第七章 向量空间的正交性
学空间向量与立体几何空间向量的正交分解及其坐标表示
合成与分解、波动传播的方向和速度等。
空间向量在计算机图形学中的应用
图形变换
空间向量在计算机图形学中广泛应用于图形的变换，例如平移 、旋转和缩放等操作。
光照与阴影
空间向量在光照与阴影的计算中也起着关键作用，例如计算光 线方向、反射和折射等。
动画与游戏
空间向量在动画和游戏开发中也经常被使用，例如物体移动、 视角转换和角色控制等。
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2023
《学空间向量与立体几何 空间向量的正交分解及其
坐标表示》
目录
• 空间向量与立体几何概述 • 空间向量的正交分解 • 空间向量的坐标表示 • 空间向量与立体几何的应用 • 总结与展望
01
空间向量与立体几何概述
空间向量的定义与性质
空间向量的定义
空间向量是一种具有大小和方向的量，通常用一条有向线段表示，其大小由线段的长度表示，方向由 线段的方向表示。
03
空间向量的坐标表示
坐标系的建立
01
建立空间直角坐标系
通过原点和三个互相垂直的单位向量 确定空间直角坐标系。
02
坐标系的特点
03
坐标系的单位向量
坐标系具有三个互相垂直的轴，分别 为x轴、y轴、z轴，每个轴上的单位长 度为1。
x轴上的单位向量为i，y轴上的单位向 量为j，z轴上的单位向量为k。
空间向量的坐标表示
空间向量的定义
空间向量是一个有方向和大小的 量，可以用一个有序实数组表示 。
空间向量的表示方法
在空间直角坐标系中，空间向量 可以用三个分量来表示，即 (x,y,z)。
空间向量的模
空间向量的模等于其分量平方和 的平方根。
空间向量坐标的运算
线性空间的正交性与最小二乘法
线性空间的正交性与最小二乘法线性空间是数学中一个重要的概念，它在各个领域的应用非常广泛。
在线性空间中，正交性是一个重要的概念，它在向量的运算和分析中起着重要的作用。
而最小二乘法则是利用正交性来解决线性方程组的一种有效方法。
1. 正交性的概念在线性空间中，两个向量的正交性是指它们的内积为零。
内积是向量的一种运算，可以看作是两个向量之间的乘积。
如果两个向量的内积为零，那么它们在空间中是相互垂直的。
这种垂直关系在几何学中很容易理解，但在抽象的线性空间中也同样适用。
2. 正交性的性质正交性具有一些重要的性质。
首先，如果两个向量是正交的，那么它们的线性组合也是正交的。
这个性质在向量的运算中非常有用，可以简化计算过程。
其次，如果一个向量与一组正交向量都正交，那么它与这组向量的线性组合也正交。
这个性质可以用来证明正交向量的线性组合是最优解的重要性质。
3. 最小二乘法的基本思想最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来求解线性方程组的方法。
它的基本思想是，通过构造一个与方程组的解最接近的向量来近似求解方程组。
这个向量可以通过正交向量的线性组合得到，因为正交向量的线性组合具有最小的误差平方和。
4. 最小二乘法的应用最小二乘法在各个领域都有广泛的应用。
在物理学中，它可以用来拟合实验数据，找到最符合实验结果的曲线。
在经济学中，它可以用来估计经济模型的参数，从而预测未来的经济走势。
在工程学中，它可以用来解决信号处理、图像处理等问题。
最小二乘法的应用不仅仅局限于线性方程组，还可以推广到非线性问题。
5. 正交性与最小二乘法的关系正交性是最小二乘法的基础。
通过构造正交向量的线性组合，最小二乘法可以得到一个与方程组的解最接近的向量。
这个向量的构造依赖于正交向量的性质，即正交向量的线性组合具有最小的误差平方和。
因此，正交性是最小二乘法能够有效求解线性方程组的关键。
6. 正交性的推广正交性不仅仅适用于线性空间中的向量，还可以推广到其他对象上。
向量正交公式范文
向量正交公式范文在线性代数中，向量的正交是指两个向量的内积为零，也就是说两个向量之间的夹角为90度。
正交性在许多数学和物理问题中起着重要的作用。
本文将介绍向量正交的定义、性质以及一些应用。
向量正交的定义如下：对于实数域或复数域上的向量空间中的两个向量，如果它们的内积为零，则称这两个向量是正交的。
设有两个向量u和v，它们的内积为0表示为u·v=0。
换句话说，u与v的内积为零意味着它们互相垂直。
下面我们来看一些向量正交的性质。
首先，零向量与向量空间中的任何向量都是正交的，因为对于任何向量u，都有0·u=0。
这是因为零向量与其他向量之间没有方向，所以它与其他向量之间的夹角为90度。
其次，向量的正交性可以从数与向量的乘积来看。
对于实数或复数a和向量u，我们有a·u=0当且仅当a=0或u=0。
这是因为如果a不等于零，则a与u的内积只能为零当且仅当u为零向量。
同样地，如果u不等于零，则a与u的内积只能为0当且仅当a为零。
然后，正交性也可以通过向量的分量来表示。
设u=(u1,u2,...,un)和v=(v1,v2,...,vn)是一个向量空间中的两个向量。
它们是正交的当且仅当它们的对应分量的乘积的和为0，即u1v1+u2v2+...+unvn=0。
这是因为两个向量的内积可以表示为它们对应分量的乘积的和。
另外，正交性还满足加法和标量乘法的封闭性。
设u和v是一个向量空间中的两个正交向量，若a是一个实数或复数，则au和u+v也是正交向量。
这是因为(au)·u=a(u·u)=0，以及(u+v)·u=(u·u)+(v·u)=0+(v·u)=0，其中·表示内积。
最后，正交性还满足向量长度的性质。
如果两个向量u和v是正交的，那么它们的长度乘积等于它们的内积的绝对值，即，u，·，v，=，u·v。
这是正交性的推论，通过向量的长度和方向来表示它们正交的程度。
向量正交公式范文
向量正交公式范文在平面几何中，我们可以通过计算两个向量的点积来确定它们是否正交。
设向量A(x1,y1)和向量B(x2,y2)，它们的点积为A·B=x1x2+y1y2、根据正交的定义，当A·B=0时，向量A和向量B是正交的。
