第六章 频率响应与磁耦合电路

图6.13 一阶高通滤波器
相应的传递函数幅度为
| H (ω )|=
ω RC
1+ω 2 R 2 C 2 ωc RC
1 + ωc 2 R 2C 2 = 1 2
由
| H (ωc ) |=
解得
ωc =
1 RC
图6.14 一阶高通滤波器的幅频响应
频率响应与磁耦合电路
(c)无源带通滤波器 滤波器的传递函数为
H (ω ) = Vo R = V i R + j (ω L − 1 ) ωC
| 因此，RLC串联电路谐振条件下，VL |和 | VC |相等，均 为源电压有效值的Q倍。
频率响应与磁耦合电路
传递函数有很高的频率选择性，可以作为带通滤波器 1 ω = | H (ω ) | 使用，该带通滤波器的中心频率为谐振频率 LC 。 1 为其最大值的 2 时对应的频率称为截止频率（cutoff ω frequency），分别记为 ω ，（ ω > ω ），则带通滤波器的 带宽（bandwidth)B定义为 B = ω2 − ω1。
频率响应与磁耦合电路
• 频率响应、谐振与滤波器
• 电路的频率响应及描述方法 • 谐振电路 • 滤波器
频率响应与磁耦合电路
• 电路的频率响应及描述方法
对于图6.4所示的二端口网络，电路在频率为 ω 的电 源激励下，传递函数（transfer function）H (ω ) 是输出 Y （ Vo 或 I o ）与输入 X（ Vi 或 Ii ）之比。 即 H (ω ) = Y
频率响应与磁耦合电路
滤波器可分为低通、高通、带通和带阻滤波器四种。
(a) 低通滤波器，(b) 高通滤波器，(c) 带通滤波器，(d) 带阻滤波器 低通滤波器， 高通滤波器， 带通滤波器，
频率响应与磁耦合电路
• 按所处理的信号来分，滤波器分为模拟滤波器和数字滤波 器。数字滤波器是利用离散时间系统的特性对输入数字信 号的频率进行处理。数字滤波器一般可以用两种方法来实 现：一种方法是利用数字信号处理机；另一种方法是利用 通用计算机，即利用计算机软件来实现。数字滤波器不在 本书的讨论范围之内，这一节只关注模拟滤波器。 • 按所采用的器件来分，模拟滤波器分为无源滤波器和有源 滤波器。无源滤波器是仅由无源元件(R、L和C)组成的滤 波器。有源滤波器是由无源元件(一般用R和C)和有源器件 (如集成运算放大器）组成的滤波器。
| H (ω ) |=
1 = |Z |
1 R 2 +(ω L1 2 ) ωC
图6.6 频谱图
频率响应与磁耦合电路
当 LC 时 ，Z的虚部为0，| H (ω ) | 取得最 大值，称RLC串联电路在此 时发生谐振。故RLC串联电 路的谐振频率（固有频率） 为
ω0 =
1 LC
ω0 L −
1 =0 ω0 C
图6.11 一阶低通滤波器
相应的传递函数幅度为
| H (ω )|= 1 1+ω 2 R 2 C 2 1
1 + ωc 2 R 2C 2 = 1 2
由
| H (ωc ) |=
解得
ωc =
1 RC
图6.12 一阶低通滤波器的幅频响应
频率响应与磁耦合电路
(b)无源高通滤波器 滤波器的传递函数为
H (ω ) = Vo R jω RC = = V i R+ 1 1 + jω RC jωC
r +ω L r ωL = 2 + j (ωC − 2 ) 2 2 2 2 r +ω L r +ω L jω L + r
谐振时导纳Y的虚部为0 ωL ωC− =0 即 r +ω L
0 0 2 2 2 0
1 r2 ω0 = + CL L2
频率响应与磁耦合电路
1 f0 = 2π 1 r2 + CL L2
图6.15 一阶带通滤波器
频率响应与磁耦合电路
品质因数Q，推导得到
Q= R = ω0 CR ω0 L
电感电流有效值 | I L | 和电容电流有效值 | IC |分别可表示为
| I L |= IR = QI ω0 L
| I C |= IRω0C = QI
| |I RLC并联电路谐振条件下，L |和| IC 均为源电流有效值的Q倍
RLC并联电路的带宽 B 为
B=
ω 1 = 0 RC Q
1
结论：对于相同的中心频率 LC ，Q值越高，带通滤波器 的带宽B越窄，传递函数幅值曲线越陡，频率选择性越好
ω0 =
频率响应与磁耦合电路
