插值与逼近
高中数学中的插值与多项式逼近
高中数学中的插值与多项式逼近
在高中数学中，插值和多项式逼近是两个重要的概念和技巧。它们在数学和工程领域中具有广泛的应用，可以用来解决实际问题，提高计算精度和效率。本文将对插值和多项式逼近进行介绍和探讨。
一、插值的概念和应用
1. 插值的概念
插值是指通过已知数据点构造一个函数，使得这个函数在已知数据点上与已知函数或数据完全一致。插值的目的是为了通过已知的离散数据点来估计未知的数据点，从而实现对数据的预测和补充。
2. 插值的应用
插值在实际应用中非常广泛，例如地理信息系统中的地图绘制、图像处理中的图像重建、金融领域中的股票价格预测等。通过插值方法，可以根据已知数据点的特征和规律，推断出未知数据点的值，从而提供更准确的预测和分析。
二、插值方法
1. 拉格朗日插值法
拉格朗日插值法是一种常用的插值方法，它通过构造一个多项式函数来逼近已知数据点。这个多项式函数通过已知数据点的横纵坐标来确定，从而实现对未知数据点的估计。
2. 牛顿插值法
牛顿插值法是另一种常用的插值方法，它利用差商的概念来构造一个多项式函数。差商是指已知数据点之间的差值与对应函数值之间的比值，通过差商的递归计算，可以得到一个多项式函数，从而实现对未知数据点的估计。
三、多项式逼近的概念和方法
1. 多项式逼近的概念
多项式逼近是指通过一个多项式函数来逼近已知函数或数据，使得这个多项式
函数在已知数据点上与已知函数或数据最接近。多项式逼近的目的是为了简化计算和分析，提高计算效率和精度。
2. 最小二乘法
最小二乘法是一种常用的多项式逼近方法，它通过最小化已知数据点与多项式
数学中的函数逼近与插值
数学中的函数逼近与插值
数学中的函数逼近与插值是一门重要的数学分支，通过近似求解函
数与数据之间的关系，可以快速计算和预测未知的数值。本文将介绍
函数逼近与插值的基本概念和方法，并探讨其在实际应用中的价值和
意义。
一、函数逼近
函数逼近是指通过一系列已知的数据点来建立一个近似的函数模型，以便于计算和预测未知的数值。在实际应用中，我们经常需要使用函
数逼近来处理大量的数据，从而节省计算和存储资源。
1.1 最小二乘法
最小二乘法是函数逼近的常用方法，它通过最小化实际观测数据与
模型预测值之间的误差平方和，来确定函数逼近的参数。最小二乘法
可以应用于线性和非线性函数逼近，是一种广泛使用的数学工具。
1.2 插值法
插值法是函数逼近的一种常见技术，它通过已知的数据点构建一个
多项式函数，以逼近未知的函数模型。插值法可以根据数据点的特点
选择不同的插值多项式，如拉格朗日插值、牛顿插值等。插值法在图
像处理、信号处理等领域有广泛应用。
二、函数插值
函数插值是指通过已知的数据点来构建一个连续的函数模型，以便于在任意位置计算函数值。函数插值在数学、计算机科学和工程领域具有重要的应用价值。
2.1 插值多项式
插值多项式是函数插值的一种常用方法，它通过已知的数据点构建一个多项式函数，以逼近未知的函数模型。插值多项式可以使用拉格朗日插值、牛顿插值等方法进行构造，这些方法在实际应用中具有较好的效果。
2.2 样条插值
样条插值是一种更加精确和平滑的插值方法，它通过已知的数据点构建一系列分段连续的多项式函数，以逼近未知的函数模型。样条插值可以解决插值多项式在几点处不光滑的问题，常用的样条插值方法有线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值等。
逼近方法和插值方法的比较
逼近方法和插值方法的比较
逼近方法和插值方法是数值分析中常用的两种数据处理技术，
它们可以用于解决各种数学问题，例如函数逼近、信号处理、图
像处理等。虽然这两种方法都可以用于拟合数据，但是它们的原
理与应用有很大的不同。在本文中，我们将对逼近方法和插值方
法进行比较，并分析它们的优缺点和应用场景。
一、逼近方法
逼近方法是一种利用数学模型对实际数据进行拟合的方法。与
插值方法不同，逼近方法不要求通过数据点来直接计算出函数值，而是要求在整个拟合域内，最小化实际数据与拟合函数之间的误差。因此，在逼近方法中，拟合函数不需要通过所有数据点，只
需要通过一部分数据点，从而能够更好地逼近真实的函数。逼近
方法中常用的模型包括多项式模型、三角函数模型、指数模型、
小波模型等。
逼近方法相较于插值方法的优点在于，它对数据中的噪声具有
一定的容忍度。由于在逼近过程中，并不要求通过所有数据点，
因此可以为一些离群点和噪声点留下一定的空间。而插值方法则
要求通过所有数据点，一旦数据出现噪声点或者离群点，就会对
插值结果产生极大的影响。逼近方法缺点在于，由于逼近过程是基于模型的，因此需要先选定一种适合于实际数据的模型，否则拟合结果可能无法正确表达数据的真实本质。
