数学家拉马努金
拉马努金
尼亚大学教授安德鲁斯访问剑桥大
学三一学院时，在该校的图书馆中 发现。这本笔记本中包含着600余条 公式，但都没给出证明过程。
写信，最近我发现
了一些很有趣的函 数，我把它们称为 伪theta函数……”
THANKS!
拉马努金在这次考试中取得了高分，这时他
只有9岁。但后来，他找到了数学，对别的 一切兴趣都没有了，自此他经常考不及格。
轶 事： 一天，拉马努金碰到一位老朋友．谈到他的研究工作时，这位老朋友对 他说：“人们称赞你有数学的天才！”拉马努金听了笑道：“天才？！请 你看看我的肘吧！”只见他肘上的皮肤又黑又厚．他解释他日夜在石板上 计算，用破布来擦石板上的字太花时间，于是每几分钟就用肘直接擦石板 上的字．朋友问他既然要作这么多计算为何不用纸来写？拉马努金说他连 吃饭都成问题，哪里有钱去买这么多的纸。
进入剑桥：
1913年1月16日，拉马努金再次鼓起勇 气给英国剑桥大学的著名数学家哈代写了 一封信，并附上他在各个数学分支中发现 的120个定理和公式，这些定理和公式都 没有给出证明过程。
由于没有证明的过程，有些连哈代也不
大明白。哈代在拉马努金去世后的演讲中 说到：“它们一定是对的，否则的话，没 人能具有这样的想象力去发明它们。因为 具有这种不可思议的水平的小偷和骗子比 伟大的数学家更难找到。”哈代咨询了另 一个英国数学家、他的合作伙伴李特尔伍 德（J. Littlewood），两个人研究到凌晨3 点，认定拉马努金是一个难得的数学天才。
房子前廊原有一个长条 凳，他在这里可以一坐 几个小时的数学，而他
的朋友们却在街上玩。
（修缮之后）
少年时馆借到了英国数学家卡尔写的 《纯粹数学与应用数学概要》一书。该 书收录了代数、微积分、三角学和解析 几何的5000多个方程，但书中没有给出 详细的证明。他把每一个方程式当成一 个研究题，尝试对其进行独特的证明而 且还对其中一些进行推广，这花去了他 大约5年的时间。 因严重的偏科一直未能毕业。
印度天才数学家，活了33岁，留下4000个怪异公式，解析黑洞的秘密
印度天才数学家，活了33岁，留下4000个怪异公式，解析黑洞的秘密世界上天才有很多，但是印度有一位数学家，他没有受过正规的训练，却表现出了异于常人的数学天赋，仅凭“直觉”就能写下复杂的数学公式，并且没有人能看懂，直到死后才有人发现这些公式的秘密，连英国的大数学家哈代都说他“发现并创造了数学”，但这个人却在33岁突然死去，这个人就是印度天才数学家拉马努金，他做的事情一定会让你叹为观止。
拉马努金和他写的公式小村庄里的超常天赋1887年，印度南部一个穷困的小镇里，出生了一名叫做拉马努金的小男孩，大部分出生在这样家庭的人，都会以平淡无奇度过一生，但偏偏命运女神挑中了这个男孩，让他在短暂的一生中绽放出了不一样的光芒。
在拉马努金上中学的时候，家里来了两个租客，他们是政府大学的大学生，当时的拉马努金第一次接触到数学，就表现出了极大的兴趣，这两位大学生就成了他最好的数学启蒙老师。
在拉马努金11岁的时候，就已经掌握了大学高等数学的全部知识，这两名大学生已经无法教授他更多，就给了他一本高等三角学，经过两年的研究，在13岁的时候拉马努金不仅全部掌握，而且还发现了更复杂的定理。
电影中的拉马努金在拉马努金16岁的时候，他得到了一本纯数学概论，里面包含了5000多个数学公式，拉马努金如获至宝，这本书仿佛打开了他的任督二脉，他不断演化证明这本书里的公式，短短的一年时间竟然把这5000多个公式都用自己的方式，全部证明了一遍。
拉马努金手稿高中毕业拉马努金上了大学，但由于他严重偏科，几乎把所有时间都用在了研究数学上，因此他的英语和文科严重不及格，导致他最后没能毕业。
拉马努金离开大学后，继续独立从事数学研究，这个时候他极度穷困，经常连饭都吃不上，所以他的身体越来越差，因为找不到工作，他只能给即将考大学的学生补习功课，但是即使他在最艰苦的时候，也没有放弃对数学的狂热。
青年时期的拉马努金天才的闪光点总是会被人看到的，毕业两年后，拉马努金遇到了当时印度数学协会的会长艾耶尔，拉马努金给他展示了平时研究数学的笔记本，艾耶尔看后大为震惊，把他推荐给了自己的一位数学家朋友。
拉马努金模函数
拉马努金模函数一、拉马努金简介拉马努金（Srinivasa Ramanujan，1887-1920）是印度的一位自学成才的数学家，被认为是数学史上的一位天才。
他在短暂的32年里，发现了许多数学公式和恒等式，为数学领域做出了巨大贡献。
拉马努金在数学领域的突破性成果之一便是他发现了拉马努金公式，进而引发了数学家们对拉马努金模函数的研究。
二、拉马努金公式1.概述拉马努金公式是指以下形式的等式：π(x) = x * (1 - 1/2 * x + 1/3 * x^2 - 1/4 * x^3 + 1/5 * x^4 - ...+ (-1)^n * 1/n * x^n + ...)其中，π(x)表示不超过x的质数个数，x为正实数。
2.公式推导拉马努金公式的推导过程较为复杂，涉及到数论、级数等领域。
这里不再详细展开，感兴趣的读者可以查阅相关资料。
3.公式应用拉马努金公式为数学家研究质数分布提供了有力的工具。
