插值与逼近
高中数学中的插值与多项式逼近
高中数学中的插值与多项式逼近在高中数学中，插值和多项式逼近是两个重要的概念和技巧。
它们在数学和工程领域中具有广泛的应用，可以用来解决实际问题，提高计算精度和效率。
本文将对插值和多项式逼近进行介绍和探讨。
一、插值的概念和应用1. 插值的概念插值是指通过已知数据点构造一个函数，使得这个函数在已知数据点上与已知函数或数据完全一致。
插值的目的是为了通过已知的离散数据点来估计未知的数据点，从而实现对数据的预测和补充。
2. 插值的应用插值在实际应用中非常广泛，例如地理信息系统中的地图绘制、图像处理中的图像重建、金融领域中的股票价格预测等。
通过插值方法，可以根据已知数据点的特征和规律，推断出未知数据点的值，从而提供更准确的预测和分析。
二、插值方法1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种常用的插值方法，它通过构造一个多项式函数来逼近已知数据点。
这个多项式函数通过已知数据点的横纵坐标来确定，从而实现对未知数据点的估计。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常用的插值方法，它利用差商的概念来构造一个多项式函数。
差商是指已知数据点之间的差值与对应函数值之间的比值，通过差商的递归计算，可以得到一个多项式函数，从而实现对未知数据点的估计。
三、多项式逼近的概念和方法1. 多项式逼近的概念多项式逼近是指通过一个多项式函数来逼近已知函数或数据，使得这个多项式函数在已知数据点上与已知函数或数据最接近。
多项式逼近的目的是为了简化计算和分析，提高计算效率和精度。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的多项式逼近方法，它通过最小化已知数据点与多项式函数之间的误差平方和，来确定最优的多项式函数。
最小二乘法可以用来解决数据拟合、曲线拟合等问题，广泛应用于统计学、信号处理等领域。
四、插值与多项式逼近的比较1. 精度比较插值方法可以通过已知数据点完全重构已知函数或数据，因此在已知数据点上的精度非常高。
而多项式逼近方法则是通过一个多项式函数来逼近已知函数或数据，因此在已知数据点上的精度可能会有一定的误差。
数学中的函数逼近与插值方法
数学中的函数逼近与插值方法函数逼近和插值方法是数学中重要的概念与技术。
在数学与应用领域，我们经常会遇到需要近似计算或者重建一个函数的情况。
函数逼近和插值方法提供了一种有效的手段，能够用一个简单的函数或者曲线来近似代替原函数，并在一定程度上保留原函数的性质与结构。
1. 函数逼近在函数逼近中，我们需要给出一个近似函数，使其能够在原函数的一定范围内进行准确的近似。
这一方法常用于数据分析和拟合，以及在一些数学问题中的近似求解。
常见的函数逼近方法包括最小二乘逼近、Chebyshev逼近和插值型逼近等。
最小二乘逼近是一种通过使残差平方和最小化来确定近似函数的方法。
它的基本思想是将原函数表示为一个线性组合，通过求解线性方程组的最优解来确定系数。
Chebyshev逼近使用Chebyshev多项式来逼近函数。
这种方法的优点是能够在给定的逼近度下，取得最均匀的最小误差。
插值型逼近则是通过在一些数据点上确定一个插值多项式，然后用该多项式来逼近原函数。
这种方法的优点是能够在给定的数据点上实现完全的逼近。
2. 插值方法插值方法是一种通过给定的数据点来确定一个连续函数的方法。
在插值中，我们希望找到一个函数，使其通过给定的数据点，并且能够在这些点之间进行连续的插值。
常见的插值方法包括线性插值、拉格朗日插值和样条插值等。
线性插值是一种简单的插值方法，它假设插值函数在两个给定数据点之间是线性的。
通过连接两个邻近点，我们可以得到一个线性函数来近似整个区间上的函数。
拉格朗日插值是一种通过拉格朗日多项式来插值的方法。
它的基本思想是通过在每个数据点上构造一个插值多项式，然后将这些多项式进行线性组合来得到插值函数。
样条插值是一种在给定数据点上通过拟合一系列分段低次多项式来插值的方法。
这样可以在各个小区间上获得更好的逼近效果。
总结起来，函数逼近与插值方法是数学中重要且常用的技术。
它们在数学建模、数据分析以及计算数值方法中都起到了关键的作用。
数学中的函数逼近与插值
数学中的函数逼近与插值数学中的函数逼近与插值是一门重要的数学分支，通过近似求解函数与数据之间的关系，可以快速计算和预测未知的数值。
本文将介绍函数逼近与插值的基本概念和方法，并探讨其在实际应用中的价值和意义。
一、函数逼近函数逼近是指通过一系列已知的数据点来建立一个近似的函数模型，以便于计算和预测未知的数值。
