导数与微分练习题答案

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微积分练习题带答案

微积分是数学的分支之一，它研究的是函数的变化规律。在微积分中，经常会出现各种各样的练习题，这些练习题有助于我们加深对微积分概念和原理的理解。在这篇文章中，我们将分享一些微积分练习题，并附带答案，希望对你的学习有所帮助。

1. 求函数f(x) = 2x^3 - x^2 + 3x - 5的导数。

答案：f'(x) = 6x^2 - 2x + 3

2. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。

答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)

3. 求函数h(x) = ln(x^2)的导数。

答案：h'(x) = 2/x

4. 求函数i(x) = ∫(0到x) t^2 dt的导数。

答案：i'(x) = x^2

5. 求函数j(x) = ∫(x到1) t^2 dt的导数。

答案：j'(x) = -x^2

6. 求函数k(x) = ∫(0到x) e^t * sin(t) dt的导数。

答案：k'(x) = e^x * sin(x)

7. 求函数l(x) = e^(-x)的不定积分。

答案：∫ e^(-x) dx = -e^(-x) + C (C为常数)

8. 求函数m(x) = 1/(x^2+1)的不定积分。

答案：∫ 1/(x^2+1) dx = arctan(x) + C (C为常数)

9. 求函数n(x) = 2x * cos(x^2)的不定积分。

答案：∫ 2x * cos(x^2) dx = sin(x^2) + C (C为常数)

10. 求函数o(x) = ∫(1到x) e^(t^2) dt的原函数。

(完整)高阶、隐函数的导数和微分练习题

高阶导数

1．填空题.

（1）x y 10=，则()()=0n y

. （2）y x =sin 2，则()()y x n = ..

2．选择题. （1）设

f x ()在()-∞+∞,内为奇函数且在()0,+∞内有'>f x ()0，''>f x ()0，则f x ()在()-∞,0内是( )

'<f x ()0且''<f x ()0； B.'<f x ()0 且''>f x ()0； C.'>f x ()0且''<f x ()0； D.'>f x ()0 且''>f x ()0.

（2）设函数()y

f x =的导数'f x ()与二阶导数''f x ()存在且均不为零，其反函数为()x y =ϕ，则()''=ϕy ( )

A ．()1''f x ； B. ()()[]

-'''f x f x 2；C. ()[]()'''f x f x 2； D. ()()[].3x f x f '''- 3. 求下列函数的n 阶导数. (1) .)1(αx y += (2) .5x y =

4．计算下列各题.

（1）()

y x x =-11，求()().24y （2）()y

e x x =-21，求().20y （3）y x x =-+132

2，求()y n . （4）x y 2sin =，求().n y

（5）,2sin 2x x y = 求()..50y

5. 设x x f 2cos )(cos '=，求).(''x f

6. 已知)(''x f 存在，)(ln x f y =，求'.'y

第三章导数与微分习题及答案

第三章导数与微分

同步练习一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim

=--→x

f x f x x ，则)0(f '= 。 2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。 3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则

=x dx

dy = 。

4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。

5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将。

6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为。

7、已知x x y ln =，则)10(y = 。

8、已知2arcsin )(),232

x x f x x f y ='+-=，则：0

=x dx

dy = 。

9、设1

111ln

2++-+=x x y ，则y '= 。

10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。

11、已知()x

ke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dy

d 。

二、选择

1、设f 可微，则=---→1

)

1()2(lim

x f x f x （）

A 、)1(-'-x f

B 、)1(-'f

C 、)1(f '-

D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→)

()2(lim

000

x f x x f x

x （）

A 、

41 B 、4

- C 、1 D 、-1 3、设⎪⎩

⎪⎨⎧=≠=0001arctan )(x x x

第二章导数与微分习题

第二章导数与微分

【内容提要】

1．导数的概念

设函数y ＝f (x )在x 0的某邻域（x 0－δ，x 0 + δ）（δ＞0）内有定义，当自变量x 在点x 0处有改变量Δx 时，相应地，函数有改变量00()()y f x x f x ∆=+∆-．若0→∆x 时，极限x

x ∆∆→∆0lim 存在，则称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，称此极限值为f(x)在点x 0 处的导数，