此外，向量正交还有一个重要的性质，即如果两个向量A和B正交，那么它们的线性组合也是正交的。
具体来说，对于向量A(x1,y1)和向量B(x2,y2)，以及任意实数k和l，线性组合kA+lB也是正交的。
这可以通过计算线性组合的点积来证明：(kA+lB)·A=k(A·A)+l(B·A)=0，(kA+lB)·B=k(A·B)+l(B·B)=0。
因此，线性组合kA+lB也是正交的。
向量正交的概念在物理学、工程学和计算机图形学等领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，向量正交可以用于描述力的作用方向和速度的垂直关系。
在工程学中，向量正交可以用于计算力矩和刚体的旋转。
在计算机图形学中，向量正交可以用于计算光线和表面的相互作用。
除了平面几何中的向量正交，我们还可以推广到三维空间中。
在三维空间中，向量A(x1,y1,z1)和向量B(x2,y2,z2)的点积为A·B=x1x2+y1y2+z1z2、类似地，当A·B=0时，向量A和向量B是正交的。
向量正交的概念也可以推广到更高维的空间。
在n维空间中，向量A(x1, x2, ..., xn)和向量B(y1, y2, ..., yn)的点积为A·B = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn。
同样地，当A·B = 0时，向量A和向量B是正交的。
向量正交公式在实际问题中有很大的用途。
例如，当我们需要找到两个向量之间的夹角时，可以首先计算它们的点积，然后应用向量正交公式，将点积和向量的大小代入公式来求解夹角。
这样可以简化计算过程，并提高计算的效率。
向量的正交分解
向量的正交分解向量的正交分解是在数学中讨论向量空间时经常用到的一个概念。
正交分解是指将一个向量空间中的任意向量表示为与该向量空间的一个子空间正交的两个子空间上的向量的和。
在了解向量的正交分解之前，我们首先需要了解几个相关的概念。
1.向量空间：向量空间是指一个集合，其中的元素被称为向量，并且满足加法运算和标量乘法运算的封闭性、结合律、分配律、单位元等一系列规定的条件。
2.子空间：子空间是指向量空间的一个子集，符合向量空间的定义条件，也就是满足加法运算和标量乘法运算的封闭性、结合律、分配律、单位元等条件。
3.正交：两个向量的内积为0时，我们称这两个向量是正交的。
内积为0意味着两个向量之间夹角为90度，也就是垂直于彼此。
现在我们来讨论向量的正交分解。
假设V是一个n维的向量空间，W是V的一个子空间，那么我们可以将V进行正交分解为两个子空间上的向量的和：V = W⊕W⊥其中，W⊥表示与W正交的向量构成的一个子空间。
具体来说，对于V中的任意一个向量v，存在唯一的，满足下面两个条件的向量v1和v2：1. v1属于W，表示v1是W中的一个向量；2. v2属于W⊥，表示v2是与W正交的向量。
那么我们可以得到v = v1 + v2。
也就是说，每个向量v都可以写成子空间W中的一个向量和与W正交的向量之和。
这个正交分解的过程可以通过Gram-Schmidt正交化方法来进行。
Gram-Schmidt正交化方法是一种用来将一个线性无关的向量组正交化的方法。
假设有一组线性无关的向量{v1, v2, ..., vn}，我们希望将它们正交化得到{u1, u2, ..., un}。
那么可以按照如下步骤进行：1.令u1 = v1；2.对于i = 2, 3, ..., n，执行如下操作：a.令ui = vi - proj(vi, u1) - proj(vi, u2) - ... - proj(vi, ui-1)；b.其中，proj(vi, uk)表示向量vi在向量uk上的投影，计算方式为proj(vi, uk) = (vi・uk) / (uk・uk) * uk；c.注意，这里的"・"表示点乘运算。
空间向量的正交分解
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a
(a1 , a2 , a3 ),( R) ;
a b a1b1 a2b2 a3b3
;
a // b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ( R) ; a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
C
z
D1 A1 F1 E1 B1 C1
D
O
A
x
17 17 | BE1 | , | DF1 | . 4 4 15 B BE1 DF1 15 16 cos BE1 , DF1 . | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4
y
练习一：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
注意：
（1）当 cos a , b 1 时， a 与 b 同向；
a 与 b 反向； （2）当 cos a , b 1 时，
（3）当cos a , b 0 时，a b 。 思考：当 0 cos a , b 1 及 1 cos a , b 0 时， 的夹角在什么范围内？
化简整理，得 4 x 6 y 8z 7 0
即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满
足的条件是 4 x 6 y 8z 7 0
例2
B1 E1 如图，在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中，
A1B1 D1F1 4
，求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
z
a
A(x,y,z) O j y
k i x
三、空间向量基本定理
前面我们定义了空间向量的加、减 、数乘、数量积四 种运算，从而空间的有关问题可以转化为空间向量的这四 种运算来处理. 另外，我们还发现类似平面向量基本定理，空间也有 空间向 量基本定理，也就 是说： 已知三个不共面 向量 a 、 b、 c ，那么对于空间任一向量 p ，都存在有序实数组