在实际应用中，我们经常需要使用函数逼近来处理大量的数据，从而节省计算和存储资源。
1.1 最小二乘法最小二乘法是函数逼近的常用方法，它通过最小化实际观测数据与模型预测值之间的误差平方和，来确定函数逼近的参数。
最小二乘法可以应用于线性和非线性函数逼近，是一种广泛使用的数学工具。
1.2 插值法插值法是函数逼近的一种常见技术，它通过已知的数据点构建一个多项式函数，以逼近未知的函数模型。
插值法可以根据数据点的特点选择不同的插值多项式，如拉格朗日插值、牛顿插值等。
插值法在图像处理、信号处理等领域有广泛应用。
二、函数插值函数插值是指通过已知的数据点来构建一个连续的函数模型，以便于在任意位置计算函数值。
函数插值在数学、计算机科学和工程领域具有重要的应用价值。
2.1 插值多项式插值多项式是函数插值的一种常用方法，它通过已知的数据点构建一个多项式函数，以逼近未知的函数模型。
插值多项式可以使用拉格朗日插值、牛顿插值等方法进行构造，这些方法在实际应用中具有较好的效果。
2.2 样条插值样条插值是一种更加精确和平滑的插值方法，它通过已知的数据点构建一系列分段连续的多项式函数，以逼近未知的函数模型。
样条插值可以解决插值多项式在几点处不光滑的问题，常用的样条插值方法有线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值等。
三、函数逼近与插值在实际应用中的意义函数逼近与插值在科学研究和工程实践中具有广泛的应用，对于大数据处理、数值计算和机器学习等领域具有重要的作用和意义。
3.1 数据拟合与预测函数逼近与插值可以通过已知的数据点建立一个模型，从而对未知的数据进行拟合和预测。
逼近方法和插值方法的比较
逼近方法和插值方法的比较逼近方法和插值方法是数值分析中常用的两种数据处理技术，它们可以用于解决各种数学问题，例如函数逼近、信号处理、图像处理等。
虽然这两种方法都可以用于拟合数据，但是它们的原理与应用有很大的不同。
在本文中，我们将对逼近方法和插值方法进行比较，并分析它们的优缺点和应用场景。
一、逼近方法逼近方法是一种利用数学模型对实际数据进行拟合的方法。
与插值方法不同，逼近方法不要求通过数据点来直接计算出函数值，而是要求在整个拟合域内，最小化实际数据与拟合函数之间的误差。
因此，在逼近方法中，拟合函数不需要通过所有数据点，只需要通过一部分数据点，从而能够更好地逼近真实的函数。
逼近方法中常用的模型包括多项式模型、三角函数模型、指数模型、小波模型等。
逼近方法相较于插值方法的优点在于，它对数据中的噪声具有一定的容忍度。
由于在逼近过程中，并不要求通过所有数据点，因此可以为一些离群点和噪声点留下一定的空间。
而插值方法则要求通过所有数据点，一旦数据出现噪声点或者离群点，就会对插值结果产生极大的影响。
逼近方法缺点在于，由于逼近过程是基于模型的，因此需要先选定一种适合于实际数据的模型，否则拟合结果可能无法正确表达数据的真实本质。
逼近方法适用于数据比较平滑的情况，例如时间序列数据、声音处理等。
通过选取合适的模型，逼近方法可以更好地保留数据的特征，同时对于部分离群点的情况，也可以提供一定程度的容忍度。
二、插值方法插值方法是一种通过已知数据点，在数据点之间进行插值计算出未知数据点的数值的方法。
插值方法要求通过每个数据点，计算出它们之间的函数值，从而构建出全局的函数。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法、三次样条插值法等。
插值方法的优点在于，它可以精确地通过所有数据来计算未知数据值。
但是，插值方法的缺点在于，它对于数据的噪声敏感，并且过度拟合的可能性会很大。
当数据点过多时，插值方法会使插值函数波动较大，从而无法反映数据的真实本质。
数值分析 张铁版 第6章 插值与逼近
(k 0,1, , n)
(6.5)
(6.6)
于是，所求n次插值多项式 Ln ( x) Ln ( x)称为n次LagrangBiblioteka 插值多项式. y l ( x)
k 0 k k
当n=1和n=2时，即为线性插值和抛物插值.
引入记号 n1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn ) (6.7) n 1 ( xk ) 则 lk ( x) ,k 0,1, , n 注意：基函数只与节 ( x xk )n 1 ( xk ) 点有关，而与具体的 n n 1 ( x) 被插值函数无关 于是 Ln ( x) yk
定理6.1 给定n 1个互异节点x0 , x1 , xn上的函数值y0 , y1 , yn , 则满足插值条件(6.2)的n次插值多项式Pn ( x)是存在且唯一的.
