现代控制理论实验指导书3-第3章[1]
现代控制理论第3章1
0 = X (t1 ) = e X 0 + ∫ e At1 e − At BU (t )dt
At1 0
t1
由此得出 X = − t1 e − At BU ( t ) dt 0 ∫
0
X0
2
= X T ⋅ X 0 = − ∫ e − At BU ( t ) dt X 0 0 0
α T [λi I − A, B ] = 0
T
考虑到一般性，上式得到
α A = λ iα
T
α TB = 0
进而，
α T [B, AB , L , A n−1 B ] = α T Qc = 0
α T B = 0 α T AB = λiα T B = 0, L, α T An−1B = 0
由α 的任意性，得到 rankQc < n 这表明系统为不完全能控，与已知条件矛盾。反设不成立。 充分性：略。 [例3.3] 设线性定常系统的状态方程为 0 1 0 0 0 0 0 − 1 0 1 & X + X = 0 0 0 1 0 0 0 5 0 2 可直接导出 1 0 U , 1 0
（ 定义2 定义2：对线性时变系统 ∑ A, B, C , D) ，如果状态空间中的所 （ 有非零状态都是在时刻t0为能控的，那么称系统 ∑ A, B, C , D) 在时刻t0是能控的。 （ 定义3 ，取定初始时刻 t 0 ∈ J ， 定义3：对上述线性时变系统 ∑ A, B , C , D ) 如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻 t 0 是不能控的， 则称系统在时刻 t 0是不完全能控的。
现代控制理论第3章传递函数矩阵的结构特性
现代控制理论第3章传递函数矩阵的结构特性控制理论是现代科学技术的重要组成部分，它主要研究如何通过合理
的方式对动力系统进行控制。传递函数是控制理论中的一个重要概念，它
是描述控制系统中输入和输出之间关系的数学模型。在现代控制理论中，
传递函数矩阵作为传递函数的扩展，是一种描述多输入多输出系统的数学
模型，具有一些特殊的结构特性。
首先，传递函数矩阵的维度决定了系统的输入和输出的数量。设系统
的输入和输出分别为u和y，传递函数矩阵的维度为p×m，其中p是输出
的数量，m是输入的数量。这意味着系统的输出是由m个输入共同作用决
定的，而系统的输出也会影响到m个输入。传递函数矩阵的维度结构清晰
明确，可以直观地反映系统的复杂性和耦合程度。
其次，传递函数矩阵可以通过分块矩阵的形式表示。在传递函数矩阵中，每个元素都是一个标量传递函数，表示输入对应输出的单一影响。将
传递函数矩阵按照行和列的方式进行分块，可以更好地表示系统的结构和
功能，方便进行系统分析和设计。例如，可以将传递函数矩阵按照行进行
分块，每个分块表示一个输出对所有输入的传递函数，即系统的局部传递
函数。这种分块的方式有助于分析系统的稳定性、可控性和可观性等性质。
第三，传递函数矩阵具有可乘性和可加性。传递函数矩阵之间可以进
行乘法和加法运算，得到的结果仍然是一个传递函数矩阵。这使得系统的
复杂行为可以通过简单的计算表达出来。例如，两个传递函数矩阵相乘可
以表示两个系统级联的结果，即一个系统的输出作为另一个系统的输入，
从而形成一个新的系统。传递函数矩阵的可乘性和可加性为系统分析和设
现代控制理论第三章
1.状态能控 对于式（3-2）所示线性时变连续系统，如果对 指定初始时刻 t 0 ∈Td 的一个非零初始状态 x (t 0 ) = x 0 ， 存在一个时刻 t f ∈ Td ，tf>t0 ,和一个无约束的容许控 制u(t),t ∈ [t0、t f ] ,使状态由 x (t 0 ) = x 0 转移到tf 时的 x (t f ) = 0 ,则称此 x 0 是在 t 0 时刻能控的。
则式（3-19）写成 3-19
x (0) = −Qc U
（3-22）
Q 式中, U 为nr维向量， c 为 n × nr 维矩阵，x(0)为 n维向量。
