第三节三重积分的概念与计算
三重积分
∫∫∫ ( x2 + 5xy2 sin x2 + y2 )d x d y d z, 其中 Ω
Ω 由 z = 1 (x2 + y2 ), z = 1, z = 4围成. 2
解: I = ∫∫∫Ω x2 d x d y d z+ 5 ∫∫∫Ω xy2 sin x2 + y2 d x d y d z
利用对称性
∫∫ ∫ 记作 dxdy z2 (x, y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
z = z1(x, y)
y xD
dxd y 微元线密度≈ f (x, y, z) dxd y
1
例 1 化三重积分 I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz为三
Ω
次积分，其中积分区域Ω为由曲面 z = x2 + 2 y2
Ω
D
z1( x, y)
方法2. “先二后一”
∫∫∫Ω
f
(
x,
y,
z
)
d
v
=
∫b a
d
z
∫∫DZ
f (x, y, z)dxdy
方法3. “三次积分”
∫∫∫ ∫ ∫ ∫ f (x, y, z)d v = Ω
b
dx
y2 (x) d y
a
y1( x)
z2 (x, y) f (x, y, z)d z
z1( x, y)
z
1
o
1
x
y
1
例 3 化三重积分∫∫∫ y 1 − x2dxdydz为三次积分，其中 Ω
Ω 由曲面 y = − 1 − x2 − z2 ， x2 + z2 = 1， y = 1所围成.
三重积分计算
三重积分计算三重积分是多重积分的一种，用于计算三维空间中的体积、质心、重心、转动惯量等问题。
在高等数学中，三重积分也是非常重要的一部分，本文将详细介绍三重积分的概念、性质、计算方法以及一些应用。
一、三重积分的概念三重积分是对具有三个变量的函数在三维空间中一些区域的积分。
设f(x,y,z)是定义在区域Ω上的函数，其中Ω是三维空间中的一个封闭区域。
则三重积分的定义为：∭Ωf(x,y,z)dV其中，dV 表示一小块Ω中的体积元素，dV = dx dy dz。
可以看出，三重积分实际上是对Ω中个点对应的函数值与体积元素的乘积进行求和。
三重积分对应的结果是一个数值。
二、三重积分的性质1.线性性质：设f(x,y,z)和g(x,y,z)是定义在区域Ω上的函数，a和b是常数，则有：∭Ω (af(x, y, z) + bg(x, y, z)) dV = a∭Ω f(x, y, z) dV +b∭Ω g(x, y, z) dV2.保号性质：如果在Ω上有f(x,y,z)≥0，则有：∭Ωf(x,y,z)dV≥03.次序可交换性：如果函数f(x,y,z)在区域Ω上连续，那么对于Ω中的任意小闭区域D，有：∬D f(x, y, z) dx dy = ∬D f(x, y, z) dy dx这说明在计算三重积分时，可以先对其中两个变量积分，再对剩余的变量积分。
三、三重积分的计算方法计算三重积分的方法有很多种，下面介绍常用的两种方法：直角坐标系下的直接计算和柱面坐标系的变量代换法。
1.直角坐标系下的直接计算：假设要计算Ω上的三重积分∭Ωf(x,y,z)dV，Ω的边界可以分解为有限个可求面积的曲面。
先取一个边界曲面上的点P，以该点为上顶点的立体体积为ΔV，然后作适当的划分，将ΔV划分为若干个小的体积ΔV_i。
然后取这些小体积ΔV_i中其中一点(x_i,y_i,z_i)，并计算f(x_i,y_i,z_i)与ΔV_i的乘积f(x_i,y_i,z_i)ΔV_i。
三重积分的概念和计算方法
三重积分的概念和计算方法三重积分是数学中的一个重要概念，是在三维空间中求解某个空间区域内函数值的方法。
本文将介绍三重积分的基本概念以及常见的计算方法。
1. 三重积分的概念三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算，用于描述空间区域内某个物理量的总量。
在三维空间中，我们将积分区域分成无限个微小的体积元，通过将这些微小体积元叠加起来，就可以计算出整个积分区域内函数值的总和。
2. 三重积分的符号表示三重积分通常用∬∬∬f(x,y,z)dxdydz表示，其中f(x,y,z)为被积函数，dxdydz表示积分元，代表了积分的区间范围。
3. 三重积分的计算方法在计算三重积分时，需要确定积分的区域以及被积函数的表达式。
3.1 直角坐标系中的三重积分在直角坐标系中，我们常用直角坐标系(x, y, z)来描述三维空间的位置。
