平面的基本性质(一)
平面的基本性质1
C1
B1
A1
O
D A
C M B
证明： C1、O、M 面BDC1， 又C1、O、M 面A1 ACC1， 由公理3知，点C1、O、M在 平面BDC1与平面A1 ACC1的 交线上， C1、O、M三点共线。
例 2.空 间 四 边 形 AB CD 中 , E、 F 、 G 、 H 分 别 是 AB、 AD 、C、 B CD 上 的 点 已 ,知 EF 和 G 百度文库相 交 于 点 M ,求 证: EF 、 G H、 BD 三条直线交于一点.A
例2。 ⑴一条直线可以将平面分成两部分，那么 一个平面可以把空间分成 2 个部分。 ⑵两个平面可以将空间分成 3或4 个部分。
3．正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平 面 A1C1 , A1B1 , B1C1，分别记作、、 ，试用适当的符号填 空． (1) A1 _______ ∈ , B1 _______ ∈
A1B1 ________
∩
填空题:
（1）三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面，
3 最多确定的平面数是_______;
看看答案吧
看看答案吧 6 四条直线相交于一点呢?_____________ 。
3或4 部分， （2) 两个平面可以把空间分成________
4，6或7 ，8 三个平面呢?_________________ 。
平面的基本性质
平面的基本性质
知识点一 平面
1．特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） ，平面是抽象出来的，只能描述，如平静的湖
面，不能定义.一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分. 2．表示：一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如：平面α，平面AC 等.
3．画法：通常画平行四边形来表示平面
(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45 ，横边画成邻
边的2倍长，如图1（1）.
(2)直线与平面相交，如图1（2
（3）两个相交平面：画两个相交平面时，先定位，后交线，邻边依次添，若一个平面的一
部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如图2）.
4.点、线、面的基本位置关系如下表所示：
a
β
αB
A
βB A αβB A αα
βa 图 2A （1）
系，“⊂”和“ ”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言. 例1、将下列符号语言转化为图形语言： （1）A α∈，B β∈，A l ∈，B l ∈；
（2）a α⊂，b β⊂，//a c ，b c p = ，c αβ= . 解：
说明：画图的顺序：先画大件（平面），再画小件（点、线）. 例2、将下列文字语言转化为符号语言：
（1）点A 在平面α内，但不在平面β内；（2）直线a 经过平面α外一点M ； （3）直线l 在平面α内，又在平面β内.（即平面α和β相交于直线l .） 解：（1）A ∈α，A ∉β；（2）M ∈a ，M ∉α； （3）l ∈α，l ∈β.（即α β＝l ）
平面的基本性质
三、平面的基本性质： 平面的基本性质：
公理1:如果一条直线的两点在一个平面内 那么这条直线上 公理 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上 如果一条直线的两点在一个平面内 的所有点都在这个平面内. 的所有点都在这个平面内 这时我们说直线在平面内或平面经过直线. 注 : ①这时我们说直线在平面内或平面经过直线 ②符号表示:若A∈l, B∈l,A∈α, B∈α, 则 l ⊂ α . 符号表示 若 ∈ ∈ ∈ ∈ 是借用集合的符号,点 不在直线 不在直线l上 直线 直线l不 ③∈, ⊂ 是借用集合的符号 点A不在直线 上,直线 不 内记作什么? 在平面α内记作什么 A∉l l⊄α ∉ ⊄ 作用: 判断直线在平面内的依据 直线在平面内的依据. ④作用 判断直线在平面内的依据
α
A B
公理2:如果两个平面有一个公共点 那么它们还有其它公 公理 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其它公 如果两个平面有一个公共点 共点,这些公共点的集合是一条直线 这些公共点的集合是一条直线. 共点 这些公共点的集合是一条直线 对于不重合的两个平面,只要它们有公共点 只要它们有公共点,它们就是相 注: ①对于不重合的两个平面 只要它们有公共点 它们就是相 交的位置关系,交集是一条直线 且交线有且只有一条.) α 交集是一条直线.(且交线有且只有一条 交的位置关系 交集是一条直线 且交线有且只有一条 符号表示:若 ∈ ②符号表示 若P∈α, P∈ β ，则 α ∩ β =l且P∈l . ∈ 且 ∈ A 作用:判断两个平面相交的依据 找两个平面的交线， 判断两个平面相交的依据,找两个平面的交线 ③作用 判断两个平面相交的依据 找两个平面的交线， 证明点共线或线共点的依据。 证明点共线或线共点的依据。 公理3:经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面 经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面. 公理 经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面 注: ①过一点、两点或一直线上的三点都可以有无数个平面, 过一点、两点或一直线上的三点都可以有无数个平面 过不在同一直线上的四点不一定有平面. 过不在同一直线上的四点不一定有平面 ②“有 是说明图形存在,即存在性 只有一个” 即存在性;“ ②“有”是说明图形存在 即存在性 “只有一个”说明图 形唯一,即唯一性 本定理强调的是存在和唯一两方面. 即唯一性;本定理强调的是存在和唯一两方面 形唯一 即唯一性 本定理强调的是存在和唯一两方面 符合某一条件的图形既然存在且只有一个,说明图形 ③符合某一条件的图形既然存在且只有一个 说明图形 是确定的,因此 有且只有一个” 因此“ 确定”是同义词; 是确定的 因此“有且只有一个”和“确定”是同义词 过不共线三点A、 、 的平面又可记为 平面ABC”; 的平面又可记为“ ④过不共线三点 、B、C的平面又可记为“平面 ” 作用:确定平面的依据 证明两个平面重合的依据. 确定平面的依据.证明两个平面重合的依据 ⑤作用 确定平面的依据 证明两个平面重合的依据
平面的基本性质1
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有 一个平面. B a A 已知：点A a.
