6x ＋y ＋4＝0．①和②联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋1＝0，6x ＋y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.将点A(－1,2)的坐标代入动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0中,(m 2＋2m ＋3)×(－1)＋(1＋m －m 2)×2＋3m 2＋1＝(3－1－2)m 2＋(－2＋2)m ＋2＋1－3＝0, 故动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0恒过定点A ．解法二：将动直线方程按m 降幂排列整理,得m 2(x －y ＋3)＋m(2x ＋y)＋3x ＋y ＋1＝0,① 不论m 为何实数,①式恒为零, ∴有⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，3x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故动直线恒过点A(－1,2)．(2)解法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P(0,2)．因为l 3的斜率为34,且l ⊥l 3,所以直线l 的斜率为－43,由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2,即4x ＋3y －6＝0．解法二：设所求直线方程为4x ＋3y ＋m ＝0,将解法一中求得的交点P(0,2)代入上式可得m ＝－6, 故所求直线方程为4x ＋3y －6＝0．解法三：设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x＋y －2)＝0, 即(1＋λ)x＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0．又∵l ⊥l 3,∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0,解得λ＝11．∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0．[引申]若将本例(2)中的“垂直”改为“平行”,则直线l 的方程为__3x －4y ＋8＝0__．名师点拨1．确定方程含参数的直线所过定点的方法：(1)将直线方程写成点斜式y －y 0＝f(λ)(x－x 0),从而确定定点(x 0,y 0)．(2)将直线方程整理成关于参数的方程,由方程中各项系数及常数项为0确定定点．(3)给参数取两个不同值,再解直线方程构成的方程组,从而确定定点坐标．2．直线系的主要应用(1)共点直线系方程：经过两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0,其中A 1B 2－A 2B 1≠0,待定系数λ∈R ．在这个方程中,无论λ取什么实数,都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,因此它不能表示直线l 2．(2)过定点(x 0,y 0)的直线系方程为y －y 0＝k(x －x 0)(k 为参数)及x ＝x 0．(3)平行直线系方程：与直线y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m(m 为参数且m≠b)；与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C ,λ是参数)．(4)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0(λ为参数)．如果在求直线方程的问题中,有一个已知条件,另一个条件待定时,那么可选用直线系方程来求解．〔变式训练4〕(1)(2021·启东模拟)不论m 为何值时,直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( D )A ．⎝⎛⎭⎪⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3) D ．(9,－4)(2)与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线的方程是__5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0__．[解析] (1)解法一：由(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5,得(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得定点坐标为(9,－4),故选D ．解法二：令m ＝1,则y ＝－4；令m ＝12,则－12x ＝－92,即x ＝9,∴直线过定点(9,－4),故选D ．解法三：将直线方程化为(2m －1)(y ＋a)＝(1－m)(x ＋b),则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－52a ＋b ＝－1,即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－9,∴y ＋4＝1－m 2m －1(x －9),故直线过点(9,－4),故选D ．(2)设所求直线的方程为5x－12y＋c＝0,则|c－6|52＋122＝2,解得c＝32或－20,故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．。

两直线相交的条件

两直线相交的条件
两直线相交的条件：1. 两条直线不平行当两条直线不在同一平面内时，它们必定相交。

但是如果它们在同一平面内，那么只有当它们不平行时才会相交。

2. 两条直线具有公共点如果两条直线存在一个公共点，则这些直线必定相交。

这个公共点可以是任何一个点，包括端点或中间的某个点。

3. 两条直线夹角为非零角度如果两条直线之间的夹角为非零角度，则这些直线必定相交。

夹角越小，它们就越接近于平行关系。

4. 直线方程满足条件对于斜率截距式 y = mx + b 和一般式 Ax + By + C = 0 的形式来说，在满足特定条件下，这些方程所表示的直线将会相交。

例如，在斜率截距式中m1 ≠ m2 或者在一般式中A1B2 ≠ A2B1 就意味着这些方程所表示的两个直线将会相交。

5. 直角坐标系上互异且未重合在二维笛卡尔坐标系上，如果我们画出了任意数量的互异、未重合的连续段（即由若干个连接起来而成），则其中至少存在一对段是有可能发生相交关系的。

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