16.1.1二次根式的概念(课件)-八年级数学下册同步备课系列(人教版)
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人教版八年级数学下册 16.1 二次根式的概念及性质 一等奖优秀课件 (共26张PPT)
.
合作探究 获取新知
3, s, 65， 问题 1 上面问题的结果分别是 ，它们表示一 归纳总结 二次根式的定义 5 a (a 0) 的式子叫做二次根式. 一般地，我们把形如 些正数的算术平方根 .那么什么样的数有算术平方根呢？ h
“
”称为二次根号， a叫做被开方数 . 我们知道，负数没有平方根 .因此，在实数范围内开平 方时，被开方数只能是正数或0.
所以宽为4cm，长为6cm.
回顾与反思
通过今天的学习,
能说说你的收获和体会吗?
你有什么经验与收获让同学们共享呢？
问题发现 感受新知
问题1：你能将下列数字顺利通过下面两扇门吗？
4
0
1
-1
1 4 1 0、 1、 4
a≥0
a→ a→( a )2
a为任意实数
算术平方 根之门
问题2：两扇门交换位置，你还会走吗？ 全部都能通过
D. x ≥-1
归纳 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等 式求解即可.若二次根式处在分母的位置，应同时考虑分母不为零.
合作探究 获取新知
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平 方根.对于任意一个二次根式 a ，我们知道： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） a 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.
八年级数学下册第十六章二次根式16.1二次根式16.1.1二次根式的概念课件(新版)新人教版
B.x≤2且x≠0 C.x≠0
D.x≤﹣2
6.若1＜x＜3，则 x 3 x 12 的值为（ D ）
A.2x﹣4 B.﹣2
C.4﹣2x D.2
7.函数y=
2
x
1 x 1
中自变量x的取值范围是（
B
）
A.x≤2
B.x≤2且x≠1
C.x＜2且x≠1 D.x≠1
课堂总结
（1）二次根式的概念 一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.“ a ”称为二次根号，a叫 做被开方数.
举一反三
1.试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
3， 16， 3 4， 5， a (a 0)， x2 1
3
解析： 3， 16， a (a 0)， 3
x2 1 均是二次根式，
其中 x2 1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.
3 4 根指数不是2，是3. 5 不是，是因为在实数范围内，负数没有平方根.
16.1.1二次根式
八年级下册
学习目标
1 掌握二次根式的概念，并利用 a （a≥0）的意义解答具体题目.
2
提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.
情境引入
1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是 a .
最新人教版八年级数学下册第16章二次根式全套课件PPT(完美版)
2020年春季人教版八年级数学下册 第16章二次根式全套教学课件目录：
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2020年春季人教版八年级数学下册 第16章 二次根式《16.1二次根式》
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人教版 数学 八年级 下册
16.1二次根式
第一课时 第二课时
探究新知
归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的定义识别二次根式
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
（1） 14 ； （2）81； （3） - 0.8 ；（4）-3x (x 0)
知识点 1 二次根式的定义和有意义的条件
用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点 （1）面积为3 的正方形的边长为___3____，面积为S 的正方形 的边长为____S___． （2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它 的宽为____6_5_m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t （单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关 系 h =5t2， 如果用含有h 的式子表示 t ，则t 为_5h____．
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2020年春季人教版八年级数学下册 第16章 二次根式《16.1二次根式》
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人教版 数学 八年级 下册
16.1二次根式
第一课时 第二课时
探究新知
归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的定义识别二次根式
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
（1） 14 ； （2）81； （3） - 0.8 ；（4）-3x (x 0)
知识点 1 二次根式的定义和有意义的条件
用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点 （1）面积为3 的正方形的边长为___3____，面积为S 的正方形 的边长为____S___． （2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它 的宽为____6_5_m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t （单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关 系 h =5t2， 如果用含有h 的式子表示 t ，则t 为_5h____．
第1课时二次根式的概念ppt课件
分析：是否含二次根号 是 被开方数是
否 否 不是非负数 不是二次根式
是 二次根式
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正
数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
例2 当x是怎样的实数时, x 2 在实数范围内有 意义? 解：由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
①外貌特征：含有“ ” 两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
典例精析
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1) 32; (2) 6; (3) 12; (4) -m m≤0；
(5) xy x, y异号 ; (6) a2 1; (7) 3 5.
