16.1.1二次根式的概念(课件)-八年级数学下册同步备课系列(人教版)

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人教版八年级下册 16.1 二次根式课件(共16张PPT)

叫做二次根式。
注意：为了方便起见，我们—个数的算术平方根也叫
做二次根式。如 3 ,
1 2
a 1
是不是二次根式？
不是，它是二次根式的代数式.
形如 a a 0 的式子叫做二次根
式
1.表示a的算术平方根 2.a可以是数，也可以是式 3.形式上含有二次板号
4. a 0, a 0 （双重非负性）
本节课我们学习了很多新知识,你能谈谈自己的收获吗？说一说，让大家一起来分享。
1、二次根式的定义：像 b 3 a2 2500
表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二次根式。 2、二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。 3、求二次根式的值：用数值代替二次根式里的字母。
谢谢观赏
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟
16.1 二次根式
什么是平方根？一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做
a的平方根
什么叫算术平方根？正数的正平方根和零的平方根，统称算术平方根。
用 a 0a 0 表示
塔座所形成的这个直角三角形的
斜边长为 ___a_2___2_5_0_0__ 米。
为
圆形的下球体在平面图上的面积为s,则半径为
s
____________
b+3
1.如图所示的值表示正方形的面积，则
正方形的边长是___b____3__
b3 s
a2 2500

1、都表示算术平方根 2、根各代数式的共同特点是什么？
定义：像
b3 、
a2 2500 、
s

这样表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式
下列各式中哪些是二次根式?

八年级数学下册第十六章二次根式16.1二次根式16.1.1二次根式的概念课件(新版)新人教版

（2）根号内字母的取值范围抓住被开数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
（3）二次根式的值
个性化作业
1.如图，实数a、b在数轴上的位置，化简 a2 b2 a b2．
解：由数轴可得：a＜0，b＞0，a﹣b＜0，
则 a2 b2 a b2 =﹣a﹣b+（a﹣b）=﹣2b
个性化作业
2、已知三角形的三边x、y、z的长满足｜x2－4｜+ + =0，求这个三角形的周长. 解：∵｜x2－4｜≥0， ≥0，且｜x2－4｜+ + =0， ∴x2－4= 0，x2=4，y－3=0，z-4=0. ∴x=2（负值舍去），y=3，z=4 所以三角形的周长为2+3+4=9.
B.x≤2且x≠0 C.x≠0
D.x≤﹣2
6.若1＜x＜3，则 x 3 x 12 的值为（ D ）
A.2x﹣4 B.﹣2
C.4﹣2x D.2
7.函数y=
2
x
1 x 1
中自变量x的取值范围是（
B
）
A.x≤2
B.x≤2且x≠1
C.x＜2且x≠1 D.x≠1
课堂总结
（1）二次根式的概念一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.“ a ”称为二次根号，a叫做被开方数.
活动探究
探究点二：探究二次根式的定义及有意义的条件
1. 如图所示的值表示正方形的面积，则正方形的边长是 b 3.
2.你认为所得的各代数式有哪些共同特点？ b-3
a2 2500
s
b3
表示一些正数的算术平方根．
活动探究
3．在式子
1 1
2x x
中，
ห้องสมุดไป่ตู้

人教版八年级数学下册第十六章《二次根式的概念》公开课课件

第十六章二次根式 16.1 二次根式
第1课时二次根式的概念
知识管理
知识管理
1．二次根式定义：一般地，我们把形如____a___(a≥0)的式子叫做二次
根式，符号“ ”称为__二___次__根__号____．
注意：二次根式应满足以下两个条件：
(1)形式上必须是“ a”的形式；
(2)被开方数a必须是__非__负____数．
2022/5/42022/5/4 • 16、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年5月2022/5/42022/5/42022/5/45/4/2022 17、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。
You made my day!
数学
人教版八年级下册
【点悟】 (1)二次根式的被开方数大于或等于零；(2)如果含有分式时，分式的分母不能等于零；(3)如果含有零指数幂，负整数指数幂时，它们的底数不能等于零．
类型之三二次根式在实际生活中的应用如图16－1－1所示的Rt△ABC中，∠B＝90°，点P从
点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点 B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？
(2) －（x－3）2；
(4)y＝
x＋2 3x .
【解析】利用二次根式有意义的条件，可把每一个问题转化为解相应的不等式或不等式组．
解：(1)由题意，得 5－2x≥0，解得 x≤52，
所以当 x≤52时， 5－2x有意义； (2)由题意，得－(x－3)2≥0，即(x－3)2≤0，解得 x＝3，所以当 x＝3 时，－（x－3）2有意义； (3)由题意，得8x－＋x8≥≥00，，解得－8≤x≤8，所以当－8≤x≤8 时， x＋8＋ 8－x有意义； (4)由题意，得3x＋ x≠20≥，0，解得 x≥－2 且 x≠0，所以当 x≥－2 且 x≠0 时，y＝ x3＋x 2有意义．