对于一般的积分区域，可以通过确定积分的上下限来确定积分的范围。
3.1.1 矩形坐标系中的三重积分计算方法对于矩形坐标系中的三重积分，可以根据积分区域的形状选择合适的积分顺序，并通过嵌套积分的方式来计算。
常见的积分顺序有xyz、xzy、yxz、yzx、zxy和zyx六种情况，具体选择哪种积分顺序需要根据具体问题进行分析和判断。
3.1.2 柱坐标系中的三重积分计算方法在柱坐标系中，我们用ρ、φ和z来描述空间的位置。
对于圆柱形的积分区域，可以通过确定积分的范围来进行计算。
根据积分区域的形状，可以选择适合的积分顺序，并结合柱坐标系的变换公式进行计算。
3.1.3 球坐标系中的三重积分计算方法在球坐标系中，我们用r、θ和φ来描述位置。
对于球形的积分区域，可以通过确定积分的范围来进行计算。
根据积分区域的形状，可以选择适合的积分顺序，并结合球坐标系的变换公式进行计算。
4. 三重积分的应用领域三重积分在物理、工程、几何等领域都有着广泛的应用。
常见的应用包括计算空间体积、质量、质心、转动惯量、质心坐标等。
5. 三重积分的计算实例为了更好地理解和掌握三重积分的计算方法，我们举一个简单的实例来进行说明。
三重积分的概念与计算
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z 的奇函数,球面
关于xoy面对称
z
ln( x2 x2
y
y2 2
z2 z2
1
1)
dxdydz
0.
例 计算 ( x y z)2dxdydz其中是由抛物面
z x2 y2和球面 x2 y2 z2 2所围成的空间闭 区域.
解 ( x y z)2
x2 y2 z2 2( xy yz zx)
其中 xy yz是关于 y的奇函数,
在球面坐标系中
体积元素为
化为三次积分， 从小到大，从边界到边界。
例6.求 的体积，它由球心在(0,0, a), 半径为a 的球面
顶点在原点，半顶角为 的锥面围成，如图.
解： 球面方程为 x2 y2 (z a)2 a2
z
2a
在球坐标系下方程为r 2a cos
锥面方程为 所以
且关于zox面对称, ( xy yz)dv 0,
同理 zx是关于 x 的奇函数,
且关于 yoz面对称, xzdv 0,
由 x,y 位置对称性知 x2dv y2dv,
则I ( x y z)2dxdydz
(2x2 z2 )dxdydz,
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
3. 设
计算
提示: 利用对称性
简介三重积分资料讲解
三、计算xzdxdyd,z其中 是曲面z 0, z y, y 1, 以及抛物柱面y x2所围成的闭区域.
四、计算x2
1
y2
dv,其中是由六个顶点
A(1,0,0), B(1,1,0), C(1.1.2),D(2,0,0),
E(2,2,0),F(2,2,4)组成的三棱锥台.
0 1zd 0 1z z(1yz)dy
o
1
x
01z12(1z)2dz214.
y
1
2020/7/30
例5 计算三重积分 z2dxdyd,z
其中
:
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1.
z
Dz
o
y
解
czc
x
:
x2 y2
z2
Dz :a2 b2 1c2
z2dxdydz
c z2 d z
c
dxd y
Dz
1x2dxdz
x2z21
x1
1y
计算较繁! 采用“三次积分”较好.
2020/7/30
解
1x2z2y1
z
: 1x2z 1x2
1x1
1
o 1y
1
I
1x2dx1x2
1
dz
ydy x1
1
1x2 1x2z2
1
1x2dx1x2
x2z 1x2
1x2(x2zz33)|01x2
思考: dx 若被积函数为
则 三 重 积 分 f ( x , y , z )dxdydz 化 为 三 次 积 分 是
_______________________.
2、 若
是 由 曲 面 cz
xy (c
10.3三重积分
M =lim∑µ(ξi ,ηi ,ζi )∆vi
λ→0 i=1 =
n
∆vi
o x
(ξi ,ηi ,ζ i ) y
定义 设 f ( x, y, z)(( x, y, z)∈Ω) 若对 Ω 作任意分割: 任意分割: 任意取点 积和式” 极限 积和式”
lim∑ f (ξi ,ηi ,ζ i )∆vi
λ→0
n
i
)∆v i .