证：将插值条件P( xi ) yi， 0,1,, n) 分别代入 插值多项式(6.3) (i
a0 a1 x0 a2 x0 2 an x0 n y0 1 x0 2 n a0 a1 x1 a2 x1 an x1 y1 1 x1 a a x a x 2 a x n y 1 xn 2 n n n n 0 1 n
k 0 n
0, i k lk ( xi ) 1, i k
i, k 0,1, , n
(6.4)
由于x0 , , xk 1 , xk 1 , , xn是lk ( x)的零点 所以可设 lk ( x) Ak ( x x0 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn )
( x xk )( x xk 1 ) 所以 lk 1 ( x) ( xk 1 xk )( xk 1 xk 1 )
多项式插值与数值逼近理论
多项式插值与数值逼近理论多项式插值和数值逼近是数学分析领域中重要的数值计算方法，在科学计算、数据处理和图像处理等领域具有广泛应用。
本文将介绍多项式插值和数值逼近的基本概念、方法和应用。
一、多项式插值多项式插值是一种通过已知数据点来构造一个多项式函数，使该函数在给定点处的函数值与真实值尽可能接近的方法。
插值多项式通过在已知数据点之间“填充”适当的多项式函数，从而实现对未知函数的近似估计。
1.1 基本定义给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，其中x0<x1<...<xn，多项式插值的目标是找到一个n次多项式 P(x)，使得P(xi) = yi 对于所有的 i=0,1,...,n 成立。
1.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式是一种常用的多项式插值方法。
给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，拉格朗日插值多项式可以通过如下公式得到：P(x) = ∑[i=0,n]( yi * li(x) )其中li(x) = ∏[j=0,n,j≠i]( (x-xj)/(xi-xj) )，称为拉格朗日基函数。
1.3 牛顿插值多项式牛顿插值多项式是另一种常用的多项式插值方法。
给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，牛顿插值多项式可以通过如下公式得到：P(x) = ∑[i=0,n]( ci * Ni(x) )其中Ni(x) = ∏[j=0,i-1]( x-xj )，ci 是插值节点上的差商。
二、数值逼近数值逼近是一种利用已知数据点来估计未知函数的方法，数值逼近的目标是找到一个函数近似值，使其与真实值之间的差别尽可能小。
数值逼近可以通过多项式逼近、三角函数逼近等方法实现。
2.1 最小二乘逼近最小二乘逼近是一种常用的数值逼近方法。
给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，最小二乘逼近的目标是找到一个 m 次多项式 P(x)，使得P(x) = ∑[i=0,m]( ai * φi(x) )，其中 ai 是待确定的系数，φi(x) 是 m 个已经确定的基函数。
第三章 参数多项式的插值与逼近
第三章 参数多项式的插值与逼近2009年8月29日10时35分 1本章内容•几何不变性与参数变换•参数多项式插值与逼近的基本概念•参数多项式插值曲线与逼近曲线•张量积曲面•参数双三次曲面片2009年8月29日10时35分 22009年8月29日10时35分 3第一节 几何不变性和参数变换 • 一、几何不变性：1、定义：指曲线曲面不依赖于坐标系的 选择，或者说在旋转与平移变化下不变 的性质。
2、曲线曲面的基表示： 0 n i i i P a j = = å r r 其中： 为矢量系数，修改它可以改变曲线曲面的形状i a r i j 为单参数（表示曲线时）或双参数（表示曲面时） 的基函数，决定曲线曲面的几何性质2009年8月29日10时35分 43、基表示的分类：（1）规范基表示：即满足Cauchy 条件 也称权性。
这种表示下，曲线 （面）上的点是矢量系数的一个重心组 合，重心坐标是基函数。
其中 一、几何不变性：0 1n i i j = º å 我们常见的线性插值就是一种规范基表示。
（2）部分规范基表示：即满足 0 1,0 ki i k n j = º£< å 如： 01 () p u a a u =+ r r r 0 1j =一、几何不变性：（3）非规范基表示：除规范基表示和部分规范基表示以外的其它基表示。
4、基表示与几何不变性的关系：曲线曲面的规范基表示具有仿射不变性， 其余两种只具有几何不变性。
5、几何不变性的意义： （1）方便局部坐标与整体坐标之间的转换；（2）便于平移和旋转变换；（3）节省了计算量。
2009年8月29日10时35分 5• 1、概述• 曲线的参数域总是有界的。
• 曲线的参数可能有某种几何意义，也可能没有。
• 曲线的参数化：即确定曲线上的点与参数域中的参数值之间的一种对应关系。
• 这种对应关系可以是一一对应的，也可以不是一一对应的，后者称为奇点（Singularpoint），如曲线的自交点。