向量空间的正交化_图文_图文
在空间 中，若一组基
满足标准正交
向量组的条件，即
则称
为标准正交基。
例如 是 中的一组标准正交基，而 中的自然基
也是标准正交基。 设
三、Schmidt正交化方法
空间中的线性无关 向量组。 （当r=n时，就是Rn空间里的一组基）
但是，这组向量组不定是（标准）正交向量组； （当r=n时，这组向量组不定是（标准）正交基） 下述方法称为Schmidt正交化方法，它是把线性无关向量组， 转变为正交向量组的方法。
长度不为1，则可取
称 为与
同向的单位向量， 从
的过程也称为
向量的单位化。
定义3
，则称向量 正交。 零向量与任何向量都正交。
例1 求与 解：设
都正交的单位向量。
与
都正交
则
对系数矩阵A作初等行变换
所以 再单位化得
为所求向量。
二 向量的正交性
设一个向量组
，若它们两两正交，
称这个向量组为正交向量组。 又若每一个向量
所得向量组是正交向量Fra bibliotek。当时，Schmidt 正交化方法就可以将一组基
化为正交基
然后单位化：
则
书例2
即为标准正交基。
四、 正交矩阵
定义 设A是n阶的实矩阵，若 A是正交矩阵。 正交矩阵的性质：若A为正交阵，则
，则称
（1） （2）
（3） 也为正交阵 （4）若A，B为正交阵，则AB也为正交阵
向量空间的正交化_图文_图文.ppt
一 向量的内积 定义1 对n 维向量空间 中的向量
定义 中内积
为
注：
当
到实数集R的函数，
上述定义中给出的内积满足： （1）交换性： （2）线性性：
空间向量的正交分解及其坐标表示
[精解详析] 连接 BO，则 BF ＝12 BP ＝12(BO＋OP )＝12 ( BA＋ AO＋OP )＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c.
BE ＝ BC ＋CE ＝－a＋12CP ＝－a＋12(CO＋OP )＝－a－12b＋12c.
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3 不共面，
∴－ x＋3xy＝＋2y＝ ，1， 2x－y＝－1.
此方程组无解，
即不存在实数 x,y 使OA＝xOB＋yOC .
∴OA，OB，OC 不共面．
故{OA，OB，OC }能作为空间的一个基底.
[例 2] 四棱锥 P－OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC.设OA＝a，OC ＝b，OP ＝c，E,F 分别是 PC 和 PB 的 中点，试用 a，b，c 表示BF ,BE , AE , EF .
空间向量的正交分解及其坐标表示
1．空间向量基 任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb ＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫
做基向量．
2．空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底 三个有公共起点O的 两两垂直 的单位向量e1，e2， e3称为单位正交基底．
xe1＋ye2＋ze3 .把 x，y，z 称作向量p在单位正交基底e1，
e2，e3下的坐标，记作
p＝(x，y，．z)
1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量 的一个基底．
2. 0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向 量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.
线性代数正交性与对称性
线性代数正交性与对称性线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性映射和线性方程组的理论。
在线性代数中，正交性和对称性是两个重要的概念。
本文将重点讨论线性代数中的正交性与对称性，并探讨它们之间的关系。
1. 正交性的概念及性质正交性是线性代数中一个基本而重要的概念。
在向量空间中，两个非零向量被称为正交，如果它们的内积为零。
内积是向量空间中的一种运算，它描述了向量之间的夹角关系和长度关系。
对于两个向量u和v，它们的内积可以表示为u·v或者<u,v>。
当u与v正交时，有u·v=0。
如果一个向量空间中的所有向量两两正交，那么这个向量空间被称为正交向量空间。
正交性具有以下几个性质：- 零向量与任意向量都正交。
- 向量与其自身正交。
- 正交关系具有传递性，即u与v正交，v与w正交，则u与w也正交。
2. 正交向量组与正交矩阵在线性代数中，正交向量组是指向量组中的所有向量两两正交。
如果一个向量组中的向量都是单位向量且两两正交，那么这个向量组被称为标准正交向量组。
对于标准正交向量组，其具有一些重要的性质：- 标准正交向量组线性无关。
- 标准正交向量组的长度均为1，即单位向量。
- 任意非零向量都可以由标准正交向量组线性组合而成。
正交矩阵是指满足矩阵的转置矩阵等于逆矩阵的方阵。
正交矩阵的列向量构成了一个正交向量组，因此正交矩阵具有很多重要的性质：- 正交矩阵的列向量是一个标准正交向量组。
- 正交矩阵的行向量也构成一个标准正交向量组。
- 正交矩阵的行列式的绝对值为1。
3. 对称性的概念及性质在线性代数中，对称性是指矩阵的转置等于其本身。
对称矩阵是一个非常重要的研究对象，具有以下性质：- 对称矩阵的对角线上的元素都是实数。
- 对称矩阵的特征值都是实数。
- 对称矩阵可以通过正交变换化为对角矩阵。
对称性在矩阵的特征值与特征向量的研究中起到了重要的作用。
对称矩阵的特征值是实数，而且对应不同特征值的特征向量是正交的。
向量空间的正交化