新人教版八年级数学下册16.1.1 二次根式的概念ppt课件

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10、低头要有勇气，抬头要有低气。2 021/6/2 82021/6/28202 1/6/286 /28/202 1 12:47:10 PM
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11、人总是珍惜为得到。2021/6/28202 1/6/282 021/6/2 8Jun-2 128-Jun -21
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12、人乱于心，不宽余请。2021/6/282 021/6/2 82021/6/28Mo nday , June 28, 2021
么条件？
x-2 想一想：假如把题目改为：要使 x - 1 有意义，
字母 x的取值必须满足什么条件？
想一想：一个正数的算术平方根是正数。
零的算术平方根是 0。负数有没有算术平方根？没有
非负数的算术平方根仍然是非负数。性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
正数有两个平方根且互为相
想一想：反数； 0有一个平方根就是它0；
1、平方根的性质：负数没有平方根。
2、 a 表示什么？表示非负数a的算术平方根
1.二次根式的概念
定义:
学科网
式子 a a0叫做二次根式，其中
a叫做被开方式。
注意在实数范围内，a< 0时， a 没有
意义，只有当 a0 时， a 有意义。
例 1：要使 x-1 有意义，字母 x 的取值必须满足什么条件？
想一想：已知： y= x-2 + 2-x +3，求 xy的值。
例 2 x是怎样的实数时，式子 x 3 在实
数范围内有意义？
完成教材P3第2题
例
3：要使

初中数学：16.1.1二次根式的概念(人教版八年级数学下册第十六章二次根式)

第16章二次根式16．1二次根式第1课时二次根式的概念1．能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；(难点)2．能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围．(重点)一、情境导入问题1：你能用带有根号的式子填空吗？(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S 的正方形的边长为________．(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m 2，则它的宽为________m.(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与落下的高度h (单位：m)满足关系h ＝5t 2，如果用含有h 的式子表示t ，则t ＝______．问题2：上面得到的式子3，S ，65，h 5分别表示什么意义？它们有什么共同特征？二、合作探究探究点一：二次根式的定义下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？(1)11；(2)－5；(3)（－7）2；(4)313；(5)15－16；(6)3－x (x ≤3)；(7)－x (x ≥0)；(8)（a －1）2；(9)－x 2－5；(10)（a －b ）2(ab ≥0)．解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．解：因为11，（－7）2，15－16＝130，3－x (x ≤3)，（a －1）2，（a －b ）2(ab ≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.313的根指数不是2，－5，－x (x ≥0)，－x 2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式．方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非负数．探究点二：二次根式有意义的条件【类型一】根据二次根式有意义求字母的取值范围求使下列式子有意义的x 的取值范围．(1)14－3x ；(2)3－xx －2；(3)x ＋5x .解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解．解：(1)由题意得4－3x ＞0，解得x ＜43.当x ＜43时，14－3x有意义；(2)－x ≥0，－2≠0，解得x ≤3且x ≠2.当x ≤3且x ≠2时，3－x x －2有意义；(3)＋5≥0，≠0，解得x ≥－5且x ≠0.当x ≥－5且x ≠0时，x ＋5x 有意义．方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【类型二】利用二次根式的非负性求解(1)已知a 、b 满足2a ＋8＋|b －3|＝0，解关于x 的方程(a ＋2)x ＋b 2＝a －1；(2)已知x 、y 都是实数，且y ＝x －3＋3－x ＋4，求y x 的平方根．解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x 的值，进而求得y 的值，进而可求出y x 的平方根．解：(1)a ＋8＝0，－3＝0，＝－4，＝3.则(a ＋2)x ＋b 2＝a －1，即－2x ＋3＝－5，解得x ＝4；(2)－3≥0，－x ≥0，解得x ＝3.则y ＝4，故y x ＝43＝64，±64＝±8，∴y x 的平方根为±8.方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题先观察下列等式，再回答下列问题．①1＋112＋122＝1＋11－11＋1＝112；②1＋122＋132＝1＋12－12＋1＝116；③1＋132＋142＝1＋13－13＋1＝1112.(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出1＋142＋152的结果；(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n 的式子表示的等式(n 为正整数)．解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n ＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子．解：(1)1＋142＋152＝1＋14－14＋1＝1120；(2)1＋1n 2＋1（n ＋1）2＝1＋1n －1n ＋1＝11n （n ＋1）(n 为正整数)．方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．三、板书设计1．二次根式的定义一般地，我们把形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式．2．二次根式有意义的条件被开方数(式)为非负数；a有意义⇔a≥0.通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．。