若系统能控，则对于任意的x(0)，应能从式（3U 22）中解出 U1、U2 ⋯ n−1 。 式（3-22）有解的充分必要条件是其系数矩阵 Qc 和增广矩阵 [Qc x(0)]的秩相等，即 rankQc = rank[Qc x(0)]
Q 考虑到x(0)是任意给定的，欲使上式成立， c 必须满秩即 rankQc = n ，否则不能保证上式成立。
于是式(3-11)系统状态完全能控的充分必要条件是 Qc = [B AB ⋯ An−1B] 由A,B阵构成的能控性判别阵 满秩，即
rankQc = rank[B AB A2 B ⋯ An−1B] = n
3.系统不能观测 对于式（3-10）所示线性时变连续系统，如果 取定初始时刻 t0 ∈Td ，存在一个有限时刻 t f ∈Td ， t f > t0 ,对于所有 t ∈[t0 ,t f ]，系统的输出y(t)不能惟 一确定 t0 时刻的任意非零的初始状态向量 x0 （即 至少有一个状态的初值不能被确定）,则称系统在 t0 时刻是状态不完全能观测，简称系统不能观测。
现代控制理论实验指导书
实验一 系统能控性与能观性分析
一、实验目的
1.理解系统的能控和可观性。
二、实验设备
1.THBCC-1型 信号与系统·控制理论及计算机控制技术实验平台；
三、实验内容
二阶系统能控性和能观性的分析
四、实验原理
系统的能控性是指输入信号u 对各状态变量x 的控制能力，如果对于系统任意的初始状态，可以找到一个容许的输入量，在有限的时间内把系统所有的状态引向状态空间的坐标原点，则称系统是能控的。
对于图21-1所示的电路系统，设i L 和u c 分别为系统的两个状态变量，如果电桥中4
3
21R R R R ≠
，则输入电压u r 能控制i L 和u c 状态变量的变化，此时，状态是能控的。反之，当4
3
21R R ＝R R 时，电桥中的A 点和B 点的电位始终相等，因而u c 不受输入u r 的控制，u r 只能改变i L 的大小，故系统不能控。
系统的能观性是指由系统的输出量确定所有初始状态的能力，如果在有限的时间内根据系统的输出能唯一地确定系统的初始状态，则称系统能观。为了说明图21-1所示电路的能观性，分别列出电桥不平衡和平衡时的状态空间表达式：
u 0L 1u i R4R3R3R4R2R1R1R2C 1R4R3R3R4R2R1R1R2C 1R4R3R3R4R2R1R1R2L 1R4R3R3R4R2R1R1R2L 1u i c L c L ⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-
⎪⎭
⎫
⎝⎛+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-
⎪⎭⎫
⎝⎛+++-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ y=u c =[0 1] ⎪⎪⎪
现代控制理论课程设计实验报告
现代控制理论课程设计实验报告
现代控制理论课程设
计
系别机电⼯程系
专业⾃动化
⼀、题⽬：
⼆、技术指标：
三、设计内容
第1章线性系统状态空间表达式建⽴
1-1由开环系统的传递函数结构图建⽴系统的状态结构图。
1-2由状态结构图写出状态空间表达式。
第2章理论分析计算系统的性能
2-1稳定性分析⽅法与结论。
2-2能控性与能观测性分析⽅法与结论。
第3章闭环系统的极点配置
3-1极点配置与动态质量指标关系。
3-2极点配置的结果（闭环特征多项式）。
第4章由状态反馈实现极点配置
4-1通过状态反馈可任意配置极点的条件。
4-2状态反馈增益阵的计算。
第5章⽤MATLAB编程研究状态空间表达式描述的线性系统
5-1由传递函数结构图建⽴状态空间表达式。
5-2由状态空间表达式分析稳定性、能控性、能观测性。
5-3根据极点配置要求，确定反馈增益阵。
5-4求闭环系统阶跃响应特性，并检验质量指标。
第6章⽤模拟电路实现三阶线性系统
6-1系统模拟电路图。
6-2各运算放⼤电路的电阻、电容值的确定。6-3模拟实验结果及参数的修改。
课程设计⼩结
1、收获。
2、经验教训与建议。
⼀、⽬的要求
⽬的：