通过公式，我们可以预测某个区间内的质数个数，进而研究质数的分布规律。
例如，数学家可以通过拉马努金公式估算π(x)的值，从而预测某个区间内的质数个数。
三、拉马努金模函数1.定义与性质拉马努金模函数（Ramanujan"s modular function）是指以下形式的函数：θ(x) = ∑(-1)^n * q^(n+1) * x^n，其中，q = e^(2πi/n)，n为正整数。
拉马努金模函数具有以下性质：- 周期性：θ(x+n) = θ(x)，其中n为正整数。
- θ(x)的系数为1、-1、1、-1...，呈周期性变化。
- θ(x)的值域为复数平面上的单位圆。
2.计算方法拉马努金模函数的计算方法通常采用级数展开的方式。
根据拉马努金公式，我们可以将θ(x)表示为以下形式的级数：θ(x) = θ(1) * (1 - x/2 + x^2/3 - x^3/4 + x^4/5 - ...)其中，θ(1) = √5/5。
拉马努金
他15岁时，朋友借给他英国数学家卡尔（G. Carr）写的《纯粹数学与应 用数学概要》一书。该书收录了代数、、三角微积分学和解析几何的五 千多个方程，但书中没有给出详细的证明。这正好符合拉马努金的胃口， 他把每一个方程式当成一个研究题，尝试对其进行独特的证明而且还对 其中一些进行推广。这花去了他大约5年的时间，留下了几百页的数学笔 记。他证明了其中的一些方程，而以后他研究的基础却受益于这本书。
除了在纯粹数学方面做出卓越的成就以外，拉马努金的理论还得到了广泛的应 用。他发现的好几个定理在包括粒子物理、统计力学、计算机科学、密码技术 和空间技术等不同领域起着相当重要的作用，甚至晶体和塑料的研制也受到他 创立的整数分拆理论的启发，而他在黎曼ζ函数方面的研究成果，现在已经与齿 轮技术的进步挂上了钩，还被用于测温学及冶金高炉的优化。他生命中的最后 一项成果——模仿θ函数有力地推动了用孤立波理论来研究癌细胞的恶化和扩散 以及海啸的运动；最近有专家认为，这一函数很可能被用来解释宇宙黑洞的部 分奥秘，而令人吃惊的是，当拉马努金首次提出这种函数的时候，人们还不知 道黑洞是什么。
Much of Ramanujan’s work is in number theory, a branch of mathematics that deals with the subtle (难 以捉摸的) laws and relationships that govern numbers. Mathematicians describe his results as elegant and beautiful but they are much too complex to be appreciated by laymen.
印度数学天才拉马努金，为何称他所有的发现，都是来自他的女神
印度数学天才拉马努金，为何称他所有的发现，都是来自他的女神展开全文数学天才拉马努金，被称为印度历史上最著名的数学家，他一生当中仅凭借自己的直觉，“创造”了无数的数学公式，至今他是如何发现那些数学公式的，仍然是个谜。
他自认为是他的女神娜玛吉利教给他的，与传统数学需要严谨逻辑证明不同，他的数学天马行空，但是最后都被证明是正确的，因此很多人怀疑他是穿越者，是变种人。
“穿越者”拉马努金或许能证明他伟大成绩的是“英国皇家学会院士”这个头衔，这个头衔有多珍贵呢？我们看获奖名单就知道了，牛顿、爱因斯坦、霍金……拿到这个头衔就意味着，获得科学领域最高荣誉，所以印度人把拉马努金看作民族的骄傲。
正因为他这种非传统数学的套路，因此在数学领域取得了学院派无法取得的成就。
在人类数学研究历史上，特别是16世纪以及17世纪，人们也是不注重推理和证明，人们注重公理化与抽象化。
但是到了20世纪，《原本》被认为是数学界的圣经，后来无数的科学家包括哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等都受到它的影响，因此逻辑推理成为数学的基础。
可是拉马努金利用宗教的冥想，突破了无数数学的“牢笼”。
拉马努金自创了一套数学规则，这种方法被称为“拉马努金求和”，如果运用拉马努金求和，把数字从1一直加到正无穷大，那么得出的答案是是-1/12，可能你觉得匪夷所思，毫无用处。
事实证明，“拉马努金求和”求和在很多自然科学领域都有应用，比如物理学领域有个超弦理论，就是那个得出我们宇宙有11维空间的理论，其实它就是依靠“拉马努金求和”获得的，而且拉马努金的很多公式在粒子物理、统计力学、计算机科学、密码学理论和空间旅行等不同领域，都起到相当重要的作用，所以他能获得“英国皇家学会院士”这一殊荣，就不足为奇了。
拉马努金的成长经历拉马努金小学时候就开始学习英文，1897年，当他年满20岁的时候，他以全地区第一名通过了小学毕业考试，当时考的是英文、泰米尔文、算术和地理。
第二年他进入了市立中学，一所全英文教学的学校。
一位仅凭“做梦”就能得到数学公式的人，数学奇才——拉马努金！
一位仅凭“做梦”就能得到数学公式的人，数学奇才——拉马努金！拉马努金，印度数学奇才，不幸英年早逝！——这是大多数人对拉马努金的印象。