∫∫∫ f ( x, y, z )dv = lim ∑ f (ξ ,η , ζ λ
Ω →0 i =1 i i
n
i
)∆v i .
说明 (1) 在直角坐标系下常写作 dv = dxdydz. (2) 三重积分的性质与二重积分相似. 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 线性性质、对积分区域的可加性、比较性质、 线性性质、对积分区域的可加性、比较性质、 估值性质、中值定理，还有 估值性质、中值定理，
1
D xy o
y
= ∫ dx ∫
−1
1− x
2 2
− 1− x
dy ∫
2− x − y
2
2
x
x +y
2
2
f ( x , y , z )dz
方法2 方法2 截面法 (“先二后一”) (“先二后一 先二后一”
(1) 将Ω向 z 轴投影，得投影区间[c1 , c2 ].
z
(2) 任取z ∈ [c1 , c2 ]，过 z作平行于xoy坐标 z 面的平面去截Ω，得截面Dz c1 ( x , y ) ∈ Dz o 则 Ω c1 ≤ z ≤ c2 x
例2 化 ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz为三次积分，其中Ω为由
三重积分的概念与计算
三重积分的概念与计算在数学分析学科中，积分是一个重要的概念，它用于计算曲线、曲面或空间体所围成的面积、体积以及其他相关量。
而三重积分则是积分的一种特殊形式，用于计算三维空间中的体积、质量、质心等物理量。
本文将介绍三重积分的概念，并探讨其计算方法。
一、三重积分的概念三重积分是对三维空间上的函数进行积分运算。
在直角坐标系下，三重积分可以表示为∭f(x,y,z)dxdydz。
其中，f(x,y,z)是被积函数，而dxdydz则表示积分元素。
三重积分的结果是一个标量。
三重积分可以理解为对一个三维区域进行分割，并将每个小区域的体积乘以被积函数的值后相加。
当区域较为规则时，可以采用基本几何体（如长方体、球体等）的体积公式进行计算。
但对于复杂的区域，通常需要采用变量代换或切割方法进行计算。
二、三重积分的计算方法1. 直角坐标系下的三重积分计算在直角坐标系下，三重积分的计算可以按照先x后y再z的顺序进行。
具体计算方法如下：首先，确定积分区域。
三重积分的区域可以是一个立体体积，可以被一个或多个不等式所限定。
通过对区域的划分，可以将其分解为若干个可计算的部分。
制条件是根据区域的形状和约束条件确定的。
最后，进行计算。
根据上述确定的区域和限制，将被积函数f(x,y,z)代入积分式中，进行积分运算。
2. 极坐标系下的三重积分计算在某些情况下，采用极坐标系可以简化三重积分的计算。
极坐标系下，积分元素可以表示为rdrdθdz。
基于极坐标系的计算方法如下：首先，确定极坐标下的积分区域。
通常需要借助于图形的对称性来确定合适的极坐标范围。
其次，确定积分限。
根据极坐标下的区域范围，确定积分的上下限。
最后，进行计算。
将被积函数f(r,θ,z)代入积分式中，并按照r,θ,z的顺序进行积分运算。
三、举例说明下面通过一个具体例子来说明三重积分的应用。
例：计算函数f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2在半径为2的球体内的体积。
解：在直角坐标系下，球体的方程为x^2 + y^2 + z^2 = 4。
8-3(1)三重积分
z
Dz
o
1
y
x
1
Dz的面积
22
解法2 解法2：
z
∫∫∫ zdxdydz = ∫0 zdz ∫0 dy ∫0
Ω
1
1− z
1− y − z
1
dx
o
y
= ∫0 zdz ∫0 (1 − y − z )dy
∑ µ(ξk ,ηk ,ζ k )∆vk
k=1
n
∆vk
(ξk ,ηk ,ζ k )
2
2、三重积分的定义
上的有界函数， 设 f ( x , y , z ) 是空间有界闭区域 Ω 上的有界函数， 将闭区域 Ω 任意分成 n个小闭区域 ∆v1， ∆v2 ,⋯, ∆v n ， 个小闭区域，也表示它的体积, 其中 ∆v i 表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积, 在每 个 ∆vi 上任取一点 (ξ i ,η i , ζ i ) 作乘积 f (ξ i ,η i , ζ i ) ⋅ ∆vi ， ( i = 1,2,⋯, n) ，并作和, 如果当各小闭区域的直径中 并作和, 趋近于零时，这和式的极限存在， 的最大值 λ 趋近于零时，这和式的极限存在，则称此 极限为函数 f ( x , y , z ) 在闭区域 Ω 上的三重积分， 上的三重积分， 三重积分 记为 ∫∫∫ f ( x , y , z )dv ,
(3)计算二重积分 ∫∫ f ( x , y , z )dxdy 计算二重积分
Dz
z
其结果为 z 的函数 F (z ) ； (4)最后计算单积分 ∫ F ( z )dz 即得三重积分值 最后计算单积分 即得三重积分值.