1、通过课程设计,加深理解现代控制理论中的⼀些基本概念；
2、掌握⽤状态⽅程描述的线性系统的稳定性、能控性、能观性的分析计算⽅法；
3、掌握对线性系统能进⾏任意极点配置来表达动态质量要求的条件，并运⽤状态反馈设计⽅法来计算反馈增益矩阵和⽤模拟电路来实现。达到理论联系实际，提⾼动⼿能⼒。要求：
1、在思想上重视课程设计，集中精⼒，全⾝⼼投⼊，按时完成个阶段设计任务。
现代控制理论实验指导书
现代控制理论实验指导书
西安文理学院
物理与机电工程学院
目录
前言.............................................. 错误!未定义书签。实验一系统的传递函数阵和状态空间表达式的转换..... 错误!未定义书签。实验二多变量系统的能控性和能观测性分析........... 错误!未定义书签。实验三多变量系统的稳定性分析..................... 错误!未定义书签。实验四系统设计：状态观测器的设计................. 错误!未定义书签。
前言
这是一本为工科高年级学生编写的实验指导书，作为控制系统领域各门控制课程的配套实验教材。
一、现代控制理论实验的任务
“现代控制理论”是全日制本科自动化专业的重要专业课程，它的实践性教学环节，对学生理解和掌握现代控制理论起着至关重要的直接影响作用。
现代控制理论实验的主要任务是使学生通过实验进一步理解和掌握现代控制理论的基本概念、基本原理和控制系统的分析与设计方法。它是现代控制理论课程教学的一部分，其主要目标如下：
（1）深刻理解现代控制理论的基本理论；
（2）初步掌握控制系统的分析与设计方法；
（3）学习和掌握现代计算机技术及其辅助工具的运用，提高计算机的应用能力与水平；
（4）提高实际应用能力和动手操作能力，培养严肃认真、一丝不苟的科学态度。
二、实验的要求
现代控制理论实验是一个专业性较强的实践环节，要求有专门的实验场所和实验设备；并且要求参加实验者必须具备必要的相关理论基础知识，对所做实验的前提条件及制约因素有足够的认识和理解；同时要求参加实验者具有较强的观察思考能力、研究分析能力和创新能力。
现 代 控 制 理 论第3章
（1) 矩阵
中对应于 阵互不相同的特征值的各行,
没有一行元素B全ˆ 等 于T 0。1B
（2）矩阵
中与每个若当小块的最后一行相对应的各
行，没有一行元素全等于0。
现代控制理论基础
定理四
如果系统的状态方程是能控标准型，则该系统一定是完全 能控的。
例3－1:
X
1
0
0
2
X
0
b2
现代控制理论基础
系统经线性非奇异变换后的对角线规范形式
1 0 0
Xˆ
0
2
0
Xˆ
Bˆu
0
n
中， 不包含元素全为0的行。
Bˆ T 1B ,T为非奇异变换矩阵。
定理三
若A有重特征值，可以用非奇异矩阵T将其化为若当标准型，则
系统完全能控的充Bˆ 分 必T 要1B条件是： Aˆ
若系统是能控的，则应j在0 k=N时
从上式解得u(0),u(1),…,u(N-1) ，使X(k)在第N个采样时刻 为0，即X(N)=0。从而有：
N 1
G N j 1Hu(j ) G N X(0)
j 0
G N 1Hu(0) G N 2Hu(1) GHu(N 2) Hu(N 1) G N X(0)
《现代控制理论》实验指导书
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自动化学院
自控实验室
实验一 法捷耶夫算法求解1
)
(--A sI
一、实验目的及意义
了解控制系统的各种数学描述间的转换关系，并且考察学生的上机能力。
二、实验原理说明
已知系统的模型如式(1.1)示。
p m n R y R u R x Cu
Cx y Bu Ax x ∈∈∈⎩⎨
⎧+=+= (1.1)
其中A 为n ×n 维系数矩阵、B 为n ×m 维输入矩阵 C 为p ×n 维输出矩阵。系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系
D B A SI C s G +-=-1)()(