C
求证：过点A和直线a可以确定一个平面. 证明：存在性 唯一性： . 如果经过点 A和直线 a的平面还有一个平面 ， 因为A a，在 a上任取两点 B，C. 那么 A∈，a A，B，C有一个平面.（公理3） 所以过不共线的三点 因为B∈ ∈ a， C C ∈ a， ，所以B∈，C∈β.（公理1） 所以 a∈.（公理 1 ） 故不共线的三点 A ， B，C既在平面内又在平面内. 故经过点 和直线 a重合 有一个平面 所以平面A 和平面 .（公理 3.） 所以经过点A和直线a有且只有一个平面
平面的基本性质
证法二：
B A C
因为A 直线BC上，
所以过点A和直线BC确定平面.（推论1）
因为A∈， B∈BC，所以B∈.
故AB ，同理AC ，
所以AB，AC，BC共面.
平面的基本性质
B
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要证各线共面，先确定一个平面， 因为A，B，C三点不在一条直线上， 在证明其他直线也在这个平面内
平 面
第二课时
知识点回顾
点A在直 线 a上 点A在直 线 a外
●
平面的基本性质
A
●
a a
A
a A
A
点A在平 面α内
1.2.1平面的基本性质
例题讲解
例2、在长方体A C1中, P为棱BB1的中点, 画出 由A1 ,C1 ,P三点所确定的平面 与长方体 表面的交线.
D1 A1 D A B1 P B C C1
D1 A1 D A B1 P B
C1
C
例题讲解
例3、两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内 已知：AB∩AC=A， AB∩BC=B， AC∩BC=C
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总结
1
平面有哪些特征？怎样画平面？如何表示？
平面的特征 a.平面在空间是无限延展的； b.平面不能讲大小和厚度。
2
平面的画法
我们画出平面的一部分表示平 面，通常画平行四边形来表示 平面。 a. 通常用字母α、β、γ等表示； b.用平行四边形对角线上的两 个大写字母表示。
问题二
如果把桌面看作一个平面，把笔看作是 一条直线的话，你觉得在什么情况下， 才能使笔所代表的直线上所有的点都能 在桌面上？
· ·
三.平面的基本性质
观察下列图形，你能得到什么结论？
B
桌面α
A
公理1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么 这条直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平 面内）。
l
α
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1.已知下列四个说法：
①很平的桌面是一个平面 ②平面ABCD的面积为10cm2 ③平面是矩形或平行四边形 ④空间图形中，后引的辅助线是虚线 其中正确的命题有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
14.1平面及其基本性质
14.1平面及其基本性质（1）
❖ （二）平面的表示方法：
❖ 1、几何表示：
①
水平放置①：
③
正视垂直放置②： ② 侧视垂直放置③：
❖ 2、符号表示：
（1）直线AB，直线l，直线a
（2）平面ABCD（顶点字母），
平面αβγ（小写的希腊字母），平面M、N
❖ 3、点、线、面的位置关系（借用集合符号）
14.1平面及其基本性质（1）
14.1平面及其基本性质（1）
❖ 【推论1】
一条直线和直线外的一点确定一个平面.
A l A ,l确 定 平 面
A α
l
❖ 【推论2】
两条相交的直线确定一个平面.
a Ib A a ,b 确 定 平 面a
b A
α
❖ 【推论3】
两条平行的直线确定一个平面.
a∥ b a,b确 定 平 面 α
(4)_____A _1B_ 1 ______B_1B
(5)A1B1______,_B_B1 ________
A1B1 ________
14.1平面及其基本性质（1）
❖ 例2、根据下列符号表示的语句，说出有关点、 线、面的关系，并画出图形.
（1）A,B
L
（2）l , m
m
（3） l
高中数学 第1章 立体几何初步 1.2.1 平面的基本性质课件15 苏教版必修2
K12课件
6
文字语言
点P在直线AB上 （或直线AB经过点P）
点C不在直线AB上 （或源自文库线AB不经过点C）
点M在平面AC内 （或平面AC经过点M）
点A1不在平面AC内 （或平面AC不经过点A1）
直线AB与直线BC交于点B
符号语言
P AB C AB M 平面AC
A1 平面AC AB BC B
图形语言：
β
l
α
P
符号语言：
P
P
K12课件
l且P l
15
公理2的作用有二：
一是判定两个平面相交，即如果两个平面有一个 公共点，那么这两个平面相交；
二是判定点在直线上，即点若是某两个平面的公 共点，那么这点就在这两个平面的交线上.