(完整版)10.3三重积分(新)
8
dz
2
2
d
0
4 r 2 rdr
2
8
r2 dz
2
336
另 解2
8
I dz
( x2 y2 )dxdy
2
Dz
8
2
dz d
2z r 3dr
2
0
0
336 24
4、利用球面坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) 为空间内一点，则点M 可用三个有次序的数
r，， 来确定，其中r 为原点O 与点 M 间的距离， 为有向 线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自x 轴按逆时
d
y
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
27
例1. 计算三重积分 (x2 y2 z2) d xd yd z ,其中为
锥面 z x 2 y 2 与球面 x2 y 2 z 2 R2 所围立体.
0rR
解:
在球面坐标下
:
0
0
4
b
(
( y2 ( x)
z2( x, y) f ( x, y, z)dz)dy)dx
a y1( x) z1( x, y)
b
dx
y2 ( x) dy z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz.
a
y1( x)
z1( x, y)
6
例1. 计算三重积分 xd xd yd z 其中为 z
针方向转到有向线段OP 的角，这里 P 为点 M 在 xoy 面上的投
影，这样的三个数r，， 就叫做点 M 的球面坐标．
规定：
0 r , 0 , 0 2.
三重积分的计算
第三节 三重积分的计算一、 利用直角坐标系计算三重积分 三重积分的定义：∑⎰⎰⎰=→=ni i i i i V f dV z y x f 1),,(lim),,(∆ςηξλΩ． 三重积分中体积元素可表示为dxdydz dV =，于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩΩdxdydz z y x f dV z y x f ),,(),,(．三重积分的计算是将其化为计算一个定积分和一个二重积分，最终都要转化为计算三次定积分．１、 坐标面投影法（先一后二计算法） 由上次课的引例知，三重积分⎰⎰⎰ΩdV z y x f ),,(可看成为体密度为),,(z y x f 且占有空间区域Ω的立体的质量．设区域Ω在xOy 面上的投影区域为D ，以D 的边界为准线作平行于z 轴的柱面，将V 分为上下两个曲面，其方程分别为),(:22y x z z =∑ ),(:11y x z z =∑设它们为D 上的单值连续函数，且),(),(21y x z z y x z ≤≤，用垂直于x轴和y 轴的平面将区域D 分为若干个细长条，对应于小区域σd 高度为dz 的小薄片的质量近似等于dz d z y x f σ),,(，所以细长条的质量用微元法求得为σσd dz z y x f dz d z y x f y x z y x z y x z y x z ]),,([),,(),(),(),(),(2121⎰⎰=再将其在区域D 上求二重积分，得到立体的质量为⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Dy x z y x z d dz z y x f dV z y x f σΩ]),,([),,(),(),(21上面公式对于一般情形仍然成立，于是我们有下面结果． 当积分区域Ω可以表示为:Ω⎩⎨⎧∈≤≤xyD y x y x z z y x z ),(),(),(21 其中xy D 为Ω在xOy 面上的投影，此时称Ω为xy －型区域． 则有计算公式⎰⎰⎰⎰⎰⎰=xyD y x z y x z dxdy dz z y x f dV z y x f ]),,([),,(),(),(21Ω．