吴莹莹矩阵论作业

本文首先给出Gerschgorin圆盘定理和Ostrowski圆盘定理，两者都是通过矩阵元素及简单运算给出特征值的包含区域。最后探讨了Gerschgorin圆盘定理和Ostrowski圆盘定理在矩阵论中的一些简单应用。本文重在论述Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski圆盘定理的应用方面，探讨了其在谱半径估计、矩阵可逆、二次型、扰动理论等典型问题中的应用。

关键词：特征值估计；Gerschgorin圆盘定理；Ostrowski圆盘定理

众所周知在矩阵理论中，特征值概念是矩阵最重要、最本质的性质之一。特征值不仅仅具有极其丰富的理论意义，在许多实际问题中也有着广泛的应用[1]。因此，对矩阵特征值的研究是矩阵理论中一个比较重要的领域。

但是，高阶矩阵特征值的计算过于繁杂、极其费力。一般来说，想要精确计算高阶矩阵特征值是不可能实现的。况且，在自然科学的许多分支中，并不一定需要精确计算出矩阵的特征值，而只需要给出一个大体的分布范围即可。所以，对矩阵特征值估计问题的研究-8]-[2显得格外重要与迫切，而且这也是矩阵分析中比较热门的领域，吸引着众多数学家及数学爱好者的目光。复数域上n 阶矩阵的特征值可以用复平面上的点来表示。因此，对这些点的位置的估计也就是对特征值的估计。

在矩阵特征值估计问题的研究当中，Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski 圆盘定理是最基本、最经典的两个结论。两个定理均从矩阵的元素出发，通过较为简单的运算便给出矩阵特征值的包含区域。因此，这两个定理在数学理论部分与实际应用中都有着十分重要的意义。

圆盘定理的优势在于方便、实用、计算简洁以及方法容易掌握，而其弊病在于其精确性。目前，许多数学家及数学爱好者都在致力于改进、完善圆盘定理，逐步缩小特征值的包含区域，力图提高矩阵特征值估计的准确性。

本文首先论述了Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski 圆盘定理的内容；后半部分详细探讨了这两个圆盘定理在矩阵论中的应用，主要是在诸如矩阵对角化、二次型、谱半径估计、矩阵可逆等典型问题中的一些应用，最后还将其引入到微分方程稳定性理论中，讨论微分方程组满足初值条件的解的稳定性问题。而且，从本文中也不难看出，将圆盘定理应用到判断矩阵是否对角化、正定、可逆以及估计谱半径等问题中是十分恰当的，其方便性与快捷性是通常判别法所无法比拟的。

2 Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski 圆盘定理

2.1 Gerschgorin 圆盘定理及其推论

Gerschgorin 圆盘定理从矩阵的元素出发，通过较为简单的运算给出矩阵特征值的包含区域，具有很强的实用性。

定义2.1[10]设n

n n n ij C a A ⨯⨯∈

=)(，称由不等式

)(

A R a z i ii ≤-， (2.1) 在复平面上所确定的区域为矩阵A 的第i 个Gerschgorin 圆盘，并用记号i D 来表

示。其中的半径。

称为盖尔圆i i

j 1j ii i D ||a (A)R ∑≠== 定理2.1[10]（Gerschgorin 定理1）矩阵n

n n n ij C a A ⨯⨯∈=)( 的一切特征值都在它的n 个盖尔圆的并集之内。

定理2.2[10]（Gerschgorin 定理2）由矩阵A 的所有盖尔圆组成的连通部分中任取一个，如果它是由k 个盖尔圆构成的，则在这个连通部分中有且仅有A 的k 个特征值。 推论2.2[8]若将式(2.1)中的(A)R i 改作

j

i

i

j 1

j ii i αα|

|a (A)R ∑≠== 则定理2.1与定理2.2的结论仍然成立。

2.2 Ostrowski 圆盘定理

定理2.3[10]（Ostrowski 定理1）设矩阵n

n n n ij C a A ⨯⨯∈

=)(，，1α0≤≤是A 的任一特征值。则存在i 使得

α1T i αi ii ](A)[R (A)][

R ||λλ--≤. 定理2.4[9,10]（Ostrowski 定理2）设矩阵n n n

n ij C a A ⨯⨯∈=)(()2≥n ，则对于矩阵A 的任意一个特征值λ，存在i ，j ()j i ≠，使

{})

()()(A R A R a z a z C z A W j

i

jj ii

ij

≤-⋅-∈=∈λ

3 Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski 圆盘定理的应用

以下给出了Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski 圆盘定理在矩阵论以及微分方程稳定性理论中一些较为简单的应用。

3.1 圆盘定理在矩阵谱半径问题中的应用

矩阵幂级数是一类特殊的矩阵级数，其是定义矩阵函数的基础，也是研究矩阵函数的重要工具。考虑到数学分析中幂级数∑∞

=1n n n z a 收敛问题的研究中，所涉

及的收敛半径概念，所以，矩阵幂级数∑∞

=1

k k k A a 收敛问题中需要涉及谱半径这一

概念。在研究矩阵幂级数的收敛性问题时，矩阵的谱半径是一个极其重要的参数，其取值大小直接关系到矩阵幂级数是否收敛。因此，许多问题中都要求对谱半径

进行估计。

下述定理给出了一种有效且简便的谱半径估计方法。

定理3.1 设矩阵n

n n n ij C a A ⨯⨯∈

=)(，则矩阵A 的谱半径(){}∞

≤A A A ,min 1

ρ，

其中，⎭

⎬⎫⎩⎨⎧=∑=n j ij i a A 11max ()n i ≤≤1，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑=∞n i ij j

a A 1max ()n j ≤≤1 证明 设λ为矩阵A 的任意一个特征值， 由推论，可知

⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋃⋂⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃∈==)()(11A D A D T i n i i n i λ 从而有

)(1A D i n

i =⋃∈λ （3.1）

)(1

A

D T

i n

i =⋃∈λ （3.2）

由（3.1）、（3.2）式可推得，

≤

λ∑

=n

j ij a 1

n

i 3,2,1= ≤

λ∑

=n

i ij a 1

n

j 3,2,1= 又 ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧=∑=n j ij i a A 11max ()n i ≤≤1，⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=∑=∞n i ij j

a A 1max ()n j ≤≤1 ∴

(){}∞

≤A A A ,min 1

ρ

例3.1 估计矩阵⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛=41

1256302071

1265A 的谱半径。 解 易计算出

144

1

1=∑=j j

a

84

1

1

=∑=i i a