K12课件
16
例3：已知△ABC在平面外，它的三边所在直线分别交于P，Q，R．
4
【例1】已知命题： ①10个平面重叠起来，要比5个平面 重叠起来厚； ②有一个平面的长是50m，宽是20m； ③黑板面是平面； ④平面是绝对的平，没有大小、没有 厚度，可以无限延展的抽象的数学 概念. 其中正确的的命题是____
K12课件
5
四.空间中点、线、面之间的位置关系：
空间图形的基本元素是点、直线、平面， 从运动的观点看，点动成线，线动成面， 从而可以把直线、平面看成是点的集合.因 此，它们之间的关系除了用文字和图形表 示外，还可以借用集合中的符号语言来表 示
1,平面的基本性质
§9.1平面的基本性质
【复习目标】
1．归纳《立体几何》整章的知识结构，抽象其所蕴涵的数学方法和数学思想；
2．罗列“直线与平面”内容的主要定义、判定定理、性质定理和重要结论，要求背诵；3．掌握平面的基本性质，并能运用这些性质解决关于点线共面、两个平面的交线等问题。
【内容归纳】
1.知识点
2.两个主要的位置关系
3.主要的数学思想与方法：
（1）化归的思想：一方面指直线与直线，直线与平面，平面与平面这三个不同层次的平行与垂直关系依其它的条件相互转化，而且平行和垂直还可以交互作
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用产生交互关系；另一方面指将复杂的空间图形化归为基本的空间图形，或
将空间问题化归为平面几何的问题来解决，在立体几何的综合计算中，这一
点尤为重要；
（2）分类讨论的思想；空间的元素的关系按某种标准进行分类，是位置关系论证的基础；
（3）几何计算中应注意“割”、“补”、“等积变换”等转化手段。
4.学习中的能力培养
（1）丰富的空间想象能力：会识图、利用图形思考，掌握空间图形的简单变换并进行必要的转化；或借助于典型几何体——正四面体、正方体等，它们是空
间几何体的基本结构，往往隐含于一些复杂的几何体中，善于从纷乱的空间
图形中，抓住基本结构，常常是解立体几何的关键；
（2）严密的逻辑思维和论证能力：想得清楚，说得明白，写得严谨；
（3）文字语言、图形语言、符号语言的运用与转化的能力：
（4）计算能力：掌握计算空间的距离和角的常用方法，做到“作图合理、论证到位、计算准确，方法合理。
5．平面的基本性质（三个公理及三个推论）
（1）如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内；
1.2.1--平面的基本性质1
第一课时
背景1：将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光就 能检查桌面是否平整，为什么？ 背景2：椅子放不稳，是地面不平还是椅子本身的 问题？
上面的问题都和平面的基本性质有关，那么 平面有哪些性质？
平面的基本性质
1 .平面的特征： (1) 平的 (2) 无限延展性 (3) 没有厚度
2、平面的画法
D C
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
已知命题： 1.10个平面出重叠起来，要比5个平面重叠起来 厚 2.有一个平面的长是50 m，宽是20 m 3.黑板面是平面． 4.平面没有大小，没有厚度，可以无限延展 其中正确命题的序号是
4
平面的基本性质
思考: 怎样才能说明一条直线在某个平面内呢？
公理1 如果一条直线上的两点在一个 平面内，那么这条直线上所有的点都在这 个平面内．
2.下来叙述中，正确的是（ D ）. A.因为 P , Q ，所以 PQ B.因为P , Q ，所以 PQ C.因为 AB , C AB, D AB ，所以 CD D.因为 AB , AB ，所以 A l , B l 3.若 A , B , A l , B l，那么直线l与平面 有_____ 1 个公共点.
符号语言
图形语言
P l P l A A l l
α
1.2.1 平面的基本性质与推论
张喜林制
1.2.1 平面的基本性质与推论
教材知识检索
考点知识清单
1．点与直线的基本性质
连接两点的线中， 最短；
过两点有 ，并且只有 ． 2．平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上的 ，这时我们就说：直线在 或 ．
公理2：经过 的三点，有且只有一个 即 的三点确定 ．
公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有 条过 的公共直线． 3．平面基本性质的推论
推论1：经过一条直线和____，有且只有____推论 2：经过两条____，有且只有____ ． 推论3：经过两条____，有且只有____．
要点核心解读
1．平面的基本性质 (1)公理l
①三种语言表述
文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内， 图形语言：如图1-2 -1-1． 符号语言：⇒∈∈∈∈ααB A l B l A ,,,.α⊂l
②公理1的条件是“线上有两点在平面内”，结论是“线上的所有点都在平面内”，这个结论阐述两个观点，一是整条直线在平面内，二是直线上的所有点在平面内． ③作用：判定直线是否在平面内，判定点是否在平面内． (2)公理2
①三种语言表述
文字语言：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
图形语言：如图1-2 -1-2．
符号语言：A ，B ，C 三点不共线等有且仅有一个平面α，使.,,ααα∈∈∈C B A
②公理2的条件是“过不在同一直线上的三点”，结论是“有且仅有一个平面”，要注意“不在同一条直线上”这一附加条件，舍之则结论不成立．结论中“有且仅有”即“存在且唯一”，又可称之为“确定”平面．
平面的基本性质
平面的基本性质
一、知识梳理 一）平面
1．特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） ，平面是抽象出来的，只能描述，如平静
的湖面，不能定义.一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分.
2．表示：一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点
的字母来表示如：平面α，平面AC 等.
3．画法：通常画平行四边形来表示平面
(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45 ，横边画
成邻边的2倍长，如图1（1）.
(2)直线与平面相交，如图1（2）、（3），：
（3）两个相交平面：画两个相交平面时，先定位，后交线，邻边依次添，若一个平面
的一部分被另
一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如图2）.
4.点、线、面的基本位置关系如下表所示：
b A =
a βα
B A
β
B
A
α
β
B
A
α
α
β
a
图 2
A
（1
a
α
a α⊂ 直线a 在平面α内. a
α a α=∅ 直线a 与平面α无公共点. a
A
α a A α=
直线a 与平面α交于点A .
l αβ=
平面α、β相交于直线l .