进一步，如果D 是x －型区域，即Ω可表示为如下不等式组Ω：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤),(),( )()( 2121y x z z y x z x y y x y b x a 则⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Dy x z y x z dxdy dz z y x f dxdydz z y x f ]),,([),,(),(),(21Ω⎰⎰⎰=),(),()()(2121),,(y x z y x z x y x y ba dz z y x f dy dx由于上面计算公式实际上是先求一个单积分，再求一个二重积分，因此称为先一后二计算法．类似地，积分区域还有yz －型区域，zx －型区域，都有类似公式．例如对于yz －型区域，Ω可表示为⎩⎨⎧∈≤≤),(),(),(21yz D z y z y x x z y x 则有公式⎰⎰⎰⎰⎰⎰=yzD z y x z y x d dx z y x f dV z y x f σΩ]),,([),,(),(),(21例１ 计算三重积分⎰⎰⎰Vxdxdydz ，其中V 为三个坐标面和平面12=++z y x 所围成的闭区域．解 从图上看出，积分区域可以用如下不等式组表示为⎪⎩⎪⎨⎧--≤≤-≤≤≤≤yx z x y x 210 21010 由上面公式有481)2(41)21(10322101021021010=+-=--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----dx x x x dyy x x dx xdz dy dx xdxdydz xy x x V例２ 求由抛物面z y x -=+622，平面0=x ，0=y ，1=x ，2=y 及z y 4=所围成的立体的体积．解 从立体图形看出，区域V 可以用不等式组表示为⎪⎩⎪⎨⎧--≤≤≤≤≤≤2264/ 2010y x z y y x 6492264201===⎰⎰⎰⎰⎰⎰--y x y Vdz dy dx dV V ． ２、 坐标投影法（截面法或先二后一法）如果将空间区域Ω向z 轴作投影得一投影区间],[q p ，且Ω能够表示为Ω：⎩⎨⎧≤≤∈qz p D y x z),(．其中z D 是过点),0,0(z 且平行于xOy 面的平面截Ω所得的平面区域，就称Ω为z 型空间区域。
第三节 三重积分
一、三重积分的概念 三重积分的概念 二、三重积分的计算 1.直角直角坐标系下 直角直角坐标系下 直角 2.柱坐标下计算三重积分 柱坐标下计算三重积分 3.球坐标下计算三重积分 球坐标下计算三重积分
第十章
1
一、三重积分的概念
引例: 引例 设在空间有限闭区域 Ω 内分布着某种不均匀的 物质, 物质 密度函数为 µ( x, y, z) ∈C,求分布在 Ω 内的物质的 质量 M . 解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 解决方法 类似二重积分解决问题的思想 采用 “大化小 常代变 近似和 求极限” 大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 大化小 可得 Ω
a
b
DZ
f ( x, y, z)dxdy
z2 ( x, y)
方法3. 三次积分 三次积分” 方法 “三次积分”
= ∫ d x∫
a
b
y2 ( x)
y1 ( x)
d y∫
z1 ( x, y)
f ( x, y, z)d z
三种方法(包含 种形式 各有特点, 三种方法 包含12种形式 各有特点 具体计算时应根据 包含 种形式)各有特点 被积函数及积分域的特点灵活选择. 被积函数及积分域的特点灵活选择
D
1
z2 ( x , y )
Ω
z1(x,y)
M
0
. .
