单循环赛制安排的数学模型

单循环赛制安排的数学模型陈晔1，祝文康1，何荣坚21．韶关学院2001级数学与应用数学本科1班,广东韶关 512005;2．韶关学院2002级计算机科学技术本科3班,广东韶关 512005[摘要]: 本文首先通过对５支足球队单场地单循环赛程安排的问题，考虑对各队公平的相隔场次的情况下用排除假设法给出至少相隔一场的赛程安排的方法，遵循小数先走的原则时恰好发现了击剑比赛时n＝５的赛程安排规律，并讨论其不合理性．分奇、偶参赛队的情况给出只考虑相隔场次时的最大均等时相隔场次次数的最小上限证明．在编制n=８，n=９支球队赛程的过程中进一步研究多种循环赛制安排的方法，还给出Matlab编制的一般性的赛程安排程序．同时通过引入对实力的排序、比赛的精彩度、各球队机会最大均等、奇数队参赛必然遇到不公平的情况等展开讨论一些赛程安排方法的不足之处．关键词:最大均等; 轮转法; 实力指数; 精彩度１问题的提出你所在的年级有5个班，每班一支球队在同一块场地上进行单循环赛，共要进行10场比赛，如何安排赛程使对各队来说都尽量公平？下面是一个随便安排的赛程：记5支球队为A，B，C，D，E，在下表左半部分的右上三角的10个空格中，随手填上1，2，⋯10，就得到一个赛程，即第1场A对B，第2场B对C，⋯，第10场C对E．为方便起见将这些数字沿对角线对称地填入左下三角．这个赛程的公平性如何呢，不妨只看看各队每两场比赛中间得到的休整时间是否均等．表的右半部分是各队每两场比赛间相隔的场次数，显然这个赛程对A，E有利，对D则不公平．从上面的例子出发讨论以下问题1)对于5支球队的比赛，给出一个各队每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程．2)当n支球队比赛时，各队每两场比赛间相隔的场次数的上限是多少．3)在达到2）的上限的条件下，给出n=8、n=9的赛程，并说明它们的编制过程．4)除了每场间相隔场次数这一指标外，你还能给出哪些指标来衡量一个赛程的优劣，并说明3）中给出的赛程达到这些指标的程度．2 基本假设1）单循环赛中，n为偶数队参赛时，所有队都安排参加一次后为一轮比赛，轮数为n-1，奇数队参赛时，n-1队安排参赛一次后为一轮比赛，轮数为n ．2）参赛队A、B、C、D……通过以往比赛成绩的排名或社会评价的排名按实力从大到小顺序记为1、2、3、……n队．3 模型的分析、建立与求解1）第一轮第一场比赛安排A对B，第二场比赛安排C对D，在各参赛队每两场比赛间至少相隔一场的前提下，第二轮第一场安排除C、D外的任意两支球队比赛，第二场安排前一场没有参赛的任意两队参赛，曾经比赛交战过的队不再安排对决，以此类推，共安排5轮共10场比赛，以下只给出安排过程的部分分支：AB —CD依照题意排出的赛程如上表所示，观察表1，对与上轮轮空队比赛的队会不公平，其中E 从第三轮开始就连续遭遇不公平三场，A 遭遇一场，其他队在这种安排下则有优势．出现这种情况的原因是由于这种安排方法导致的．观察图1，发现E 队遭遇不幸的第四轮和第五轮是在不能选择其他分支的情况下安排E 的两场比赛．也就是说这种安排方法必然导致不公平．继续将图中所有分支排列出，会发现不一定能排出十场比赛，能走到最后的16条分支，有两条只能排出八场比赛，有六条排出九场比赛，有八条排出十场比赛．其中，如果在每一次分支中遵循小数先走的原则，如：第一个分支中有AE 和BE 供选择，选择AE ，BC 和BD 则选BC ，能排出十场比赛，恰好是至今仍没研究出的击剑赛程安排规则中参赛队n=5时赛程安排的规律．然而，当n=6，n=7，n=8时用的就不是这个办法了．2）可设赛程中某场比赛是i ，j 两队，i 队参加的下一场比赛是i ，k 两队(k ≠j)．要 使每两场比赛最小相隔场次为r ，则上述两场比赛之间必须有除i ，j ，k 以外的2r 支球队参加赛，于是n ≥2r+3，注意到r 为整数即是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤23n r ．