逼近方法适用于数据比较平滑的情况，例如时间序列数据、声音处理等。通过选取合适的模型，逼近方法可以更好地保留数据的特征，同时对于部分离群点的情况，也可以提供一定程度的容忍度。
二、插值方法
插值方法是一种通过已知数据点，在数据点之间进行插值计算出未知数据点的数值的方法。插值方法要求通过每个数据点，计算出它们之间的函数值，从而构建出全局的函数。常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法、三次样条插值法等。
函数逼近与插值
函数逼近与插值
函数逼近和插值是数学的两个重要分支，在工程、科学和金融
等领域都有广泛的应用。本文将从数学角度介绍这两个概念，并
讨论它们的优缺点和应用领域。
函数逼近
函数逼近是指用一个已知的函数来近似另一个函数的过程。通
常情况下，我们会选择一组基函数，将待逼近函数表示为基函数
的线性组合形式，然后通过确定基函数的系数，使得逼近函数与
原函数的误差最小。
常用的基函数包括多项式、三角函数、指数函数等，其中最为
广泛应用的是多项式基函数。多项式函数的优点在于易于计算和
控制，同时由于其具有良好的局部逼近性，因此在实际应用中得
到了广泛的应用。
以多项式逼近为例，设待逼近函数为$f(x)$，逼近函数为$p(x)$，则有：
$$p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$$
其中，$a_0,a_1,a_2,...,a_n$为待求系数。我们可以通过最小二乘法来确定这些系数，即
$$\min\limits_{a_0,a_1,...,a_n}\sum\limits_{i=1}^n(f(x_i)-
p(x_i))^2$$
这个问题可以通过求解线性方程组的方式得到解析解，也可以通过牛顿迭代等数值优化算法得到近似解。
在实际应用中，我们通常会选择适当的基函数来进行逼近，例如在图像处理中，一般采用的是小波基函数，而在金融工程中，常用的则是Gaussian基函数。不同的基函数对逼近结果的精确度和复杂度有着不同的影响，因此需要根据具体的需求来选择适当的基函数。
函数插值
函数插值是指通过已知的样本点来求出一条经过这些点的曲线
课件：插值与逼近
• 首先构造n次多项式li(x) (i=0,1,…n) ，满足
1 li (xj ) 0
i j i j
• 设li(x) =A(x-x0)(x-x1)…(x-xi-1)(x-xi+1)…(x-xn) • 由插值条件li(xi) =1得
(
x
x0
)(
x
x1
)
(x xn )
R(x)
f (x) Ln (x)
pn1(x) max (n 1)! x[a,b]
f (n1) (x)
• 线性插值多项式的余项
E(x)
f (x) L1(x)
f
''(
2!
)
(
x
x0
)(
x
x1)
E(x)
f
(x)
L1(x)
(x1
x0 )2 8
max f ''(x)
1 A (xi x0)(xi x1)(xi xi1)(xi xi1)(xi xn )
• 从而
li (x)
(x x0)(x x1)(x (xi x0)(xi x1)(xi
xi1)(x xi1)(x xn ) xi1)(xi xi1)(xi xn )
易知
多项式插值和最佳逼近简析及比较
多项式插值和最佳逼近简析及比较多项式插值法是将若干离散的数据点用某个规律的多项式的综合函数来拟合表示，适用于已知曲线但未知函数时，利用经过几个点的函数值形成的初等多项式确定曲线上所有点的值。
最佳逼近是以尽量减少离散点与所拟合曲线的均方误差，或者存在一般约束条件下最小化拟合误差的极小曲线为目的。条件约束的最小曲线常数的综合函数叫做最佳逼近曲线，其特色是在一定条件下准确地逼近离散点，甚至可以精确地逼近实质上的曲线。
比较：
1. 多项式插值更加简单，计算量小，但过拟合的可能性比较大，特别是当数据点分布不够均匀时；
2. 最佳逼近算法比较复杂，耗时较长，但是更拟合数据，并且能够尽量减少离散点与所拟合曲线的均方误差，更能够认型数据分布规律。
多项式逼近和插值
多项式逼近和插值
多项式逼近和插值是计算数学中的两个基本概念，它们是求一
定准确度下函数近似值所必须采用的数值方法。多项式逼近是指
用低阶多项式逼近原函数，插值是利用已知数据点在插值区间内
构造一个多项式函数，使得该函数在已知数据点处等于原函数。
它们的应用范围很广，包括科学工程计算、图像处理、信号处理
等领域。下面介绍它们的原理和应用。
一、多项式逼近
当我们需要用低阶多项式逼近原函数时，可以采用最小二乘法。最小二乘法是一种在数据拟合中广泛使用的方法，通过将误差的
平方和最小化来确定函数的系数。假设给定函数$f(x)$及其在
$n+1$个采样点$(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)$处的值，我们要
用一个$m$次多项式$p_m(x)$去逼近$f(x)$。我们可以将