y
D
x
P
10
2.计算三重积分 2.计算三重积分
I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz
Ω
积分区域是曲顶柱体
z
z2(x,y)
Ω为图示曲顶柱体
I =∫∫ dxdy∫z ( x , y ) f ( x , y , z )dz
三重积分计算
方法2 . 截面法 (“先重后单”)
方法3 . 三次积分法 最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
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结束
方法1. 投影法 (“先单后重” ) z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ) : ( x, y ) D 细长柱体微元的质量为
z2 ( x, y ) f ( x , y , z ) d z z ( x, y ) d xd y 1 该物体的质量为
z D z c z
a
2
c z c
解: :
by
x y z Dz : 2 2 1 2 a b c
2
2
2
x
用“先重后单 ”
z
d xd yd z
c
c 2 z dz c
D d x d y
z
2 4 z 2 2 z ab(1 2 )d z abc 3 c 15 c
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返重积分的换元积分公式:
f ( x, y, z ) d xd yd z * F (u, v, w) J
( x , y , z ) 对应雅可比行列式为 J (u , v, w)
dudvdw
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z z2 ( x, y )
z
z z1 ( x, y )
f ( x, y, z ) d v z ( x, y ) f ( x , y , z ) d z d xd y D z ( x, y )
2 1
x
D
y
d xd y
三重积分概念及其计算
三重积分概念及其计算三重积分是多重积分的一种，它用于计算三维空间中的体积、质量、质心等物理量。
在本文中，我们将详细介绍三重积分的概念和计算方法。
一、三重积分的概念三重积分是对三维空间中的函数进行求和的一种数学运算。
它可以用于计算空间中的体积、质量、质心等物理量。
三重积分通常表示为∭f(x,y,z)dV，其中f(x,y,z)是定义在三维空间中的函数，dV表示微小体积元素。
二、三重积分的计算方法1.直角坐标系中的三重积分在直角坐标系中，三重积分的计算可以采用分步积分的方法。
具体而言，首先需要确定积分区域的边界，然后分别对x、y、z进行积分。
设积分区域为V，边界为S。
根据积分的基本原理，三重积分可以表示为：∭f(x,y,z)dV=∫∫∫_Vf(x,y,z)dV其中V表示积分区域的体积，dV表示微小体积元素。
假设积分区域可以被表示为：V:a≤x≤b,g(x)≤y≤h(x),p(x,y)≤z≤q(x,y)那么，三重积分可以分步计算为：∭f(x,y,z)dV = ∫∫∫_V f(x,y,z)dxdydz= ∫_a^b∫_(g(x))^(h(x)) ∫_(p(x,y))^(q(x,y)) f(x,y,z) dzdydx依次对x、y、z进行积分即可得到结果。
2.柱坐标系中的三重积分在柱坐标系中，三重积分的计算可以采用柱坐标系下的坐标变换公式。
具体而言，用柱坐标r、θ、z替换直角坐标系中的x、y、z，然后对新的坐标进行积分。
设柱坐标系下的积分区域为V，边界为S。
根据柱坐标系下的坐标变换公式，三重积分可以表示为：∭f(x,y,z)dV = ∬∬∬_V f(rcosθ,rsinθ,z)rdzdrdθ其中 r 表示到原点的距离，θ 表示与正 x 轴的夹角，z 表示垂直于 xy 平面的坐标。
积分区域 V 在柱坐标系下的表示方式为：V:α≤θ≤β,g(θ)≤r≤h(θ),p(r,θ)≤z≤q(r,θ)根据这个表示，可以将三重积分计算为：∭f(x,y,z)dV = ∬∬∬_V f(rcosθ,rsinθ,z)rdzdrdθ= ∫_α^β ∫_(g(θ))^(h(θ)) ∫_(p(r,θ))^(q(r,θ))f(rcosθ,rsinθ,z) zdrdθ依次对θ、r、z进行积分即可得到结果。
三重积分的概念及其计算
三重积分的概念及其计算三重积分是对于具有三个独立变量的函数在三维空间内的积分。
它对于解决和分析各种物理、几何和工程问题起着重要的作用。
在本文中，我们将讨论三重积分的概念、计算方法以及一些应用。
首先，让我们来讨论三重积分的定义和概念。
三重积分是对于一个三维实值函数，在一个三维有界区域内的体积进行积分。
三重积分的符号表示为∭f(x,y,z)dV，其中f(x,y,z)是被积函数，表示在(x,y,z)处函数的值；dV表示积分元素，用于表示积分的区域体积。
