直线与圆锥曲线的位置关系ppt课件演示文稿
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直线与圆锥曲线的位置关系 课件(62张)
而
x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+ 2)(kx2+ 2)=(k 2+1)x1x2+ 2k(x1+x2)+2=(k2+1)·
6 2k
-9
1-3 2
+ 2k·
2
+2=
1-3 2
2
3 +7
于是
3 +7
3 2-1
,
1
3
>2,解此不等式得 <k 2<3.②
3 2-1
1
由①②得 <k 2<1.
3
故 k 的取值范围为 -1,-
3
3
∪
3
,1
3
.
在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时,先联立方程组,再消去
x(或 y),得到关于 y(或 x)的方程,如果是直线与圆或椭圆,则所得方程一定为
一元二次方程;如果是直线与双曲线或抛物线,则需讨论二次项系数等于
零和不等于零两种情况,只有二次方程才有判别式,另外还应注意斜率不
或|MN|= 1 +
1
2 |y1-y2|=
1+
1
2
[(1 + 2 )2 -41 2 ]求距离.
(2)当直线的斜率 k 不存在时,可求出交点坐标,直接计算.
x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+ 2)(kx2+ 2)=(k 2+1)x1x2+ 2k(x1+x2)+2=(k2+1)·
6 2k
-9
1-3 2
+ 2k·
2
+2=
1-3 2
2
3 +7
于是
3 +7
3 2-1
,
1
3
>2,解此不等式得 <k 2<3.②
3 2-1
1
由①②得 <k 2<1.
3
故 k 的取值范围为 -1,-
3
3
∪
3
,1
3
.
在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时,先联立方程组,再消去
x(或 y),得到关于 y(或 x)的方程,如果是直线与圆或椭圆,则所得方程一定为
一元二次方程;如果是直线与双曲线或抛物线,则需讨论二次项系数等于
零和不等于零两种情况,只有二次方程才有判别式,另外还应注意斜率不
或|MN|= 1 +
1
2 |y1-y2|=
1+
1
2
[(1 + 2 )2 -41 2 ]求距离.
(2)当直线的斜率 k 不存在时,可求出交点坐标,直接计算.
直线与圆锥曲线的位置关系精品课件
通常利用方程根与系数的关系求得 应用公式： AB 1 k 2 x1 x2 有关弦中点的问题可利用中点公式及根与系数的 关系解决。 例3、抛物线 y 4 x 的一条弦的中点为 求此弦所在的直线方程。
2
3,2 ，
(法一)：设弦交抛物线于A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
1 解： k OD , k AB 2 2 则 AB方程为y 1 2( x 2) 即 y -2x 5
y 2 x 5 2 4 x 2(10 p) x 25 0 2 y 2 px
设A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 则x1 , x2是上述方程的二个根 25 x1 x2 4
1 同理OB的方程为：y x k B 2 pk 2 ,2 pk
x1 x2 4 p , y1 y2 4 p
2
2
变题一：若一直线与抛物线y 2 2 px( p 0) 交于A、B两点，且OA OB , 点O在直线AB上的射影为D (2,1), 求抛物线方程。
作业：
请同学们在书上或者其它参考材料上找两个有 关直线和圆锥曲线的问题，要求能够体现一题多解 、多题一解、一题多变的思想！
x2 y2 四： [备用题] 已知直线L交椭圆 1于M、N两点，B(0,4)是椭圆 20 16 的一个顶点，若BMN 的重心位于椭圆的右焦点，求直线L的方程。
2
3,2 ，
(法一)：设弦交抛物线于A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
1 解： k OD , k AB 2 2 则 AB方程为y 1 2( x 2) 即 y -2x 5
y 2 x 5 2 4 x 2(10 p) x 25 0 2 y 2 px
设A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 则x1 , x2是上述方程的二个根 25 x1 x2 4
1 同理OB的方程为：y x k B 2 pk 2 ,2 pk
x1 x2 4 p , y1 y2 4 p
2
2
变题一：若一直线与抛物线y 2 2 px( p 0) 交于A、B两点，且OA OB , 点O在直线AB上的射影为D (2,1), 求抛物线方程。
作业：
请同学们在书上或者其它参考材料上找两个有 关直线和圆锥曲线的问题，要求能够体现一题多解 、多题一解、一题多变的思想！
x2 y2 四： [备用题] 已知直线L交椭圆 1于M、N两点，B(0,4)是椭圆 20 16 的一个顶点，若BMN 的重心位于椭圆的右焦点，求直线L的方程。
【高中数学】公开课： 直线与圆锥曲线的位置关系ppt课件
10若a=0，直线l与抛物线对称轴平行或重合
20若a≠0，设Δ=b2-4ac
0：有两个不同的交点
0：有一个交点
0：无交点
10
例2.直线y-ax-1=0与双曲线3x2-y2=1交于A,B两点.