经过计算，当有5支队伍比赛时，各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限为1=r ，也就是说可以找出一种编排赛程的方法，使得各队每两场比赛中间相隔的场次数为1．或可分参赛队的奇、偶分别证明：1．设n 为奇数， n = 2k + 1． 共比赛 N =2n C = k (2k + 1)场． 考察前k + 1场， 有2k +2个队参赛， 于是至少有1个队两次参赛， 这个队在这两场比赛间相隔场次数为r n k k =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=--+23111)1(． 2．设n 为偶数， n = 2k ． 共比赛 N = k (2k - 1)场． 同上， 在前k + 1场中，有2k+2个队参赛，其中至少有1个队(记这样的一个队为A)两次参赛， 记A 第j 场比赛在赛程中是第a j 场， 于是1,121+≤≥k a a ．① 若12+<k a ，即k a ≤2， 则r n k k a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-≤--=--23211112; ②若12+=k a ，但11>a ，即21≥a ，同样有r n k k a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-≤--+=--232121112; ③若1,121+==k a a ， 在前k + 1场中除A 外有2k 个队参赛， 于是至少又有1个队(记这样的一个队为B)两次参赛， 记B 第j 场比赛在赛程中是第b j 场， 则必有1,121+<≥k b b ， 或1,121+≤>k b b (即不可能1,121+==k b b )， 故r n k b b =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-≤--232112． 3）n=8时，以数字1、2、3、……8记为参赛的八支队，用1号固定左上角逆时针轮可得出下表：经计算，这种轮转法安排出的赛程满足2）中每两场比赛间相隔的场次数的上限r=2．随着比赛发展，每一轮中所安排的比赛，观察实力越强的的队间的比赛安排，第一轮里实力最接近的比赛是4队与5队间的比赛，第二轮是3队与4队的比赛，第三轮2队与3队，第四轮4队与6队，第五轮7队与8队，第六轮6队与7队，最后一轮有最精彩的，也是实力最强的1队与2队的比赛．这种安排使比赛进程没有什么规律。

随着运动的商业化，为了比赛主办方得到最大的票房收益，也为了满足观众对比赛精彩度的要求，将最后一场集中所有最采取积分制，导致有可能会发生最后几场比赛对个别队积分排名不发生影响的情况，如果这种情况发生的话，胜负已定的这些队可能会不尽力参加最后的比赛，降低比赛的精彩度，且会让一些不法分子有机可乘．不过这确实是一种非常值得考虑的赛程编排方案．再观察其关发现其与1号固定左上角逆时针轮转法所得的间隔是一样的，只不过第一场中除1队外的位置发生改变，从表的左边到右边看的话然仍是逆时针走法．可见这种轮转法对于相隔场次数这一指标是合适的，也达到了2）要求的上限．但是观察各场比赛，7队在比赛中六次遭遇上轮轮空的队，1队两次，而别的队则非常幸运，不必遭遇这种不幸．这种安排方法对于奇数队参赛出现严重的机会不均等，不值得推广．现在考虑另外一种对于奇数队参赛的编排办法，填表格的办法：1．画一个4⨯9的表格，如下表．第i行第j列的格子记作(i，j)，在每格左侧先按行依次填1，3，5，……( 第1行1个1，第2行3个3，⋯，)，后按行依次填入8，6，4 ⋯，也就是使它跟左端的数字相加等于比赛的队伍数，构成每场比赛的第1支队：2．在格的右侧沿各对角线填1，3，5，⋯，如下表: 自(2，2)起跳过一列再自(1，6)至(4，9) 填1，使1 的总数(包括格子左侧的)为8，按照同样的方法，跳过一列在(1，7)填3，使33．