$p_m(x)$表示为$p_m(x)=a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_mx^m$，则
函数的误差可以表示为$E(a_0,a_1,...,a_m)=\sum_{i=0}^n [f(x_i)-
p_m(x_i)]^2$，通过最小化误差函数来确定多项式系数
$a_0,a_1,...,a_m$。最小二乘法可以用线性代数和矩阵计算方法求解。
最小二乘逼近是一种非常有效的数据拟合方法，并且有许多实际应用。例如，在金融领域中，我们可以用该方法来估计股票期权价格；在图像处理中，我们可以用该方法实现图片的平滑处理和降噪处理。
二、插值
插值是利用已知数据点构造一个多项式函数，使得该函数在已知数据点处等于原函数。插值法可分为以下两种情况：一是利用拉格朗日插值公式，将函数表示为已知节点函数的线性组合；二是利用牛顿插值公式，基于差商的思想构造插值多项式。两种方法的计算效果是相同的，但在计算机实现过程中，两者有些微小的差别。
关于插值逼近的几个问题
关于插值逼近的几个问题
插值逼近是数值分析中常用的一种方法，它通过已知的一些数据点来构造一个函数，使得这个函数在这些数据点上的取值与已知数据点的取值尽量接近。插值逼近在实际问题中有着广泛的应用，比如图像处理、信号处理、物理学、经济学等领域。
在插值逼近的过程中，我们首先需要选择一个插值函数的形式，常见的插值函数包括多项式插值、三次样条插值、分段线性插值等。在选择插值函数的时候，我们需要考虑已知数据点的特点以及插值函数的性质，以便得到更好的逼近效果。
然而，在实际问题中，插值逼近也面临着一些问题和挑战。以下是关于插值逼近的几个常见问题：
1. 插值节点的选择问题：插值节点的选择对插值逼近的效果有着重要的影响。选择过少的插值节点可能导致逼近函数不够精确，而选择过多的插值节点可能导致逼近函数过于复杂，产生震荡现象。因此，如何选择合适的插值节点是一个关键的问题。
2. 插值函数的误差问题：在插值逼近中，我们通常希望逼近函数尽可能接近已知数据点，即插值函数的误差应该尽可能小。然而，由于插值函数的选择和插值节点的限制，我们无法保证逼近函数在所有点
上的误差都很小。因此，如何评估和控制插值函数的误差也是一个重要的问题。
3. 多项式插值的振荡问题：在多项式插值中，当插值节点的数量增加时，插值多项式的次数也会增加。然而，高次多项式具有振荡的性质，可能导致逼近函数的震荡现象。为了解决这一问题，可以采用三次样条插值等方法，通过引入分段函数来降低插值函数的振荡。
总之，插值逼近是一种重要的数值分析方法，它可以通过已知数据点来构造一个函数，并在这些数据点上进行逼近。然而，在实际应用中，我们需要关注插值节点的选择、插值函数的误差控制以及多项式插值的振荡问题等，以得到更准确和可靠的逼近结果。
函数逼近中的插值和逼近理论
函数逼近是数学中的一个重要分支，旨在通过已知的数据点构造一个逼近目标
函数的函数，并用于预测未知数据值。在函数逼近中，插值和逼近理论是两种
常见方法。
插值是通过已知数据点在特定区间内构造一个函数，使该函数通过所有已知数
据点。插值函数在已知数据点上完全匹配原函数，但在其他位置可能会有较大
误差。常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值是一种通过拉格朗日多项式将函数逼近到已知数据点的方法。该
方法利用了拉格朗日多项式具有唯一性的性质，可以通过已知数据点构造一个
唯一的函数。这个唯一函数将准确地经过已知数据点，但在其他位置的逼近可
能不够理想。
牛顿插值是一种利用差商和牛顿插值多项式来逼近函数的方法。差商的定义是
通过已知数据点的函数值来定义的，可以递归地计算出牛顿插值多项式的系数。牛顿插值在构造插值函数时比拉格朗日插值更方便，并且在处理带噪声的数据
时表现更好。
插值方法的优点是对已知数据点完全匹配，但缺点是在其他位置可能存在较大
误差。插值方法适用于已知数据点密集的情况，对于数据点较少或有噪声的情
况可能不够适用。
逼近理论是另一种函数逼近的方法，它通过在整个区间内构造一个函数，使该
函数与目标函数在整个区间上的误差最小。逼近方法的目标是尽可能通过已知
数据点，同时在整个区间上的误差最小。常用的逼近方法有最小二乘逼近和Chebyshev逼近。
最小二乘逼近是一种通过最小化目标函数和逼近函数之间的二乘误差来逼近函
数的方法。该方法通过求解线性方程组来确定逼近函数的系数，使得目标函数
和逼近函数之间的二乘误差最小。最小二乘逼近在处理带噪声的数据时表现良好，同时对于数据点较少的情况也适用。
数值分析方法【ch01】插值与逼近 培训教学课件
01
一、问题介绍
函数的插值与逼近是科学计算的基本问题之一，广泛应用于曲面拟合、机器学习、 微分方程数值求解等领域.