例题6.2 收音机的调谐电路由一个100pF的电容和一个 200mH的电感组成，若电感的内阻是400 Ω ，谐振频率是 多少？若电感电阻降到40 Ω ，则谐振频率又是多少？ 解：电路如图6.9所示（r为电感的内阻） 输入导纳 Y = jωC + 1 = jωC + r2 − jω L2 2
| H (ω ) |=
并联RLC频率电路谐振频率为
ω0 =
1 LC
图6.8 幅频响应
频率响应与磁耦合电路
在RLC并联电路谐振条件下，有如下性质： 1)传递函数的幅值到最大值R。 2) 3) 电路的导纳为实数，Y =
1 R
。
Is
V = R，因此，电压V和电流 Is
同相。
4) 电路储存于电感中的磁场能与存储于电容元件中的电场 之间进行能量交换，电磁场能量总和不变。
时，即ω0 =
1
| H (ω ) |=
1 = |Z |
1 R 2 +(ω L1 2 ) ωC
频率响应与磁耦合电路
在RLC串联电路谐振条件下，有如下性质： 1 1）传递函数的幅值取得最大值 R 。 2） 电路的阻抗为纯电阻，Z = R 。 3）
I 1 = Vs R
，因此，电流
Vs 和电压 I
同相。
4） 电路储存于电感中的磁场能与存储于电容元件中的电 场之间进行能量交换，电磁场能量总和不变。
品质因数(the quality factor)定义为：
Q = 2π 电路储存的电磁场能 振荡一周期电路所消耗的能量
1 W = LI m 2 ，电路耗 对于串联谐振电路电路储存的电磁场能 2 I 1 P = ( m ) 2 R = I m 2 R ，振荡一周期电路所消耗的 能的平均功率 2 2 1 2 2π ，因此， 能量为 PT = I m R 2 ω0 1 LI m 2 ωL Q = 2π 2 = 0 1 2 2π R Im R 2 ω0
频率响应与磁耦合电路
1、无源滤波器 无源滤波器的优点是：电路比较简单，不需要直流电源供 电，可靠性高。缺点是：通带内的信号有能量损耗，负载 效应比较明显。
频率响应与磁耦合电路
(a)无源低通滤波器 滤波器的传递函数为
1 V 1 jωC H (ω ) = o = = V i R+ 1 1 + jω RC jωC
频率响应与磁耦合电路
考 虑 图 6.5 所 示 的 串 联 RLC谐振电路，激励电源是 频率为 ω 的正弦电压源 Vs ， 将电流 I 视为输出，则电路 的传递函数为
H (ω ) =
Z = R + jω L +
图6.5 串联RLC谐振电路
I 1 = Vs Z
1 1 = R + j (ω L − ) ωC jωC
0
0
0
0.574MHz ≤ f 0 ≤ 1.959MHz
频率响应与磁耦合电路
2、并联谐振电路 图6.7所示的并联RLC频率电路。
H (ω ) =
Y=
V 1 = Is Y
图6.7 并联RLC频率电路
1 1 1 1 + jωC + = + j (ωC − ) R jω L R ωL
1 = |Y | 1 1 1 2 +(ωC ) 2 R ωL
由于
ω0 =
LC ，于是1源自Q=ω0 LR
=
1 ω0 CR
频率响应与磁耦合电路
| RLC串联电路谐振条件下，电感两端电压有效值 | VL 和 电容两端电压有效值 | VC |分别可表示为
| VL |= I ω0 L = V ω0 L = QV R
| VC |=
I V = = QV ω0C Rω0 C
频率响应与磁耦合电路
证明： 不妨设电压源的初始相位为0，则电压源瞬时值为vs = Vm sin ω0t 。 1 ω0 ，此时 Z = R ，ω = 电路谐振于 LC V sin ω t 则电感的电流瞬时值 i = R = I sin ω t I 1 u = • I sin(ω t − 90ο ) = cos ω t 电容两端的电压瞬时值 ωC ωC 电感储存的磁场能 W = 1 Li = 1 LI sin ω t 2 2 电容储存的电场能 W = 1 Cu = 1 C ( I ) cos ω t = 1 I cos ω t 2 2 ωC 2 Cω 1 1 ω = 由 可得 W = LI cos ω t LC 2 电磁场能量总和
0
m
0
L
m
0
m
C
m
0
0
0
0
L
2 L
2 m
2
0
2
2
m
2
2
m
2
C
c
0
2
0
0
0
0
2
2
C
m
0
W = WC + WL =
谐振条件下任意时刻串联电路中的电磁场能量总和等于常量
1 1 1 LI m 2 sin 2 ω0 t + LI m 2 cos 2 ω0 t = LI m 2 2 2 2