定理2 A为正交矩阵的充要条件是A的行（列）向 量都是单位向量且两两正交。
证明：令 A (1,2,..., n ) ，则
1T
AT
A
2T
(1 , 2
,...,
n
)
I
T n
即
(
T i
,
j
)
1 0
i j i j 得证
书例3
然后单位化：i
i , i 1,2,, n (i , i )
则 1, 2 ,, n 即为标准正交基。
书例2
四、 正交矩阵 定义 设A是n阶的实矩阵，若 AT A I ，则称 A是正交矩阵。 正交矩阵的性质：若A为正交阵，则
（1） A1 AT
（2） | A | 1
（3） A1 也为正交阵
（4）若A，B为正交阵，则AB也为正交阵
称这个向量组为正交向量组。 又若每一个向量
是单位向量，则称该向量组为标准正交组。
故一个向量组是标准正交组的充要条件是
(i
,
j
)
1 0
i j i j
定理1 若正交向量组 1,2 ,,r 中不含零向量，则
1,2,,r 线性无关。
r
证明：对任意常数 ki , 设 kii 0，两边用 j
i 1
作内积，因为 (i , j ) 0 , i j ，所以
一 向量的内积
定义1 对n 维向量空间 Rn 中的向量
(a1, a2 ,, an )T , (b1, b2 ,, bn )T
定义 Rn 中内积 ( , ) 为
( , ) a1b1 a2b2 anbn T
注：Rn 中的内积是一个从 Rn Rn 到实数集R的函数， 当 n 3 时，( , ) a1b1 a2b2 a3b3 T
正交性与内积空间
正交性与内积空间在数学和物理学中，正交性是一个重要的概念，特别是当涉及到向量和内积空间时。
正交性是指两个向量之间的垂直关系，也用于描述向量的相互独立性。
内积空间是指一个具有内积定义的向量空间，内积是一种将两个向量映射到实数的运算。
1. 正交性的定义与性质在向量空间中，如果两个向量的内积为零，我们称它们是正交的。
具体而言，对于向量空间V中的两个向量u和v，若它们的内积<u,v>等于零，则称u和v是正交的。
正交性有以下一些重要的性质：- 若向量u和v正交，则它们的线性组合也正交。
- 若向量u与自身的内积等于零，则u为零向量。
- 零向量与任何向量都正交。
在矩阵和算子理论中，正交矩阵和正交算子也与正交性密切相关。
正交矩阵是指满足矩阵转置等于逆矩阵的矩阵，而正交算子是指满足运算规则的线性算子。
正交矩阵和正交算子的性质与向量的正交性有着紧密的联系。
2. 内积空间与内积的定义内积空间是指一个向量空间V，其在每一对向量之间定义了内积运算。
内积运算满足以下几个性质：- 非负性：对于任意向量u，<u,u>大于等于零，且只有<u,u>等于零时，u才为零向量。
- 线性性：对于向量u、v和标量c，内积的线性性质表示<u+v,w>等于<u,w>加上<v,w>，以及<c*u,v>等于c乘以<u,v>。
- 共轭对称性：对于向量u和v，<u,v>的共轭复数等于<v,u>。
常见的内积空间包括实数内积空间和复数内积空间。
在实数内积空间中，内积是由向量的点乘给出；在复数内积空间中，内积是由向量的共轭点乘给出。
3. 正交基与Gram-Schmidt正交化过程在内积空间中，正交基是指一个线性无关的向量组，其中每两个向量都是正交的。
正交基在求解问题时非常有用，因为它可以简化向量的表示和运算。
Gram-Schmidt正交化过程是一种常用的方法，用于将线性无关的向量组转化为正交基。
向量空间中的正交与正交矩阵
向量空间中的正交与正交矩阵在向量空间中，正交是指两个向量之间的夹角为90度，也就是说它们是垂直的。
而正交矩阵则是指一个方阵，它的行（或列）向量都是正交的，并且长度为1，也就是说每个向量都是单位向量。
正交矩阵有很多重要的性质，下面我们来一一探讨。
1. 正交矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵。
这是因为正交矩阵的行列式为1，所以它的逆矩阵等于它的伴随矩阵除以行列式，而伴随矩阵就是原矩阵的转置矩阵。
2. 正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵。
这是因为正交矩阵每个向量都是单位向量，所以它的转置矩阵也是正交矩阵。
3. 正交矩阵的行向量和列向量组成的矩阵都是正交矩阵。
这是因为正交矩阵的行向量和列向量都是正交的，并且长度为1，所以它们组成的矩阵也是正交矩阵。
4. 正交矩阵的行向量和列向量是向量空间的一组正交基。
这是因为正交矩阵的行向量和列向量都是单位向量，而且它们之间互相垂直，所以它们可以作为向量空间的一组正交基，并且由于每个向量长度为1，所以它们还是归一化的正交基。
5. 正交矩阵可以用于线性变换。
这是因为正交矩阵的行向量和列向量都是正交的，在变换后它们仍然是正交的，并且长度不变，所以它们可以用于保持向量的长度和夹角不变的线性变换。
6. 正交矩阵可以用于解决最小二乘问题。
这是因为最小二乘问题可以看做是找到一组线性方程组的解，使得误差平方和最小。
而正交矩阵可以将原方程组变换成一个性质更好的方程组，从而求得解。
在实际应用中，正交矩阵往往被用来做旋转变换、镜像变换和坐标轴变换等，在计算机图形学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
例如在3D游戏中，我们需要将物体进行旋转变换，就可以使用正交矩阵来实现。
在工程学中，正交矩阵也可以用来解决刚体运动和边界值问题等。
总之，正交矩阵在向量空间中具有很多重要的性质和应用，它是一种非常有用的数学工具。
在学习和应用中，我们需要深入理解它的性质和应用，进一步拓展我们的数学视野和思维方式。
空间向量的正交分解 课件
2.空间一点的坐标的确定方法 对空间的一点P(x,y,z)，如图(1)所示，过点P作面xOy的垂线， 垂足为P′，在面xOy中，过P′分别作x轴，y轴的垂线，垂足 分别为A，C，则|x|=P′C,|y|=AP′,|z|=PP′,根据点A，C，D 的位置即可确定x,y,z的符号.