为了计算三重积分，我们需要确定被积函数的积分区域。
这个区域可以是一个有界的立体，也可以是由不同的条件限定的多个区域的并集。
一旦确定了积分区域，我们可以通过将该区域划分成较小的体积元素，并对每个体积元素进行积分来逼近整个区域的积分值。
接下来，我们将讨论三种常用的计算三重积分的方法。
第一种方法是直角坐标系下的三重积分计算。
在直角坐标系下，我们可以将积分区域划分为一系列的长方体或平行六面体，每个体积元素的体积可以表示为ΔV=ΔxΔyΔz，其中Δx、Δy和Δz分别是划分的长方体或平行六面体边长的增量。
然后，我们可以对每个体积元素进行积分，并将所有体积元素的积分值相加，得到最终的三重积分值。
第二种方法是柱面坐标系下的三重积分计算。
在柱面坐标系下，我们可以通过引入新的变量，如极角θ和距离原点的距离ρ来简化积分计算。
积分区域可以通过极坐标变换转换为适合柱面坐标的形式。
然后，我们可以对每个体积元素进行积分，并将所有体积元素的积分值相加，得到最终的三重积分值。
第三种方法是球面坐标系下的三重积分计算。
在球面坐标系下，我们可以通过引入新的变量，如极角θ、方位角φ和距离原点的距离r来简化积分计算。
积分区域可以通过球坐标变换转换为适合球面坐标的形式。
然后，我们可以对每个体积元素进行积分，并将所有体积元素的积分值相加，得到最终的三重积分值。
除了上述的计算方法，我们也可以使用数值方法来计算三重积分。
第九章第3节三重积分
1
.
02
24
12
例 2 计算三重积分 z2dxdydz，其中 是由
椭球面 x2 a2
y2 b2
z2 c2
1所成的空间闭区域.
解 : {( x, y, z) | c z c,
x2 a2
y2 b2
1
z2 c2
}
z
Dz
o
y
Hale Waihona Puke 原式 c z2dz dxdy, c
记作 f ( x, y, z)dv
n
即
f
( x,
y, z)dv
lim
0
k 1
f
(k ,k , k )vk
d v称为体积元素
在直角坐标系下也常写作 dxd ydz
3
性质
三重积分的性质与二重积分相似 , 例如
中值定理: 设 f (x, y, z)在有界闭域 上连续, 则存在
2 2cos
a
d r 2d r zd z
0
0
0
4a2
2
cos3
d
8
a3
30
9
d v rd rd d z
20
d xd yd z
z 例2. 计算三重积分 1 x2 y2 , 其中由抛物面
x2 y2 4 z 与平面 z h (h 0) 所围成 .
0 r 4
1 :
r
2
z
, 8
2
D2 : x2 y2 4, 2 :
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Dz ，则三重积分的计算可化为先对
z
x，y 求二重积分，再对 z 求定积分， b
即
Dz
f(x, y,z)dxdydz
b
a
dz f(x,y,z)dxdy
第八章 重积分 第三节 三重积分的概念与计算
一、三重积分的概念
问题的提出： 设空间立体 V 的密度函数为 f ( x, y, z )，求立体 V 的质量 M
为了求 V 的质量，仍采用：分割、近似代替、
求和、取极限四个步骤.
首先把 V 分成 n 个小块 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的体积 记为 V i
x
zz2(x,y)
z2 S2
z1 S1
zz1(x,y)
D
(x, y) yy1(x)
y
yy2(x)
先x将 ,y看作定 f(x,值 y,z)只 ， 看 z的 将 作 函数，则
F (x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz z1(x,y)
再计F算 (x,y)在闭区 Dx间 y上的二重积分
f(x ,y ,z )d vF (x ,y )d[z 2 (x ,y )f(x ,y ,z )d ] d z.
VVdxdydz
例 3 求由曲面 z x2 2 y2及z 2 x2所围成 的闭区域 的体积.
解 由zzx222x2y2,
得 交 线 投 影 区 域 x2y21,
故 {x (,y,z)|x22y2z2x2,(x,y) D x}y 其D x 中 y {x (,y)|x2y21 }
的体积 1dxdydz
Dxy
Dxy
1
1x
xdx2 (1x2y)dy
0
0
1
x[(1 x) y
0
1 x
y 2 ] |0 2
dx
1
4
1(x2x2x3)d
0
1 x2 2x3 x [
42 3
x44]10418
立体体积
• 曲顶柱体的顶为连续曲面
zf(x,y), (x,y)D,
则其体积为 V f(x,y)dxdy D • 占有空间有界域 V 的立体的体积为
f ( x, y, z)dv,
n
即 f(x ,y ,z ) d l v 0 ii 1 m f(i,i,i) v i.