这篇文章，就让我们来了解下，这位传奇人物的事迹吧，我相信他的经历会让你震撼！拉马努金拉马努金（1887-1920）是一位有神论者，他的家庭贫困，甚至经常挨饿，在学校中因为很少有人理解他，所以老师和同学都对他敬而远之。
在15岁时，他从朋友那得到一本书籍《纯粹数学与应用数学概要》，这并不是一本数学大作，作者是一位普通的英国数学家——卡尔，书中收录了代数学，三角学，解析几何学和微积分的五千多个方程，所有方程都没有推导过程，全部是公式结果。
积分表拉马努金正是凭着这本书籍，去研究每个方程，这本书对他来说简直如获至宝，正合他的胃口了！进入中学的拉马努金迷上了数学，导致其他科目不及格，也失去了奖学金，这对他贫困的家庭来说打击不小，更要命的是他还因此被学校开除，承受不住压力的他，甚至离家出走了3个月。
后来他在一个英国人的建议下，1913年鼓起勇气给剑桥的三位数学家寄去一封信，信中写下一系列他的数学发现，当然只有公式和定理，没有任何推导过程。
哈代其中只有三一学院的院士——哈代，注意到了拉马努金的天赋，而哈代正是这领域的专家，哈代对同事李特尔·伍德说道：'没有一个定理可以放到世界上最高等的数学测试中……他完全打败了我……我从没见过任何像这样的东西。
'其中就有大名鼎鼎的拉马努金连分数。
连分数随后在哈代和同事的安排下，1914年拉马努金得以进入剑桥大学，跟随哈代一起做数学研究，可以说是巧遇伯乐，在哈代的推荐下, 于1918年当选英国皇家学院院士（亚洲第一人）。
拉马努金对数学的思考方式极为特殊，别说哈代理解不了，就连拉马努金自己都解释不了，他对数学的研究全靠直觉! 没错，就是直觉！他能独立发现3900多个数学公式和命题，而这些命题没有任何推导过程，全靠自觉写出来，他经常称在梦里遇到了娜玛卡尔女神，然后早上起来就能随手写下这些公式和命题，至于怎么想到的他也不清楚。
拉马努金
拉马努金是20世纪少有的印度奇才数学家，其数学才能并不亚于希尔伯特。
正如英国剑桥分析学派的奠基人哈代(G．H．Hardv)所评价的那样：“如果按照严格的数学标准来衡量一个数学家的才能，我只能得25分．利特尔伍德(Littlewood)得30分，希尔伯特得80分．而拉马努金得100分”。
但由于他的不幸，其伟大的数学潜能挫有充分发挥出来，了解他的生平、思想及数学成就会对我们有所启示。
一、童年和少年时代拉马努金1887午12月22日出生于马德拉斯(Madras)管区坦焦尔(Tanjore)县的一个中型镇——贡伯戈纳姆(Kumbakonam)附近埃罗德(Erode)的一个没落的婆罗门家庭，该镇现以庙宇著称于世。
他父亲在当地一家薪水微薄的零售布店当会计，母亲无固定职业，只有在家中作些杂务活，他的所有亲戚尽管种姓也很高，但却很贫穷。
7岁时他被送到贡伯戈纳姆中学，在那儿一读就是9年。
在10岁前他就显示了非凡的数学天赋，凭着自己的才气算出了地球赤道的长度。
12岁时他就自学龙内(s．Lon。
y)的《平面三角学》。
该书1894年在剑桥出版，内容包括复数对数、格雷戈里级数、“值计算、级数求和与展开等知识。
当他读后不久就独立发现了欧拉公式，可后来从书中第二卷得知这是一个已知结果时，心中十分惭愧，羞涩地把它珍藏了起来。
真正打开拉马努金数学心灵之门钥匙的是卡尔(carr)的《纯粹和应用数学基本结果概要》，那年他正好15岁。
有关卡尔的生平知道甚少，他原是伦敦的一名私人教师，大约40岁时来到剑桥，后成为冈维尔和凯厄斯学院的学者。
1880年和1886年先后出版了《概要》两卷书，现在几乎找不到了。
但剑桥大学的图书馆中珍藏着一本，贡伯戈纳姆大学图书馆中也有一本，拉马努金的朋友帮他借到丁它。
这本书无论如何都不算是一本好书，但也不是三流的书，而是一本以真正的学者身份写成的，具有自身风格和特点的书。
它深深地影响了拉马努金，而拉马努金也使这本书出了名。
他用科学证明了“神”存在，留下3000神秘公式，被质疑是外星人？
他用科学证明了“神”存在，留下3000神秘公式，被质疑是外星人？成就领先人类科技100年，却坚称天赋来源于神明印度神秘数学家—拉马努金他未接受过正统数学训练，却被称为印度之子。
31岁当选英国皇家学会外籍会员。
短短5年发表28篇论文，留下3900个未经证明的数学公式。
----引子大家好我是小德。
今天小德与大家一起来探究研究这位伟大又神秘的数学家背后的故事。
传说他的公式可以解开宇宙秘密，证明神的存在，让我们进入今天的故事“拉马努金”。
图片素材来源于网络他生于婆罗门种姓却家境贫寒1887年，拉马努金出生于印度泰米尔纳德邦罗德一个婆罗门家族，众所周知印度对种姓有着严格的等级划分制度，拉马努金家族的婆罗门种姓是印度所有种姓中级别最高的一个，这个种姓在印度的权利大到令人无法想象，他们生来就是贵族命，得到低种姓人的跪拜，并永久享受特权。
但并不是每个婆罗门种姓的人都过着非富即贵的日子，也有一些婆罗门种姓的人因经营不善走向没落，拉马努金的家族就是一个这样的例子。
拉马努金的父亲在一家布店工作，用微薄的收入养活着一家7口人。
拉马努金从小生活在同样并不富裕的祖母家里，从小便爱问一些奇怪的问题，比如风会吹到哪里去，大人们回答不上他的问题就总把他当做一个怪小孩。