记为

)(0x f '或)(0x y '或0|x x y ='或

0|d d x x x

y =或0|d d x x x f

+→∆0x 时，改变量比值的极限x

x ∆∆+

→∆0

lim 称f(x)在x 0处的右导数，记为)(0x f +'。 -→∆0x 时，改变量比值的极限x

x ∆∆-

→∆0

lim 称f(x)在x 0处的左导数，记为)(0x f -'。 2．导数的意义

导数的几何意义：)(0x f '是曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处切线的斜率，导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景，是微分学的几何应用的基础。

导数的物理意义：路程对时间的导数)(0t s '是瞬时速度v (t 0) 。以此类推，速度对时间的导数)(0t v '是瞬时加速度a (t 0)。

3．可导与连续的关系

定理若函数)(x f y =在点x 0处可导，则函数在点x 0处一定连续。此定理的逆命题不成立，即连续未必可导。

4．导数的运算

定理1（代数和求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则

v u v u '±'='±)(

导数与微分练习题及习题详细解答

第二章导数与微分

练习题及习题详细解答

练习题2.1

1．已知质点作直线运动的方程为2

3s t =+，求该质点在5t =时的瞬时速度．

解由引例2.1可知，质点在任意时刻的瞬时速度d 2d s

v t t

=．代入5t =，得10v =． 2．求曲线cos y x =

在点π(6处的切线方程和法线方程．解由导数的几何意义知，曲线cos y x =

在π(6点切线的斜率 ππ6

1(cos )(sin )2

x x k x x =='==-=-

，

所以，切线方程为1π

()226

y x -

=--

，即612π=0x y +-．

法线方程为π

2()6

y x =-

，即1262π=0x y -+． 3．讨论函数3

2,0()31,013,1x f x x x x x ⎧≤⎪

=+<≤⎨⎪+>⎩在0x =和1=x 处的连续性与可导性．

解在0x =处，0

lim ()lim 22x x f x --→→==，0

lim ()lim (31)1x x f x x ++

→→=+=，由于0

lim ()lim ()x x f x f x -+

→→≠，所以不连续，根据可导与连续的关系知，也不可导．在1x =处，1

lim ()lim(31)4x x f x x --→→=+=，3

lim ()lim(3)4x x f x x ++

→→=+=，(1)4f =，所以连续．

又0

0(1)(1)3(1)lim lim 3x x f x f x

f x x

--∆→∆→+∆-∆'===∆∆， 23

00(1)(1)33()()(1)lim lim 3x x f x f x x x f x x

3第三章-微分中值定理与导数的应用习题解答

第三章微分中值定理与导数的应用答案

§3.1 微分中值定理

1．填空题

（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是

-4．

（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．

2．选择题（１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）．

A ．必要条件

B ．充分条件

C ．充要条件

D ．既非充分也非必要条件（２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）．

A . x

e x

f =)( B. ||)(x x f = C. 2

1)(x x f -= D. ⎪⎩⎪⎨⎧

=≠=0

,00

,1sin )(x x x

x x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成

立（ B ）．

A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξ

B ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间

C ． 211221)

()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ

D ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ

微分练习题

微分练习题(总5页)

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《导数与微分》训练题

1、求下列函数的导数。

（1）223)1(-=x x y ；（2）x

y sin =

；（3）bx e y ax sin =；（4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x

x y )1(

+=。 2、求下列隐函数的导数。

（1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。

3、求参数方程⎩⎨⎧-=-=)

cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy

与二阶

导数22dx

d 。

4、求下列函数的高阶导数。

（1）,αx y =求)(n y ；（2）,2sin x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。

（1）)0(,>=x x y x ；（2）2

1arcsin x

x y -=

。

6、求双曲线122

22=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。

7、用定义求)0(f '，其中⎪⎩⎪⎨⎧=,

0,1sin )(2

x x f .0,

0=≠x x 并讨论导函数的连续性。

《微分中值定理与导数的应用》训练题

一、选择题：

1、下列极限中能使用洛必达法则的是（）

A 、x x x sin lim ∞→

B 、x x x x x sin sin lim +-∞→

C x x

x 3sin 5tan lim

导数微积分练习题

x y

o 1．设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（）

A. 2e

B. ln 2

C. ln 2

2 D. e

2．已知函数)(x f y =，其导函数)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =

A ．在（-∞，0）上为减函数

B ．在=x 0处取极小值

C ．在（4，+∞）上为减函数

D ．在=x 2处取极大值

3．若函数mx e y x +=有极值，则实数m 的取值范围是（）

A ．m>0

B ．m<0

C ．m>1

D ．m<1 4．已知函数f x ()的导函数2f x ax bx c '=++()的图象如右图，

则f x ()的图象可能是( )