例如，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=2， AA1=1， 则A(2，0，0)，B(2，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)， A1(2，0，1)，B1(2，3，1)，C1(0，3，1)，D1(0，0，1). 如图(2)所示.
类型 一 判断三个向量能否成为基底
【典型例题】
1.已知{e1,e2,e3}是空间向量的一个基底，下列向量中，能够
与向量a=e1+e2,b=e1-e2构成基底的向量的序号是______.
①e1;②e2;③e1+2e2;④e1+2e3.
2.已知{e1,e2,e3}是空间向量的一个基底，向量a=3e1+2e2+e3,
∴P点的坐标为 (1 , 1 , 3).
422
2
2
(1,1,1)
2.令Ox,Oy，Oz轴方向上的单位向量分别为i,j,k,
OP OE EP 1 OA OC 1 EF
2
2
1 OA OC 1 (OB OA)
2
4
1 OA 1 OB 1 OC
4
4
2
1 i 1 2j 1 3k
44
2
1 i 1 j 3 k， 422
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底，则a,b,c 共面.( ) (2)若a,b为空间两个不共线的向量，c=λa+μb(λ,μ∈R且 λμ≠0)，则{a,b,c}构成空间的一个基底.( ) (3)若{a,b,c}为空间一个基底，则{-a,-b,-c}也可构成空间 一个基底.( )
向量空间中的正交分解和选取正交基
向量空间中的正交分解和选取正交基在数学中，向量空间是一个非常基础的概念，它是一组向量和对这些向量进行加法和数乘运算所形成的集合。
对于一个向量空间，它的性质和性质的推导通常都和基向量有关系。
正交基是一种特殊的基向量，在向量空间中有着重要且应用广泛的意义。
本文将会介绍向量空间中的正交分解和选取正交基的概念与相关应用。
正交分解的概念一个向量空间中的任何向量都可以表示为一些基向量的线性组合。
即任何向量 $\mathbf{v}$ 可以表示为：$$\mathbf{v} = c_1\mathbf{v_1} + c_2\mathbf{v_2} + \cdots +c_n\mathbf{v_n}$$其中 $c_i$ 是标量，$\mathbf{v_i}$ 是基向量。
如果基向量与自身不同，则它们必须线性无关。
对于具有内积的向量空间，我们可以将这些基向量选取为正交基，即：$$\langle \mathbf{v_i},\mathbf{v_j}\rangle = \begin{cases}1&\text{if }i=j\\ 0& \text{if }i\neq j\end{cases}$$当一个向量空间有正交基时，我们可以通过计算线性系数来求解任意向量 $\mathbf{v}$ 在这组基下的坐标：$$c_i = \frac{\langle \mathbf{v},\mathbf{v_i}\rangle}{\langle\mathbf{v_i},\mathbf{v_i}\rangle}$$利用这个公式，就可以将任意向量在正交基下的表示求出来。
如果我们将上面的公式代入到向量的线性组合公式中，可以得到一个被称为正交分解的式子：$$\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n\frac{\langle\mathbf{v},\mathbf{v_i}\rangle}{\langle\mathbf{v_i},\mathbf{v_i}\rangle}\mathbf{v_i}$$正交分解是一种分解向量的方式，它将一个向量分解为其在不同方向上的投影之和。
平面向量的正交性和正交补空间
平面向量的正交性和正交补空间平面向量是数学中的常见概念，在许多问题的求解中都起到了重要的作用。
其中，正交性和正交补空间是平面向量的重要性质，本文将对这两个概念进行介绍和解释。
一、正交性在平面解析几何中，两个向量的正交性是指它们的内积为0。
具体来说，对于向量a=(a1, a2)和b=(b1, b2)，如果满足a1 * b1 + a2 * b2 = 0，则这两个向量是正交的。
正交性的几何意义在于表示两个向量相互垂直，它们所张成的直线或平面垂直于彼此。
可以用于求解两条直线的垂直关系，或者判断两个平面是否垂直。
值得注意的是，当且仅当两个向量都不为零向量时，它们才能正交。
二、正交补空间正交补空间是与给定向量空间的某个子空间正交的另一空间。
