吴莹莹矩阵论作业

本文首先给出Gerschgorin圆盘定理和Ostrowski圆盘定理，两者都是通过矩阵元素及简单运算给出特征值的包含区域。

最后探讨了Gerschgorin圆盘定理和Ostrowski圆盘定理在矩阵论中的一些简单应用。

本文重在论述Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski圆盘定理的应用方面，探讨了其在谱半径估计、矩阵可逆、二次型、扰动理论等典型问题中的应用。

关键词：特征值估计；Gerschgorin圆盘定理；Ostrowski圆盘定理众所周知在矩阵理论中，特征值概念是矩阵最重要、最本质的性质之一。

特征值不仅仅具有极其丰富的理论意义，在许多实际问题中也有着广泛的应用[1]。

因此，对矩阵特征值的研究是矩阵理论中一个比较重要的领域。

但是，高阶矩阵特征值的计算过于繁杂、极其费力。

一般来说，想要精确计算高阶矩阵特征值是不可能实现的。

况且，在自然科学的许多分支中，并不一定需要精确计算出矩阵的特征值，而只需要给出一个大体的分布范围即可。

所以，对矩阵特征值估计问题的研究-8]-[2显得格外重要与迫切，而且这也是矩阵分析中比较热门的领域，吸引着众多数学家及数学爱好者的目光。

复数域上n 阶矩阵的特征值可以用复平面上的点来表示。

因此，对这些点的位置的估计也就是对特征值的估计。

在矩阵特征值估计问题的研究当中，Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski 圆盘定理是最基本、最经典的两个结论。

两个定理均从矩阵的元素出发，通过较为简单的运算便给出矩阵特征值的包含区域。

因此，这两个定理在数学理论部分与实际应用中都有着十分重要的意义。

圆盘定理的优势在于方便、实用、计算简洁以及方法容易掌握，而其弊病在于其精确性。

目前，许多数学家及数学爱好者都在致力于改进、完善圆盘定理，逐步缩小特征值的包含区域，力图提高矩阵特征值估计的准确性。

本文首先论述了Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski 圆盘定理的内容；后半部分详细探讨了这两个圆盘定理在矩阵论中的应用，主要是在诸如矩阵对角化、二次型、谱半径估计、矩阵可逆等典型问题中的一些应用，最后还将其引入到微分方程稳定性理论中，讨论微分方程组满足初值条件的解的稳定性问题。

而且，从本文中也不难看出，将圆盘定理应用到判断矩阵是否对角化、正定、可逆以及估计谱半径等问题中是十分恰当的，其方便性与快捷性是通常判别法所无法比拟的。

2 Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski 圆盘定理2.1 Gerschgorin 圆盘定理及其推论Gerschgorin 圆盘定理从矩阵的元素出发，通过较为简单的运算给出矩阵特征值的包含区域，具有很强的实用性。

定义2.1[10]设nn n n ij C a A ⨯⨯∈=)(，称由不等式)(A R a z i ii ≤-， (2.1) 在复平面上所确定的区域为矩阵A 的第i 个Gerschgorin 圆盘，并用记号i D 来表示。

其中的半径。

称为盖尔圆i ij 1j ii i D ||a (A)R ∑≠== 定理2.1[10]（Gerschgorin 定理1）矩阵nn n n ij C a A ⨯⨯∈=)( 的一切特征值都在它的n 个盖尔圆的并集之内。

定理2.2[10]（Gerschgorin 定理2）由矩阵A 的所有盖尔圆组成的连通部分中任取一个，如果它是由k 个盖尔圆构成的，则在这个连通部分中有且仅有A 的k 个特征值。

推论2.2[8]若将式(2.1)中的(A)R i 改作jiij 1j ii i αα||a (A)R ∑≠== 则定理2.1与定理2.2的结论仍然成立。

2.2 Ostrowski 圆盘定理定理2.3[10]（Ostrowski 定理1）设矩阵nn n n ij C a A ⨯⨯∈=)(，，1α0≤≤是A 的任一特征值。

则存在i 使得α1T i αi ii ](A)[R (A)][R ||λλ--≤. 定理2.4[9,10]（Ostrowski 定理2）设矩阵n n nn ij C a A ⨯⨯∈=)(()2≥n ，则对于矩阵A 的任意一个特征值λ，存在i ，j ()j i ≠，使{})()()(A R A R a z a z C z A W jijj iiij≤-⋅-∈=∈λ3 Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski 圆盘定理的应用以下给出了Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski 圆盘定理在矩阵论以及微分方程稳定性理论中一些较为简单的应用。

3.1 圆盘定理在矩阵谱半径问题中的应用矩阵幂级数是一类特殊的矩阵级数，其是定义矩阵函数的基础，也是研究矩阵函数的重要工具。

考虑到数学分析中幂级数∑∞=1n n n z a 收敛问题的研究中，所涉及的收敛半径概念，所以，矩阵幂级数∑∞=1k k k A a 收敛问题中需要涉及谱半径这一概念。