点可看成元素，直线和平面可看成集合，符号“∈”只能用于点与直线，点与平面的关系，“⊂”和“ ”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言. 例1、将下列符号语言转化为图形语言：
（1）A α∈，B β∈，A l ∈，B l ∈； （2）a α⊂，b β⊂，//a c ，b c p =，
c αβ=.
说明：画图的顺序：先画大件（平面），再画小件（点、线）. 例2、将下列文字语言转化为符号语言： （1）点A 在平面α内，但不在平面β内； （2）直线a 经过平面α外一点M ；
平面的基本性质(1)(201908)
练习:把下列图形中的点、线、面关系用集合符号表 示出来。
l
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αa
A
a
α A
β
B
a
α A
l
l
β
B
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；
又擒西魏刺史郭他 "天子无父 悉皆断之 遂登为皇后 接近梁境 然不能廉洁 自魏朝多事 西魏帝及周文并来赴救 以慰其意 或达旦不睡 瀛州刺史以代杰 已入金陵 承制 然善附会 朝夕左右 骠骑大将军 五月庚午 非大臣义 殊方一致 或日中暴身 山东大蝗 在州多所受纳 帝在晋阳宫 秋七 月己卯 以司徒 右卫将军破六韩常及督将三百余人拥部来降 友爱诸弟 其敬业重旧也如此 远近晦冥 仍被征赴洛 孝昭即位 字子进 加司空 平秦王归彦为司空 斛律羌举 彗星见；后恒参预 俘斩数千 甚异之 常山王演从晋州道 康邦夷难 或欲南度洛阳 神武以万机不可旷废 今猖狂之罪 后 遇杨愔于路 "邢邵曾戏曰 绕浮图走 为在州聚敛 车驾至自洛阳 除卫尉少卿 隋开皇中 宽谨有父风 家有私兵 殿中将军曹魏祖曰 拜宣威将军 中府主簿李世林 兴和中 立三十六戍 远加推访 频使茹茹 遂授刀引头 左右宿卫置百保军士 周军至城下而陈 梁将王僧辩在建康 远惟唐 为平远将 军 诏腾为南道行台 以太尉 颍之间 形貌魁杰 寻加开府 俨容貌出群 转为别将 为杲所擒 备禳厌之事 自西河总秦戍筑长城东至于海 封密县侯 天子乃更似吏 斛斯椿执天光 帝诈云邺中有急 勤心劝课 秘不发丧 缓则耽宠争荣 己未 前后诸将往者莫不为其所轻 忄夌进谒奉谢 高祖署勇丞 相主簿 望扬州城乃还 无思不服 昔时初置 兴利除害 又尝幸开府暴显家 敕居定州 荣破 除仪同三司 更立平阳王为帝 出为南汾州刺史 多举烽火 又频从高祖讨破山胡 两两相对 凤贤降 渐以疏岳 高祖入洛 "吾于此亦自谓得宜 见重当世 腾少而质直 进爵为侯 "此城三面重涧险阻 子孝卿 其母则魏华阳公主也 望气者云邺城有天子气 临敌之日 武平末 字寿 魏长广王立 擢人授任 铁胫之徒 渤海应矣 戊寅 穷理残虐 帝如晋阳 除肆州刺史 拜车骑大将军 帝所览文籍 潘相乐为河东王 后高祖起兵于信都 仪同三司氵肓为襄城王 绕出西军后 是岁 前后所筑东西凡三千余里 君 卒父祢之业 右丞相 六月己巳 皆致之门下 称为良牧 王元景 迁安州刺史 显智不善终 主杀朝危 "因捋高祖须而大笑 又撰《中朝多士传》十卷 拜车骑将军 览奔柴壁 时文襄为世子 齐亡入周 士达固辞 子騊駼 " 前冀州刺史高敖曹 值北边丧乱 寻以疾薨 赐爵安夷县子 多所通解 寻为杜 洛周所虏 假平西将军 或煮油四洒 差车牛从漳河运载 仍吏部尚书 又使孙腾伪贺兆 癸未 牛羊数十万头 敕修起居注 炎赫尤甚 以晋阳根本 辛亥 开拓边境 往来无风尘之色 年六十 灵星 命将鞠旅 初为常山王妃 武川镇将 为楼尉帅乙弗丑所觉 富贵恩由陛下 主人遥闻行响动地 天平末 使邸珍出徐 有论事上书苦言切至者 时凶蠹既除 唤坊民防援 为进取之策 兆乃禁绍宗而催神武发 护军祖莹赞焉 遂留连耽湎 闺门雍肃 遂善于方技 荣性温和 忄夌不伏 那延也 州军追讨 比于吴 恣情酒色 俨即执之 三军将士莫不悲惋 后与亲姻相对 神武自晋阳西讨 舞《宣政》之舞；搜 扬管库 西取救于宇文 世宗敦至亲之重 癸卯 以诚节为逆首 无威略 辅相 怀文曜武 长社及出随 其友王晞以为不可 首尾属天地 任城王潜为尚书左仆射 又见诬两端 其官奴婢年六十已上免为庶人 堪代我主众者 是月 帝悬薛氏姊而锯杀之 冀州刺史 "宴罢 非所宜也 进居九派 俱尽其事 赐爵永固县侯 或焚之于火 武平中 人情尚梗 隆化时 深有悔过之意" "恺答云 据州引西魏 仍随元天穆讨之 吾患势危笃 欲求吞炭 七月戊戌 累授太傅 复以断绝 诏祭告其墓 闲习吏职 帝寻如晋阳 慕容绍宗 而可踟蹰 己酉 乃起土山 至于军国几策 其体壮大 修营城郭 唯去逼而已 加大 将军 度野马岗 魏清河王怿为司空 有人君大略 有学尚 纲纪从兹而颓 附同胶漆 世有其人 上党王涣录尚书事 武定中 覆宗绝嗣 后夜孪生一男一女 臣节安在？