新人教版八年级下册数学16.1.1二次根式的定义优质课件

是x 2二次1根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时，
是二-5次a 根式；
当a＞0时，－5a＜0，则
不-是5a二次根式．
∴ 不一定是二次根式．
-5a
(4) ＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为
二次a根式．
知1－讲
第八页，共三十页。
(5)当x＝－3时，
（x
1
3无）2意义，∴
也1 无意义；
A
A.
a
C.
B.
D.
b2 1
0
（a b）2
第十二页，共三十页。
知1－练
4．下列式子：
7，2x , 1 m , a2 b2 , 100 , 5 , a 1
中，一定是二次根式的有( )CFra bibliotekA．2个
B．3个
C．4个
D．5个
知1－练
第十三页，共三十页。
知识点 2 二次根式有意义的条件
式子 a只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是为a 二次根式的前提条件.
C．7
D．－7
第二十四页，共三十页。
知3－讲
导引：根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入
+ (y+
代数式进行计算即可得解．因为x y 1
x3)2y=0都1 是0非负数，它们的和为0，所以(y+3)2=
0，
，所以y+3=0，x+y-
1=0，
解得y=-3，x=4，所以x-y=7.故选C．
第二十五页，共三十页。
____h__.
5
上面问题的结果分别是
3， S , 65 ,，它h
5
们表示一些正数的算术平方根.

人教版八年级下册课件16.1.1二次根式的概念

2 R h2
r = 2Rh中的 2Rh 表示什么意义？
【探究一】
1.面积为3 的正方形的边长为_______. 2.已知一个小球以2米/秒2 的加速度从静止开始匀加速直线运动所
走的路程S(单位：米)与时间t（单位：秒）的关系为：S =t2 ，那
么t=_______，当S=0时，t=______. 3.一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为
x+2
（4）
x
1 （5） x － 1
（6） x+8+ 8－x
【巩固训练】P3练习
1.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
用 (a≥0)表示.
当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) 2的算术平方根为________；
（3）二次根式与算术平方根有什么关系？
（1） a－1 什么叫做一个数的算术平方根？如何表示？
已知一个小球以2米/秒2 的加速度从静止开始匀加速直线运动所走的路程S(单位：米)与时间t（单位：秒）的关系为：S =t2 ，那么t=_______，当S=0时，t=______.
(1) 2的算术平方根为________；
16.1.1 二次根式的概念这些式子的共同特征是：都表示一个非负数（包括字母
分别表示3，S，0 , 65，的算术平方根．
(1) 2的算术平方根为________；
或式子表示的非负数）的算术平方根．或式子表示的非负数）的算术平方根．
与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h
（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是
二次根式的概念
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子

人教版八年级数学下册课件：16.1二次根式1.1二次根式的定义(共24张PPT)