一个家境贫寒的孩子，是怎样蜕变成一名举世闻名的数学家的呢？10岁开始上学，数学才华初显1898年，10岁的拉马努金被送进印度当地的贡伯戈纳姆中学，正式接触到数学，似乎是命中注定，当他知道世界上存在数学这一科学时便被她的魅力深深吸引，在初中和高中时期获得的各种奖项数不胜数，在14岁上中学时期便开始负责学校里的学生分配工作，负责将1200个需求不同的学生分配给35名教师，如此复杂的任务他甚至可以在规定的一半时间以内完成，这显示出他对无穷级数的熟练掌握。
拉马努金的父亲为了提高家庭收入，将自己的房屋中的一间租了出去，租客是三个政府大学的大学生，而年幼的拉姆努金也经常跑到他们的房间去，在那里他看到了一本《高等三角数学》，仅仅用了一年拉努马金便掌握了书里的全部知识。
拉马努金智商800
拉马努金智商800
【原创实用版】
目录
1.引言：介绍拉马努金的智商
2.拉马努金的生平及其成就
3.高智商背后的努力与付出
4.高智商人群的特征及其影响
5.结论：智商并非决定成功的唯一因素
正文
拉马努金智商 800，这位来自印度的天才数学家，在其短暂的一生中取得了举世瞩目的成就。
他被誉为“世纪天才”，在数学领域有着极高的造诣。
他的智商高达 800，让人惊叹不已。
然而，智商并非决定成功的唯一因素，拉马努金的成就离不开他的勤奋和努力。
拉马努金出生于印度一个普通家庭，家境贫寒。
然而，这并没有阻碍他对数学的热爱。
从小，拉马努金就对数学表现出极高的天赋。
他的数学才能在青少年时期就得到了广泛认可。
成年后，拉马努金凭借出色的数学研究成果，赢得了世界各地的赞誉。
他的数学笔记被认为是 20 世纪数学领域的重要遗产。
尽管拉马努金拥有超高的智商，但他的成就并非轻而易举得来。
他的成功离不开勤奋和努力。
拉马努金曾说：“我研究的每一个问题都要经过数百次的尝试和改进。
”可见，成功并非来自天赋，而是源于勤奋。
高智商人群往往具有较强的逻辑思维能力、分析问题的能力以及超常的记忆力。
他们能够在短时间内理解和掌握复杂的知识体系。
然而，智商并非决定成功的唯一因素。
在现实生活中，许多智商并不高的人依靠勤奋和努力，同样取得了辉煌的成就。
总之，拉马努金的智商 800 令人惊叹，但他的成就离不开勤奋和努力。
拉马努金模函数
拉马努金模函数摘要：一、拉马努金简介二、拉马努金公式三、拉马努金模函数四、拉马努金模函数的应用五、总结正文：【一、拉马努金简介】拉马努金（Srinivasa Ramanujan，1887-1920）是印度的一位数学家，他在没有接受正规教育的情况下，凭借自学和天赋在数学领域取得了卓越的成就。
拉马努金的研究领域包括数论、解析数论、无限级数等，他的研究成果受到了世界各地数学家的关注和认可。
【二、拉马努金公式】拉马努金公式是拉马努金在数论领域的一项重要成果，它揭示了素数分布的规律。
公式如下：π(x) = x * (1 / log(x) - 1 / log(log(x)))其中，π(x)表示小于等于x的素数个数，log表示以e为底的对数。
【三、拉马努金模函数】拉马努金模函数是拉马努金在数论研究中提出的另一个重要概念。
设整数n大于1，a为任意实数，定义模函数如下：μ(n, a) = [n / (a * log(a))] * ζ(n)其中，ζ(n)是黎曼ζ函数在非平凡零点处的值。
μ(n, a)表示a的n次方根的个数，且这些根都是非平凡零点。
【四、拉马努金模函数的应用】拉马努金模函数在数论研究中具有广泛的应用，例如：1.计算素数个数：利用拉马努金公式，可以估计小于等于x的素数个数。
2.研究哥德巴赫猜想：拉马努金模函数可用于研究著名数学难题哥德巴赫猜想，即每个偶数都可以表示为两个素数之和。
3.分析数列：拉马努金模函数可用于分析数列的性质，如调和级数、逆调和级数等。
【五、总结】拉马努金是一位杰出的数学家，他在数论领域的研究取得了丰硕的成果。
拉马努金公式和拉马努金模函数等成果为数学界提供了重要的理论依据，并在实际问题中具有广泛的应用价值。
有趣的数学故事。
有趣的数学故事
1. 印度数学家拉马努金的故事
拉马努金是20世纪最伟大的数学家之一，他在印度出生并接受了传统的教育。
然而，他的数学才华超越了传统教育的限制，他发现了数百个无理数和无穷级数等数学定理。
尽管他没有正式的学位或受过现代数学的教育，但他的贡献被公认为是非常重大的。
2. 费马大定理的故事
费马大定理是一个历经几个世纪才被证明的数学问题。
该问题最初由法国数学家皮埃尔·德·费马提出，他声称找到了一个解决该问题的证明方法，但从未公开过。
这个问题引起了许多数学家的兴趣，最终在1994年由英国数学家安德鲁·怀尔斯证明了该定理。
3. 圆周率π的故事
圆周率π是一个无限不循环小数，它是所有圆的周长与直径之比。
尽管π的值无法精确地计算出来，但我们可以一直计算出它的近似值。
古希腊数学家阿基米德是第一个使用几何方法计算π值的人，而现代计算机已经计算出了上百亿位的π值。
4. 无理数的故事
无理数是不能表示为两个整数之比的实数。
它们在数轴上没有终点，因此无法精确地表示出来。
古希腊哲学家毕达哥拉斯首次发现了无理数的存在，并将其视为一种神秘的数字形式。
今天，我们已经知道了许多无理数的性质和应用，例如根号2和π等。