(1)当a为何值时，A、B在双曲线的同一支上?
(2)当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点?
解析(1)
(D)不确定
【解题回顾】
过封闭曲线内的点的 直线必与此曲线相交
5
变1:不论k为何值, 直线 y=kx+b 与椭 圆 y2/9+ x2/4 =1总 有公共点,求b的取 值范围？
变2:若直线kx-y+1=0与椭圆x2/5+y2/m=1对于 任何实数k恒有公共点，则实数m的取值范围？
6
评析2： 2.若直线y=kx-1与双曲线x2/9-y2/4=1仅有一个公共 点,则这样的k可取_4__个值.
B
解析(2)
A
O
【解题回顾】注意直线与双曲线渐近线的关系, 注意一元二次方程首项系数是否为零的讨论
11
例3:已知双曲线x2-y2/2=1,过点P(1,1)能否 作一条直线l与双曲线交于A,B两点,且P为 AB的中点；若存在，求AB的弦长。
解法一:(韦达定理) 解法二:(点差法)
AB | x1 x2 | 1 k 2
《直线与圆锥曲线的位置》课件1 (北师大版必修2).ppt
∴
或
点评：本例利用了方程的思想对参数的值进行讨论求解。
例3.已知：椭圆
及点B(0,-2)过左焦点F 与B的
直线交椭圆于 C 、D 两点，椭圆的右焦点为F2 ，
求⊿CDF2
的面积。
D
y
F2 F1
C o
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B (0,-2)
解：∵ F1(-1,0)
∴ 直线BF1的方程为 y= -2x-2代入椭圆方程得：9x2 +16x+6=0
16 2 10 )2 4 2 9 3 3 4 5 又∵ 点F2(1,0)到直线BF1的距离d= 5
∴CD= 1 ( 2)2 (
1 4 ∴SΔCDF2= CD.d= 10 9 2
点评：本题使用了弦长公式及点到直线的距离公式来解决问题， 这是一种基本的解题方法。
思考题：若将直线绕F1旋转，求⊿CDF2面积的最大值。
点，|AB|=4 ,则这样的直线存在( ) A.一条 B.二条 C.三条 D.四条
解：观察演示可得三条。选C
四.总结：
1. 利用基本方法，如对方程组解的讨论、弦长公式等是解决问题的基本方法。 2. 数形结合、以形助数是我们解决问题的一个重要思想。
时，直线与抛物线无公共点。
点评：本题利用方程思想及数形结合的思想解决问题。尤其是k=0时 直线与抛物线有一个公共点，而k=0时，⊿>0.
或
点评：本例利用了方程的思想对参数的值进行讨论求解。
例3.已知：椭圆
及点B(0,-2)过左焦点F 与B的
直线交椭圆于 C 、D 两点，椭圆的右焦点为F2 ，
求⊿CDF2
的面积。
D
y
F2 F1
C o
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B (0,-2)
解：∵ F1(-1,0)
∴ 直线BF1的方程为 y= -2x-2代入椭圆方程得：9x2 +16x+6=0
16 2 10 )2 4 2 9 3 3 4 5 又∵ 点F2(1,0)到直线BF1的距离d= 5
∴CD= 1 ( 2)2 (
1 4 ∴SΔCDF2= CD.d= 10 9 2
点评：本题使用了弦长公式及点到直线的距离公式来解决问题， 这是一种基本的解题方法。
思考题：若将直线绕F1旋转，求⊿CDF2面积的最大值。
点，|AB|=4 ,则这样的直线存在( ) A.一条 B.二条 C.三条 D.四条
解：观察演示可得三条。选C
四.总结：
1. 利用基本方法，如对方程组解的讨论、弦长公式等是解决问题的基本方法。 2. 数形结合、以形助数是我们解决问题的一个重要思想。
时，直线与抛物线无公共点。
点评：本题利用方程思想及数形结合的思想解决问题。尤其是k=0时 直线与抛物线有一个公共点，而k=0时，⊿>0.