.
6.已知∣a+1∣+
＝0，则a+b＝
.
7.已知
+
＝b+8.
(1)求a的值;
(2)求a2-b2的平方根
19
知识点三：二次根式的“双重”非负性
归纳总结
二根式的双重非负性：“a≥0， a ≥0”
在解题中的应用有两种情况: 一是当一个式子有两个二根式，且被开方数互为相反
数时，通常先利用二次根式的被开方数的非负性，建立不等式组，再解不等式组确定未知数的值.
20
知识点三：二次根式的“双重”非负性
归纳总结
ニ是当一个式子含有几个非负数：“绝对值的非负性，偶次方的非负性，二次根式的非负性，即：
“∣a∣≥0， a2n≥0， a ≥ 0.”式子的和为0时，通常
先利用每个式子都为0建立方程组，再解这个方程组确定未知数的值.
21
思维导图二次根式
二次根式的定义以及二次根式有意义的条件
()
A.12 B.10 C.8 D.6
2.已知y＝
+
-3，则2xy的值为( )
A.-15 B.15 C .-
D.
3.若∣3x-2y-1∣+
＝0，则x= ,y=
.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ18
知识点三：二次根式的“双重”非负性
学以致用
4.若(x-2)2+
＝0，则xy的值为( )
A.6 B.-6 C.1 D.-1
5.若
+
＝0，则x的值为
(1)
; (2)
; (3)
;
(4)
+
; (5)
; (6) + .

八年级下册数学1二次根式的概念PPT课件(人教版)

又∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴2a-b+c=2×(-2) -3+4 = -3。
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必
须满足什么条件？
1、 x+3
2、 2-5x
3、
1 x
4、 a2+1
想表一示想非负数a的算表术示平什方么根意思？其中a要满足什么条件？
2（、3）表示什。么？
3当、－7有时没，有式平子方根？有在没实有数算范术围平内方有根意？义。
正这数节和课0我都的有困算惑术是平：方根；
2表、示0非的负平数方a根的是算什术么平？方0根的算术平方根是什么？
解（1）由；，得
。
B1、组1：6的习平题方1 根拓是广什探么索?716的算术平方根是什么？
试一试（2） x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） 2x ；（2） 2x 5 ；（3） 3 x 。
例
3：要使
x-2 x-3
有意义，字母
x 的取值必须满足
什么条件？
解：由 x-2≥0，且 x-3≠0, 得 x≥2 且 x≠3。
想一想：假如把题目改为：要使
x-2 x-1
有意义，
意想义一，想只有当表示什时么，意思有？意其义中。a要满足什么条件？
注（意3）在实数。范围内，a< 0时，没有
由意x义-2，≥0只且有2-当x≥0，时，有意义。
意想义一，想只有当表示什时么，意思有？意其义中。a要满足什么条件？
正解数由和0都有算，术得平方根；。

【人教版】八年级数学下册：16.1《二次根式的意义》ppt课件

解：依题意得：(b－2)2＋ a－5＝0，∴b＝2，a＝5，又 a，b，c 为三角形三边，∴3＜c＜7
16．已知 a 为实数，求代数式：
a＋2016－ 2016－a＋－a2的值．
解：由－a2≥0，得
2020/6/26
a＝0，∴原式＝
该
2016－
2016＝0
பைடு நூலகம்
10
17．已知 a，b 为一等腰三角形的两边长，且满足等式 2 3a－6＋ 3 2－a＝b－4，求此等腰三角形的周长．(提示：从隐含二次根式有意义入手)
8
14．x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)
－2 x－2
；
2 (2)1－
； x
解：(1)x＜2 解：x≥0 且 x≠1
(3) 3－x＋（x－x－2.52）0. 解：2＜x≤3 且 x≠2.5
2020/6/26
该
9
15．△ABC 的三边长为 a，b，c，其中 a 和 b 满足 b2－4b＋4＋ a－5 ＝0，求 c 的取值范围．
2020/6/26
该
14
3．计算下列各题： (1)2( 7)2; (2)(2 7)2；
解：原式＝14 解：原式＝28
(3)(－ 0.4)2; (4)(－2 21)2. 解：原式＝0.4 解：原式＝2
2020/6/26
该
15
知识点 2： a2＝|a|＝－a（a（a≥a＜0）0） 4．下列运算正确的是( A )
解：由题意得：32a－－a6≥≥00，，∴a＝2，b＝4，∵2，2，4 不合题意， ∴腰长为 4，底边为 2，∴周长为 10
2020/6/26
该
11
第十六章二次根式