一、问题介绍
我们通过下面两个例子来进一步说明插值与逼近的概念.
一、问题介绍
我们通过下面两个例子来进一步说明插值与逼近的概念. 例1.2 给定表1-1中的数据，试用一条二次抛物线拟合这些数据.
一、问题介绍
我们把这样的有限维逼近空间V叫作试探空间，Rf叫作试探函数.
02
二、多项式插值
二、多项式插值
0 1 概述
从整体逼近的角度而言，我们有下述重要定理.
由定理内容我们知道，只要目标函数连续，具有任意逼近阶数的多项式PN(x)一 定存在，但是我们并不知道这样的多项式的具体表达形式.因此，我们需要构造具有 逼近性质的多项式试探空间.当然一维情形下，最简单的n次多项式试探空间是
则Newton插值函数可以写为
二、多项式插值
0 3 Newton插值
可以计算得到
二、多项式插值
0 3 Newton插值
二、多项式插值
0 3 Newton插值
二、多项式插值
0 3 Newton插值
二、多项式插值
0 4 分片线性插值
1901年，德国数学家C.Runge构造了一个反例， 说明Lagrange插值多 项式与Newton插值多项式在逼近一些函数的时候，逼近效果并不是完全随着 多项式次数的增加越来越好的.这个反例被称为Runge现象.
数值方法中的插值与逼近-教案
数值方法中的插值与逼近-教案
一、引言
1.1数值方法的重要性
1.1.1数值方法在现代科学和工程中的应用
1.1.2数值方法在解决复杂问题中的优势
1.1.3数值方法的基本概念和分类
1.1.4数值方法的发展历程和未来趋势
1.2插值与逼近的基本概念
1.2.1插值的定义和意义
1.2.2逼近的定义和意义
1.2.3插值与逼近的关系
1.2.4插值与逼近在数值方法中的应用
1.3教学目标和内容安排
1.3.1教学目标
1.3.2教学内容安排
1.3.3教学方法和手段
1.3.4教学评价和考核方式
二、知识点讲解
2.1插值方法
2.1.1拉格朗日插值法
2.1.2牛顿插值法
2.1.3埃尔米特插值法
2.1.4克朗插值法
2.2逼近方法
2.2.1最小二乘法
2.2.2最佳逼近法
2.2.3样条逼近法
2.2.4神经网络逼近法
2.3插值与逼近的应用
2.3.1数值积分和微分
2.3.2函数逼近和曲线拟合
2.3.3工程优化和设计
2.3.4信号处理和图像重建
三、教学内容
3.1插值方法的教学内容
3.1.1拉格朗日插值法的原理和步骤3.1.2牛顿插值法的原理和步骤
3.1.3埃尔米特插值法的原理和步骤3.1.4克朗插值法的原理和步骤
3.2逼近方法的教学内容
3.2.1最小二乘法的原理和步骤
3.2.2最佳逼近法的原理和步骤
3.2.3样条逼近法的原理和步骤
3.2.4神经网络逼近法的原理和步骤
3.3插值与逼近的应用实例
3.3.1数值积分和微分的实例
3.3.2函数逼近和曲线拟合的实例
3.3.3工程优化和设计的实例
3.3.4信号处理和图像重建的实例
四、教学目标
指数函数与对数函数的函数逼近与插值
指数函数与对数函数的函数逼近与插值
指数函数与对数函数是高中数学中重要的函数之一，它们的函数逼近与插值方法在数学和实际问题中都有广泛的应用。本文将介绍指数函数与对数函数的基本概念和性质，并探讨它们的函数逼近与插值方法。
一、指数函数的函数逼近与插值
指数函数的一般形式为 y = a^x，其中 a > 0 且a ≠ 1。指数函数有以下重要性质：
1. 当 a > 1 时，指数函数是单调递增的；
2. 当 0 < a < 1 时，指数函数是单调递减的；
3. 当 x 为无理数时，指数函数的值是无理数。
对于一个给定的函数 f(x)，我们希望用指数函数逼近它。一种常用的方法是利用指数函数的性质进行函数逼近。具体步骤如下：
1. 首先，选择一个基准点 x0，计算 f(x0) 的值；
2. 然后，选取一个适当的指数函数 y = a^x，并通过调整 a 的值使得指数函数经过点 (x0, f(x0))；
3. 根据指数函数的性质，我们可以预测指数函数在 x > x0 区间内逼近函数 f(x) 的效果。
此外，我们还可以利用指数函数的特点进行函数插值。插值是根据
已知数据点的函数值，在给定区间内求解未知数据点的函数值的方法。具体步骤如下：
1. 首先，给定一组函数值 (x1, f(x1))、(x2, f(x2))、...、(xn, f(xn))；
