第七章 向量空间的正交性

a1 , a2 ,", ar 一定为线性无关向量组．因此，a1 , a2 ,", ar 构成V 的一个基，称为V 的一个
正交基．如果 a1 , a2 ,", ar 为标准正交向量组，那么它称为V 的一个标准正交基 （或规范
正交基）．
例如，
在
R
3
中向量组
⎜⎛ ⎜
1 0
⎟⎞ ⎟
,
⎜⎛ ⎜
0 1
⎟⎞ ⎟
,
b 和 a 与 c 间的夹角．
解： (a,b) = aΤb = −2 ，
(a,c) = aΤc = 0 ，
故
a 与 c 正交 ，即 a 与 c 间的夹角为 π ．
2
又
| a |= (a,a) = aΤa = 7 ，
185
| b |= (b,b) = bΤb = 19 ，
故
α 与 b 间夹角θ = arccos⎜⎜⎝⎛
a3 b1
) )
,
k
2
=
− (b2 , a3 ) (b 2 , b 2 )
，
故
b3
=
a3
−
(b (b
1 1
, ,
a b
3 1
) )
ຫໍສະໝຸດ Baidu
b
1
−
(b (b
2 2
, ,
a b
3 2
) )
b
2
．
⎜⎛ 1 ⎟⎞
⎜⎛ 1 ⎟⎞
⎜⎛
1 2
⎟⎞
⎜⎛
1 3
⎟⎞
=
⎜1⎟
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
⎟ ⎟⎟⎠
−
1 ⎜0⎟
2
⎜ ⎜⎜⎝
1 0
( ) ai ,a j
=
⎧1, i ⎩⎨0, i
= ≠
j j
．
于是
AΤ A = I ，
189
那么 A 是正交矩阵．考虑到 AΤ A = I 与 A AΤ = I 等价，所以上述结论对 A 的行向量组也
成立．于是有下列定理．
定理 7.2 n 阶实矩阵 A 为正交矩阵的充分必要条件为 A 的列向量组或行向量组为标
（2） (a + b,c) = (a,c) + (b,c) ；
（3） (ka,b) = k(a,b)；
（4） 对任意向量 a ， (a，a) ≥ 0 ；当且仅当 a = 0 时等号成立．
其中 a 为任意的 n 维实向量， k 为实数．
仿三维向量的情形，我们利用向量的内积可定义向量的长度和两向量间的夹角．
,an
))⎟⎟⎞
⎟
)⎟⎟⎠
．
a
Τ 1
a
n
⎟⎞
a
Τ 2
a
n
⎟
a
#
Τ n
a
n
⎟ ⎟⎟⎠
如果 A 为正交矩阵，则 AΤ A = I ，即
( ) ai ,a j
=
a
Τ i
a
j
=
⎧1,i =
⎨ ⎩0,
i
≠
j． j
这说明， A 的列向量组 a1 ,a2 ,",an 是标准正交向量组．反之，如果 A 的列向量组
a1 , a2 ,", an 是标准正交向量组，即
对任意 k(1 ≤ k ≤ r) ，向量组 b1 , b 2 ,",b k 与 a1 , a2 ,",ak 等价．
⎜⎛ 1 ⎟⎞
⎜⎛ 1 ⎟⎞
⎜⎛ 1 ⎟⎞
例2
已知 R 4 中的向量组 a1
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 1 0
⎟⎟, ⎟⎟⎠
a
2
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 1
⎟⎟, ⎟⎟⎠
a
3
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
1 0 0
187
e1
=
1 | b1
| b1,e2
=
1 | b2
| b2 ,",er
=
1 | br
|br
，
就得到V 的一个标准正交向量组．
上述的从线性无关向量组 a1 , a2 ,", ar 导出正交向量组 b1 , b 2 ,", br 的过程，称为施密
特（Schimidt）正交化过程．它不仅使向量组 b1 , b 2 ,", br 与 a1 , a2 ,", ar 等价而且还满足：
b
3
1 2
⎟⎠
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0
1
⎟ ⎟
为标准正交向量组．
2
0
⎟⎟⎠
三维几何空间的单位坐标向量组 e1, e2 , e3 是一个正交向量组，由第四章§２例 5 知，
e1, e2 , e3 线性无关．一般地，我们有
定理 7.1 设 a1 , a 2 ,", a m 是一个正交向量组，那么向量组 a1 , a2 ,", am 一定线性无
其中待定系数 k1 ,k2 ,",kr-1 由 (br , b1 ) = 0, (b r , b 2 ) = 0,", (br , b r−1 ) = 0 确定．
这样可以得到正交向量组 b1 , b 2 ,", br ，容易验证 b1 , b 2 ,", br 与 a1 , a2 ,", ar 等价． 再把 b1 , b 2 ,", br 单位化，即取
重点与难点：施密特正交化方法；
正交矩阵及其性质的应用.
重要解题方法：施密特正交化方法..