直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳ppt课件
2px0
圆锥曲线为抛物线 y2＝2px(p＞0)时，有 kAB＝ y0 .
a
17
求椭圆
x2 y2 94
1
被点
Q(2,1)平分的弦 AB
所在的直线方程
.
a
18
已知在平面直角坐标系 中的一个椭圆，它的中心在原点，
左焦点为 F ( 3, 0) ,右顶点为 D ( 2, 0 ) ,设点 A
（1）求该椭圆的标准方程；
|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ (1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]
＝ 1＋k12|y1－y2|＝ (1＋k12)[(y1＋y2)2－4y1y2].
a
13
1.直线y=kx-k+1与椭圆 x2 y2 1 的位置关系为( A )
(A) 相交 (B) 相切 9 (C)4相离
(D) 不确定
故①△>0 相交 ②△=0 相切 ③△<0 相离
所以“直线与抛物线或双曲线有一个 公共点是直线与抛物线或双曲线相切 的必要不充分条件”
a
11
把直线方程代入圆锥曲线方程
得到一元一次方程
双曲线， 直线与 渐近线平行
相交1
抛物线， 直线与 对称轴平行 或重合
相交1 a
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0
33或
k＜－
《直线与圆锥曲线的位置》课件1 (北师大版必修2).ppt
例1.当k为何值时，直线y=kx+k-2与抛物线 y =4x2有两个公共点? 仅有一个公共点? 无公共点。
解：
得k 2x 2+2(k 2-2k-2)x+(k-2)2 =0 ⊿=-16(k2 -2k-1)
1).当⊿>0时，即 2). 当⊿=0时，即
个公共点。 3).当 或
且k≠0时有两个公共点。
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或k=0 时，直线与抛物线有一
时，直线与抛物线无公共点。
点评：本题利用方程思想及数形结合的思想解决问题。尤其是k=0时 直线与抛物线有一个公共点，而k=0时，⊿>0.
例2.已知：A(-3,4),B(4,4)若线段AB与椭圆
没有公共点。求正数a的取值范围。
解：线段AB的方程为 y=4 (-3≤x≤4) 得：x =a2 - 8
ⅰ.当a2 -8<0时，方程组无解，即 ⅱ.当a2 -8>4 时，方程组无解，即
16 2 10 )2 4 2 9 3 3 4 5 又∵ 点F2(1,0)到直线BF1的距离d= 5
∴CD= 1 ( 2)2 (
1 4 ∴SΔCDF2= CD.d= 10 9 2
点评：本题使用了弦长公式及点到直线的距离公式来解决问题， 这是一种基本的解题方法。
思考题：若将直线绕F1旋转，求⊿CDF2面积的最大值。
高考数学一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系课件理
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1、x2 是方程 x2＋4x－m＝0 的两个不等实根．
∴|x1－x2|＝ x1＋x22－4x1x2＝ 16＋4m. ∵点 A、B 也在直线 y＝2x 上，
∴|y1－y2|＝2|x1－x2|＝2 16＋4m， ∴|AB|＝ x1－x22＋y1－y22 ＝ 16＋4m＋416＋4m
所求的弦长为 2 答案： 2
1－12＝ 2.
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源
1.判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，可将直线 l 的 方程代入曲线 C 的方程，消去 y(也可以消 x)得一个关于变量 x 的一元方程 ax2＋bx＋c＝0.
(1)当 a≠0 时，则有△＞0，l 与 C 相交；△＝0，l 与 C 相 切；△＜0，l 与 C 相离．
8．8 直线与圆锥曲线的位置关系
考纲点击 1.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题 (直线与圆锥曲线的位置关系) 2.理解数形结合的思想．
说基础
课前预习读教材
考点梳理 一、直线与圆锥曲线的位置关系 1 ． 从 几 何 角 度 看 ， 可 分 为 三 类 ： ① ____________ ， ② __________________及有两个③____________. 2．从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲 线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为 f(x，y)＝0.
第八节-直线与圆锥曲线的位置关系
应有Δ>0,所以x1,x2(或y1,y2)是方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)的两个根.
由根与系数的关系得x1+x2=-
b a
,x1·x2= c
a
或y1
y2
b a
,
y1 y2
c a
,以此结合
弦长公式可整体代入求值.A、B两点间的距离|AB|=⑥ 1 k2 |x1-x2| =
1 k 2 · (x1 x2 )2 4x1x2 (其中k为直线l的斜率),也可以写成关于y的形式,
2.直线与圆锥曲线相交的弦长问题
教材研读 栏目索引
直线l:f(x,y)=0,圆锥曲线r:F(x,y)=0,l与r有两个不同的交点A(x1,y1),B(x2,
y2),则A、B两点的坐标是方程组
f (x, F ( x,
y) y)
00,的两组解,方程组消元后化为
关于x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0),判别式Δ=b2-4ac,
解得t1=
1 2
或t2=-1(舍),
∴
k
2 2
,
或
k
2, 2
b 2 b 2.