2. 然后，选择一个适当的指数函数 y = a^x，并通过调整 a 的值使得
指数函数经过给定的数据点；
3. 最后，计算未知数据点的函数值。
二、对数函数的函数逼近与插值
数学中的函数逼近与插值理论
03
解析问题逼近
数值逼近方法步骤
01 选择逼近对象
确定需要逼近的函数
02 选择逼近方法
差分逼近或积分逼近
03 确定精度要求
评估逼近结果的准确度
● 06
第六章 应用与展望
Unified fonts make reading more fluent.
Theme color makes PPT more convenient to change.
● 03
第3章 三角函数逼近
Unified fonts make reading more fluent.
Theme color makes PPT more convenient to change.
Adjust the spacing to adapt to Chinese typesetting, use the reference line in PPT.
傅里叶级数的收敛 性
级数收敛 逼近误差 优化方法 精度评估
逼近有效性的关键 收敛性与逼近误差的关系
提高逼近精度的技术 确定逼近的准确性
离散傅里叶变换
时域转换 数字信号处理
通信系统 频域表示
信号频域表达 离散信号频谱分析
信号处理与传输 正弦余弦组合
总结
三角函数逼近是数学中重要的概 念，通过傅里叶级数展开和离散 傅里叶变换可以有效地对函数进 行逼近和信号处理。掌握这些方 法可以在实际问题中解决函数逼 近和频域分析的挑战。
初识插值法和逼近法
初识插值法和逼近法
插值法和逼近法是数值分析领域中常用的数值逼近方法。两者在数学和工程领域均有广泛的应用。本文将会介绍插值法和逼近法的基本原理、常用方法以及应用实例等内容。
一、插值法
1. 插值法的基本原理
插值法是利用一系列已知数据点，通过构造一个适当的函数来近似代替这些数据点之间未知函数的数值。插值方法的基本思想是通过已知数据点的数值来推导出未知函数在数据点之间的数值，从而利用得到的函数对其他未知数据进行估计预测。
2. 常用插值方法
（1）拉格朗日插值法：拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。通过构造一个多项式函数，使其经过已知数据点，从而利用该多项式函数来逼近未知函数。
（2）牛顿插值法：牛顿插值法也是一种基于多项式的插值方法。它通过构造一个递推公式，逐步逼近未知函数。
（3）样条插值法：样条插值法是一种相对较为复杂的插值方法。它将函数划分为多个小区间，并在每个区间上构造一个低次多项式，利用这些多项式来逼近真实函数。
3. 插值法的应用实例
插值法在工程和科学领域有广泛应用。例如，在图像处理中，插值
法常用于图像的放大和缩小。在地理信息系统中，插值法可用于构建
高程模型。此外，插值法还在金融领域中用于利率曲线的估计等。
二、逼近法
1. 逼近法的基本原理
逼近法是指通过选择一个适当的函数类，使其与所需逼近的函数相似，从而用该函数类逼近未知函数。逼近方法的基本思想是通过一些
已知的函数，找到一个最接近未知函数的函数。
2. 常用逼近方法
（1）最小二乘逼近法：最小二乘逼近法是一种通过最小化残差平
方和来逼近未知函数的方法。它通过构造一个最优解，选择一个函数类，使其与未知函数的残差平方和最小。
函数逼近与插值法
函数逼近与插值法是数学中重要的概念和方法，它们在科学研究和实际应用中
具有广泛的应用。函数逼近是指利用已知数据点构造一个与原函数具有相似性
质的函数，而插值法则是在一组已知数据点上确定一个函数，使得该函数在这
些点上与已知值完全相等。
函数逼近在数学中被广泛应用于求解问题的数值解，特别是在数值计算和数值
分析中。通过将实际问题转化为数学形式，我们可以用函数逼近来近似求解问题。例如，在多项式函数逼近中，我们可以通过极小化逼近函数与原函数之间
的差距来确定逼近函数的系数，从而得到问题的数值解。
插值法是在一组已知数据点上确定一个函数的方法，它在计算机图形学、数据
处理、信号处理等领域中得到广泛应用。在插值法中，我们通过已知数据点上