利用法捷耶夫算法可以求解
1
--）（A sI 。设矩阵A 的特征多项式为
n n n s s A sI s ααα+++=-∆-- 111)det()(
则1)(--A sI 可以表示为
1121201
()[]()
n n n n sI A B s B s B s α------=
+++ 以上两式中的1α，2α，…，n α 和1-n B ，2-n B ，…，0B 可按下式来求
I B n =-1 )(11--=n AB tr α I AB B n n 112α+=-- 2/)(22--=n AB tr α
I AB B i i n i n 11-+--+=α i AB tr i n i /)(--=α
I AB B n 110-α＋＝ n AB tr n /)(0-=α
00=+I AB n α
三、实验内容
已知状态空间方程：
x
＝Ax+Bu 其中A=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---300110010 试用法捷耶夫算法求1
)(--A sI
现代控制理论实验指导书
现代控制理论实验
实验一 线性定常系统模型
一 实验目的
1. 掌握线性定常系统的状态空间表达式。学会在MATLAB 中建立状态空间模型的方法。
2. 掌握传递函数与状态空间表达式之间相互转换的方法。学会用MATLAB 实现不同模型之间的相互转换。
3. 熟悉系统的连接。学会用MA TLAB 确定整个系统的状态空间表达式和传递函数。
4. 掌握状态空间表达式的相似变换。掌握将状态空间表达式转换为对角标准型、约当标准型、能控标准型和能观测标准型的方法。学会用MATLAB 进行线性变换。
二 实验内容
1. 已知系统的传递函数 (a) )
3()1(4)(2++=s s s s G
(b) 3
486)(22++++=s s s s s G
(c) 6
1161)(232+++++=z z z z z z G （1）建立系统的TF 或ZPK 模型。
（2）将给定传递函数用函数ss( )转换为状态空间表达式。再将得到的状态空间表达式用函数tf( )转换为传递函数，并与原传递函数进行比较。
（3）将给定传递函数用函数jordants( )转换为对角标准型或约当标准型。再将得到的对角标准型或约当标准型用函数tf( )转换为传递函数，并与原传递函数进行比较。
（4）将给定传递函数用函数ctrlts( )转换为能控标准型和能观测标准型。再将得到的能控标准型和能观测标准型用函数tf( )转换为传递函数，并与原传递函数进行比较。
2. 已知系统的状态空间表达式
(a) u x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=106510 []x y 11=
现代控制理论
rank[ B AB A2B … An 1B ] = n
8
例3-1 设系统的状态方程为
1 3 2
2 1
x (t) 0
2
0
x(t)
1
1u(t)
0 1 3
1 1
判断其状态能控性。
解：系统的能控性矩阵为
21 32 54 Qc = [ B AB A2B ] = 1 1 2 2 4 4
J1
xˆ (t)
J2
xˆ (t)
J
k
y(t) Cˆxˆ (t)
中，和每个约当块Ji（i =1，2，…，k）首行相对应的 Ĉ的所有那些列，其元素不全为零。
Ĉ 中对应于相同特征值各约当块的第一列列线性无关
30
例 考察下列系统的状态能控性。
2 1
2
xˆ(t
)
4 0 0 y(t) 0 0 3
20
3.3 线性系统的能观测性
3.3.1 状态能观测性 定义 对任意给定的输入信号u(t)，在有限时间tf
>t0，能够根据输出量y(t)在[t0，tf]内的测量值，唯一 地确定系统在时刻t0的初始状态x(t0)，则称此系统的 状态是完全能观测的，或简称系统能观测的。
值得注意的是，在讨论系统的能观测性时，只需 考虑系统的自由运动即可。
5
现代控制理论(刘豹、唐万生)第3章答案总结
3-6已知系统的微分方程为：u y y y y 66116.