∴直线l的方程为y= 2 x+ 2 或y=- 2 x- 2 .
2023高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第八节直线与圆锥曲线的位置关系pptx课件北师大版
1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定
(1)代数法:把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y,整理得到关于x的方程
ax2+bx+c=0.
a=0
a≠0
曲线C为双曲线,直线l为其渐近线
方程ax2+bx+c=0的解
b=0
无解
b≠0
有一解
Δ>0
两个不相等的解
Δ=0
两个相等的解
Δ<0
无解
l与C的交点个数
0
1
2
1
0
对双曲线来说,直线l可能平行于渐近线;对抛物线来说,直线l可能与抛物线
.
答案 (1)D
(2)y=2x-4
= + 2,
解析 (1)由 2 2
得(1-k2)x2-4kx-10=0.设直线与双曲线的交点为
- = 6
1- 2 ≠ 0,
= 16 2 -4 × (1- 2 ) × (-10) > 0,
4
A(x1,y1),B(x2,y2),则 1 + 2 =
1 2 =
解得-
15
<k<-1.故选
3
D.
2
1-
-10
2
1-
> 0,
> 0,
(2)(方法 1)易知切线斜率存在,设切线方程为 y-4=k(x-4).
(1)代数法:把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y,整理得到关于x的方程
ax2+bx+c=0.
a=0
a≠0
曲线C为双曲线,直线l为其渐近线
方程ax2+bx+c=0的解
b=0
无解
b≠0
有一解
Δ>0
两个不相等的解
Δ=0
两个相等的解
Δ<0
无解
l与C的交点个数
0
1
2
1
0
对双曲线来说,直线l可能平行于渐近线;对抛物线来说,直线l可能与抛物线
.
答案 (1)D
(2)y=2x-4
= + 2,
解析 (1)由 2 2
得(1-k2)x2-4kx-10=0.设直线与双曲线的交点为
- = 6
1- 2 ≠ 0,
= 16 2 -4 × (1- 2 ) × (-10) > 0,
4
A(x1,y1),B(x2,y2),则 1 + 2 =
1 2 =
解得-
15
<k<-1.故选
3
D.
2
1-
-10
2
1-
> 0,
> 0,
(2)(方法 1)易知切线斜率存在,设切线方程为 y-4=k(x-4).
直线与圆锥曲线的位置关系
A
O
x
【解题回顾】注意直线与双曲线渐近线的关系, 即一元二次方程首项系数是否为零的讨论。
例3:已知双曲线x2-y2/2=1,过点P(1,1)能否作 一条直线l与双曲线交于A,B两点,且P为AB的 中点；若存在，求AB的弦长。 解法一:(韦达定理) 解法二:(点差法)
AB | x1 x 2 | 1 k 2
0 方程有两相等实根 相切(于一点) 0
方程没有实根
相离(无公共点)
知识点二:
圆锥曲线中的弦长问题
y2 x 1 4
2
已知直线 l : y x 5与双曲线 C : 例1： 于 A、B 两点，求弦| AB |的长，中点坐标。
交
能力·思维·方法 【引申训练】
3）相交
有一个交点
有两个交点
要点·疑点·考点
设直线 l ：Ax By C 0 ，圆锥曲线 C ： ( x, y ) 0 F
代 数 角 度
由
Ax By C 0 F ( x, y ) 0
ax2 bx c 0
(1)当 a 0时，若一次方程有解，则只有一解，即直线与圆锥曲线只有一个交点 此时，若圆锥曲线为双曲线，则直线与渐近线平行 若圆锥曲线为抛物线， 则直线与对称轴平行或重合 (2)当 a 0 时， 0 方程有两不等 实根 相交(于两点)
O
x
【解题回顾】注意直线与双曲线渐近线的关系, 即一元二次方程首项系数是否为零的讨论。
例3:已知双曲线x2-y2/2=1,过点P(1,1)能否作 一条直线l与双曲线交于A,B两点,且P为AB的 中点；若存在，求AB的弦长。 解法一:(韦达定理) 解法二:(点差法)
AB | x1 x 2 | 1 k 2
0 方程有两相等实根 相切(于一点) 0
方程没有实根
相离(无公共点)
知识点二:
圆锥曲线中的弦长问题