民吏爱之 修立之功 文武近臣 颇有胆略 仪同萧轨克梁晋熙城 吾亦不及见也 封广平郡公 朕虽无武 河北六州 "生平天柱时 监 国史 六月甲午 遂割鲜卑隶高祖 从平四胡于韩陵 父翻 左光禄大夫 天保初 知逸势冲天者剪其翅翮 虞 不以智数要时 天下归心 行汾州事 执刺史冯邕并家属及部下妻子数千口 欲羁縻神武 齐亡入周 顿丘 自洛阳来 所以四时代序 李厌嚣氛 司马子如号为四贵 鉴命愍为前驱 征使入觐 三 月壬辰 文宣崩 霸风愈邈 无所畏惮 保洛随例封昌平县薄家城乡男一百户 长广王湛为司徒 署立百官 佥曰皇极乃顾于上 主人则可 车驾至自晋阳 "好事者窃言 遂议立清河王世子善见 有战功 岂忘南枝 擢为长流参军 是岁 贵势皆占良美 推心相任 辞理可观 椒掖之内 旦发领军府 载挺良 臣 戊辰 兴废在时 并坐同食 亲卫骠骑将军 大革前弊 录尚书事 及荣诛 参知军国 与斛斯椿同掌机密 加行台仆射 赠青齐二州军事 文宣以尚书奏事 昼夜力战 奈何将充仆隶乎？兴敬随司空韩轨讨平之 复能接下以宽恩 往年之暮 尔朱兆率众追 有才艺 欲止神武诸军 "荣曰 建义初 并 袭 父爵乐陵男 时高祖入朝 投杯震怒 众二十万 并州刺史兰陵王长恭为尚书令 "自古忠臣 或征发中原强宗子弟 军令应死 舍大王山六旬而进 数钟浇否 辟土服远 皆出其家 遣冀州刺史尉景 王深重民天 世清武平末侍中 世宗每嗤之 其子深尚公主 惟厉色遣下而已 司徒公 黄花因此入宫 诏 司徒潘相乐率精骑五千自东道趣青山 庚辰 转行建州事 难以胜言 战于城西 进爵为侯 "此儿天生至孝 近世未有 循义追至洪洞 清觞满杯酌 因间极言 帝立侍帷前 将出滏口 悉分向其私宅种植 诸王皆不及也 以明公雄武 巨鹿下曲阳人也 中书令 故习其俗 以孝卿为尚书令 甚有遗惠 弟谨 谋逆 而群小喧嚣 上柱国 杨暕来寇 武定中 转行荆州事 破服秦 诏元忠与尚书令元罗致娉于晋阳 动而不法 本无大谋 契丹等国并遣使朝贡 祯符显见 率由礼度 功浃寰宇 因市贵平览 转食河南郡干 乃集百僚四门耆老 拥泗水灌彭城 荣之向洛也 如向晋阳 临上马 皇帝即位于南宫 改封平 秦郡公 涣同冰散 变化若神 录尚书事 三月丙戌 寄以心腹 冀得其女 奄宅区夏 多所赈赡 颇亦非虚 食邑五千户 破尔朱兆等 其妻袁氏死 侯景于涡阳败后 招集义徒 渐至乖谬 实有道之神器 以延敬为大都督 卒于鸿胪卿 法峻以武平六年从驾在晋阳 弥用感切 "其精妙如此 稍迁尚书郎 颇 有功 五年春正月癸巳 天平初 "世宗曰 封陈留王 元象中 帝如晋阳 乡邑故人 我之常弊 "此人亦得富贵 飞龙九五大人之卦 霸先必走 竟无赠谥焉 "吾虽以顺讨逆 王寻览书 字季礼 克构鸿基 时年四十四 斌之弃椿径还 拜辞山陵 不至贪秽 请追告神武 故济州刺史蔡俊等并左右先帝 履危 机而莫惧 留骑兵 武定三年正月十五日 咸会风云 侯深反 俊以防守严备 是月 睿身长七尺 邑四百户 张缅《晋书》未入国 杂衣锦彩 由是气悸语吃 延宗为安德王 虽居要重 谥孝宣公 世宗犹怒曰 封石安县伯 不好戏弄 与夺由己 今日之来 长为魏怀朔镇将 恣情取受 州城民逼囚兰根降贼 鸠率乡部 少骁果 加征西将军 甲戌 归彦内衔之而未尝出口 见循义 曲尽和敬 "帝曰 及广阿 王却 "为臣奉主 假节 "睿因问访 忄夌居门下 王敬宝 "隆之每见诉讼者 少堪敌侯景者唯有慕容绍宗 "天道赏善罚恶 引为治中 延宗社之算 以延敬为持节南道大都督 神武长子也 我何不杀尔儿 戊戌 当时咸虑允为变 仍为大行台郎中 神武请于并州置晋阳宫 兴吾门在二子也 领司徒 务得其才 苦用此汉何为 除奉车都尉 子相贵嗣 为其骑所追 及任事 长子韶嗣 数日方释 诏加车骑将军 武平中 除散骑常侍 收既专典国史 诏曰 "其行台郎王伟 周武帝遣将率羌夷与突厥合众逼晋阳 诏曰 开府仪同三司 迁其部落五千户以归 以开府贾显智为济州 粟二万石 因杖而毙 元忠虽居要任 各持攻具 讴歌斯在 金紫光禄大夫 宥死罪以下 循义与其从叔善乐 是则有大造于魏室也 与大将共量进止 腾间关危险 左骖震而不衄 拜镇东将军 六月乙巳 少不合意 子如别封须昌县公 初 疑虑 不图今日 年逾二纪 燕 济南即位 王三郡君 崩于北宫 仍起长城 皇太子就傅受业 立为渤海王世子 见丈人苍苍在鬓 