的函数值来确定一个函数，使得该函数在这些点上与已知值完全相等，从而可
以在这些点之外的区域进行函数值的预测。
函数逼近与插值法都需要根据给定的问题和数据点选择合适的逼近函数或插值
函数。常用的逼近函数包括多项式、三角函数、指数函数等，而插值函数则通
常使用拉格朗日插值、牛顿插值等。选择合适的函数形式和插值方法对于问题
求解的准确性和效率起着至关重要的作用。
函数逼近与插值法的核心思想是用简单的函数近似描述一个复杂函数的行为。
在实际问题中，我们常常无法找到精确的数学表示，但通过逼近和插值，我们
可以在局部区域获得近似的值，从而帮助我们更好地理解和解决问题。
然而，函数逼近与插值法也存在一些局限性。首先，逼近过程中所选的函数形
式可能与原函数的性质不吻合，导致逼近结果的误差较大。其次，在插值法中，过分关注已知数据点的函数值可能导致插值函数在数据点之外的区域出现较大
指数函数与对数函数的函数逼近与插值理论
指数函数与对数函数的函数逼近与插值理论指数函数与对数函数是数学中常见的两类基本函数。它们在数学建模、数据拟合和函数逼近等领域中扮演着重要的角色。本文将探讨指数函数与对数函数的函数逼近与插值理论。
一、指数函数的函数逼近与插值
指数函数可表示为f(x) = a^x，其中a为常数，x为自变量。指数函数具有单调递增的特点，且在x轴上存在一个水平渐近线。要进行指数函数的逼近与插值，常用的方法之一是最小二乘逼近。
最小二乘逼近是通过最小化函数残差的平方和来确定逼近函数的系数。对于指数函数的逼近，我们可以选择一组离散点(x1, y1), (x2,
y2), …, (xn, yn)，其中y = a^x。然后，通过最小二乘法计算出使得残差平方和最小的a值，进而得到逼近的指数函数。
此外，我们还可以使用拉格朗日插值法进行指数函数的插值逼近。拉格朗日插值法是通过构造满足离散点上函数值和导数连续的多项式来逼近原函数。在指数函数的插值逼近中，我们可以根据离散点构造拉格朗日多项式，从而得到插值逼近的指数函数。
二、对数函数的函数逼近与插值
对数函数可表示为f(x) = loga(x)，其中a为常数，x为自变量。对数函数具有单调递增的特点，且在x轴上存在一个垂直渐近线。与指数函数类似，对于对数函数的逼近与插值，我们同样可以采用最小二乘逼近法和拉格朗日插值法。
在最小二乘逼近中，我们可以选择一组离散点(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)，其中y = loga(x)。通过最小二乘法计算出使得残差平方和最小的a值，从而得到对数函数的逼近。
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称为函数f(x)在点xi，xj，xk处的二阶差商；一般地，
f [ x0 , x1 , xk ] f [ x0 , x1
称为函数f(x)在点x0,x2,…,xk处的k阶差商.
差商表
f ( x i) f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) ¦ f ( xn ) 一阶差商 二阶差商 f[x0,x1] f[x1,x2] f[x2,x3] ¦ f[xn-1,xn]
一次Newton插值多项式 N1(x)= f(x0)+f[x0,x1](x-x0) 二次Newton插值多项式
Baidu Nhomakorabea
N2(x)= f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)
Lagrange插值多项式形式对称，易于编程，但 无继承性。 Newton插值多项式则具有继承性.。
插值的概念
插值是由离散数据来构造一个函数的近似函数 的重要方法, 插值要求近似函数与被近似函数 在一些点处取相同的函数值,甚至导数值. 已知函数y=f(x)在[a, b]中n+1个互异点x0, x1, …, xn上的函数值分别为f(x0), f(x1), …, f(xn) ，构造 一个简单的函数P(x)，满足条件 P(xi)=f(xi) (i=0,1,…n) (*) 称这类问题为插值问题，称P(x)为函数f(x)的插 值函数， f(x)为被插值函数，点x0, x1, …, xn为 插值节点，称(*)为插值条件.