y2 x 1 4
2
已知直线 l : y x 5与双曲线 C : 例1： 于 A、B 两点，求弦| AB |的长，中点坐标。
交
能力·思维·方法 【引申训练】
3）相交
有一个交点
有两个交点
要点·疑点·考点
设直线 l ：Ax By C 0 ，圆锥曲线 C ： ( x, y ) 0 F
代 数 角 度
由
Ax By C 0 F ( x, y ) 0
ax2 bx c 0
(1)当 a 0时，若一次方程有解，则只有一解，即直线与圆锥曲线只有一个交点 此时，若圆锥曲线为双曲线，则直线与渐近线平行 若圆锥曲线为抛物线， 则直线与对称轴平行或重合 (2)当 a 0 时， 0 方程有两不等 实根 相交(于两点)
《直线与圆锥曲线的位置》课件1 (北师大版必修2).ppt
∴
或
点评：本例利用了方程的思想对参数的值进行讨论求解。
例3.已ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：椭圆
及点B(0,-2)过左焦点F 与B的
直线交椭圆于 C 、D 两点，椭圆的右焦点为F2 ，
求⊿CDF2
的面积。
D
y
F2 F1
C o
x
B (0,-2)
解：∵ F1(-1,0)
∴ 直线BF1的方程为 y= -2x-2代入椭圆方程得：9x2 +16x+6=0
点，|AB|=4 ,则这样的直线存在( ) A.一条 B.二条 C.三条 D.四条
解：观察演示可得三条。选C
四.总结：
1. 利用基本方法，如对方程组解的讨论、弦长公式等是解决问题的基本方法。 2. 数形结合、以形助数是我们解决问题的一个重要思想。
直线与圆锥曲线的位置关系
一． 基本方法： 1. 直线与圆锥曲线的位置关系可以通过对直线方 程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组的解的 情况的讨论来研究。即方程消元后得到一个一元 二次方程，利用判别式⊿来讨论(注⊿≠0时，未 必只有二个交点)。 2. 直线与圆锥曲线的位置关系，还可以利用数形 结合、以形助数的方法来解并决。 3. 如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两 端点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)则弦长公式为：
时，直线与抛物线无公共点。
点评：本题利用方程思想及数形结合的思想解决问题。尤其是k=0时 直线与抛物线有一个公共点，而k=0时，⊿>0.
或
点评：本例利用了方程的思想对参数的值进行讨论求解。
例3.已ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：椭圆
及点B(0,-2)过左焦点F 与B的
直线交椭圆于 C 、D 两点，椭圆的右焦点为F2 ，
求⊿CDF2
的面积。
D
y
F2 F1
C o
x
B (0,-2)
解：∵ F1(-1,0)
∴ 直线BF1的方程为 y= -2x-2代入椭圆方程得：9x2 +16x+6=0
点，|AB|=4 ,则这样的直线存在( ) A.一条 B.二条 C.三条 D.四条
解：观察演示可得三条。选C
四.总结：
1. 利用基本方法，如对方程组解的讨论、弦长公式等是解决问题的基本方法。 2. 数形结合、以形助数是我们解决问题的一个重要思想。
直线与圆锥曲线的位置关系
一． 基本方法： 1. 直线与圆锥曲线的位置关系可以通过对直线方 程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组的解的 情况的讨论来研究。即方程消元后得到一个一元 二次方程，利用判别式⊿来讨论(注⊿≠0时，未 必只有二个交点)。 2. 直线与圆锥曲线的位置关系，还可以利用数形 结合、以形助数的方法来解并决。 3. 如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两 端点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)则弦长公式为：
时，直线与抛物线无公共点。
点评：本题利用方程思想及数形结合的思想解决问题。尤其是k=0时 直线与抛物线有一个公共点，而k=0时，⊿>0.