第十六章 二次根式
16.1 二根次式
第1课时 二次根式的概念
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
导入新课
里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻 的印象？你能猜出下面表情包是谁吗？
它本身的取值范围又是什么？ 当a＞0时，a表示a的算术平方根，因此 a＞0；当a=0
人教版数学八年级下册第十六章16.1.1二次根式的定义课件
解：(1)∵ 3 6 4 的根指数是3，∴ 3 6 4 不是二次根式． (2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴ x 2 1 是二次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时， - 5 a 是二次根式；
当a＞0时，－5a＜0，则 - 5 a 不是二次根式． ∴ 不一定是二次根式．
(4) ＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为 二次根式．
B)
A．x≥－1
B．x≥－1且x≠3
C．x >－1
D．x >－1且x≠3
本题易错在漏掉分母不为0这个条件，由题意 知x＋1≥0且(x－3)2≠0，解得x≥－1且x≠3.
易错点：考虑不全造成答案不完整.
课后练习
1. 一般地，我们把形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式，“ ” 称为二次根号.
理解要点： (1)二次根式从形式上界定，必须含有________； (2)二次根式从内容上看，a 既可以是一个数，又可以是一个含
巩固新知
1 要画一个面积为18 cm2的长方形，使它的长 与宽之比为3 : 2，它的长、宽各应 取多少？
解：设长方形的长、宽分别为3x cm，2x cm， 由题意得2x×3x＝18， 解得x＝ 3 (负值舍去)．
答：长方形的长、宽应分别取3 3 cm和2 3 cm.
2 下列式子一定是二次根式的是( C )
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
人教版八年级数学下册16.1二次根式第一课时优质课件.ppt
解： ∵ 3>0
∴ 3 有意义。
（2）. 3
解：∵-3<0
∴ 3 没有意义。
(3). (3)2
解： ∵ (-3)2 =9>0
∴ (3)2 有意义。
(4). 1 解： ∵
>0
10 2
∴ 1 有意义。
10 2
三、研学教材 认真阅读课本第2至3页的内容，完成 下面练习并体验知识点的形成过程.
知识点一 二次根式的概念
当a ≥ -1.5 时， 2a 3 在实数范
围内有意义.
⑶
；
a
解：
由 -a ≥0，得a ≤ 0
当a ≤0
有意义.
， a 在实数范围内
⑷. 5a
解 ：由 5-a ≥0，得a ≤ 5
当a ≤5
有意义.
， 5 a 在实数范围内
1
(5)
x 1
解：由 x-1 >0，得x > 1 当x >1 ， 1 在实数范围 内有意义. x 1
二次根式 ③因为-5小于0，所以 5 不是二
次根式
三、研学教材
2、下列式子中，是二次根式的是
（A ）
A．— 7 B.3 7 C． x D．x
3、下列式子中，不是二次根式的是
（D ）
A． 4
B．16 C． 8
D．1
x
∴ 3 有意义。
（2）. 3
解：∵-3<0
∴ 3 没有意义。
(3). (3)2
解： ∵ (-3)2 =9>0
∴ (3)2 有意义。
(4). 1 解： ∵
>0
10 2
∴ 1 有意义。
10 2
三、研学教材 认真阅读课本第2至3页的内容，完成 下面练习并体验知识点的形成过程.
知识点一 二次根式的概念
当a ≥ -1.5 时， 2a 3 在实数范
围内有意义.
⑶
；
a
解：
由 -a ≥0，得a ≤ 0
当a ≤0
有意义.
， a 在实数范围内
⑷. 5a
解 ：由 5-a ≥0，得a ≤ 5
当a ≤5
有意义.
， 5 a 在实数范围内
1
(5)
x 1
解：由 x-1 >0，得x > 1 当x >1 ， 1 在实数范围 内有意义. x 1
二次根式 ③因为-5小于0，所以 5 不是二
次根式
三、研学教材
2、下列式子中，是二次根式的是
（A ）
A．— 7 B.3 7 C． x D．x
3、下列式子中，不是二次根式的是
（D ）
A． 4
B．16 C． 8
D．1
x
人教版八年级数学下册第十六章《 二次根式的概念》公开课课件
图16－1－1
【解析】 先设 x 秒后△PBQ 的面积为 35 平方厘米，那么根据 路程＝速度×时间，可得 PB＝x，BQ＝2x，于是12·x·2x＝35.