他是一个天才的数学家，但上帝却不希望他透露更多的秘密
他是一个天才的数学家，但上帝却不希望他透露更多的秘密说起世界上最顶级的数学家，你的脑海中会浮现的，大概是欧拉、高斯、香农等数学巨匠。
但是要说起成就和神秘性兼备的，一定就是——称为印度之子的——拉马努金。
1887年12月22日，拉马努金出生在印度一个穷困潦倒的家庭，尽管父亲只是一个小职员，但好在他仍然能够进入学校接受普通的教育。
1899年，学校高年级的同学借给他一本数学家朗内写的《三角学》，而当年只有12岁的拉马努金，就已经在很短的时间内，完全读懂了整本书。
不仅做出了书中所有的问题，甚至还推导出了欧拉公式！此时的拉马努金，愈加沉浸在研究数学的氛围中，并开始在期刊上发表自己的论文，然而，当时的印度数学非常落后，周围的老师家人都不理解他，甚至嘲笑他写的公式，是“一堆垃圾”。
1913年，拉纳努金在没有得到任何的科研资助下，硬着头皮将自己成果中的一小部分，以信的形式，分别寄给了三位英国数学家。
而其中一位，就是当时英国最有才华的数学家——哈代。
（事实上证明哈代也的确成为了拉马努金人生的最重要的一个转折点）哈代有多厉害呢？可以说，在当时英国数学和世界严重脱节，极其落后的情况下，是哈代以一己之力，不仅创立了数学领域中的哈代学派，还把整个欧洲数学研究的区域重心，转移到了英国。
而就是这样一位绝世大师，在看到拉马努金的信件中，列出的100多个复杂公式时，也依然被震惊了！哈代后来对这100多个公式，进行了细致的研究，发现即使是他，也完全无法发明如此复杂的公式，有些公式甚至让他难以理解，但更诡异的是，这些公式给人的直觉，它一定是对的。
“因为如果它们不对，没人能有这样的想象力创造出它们。
“随后哈代意识到，他可能发现了一名数学天才。
因此他立即给拉马努金回信，希望能看到这些公式的证明过程，但遗憾的是，拉马努金的回信，是更多无法提供证明，但直觉一直是对的公式。
在经历了一年的通信后，哈代邀请拉马努金，漂洋过海来到英国剑桥大学深造。
拉马努金关于欧拉恒等式证明
拉马努金关于欧拉恒等式证明
【一、拉马努金简介】
拉马努金（Srinivasa Ramanujan，1887-1920），印度著名数学家，出生于贫苦家庭。
尽管没有接受过正规的高等教育，但他对数学有着极高的天赋和热情。
在短暂的一生中，他发现了许多数学定理和公式，为数学界作出了巨大贡献。
【二、欧拉恒等式】
欧拉恒等式（Euler"s Identity）是一种著名的数学公式，它将五个数学常数（1，0，π，e，i）联系在一起，展示了数学的和谐与美。
欧拉恒等式的表达式为：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)。
【三、拉马努金对欧拉恒等式的证明】
拉马努金对欧拉恒等式的证明是基于模运算的。
他的证明过程较为复杂，这里简要概述如下：
1.他首先将欧拉公式中的指数部分用模运算表示，得到：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x) ≡ cos(x) + i*sin(x) (mod 1)
2.接下来，利用欧拉公式中的三角函数值与模运算的关系，将右边的式子转化为复数形式，得到：e^(ix) ≡ cos(x) + i*sin(x) (mod 1)
3.最后，通过反复运用模运算和三角函数的基本公式，证明上述等式成立。
【四、拉马努金证明的意义和影响】
拉马努金的证明方法在数学界引起了广泛关注，他的证明揭示了欧拉恒等
式内在的美丽和和谐。
这一证明方法在复分析领域具有重要意义，为后来的数学家研究欧拉恒等式提供了新的思路。
【五、总结】
拉马努金关于欧拉恒等式的证明展示了他的数学才能和独特见解。
尽管他的证明方法并非最简，但它为数学界提供了另一种看待欧拉恒等式的角度。
拉马努金个人简介(1)doc
拉马努金简介拉马努金（1887～1920）Ramanujan，Srinivasa Aaiyangar1914年在G.H.哈代的帮助下进入剑桥大学，和哈代共同研究。
数年间成果累累。
在堆垒数论特别是整数分拆方面有突出贡献。
此外在椭圆函数、超几何函数、发散级数等领域也有不少工作。
他有较强的直觉洞察力，常能预见某些数学的结论，日后有许多得到了证实。
1918年被选为英国皇家学会会员。
1919年因患肺结核病被迫回到家乡，次年病逝。
主要贡献：椭圆函数、超几何函数、发散级数、堆垒数论天才之路天才不可培养，也不易发现。
一般来说天才大致可分为两种，一种是“才思敏捷型”，象棋大师就属此类；另一种是“思想深沉型”，爱因斯坦无疑是其代表。
无论哪一种，首先必须是成功者才能为人所知，而成功更多地依赖于非智力因素。
建立原创性理论的机会并不多，所以换个时代爱因斯坦可能成不了爱因斯坦，海森伯成不了海森伯……这也就是为什么认知心理学一般对科学大师或象棋冠军并不特别感兴趣的原因。
拉马努金就截然不同，似乎比较难以归类。
他经常宣称梦中娜玛卡尔女神给他启示，一早醒来就能写下半打子极为夸张的公式，这显然比速算家远为罕见。
哈代认为，拉马努金的高超技巧（不妨称之为“数感”），历史上只有欧拉和雅可比才能与之相比。