《直线与圆锥曲线的位置》课件1 (北师大版必修2).ppt
16 2 10 )2 4 2 9 3 3 4 5 又∵ 点F2(1,0)到直线BF1的距离d= 5
∴CD= 1 ( 2)2 (
1 4 ∴SΔCDF2= CD.d= 10 9 2
点评：本题使用了弦长公式及点到直线的距离公式来解决问题， 这是一种基本的解题方法。
思考题：若将直线绕F1旋转，求⊿CDF2面积的最大值。
点，|AB|=4 ,则这样的直线存在( ) A.一条 B.二条 C.三条 D.四条
解：观察演示可得三条。选C
四.总结：
1. 利用基本方法，如对方程组解的讨论、弦长公式等是解决问题的基本方法。 2. 数形结合、以形助数是我们解决问题的一个重要思想。
∴
或
点评：本例利用了方程的思想对参数的值进行讨论求解。
Hale Waihona Puke Baidu
例3.已知：椭圆
及点B(0,-2)过左焦点F 与B的
直线交椭圆于 C 、D 两点，椭圆的右焦点为F2 ，
求⊿CDF2
的面积。
D
y
F2 F1
C o
x
B (0,-2)
解：∵ F1(-1,0)
∴ 直线BF1的方程为 y= -2x-2代入椭圆方程得：9x2 +16x+6=0
例1.当k为何值时，直线y=kx+k-2与抛物线 y =4x2有两个公共点? 仅有一个公共点? 无公共点。
《直线与圆锥曲线的位置》课件1 (北师大版必修2).ppt
例1.当k为何值时，直线y=kx+k-2与抛物线 y =4x2有两个公共点? 仅有一个公共点? 无公共点。
解：
得k 2x 2+2(k 2-2k-2)x+(k-2)2 =0 ⊿=-16(k2 -2k-1)
1).当⊿>0时，即 2). 当⊿=0时，即
个公共点。 3).当 或
且k≠0时有两个公共点。
或k=0 时，直线与抛物线有一
直线与圆锥曲线的位置关系
一． 基本方法： 1. 直线与圆锥曲线的位置关系可以通过对直线方 程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组的解的 情况的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ论来研究。即方程消元后得到一个一元 二次方程，利用判别式⊿来讨论(注⊿≠0时，未 必只有二个交点)。 2. 直线与圆锥曲线的位置关系，还可以利用数形 结合、以形助数的方法来解并决。 3. 如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两 端点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)则弦长公式为：
例4.过点(0，2)的直线l与抛物线 y =4x2仅有一个公共点，则
满足条件的直线l有 ( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
解：观察演示 选C
例5.不论k为何值，直线y=kx+b 与椭圆 总有公共点，求b的取值范围。
解：观察演示可得：
例6.过双曲线
的右焦点作直线l交双曲线于 A、B两
《直线与圆锥曲线的位置》课件1 (北师大版必修2).ppt
点，|AB|=4 ,则这样的直线存在( ) A.一条 B.二条 C.三条 D.四条
解：观察演示可得三条。选C
四.总结：
1. 利用基本方法，如对方程组解的讨论、弦长公式等是解决问题的基本方法。 2. 数形结合、以形助数是我们解决问题的一个重要思想。
直线与圆锥曲线的位置关系
一． 基本方法： 1. 直线与圆锥曲线的位置关系可以通过对直线方 程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组的解的 情况的讨论来研究。即方程消元后得到一个一元 二次方程，利用判别式⊿来讨论(注⊿≠0时，未 必只有二个交点)。 2. 直线与圆锥曲线的位置关系，还可以利用数形 结合、以形助数的方法来解并决。 3. 如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两 端点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)则弦长公式为：
∴
或
点评：本例利用了方程的思想对参数的值进行讨论求解。
例3.已知：椭圆
及点B(0,-2)过左焦点F 与B的
直线交椭圆于 C 、D 两点，椭圆的右焦点为F2 ，
求Hale Waihona Puke BaiduCDF2
的面积。
D
y
F2 F1
C o
x
B (0,-2)
解：∵ F1(-1,0)
∴ 直线BF1的方程为 y= -2x-2代入椭圆方程得：9x2 +16x+6=0
例4.过点(0，2)的直线l与抛物线 y =4x2仅有一个公共点，则
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2 2
由根与系数的关系可知线段MN的 x1 x2 4km 中点坐标( x0，y0 )满足x0 ， 2 2 5 4k 5m y0 kx0 m ， 2 5 4k 从而线段MN的垂直平分线的方程为 5m 1 4km y (x )， 2 2 5 4k k 5 4k 此直线与x轴，y轴的交点坐标分别 9km 9m 为( ，，， 0) (0 )， 2 2 5 4k 5 4k
x2 y 2 解析： 1 设双曲线的方程为 2 2 1(a 0， a b b 0)，右焦点F c,0 c 0 ，则c 2 a 2 b 2 . 设 | OA | m d， | AB | m， | OB | m d， 1 2 2 2 则 m d m m d ，得d m. 4 因为BF与FA 同向，所以AOB 2AOF . b 4 又tanAOF ，tanAOB ， a 3
1 9km 9m 81 由题设可得 | || | ， 2 2 2 5 4k 5 4k 2 2 5 4 k 2 整理得m 2 ，k 0. |k|
②由②代入①得 4k 2 5 4k 2 k 5 ＞0，k 0，
5 5 解得0＜ k ＜ 或 k ＞ ，所以k的取值范围是 2 4 5 5 5 5 (， ) ( ， 0) (0， ) ( ， )． 4 2 2 4
考点2 直线与圆锥曲线相交和其他知识的交汇
例2：双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条 渐近线分别为l1、l2，经过右焦点F 垂直于l1的直线分 别交l1、l2于A、B两点．已知 | OA | 、 | AB | 、 | OB | 成等 差数列，且 BF与FA 同向．
1 求双曲线的离心率； 2 设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲
考点1 直线与圆锥曲线的位置关系
例1：已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上， 3 离心率为 ，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上 2 2 2 一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck：x y 2kx
来自百度文库
1 求椭圆G的方程； 2 求Ak F1 F2的面积； 3问是否存在圆Ck 包围椭圆G？请说明理由．
3．直线与抛物线的位置关系 将直线l：y kx m代入抛物线C：y 2 2px( p＞0)， 得k 2 x 2 2 km p x m 2 0 *． 当k 0时，方程 * 为一次方程，此时直线y kx m 与抛物线的对称轴( x轴)平行． 当k 0时，方程 * 为二次方程，此时与判断直线和 椭圆、双曲线位置关系的方法一样，利用判别式分 三种情况来判断直线与抛物线的位置关系．
5
4y 21 0(k R )的圆心为点Ak .