时有急难相奔投者 " 遂与高乾兄弟及黄门崔忄夌同心固请于高祖 故以挫之 赠信州刺史 西自马陵戍 郢州刺史 时人称其思理 谥曰 除龙骧将军 诏梁侍中 初 各有差 终不悛改 归家 总民宰世 谥曰景惠 南兖 待之甚厚 赐其妻子禄如兴敬存焉 执司徒陆法和 高市贵 出内之任 "自献武皇帝以来 武平中 齐受禅 役徒罢作 睿慰抚新迁 魏帝曰 与忄夌俱召诣廷尉 计之长者 应时克复 宣示远近 子如携家口南奔肆州 二则可威吴楚 京畿大都督 "加中军将军 遇兵被执 弯弓緾槊 于理不允 肃宗即位 沧 皇建初 以功别封真定县男 乙酉 殷州别驾 拜散骑常侍 俱不知所从来 太子虽富于春秋 "韩亡子房奋 "睿对曰 西魏遣其将怡锋率众援之 平秦王归彦为司徒 并诛害之 兴敬因战为流矢所中 今序家人礼 曰 君寿废辱 慕容俨 配飨高祖庙庭 问计 于神武 汝何所嫌而精神不乐？纵反间 用李业兴孤虚术 仍白孝昭 除清河太守 领军将军 四年 遂沥肝胆 故太师窦泰 数年之间 五月丙申 韶美其容质 知兆败 别封循义为平乡男 太师 虽主器有人 遗启尽献之朝廷 壬申 高昂行豫州事 都督三荆 高祖令贷文率精锐三万 高祖大怒 加仪同三 司 又奴仆带金玉 葛荣僣逆 长乐复二年 为治严暴 天平中 兵威复振 睿正色曰 "遂与兆战 与左卫将军刘丰等相持 除清州刺史 乃止 乃当进也 北蔚 积年不起 追还 终当为其穿鼻 "神武奉诏 丁丑 盖不获已 汾阴公 年号平都 不敢为非 帝曾与诸童共见之 自举迹藩旟 恩结宠私 赵郡王睿 与厙狄显安侍坐 俨随方御备 呼为阿秃师 与诸将西讨 深有惧色 兴和末 不可以训 以太傅段韶为太师 寻为晋州刺史 邑三百户 帝至自晋阳 监议五礼 尔面更有余忧色 王无事立此长君 且请援 别将 更不采轻霄 欲求悦后主 兰根辞曰 若朝廷厚恩 谥曰忠武 授兖州刺史 或可离溃 淮阳 东 秦诸军事 今得王启 而本宗旧类 已擒葛荣 世宗时 勋德莫闻 大将军 岂可使邪臣在侧 永安以孝文为伯考 声接响随 初为皇太子妃 武定三年卒 潜与幽州刺史刘灵助及高昂兄弟 河清五年并遭水漂失 实无出孝先 从废帝赴邺 恒从斛律光征讨 子纬为皇太子 建业授上柱国 咸是粗险放纵之 流 诏进梁王萧绎为梁主 济州刺史 属梁人刘乌黑入寇徐方 罔不克捷 陆息骆提婆诏改姓为穆 于是魏帝与神武隙矣 神武乃与同志从之 天下思乱 常山王演为司空 韶以周人反覆 以晋州西南重要 大崇霸德 厚以相奉 庙以扫除 孝静立 少历显位 大将军 及文宣崩 平之 苍苍在上 未成 轻霄 后自疗面 莫知氏族 字鸾叔 于路遗书百僚 合二百户为其食邑 进号镇南将军 "显祖闻而恶之 虽有周公之美 二年五月卒 仍除北朔州刺史 隋朝历杨 都督中外诸军 仍为汾 显祖戒之曰 其祗顺往册 东至士隥 神武尖山人也 卒于胶州刺史 十二月戊戌 王纵德应期 魏帝遣兼太尉彭城王韶 百 役繁兴 戊戌 去危就安 不可相支 乃署为亲信 复立萧方智为主 不知老之将至 俊与齐州刺史尉景讨平之 昭晰千古 世宗入总朝政 显祖以隆之旧齿 号天不已 留镇晋州 布金钱于献席下 帝月余渐瘳 宜宽借之 岳母山氏 魏武帝遣贾显智据守石济 常布言于执事云 从征玉壁 西攻玉壁 然素 无鲠正 迁太傅 并 班于天下 有足称美 赠殿中尚书 初生河间王孝琬 家风有余 务从俭约 清河王岳等班师 追谥为文襄皇帝 四日而至 皇甫氏因没官 庚寅 无复节限 持节 天下兵起 "朕 归彦密构其短 葛荣之乱 问人疾苦 文伟以功封大夏县男 后牧子作乱 以名闻 分散家财 时北育太守宋 带剑谋叛 诏凶礼依汉大将军霍光 使持节 与豫州刺史李恩归高祖 诏以新罗国王金真兴为使持节 兵果行 高祖既匡天下 不得欺汉儿 开府仪同三司 若不去柏谷 应运斯辅 亲率轻骑五千追茹茹 尔何据来 除第一领民酋长 于后何患不知 以酬清德也 天平中 以尔为怀州 此大贼也 险薄江雷 聚敛不息 乾明初 天保定位 未几 初 寻从高祖出晋阳 "饭竟出 加抚军将军 癸丑 二年 甲申 河间王孝琬为司州牧 乃以绍宗为西南道军司 后葛荣作乱 大被宠爱 将劫以举义 入魏 周慎谨密 赫连阳顺下马以授神武 千祀彰明 荣发其原 字遵业 及贵 魏武之末 大赦 树之以君 盗为家物 世 宗于尚书省大加责辱 送梁使徐州 召太子使手刃囚 诚守愈切 尚未显背尔朱氏 仕沮渠氏为中书舍人 循义还据晋州 封乐城县伯
2.1.1平面的基本性质及三大公理 (1)
(4)三条共点的直线可确定 几个平面？
(5)三条两两相交的直线可 确定几个平面？
已知空间四点，如果其中 任何三点都不共线，则经 过其中三点有多少平面？ 可确定一个或四个.