6．对于R 上的可导的任意函数)(x f ，若满足,0)(')(≥-x f a x 则必有（）

A ．)()(a f x f ≥

B ．)()(a f x f ≤

C ．)()(a x f >

D ．)()(a f x f <

7. 已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于(

) A ．1 B ．2 C ．0 D. 2

9．已知自由下落物体的速度为V=gt ，则物体从t=0到t 0所走过的路程为

A ． 201

2gt B ．20gt C ． 2

013gt D ．2

4gt

11．若ln 3

3a =，ln 5

5b =，ln 6

6c =，则（）

A ．a b c <<

B ．c b a <<

导数练习题及答案

导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。以下是导数练习题及答案，欢迎阅读。

一、选择题

1．函数在某一点的导数是( )

A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比

B．一个函数

C．一个常数，不是变数

D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率

[答案] C

[解析] 由定义，f′(x0)是当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数，故应选C.

2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为( )

A．6 B．18

C．54 D．81

[答案] B

[解析] ∵s(t)＝3t2，t0＝3，

∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－332

＝18Δt＋3(Δt)2∴ΔsΔt＝18＋3Δt.

当Δt→0时，ΔsΔt→18，故应选B.

3．y＝x2在x＝1处的导数为( )

A．2x B．2

C．2＋Δx D．1

[答案] B

[解析] ∵f(x)＝x2，x＝1，

∴Δy＝f(1＋Δx)2－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2

∴ΔyΔx＝2＋Δx

当Δx→0时，ΔyΔx→2

∴f′(1)＝2，故应选B.

4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t＝5时的`瞬时速度为( ) A．37 B．38

C．39 D．40

[答案] D

[解析] ∵ΔsΔt＝4(5＋Δt)2－3－4×52＋3Δt＝40＋4Δt，

∴s′(5)＝limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 (40＋4Δt)＝40.故应选D.

导数与微积分练习题

伊春市一中2013级 2014.9.20

设计者：王增玉审核者：孟凡嵩梁宏信

说明：

（1）本试卷分第一卷（选择题），第二卷（填空，解答题）和加试卷（解答题），满分200分。

（2）考试难度较大，时间不限，不要在试卷上涂画。

第一卷（共60分）

一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）

1 已知点P 在曲线y=1

+x e 上，ɑ是曲线在P 点处的切线的倾斜角，

则ɑ的取值范围是 A [0，

4π) B[4π，2π) C(2π，43π] D[4

3π，π) 2 函数x x a x f +=ln )(在x=1处取到极值，则a 的值为 A 1/2 B -1 C 0 D -1/2

3 对于R 上可导的任意函数)(x f ，若满足（x-1）)('x f ≥0，则必有

A )1(2)2()0(f f f ＜+

B )1(2)2()0(f f f ≤+

C )1(2)2()0(f f f ＞+

D )1(2)2()0(f f f ≥+

4 函数x x x x f --=23)(的单调减区间是

A )31,(--∞

B ),1(+∞

C ),1()31,(∞⋃--∞

D )1,3

1(- 5 函数x

e x

x f -

=)(（a ＜b ＜1），则 A )()(b f a f ≤ B )()(b f a f ≥ C )()(b f a f D )()(b f a f 6 作为对数运算法则)0,0(lg lg )lg( b a b a b a +=+是不正确

的，但对于一些特殊值是成立的，例如2lg 2lg )22lg(+=+，若正实数x ，y 使得y x y x lg lg )lg(+=+成立，则函数)(x f y =的递减区间是

微积分综合练习试题和参考答案与解析

(1)函数 f(X)=•

1 In(x - 2) 的定义域是

(2)函数 f(x)=

1 ln( x 2)

的定义域是 ____________ •答案：(—2, —1)^(—1,2]

(4)若函数

f(x T xs 「

x 0在

X 二0处连续，则k =

x _ 0

•答案：k = 1

(1)设函数y 二

-x

，则该函数是(

A.奇函数

B.偶函数

C.非奇非偶函数 D .既奇又偶函数

综合练习题1 (函数、极限与连续部分)