在研究矩阵幂级数的收敛性问题时，矩阵的谱半径是一个极其重要的参数，其取值大小直接关系到矩阵幂级数是否收敛。

因此，许多问题中都要求对谱半径进行估计。

下述定理给出了一种有效且简便的谱半径估计方法。

定理3.1 设矩阵nn n n ij C a A ⨯⨯∈=)(，则矩阵A 的谱半径(){}∞≤A A A ,min 1ρ，其中，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑=n j ij i a A 11max ()n i ≤≤1，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑=∞n i ij ja A 1max ()n j ≤≤1 证明 设λ为矩阵A 的任意一个特征值， 由推论，可知⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⋂⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃∈==)()(11A D A D T i n i i n i λ 从而有)(1A D i ni =⋃∈λ （3.1）)(1AD Ti ni =⋃∈λ （3.2）由（3.1）、（3.2）式可推得，≤λ∑=nj ij a 1ni 3,2,1= ≤λ∑=ni ij a 1nj 3,2,1= 又 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑=n j ij i a A 11max ()n i ≤≤1，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑=∞n i ij ja A 1max ()n j ≤≤1 ∴(){}∞≤A A A ,min 1ρ例3.1 估计矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4112563020711265A 的谱半径。

解 易计算出14411=∑=j ja8411=∑=i i a10412=∑=j ja17412=∑=i i a14413=∑=j ja9413=∑=i i a8414=∑=j ja12414=∑=i i a所以，17,141==∞A A 故由定理3.1可得(){}14,min 1=≤∞A A A ρ.定理3.1所给出的估计方法，仅从矩阵元素出发，通过简单的运算，给出了谱半径的一个上界。

其优势在于方法极其简便，容易掌握，但其弊病在于精确性不足，该估计法仅仅给出了谱半径的一个上界。

因此，在实际问题中，要灵活运用这种估计法。

3.2 圆盘定理在判断矩阵可逆中的应用可逆矩阵，作为矩阵论中最基本的一个概念，不论是在矩阵理论中，还是在矩阵应用中，其都扮演着十分重要的角色。

一个可逆矩阵，具有很好的性质．诸如线性变换等一些理论部分都要涉及这一知识，此外，许多实际问题也都需要用到它来解决。

然而，并非任意一个矩阵都是可逆的，以下定理提供了一种判定一些矩阵是否可逆的简便方法。

定理3.2 设矩阵nn n n ij C a A ⨯⨯∈=)(， 如果对于任意一个i ,j 且j i ≠，恒有)()(A R A R a a j i jj ii ⋅>⋅，则A 可逆。

证明 （反证法）假设矩阵A 是不可逆，则0=λ为其一特征值。

由定理2.2 知，∃0i ，0j 且00j i ≠，使得{})()(000000000A R A R a z a z C z W j i j j i i j i ⋅≤-⋅-∈=∈=λ即)()(000000A R A R a a j i j j i i ⋅≤⋅ 这与已知中条件相矛盾，故假设不成立。

从而，矩阵A 是可逆的。

例3.2 试判定矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=7132163232710326A 是否可逆。

解 易知611=a 722-=a 633-=a 744=a由∑≠=ij ij i a A R )(可得5)(1=A R 6)(2=AR 6)(3=A R 6)(4=AR 从而有以下不等式恒成立)()(212211A R A R a a ⋅>⋅ )()(313311A R A R a a ⋅>⋅ )()(414411A R A R a a ⋅>⋅ )()(323322A R A R a a ⋅>⋅ )()(424422A R A R a a ⋅>⋅ )()(434433A R A R a a ⋅>⋅ 由定理3.2可以知，矩阵A 是可逆的。

例3.2充分显现了定理3.2在矩阵可逆判定中的简便性与有效性。

然而，应当注意，该定理的逆命题不成立，即该方法并不能判定任意一个矩阵是否可逆，而只能判定一类矩阵，这也是该方法的局限性。

此外，应当指出，相比于利用矩阵秩、行列式值等来判别矩阵是否可逆的常用方法，定理3.2所提供的判别方法并无十分明显的优势，在此将Ostrowski 定理引入到判别矩阵是否可逆问题当中，只为丰富矩阵可逆的判别方法。

3.3 圆盘定理在二次型中的应用正定矩阵是一类非常重要的矩阵，具有许多性质和比较广泛的应用领域。

例如，在欧式空间中，最基本的概念“内积”的定义中所涉及的“度量矩阵”就是正定矩阵；在物理学中，一切合理的系统都要求具有正定的质量矩阵等等。

为了更好的判定一个矩阵是不是正定矩阵我们提供了以下的判定定理。

定理3.3 设实对称矩阵n n nn ij R a A ⨯⨯∈=)(，即A A T=，若其n 个Gerschorin 圆盘皆位于复平面的右半平面上，则A 是正定的。

证明 A A R a A Tn n nn ij =∈=⨯⨯,)( ∴矩阵A 的n 个特征值皆为实数 又 矩阵A 的n 个Gerschorin 圆盘皆位于复平面的右半平面上∴矩阵A 的n 个特征值皆大于0 ∴矩阵A 是正定的。

例3.3 试判定矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=16432412213282104A 是否是正定的。

解 显然A A T=411=a 822=a 1233=a 1644=a由∑≠=ij ij i a A R )(可得3)(1=A R 5)(2=A R 7)(3=A R 9)(4=AR 从而由(){})(A R a z A D iii i ≤-=易得 (){}341≤-=z A D , (){}582≤-=z A D (){}7123≤-=z A D , (){}9164≤-=z A D图3.3Gerschorin 圆盘示图所以，从图3.3中可以看出，矩阵A 的n 个Gerschorin 圆盘皆位于复平面的右半平面上，从而由定理3.3可知，矩阵A 是正定的。