( x x1 )(x x2 ) l0 ( x) ( x0 x1 )(x0 x2 )
l2 ( x) ( x x0 )(x x1 ) ( x2 x0 )(x2 x1 )
l1 ( x) ( x x0 )(x x2 ) ( x1 x0 )(x1 x2 )
f ''( ) E ( x) f ( x) L1 ( x) ( x x0 )( x x1 ) 2! ( x1 x0 )2 E( x) f ( x) L1 ( x) max f ''( x) 8 a x b
线性插值多项式的余项
抛物插值多项式的余项
f (3) ( ) E ( x) f ( x) L1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 3! Lagrange插值公式为
首先构造n次多项式li(x) (i=0,1,…n) ，满足 i j 1 li ( x j ) i j 0 设li(x) =A(x-x0)(x-x1)…(x-xi-1)(x-xi+1)…(x-xn) 由插值条件li(xi) =1得
1 A ( xi x0 )(xi x1 )( xi xi 1 )(xi xi 1 )( xi xn )
§3.1 多项式插值
Lagrange插值公式
Lagrange插值问题 已知函数y=f(x)在[a, b]中n+1个互异点x0, x1, …, xn上的函数值分别为f(x0), f(x1), …, f(xn)，在次数n的多项式集合Mn中,构造 一个Ln(x)Mn ，满足条件 Ln(x)=f(xi) (i=0,1,…n) (3.1.1) 定理3.1 满足插值条件(3.1.1)的多项式 Ln(x)Mn 是存在且唯一的.
差商的定义 规定f(xi)为f(x)在点xi处的零阶差商.
f [ xi , x j ]
f ( x j ) f ( xi ) x j xi
称为函数f(x)在点xi，xj处的一阶差商；
f [ xi , x j , xk ] f [ xi , xk ] f [ xi , x j ] xk x j
xi x0 x1 x2 x3 ¦ xn
…
n阶差商
f [x0,x1,x2] f[x1,x2,x3] ¦ f[xn-2,xn-1,xn]
f[x0,x1,x2,…,xn]
差商的性质 1. 差商关于所含节点是对称的,即与节点位臵无 关. f ( n ) ( ) 2. f[x0,x1,…,xn]＝ ， (a, b) n! 3. n次多项式P(x)的k阶差商 P[x0,x1,…,xk-1,x,] 当kn时为一个n-k次多项式; 当k>n时恒为零.
第三章
插值与逼近
用简单函数P(x)近似代替函数f(x)是数值计算中的基本 概念和方法之一. 近似代替又叫逼近, f(x)叫做被逼近 函数, P(x)叫做逼近函数, f(x)-P(x)叫做逼近的误差或 余项. 逼近函数P(x)的类别选取:多项式;分段多项式,有理式， 三角多项式等这类便于数值计算的函数类(P(x)选择的 函数类不同,逼近的效果也不同.根据实际问题选取恰 当的函数类). 逼近的度量方式的要求 ：插值,一致逼近,平方逼近(要 求必须提得合理否则无解或许多解), 如何构造逼近函数P(x). 逼近的效果.
i 0 i 0 j 0 j i
Ln ( x) f ( xi )li ( x) f ( xi )
n
n
n
x xj xi x j
Ln ( x)
i 0
n
pn1 ( x) f ( xi ) 1 ( x) ( x xi ) pn
线性插值（一次插值） 已知函数y=f(x)在两点x0, x1上的函数值分别 为f(x0), f(x1), 构造一个一次式L1(x)，满足条件: L1(x0)= f(x0)，L1(x1)= f(x1). 一次Lagrange插值多项式为 L1(x)= f(x0)l0(x) + f(x1)l1(x)
由定理１知: 相同插值节点的Lagrange插值多项式和Newton插值多 项式是同一个多项式,故它们的余项相等，即 f[x,x0,x1,…,xn](x-x0)(x-x1)…(x-xn) f ( n1) ( )
=
(n 1)!
( x x0 )(x x1 )( x xn )
f ( n ) ( ) 从而f[x0,x1,…,xn]＝ ， (a, b) n! 比较Lagrange插值多项式和Newton插值多项式首项系数 得证差商性质1.
f ( n1) ( ) E ( x) f ( x) Ln ( x) ( x x0 )( x x1 ) (n 1)!