对于平面向量的正交补空间而言，我们先来了解一下向量空间和子空间的概念。
向量空间是指由满足一定条件的向量组成的集合，它满足八个条件：0向量属于向量空间；向量的加法和数乘封闭；向量的加法结合律、加法交换律和数乘分配律成立；存在每个向量的相反向量。
子空间是向量空间的一个子集，也是一个向量空间。
对于平面向量而言，平面上任意闭合图形所张成的空间就是子空间。
例如，平行直线所张成的向量空间就是子空间。
正交补空间的概念是在给定平面向量空间中，与某个子空间正交的所有向量所组成的空间。
具体来说，对于平面向量空间V和它的一个子空间U，U的正交补空间记作U^⊥。
U^⊥中的向量与子空间U中的任意向量都正交，即U^⊥与U是正交的。
根据正交性的定义，对于U中任意向量a和U^⊥中任意向量b，有a·b=0。
正交补空间的性质十分重要，它具有以下几个特点：1. 对于向量空间V中的每个向量a，它要么属于子空间U，要么属于U^⊥；2. V中的每个向量可由U中的向量和U^⊥中的向量唯一表示；3. U和U^⊥的维数之和等于V的维数。
正交补空间的应用广泛，特别是在线性代数和几何学中起到了重要的作用。
其在正交投影、正交矩阵、最小二乘法等领域都有应用。
向量的内积、正交性
2 2 2 x1 x2 x3 [ x , x ]
向量的长度 定义：令
|| x || [ x , x ]
2 2 2 x1 x2 xn
称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量． 向量的长度具有下列性质：
[x, y]2 ≤ [x, x] [y, y]．
回顾：线段的长度
P(x1, x2)
x2
[x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
若令 x = (x1, x2)T，则
| OP |
2 2 x1 x2 [ x , x ]
O
x1
P 若令 x = (x1, x2, x3)T，则 x3 x2 x1 O
|| e1 || [e1 , e1 ] 1
从而 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个规范正交基．
1 1 4 例：设 a1 2 , a2 3 , a3 1 ，试用施密特正交化 1 1 0 过程把这组向量规范正交化．
x1 x 3 得 x2 0
1 1 从而有基础解系 0 ，令 a3 0 ． 1 1
定义： n 维向量e1, e2, …, er 是向量空间 V R n中的向量， 满足 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）； e1, e2, …, er 两两正交； e1, e2, …, er 都是单位向量， 则称 e1, e2, …, er 是V 的一个规范正交基．
说明：
• 内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数． • 内积可用矩阵乘法表示：当x 和 y 都是列向量时， [x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y ．
空间向量的正交分解及其坐标表示
中点，求异面直线
SM
与
BN
所成角的余弦值 新疆 王新敞
奎屯
解：设 SA a ，SB b ，SC c ，则 a b b c a c 1 ，
∵ SM BN 1 (SA SB) (SN SB) 1 (a b) ( 1 c b) 2
2
2
2
11
1
2
( acab bcb )
22
略解:⑴ MN MO ON
1 OA 1 (OB OC )= 1 (a b c)
2
2
2
MP OP OM = 1 (c a) 2
⑵易知 a b
bc
ca
1
,
2
a
2
b
2
c
1 ,∴ MN MP
1
2
4
练习 2.在长方体 ABCD─A1B1C1D1 中, AB 2 , BC 2 ,
显然这种正交分解更有利于我们的问题解决, 因为关于这些分向量的数量积运算非常简单.
练习 1.已知空间四边形 OABC 的四条边及 AC 、BO 的长都等于1 ,点 M 、N 、P 分别是 OA、BC 、OC 的 中点,且 OA a , OB b , OC c , ⑴用 a 、b、c 表示 MN, MP ; ⑵求 MN MP .
AA1 6 ,且记 AB a , AD b , AA1a 、b 、c 表示 BD1, B1C ;
A1
B1
⑵求异面直线 BD1 和 B1C 所成角的余弦值.