解：设 x 秒后△PBQ 的面积为 35 平方厘米， 则有 PB＝x，BQ＝2x， 依题意，得12·x·2x＝35，x2＝35， 所以 x＝ 35，或 x＝－ 35(负数舍去)， 所以 35秒后△PBQ 的面积为 35 平方厘米．
围是____x_≥__12___．
4．[2014·海南]式子 y＝ xx－＋21中，则 x 的取值范围是____x_≥__－___1_且__ _x_≠__2___.
• 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 • 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/5/42022/5/4May 4, 2022 • 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
我们，还在路上……
课件目录
首页
末页
所以－2x＞0；⑦中含的根号为三次根号“3 ”．
【点悟】 在判断被开方数是否为非负数时，不要只看其表面 的符号，要充分利用实数运算中的符号运算，确定其正负，从而 正确判断式子是否为二次根式．
类型之二 确定二次根式中所含字母的取值范围
【解析】 先设 x 秒后△PBQ 的面积为 35 平方厘米，那么根据 路程＝速度×时间，可得 PB＝x，BQ＝2x，于是12·x·2x＝35.
解：设 x 秒后△PBQ 的面积为 35 平方厘米， 则有 PB＝x，BQ＝2x， 依题意，得12·x·2x＝35，x2＝35， 所以 x＝ 35，或 x＝－ 35(负数舍去)， 所以 35秒后△PBQ 的面积为 35 平方厘米．
围是____x_≥__12___．
4．[2014·海南]式子 y＝ xx－＋21中，则 x 的取值范围是____x_≥__－___1_且__ _x_≠__2___.
• 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 • 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/5/42022/5/4May 4, 2022 • 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
我们，还在路上……
课件目录
首页
末页
所以－2x＞0；⑦中含的根号为三次根号“3 ”．
【点悟】 在判断被开方数是否为非负数时，不要只看其表面 的符号，要充分利用实数运算中的符号运算，确定其正负，从而 正确判断式子是否为二次根式．
类型之二 确定二次根式中所含字母的取值范围
16.1二次根式的定义和性质课件
形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式
３．二次根式的 基本性质
a0
当a≥0时，
( a) a
2
a a
2
a a 0 a a 0
x 4 4 x 2 ， 你能求出x y的值吗？ 切入点：从字母的取值范围入手。 2.已知 x 2 y 9 与 x y 3互为相反数，
16.1二次根式
3 （1）3的平方根是______
（2）3的算术平方根是_______ 3
0呢？ a a 0 （4）一个非负数a的算术平方根应表示为__________
（3） 5有意义吗？为什么？ 正数有两个平方根且互为相反数；
平方根的性质：0有一个平方根就是0；
负数没有平方根。
算术平方根的性质
2 中,自变量x的取值范围 x2
(4)(2 3 ) ( 7 ) _____; 19
2 2
１．下列各式一定是二次根式的有__________
① 5 ② m ③ m2 1 ④ x 2 2x 2
1．函数y=
1 x-3
中，自变量x的取值范围是_______
x＞3
2.(2006郴州市课改实验区)要使二次根式 无意义,应满足的条件 是( B ）
2x 6
A.X ≥3 B.X＜3 C.X＞3 D.X≤3
人教八年级下册数学16.1《二次根式》课件
练习1
当式子中字母取何值时,下列式子有意义?
(1) 2 x 3 (2) 1
x2
x3
(x 2)2
3 1 a 1
1 2a
2
(4) 1 x x 1且x 2
2 x
例3.当x为怎样的实数时,下列各式有意义？
（1） x 3 6 x （2）1 x x 1
解：∵ x-3≥0 ① 6-x≥0 ② ∴ x≥3 x≤6 ∴ 3≤x≤6.
3 ⑶ 16 的算术平方根是__2___. 4 ⑷ (3)2 __3___.
⑸ (3.14 )2 ____3_._1_4__.
（教材第2页）
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）面积为3的正方形的边长为___3__, 面积为S的正方形
的边长为____s___.
2x2=130
（2）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2,
则它的宽为____6_5____m.
(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t (单位:
s)与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系
h
h=5t2. 如果用含有h的式子表示 t, 则t=____5___.
t2 h 5
(4)如图所示的值表示正方形的面积，则
正方形的边长是 b 3 .
b-3
例2. 当a是怎样的实数时，下列二次根式在
新人教版八年级下册数学16.1.1二次根式的定义优质课件
a；
5 a.