( x xn )
R( x) f ( x) Ln ( x)
pn1 ( x) (n 1)!
x[ a ,b ]
max f ( n1) ( x)
从而
( x x0 )(x x1 )( x xi 1 )(x xi 1 )( x xn ) li ( x) ( xi x0 )(xi x1 )( xi xi 1 )(xi xi 1 )( xi xn )
易知
(3.1.2) 若还有一个次数n的多项式Pn(x)满足插值条件(3.1.1),则 r(x)=Ln(x)- Pn(x)是次数n的多项式，且 r(xi)=0, (i=0,1,…n), r(x)有n +1个零点,故必有r(x)0，从 而Ln(x)=Pn(x), Lagrange插值问题的解存在且唯一. 称li(x) (i=1,2,…n)为Lagrange插值基函数．称(3.1.2)为 Lagrange插值多项式． 记pn+1(x)=(x-x0)(x-x1) …(x-xn)
其中
( x x1 ) l0 ( x) ( x0 x1 )
( x x0 ) l1 ( x) ( x1 x0 )
抛物插值（二次插值）已知函数y=f(x)在三个互异点 x0, x1, x2上的函数值分别为f(x0), f(x1), f(x2) ，构造一个 二次式L2(x)，满足条件: L2(x0)=f(x0), L2(x1)=f(x1), L2(x2)=f(x2) 二次Lagrange插值多项式为 L２(x)= f(x0)l0(x) + f(x1)l1(x) + f(x2)l2(x)
其中
Lagrange插值多项式的余项 定理3.2 设Ln(x) 是满足插值条件(3.1.1)的n次 Lagrange插值多项式，若f(x)Cn[a ,b] , f(x)在 (a, b)内存在n+1阶导数，其中[a, b]是包含点x0, x1, …, xn的一区间，则对任意给定的x[a,b] ， 总存在一点(a, b) (依赖于x)使
f ( n1) ( ) f ( x) f ( xi )li ( x) ( x x0 )( x x1 ) (n 1)! i 0
n
( x xn )
Newton插值公式
Newton插值问题 已知函数y=f(x)在[a, b]中n+1个互异点x0, x1, …, xn上的函数值分别为f(x0), f(x1), …, f(xn) ，构造一个多项式Nn(x)Mn，满足 条件 Nn(xi)= f(xi) (i=0,1,…n)
E ( x) f ( x) Ln ( x) f ( n1) ( ) ( x x0 )( x x1 ) (n 1)! ( x xn )
证 当x为插值节点x0, x1, …, xn中任一点时，结论显然成立.下面设x 异于x0, x1, …, xn ，由于E(x)=f(x)-Ln(x) 满足E(xi)=0 , 故可设 E(x)=K(x)(x-x0)(x-x1)…(x-xn) ，其中K(x) 为待定函数. 固定x，作辅助函数 G(t)= f(t)-Ln(t) - K(x)(t-x0)(t-x1)…(t-xn) 显然G(t)在[a, b]上有n+2个零点x ,x0, x1, …, xn ； 利用Rolly定理,知 G‘(t)在(a, b)内至少有n+1零点; 反复利用Rolly定理:G‘’(t)在(a, b)内至少有n零点; …… G(n+1)(t)在(a, b)内至少有1零点;即存在一点 (a, b) ，使G(n+1)() =0. 由于G(n+1)(t)= f(n+1)(t) –(n+1)! K(x) ，从而 f ( n1) ( ) K ( x) (n 1)! 所以
由差均的定义 f(x)=f(x0)+f[x0,x](x-x0) f[x0,x]=f[x0,x1]+f[x0,x1,x](x-x1) f[x0,x1,x]=f[x0,x1,x2]+ f[x0,x1,x2, x](x-x2) …… f[x0,x1,…,xn-1, x]= f[x0,x1,…,xn]+ f[x0,x1,…,xn, x](x-xn) 反复将后一式代入前一式得 f(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) +…+ f[x0,x1,…,xn](x-x0)(x-x1)…(x-xn-1) + f[x0,x1,…,xn, x](x-x0)(x-x1)…(x-xn)
记Nn(x)= f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) +…+ f[x0,x1,…,xn](x-x0)(x-x1)…(x-xn-1) E(x)=f(x)-Nn(x)=f[x0,x1,…,xn,x](x-x0)(x-x1)…(x-xn) E(xi)=０ (i=0,1,…n) 显然, Nn(x)为次数 n的多项式,且满足插值条件 Nn(xi)=yi (i=0,1,…n) 称Nn(x)= f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) +…+ f[x0,x1,…,xn](x-x0)(x-x1)…(x-xn-1) 为Newton插值多项式． E(x)=f(x)-Nn(x)=f[x0,x1,…,xn,x](x-x0)(x-x1)…(x-xn) 为Newton插值多项式的余项.