1 •填空题

(3)函数 f (x 2^ x 2 4x 7，贝U f(x)二 _______________________ •答案：f(x^ x 2 3

(5) 函数 f(x-1) =x 2 -2x ，则 f(x)二 __________________ .答案：f(x) =x 2 -1

x 2 _2x _3

(6)

函数y _________________________ 的间断点是

.答案：x

- -1

x +1 1

(7)

lim xsin .答案：1

护 x sin 4x

(8)

若 lim _______________ 2，则 k = .答案：k = 2

―0 sin kx

单项选择题

答案：B

(2)

下列函数中为奇函数是( ).

答案：C

A. xsin x

ln (x . 1 x 2) D . x x 2

D . x 卞一5 且 x = -4

(3)

函数y ln(x • 5)的定义域为(

x +4

A. x 占-5 B . x -4 C . x 占一5 且 x = 0

答案：D

(4)设 f(X * 1) = X 「1 ,则 f(X)二( )

初中数学微分难题练习题带答案

1.已知函数f(x)= x^3 - 6x^2 + 11x - 6，计算f(1)和f'(2)。

解答：f(1) = 1^3 - 6×1^2 + 11×1 - 6 = -1；f'(x) = 3x^2 - 12x + 11，f'(2) = 3×2^2 - 12×2 + 11 = 5。

2.已知函数y=√x的反函数为y=x^2，请计算y'(a^2)与(y^-1)'(a)。

解答：y = √x = x^(1/2)，对其求导得y' = (1/2)x^(-1/2)；

由y的反函数y^-1 = x^2可得x = y^2，对其求导得1 = 2y ·y'，

即y' = 1/2y；

因此，y'(a^2) = (1/2)(a^(-1))，(y^-1)'(a) = 1/(y'(y^-1(a))) =

1/(1/2y) = 2y。

3.已知y=3x^2+2x-1，求y'=6x+2。

解答：对于幂函数y=x^n ，有y'=nx^(n-1)；

因此，对于函数y=3x^2+2x-1，y'=6x+2。

4.已知y=e^(ax)，求y'和y''。

解答：对于指数函数y=a^x，有y'=a^x· ln(a)，y'' =

a^x·(ln(a))^2。

因此，对于y=e^(ax)，有y'=ae^(ax)，y''=a^2e^(ax)· (ln(a))^2。

5.已知f(x)= x^3 + 2x^2 + x - 5，g(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1，请计算(f·g)'(x)。

解答：(f·g)'(x) = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)；

第四讲：导数与微分的计算方法的强化练习题

一、单项选择题（每小题4分，共24分）

1．设()2421,f x x x =++则()1f '=( )

A ．1

B ．3

C ． -1

D ． -3

2．设()()()22

2212f x x x x =--()22x n ⋯-,则()0f '= （） A ．2(!)n B ． ()21(!)n n - C ． !n D ． ()1!n n -

3．设()()ln 1f x x =+，则()()5f

x = ( ) A ．()54!

1x + B ．()54!1x -+ C ． ()55!

1x + D ． ()55!

1x -+

4．设()y f x =由方程()2cos 1x y e

xy e +-=-所确定，则曲线()y f x =在点（0，1）的切线

斜率(0)f '= ( ) A ．2 B ． -2 C ．12 D ． -12

5．设()f x 为可导偶函数，且()()cos g x f x =，则'2g π⎛⎫=

⎪⎝⎭ （） A ． 0 B ．1 C ．-1 D ． 2

6．设()f x 在1x =有连续导数，且()12f '=,

则(0lim x d f dx +→= ( ) A ． 1 B ． -1 C ． 2 D ．-2

二、填空题（每小题4分，共24分）

7．若sin cos t t x e t y e t

-⎧=⎪⎨=⎪⎩，则22d y dx = 8．设(

)f x =()f e '= 9．直线l 与x 轴平行，且与曲线x

y x e =-相切，则切点坐标是

导数与微分练习题答案

高等数学练习题第二章导数与微分

第一节导数观点一．填空题

1. 若f (x0)存在，则lim f (x0x)f (x

)

= f ( x0)

x 0x

2. 若f (x0)存在，lim f (x

h) f ( x

h)=2 f ( x

0).