.....=+++ 试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。 解：63611603210=====b a a a a ，，，， 系统的状态空间表达式为
[] x
00
6
y u 100x 6116100
010 =⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=x &
传递函数为
[]6
1166100611
6
1
00100
6
A)
-C(sI )(23
1
1
-+++=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+--==-s s s s s s
B s W
其对偶系统的状态空间表达式为：
[] x
10
y u
006x 6101101600
=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=x
传递函数为6
1166
)(2
3
+--=s s s s W
3-7已知能控系统的A,b 阵为：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=11,43
21
b A 试将该状态方程变换为能控标准型。 解：该状态方程的能控性矩阵为
[]⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡-==71
11Ab b
M rankM=2，矩阵非奇异，系统能控。 系统特征多项式：
105||2
+-=-λλλA I
可知a1=-5，a0=10。
所以⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡--=510
1010
10
a a A u x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=10 510
10·
此即为该状态方程的能控标准形。
取P=T C -1
该状态方程的能控性矩阵为
[]⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡-==71
11Ab b
M 知它是非奇异的。求得逆矩阵有，
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-818
1818
现代控制理论实验指导书3-第3章[1]
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实验三利用MATLAB求取状态空间模型的相似变换及其标准型、控制系统的不同状态模型实现
实验目的：
1、通过实验掌握线性系统的对角线标准型、约当标准型、模态标准型以及伴随矩阵标准型的表示及相应变换阵的求解；
2、通过编程、上机调试，掌握系统可控性和可观测性的判别方法、系统的可控性和可观测性分解等；
3、加深理解由控制系统传递函数建立能控、能观、约当标准型等不同状态模型的方法。实验原理：
一、线性系统状态空间模型的相似变换及其标准型
（1）将状态空间模型G经变换矩阵T变换为状态空间模型G1；
G1=ss2ss(G,T)
（2）将状态空间模型G经变换矩阵T变换为其他形式的状态空间模型G1
[G1,T]=canon(G,type)
其中，当type为'companion'、'modal'、'jordan' 时，分别将状态空间模型G
变换为伴随矩阵标准型、模态标准型、约当标准型状态空间模型G1，并得到相应
的变换矩阵T；
（3）计算矩阵A的特征值及与特征值对应的对角型变换矩阵D；
[V,D]=eig(A)
（4）计算矩阵A变换为约当标准型J，并得到变换矩阵V；
[V,J]=jordan(A)
二、线性系统可控、可观判别方法与分解
（1）构造系统的可控性判别矩阵Tc；
Tc=ctrb(A,B)
（2）构造系统的可观测性判别矩阵To；
To=obsv(A,C)
（3）求取可控Gram矩阵和可观测Gram矩阵；
W=gram(G,type)
其中type为'c'时，为求取可控Gram矩阵，type为'o'时，为求取可观测Gram
矩阵。
（4）能控性分解
《现代控制理论》第三版 第三章.习题答案.pdf
det M
1 42
10 3
14 2 3
2532
10
3 2
48
2 2
3
66232
2 2
2433
0
C 0 0 1
N
CA
0
1
4 det N 0
CA2 1 4 13
所以完全能观。
3－９
0
0
1
0
0
0
于是
Aˆ
Ro1 ARo
Aˆ11 Aˆ21
Aˆ12 Aˆ22
0 0 1 0 0 0
1
0
0
0
0
0
0 0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
0
0 1 0 0 0 1
1 0 0 1 0
0