其中dv叫做体积元. 素
在直角坐标系用 中平 ，行 如于 果坐标
的平面来,划则 分 vi xj yk zl.
三 重 积 记 为
n
f(x,y,z)dxdyl id 0m i1 zf(i,i,i)vi.
1(x22)dx 1x32x 11
0
3 3 3 0
其 D x 中 : y 0 x 1 ,0 y 1
当积分区域是长方体的时候,三重积分的积分限最 容易安排
bd f
g(x ,y,z)d V adcx deyg(x,y,z)dz
如果积分函数可分量离变
g(x, y,z) g1(x)g2(y)g3(z)
D x y
D x yz 1 (x ,y )
若 D x 为 y :y 1 ( x ) y y 2 ( x ),a x b ,则
f (x, y,z)dv
b dx y2(x)dz y 2(x,y)f(x ,y,z)d.z a y1(x) z1(x,y)
注意 这是平z行 轴于 且穿过闭 内区部域的 直线与闭的 区边 域界S曲 相面 交不多 于两点情 形可．表即示为 {(x,y,z)|z1(x,y)zz2(x,y),(x,y)Dxy}
例1 设有一物体Ω=[0,1;0,1;0,1](即长方体)它在点
p(x,y,z)处的密度为点p到原点距离的平方,求物体的质
量M.
解 M (x 2 y 2 z2 ) dx dd yx d 1 (x d z 2 y 2 z2 )d 0
D xy
D x(yx2y21 3)dxd0 1(y x2yy 3 33 y)1 0dx
的方程依次为y=0,x+2y=1x=0.所以
D xy {x,y|0y1 2x,0x1}
o
x A(1,0,0)
z C(0,0,1)
y B(0,1/2,0)
在D内任意取一点(x,y),过此点作平行于z轴
的直线,该直线先通过平面z=0,再通过平面
z=1-x-2y.于是
1x2y
xdxdyddzxd0 y xdzx(1x2y)dxdy
v2, ,vn，其中vi表示第 i 个小闭区域，也 表示它的体积, 在每个vi上任取一点(i ,i , i )
作乘积 f (i ,i , i ) vi ，(i 1,2, , n)，并作和,
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于
零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
f ( x, y, z)在闭区域上的三重积分，记为
其次在每个小块 Vi 上任取一点 (i,i,i)
则 Vi 的质量 M if(i,i,i) V i
然后对每个小块 Vi 的质量求和： n M f(i,i,i)Vi i1
最后，取极限 n Ml i0m i1 f(i,i,i)Vi
其中 m 0ina{V xi 的直}径
三重积分的定义
设 f ( x, y, z)是空间有界闭区域 上的有界 函数，将闭区域 任意分成 n个小闭区域v1，
其中 dxdy叫 dz做直角坐标系 积中 元的 .素体
二、在直角坐标系下计算三重积分
方法1：“先一后二”法（也称为投影法）
如图，闭区域在 xoy z 面上的投影为闭区D域xy, 下底S 曲 1: 面 zz1(x,y), 上底S 曲 2: 面 zz2(x,y),
过点 (x,y)Dxy作直, 线o
a
从z1穿入z， 2穿从 出(22x2 2y2)dxdy
Dxy
22d 1(1r2)rdr
0
0
22(1r21r3)1d2.
02 3 0
3
方法2：“先二后一”法（或称截面法）
如果积分区域 界于平面 z=a 和平面
z=b(a<b)之间，且对每一个z [c1,c2 ]，对用
b
d
f
g(x,y,z)dVa g1(x)dxc g2(y)dye g3(z)dz.
即把一个三重积分化为三个定积分的积.
例2 计算三重积分 xdxdydz,
其中Ω为三个坐标 面及平面x+2y+z=1所围成
的闭区域.
解:作闭区域Ω,如图示. 把Ω投影到xoy平面上，
得到区域Dxy三角形闭区域OAB,直线OA,AB,OB