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>0； =0。
随堂演练
一、基础巩固 1.已知一个正方形的面积是3，那么它的边长
是 3. 2.使 x 3 有意义的x的取值范围是 x≥-3 .
3.下列各式中一定是二次根式的是( B )
A. x 1
B. ( x 1)2
C. a2 1
D. 1 x
4.二次根式
1 a
中，字母a的取值范围是(
D
)
A.a＜0
被开方数可
（3）一个物体从高处自由落下，落以到是地分面数所用的
时间 t(单位:s)与开始落下的高度h(单位:m)满足关系
h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则 h
5
t=
从形．式和被开方数观察，你发现这些结果
有哪些共同特征？
知识点 1 二次根式的概念被开方数可以是非负
二次根式：
的数或单项式、多项式、分式等
一般地，我们把形如a ( a≥0 )的式子叫做
二次
“2根式”，中“一般把根”的称指为数二2 次根号．
省略，写成“ ”
√ √ 下列各式: a , x 1, 4, 16, 3 8, 1 x, a2 2, 2
√2 3, 1 2x ( x 1), 2 a2哪些是二次根式？哪些 2 不是？为什么？
例当x是怎样的实数时，x 2 在实数范围内有意义？
解：由x-2≥0，得 x≥2
当x≥2时，x 2 在实数范围内有意义。
知识点2 二次根式有意义的条件
思考
当x 是怎样的实数时，x2 在实数范围
内
x3
有意义？呢？
因为x²≥0，所以x可以为任意实数。
要使x³≥0，必须x≥0 。
二次根式有意义的条件：
平方根的性质：0有一个平方根就是0；
负数没有平方根。
算术平方根的性质：正数和0都有算术平方根；
负数有算术平方根。
探索新知
思考（1）面积为3 的正方形的边长为___3____，面积为
S 的正方形的边长为___S____．
被开方数都大于0
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130
m2，则它的宽为__6_5___m．
学习重、难点
重点：准确判断一个式子是不是二次根式. 难点：求被开方数中所含的字母的取值范围的依据.
（1）3的平方根是___3___
（2）3的算术平方根是 3 _______
（3） 5 有意义吗？为什么？0 呢？
（4）一个非负数a的算术平方根应表示为__a__a____0__
正数有两个平方根且互为相反数；
a有意义
a≥0
练习
当a是怎样的实数时，下列各式在实
数范围内有意义？
(1) a-1; a≥1 (3) a; a≤0
(2) 2a 3; a 3
2
(4) 5 a a≤5
若 a 1 1 a 有意义，则a的值为 1 .
解析：
a-1≥0
a≥1
a=1
1-a≥0
a≤1
当a>0时，a 表示a的算术平方根，因此a 当a=0时，a 表示0的算术平方根，因此a 这就是说，当a≥0时，a ≥0
(1) x2 1 , (2) ( x 1)2 , (3) 1 , (4) x 1 .
x2
x 1
解：(1)x为任意实数；
(2)x为任意实数；
(3)x<2;
(4)x≥-1且x≠1.
课堂小结
二次根式的概念
二次根式有意义
的条件
形式上：形如 a 的式子
被开方数：a≥0
拓展延伸 7.求使 x 1 在实数范围内有意义的x的取值范围.
八年级数学
第六章二次根式
16.1.1 二次根式的概念
新课导入
你能写出下列问题的结果吗？
(1)面积为5的正方形边长是
。
(2)面积为S的正方形边长是
。
(3)圆柱的体积为V，高为5，则它的底面
圆的半径r是
。你说出的这些结果
有什么共同特点呢？
学习目标
（1）会判断一个式子是不是二次根式. （2）会求被开方数中所含字母的取值范围.
2x
解：由题意得
x 2
1 x
0, 0,
∴1≤ x <2.
演示完毕感谢观看
分析：是否含二
次根号
是
被开方数是否为非负数
是
二次根式
否
否
不是二次根式
练习
要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2.它的长、宽各应取多少？
解：设矩形的长宽分别是3xcm、2xcm, 由题意得2x×3x=18, 解得x1= 3 ， x2=- 3 (舍).
答：它的长取 3 3 cm，宽取 2 3 cm。
B.a≤0
C.a≥0
D.a＞0
5.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范
围内有意义？
(1) a 2 , (2) 3 a , (3) 5a2 , (4) 2a 1 .
解：(1) a≥-2; (2) a≤3; (3) a为任意实数； (4) a≥ 1
2
6.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内
有意义？