关于三项指数和的四次均值问题

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其中Ｃ（ｋ，Ｐ）定义如下：
Ｐ一１Ｐ一１Ｐ一】
ｃ（ｋ，ｐ）＝∑ ∑ ∑ １。
项指数和的四次均值问题，并讨论了其性质，给出了一个有趣的恒等式和渐近公式。
关键词：三项指数和；四次均值；Ｇａｕｓｓ和；恒等式；渐近公式文献标识码：Ａ文章编号：１０００．２７４Ｘ（２０１３）０４－０５４１０－４中图分类号：０１５６．７
Ｏｎｔｈｅｆｏｕｒｔｈｐｏｗｅｒｍｅａｎｏｆｔｈｅｔｈｒｅｅ・ｔｅｒｍｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｓｕｍｓ
ＤＵＸｉａｎ — ｔｕｎ．ＨＡＮＤｉ
（１．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＴｅａｃｈｅｒＳＥｄｕｃａｔｉｏｎ，ＨｏｎｇｈｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｍｅｎｇｚｉ６６１１９９，Ｃｈｉｎａ；
设ｑ≥ ３是一个正整数。对任意整数ｍ和ｎ，三
项指数和Ｃ（ｍ，Ｉｉ，，ｋ；ｑ）定义如下：
计式（１）应该是最好的结果。事实上，对于式（２），可以运用解析方法给出一个精确的计算公式。本文的主要目的就是阐述这一点。即证明如下的定理。
２．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｎｏ￣ｈｗｅｓｔＵｎｉｖｅｓｒｉｔｙ，ＸｉａＮ７１０１２７，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｏｎｔｈｅｂａｓｉｓｏｆｔｈｅｅｓｔｉｍａｔｅｆ０ｒｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｓｕｍｓａｎｄｔｈｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆＧａｕｓｓｓｕｍｓ，ｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆｔｈｅ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｈｅｔｈｒｅｅ－ｔｅｍｒｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｓｕｍｓ；ｆｏｕｒｔｈｐｏｗｅｒｍｅａｎ；ｇａｕｓｓｓｕｍｓ；ｉｄｅｎｔｉｔｙ；ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｆｏｒｍｕｌａ
西北大学学报（自然科学版）２０１３年８月，第４３卷第４期，Ａｕｇ．，２０１３，Ｖｏ１．４３，Ｎｏ．４
ＪｏｕｎａｒｌｏｆＮｏ￣ｈｗｅｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
ｑ＝Ｐ是一个奇素数，当０＜ｎ＜Ｐ并且Ｐ时，整
∑∑ Ｉ ∑ｅ（
２ｐ一３ｐ一Ｐｃ（ｋ，Ｐ），
）＝Ｉ
系数多项式ｇ（ｘ）：ａｎｘ＋… ＋ａ１＋ａ。有如下估
计：
ｐ一１，、
ｒＪＮＷＵ
关于三项指数和的四次均值问题
杜先存，韩迪
７１０１２７）
（１．红河学院教师教育学院，云南蒙自６６１１９９；２．西北大学数学系，陕西西安
摘要：运用三角和的估计以及Ｇａｕｓｓ和的性质，引入了三项指数和Ｃ（ｍ，ｎ，ｋ；ｇ）和的概念，研究了三
Ｃ（ｍ，，五；９）＝∑ｅ（
ａ＝１
）。
定理１设Ｐ＞３是一个素数。对于任意整数ｋ
≥３，有恒等式
其中ｋ≥ ３是一个给定的整数，并且ｅ（ｙ）＝ｅ～。
关于指数和的性质，许多专家也已经研究过，并且给出了一系列结论，参见文献［１—７］。例如，如果
ｏｆｔｈｒｅｅ — ｔｅｍｒｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｓｕｍｓｉｓｓｔｕｄｉｅｄ，ａｎｄｉｔｓｐｒｏｐｅｒｔｉｔｓａｒｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄＡｎｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇｉｄｅｎｔｉｔｙａｎｄａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｆｏｍｕｒｌａａｒｅｇｉｖｅｎ．
ｔｈｒｅｅｔｅｒｍｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｓｕｍＣ（ｍ，ｎ，ｋ；口）ｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ，ｔｈｅｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｐｒｏｂｌｅｍｏｆｏｎｅｋｉｎｄｆｏｕｔｒｈｐｏｗｅｒｍｅａｎ