一、 引例（三维向量的内积）
在第四§2 中，我们已经定义两个向量的内积，并且给出它的坐标表示式.设两个向量
a = (a1, a2 , a3 ) ， b = (b1, b2 , b3 ) ，那么向量 a 与 b 的内积可表示为
a
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
a2 #
an
⎟⎟, ⎟⎟⎠
b
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
b2 #
bn
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
,
n
∑ (a, b) = a1b1 + a2b2 + " + anbn = aibi = aΤb i =1
称为向量 a 与 b 的内积．
根据定义容易证明向量的内积满足下列运算规律：
（1） (a，b) = (b，a) ；
定义 7.3
θ
=
arccos (a,b)
| a || b |
称为非零向量 a
与 b 间的夹角；如果θ
=
π
2
，那么 a 与 b
正交，规定零向量与任意向量正交．
例 1 设向量 a = (1,−1,2,1)Τ ,b = (− 3,0,−1,3)Τ ,c = (2,3,1,−1)Τ ，计算 (a,b), (a,c)及 a 与
证
因 x 为 n 维实列向量， 故 矩阵 H = I − 2xxΤ 为 n 阶实矩阵．
又
( ) ( ) H Τ = I − 2xxΤ Τ = I Τ − 2 xxΤ Τ
= I − 2xxΤ = H ，
下面我们介绍把V 的基 a1 , a2 ,", ar 规范正交化的过程．
取
b1 = a1 ；
设
b 2 = a2 + kb1 ，
其中待定系数 k 由 (b 2 , b1 ) = 0 确定，此时向量组 b1, b 2 正交且与向量组 a1, a2 等价；重复
这种过程，最后设
b r = a r + k1b1 + k2b 2 + " + kr−1b r−1 ，
关．
证
设有一组数 k1 ,k2 ,",km ，使得
m
∑kiai = 0 ．
i =1
那么
∑ ( ) ⎜⎛
⎝
m i =1
kiai
,a
j
⎟⎞ ⎠
=
0, a j
=0
利用向量的内积的运算规律，可得
(j = 1,2,", m) ，
∑ ( ) m ki ai ,a j = 0 ．
i =1
( ) 由于 a1 , a2 ,", am 是正交向量组， 故 当 i ≠ j 时 ai , a j = 0 ，
#
a
Τ n
⎟⎟(a1
⎟⎟⎠
,
a
2
,",
a
n
)
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
a a
Τ 2
a
#
Τ n
a
1 1
a
Τ 2
a
2
#
a
Τ n
a
2
" "
=
⎜⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
(a1 (a 2
(a n
,a1 ,a1 #
,a1
) )
)
(a1 ,a2 ) (a2 ,a2 )
#
(an ,a2 )
" "
"
(a1 (a 2
(a n
,an ,an #
由此可知 ，对正交矩阵 A ，有 A−1 = AΤ ．
设 A 是 n 阶实矩阵，将 A 按列进行分块，那么
A = (a1 , a2 ,", an ) ,
⎜⎛
a
Τ 1
⎟⎞
AΤ
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
a
Τ 2
#
a
Τ n
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
．
因此
⎜⎛a1Τ ⎟⎞
⎜⎛
a
Τ 1
a
1
a
Τ 1
a
2
"
A
Τ
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
a
Τ 2
⎜⎛ 0 ⎟⎞
⎜⎛ 1 ⎟⎞
a1
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
−001⎟⎟⎟⎟⎠,
a
2
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
1 0 1
⎟⎟, ⎟⎟⎠
a
3
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 1 0
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
为正交向量组，
⎜⎛
1 2
⎟⎞
⎜⎛ 0 ⎟⎞
⎜⎛
1 2
⎟⎞
b1
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0
−1 2 0
⎟⎟, ⎟⎟⎠
b
2
=
⎜ ⎜
⎜ ⎜⎝
1 2
0
⎟ ⎟, ⎟
⎟ ⎟⎟⎠
−
1 2
3 2
⎜0⎟
⎜ ⎜⎜⎝
−
1 2
1
⎟ ⎟⎟⎠
=
⎜1⎟
⎜ ⎜⎜⎝
− −
1 3
1 3
⎟ ⎟⎟⎠
再把 b1, b 2 , b3 单位化，得
188
⎜⎛
1 2
⎟⎞
⎜⎛
1 6
⎟⎞
⎜⎛
1 23
⎟⎞
e1
=
1 | b1
| b1
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0
1
⎟⎟, e2
2
0
⎟⎟⎠
=
1 | b2
|b2
=
⎜0⎟
⎜ ⎜
那么
cosθ = a ⋅ b =
a1b1 + a2b2 + a3b3
.