1 0
0 0
Bˆ
1 s3
s2
s
s 1
1 s3
1 0
0 0
s2
0 1
1 0
s
0 0
0
1
可得0 1 2 0
华工现代控制理论第3章测验参考答案
第3章测验题参考答案
1、若有线性定常系统x y u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=∙
2609307110011200020012；，其能观测性为 不能观测 ；该系统受输入u 控制的状态变量个数为 2 个，不能控的状态变量个数为 1 个。
2、系统u u y y y 325+=++
的实现有 无穷 个，其能观标准II 型实现为： []x y u x x 10135120=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=， ，能控标准I 型实现为
[]x y u x x 13105210=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=， ，这两个状态空间表达式的关系为 互为对偶 。该系统的最小实现为： 上述能观II 或能控I 任一均为最小实现 。
3、某单输入单输出线性定常系统，若其最小实现∑的传递函数为21)(++=s s s W ，则∑的对偶系统∑*的传递函数为 2
+s ，对偶系统的特征值为 -2 。
4、已知线性定常系统的状态空间表达式如下：
[]⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∙∙2121212121c c y u b b 1001-x x x x x x 欲使系统中的x 1既能控又能观， x 2既不能控又不能观，试确定b 1、b 2和c 1、c 2应满足的条件。
解：因为A 阵为对角线阵，在状态方程中各状态分量之间无关联，因此可直接根据系统的B 阵和C 阵的元素判断各状态分量的能控性和能观性。系统有两个特征值，各对应一个独立特征向量，易知：要使系统中的x 1既能控又能观，需使b 1和c 1均不为0；要使 x 2既不能控又不能观，需使b 2和c 2均等于0。
现代控制理论-第3章
3.1 能控性的定义
1．线性连续定常系统的能控性定义
线性连续定常系统： 如果存在一个分段连续的输入 系统由某一初始状态 或简称系统是能控的。 几点说明： 1)在线性定常系统中，为简便计，可以假定初始时刻 ，初始状态 ，能在有限时间区间 内，使 ，则称此状态
，转移到指定的任一终端状态工
是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，
3.2 线性定常系统的能控性判别
线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变
换，把状态方程化为约旦标准型 ，再根据 阵，确定系统的能控性； 另一种方法是直接根据状态方程的 A 阵和 B 阵，确定其能控性。 3.2.1 具有约旦标准型系统的能控性判别 1．单输入系统 具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为： (1) 或 (2) 式中
测的。
5)如果 和 都是不能观的，则 也是不能观的。
6)根据前面分析可以看出，系统的不能观测状态构成状态空间的一个子
空间，称为不能观子空间，记为
。只有当系统的不能观子空问
。在状
态空间中是零空间，则该系统才是完全能观的。
2．线性连续时变系统能观性判别 时变系统 (4) 在 上状态完全能观测的充分必要条件是格拉姆矩阵 (5) 为非奇异的。 3.5.3 连续时变系统可控性和可观性判别法则和连续定常系统的
对多输入系统，其状态方程为： 式中,B 为 阶矩阵； 为 r 维列矢量。
现代控制理论第3章能观测性及其判据讲义资料
raT e n A d k [B ,e AB T , e A (n 1 )T B ] n 0
定理二：设连续系统（A、B、C）能控（能观测），则离散化后的系统也
能控（能观测）的必要条件是 2 k j 不是A的特征值。其中k为非零整数
对于任意的x(0),上述方程有解的充要条件是：
kr≥n且系数矩阵满秩
Hu(k2) u(k1)kr1
若系统能控，对于任意的初始状态，在第k步可以使x(k)=0，（k≥n/r）
例 设单输入线性离散系统的状态方程为
1 0 0 1
x(k1)0 2 2x(k)0u(k)
1 1 0
1
试判断系统的能控性，若初始状态x(0)=[2,1,0]T，确定使x(3)=0的控制序列 u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性
4 3 1 1
令 x(3) 0
1 1 1u(0) 2 2 2 0 u(1) 1 2 3 1 1 u(2) 4
u(0) 5 u(1) 11 u(2) 8
பைடு நூலகம்
若令 x(2)0