计算方法与数值计算(2-1插值与逼近)
800 1:42.58 罗达尔
1000
1500 3:32.07 恩格尼
是否能建立竞赛距离与纪录时间之间的 函数关系，并测算男子1000米纪录。
4
200
150
100
400
600
800
1000
1200
1400
散点图
5
引例2 设f ( x) ln x，并假定已给出下列三 点 处的函数值，试近似计 算 ln11.75的值。
30
f ( n1) ( ) n Rn ( x) (x x j ) (n 1)! j 0
不能确定，实际计算时，
在[a, b]上，若有 f ( n1) ( x) M，则
n f ( n1) ( ) n M Rn ( x) ( x x j ) (n 1)! ( x x j ) (n 1)! j 0 j 0
已知函数f(x)在n+1个互异节点ax0<x1 <……< xn b
处的函数值yi = f(xi) (i=0,1,2,……，n)，
则存在唯一一个次数不超过n次的多项式： Pn(x)=a0+a1x+……+anxn 满足条件Pn (xi) = yi = f(xi) 。
11
证明：设所要构造的插值多项式为：
y1 y=P1(x)
y0
x0
线性插值
18
x1
x
L1(x)= l0(x)y0 + l1(x)y1
其中
x x1 l0 ( x ) x0 x1
x x0 , l1 ( x) x1 x0
l0(x)：点x0的一次插值基函数， l1(x)：点x1的一次插值基函数。
插值法与逼近论
插值法与逼近论
插值法和逼近论都是数学中研究函数逼近和求解近似解的方法。
插值法是一种通过已知的数据点来确定未知函数的方法。
它的主要思想是使用已知数据点之间的函数来拟合未知函数，并在已知数据点上得到相同的函数值。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等。
逼近论是研究函数逼近的数学分支。
它的主要目标是通过一系列简单函数来近似复杂函数，从而精确计算或解决一些难题。
逼近论研究的问题包括：在某个函数空间中寻找最佳逼近函数、逼近函数的最优性、逼近函数的收敛性等。
插值法和逼近论之间存在一定的联系和区别。
插值法是在已知数据点上进行插值，通过插值函数来逼近未知函数；而逼近论是通过一系列简单函数来逼近复杂函数，有时并不需要已知的数据点。
插值法更加注重通过已知参数得到未知函数的精确解，而逼近论更注重通过简单函数近似复杂函数来解决实际问题。
插值法与逼近论
插值法与逼近论
插值法和逼近论是数学中两种不同的方法，用于处理函数的逼近问题。
插值法是一种通过在已知数据点之间插入新的数据点来逼近一个未知函数的方法。
在插值法中，通过已知数据点之间的连线或曲线来逼近未知函数。
最常见的插值方法是拉格朗日插值和牛顿插值。
插值法可以在已知数据点的区间内准确地逼近函数的值，但不能保证在数据点之外也能准确逼近函数。
逼近论则是从整体的角度考虑函数逼近的问题。
它主要关注如何用简单的函数（如多项式、三角函数等）来逼近一个复杂的函数。
逼近论的核心思想是将逼近问题转化为优化问题，通过选择合适的逼近函数，使得逼近误差最小化。
逼近论可以通过选择适当的逼近函数，对整个函数的逼近质量进行评估和优化。
在实际问题中，插值法和逼近论常常结合使用。
插值法可以通过在已知数据点上准确逼近函数的值，而逼近论可以帮助选择合适的插值函数，以获得更好的整体逼近效果。
函数逼近中的插值和逼近理论
函数逼近是数学中的一个重要分支，旨在通过已知的数据点构造一个逼近目标函数的函数，并用于预测未知数据值。
在函数逼近中，插值和逼近理论是两种常见方法。
插值是通过已知数据点在特定区间内构造一个函数，使该函数通过所有已知数据点。
插值函数在已知数据点上完全匹配原函数，但在其他位置可能会有较大误差。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值是一种通过拉格朗日多项式将函数逼近到已知数据点的方法。
该方法利用了拉格朗日多项式具有唯一性的性质，可以通过已知数据点构造一个唯一的函数。
这个唯一函数将准确地经过已知数据点，但在其他位置的逼近可能不够理想。
牛顿插值是一种利用差商和牛顿插值多项式来逼近函数的方法。
差商的定义是通过已知数据点的函数值来定义的，可以递归地计算出牛顿插值多项式的系数。
牛顿插值在构造插值函数时比拉格朗日插值更方便，并且在处理带噪声的数据时表现更好。
插值方法的优点是对已知数据点完全匹配，但缺点是在其他位置可能存在较大误差。
插值方法适用于已知数据点密集的情况，对于数据点较少或有噪声的情况可能不够适用。
逼近理论是另一种函数逼近的方法，它通过在整个区间内构造一个函数，使该函数与目标函数在整个区间上的误差最小。
逼近方法的目标是尽可能通过已知数据点，同时在整个区间上的误差最小。
常用的逼近方法有最小二乘逼近和Chebyshev逼近。
最小二乘逼近是一种通过最小化目标函数和逼近函数之间的二乘误差来逼近函数的方法。
该方法通过求解线性方程组来确定逼近函数的系数，使得目标函数和逼近函数之间的二乘误差最小。
最小二乘逼近在处理带噪声的数据时表现良好，同时对于数据点较少的情况也适用。