但是自高斯、黎曼、庞加莱以后，崇尚数感的时代渐渐过去，到20世纪布尔巴基结构主义的崛起，数感被彻底埋葬。
所以，拉马努金本不该引起当时的数学家太多的兴趣，然而事实恰恰相反，这是因为，比起前辈他的数感自有独特之处。
他没有受过严格的数学训练，却独立发现了3000～4000个公式。
写给哈代信中的那部分，显然只是“冰山之一角”。
哈代仔细查看了这些在印度时就开始积累的公式，它们通常有高得不可思议的幂次，多重积分、和式或连分数，犹如“言简意赅的警句，一两行之间压缩了极其丰富的数学真理”（卡尼格尔语）。
哈代估计大约有2／3是欧洲数学家已经发现的，他感慨道，一个印度人孤独地对抗着欧洲积累百年的智慧。
靠女神托梦成就的数学家，这个印度人解开了近百年悬而未决的难题
靠女神托梦成就的数学家，这个印度人解开了近百年悬而未决
的难题
剑桥大学三一学院，英国皇家学会会员、世界最顶尖的数学家哈代，一直到他的晚年，有人问他这辈子最大的成就是什么，哈代答——发现拉马努金。
1887年12月2日，拉马努金出生在印度一个没落的婆罗门家庭，爸爸是个会计，工资微薄，母亲无业，在家里做点杂活。
在12岁的时候，他就开始展现了过人天赋，他问的诸如“什么是数学的最高真理”等等一些列问题，不仅一开始难倒了同班同学，渐渐的连他的老师也解答不上来，甚至后来老师都根本无法理解他的问题。
自此开始，他走上了一条“野生”的数学之路，而这条路又离不开一本书，它叫做《纯粹数学与应用数学基本结果汇编》。
这本书是在无意中获得，它涵盖了代数、微积分、三角学和解析几何方面的五千多个方程，而且书中没有给出关于这些方程的详细证明。
想想都觉得这本书有点可怕，而这，正符合拉马努金的胃口。
他开始独自一人研究这本书，靠着“数学直觉”独自一人专研这些方程，他用自己独有的思维和自创的符号公式去推演这些方程。
在这过程中，他不仅自证了很多方程，而且在推演的过程中，他发现了很多独一无二，从来没被发现过的新公式，新定理。
怎么给他灵感呢，做梦！不要以为我在骂人，我说的是真的做梦。
他每天晚上睡觉的时候都会梦到娜玛卡尔女神：在梦里，娜玛卡尔女神给让他既兴奋又快乐，醒来以后，他脑子里就会充满各种各样的公式！
后来，拉马努金后来成为了三一学院的院士，并得到了科学界最高级别的荣誉，英国皇家学会会员，后来，他和哈代发表了29篇重要的论文，为数学界做出了巨大的贡献。
数学家拉马努金资料
数学家拉马努金拉马努金拉马努金（拉丁字母转写：Srinivasa Aiyangar Ramanujan）（1887年12月22日－1920年4月26日），印度数学家。
没受过正规的高等数学教育，沉迷数论，尤爱牵涉π、质数等数学常数的求和公式，以及整数分拆。
惯以直觉（或者是跳步）导出公式，不喜作证明（事后往往证明他是对的）。
他留下的那些没有证明的公式，引发了后来的大量研究。
1997年，《拉马努金期刊》(Ramanujan Journal)创刊，用以发表有关“受到拉马努金影响的数学领域”的研究论文。
生平童年和早年生活拉马努金生于印度东南部泰米尔纳德邦的埃罗德。
在1898年十岁的时候，进入贡伯戈讷姆一所中学，在那里他似乎第一次接触到正规的数学。
在11岁时，他已经掌握了住在他家的房客的数学知识，他们是政府大学的学生，到13岁，他就掌握了借来的高等三角学的书里的知识。
他的传记作家称他的天才在14岁时开始显露。
他不仅在他的学生岁月里不断获得荣誉证书和奖学金，他还帮学校处理把1200个学生（各有不同需要）分配给35个教师的后勤事务，他甚至在一半的给定时间内完成测验，还已经显示出对无穷级数的熟练掌握；他那时的同校的人后来回忆说：“我们，包括老师，很少可以理解他，并对他‘敬而远之’”。
但是，拉马努金在其他科目无法集中注意力，并在高中考试中不合格。
在他生活的这个时段，他也相当穷困，经常到了挨饿的地步。
在印度的成年阶段因为结了婚，他必须找到工作。
带着他的数学计算能力，他在真奈（旧称马德拉斯）到处找抄写员的工作。
最后他找到了一个工作，并在一个英国人的建议下和剑桥的研究人员联系。
作为真奈总会计师事务所的职员，拉马努金奢望可以完全投入到数学中而不用作其他工作。
他恳请有影响的印度人给予支持，并在印度数学期刊上发表了一些论文，但并未成功找到经济支持。
到这个时候，慕克吉（Ashutosh Mukherjee）爵士试图支持他的事业。
从学渣到学霸（8）印度国宝拉马努金
从学渣到学霸（8）印度国宝拉马努金“学渣”中的天才：只活了32岁，却留下了3900个公式！穿越？历史上有许多的未解之谜，这些奇妙的问题使许多科学家百思不得其解。
尤其是数学领域，有许许多多的猜想，比如举世闻名的世界三大数学猜想——费马猜想、四色猜想和哥德巴赫猜想。
这些形形色色的猜想难以被证明，但却有着奇妙的内在道理。
这吸引着大批的数学家前仆后继的进行研究。
而有这样一位天纵奇才，在去世前留下3900个的未经过证明的公式，在几百年后的今天仍旧散发着神秘的气息，写下这些公式的人就是印度国宝级别的数学家，甚至一度被人认为是来自未来的穿越者，他就是——斯里尼瓦瑟·拉马努金。
一、大器晚成的数学天才拉马努金出生在印度南部，父母都是英国殖民公司的劳工，以此挣得微薄的收入用来支付一家人的生活需要。