h 0h

lim

0f ( x

3 x) f ( x

)=3 f ( x

0).

x x

3. 设f ( x0)2x 1

, 则lim

x 0 f ( x0 2 x) f ( x0 ) )

4.已知物体的运动规律为 s t t 2(米)，则物体在t 2秒时的刹时速度为 5（米/秒）

5. 曲线y cosx 上点（，1

）处的切线方程为 3 x 2 y 10 ，法线

323

方程为

2x3y320

2 3

6.用箭头 ? 或? 表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间

的关系，

可微可导|连续极限存在。

二、选择题

1．设 f (0) 0 ,且 f ( 0) 存在，则 lim f ( x)=

x 0

[B]

（A）f ( x)(B) f (0)(C) f (0)(D)

f (0)

2.设 f ( x) 在 x 处可导， a ,b为常数，则lim f (x a x) f (x b x) =

x 0x [ B ]

（A）f (x)( B)( a b) f (x)(C)(a b) f (x)(D)

a b

f (x)

3.函数在点 x0处连续是在该点 x0处可导的条件

[ B ]

（A）充足但不是必需（B）必需但不是充足（ C）充足必需（D）即

非充足也非必需

4．设曲线y x2x 2 在点

M 处的切线斜率为，则点

的坐标为

高等数学-——导数与微分练习题.pdf

B：函数 f (x) 在点 x0 连续是函数 f (x) 在点 x0 可导的充分但非必要条件
C：函数 f (x) 在点 x0 可微是函数 f (x) 在点 x0 连续的充分但非必要条件
D：函数 f (x) 在点 x0 可微是函数 f (x) 在点 x0 可导的充要条件
（4）若曲线 y = x2 + ax + b 和 y = x3 + x 在点 (1, 2) 处相切（其中 a, b 是常数），
5. 设 y = f (x sin x) ,其中 f (x) 可导，求 y′ .
6. 利用一阶微分的形式不变性求 y = tan2 (1+ x2 ) 在 x = 1 处的微分 dy .
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南阳师范学院—数学与统计学院 7. 利用一阶微分的形式不变性求 e2x+ y − cos(xy) = e − 1的微分 dy ，并求出 dy .
A：在 t = 1时的瞬时速度 v = 3
的无穷小量.
（）
B：在 t = 1到 t = 2 时的平均速度 v = 3
（10）函数 y = f (x) 在点 x0 处可微且 f ′(x0 ) ≠ 0 ，则 f (x0 + Δx) ≈ f (x0 ) + f ′(x0 )Δx （）
C：在 t = 1时的加速度 a = 1
5. 若 y = (1+ x2 ) arctan x ，则 y′′ =

导数和微分练习题(答案版)

1. 1

3arctan )1()(2+--=x x x x f ,求f’(1) 2. 设1

lim )()1()1(2+++=--∞>-x n x n n e b ax e x x f 是区间),(+∞-∞内是可导函数，试确定常数a,b 3. 设f(x)是周期为2的周期函数，且在点x=1处连续，22cos ]3)(ln[lim 1

=+>-x

x f x π,求曲线y=f(x)在(-1,f(-1))处的切线方程。 4. 设函数在),(+∞-∞内有定义，对任意的x,y 都有)()()(x f e y f e y x f y x +=+,e f =)0(',求f （x ）的表达式

5. 设函数0,)(;0,)()(==≠-=-x a x f x x e x x f x

ϕ,其中的)(x ϕ具有二阶导数，且

1)0(',1)0(-==ϕϕ

1) 确定常数a 的值，使得f （x ）在x=0时连续

2) 求f’(x);

3) 讨论f’(x)在区间),(+∞-∞内的连续性

6. 设函数)()()(x g x f x F =，如果f(x)在x 0点可导，g （x ）在x 0点连续不可导，证明：F(x)在x 0点可导⇔f(x 0)=0

7. 设曲线y=f(x)与曲线y e y x =-++)14tan(π

在（1,0）处有公切线. 1）求公切线方程

2）计算极限)1

(lim +∞>-n n nf n 8. 设f(x)是周期为3的连续函数，在点x=0的某一邻域内恒有x x x f x f 2tan 6)tan 1(2)tan 1(+=--+,已知f(x)在点x=1处可导，求曲线y=f(x)在点

导数与微分练习题答案

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