Chebyshev逼近是一种通过构造一系列Chebyshev多项式来逼近函数的方法。
这些多项式在某些特定点上取值最大，因此在逼近函数时能够在整个区间上准确逼近目标函数。
Chebyshev逼近在逼近理论中具有广泛的应用，能够以较高的精度逼近各种函数。
指数函数与对数函数的函数逼近与插值
指数函数与对数函数的函数逼近与插值指数函数与对数函数是高中数学中重要的函数之一，它们的函数逼近与插值方法在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将介绍指数函数与对数函数的基本概念和性质，并探讨它们的函数逼近与插值方法。
一、指数函数的函数逼近与插值指数函数的一般形式为 y = a^x，其中 a > 0 且a ≠ 1。
指数函数有以下重要性质：1. 当 a > 1 时，指数函数是单调递增的；2. 当 0 < a < 1 时，指数函数是单调递减的；3. 当 x 为无理数时，指数函数的值是无理数。
对于一个给定的函数 f(x)，我们希望用指数函数逼近它。
一种常用的方法是利用指数函数的性质进行函数逼近。
具体步骤如下：1. 首先，选择一个基准点 x0，计算 f(x0) 的值；2. 然后，选取一个适当的指数函数 y = a^x，并通过调整 a 的值使得指数函数经过点 (x0, f(x0))；3. 根据指数函数的性质，我们可以预测指数函数在 x > x0 区间内逼近函数 f(x) 的效果。
此外，我们还可以利用指数函数的特点进行函数插值。
插值是根据已知数据点的函数值，在给定区间内求解未知数据点的函数值的方法。
具体步骤如下：1. 首先，给定一组函数值 (x1, f(x1))、(x2, f(x2))、...、(xn, f(xn))；2. 然后，选择一个适当的指数函数 y = a^x，并通过调整 a 的值使得指数函数经过给定的数据点；3. 最后，计算未知数据点的函数值。
二、对数函数的函数逼近与插值对数函数的一般形式为 y = loga(x)，其中 a > 0 且a ≠ 1。
对数函数有以下重要性质：1. 对于同一个底 a，对数函数是单调递增的；2. 对于底 a > 1，对数函数的定义域在 (0, +∞)；3. 对于底 0 < a < 1，对数函数的定义域在 (-∞, +∞)。
数学考研数值分析基础知识点
数学考研数值分析基础知识点数值分析是数学的一个分支，主要研究利用计算机进行数值计算的方法和算法。
在数学考研中，数值分析是一个重要的考点，本文将介绍数值分析的基础知识点，帮助考生能够更好地应对数值分析的考试。
一、插值与逼近1. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种常用的插值方法，用于根据已知数据点推测出未知点的值。
其基本思想是构造一个满足已知数据点的条件的拉格朗日多项式，并通过该多项式求解未知点的值。
2. 牛顿插值牛顿插值是另一种常用的插值方法，与拉格朗日插值相比具有更高的精度。
牛顿插值利用差商的概念，通过已知数据点的差商构造插值多项式，并利用该多项式求解未知点的值。
3. 最小二乘逼近最小二乘逼近是一种通过最小化残差平方和的方法，用于找到一个函数来近似已知数据点。
该方法常用于求解数据拟合问题，通过最小二乘逼近可以得到最优的拟合曲线。
二、数值积分1. 梯形公式梯形公式是一种常用的数值积分方法，通过将待积函数在积分区间上用一系列梯形逼近，从而求解积分的近似值。
梯形公式简单易懂，但精度比较低。
2. 辛普森公式辛普森公式是一种更高精度的数值积分方法，通过将待积函数在积分区间上用一系列二次曲线逼近，从而求解积分的近似值。
辛普森公式相比于梯形公式，在相同节点数的情况下有更高的精度。
三、常微分方程数值解法1. 欧拉法欧拉法是一种常用的常微分方程数值解法，通过将常微分方程转化为差分方程，从而近似求解方程的解。
欧拉法简单易懂，但对于某些情况下可能存在的数值不稳定性需要注意。
2. 修正的欧拉法和改进的欧拉法修正的欧拉法和改进的欧拉法是欧拉法的改进版，通过引入更高阶的项来提高精度和数值稳定性。
3. 4阶龙格-库塔法4阶龙格-库塔法是一种更高精度的常微分方程数值解法，通过迭代求解不同的插值点，并利用加权平均的方式来提高解的精度。
四、线性代数方程组的数值解法1. 直接法直接法是解线性代数方程组的一种常用方法，包括高斯消元法和LU分解法。
初识插值法和逼近法
初识插值法和逼近法插值法和逼近法是数值分析领域中常用的数值逼近方法。
两者在数学和工程领域均有广泛的应用。
本文将会介绍插值法和逼近法的基本原理、常用方法以及应用实例等内容。
一、插值法1. 插值法的基本原理插值法是利用一系列已知数据点，通过构造一个适当的函数来近似代替这些数据点之间未知函数的数值。
插值方法的基本思想是通过已知数据点的数值来推导出未知函数在数据点之间的数值，从而利用得到的函数对其他未知数据进行估计预测。
2. 常用插值方法（1）拉格朗日插值法：拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。
通过构造一个多项式函数，使其经过已知数据点，从而利用该多项式函数来逼近未知函数。
（2）牛顿插值法：牛顿插值法也是一种基于多项式的插值方法。