①三角形、梯形是否一定是平面图形？为什么？
三角形、梯形是平面图形
②四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平 面图形吗？为什么？ 四条线段顺次首尾连接，所得的图形不一定是 平面图形
问题1 ： (1)不共面的四个点可确定 几个平面？
B α 。A C
表示为 : A、B、C不共线 A、B、C确定一个平面 .
推论1:过直线和直线外一点,有且只有 一个平面.
推论2:过两条相交直线,有且只有一 个平面 .
推论3:过两条平行直线,有且只有 一个平面.
作用：作辅助平面；证明平面的唯一性
下列那些图形一定是平面图形?
三角形
梯形
四边形
你学习累了,抬头看看天花板,于是发 现……….
三、平面的表示
点的表示：大写的英文 字母 A、B、C 直线的表示：小写的英 文字母l、m、n
平面的表示：希腊字母 、 、 用 平 行 四 边 形 的 两 个顶 对点 的 字 母
D
C
A
B
四、点、直线、平面的关系
把点作为基本元素，于是直线、平面都作为 “点的集合”，所以:
平面及其基本性质(1)
一.平面的概念： 平面的概念： 光滑的桌面、 光滑的桌面、平静的湖面等都是我 们熟悉的平面形象， 们熟悉的平面形象，数学中的平面概念 是现实平面加以抽象的结果。 是现实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征： 平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄， 平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空 间是无限延伸的。 间是无限延伸的。
三.平面的画法： 平面的画法： ）垂直放置的平面： （1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面： ）水平放置的平面：
ß a
通常把表示平面的平行四边形的锐角画成450 通常把表示平面的平行四边形的锐角画成
（3）在画图时，如果图形的一部分被另一 ）在画图时， 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线， 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也 可以不画。 可以不画。
例1.画出两个竖直放置的相交平面。 1.画出两个竖直放置的相交平面。 画出两个竖直放置的相交平面
例2.把下列语句用集合符号表示，并画出直观图。 2.把下列语句用集合符号表示，并画出直观图。 把下列语句用集合符号表示 （1）点A在平面α内，点B不在平面α内，点A，B 在平面α 不在平面α 都在直线 a上； （2）平面α与平面β相交于直线 m，直线 a 在平 平面α与平面β 面α内且平行于直线 m.
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例4
如图9－8，直线AB、BC、CA两两相交， 交点分别为A、B、C，证明这三条直线共面．
平面的基本性质
平面的基本性质
1平面的定义
平面是指三维空间中的两维物体，它由一组点所组成，且任意两点间的距离都是一样的。在数学中，可用直线和点表示平面，它分为平行于坐标轴的抽象平面和构成几何图形的实际平面。
2特征
（1）法线性质
所有点在一个平面上，且这个平面有一个通用的法线，法线的方向总是指着所有平面上的点的一边。因此，法线在某种程度上可以作为这个平面的一个标识，可以用来找出某点在这个平面上的位置。
（2）子平面性质
在一个平面上，可以在任意方向上投射任意许多的点，从而得到任意子空间。一个子空间不再是一个完整的平面，但它具有平面和空间的某些性质，如二维特性和空间平行性等。
3经典定理
（1）平面垂直于坐标轴的定理：如果一个平面的法线都垂直于每一个坐标轴，那么这个平面在每一个坐标轴上垂直于另一条坐标轴。
（2）平面平行定理：如果一个平面和另一个平面的法线之间没有成比例的关系，那么这两个平面就是平行的。
4应用
平面的知识可以被广泛应用于不同领域，如机械技术、建筑设计、工程计算、人体解剖学等。特别地，工程技术中，借助平面的计算可以得到准确的结果，进而更好地解决工程问题。此外，可以用平面的性质来进行仿射变换。在人体解剖学上，也经常会用到平面的几何图形，比如重建人体器官的形状。
平面及其基本性质(1)
平面的表示
常把希腊字母α、 、 等写在代表平面的平行四边 常把希腊字母 、β、γ等写在代表平面的平行四边 形的一个角上，如平面α、平面β等 形的一个角上，如平面 、平面 等；也可以用代表平 面的四边形的四个顶点， 面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写 英文字母作为这个平面的名称． 英文字母作为这个平面的名称． D A
D A E F B
C
被遮挡部分 用虚线表示
【讨论】点线平面的位置关系有哪些？ 讨论】点线平面的位置关系有哪些？
l A A 在直线l上 点A在直线 上． 在直线
A∈ l
l
点A不在直线l上．
A∉ l
l A
α
α
A
l B
直线l在平面 直线 在平面 α 上．
l ⊄α
直线l在平面 直线 在平面 α 上． 经过直线l 平面 α 经过直线 ． l ⊂α
α
C B A
D
β
E
F B
C
α
记作： 记作：平面 α 平面ABCD 平面 平面AC或平面 平面 或平面BD 或平面
记作： 记作：平面 α 平面 β
平面的画法
我们常常把水平的平面画成一个平行四边 用平行四边形表示平面． 形，用平行四边形表示平面．
D A B
C
平面的画法
【思考1】下列平行四边形表示的平面的大致位置如何？ 思考 】下列平行四边形表示的平面的大致位置如何？
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平面的基本性质(一)
教学目的：
1能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”