在格的右侧沿各对角线填2，4，6，⋯，方法与上类似．最后在未满的4个格中填11，得下表．按照先列后行的顺序排列得到赛程M，即第1场1对11，第2场3对2，⋯，第得到赛程M和各队每两场比赛中间相隔的场次数及其总数：与上轮轮空队间的比赛，除第一场由9队分担外，全部都落在8队身上，这种安排并不高明，而且相隔场次数相差甚远，加上安排复杂，不见得和前面的安排比较有什么可取之处．再考虑一种安排办法：最小号固定双向轮转法．先将最小号1固定在1、3、5、7轮第一场的左上角和2、4、6、8轮第一场的右上角，每两轮上下接在一起，上方轮空的号码放观察各轮比赛，2、3、……9队都分别与轮空的队交战过，则相对照顾了1队．但由于奇数队参赛时，与轮空队交战的队数只有n-1队，所以，必定有一队能得到特别照顾，这是奇数队参赛必然遇到的情况．以上模型可以推广到所有奇数队参赛的情形．与偶数队参赛一起，我们给出Matlab 编制的赛程安排程序，见附录．4）关于所编排赛程的优劣，有很多可以衡量的参数，比如说以上提到的精彩度．衡量比赛的精彩度，根据观众的心理，当然是一步一步接近高潮为宜，最好看的当然是实力指数最高的冠、亚军之争，也就是1、2队间的较量．其次，对于各参赛队来说，还要考虑场间休息，也就是间隔场的次数，还可考虑平均相隔场次数．平均相隔场次数就是指所有队伍是相隔场次数的总数与比赛的总场次数的比，设第i 个队的第j 个间隔场次数为ij A ，其中2,,2,1,,,2,1-==n j n i ．那么平均相隔场次数为∑∑=-=-=n i n j ij A n n r 121)2(1r 是衡量赛程整体意义下的指标， 可以看出．r 越大越好．实际上， 可以得到r 的上限:⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=k n k k n k k k r 2,112,14222max（此结果参照姜启源的赛程安排的数学问题） 另一项指标是相隔场次数的最大偏差．定义r A f ij ji -=.m ax 为总体最大偏差，∑-=--=21)2(max n j ij ir n A g 为队伍最大偏差， 它们都越小越好．实际上，可以得到f 的下限:⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=k n k n k k f 2,112,14222min，（此结果参照姜启源的赛程安排的数学问题）以及n=2k 时g 的下限: 1min =g ．结果表明， n=8和n=9的赛程编制都达到了f 和 g 下限．4 模型优缺点的讨论对于以上所给出的赛程编排，首要考虑的都是个队每两场比赛间休息的时间，n=8和n=9时编排出的赛程都达到了相隔场次数的上限，有较强的现实意义，是可以推广的．计算机编程出来的的赛程安排简洁明了，可操作性强．然而，不管奇数队参赛还是偶数队参赛，都不能达到完全的公平，比如说相隔场次的完全一样，完全机会均等．虽然如此，但我们仍可以达到最大机会均等，使比赛更精彩，更能赛出水平，较出实力．参考文献：［1］姜启源，赛程安排的数学问题；工程数学学报，2003．3［2］姜启源，数学模型（第四版）；高等教育出版社，1993．［3］王蒲，运动竞赛方法研究；人民体育出版社，2001附录%球队数为奇数tmp=a(3);for i=3:2:n-2a(i)=a(i+2); Array enda(n)=a(n-1);for i=n-1:-2:4a(i)=a(i-2);enda(2)=tmp;tmp1=a(n+2);a(n+2)=a(n+3);for i=n+3:2:n*2-2a(i)=a(i+2);enda(n*2)=a(n*2-1);for i=n*2-1:-2:n+4a(i)=a(i-2);enda(n+4)=tmp1;a%球队数为偶数tmp=a(4);for i=4:2:n-2a(i)=a(i+2);enda(n)=a(n-1);for i=n-3:-2:1a(i+2)=a(i);enda(1)=tmp;a。