它通过构造一个递推公式，逐步逼近未知函数。
（3）样条插值法：样条插值法是一种相对较为复杂的插值方法。
它将函数划分为多个小区间，并在每个区间上构造一个低次多项式，利用这些多项式来逼近真实函数。
3. 插值法的应用实例插值法在工程和科学领域有广泛应用。
例如，在图像处理中，插值法常用于图像的放大和缩小。
在地理信息系统中，插值法可用于构建高程模型。
此外，插值法还在金融领域中用于利率曲线的估计等。
二、逼近法1. 逼近法的基本原理逼近法是指通过选择一个适当的函数类，使其与所需逼近的函数相似，从而用该函数类逼近未知函数。
逼近方法的基本思想是通过一些已知的函数，找到一个最接近未知函数的函数。
2. 常用逼近方法（1）最小二乘逼近法：最小二乘逼近法是一种通过最小化残差平方和来逼近未知函数的方法。
它通过构造一个最优解，选择一个函数类，使其与未知函数的残差平方和最小。
（2）离散逼近法：离散逼近法是一种基于离散数值数据的逼近方法。
它通过选择一个函数类，在已知数据点上的函数值与未知函数在这些数据点上的函数值之间的差异最小。
3. 逼近法的应用实例逼近法在信号处理、数据拟合和函数逼近等领域有广泛应用。
例如，在信号处理中，逼近法可用于去除噪声信号。
第4章 插值与逼近
i =0 j −1
(4-8)
则可将 n 次插值多项式写成如下形式：
pn (x) = ∑ a jϕ j ( x)
n
= a 0 + a1 ( x − x0 ) + L + a n ( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − x n −1 )
j =0
(4-9)
其中待定系数 a0 , a1 , L, an 由插值条件
(1 − 2)(1 − 3) ( x − 1)( x − 2)
1 = ( x − 2)( x − 3) , 2
l1 ( x) =
( x − 1)( x − 3)
(2 − 1)(2 − 3)
= −( x − 1)( x − 3) ,
(
) (
)
(
)
于是
4.2.2 Newton插值公式
在插值问题中，为了提高插值精度，有时需增加插值节 点个数。插值节点个数发生变化后，所有的Lagrange插值基函 数都会发生变化，从而整个Lagrange插值多项式的结构发生变 化，这在计算实践中是不方便的。为了克服Lagrange插值多项 式的缺点，能灵活地增加插值节点，使其具有“承袭性”，我 们引进Newton插值公式。
xk − x j
i≠ j≠k
为f(x) 关于xi, xj, xk的二阶均差（差商）。
f [ x0 , x1 , L, xk ] =
xk − xk −1
称 (4-12)
f [ x0 , L , xk − 2 , xk ] − f [ x0 , x1 , L, xk −1 ]
第六章插值与逼近
y=f(x)
p(x)=ax+b
A(x.0,f(x.0)) B(x.1,f(x.1))
p(x)y0yx1 1 xy00(xx0)
p(x)xx0 xx11y0xx1 xx00 y1
为了便于推广,记
l0(x)xx0 xx11, l1(x)xx1 xx00
这是一次函 数,且有性质
l0(x0)1, l0(x1)0 l1(x0)0, l1(x1)1
使满足二次插值条件:
P (xi)yi (i0 ,1 ,2 )
这就是二次插值问题。其几何意义是用经过3个点
(x0,y0)(,x1,y1)(,x2,y2)的抛物线 yP(x) 近似代替曲线
y f(x) ,如下图所示。因此也称之为抛物插值。
P(x)的参数 a0,a1,a2 y
直接由插值条件决定,
即 a0,a1,a2满足下面
第六章 插值与逼近
问题的提出
– 函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在 某个区间[a, b]上给出一系列点的函数值 yi= f(xi)
– 或者给出函数表
x
x0
x1
x2
…… xn
y
y0
y1
y2
…… yn
y=p(x)
y=f(x)
插值法的基本概念
设函数y=f(x)定义在区间[a, b]上, x0,x1,,xn 是
的问题就归结为求它的系数 a i (i=0,1,2,…,n )。
由插值条件: p(xi)f(xi) (i=0,1,2,…,n),可得
anx0n an1x0n1 a1x0 a0 f (x0) anx1n an1x1n1 a1x1 a0 f (x1) anxnn an1xnn1 a1xn a0 f (xn)
指数函数与对数函数的函数逼近与插值理论
指数函数与对数函数的函数逼近与插值理论指数函数与对数函数是数学中常见的两类基本函数。
它们在数学建模、数据拟合和函数逼近等领域中扮演着重要的角色。
本文将探讨指数函数与对数函数的函数逼近与插值理论。
一、指数函数的函数逼近与插值指数函数可表示为f(x) = a^x，其中a为常数，x为自变量。
指数函数具有单调递增的特点，且在x轴上存在一个水平渐近线。
要进行指数函数的逼近与插值，常用的方法之一是最小二乘逼近。
最小二乘逼近是通过最小化函数残差的平方和来确定逼近函数的系数。
对于指数函数的逼近，我们可以选择一组离散点(x1, y1), (x2,y2), …, (xn, yn)，其中y = a^x。