当时的印度是一个极度重男轻女的社会，父母把所有的希望都寄托在他的身上，希望他能够有所成就，改善一家人的生活。
在这样的家庭坏境中，拉马努金不敢放松。
但是成绩却始终不理想，尤其是文科相关的学科，是老师心目中的“眼中钉”。
拉马努金在这些课程上总是无法集中注意力，一不留神就去做别的东西，这让老师很头疼。
这样的结果就是，大部分的学科都是不及格，被老师和同学都认为是妥妥的“学渣”。
拉马努金的父母看在眼里，急在心里，但却没有办法。
拉马努金总是沉默寡言，一回家经常倒头便睡，半夜会突然醒来在纸上密密麻麻的写很多数字。
这让他的父母也没有别的办法，只能任其自由发展。
出人意料的是即使拉姆努金很多学科不够优秀，但却仍旧凭借自己出色的数学和理科成绩考入了一所大学。
正在他的父母以为从此以后不用再为自己的儿子操心的时候，拉姆努金却因为严重的偏科和挂科而被学校给开除了。
这让拉马努金一家为此备受打击，可没想到一年后拉马努金又凭借自己的努力被另外一所学院给录取了。
可不到一年，拉马努金又因为语文和一些其他文科类专业的挂科而被学校开除了。
二、时来运转的后半生经历了几次的转学与退学后这让，拉马努金的家庭彻底的陷入了困境。
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拉马努金拉马努金（拉丁字母转写：Srinivasa Aiyangar Ramanujan）（1887年12月22日－1920年4月26日），印度数学家。
没受过正规的高等数学教育，沉迷数论，尤爱牵涉π、质数等数学常数的求和公式，以及整数分拆。
惯以直觉（或者是跳步）导出公式，不喜作证明（事后往往证明他是对的）。
他留下的那些没有证明的公式，引发了后来的大量研究。
1997年，《拉马努金期刊》(Ramanujan Journal)创刊，用以发表有关“受到拉马努金影响的数学领域”的研究论文。
生平童年和早年生活拉马努金生于印度东南部泰米尔纳德邦的埃罗德。
在1898年十岁的时候，进入贡伯戈讷姆一所中学，在那里他似乎第一次接触到正规的数学。
在11岁时，他已经掌握了住在他家的房客的数学知识，他们是政府大学的学生，到13岁，他就掌握了借来的高等三角学的书里的知识。
他的传记作家称他的天才在14岁时开始显露。
他不仅在他的学生岁月里不断获得荣誉证书和奖学金，他还帮学校处理把1200个学生（各有不同需要）分配给35个教师的后勤事务，他甚至在一半的给定时间内完成测验，还已经显示出对无穷级数的熟练掌握；他那时的同校的人后来回忆说：“我们，包括老师，很少可以理解他，并对他…敬而远之‟”。
但是，拉马努金在其他科目无法集中注意力，并在高中考试中不合格。
在他生活的这个时段，他也相当穷困，经常到了挨饿的地步。
在印度的成年阶段因为结了婚，他必须找到工作。
带着他的数学计算能力，他在真奈（旧称马德拉斯）到处找抄写员的工作。
最后他找到了一个工作，并在一个英国人的建议下和剑桥的研究人员联系。
作为真奈总会计师事务所的职员，拉马努金奢望可以完全投入到数学中而不用作其他工作。
他恳请有影响的印度人给予支持，并在印度数学期刊上发表了一些论文，但并未成功找到经济支持。
到这个时候，慕克吉（Ashutosh Mukherjee）爵士试图支持他的事业。
在1913年拉马努金发了一长串复杂的定理给三个剑桥的学术界人士贝克（H. F. Baker）、霍布森（E. W. Hobson）、哈代（G. H. Hardy），只有三一学院的院士哈代注意到了拉马努金定理中所展示的天才。
读着不知名和未经训练的印度数学家的突然来信，哈代和他的同事利特尔伍德（J.E. Littlewood）评论道：“没有一个定理可以放到世界上最高等的数学测试中。
”虽然哈代是当时著名的数学家而且是拉马努金所写的其中几个领域中的专家，他还是说很多定理：“完全打败了我”、“我从没见过任何像这样的东西。
”作为他的成果的一个例子，拉马努金给出了漂亮的连分数：其中是黄金分割。
在英国的生活在起初的一些怀疑过后，哈代回信给了一些评论，要求其中一些发现的证明，并开始计划将拉马努金带到英国。
作为正统的婆罗门，拉马努金咨询了他的旅行的星象，因为处于宗教的考虑到外国去他可能失去他的种姓。
拉马努金的母亲做了个梦，其中家族女神告诉她不要阻拦她儿子的行程，所以他制定了行程，虽然他痛苦的尽力保持婆罗门的生活方式。
富有成果的合作开始了，哈代将之描述为：“我一生中最浪漫的事件”。
哈代评论拉马努金的公式，有些他起先不能理解，他说：“只要看它们一眼就知道只有第一流的数学家才能写下它们。
它们肯定是真的，因为如果不是的话，没人能有足够的想像力来发明他们。
”哈代在艾狄胥对他的一次采访中说他自己对数学最伟大的贡献是发现了拉马努金，并把拉马努金的天才比作至少和数学巨人欧拉和雅可比（Carl Jacobi）的相当。
拉马努金后来成为三一学院的院士，并得到了科学界最高级别的荣誉，英国皇家学会会员（FRS）。
疾病和返回印度健康问题困扰他一生，在远离家乡的国度，过度投入研究工作，拉马努金的健康在英国急剧恶化，可能压力让事情变得更糟，还有第一次世界大战时蔬菜的稀缺。