解：(1)由a－1≥0，得a≥1，所以当a≥1时，
实数范围内有意义．
在a 1
知2－练
第十七页，共三十页。
(2)由2a＋3≥0，得a≥－ ， 3 所以当a≥－ 时3 ，2a＋3在2 实数范围内有意义． 2
(3)由－a≥0，得a≤0，
所以当a≤0时， 在a实数范围内有意义．
(4)由5－a≥0，得a≤5，
开方数是非负数．
第二十九页，共三十页。
第三十页，共三十页。
是x 2二次1根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时，
是二-5次a 根式；
当a＞0时，－5a＜0，则
不-是5a二次根式．
∴ 不一定是二次根式．
-5a
(4) ＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为
二次a根式．
知1－讲
第八页，共三十页。
(5)当x＝－3时，
（x
1
3无）2意义，∴
也1 无意义；
x
∴
是二次根式．
第九页，共三十页。
知1－讲
总结
知1－讲
二次根式的识别方法： 判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定 义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征： (1)含根号且根指数为2(通常省略不写)； (2)被开方数(式)为非负数．
第十页，共三十页。
人教版八年级数学下册第十六章《二次根式》优课件2
（1） 2=（ ）2；（2）3=（ ）2．
综合运用
练习2 根据性质 a 2 = a （a≥0），可得：（-5）2=5 ． 你认为，当a＜0时， a 2 = _________，并说明理由：
____________．
综合运用
练习3 性质（ a）2=a（a≥0）和 a 2 = a（a≥0）有什 么区别和联系？
• 学习重点： 理解二次根式的两个基本性质，并能用它们进行计 算和化简．
性质的探究
问题1 根据算术平方根的意义填空，并说出得到 结论的依据．
（ 4）2= __4___；（ 2）2=___2__；
（
1 ）2= 1
（
3 __3___；
0）2=___0__．
把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：
（ a ）2=a（a≥0）．
• 学习重点： 从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念．
创设情境 提出问题
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从 而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位： km）与电视节目信号的传播半径 r（单位：km）之间 存在近似关系 r= 2Rh，其中地球半径R≈6 400 km． 如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们
（3）二次根式与算术平方根有什么关系？ 二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算
术平方根是二次根式．
综合运用
练习2 根据性质 a 2 = a （a≥0），可得：（-5）2=5 ． 你认为，当a＜0时， a 2 = _________，并说明理由：
____________．
综合运用
练习3 性质（ a）2=a（a≥0）和 a 2 = a（a≥0）有什 么区别和联系？
• 学习重点： 理解二次根式的两个基本性质，并能用它们进行计 算和化简．
性质的探究
问题1 根据算术平方根的意义填空，并说出得到 结论的依据．
（ 4）2= __4___；（ 2）2=___2__；
（
1 ）2= 1
（
3 __3___；
0）2=___0__．
把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：
（ a ）2=a（a≥0）．
• 学习重点： 从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念．
创设情境 提出问题
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从 而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位： km）与电视节目信号的传播半径 r（单位：km）之间 存在近似关系 r= 2Rh，其中地球半径R≈6 400 km． 如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们
（3）二次根式与算术平方根有什么关系？ 二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算
术平方根是二次根式．
人教初中数学八年级下册 16.1《二次根式》二次根式的概念和性质课件1
aa 0.
29
2. a可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
3
判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10 , 0.044,, aa22 ,
5,
aa ,, 3 8.
定义：式子 a (a 0)叫做二次根式.
其中a叫做被开方式.
16.1 二次根式
1/29
1、求一求 ：说出下列各式的结果；
16 , 81, 0, 1 , 10 4 , 0.04 ; 49
上式中，被开方数分别是什么数？ 2、 a 表示什么？ 表示正数或 0 的算术平方根
被开方数是非负数 即: a 0
2
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根
bb
问题2
18 与 3 2 相等吗？为什么？ 20
观察思考： 18 与 3 2 相等吗？为什么？
18 9 2
32 2
3 2
一般来说，如果二次根式里被开方数是 几个因式的乘积,其中有的因式是完全 平方式，则可用它的非负平方根代替后 移到根号外面.即：
21
18 2 32 3 2
一般地,设 a 0,b 0, 那么
a b
ab bb
人教数学八下《二次根式的概念》二次根式PPT课件
例如
2, 2 , a2 1, b2 4ac (b2 4ac 0), 3
1 (x 2) 等，都是二次根式
x2
活动探究
探究点一、二次根式的概念
问题1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
1
1
2 、 3 3 、 x 、 x（x>0）、 0 、 4 2 、- 2、 x y 、 x y（x≥0，y≥0）．
1 2x 0, 解：由 1 x 0
得：
x 1 ,且x 1 2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
.