然后，通过最小二乘法计算出使得残差平方和最小的a值，进而得到逼近的指数函数。
此外，我们还可以使用拉格朗日插值法进行指数函数的插值逼近。
拉格朗日插值法是通过构造满足离散点上函数值和导数连续的多项式来逼近原函数。
在指数函数的插值逼近中，我们可以根据离散点构造拉格朗日多项式，从而得到插值逼近的指数函数。
二、对数函数的函数逼近与插值对数函数可表示为f(x) = loga(x)，其中a为常数，x为自变量。
对数函数具有单调递增的特点，且在x轴上存在一个垂直渐近线。
与指数函数类似，对于对数函数的逼近与插值，我们同样可以采用最小二乘逼近法和拉格朗日插值法。
在最小二乘逼近中，我们可以选择一组离散点(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)，其中y = loga(x)。
通过最小二乘法计算出使得残差平方和最小的a值，从而得到对数函数的逼近。
对于对数函数的插值逼近，我们可以使用拉格朗日插值法。
根据离散点构造拉格朗日多项式，从而得到插值逼近的对数函数。
三、函数逼近与插值的应用指数函数与对数函数的函数逼近与插值在实际应用中具有广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 数据拟合：在某些实验或调查中，得到的数据可能符合指数函数或对数函数的规律。
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l2 ( x) ( x x0 )(x x1 ) ( x2 x0 )(x2 x1 )
l1 ( x) ( x x0 )(x x2 ) ( x1 x0 )(x1 x2 )
插值的概念
插值是由离散数据来构造一个函数的近似函数 的重要方法, 插值要求近似函数与被近似函数 在一些点处取相同的函数值,甚至导数值. 已知函数y=f(x)在[a, b]中n+1个互异点x0, x1, …, xn上的函数值分别为f(x0), f(x1), …, f(xn) ，构造 一个简单的函数P(x)，满足条件 P(xi)=f(xi) (i=0,1,…n) (*) 称这类问题为插值问题，称P(x)为函数f(x)的插 值函数， f(x)为被插值函数，点x0, x1, …, xn为 插值节点，称(*)为插值条件.
由差均的定义 f(x)=f(x0)+f[x0,x](x-x0) f[x0,x]=f[x0,x1]+f[x0,x1,x](x-x1) f[x0,x1,x]=f[x0,x1,x2]+ f[x0,x1,x2, x](x-x2) …… f[x0,x1,…,xn-1, x]= f[x0,x1,…,xn]+ f[x0,x1,…,xn, x](x-xn) 反复将后一式代入前一式得 f(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) +…+ f[x0,x1,…,xn](x-x0)(x-x1)…(x-xn-1) + f[x0,x1,…,xn, x](x-x0)(x-x1)…(x-xn)
f ''( ) E ( x) f ( x) L1 ( x) ( x x0 )( x x1 ) 2! ( x1 x0 )2 E( x) f ( x) L1 ( x) max f ''( x) 8 a x b
线性插值多项式的余项
抛物插值多项式的余项
f (3) ( ) E ( x) f ( x) L1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 3! Lagrange插值公式为
差商的定义 规定f(xi)为f(x)在点xi处的零阶差商.
f [ xi , x j ]
f ( x j ) f ( xi ) x j xi
称为函数f(x)在点xi，xj处的一阶差商；
f [ xi , x j , xk ] f [ xi , xk ] f [ xi , x j ] xk x j
f ( n1) ( ) f ( x) f ( xi )li ( x) ( x x0 )( x x1 ) (n 1)! i 0
n
( x xn )
Newton插值公式
Newton插值问题 已知函数y=f(x)在[a, b]中n+1个互异点x0, x1, …, xn上的函数值分别为f(x0), f(x1), …, f(xn) ，构造一个多项式Nn(x)Mn，满足 条件 Nn(xi)= f(xi) (i=0,1,…n)
其中
Lagrange插值多项式的余项 定理3.2 设Ln(x) 是满足插值条件(3.1.1)的n次 Lagrange插值多项式，若f(x)Cn[a ,b] , f(x)在 (a, b)内存在n+1阶导数，其中[a, b]是包含点x0, x1, …, xn的一区间，则对任意给定的x[a,b] ， 总存在一点(a, b) (依赖于x)使
, xk 2 , xk ] f [ x0 , x1 , xk xk 1 , xk 1 ]
称为函数f(x)在点xi，xj，xk处的二阶差商；一般地，
f [ x0 , x1 , xk ] f [ x0 , x1
称为函数f(x)在点x0,x2,…,xk处的k阶差商.