分析：第1 小题根据椭圆离心率与定义，利用 待定系数法求解；第 2 小题只要确定出A点的纵 坐标就可求得面积；第 3 小题对k的取值进行讨 论，确定椭圆和圆的包含关系．
x y 解析： 1 设椭圆G的方程为：2 2 1(a＞b＞0)， a b a 2 b 2 9 2 a 4 半焦距为c.则 b 5 ，解得 b 2 5 ， a 2 x2 y 2 故椭圆G的方程为 1. 4 5
2．直线与双曲线的位置关系将直线l：y kx m x2 y 2 代入双曲线C： 2 2 1(a＞0，b＞0)得 a b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b a k x 2 a kmx a m a b 0 *． b 当k 时，方程 * 为一次方程，此时直线 a y kx m与双曲线的渐近线平行． b 当k 时，方程 * 为二次方程，这时与判断 a 直线和椭圆位置关系的方法一样，利用判别式分 三种情况来判断直线与双曲线的位置关系．
2
2
2 设直线l的方程为y kx m(k 0)，
并设M ( x1，y1 )，N ( x2，y2 )． 将y kx m代入双曲线方程得
2 2 2 5 4 k x 8 kmx 4 m 20 0，
5 4k 2 0 则 ， 2 2 2 8km 4 5 4k 4m 20 0 整理得m 5 4k ＞0.①
b 2 4 b 1 a 所以 ，解得 ， b 2 3 a 2 1 a 5 所以双曲线的离心率e . 2 2 由a 2b知， 双曲线的方程可化为x 2 4y 2 4b 2 .① 1 由l1的斜率为 ，c 5b知，直线AB的方程为 2 y 2( x 5b)，②
线的方程．
分析：第 1问可根据 | OA | 、 | AB | 、 | OB | 成等差数列可 巧设 | OA | m d， | AB | m， | OB | m d，然后在 RtOAB中利用勾股定理确定m与d的关系，再利用 tanAOB tan2AOF 转化求解，最后结合a、b、c间 的关系求得e；第 2 问先确立直线AB的方程，再联立 直线AB的方程与双曲线的方程可消去y，最后利用弦 长公式 AB 1 k 2 x1 x2 2 4 x1 x2 求解．
专题六
解 析 几 何
1．直线与椭圆的位置关系 x2 y2 将直线l：y kx m代入椭圆C： 2 2 1(a＞b＞0) a b 得 b 2 a 2 k 2 x 2 2a 2 kmx a 2 m 2 a 2b 2 0 *． 由b 2 a 2 k 2＞0，知方程 * 为二次方程，则当＞0时， l与C 相交，有两个公共点；当 0时，l与C 相切， 有一个公共点；当＜0时，l与C 相离，无公共点．
由根与系数的关系可知线段MN的 x1 x2 4km 中点坐标( x0，y0 )满足x0 ， 2 2 5 4k 5m y0 kx0 m ， 2 5 4k 从而线段MN的垂直平分线的方程为 5m 1 4km y (x )， 2 2 5 4k k 5 4k 此直线与x轴，y轴的交点坐标分别 9km 9m 为( ，，， 0) (0 )， 2 2 5 4k 5 4k
x2 y 2 解析： 1 设双曲线的方程为 2 2 1(a 0， a b b 0)，右焦点F c,0 c 0 ，则c 2 a 2 b 2 . 设 | OA | m d， | AB | m， | OB | m d， 1 2 2 2 则 m d m m d ，得d m. 4 因为BF与FA 同向，所以AOB 2AOF . b 4 又tanAOF ，tanAOB ， a 3
1 9km 9m 81 由题设可得 | || | ， 2 2 2 5 4k 5 4k 2 2 5 4 k 2 整理得m 2 ，k 0. |k|
②由②代入①得 4k 2 5 4k 2 k 5 ＞0，k 0，
5 5 解得0＜ k ＜ 或 k ＞ ，所以k的取值范围是 2 4 5 5 5 5 (， ) ( ， 0) (0， ) ( ， )． 4 2 2 4
考点2 直线与圆锥曲线相交和其他知识的交汇