D
C
解:⑴ BD1 BA AD DD1 = a b c A
B
B1C B1B BC c b
⑵∵ a b b c c a 0 , a 2 4, b 2 4, c 2 36 ,
第7章 §7.6 空间向量的概念与运算--新高考数学新题型一轮复习课件
新高考数学新题型一轮复习课件第七章§7.6 空间向量的概念与运算考试要求1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.落实主干知识探究核心题型内容索引课时精练L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识知识梳理1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有和 的量相等向量方向且模 的向量相反向量方向且模 的向量共线向量(或平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相或 的向量共面向量平行于的向量大小方向相同相等相反相等平行重合同一个平面2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使.(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在 的有序实数对(x ，y )，使p ＝ .(3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝ ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.a ＝λb 唯一x a ＋y b x a ＋y b ＋z c3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝ .(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).|a||b|cos〈a，b〉向量表示坐标表示数量积a·b_________________共线a＝λb(b≠0，λ∈R)_________________________a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)_____________________模|a |______________夹角余弦值 cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝_______________________a1b1＋a2b2＋a3b3＝04.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量.(3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R) l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄αl∥αn⊥m⇔n·m＝0 l⊥αn∥m⇔n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分别为n，m α∥βn∥m⇔n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m＝0判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.( )(2)若直线a 的方向向量和平面α的法向量平行，则a ∥α.( )(3)在空间直角坐标系中，在Oyz 平面上的点的坐标一定是(0，b ，c ).( )(4)若a ·b <0，则〈a ，b 〉是钝角.( )√×××1.若{a，b，c}为空间向量的一个基底，则下列各项中，能构成空间向量的一个基底的是A.{a，a＋b，a－b}B.{b，a＋b，a－b}√C.{c，a＋b，a－b}D.{a＋b，a－b，a＋2b}∵λa＋μb(λ，μ∈R)与a，b共面.∴A，B，D不正确.√由题意，根据向量运算的几何运算法则，3.设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2,2,1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝____.∵l1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝－6－4＋m ＝0，∴m ＝10.10T A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型题型一空间向量的线性运算D1的中点，∵P是C∵N是BC的中点，∵M是AA1的中点，教师备选√用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形.(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.√√题型二空间向量基本定理及其应用(2)判断点M是否在平面ABC内.所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.所以M，A，B，C四点共面，从而M在平面ABC内.教师备选跟踪训练2 (1)(多选)(2022·武汉质检)下列说法中正确的是A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件√√由|a|－|b|＝|a＋b|，可得向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，可得P，A，B，C四点共面，故C正确；若P，A，B，C为空间四点，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确.属于∴M，A，B，C四点共面.即点M∈平面ABC.例3 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：题型三空间向量数量积及其应用则|a|＝|b|＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值.教师备选√设正方体内切球的球心为O，则OM＝ON＝1，∵MN为球O的直径，又P在正方体表面上移动，由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.跟踪训练3 如图所示，在四棱柱ABCDAB1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)(2)求证：AC1⊥BD；＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c＝0.(3)求BD1与AC夹角的余弦值.。
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−
1 ⎟, e3 6⎟
⎜⎝
2 6
⎟⎠
=
1 | b3
| b3
=
⎜ ⎜ ⎜
2
−
3 2
3 1
3
⎟ ⎟ ⎟
，
⎜⎝ −
1 23
⎟⎠
那么 e1 , e2 , e3 为与 a1 , a 2 , a3 等价的标准正交向量组．
五、正交矩阵
定义 7.5 设 A 是 n 阶实矩阵，如果满足 AΤ A = AAΤ = I ，那么 A 称为正交矩阵．
定义 7.3
θ
=
arccos (a,b)
| a || b |
称为非零向量 a
与 b 间的夹角；如果θ
=
π
2
，那么 a 与 b
正交，规定零向量与任意向量正交．
例 1 设向量 a = (1,−1,2,1)Τ ,b = (− 3,0,−1,3)Τ ,c = (2,3,1,−1)Τ ，计算 (a,b), (a,c)及 a 与