注意：在考虑式子有意义时，要考虑全面： 1·有无二次根式，有多个要同时满足 2·有无分母，有要满足分母不为0.
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必
须满足什么条件？
1、 x+3
2、 2-5x
3、
1 x
4、 a2+1
5、 x-3 + 4-x
∴x=2（负值舍去），y=3，z=4 所以三角形的周长为2+3+4=9.
2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数正的平方根叫做它的算术平方根. 0的算术平方根和平方根都是0.
用 a (a≥0)表示.
1.二次根式的概念
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
特征：1、形式上含有二次根式 ；
2、a可以是数，也可以是式（整式，分式）。
人教版数学八下课件-二次根式
A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2
3.当x=__-_1_时，二次根式 x 1 取最小值，其最小值 为____0__．
课堂检测
基础巩固题
4.(1)若式子
x 1 2
在实数范围内有意义，则x的取值
范围是__x__≥_1__;
(2)若式子
1 x2
x
在实数范围内有意义，则x的
取值范围是_x__≥_0_且__x_≠_2__.
( 4)2 ( 4 ),
(
1 3
)2
(
1 3
),
( 2 )2 ( 2 ) ( 0)2 ( 0 )
（2）通过（1）的思考，你能确定( a )²（a≥0）的
化简结果吗？说说你的理由.
探究新知
4 是4的算术平方根，根据算术平方根的意义， 4 是一个平方等于4的非负数，因此有( 4 )²=4.
∴3x+2y的算术平方根为5．
巩固练习
连接中考
1.（2018•扬州）使 x 3 有意义的x的取值范围是（ C ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≥3
D．x≠3
x 1 2.（2019•黄石）若式子 x 2 在实数范围内有意义，则x的取
值范围是（ A ）
A．x≥1且x≠2 B．x≤1 C．x＞1且x≠2 D．x＜1
巩固练习
人教版八年级下数学16.1二次根式优质课件
归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足 被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分 母时，应同时考虑分母不为零.
探究新知
【思考】2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） x2 2x 1;
（2） x2 2x 3.
解：(1)∵无论x为任何实数，x2 2x 1 x 12 ≤0，
x
x≤0， 1≤0，
解得x≥1 或x≤0
即当x≥1 或x≤0时， x x 1有意义.
课堂检测
拓广探索题
体会解题思想后，试着解答：当x为何值时， x 2 有意义？
2x 1
解：由题意得
x 2 ≥0， 2x 1
则
2xx21≥＞00，，或
x 2≤0， 2x 1＜0，
解得x≥2或x＜
1 2
，
即当x≥2或x＜
探究新知
在前面的问题中，得到的结果分别是： 3， S ，
（1）这些式子分别表示什么意义？ 分别表示3，S，65， h 的算术平方根．
5
（2）这些式子有什么共同特征？ ①根指数都为2; ②被开方数为非负数.
， h．
5
探究新知
根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？ 我们知道，一个正数有两个平方根； 0的平方根为0； 在实数范围内，负数没有平方根. 因此，在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0.
探究新知
【思考】2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） x2 2x 1;
（2） x2 2x 3.
解：(1)∵无论x为任何实数，x2 2x 1 x 12 ≤0，
x
x≤0， 1≤0，
解得x≥1 或x≤0
即当x≥1 或x≤0时， x x 1有意义.
课堂检测
拓广探索题
体会解题思想后，试着解答：当x为何值时， x 2 有意义？
2x 1
解：由题意得
x 2 ≥0， 2x 1
则
2xx21≥＞00，，或
x 2≤0， 2x 1＜0，
解得x≥2或x＜
1 2
，
即当x≥2或x＜
探究新知
在前面的问题中，得到的结果分别是： 3， S ，
（1）这些式子分别表示什么意义？ 分别表示3，S，65， h 的算术平方根．
5
（2）这些式子有什么共同特征？ ①根指数都为2; ②被开方数为非负数.
， h．
5
探究新知
根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？ 我们知道，一个正数有两个平方根； 0的平方根为0； 在实数范围内，负数没有平方根. 因此，在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0.