ab
a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32
二、向量的内积及其性质
下面我们将三维向量的内积推广为 n 维向量的内积（将用新的记号）．
184
定义 7.1 那么实数
⎜⎛ a1 ⎟⎞ ⎜⎛ b1 ⎟⎞
设有两个
n
维实向量
=
⎜⎛ 1 ⎟⎞
⎜0⎟ ⎜⎜⎜⎝ 10 ⎟⎟⎟⎠
−
⎜⎛ 1 ⎟⎞
1 ⎜0⎟
2
⎜ ⎜⎜⎝
10⎟⎟⎟⎠
=
⎜⎛
1 2
⎟⎞
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 −1 1
2
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
；
设
b3 = a3 + k1b1 + k2b2 ，
由
(b3 , b1 ) = 0,(b3 , b 2 ) = 0 得
k1
=
−
(b1 (b1
, ,
⎜⎛ ⎜
0 0
⎟⎞ ⎟
为一个标准正交基．
⎜⎝ 0⎟⎠ ⎜⎝ 0⎟⎠ ⎜⎝1⎟⎠
四、施密特正交化过程
我们知道维数为 r 的向量空间V 中任意 r 个线性无关的向量 a1 ,a2 ,",ar 都可以作为 V 的一个基，这个基不一定是标准正交基．但是，可以找到的V 一个标准正交基 e1 ,e2 ,",er ， 使 向 量 组 e1 ,e2 ,",er 与 a1 ,a2 ,",ar 等 价 ． 这 个 过 程 称 为 把 基 a1 , a2 ,", ar 规范正交化．
−
1 ⎟, e3 6⎟
⎜⎝
2 6
⎟⎠
=
1 | b3
| b3
=
⎜ ⎜ ⎜
2
−
3 2
3 1
3
⎟ ⎟ ⎟
，
⎜⎝ −
1 23
⎟⎠
那么 e1 , e2 , e3 为与 a1 , a 2 , a3 等价的标准正交向量组．
五、正交矩阵
定义 7.5 设 A 是 n 阶实矩阵，如果满足 AΤ A = AAΤ = I ，那么 A 称为正交矩阵．
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
，试用施密特正交化过程把这
个向量组规范正交化．
解取
⎜⎛ 1 ⎟⎞
b1
=
a1
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0⎟ 10⎟⎟⎟⎠
；
设 b 2 = a2 + kb1 ，由
(b2 , b1 ) = 0
得
k ＝－ (a2 , b1 ) (b1, b1 )
，
故
b2
=
a2
−
(a 2 (b1
, ,
b1 b1
) )
b
1
−2 133
⎟⎟⎠⎞
．
三、向量的正交性
定义 7.4 如果非零向量组 a1 , a2 ,", am 两两正交，那么向量组 a1 , a 2 ,", a m 称为正
交向量组；特别地，如果 a1 ,a2 ,",am 全为单位向量，那么正交向量组 a1 ,a2 ,",am 称为
标准正交向量组．
例如，
⎜⎛ 1 ⎟⎞
a ⋅ b = a1b1 + a2b2 + a3b3 ．
借助于三维向量的内积，我们可以表示向量的长度和两个向量间的夹角．
设向量 a = (a1, a2 , a3 ) ，那么 a 的长度| a |=
a⋅a =
a12
+
a
2 2
+ a32
．
设两个非零向量 a = (a1, a 2 , a 3 ) 与 b = (b1,b2 ,b3 ) 间的夹角为θ ,
从而有
( ) k j a j ,a j = 0 ．
186
但是
( ) a j ,a j =| a j |2 ≠ 0 ，
故
k j = 0 (j = 1,2,", m) ．
所以 a1 , a2 ,", am 线性无关．
证毕
在维数为 r 的向量空间V 中，如果 a1 , a2 ,", ar 是正交向量组，那么由定理 7.1 知，
准正交向量组． 此外，正交矩阵还具有下列的性质（证明从略）：
性质 1 如果 A 为正交矩阵，那么 A = ±1 ；
性质 2 如果 A 为正交矩阵，那么 A − 1 , A Τ 都是正交矩阵；
性质 3 如果 A 、 B 是同阶的正交矩阵，那么 AB, BA 也是正交矩阵．
例3 交矩阵．
设 x 是 n 维实列向量，且 xΤx = 1， H = I − 2xxΤ ．证明矩阵 H 是对称的正
第七章
向量空间的正交性
把几何空间作为向量空间的具体模型，人们会发现向量本身的度量：向量的长度与两个 向量间的夹角．而在解析几何中，这两个度量是通过向量的内积来表示，我们将把这些概念
推广到任意 n 维向量空间．
§1 向量空间的内积
主要知识点：向量的内积；
正交向量组； 施密特正交化方法； 正交矩阵及其性质.
定义 7.2 非负实数 (a, a) 称为 n 维向量 a 的长度，记为| a | ．
显然，任何非零向量的长度为正实数，零向量的长度为零．由定义
| ka |= (ka, ka) = k 2 (a,a) =| k || a |．长度为 1 的向量称为单位向量．将非零向量 a 作运
算 1 a ，称为将向量 a 单位化． |a|