差商表
f ( x i) f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) ¦ f ( xn ) 一阶差商 二阶差商 f[x0,x1] f[x1,x2] f[x2,x3] ¦ f[xn-1,xn]
首先构造n次多项式li(x) (i=0,1,…n) ，满足 i j 1 li ( x j ) i j 0 设li(x) =A(x-x0)(x-x1)…(x-xi-1)(x-xi+1)…(x-xn) 由插值条件li(xi) =1得
1 A ( xi x0 )(xi x1 )( xi xi 1 )(xi xi 1 )( xi xn )
由定理１知: 相同插值节点的Lagrange插值多项式和Newton插值多 项式是同一个多项式,故它们的余项相等，即 f[x,x0,x1,…,xn](x-x0)(x-x1)…(x-xn) f ( n1) ( )
=
(n 1)!
( x x0 )(x x1 )( x xn )
f ( n ) ( ) 从而f[x0,x1,…,xn]＝ ， (a, b) n! 比较Lagrange插值多项式和Newton插值多项式首项系数 得证差商性质1.
记Nn(x)= f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) +…+ f[x0,x1,…,xn](x-x0)(x-x1)…(x-xn-1) E(x)=f(x)-Nn(x)=f[x0,x1,…,xn,x](x-x0)(x-x1)…(x-xn) E(xi)=０ (i=0,1,…n) 显然, Nn(x)为次数 n的多项式,且满足插值条件 Nn(xi)=yi (i=0,1,…n) 称Nn(x)= f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) +…+ f[x0,x1,…,xn](x-x0)(x-x1)…(x-xn-1) 为Newton插值多项式． E(x)=f(x)-Nn(x)=f[x0,x1,…,xn,x](x-x0)(x-x1)…(x-xn) 为Newton插值多项式的余项.
其中
( x x1 ) l0 ( x) ( x0 x1 )
( x x0 ) l1 ( x) ( x1 x0 )
Байду номын сангаас
抛物插值（二次插值）已知函数y=f(x)在三个互异点 x0, x1, x2上的函数值分别为f(x0), f(x1), f(x2) ，构造一个 二次式L2(x)，满足条件: L2(x0)=f(x0), L2(x1)=f(x1), L2(x2)=f(x2) 二次Lagrange插值多项式为 L２(x)= f(x0)l0(x) + f(x1)l1(x) + f(x2)l2(x)
f ( n1) ( ) E ( x) f ( x) Ln ( x) ( x x0 )( x x1 ) (n 1)!
( x xn )
R( x) f ( x) Ln ( x)
pn1 ( x) (n 1)!
x[ a ,b ]
max f ( n1) ( x)
xi x0 x1 x2 x3 ¦ xn
…
n阶差商
f [x0,x1,x2] f[x1,x2,x3] ¦ f[xn-2,xn-1,xn]
f[x0,x1,x2,…,xn]
差商的性质 1. 差商关于所含节点是对称的,即与节点位臵无 关. f ( n ) ( ) 2. f[x0,x1,…,xn]＝ ， (a, b) n! 3. n次多项式P(x)的k阶差商 P[x0,x1,…,xk-1,x,] 当kn时为一个n-k次多项式; 当k>n时恒为零.
从而
( x x0 )(x x1 )( x xi 1 )(x xi 1 )( x xn ) li ( x) ( xi x0 )(xi x1 )( xi xi 1 )(xi xi 1 )( xi xn )
易知
(3.1.2) 若还有一个次数n的多项式Pn(x)满足插值条件(3.1.1),则 r(x)=Ln(x)- Pn(x)是次数n的多项式，且 r(xi)=0, (i=0,1,…n), r(x)有n +1个零点,故必有r(x)0，从 而Ln(x)=Pn(x), Lagrange插值问题的解存在且唯一. 称li(x) (i=1,2,…n)为Lagrange插值基函数．称(3.1.2)为 Lagrange插值多项式． 记pn+1(x)=(x-x0)(x-x1) …(x-xn)
第三章
插值与逼近
用简单函数P(x)近似代替函数f(x)是数值计算中的基本 概念和方法之一. 近似代替又叫逼近, f(x)叫做被逼近 函数, P(x)叫做逼近函数, f(x)-P(x)叫做逼近的误差或 余项. 逼近函数P(x)的类别选取:多项式;分段多项式,有理式， 三角多项式等这类便于数值计算的函数类(P(x)选择的 函数类不同,逼近的效果也不同.根据实际问题选取恰 当的函数类). 逼近的度量方式的要求 ：插值,一致逼近,平方逼近(要 求必须提得合理否则无解或许多解), 如何构造逼近函数P(x). 逼近的效果.
§3.1 多项式插值
Lagrange插值公式
Lagrange插值问题 已知函数y=f(x)在[a, b]中n+1个互异点x0, x1, …, xn上的函数值分别为f(x0), f(x1), …, f(xn)，在次数n的多项式集合Mn中,构造 一个Ln(x)Mn ，满足条件 Ln(x)=f(xi) (i=0,1,…n) (3.1.1) 定理3.1 满足插值条件(3.1.1)的多项式 Ln(x)Mn 是存在且唯一的.
E ( x) f ( x) Ln ( x) f ( n1) ( ) ( x x0 )( x x1 ) (n 1)! ( x xn )