1 1
2
2 1
10uu((10))
6 0
2 1
无解系。统即是不能存控在的控制序x(列1)u（G0(x0）)，huu(（0)1）2能够使0u系(0统) 从初始状态
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实验三利用MATLAB求取状态空间模型的相似变换及其标准型、控制系统的不同状态模型实现
实验目的：
1、通过实验掌握线性系统的对角线标准型、约当标准型、模态标准型以及伴随矩阵标准型的表示及相应变换阵的求解；
2、通过编程、上机调试，掌握系统可控性和可观测性的判别方法、系统的可控性和可观测性分解等；
3、加深理解由控制系统传递函数建立能控、能观、约当标准型等不同状态模型的方法。实验原理：
一、线性系统状态空间模型的相似变换及其标准型
（1）将状态空间模型G经变换矩阵T变换为状态空间模型G1；
G1=ss2ss(G,T)
（2）将状态空间模型G经变换矩阵T变换为其他形式的状态空间模型G1 [G1,T]=canon(G,type)
其中，当type为'companion'、'modal'、'jordan' 时，分别将状态空间模型G变换
为伴随矩阵标准型、模态标准型、约当标准型状态空间模型G1，并得到相应的变
换矩阵T；
（3）计算矩阵A的特征值及与特征值对应的对角型变换矩阵D；
[V,D]=eig(A)
（4）计算矩阵A变换为约当标准型J，并得到变换矩阵V；
[V,J]=jordan(A)
二、线性系统可控、可观判别方法与分解
（1）构造系统的可控性判别矩阵Tc；
Tc=ctrb(A,B)
（2）构造系统的可观测性判别矩阵To；
To=obsv(A,C)
（3）求取可控Gram矩阵和可观测Gram矩阵；
W=gram(G,type)
其中type为'c'时，为求取可控Gram矩阵，type为'o'时，为求取可观测Gram
矩阵。
（4）能控性分解
[Ac,Bc,Cc,Tc,Kc]=ctrbf(A,B,C)
将系统分解为可控子系统和不可控子系统，Tc是变换阵，sum(Kc)是可控状
态的数目；
（5）能观测性分解
[Ao,Bo,Co,To,Ko]=cbsvf(A,B,C)
将系统分解为可观测子系统和不可观测子系统，Tc 是变换阵，sum(Ko)是可观测状态的数目；
三、线性系统不同状态模型的实现
设已知系统的传递函数为：
3211()(1)( 2.5)(5)8.52012.5160.270.11 2.55
G s s s s s s s s s s ==++++++-=+++++ 则：
1． 系统能控标准状态模型实现为：
[]112233121
30100001012.5208.51100x x x x u x x x y x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
对应的方框图和电路如图
图4.1 能控标准状态模型实现电路
2． 能观标准型状态模型实现为：
[]112233123
30012.5110200018.50001x x x x u x x x y x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
对应的方框图和电路如图
4.2
图4.2 能观标准型实现电路
3． 约当标准型状态模型实现为：
[]11223311223310010 2.501005110.270.10.1670.270.16x x x x u x x x x y x x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
对应的方框图和电路如图4.3
图4.3 约当标准形状态模型实现电路
实验步骤：
1、根据所给系统的已知条件（可自行参阅选择刘豹教材中的例题或习题），如传递函数、零极点模型或（A、B、C、D），实现状态空间模型之间的相似变换、写出其对角线标准型、约当标准型、模态标准型以及伴随矩阵标准型的表示及求解相应变换阵，采用MA TLAB的相关函数编写m-文件。
2．根据所给系统的已知条件（可自行参阅选择刘豹教材中的例题或习题），如（A、B、C、D）模型，判断其可控性和可观测性并进行可控性和可观测性分解。
3．按图4.1电路接线，输入阶跃信号，观察记录输出波形，观测稳态输出值(或稳态误差)和调整时间。
按图4.2图4.3分别接线，观察并记录两个电路相应的阶跃响应曲线，并与图4.1所示系统阶跃响应曲线进行比较，它们是否一致？并简单解释其原因。
实验输出的参数要求及记录要求如下
实验要求：
1．实现同一系统传递函数的状态模型是唯一的吗？
2．系统传递函数除上面三种不同状态模型实现外，常见的还有串连实现，对否？3．对于上述系统传递函数，其输出稳态值与输入阶跃信号幅值有何关系？
（注意：在搭建模型时不需要搭建电路图，只需搭建simulink仿真模型即可）
例如：约旦标准型的simulink仿真模型实现如下：