例2：双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条 渐近线分别为l1、l2，经过右焦点F 垂直于l1的直线分 别交l1、l2于A、B两点．已知 | OA | 、 | AB | 、 | OB | 成等 差数列，且 BF与FA 同向．
1 求双曲线的离心率； 2 设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲
考点1 直线与圆锥曲线的位置关系
例1：已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上， 3 离心率为 ，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上 2 2 2 一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck：x y 2kx
来自百度文库
1 求椭圆G的方程； 2 求Ak F1 F2的面积； 3问是否存在圆Ck 包围椭圆G？请说明理由．
3．直线与抛物线的位置关系 将直线l：y kx m代入抛物线C：y 2 2px( p＞0)， 得k 2 x 2 2 km p x m 2 0 *． 当k 0时，方程 * 为一次方程，此时直线y kx m 与抛物线的对称轴( x轴)平行． 当k 0时，方程 * 为二次方程，此时与判断直线和 椭圆、双曲线位置关系的方法一样，利用判别式分 三种情况来判断直线与抛物线的位置关系．
5
4y 21 0(k R )的圆心为点Ak .
分析：第1 小题根据椭圆离心率与定义，利用 待定系数法求解；第 2 小题只要确定出A点的纵 坐标就可求得面积；第 3 小题对k的取值进行讨 论，确定椭圆和圆的包含关系．
x y 解析： 1 设椭圆G的方程为：2 2 1(a＞b＞0)， a b a 2 b 2 9 2 a 4 半焦距为c.则 b 5 ，解得 b 2 5 ， a 2 x2 y 2 故椭圆G的方程为 1. 4 5
2．直线与双曲线的位置关系将直线l：y kx m x2 y 2 代入双曲线C： 2 2 1(a＞0，b＞0)得 a b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b a k x 2 a kmx a m a b 0 *． b 当k 时，方程 * 为一次方程，此时直线 a y kx m与双曲线的渐近线平行． b 当k 时，方程 * 为二次方程，这时与判断 a 直线和椭圆位置关系的方法一样，利用判别式分 三种情况来判断直线与双曲线的位置关系．
2
2
2 设直线l的方程为y kx m(k 0)，
并设M ( x1，y1 )，N ( x2，y2 )． 将y kx m代入双曲线方程得
2 2 2 5 4 k x 8 kmx 4 m 20 0，
5 4k 2 0 则 ， 2 2 2 8km 4 5 4k 4m 20 0 整理得m 5 4k ＞0.①
b 2 4 b 1 a 所以 ，解得 ， b 2 3 a 2 1 a 5 所以双曲线的离心率e . 2 2 由a 2b知， 双曲线的方程可化为x 2 4y 2 4b 2 .① 1 由l1的斜率为 ，c 5b知，直线AB的方程为 2 y 2( x 5b)，②
线的方程．
分析：第 1问可根据 | OA | 、 | AB | 、 | OB | 成等差数列可 巧设 | OA | m d， | AB | m， | OB | m d，然后在 RtOAB中利用勾股定理确定m与d的关系，再利用 tanAOB tan2AOF 转化求解，最后结合a、b、c间 的关系求得e；第 2 问先确立直线AB的方程，再联立 直线AB的方程与双曲线的方程可消去y，最后利用弦 长公式 AB 1 k 2 x1 x2 2 4 x1 x2 求解．
专题六
解 析 几 何
1．直线与椭圆的位置关系 x2 y2 将直线l：y kx m代入椭圆C： 2 2 1(a＞b＞0) a b 得 b 2 a 2 k 2 x 2 2a 2 kmx a 2 m 2 a 2b 2 0 *． 由b 2 a 2 k 2＞0，知方程 * 为二次方程，则当＞0时， l与C 相交，有两个公共点；当 0时，l与C 相切， 有一个公共点；当＜0时，l与C 相离，无公共点．