从而有
( ) k j a j ,a j = 0 ．
186
但是
( ) a j ,a j =| a j |2 ≠ 0 ，
故
k j = 0 (j = 1,2,", m) ．
所以 a1 , a2 ,", am 线性无关．
证毕
在维数为 r 的向量空间V 中，如果 a1 , a2 ,", ar 是正交向量组，那么由定理 7.1 知，
⎜⎛ ⎜
0 0
⎟⎞ ⎟
为一个标准正交基．
⎜⎝ 0⎟⎠ ⎜⎝ 0⎟⎠ ⎜⎝1⎟⎠
四、施密特正交化过程
我们知道维数为 r 的向量空间V 中任意 r 个线性无关的向量 a1 ,a2 ,",ar 都可以作为 V 的一个基，这个基不一定是标准正交基．但是，可以找到的V 一个标准正交基 e1 ,e2 ,",er ， 使 向 量 组 e1 ,e2 ,",er 与 a1 ,a2 ,",ar 等 价 ． 这 个 过 程 称 为 把 基 a1 , a2 ,", ar 规范正交化．
=
⎜⎛ 1 ⎟⎞
⎜0⎟ ⎜⎜⎜⎝ 10 ⎟⎟⎟⎠
−
⎜⎛ 1 ⎟⎞
1 ⎜0⎟
2
⎜ ⎜⎜⎝
10⎟⎟⎟⎠
=
⎜⎛
1 2
⎟⎞
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 −1 1
2
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
；
设
b3 = a3 + k1b1 + k2b2 ，
由
(b3 , b1 ) = 0,(b3 , b 2 ) = 0 得
k1
=
−
(b1 (b1
, ,
关．
证
设有一组数 k1 ,k2 ,",km ，使得
m
∑kiai = 0 ．
i =1
那么
∑ ( ) ⎜⎛
⎝
m i =1
kiai
,a
j
⎟⎞ ⎠
=
0, a j
=0
利用向量的内积的运算规律，可得
(j = 1,2,", m) ，
∑ ( ) m ki ai ,a j = 0 ．
i =1
( ) 由于 a1 , a2 ,", am 是正交向量组， 故 当 i ≠ j 时 ai , a j = 0 ，
⎟ ⎟⎟⎠
−
1 2
3 2
⎜0⎟
⎜ ⎜⎜⎝
−
1 2
1
⎟ ⎟⎟⎠
=
⎜1⎟
⎜ ⎜⎜⎝
− −
1 3
1 3
⎟ ⎟⎟⎠
再把 b1, b 2 , b3 单位化，得
188
⎜⎛
1 2
⎟⎞
⎜⎛
1 6
⎟⎞
⎜⎛
1 23
⎟⎞
e1
=
1 | b1
| b1
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0
1
⎟⎟, e2
2
0
⎟⎟⎠
=
1 | b2
|b2
=
⎜0⎟
⎜ ⎜
−2 133
⎟⎟⎠⎞
．
三、向量的正交性
定义 7.4 如果非零向量组 a1 , a2 ,", am 两两正交，那么向量组 a1 , a 2 ,", a m 称为正
交向量组；特别地，如果 a1 ,a2 ,",am 全为单位向量，那么正交向量组 a1 ,a2 ,",am 称为
标准正交向量组．
例如，
⎜⎛ 1 ⎟⎞
,an
))⎟⎟⎞
⎟
)⎟⎟⎠
．
a
Τ 1
a
n
⎟⎞
a
Τ 2
a
n
⎟
a
#
Τ n
a
n
⎟ ⎟⎟⎠
如果 A 为正交矩阵，则 AΤ A = I ，即
( ) ai ,a j
=
a
Τ i
a
j
=
⎧1,i =
⎨ ⎩0,
i
≠
j． j
这说明， A 的列向量组 a1 ,a2 ,",an 是标准正交向量组．反之，如果 A 的列向量组
a1 , a2 ,", an 是标准正交向量组，即
a ⋅ b = a1b1 + a2b2 + a3b3 ．
借助于三维向量的内积，我们可以表示向量的长度和两个向量间的夹角．
设向量 a = (a1, a2 , a3 ) ，那么 a 的长度| a |=
a⋅a =
a12
+
a
2 2
+ a32
．
设两个非零向量 a = (a1, a 2 , a 3 ) 与 b = (b1,b2 ,b3 ) 间的夹角为θ ,
由此可知 ，对正交矩阵 A ，有 A−1 = AΤ ．
设 A 是 n 阶实矩阵，将 A 按列进行分块，那么
A = (a1 , a2 ,", an ) ,
⎜⎛
a
Τ 1
⎟⎞
AΤ
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
a
Τ 2
#
a
Τ n
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
．
因此
⎜⎛a1Τ ⎟⎞
⎜⎛
a
Τ 1
a
1
a
Τ 1
a
2
"
A
Τ
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
a
Τ 2
重点与难点：施密特正交化方法；
正交矩阵及其性质的应用.
重要解题方法：施密特正交化方法..
一、 引例（三维向量的内积）
在第四§2 中，我们已经定义两个向量的内积，并且给出它的坐标表示式.设两个向量
a = (a1, a2 , a3 ) ， b = (b1, b2 , b3 ) ，那么向量 a 与 b 的内积可表示为
准正交向量组． 此外，正交矩阵还具有下列的性质（证明从略）：
性质 1 如果 A 为正交矩阵，那么 A = ±1 ；
性质 2 如果 A 为正交矩阵，那么 A − 1 , A Τ 都是正交矩阵；
性质 3 如果 A 、 B 是同阶的正交矩阵，那么 AB, BA 也是正交矩阵．
例3 交矩阵．
设 x 是 n 维实列向量，且 xΤx = 1， H = I − 2xxΤ ．证明矩阵 H 是对称的正
那么
cosθ = a ⋅ b =
a1b1 + a2b2 + a3b3
.
ab
a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32
二、向量的内积及其性质
下面我们将三维向量的内积推广为 n 维向量的内积（将用新的记号）．
184
定义 7.1 那么实数
⎜⎛ a1 ⎟⎞ ⎜⎛ b1 ⎟⎞
设有两个
n
维实向量
下面我们介绍把V 的基 a1 , a2 ,", ar 规范正交化的过程．
取
b1 = a1 ；
设
b 2 = a2 + kb1 ，
其中待定系数 k 由 (b 2 , b1 ) = 0 确定，此时向量组 b1, b 2 正交且与向量组 a1, a2 等价；重复
这种过程，最后设
b r = a r + k1b1 + k2b 2 + " + kr−1b r−1 ，
第七章
向量空间的正交性
把几何空间作为向量空间的具体模型，人们会发现向量本身的度量：向量的长度与两个 向量间的夹角．而在解析几何中，这两个度量是通过向量的内积来表示，我们将把这些概念
推广到任意 n 维向量空间．
§1 向量空间的内积
主要知识点：向量的内积；
正交向量组； 施密特正交化方法； 正交矩阵及其性质.
对任意 k(1 ≤ k ≤ r) ，向量组 b1 , b 2 ,",b k 与 a1 , a2 ,",ak 等价．
⎜⎛ 1 ⎟⎞
⎜⎛ 1 ⎟⎞
⎜⎛ 1 ⎟⎞
例2
已知 R 4 中的向量组 a1
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 1 0
⎟⎟, ⎟⎟⎠
a
2
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 1
⎟⎟, ⎟⎟⎠
a
3
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
1 0 0
其中待定系数 k1 ,k2 ,",kr-1 由 (br , b1 ) = 0, (b r , b 2 ) = 0,", (br , b r−1 ) = 0 确定．
这样可以得到正交向量组 b1 , b 2 ,", br ，容易验证 b1 , b 2 ,", br 与 a1 , a2 ,", ar 等价． 再把 b1 , b 2 ,", br 单位化，即取