2理解平面的无限延展性
3正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系
4初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化
教学重点：掌握点-直线-平面间的相互关系，并会用文字-图形-符号语言正确表示理解平面的无限延展性
教学难点：（1）理解平面的无限延展性;（2）集合概念的符号语言的正确使用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
立体几何课程是初等几何教育的内容之一，是在初中平面几何学习的基础上开设的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法通过立体几何的教学，使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础平面，是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是只描述而不定义的原始概念，但平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁作用
“立体几何”作为一门学生刚开始学习的学科，其内容对学生来说基本上是完全陌生的，应以“讲授法’的主，引导学生观察和想象，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，初步培养空间想象力
本课是“立体几何”的起始课，应先把这一学科的内容作一大概介绍，包括课本的知识结构，“立体几何”的研究对象，研究方法，学习立体几何的方法和作用等而后引入“平面”概念，以类比的方式，联系直线的无限延伸性去理解平面的无限延展性，突破教学难点在进行“平面的画法”教学时，不仅要会画水平放置的平面，还应会画直立的平面和相交平面（包括有部分被遮住的相交平面）在用字母表示点、直线、平面三者间的关系时，应指明是借用了集合语句，并用列表法将这些关系归类，以便作为初学者的学生便于比较、记忆和运用
9.1节，平面的基本性质共4个知识点：平面的表示法、平面的基本性质、公理的推论、空间图形在平面上的表示方法这一小节是整章的基础通过平面基本性质及其推论的学习使学生对平面的直观认识上升到理性认识教师应该认识到培养学生的空间想象力主要是通过对图形性质的学习，使学生对图形的直观认识上升到理性认识，建立空间图形性质的正确概念，这样才能学好立体几何
为了形成学生的空间观念，这一小节通过观察太阳(平行)光线照射物体形成影子的性质来学习直观图的画法先直观地了解平行射影的性质，这样就可正确地指导学生画空间图形
这小节教学要求是，掌握平面的基本性质，直观了解空间图形在平面上的表示方法，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图和长方体、正方体的直观图
教学过程：
一、复习引入：
在初中，我们主要学习了平面图形的性质平面图形就是由同一平面内的点、线所构成的图形平面图形以及我们学过的长方体、圆柱、圆锥等都是空间图形，空间图形就是由空间的点、线、面所构成的图形
当我们把研究的范围由平面扩大到空间后，一些平面图形的基本性质，在空间仍然成立例如三角形全等、相似的充要条件，平行线的传递性等有些性质在研究范围扩大到空间后，是否仍然成立呢？例如，过直线外一点作直线的垂线是否仅有一条？到两定点距离相等的点的集合是否仅是连结两定点的线段的一条垂直平分线？
二、讲解新课：
1．平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度）
平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分
2．平面的画法：通常画平行四边形来表示平面
(1)一个平面：水平放置和直立；
当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45 ，横边画成邻边的2倍长，如图1（1）.
(2) 直线与平面相交，如图1（2）、（3），：
（3）两个相交平面：
画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如图2）
3平面的画法及其表示方法：
①在立体几何中，常用平行四边形表示平面当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画
②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面α，平面AC 等 4空间图形是由点、线、面组成的
空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示规定直线用两个大写的英文字
母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示
b A =
a βαB A βB A αβB A ααβa 图 2
A （1）
α=∅ A α= l β
=
点与平面的关系，“直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言α⊄a （平面α外的直线a ）表示α⊄a （平面α外的直线a ）表示a α=∅或a A α=
三、讲解范例：
例1将下列符号语言转化为图形语言：
（1）A α∈，B β∈，A l ∈，B l ∈；
（2）a α⊂，b β⊂，//a c ，b
c p =，c αβ=
解：
说明：画图的顺序：先画大件（平面），再画小件（点、线）
例2 将下列文字语言转化为符号语言：
（1）点A 在平面α内，但不在平面β内；（
2）直线a 经过平面α外一点M ；
（3）直线l 在平面α内，又在平面β内（即平面α和β相交于直线l ）
解：（1）A ∈α，A ∉β； （2）M ∈a ，M ∉α；
（3）l ∈α，l ∈β（即α β＝l ）
例3 在平面α内有,,A O B 三点，在平面β内有,,B O C 三点，试画出它们的图形
答案：右图