他被诊断为肺结核（Henderson, 1996年），以及严重维生素不足，但1994年由杨格（Dr. D.A.B Y oung）进行的对拉马努金的医疗纪录和症状的分析结论为更可能他有肝变形虫病，一种感染肝脏的寄生虫。
拉马努金在真奈待了很长时间这一事实进一步证实这一点，那是这种疾病广泛传播的沿海城市。
那在当时是很难诊断的疑症，但一旦诊断当时已可治愈（Berndt, 1998年）。
他于1919年返回印度，之后不久便在贡伯戈讷姆去世，他对这个世界最后的礼物是拉马努金θ函数的发现。
他的妻子贾纳姬（S. Janaki Ammal）在以外生活，直至1994年逝世。
结婚时贾纳姬才九岁，在当时的印度这是相当常见的（Henderson, 1996年）。
精神生活拉马努金终生过着婆罗门的生活。
关于他实际信仰的观点有很多区别：他的第一个印度传记作者把他描述为一个严格正统的婆罗门，而哈代（坚定的无神论者）相信他在涉及到形而上学的方面基本上是一个不可知论者。
哈代报道了拉马努金的一个断言说所有宗教一样正确。
卡尼盖尔（Robert Kanigel）的传记则称拉马努金可能不会给哈代看到他宗教的一面；另一方面来讲，卡尼盖尔通常描写哈代的负面形象。
拉马努金将他的理解归功于他的家族女神纳马吉里（毗湿奴的第四化身），并在他的工作中向她寻求灵感。
他经常说：“一个方程对我没有意义，除非它代表了神的一个想法。
”数学成就在数学上，有洞察力和有一个证明是很不相同的。
拉马努金的天才给出了大量的公式，可以再深入研究，开启了新的研究方向。
这些公式的例子有圆周率的一些引人入胜的无穷级数，其中一个是：这和如下事实相关：他提出对所有θ此处Γ(z)代表伽傌函数。
比较恒等式两边θ之不同幂的系数，就可以得出双曲正割的许多恒等式。
哈代这样评论拉马努金：“他的知识的缺陷和它的深刻一样令人吃惊。
这是一个能够发现模方程和定理的人……直到前所未闻的地步，他对连分数的掌握……超出了世界上任何一个数学家，他自己发现了ζ函数的泛函方程和解析数论中的很多著名问题的主导项；但他却没有听说过双周期函数或者柯西定理，对复变函数只有最模糊的概念……”定理和发现这些包括拉马努金自己的发现，和那些在和哈代的合作中发展和证明的定理∙高度合成数的性质∙整数分割函数和它的渐近线∙拉马努金θ函数他也在下列领域做出重大突破和发现：∙伽傌函数∙模形式∙发散级数∙超几何级数∙质数理论他的发现异常丰富；也就是说，很多发现比它们初看起来要丰富得多。
拉马努金猜想和它的作用虽然很多命题都可以称为拉马努金猜想，有一个特别适合这个称号，它在后续工作中非常有影响。
拉马努金猜想是一个断言，这是关于τ-函数的系数大小的，而那是一个模形式理论中的典型尖形式（cusp form）。
这在几十年后被证明为魏尔猜想的证明的一个结果；归约步骤是很复杂的。
拉马努金的笔记当他还在印度时，拉马努金在三本活页纸笔记上记录了很多结果。
结果被写下来，但没有推导。
这可能是对拉马努金不能证明自己的结果而只是直接想到最后结果的误解的起源。
Berndt在他对这些笔记和拉马努金的工作的评论中，感到拉马努金几乎肯定能够对他绝大部分的结果作出证明，只是选择了不做证明。
这种工作风格可能有几个原因。
因为纸在那时很贵，拉马努金在写字石板上进行了他大部分的工作可能还有他的证明，然后只将结果转移到纸上。
在当时的印度，使用写字板对于数学的学生来讲很常见。
他也可能受一本书的影响——他大部分的高等数学知识的来源卡尔（G. S. Carr)）《纯数学和应用数学概要》（Synopsis of Pure and Applied Mathematics），这是卡尔用来教授数学的。
它总结了几千个结果，不带证明的给出了它们。
最后，可能拉马努金认为他的工作只是给他自己的个人兴趣用的；所以只记录了结果。
（Berndt, 1998）第一本笔记有351页，大约16个有某种组织的章和一些无组织的材料。
第二本笔记有256页，散布在21章和100个无组织页面中。
第三本有33个未组织的页面。
他笔记本中的结果激发了大量论文，由后世企图证明他的发现的数学家所写。
哈代自己也写了挖掘拉马努金工作中的材料的论文，就像沃森（G. N. Watson）、威尔逊（B. M. Wilson）和伯恩特（Bruce Berndt）所作的一样。
（Berndt, 1998）评价拉马努金是个如此伟大的数学家以至于他的名字超越了嫉妒，他是印度在过去一千年中所出的超级伟大的数学家。
他的直觉的跳跃甚至令今天的数学家感到迷惑，在他死后70多年。
他的论文中埋藏的秘密依然在被挖掘出来。
他的定理被应用到他活着的时候很难想象到的领域。
（引自卡尼盖尔所著传记《知无涯者：拉马努金传》第3页）美国作家罗伯特·卡尼盖尔所著传记《知无涯者：拉马努金传》后被中国数学家，武汉大学前校长齐民友先生等翻译成中文。
轶事拉马努金病重，哈代前往探望。
哈代说：“我乘出租车来，车牌号码是1729，这数真没趣，希望不是不祥之兆。
”拉马努金答道：“不，那是个有趣得很的数。
可以用两个立方之和来表达而且有两种表达方式的数之中，1729是最小的。
”（即1729 = 13+123 = 93+103，后来这类数称为的士数。
）利特尔伍德回应这宗轶闻说：“每个整数都是拉马努金的朋友。
”。