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分析： 是否含二
次根号
是
被开方数是 否为非负数
是
二次根式
否
否
不是二次根式
练习
要画一个面积为18cm2的长方形，使 它的长与宽之比为3:2.它的长、宽各应取多少？
解：设矩形的长宽分别是3xcm、2xcm, 由题意得2x×3x=18, 解得x1= 3 ， x2=- 3 (舍).
答：它的长取 3 3 cm，宽取 2 3 cm。
平方根的性质：0有一个平方根就是0；
负数没有平方根。
算术平方根的性质：正数和0都有算术平方根；
负数没有算术平方根。
探索新知
思考 （1）面积为3 的正方形的边长为___3____，面积为
S 的正方形的边长为___S____．
被开方数都大于0
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130
m2，则它的宽为__6_5___m．
>0； =0。
随堂演练
一、基础巩固 1.已知一个正方形的面积是3，那么它的边长
是 3. 2.使 x 3 有意义的x的取值范围是 x≥-3 .
3.下列各式中一定是二次根式的是( B )
A. x 1
B. ( x 1)2
C. a2 1
D. 1 x
4.二次根式
1 a
中，字母a的取值范围是(
D
)
A.a＜0
一般地，我们把形如a ( a≥0 )的式子叫做
二次
“2根式”，中“一般把根”的称指为数二2 次根号．
省略，写成“ ”
√ √ 下列各式: a , x 1, 4, 16, 3 8, 1 x, a2 2, 2
√2 3, 1 2x ( x 1), 2 a2哪些是二次根式？哪些 2 不是？为什么？
B.a≤0
C.a≥0
D.a＞0
5.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范
围内有意义？
(1) a 2 , (2) 3 a , (3) 5a2 , (4) 2a 1 .
解：(1) a≥-2; (2) a≤3; (3) a为任意实数； (4) a≥ 1
2
6.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内
有意义？
学习重、难点
重点：准确判断一个式子是不是二次根式. 难点：求被开方数中所含的字母的取值范围的依据.
（1）3的平方根是___3___
（2）3的算术平方根是 3 _______
（3） 5 有意义吗？为什么？0 呢？
（4）一个非负数a的算术平方根应表示为__a__a____0__
正数有两个平方根且互为相反数；
八年级数学
第六章 二次根式
16.1.1 二次根式的概念
新课导入
你能写出下列问题的结果吗？
(1)面积为5的正方形边长是
。
(2)面积为S的正方形边长是
。
(3)圆柱的体积为V，高为5，则它的底面
圆的半径r是
。 你说出的这些结果
有什么共同特点呢？
学习目标
（1）会判断一个式子是不是二次根式. （2）会求被开方数中所含字母的取值范围.
(1) x2 1 , (2) ( x 1)2 , (3) 1 , (4) x 1 .
x2
x 1
解：(1)x为任意实数；
(2)x为任意实数；
(3)x<2;
(4)x≥-1且x≠1.
课堂小结
二次根式的概念
二次根式有意义
的条件
形式上：形如 a 的式子
被开方数：a≥0
拓展延伸 7.求使 x 1 在实数范围内有意义的x的取值范围.
被开方数可
（3）一个物体从高处自由落下，落以到是地分面数所用的
时间 t(单位:s)与开始落下的高度h(单位:m)满足关系
h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则 h
5
t=
从形．式和被开方数观察，你发现这些结果
有哪些共同特征？
知识点 1 二次根式的概念 被开方数可以是非负
二次根式：
的数或单项式、多项 式、分式等
例 当x是怎样的实数时，x 2 在实数范围内有意义？
解：由x-2≥0，得 x≥2
当x≥2时，x 2 在实数范围内有意义。
知识点2 二次根式有意义的条件
思考
当x 是怎样的实数时，x2 在实数范围
内
x3
有意义？ 呢？
因为x²≥0，所以x可以为任意实数。
要使x³≥0，必须x≥0 。
二次根式有意义的条件：
a有意义
a≥0
练习
当a是怎样的实数时，下列各式在实
数范围内有意义？
(1) a-1; a≥1 (3) a; a≤0
(2) 2a 3; a 3
2
(4) 5 a a≤5
若 a 1 1 a 有意义，则a的值为 1 .
解析：
a-1≥0
a≥1
a=1
Biblioteka Baidu
1-a≥0
a≤1
当a>0时，a 表示a的算术平方根，因此a 当a=0时，a 表示0的算术平方根，因此a 这就是说，当a≥0时，a ≥0
2x
解：由题意得
x 2
1 x
0, 0,
∴1≤ x <2.
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