不等式恒成立问题的基本类型及常用解法 - 副本

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不等式恒成立问题的基本类型及常用解法

不等式恒成立问题基本类型及常用解法

类型1：设f(x)=ax+b

f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔ ⎩⎨

⎧0

)(0

)( n f m f

f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔⎩

⎨⎧0)(0

)( n f m f .

例1. 设y=(log 2x)2

+(t-2)log 2x-t+1,若t 在[-2,2]上变化，y 恒取正值，求实数x 的取值范围。解：设f(t)=y=(log 2x-1)t+(log 2x)2

-2log 2x+1， t ∈[-2,2] 问题转化为：f(t)＞0对t ∈[-2,2]恒成立 ⇔⎩

⎨

⎧-0)2(0

)2( f f

⇔⎪⎩⎪⎨⎧-=-0

1)(log 0

3log 4)(log 2

2222 x x x ⇒0＜x ＜

或x ＞8。故实数x 的取值范围是（0，2

）∪（8，+∞）。

例2. 对于 -1≤a ≤1,求使不等式(21)ax x +2<(2

1)1

2-+a x 恒成立的x 的取值范围。

解：原不等式等价于x 2+ax<2x+a-1在a ∈[-1,1]上恒成立.

设f(a)=(x-1)a+x 2-2x+1,则f(a)是a 的一次函数或常数函数，要使f(a)>0在a ∈[-1,1]上恒成立,则须满足

⎩⎨

⎧-0)1(0)1( f f ⇔⎪⎩⎪⎨⎧+--0

230

22 x x x x ⇒x>2或x<0 故实数的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞). 类型2：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)

f(x) ＞0在x ∈R 上恒成立⇔a ＞0 且△＜0;

f(x) ＜0在x ∈R 上恒成立⇔a ＜0 且△＜0. 说明：①.只适用于一元二次不等式

恒成立问题常见类型及其解法

解：由题意，知 m 0 ，因此原不等式恒成立等价于 x4 2x2 4 4 4 m x2 2 ( x 2 2) 2 2 恒成立 2 x 2 x 2 x 2
4 令 t x 2， y t (t 2) t
2
函数 y t
4 在 [ 2， ) 上为增函数 t
y y1=(x-1)2 y y1=(x-1)2 y2=logax
例6：当 x 1, 2 时，不等式 x 1 log a x 恒成立，求a 2的范围.
2
1 o 1 2 x y2=logax
1 o 1 2 x
0 a 1
a 1
y 显然 a 1 , 要使对一切 x 1, 2， 1 y2 恒成立，
2
则易知所以
f ( x) 在 (1, 2) 上是减函数，
f ( x)max f (1) 5 ，∴ m 5 .
二、构造函数法：
思考：当x [m, n]时，ax b 0恒成立的条件是什么？
考虑函数f ( x) ax b的图像
y
y y
o
m
n
x
o
m
n
x
o
m
n
x
f (m) 0 结论：当x [m, n]时，f ( x) ax b 0恒成立 f (n) 0 f (m) 0 当x [m, n]时，f ( x) ax b 0恒成立 f (n) 0

恒成立问题的解法

在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。

恒成立问题的基本类型：

类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，

（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；

（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。

类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f

（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立

⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0

)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩

⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0

)(0)(βαf f ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0

)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或类型3：

α>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切。

类型4：

)

()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。

高考微专题不等式恒成立与存在性有解问题解法完美归纳学生版

不等式恒成立与有解问题解法归纳

一、分离变换法：（一）分离参数法

若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，即分离参数法。基本步骤为：

第一步首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；第二步先求出含变量一边的式子的最值；第三步由此推出参数的取值范围即可得出结论. 分离参数法有以下几种类型： I.常规法分离参数

所谓常规法分离参数，就是通过解不等式或解方程把参数解出来，再研究分离出来的函数的值域或最值，从而求出参数取值范围。

例、若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，518 B ．(－∞，3] C.⎣⎡⎭⎫

518，＋∞ D ．[3，＋∞)

【例】已知函数H (x )＝ln x x －λ()x 2

－1，若对任意x ∈[1，＋∞)，不等式H (x )≤0，求实数λ的取值范围．

【分析】H (x )≤0＝H (1)恒成立转化为H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ≤0恒成立，再分离参数求解

【变式训练】

1、已知不等式2x ＋m ＋8

x －1>0对一切x ∈(1，＋∞)恒成立，则实数m 的取值范围是________．

2、设其中，如果时，恒有意义，求的取值范围。

II.倒数法分离参数

对于用常规法()()af x g x =能分离参数，得()()g x a f x =，但如果()f x 有零点，则函数()

高一不等式恒成立问题3种基本方法

文章标题：探讨高一不等式恒成立问题的三种基本方法

在高中数学学习中，不等式恒成立问题是一个很常见的题型。学生们通常需要掌握多种方法来解决这类问题，而这些方法通常可以分为三种基本类型。本文将会详细介绍这三种基本方法，帮助读者全面理解这一数学概念。

1. 方法一：代数法

我们来介绍代数法。这种方法是在不等式两边进行代数变换，使得不等式变成一个容易解决的形式。代数法通常包括加减变形、乘除变形以及平方去根等技巧。以不等式ax+b>0为例，我们可以通过移项得到ax>-b，然后再除以a的正负来确定不等式的方向，从而得到不等式的解集。代数法在解决不等式恒成立问题中应用广泛，能够快速简便地找到解的范围和规律。

2. 方法二：图像法

我们介绍图像法。图像法是通过绘制不等式所代表函数的图像，来直观地找出不等式恒成立的区间。对于一元一次不等式ax+b>0，我们可以画出函数y=ax+b的图像，从而通过观察图像的上升或下降趋势来确定不等式的解集。图像法能够帮助我们更直观地理解不等式的性

质和范围，提高我们的思维逻辑和空间想象能力。

3. 方法三：参数法

我们介绍参数法。参数法是通过引入一个或多个参数，将不等式转化为一个有参数的等式问题，进而进行求解。参数法的典型应用包括辅助角法、二次函数法等。以不等式ax²+bx+c>0为例，我们可以引入Δ=b²-4ac，然后根据Δ的正负来确定不等式的解集。参数法在解决不等式问题中能够简化问题的复杂度，将不等式的求解转化为参数的求解，从而提高解题的效率和准确度。

不等式的恒成立、能成立、恰成立问题

1.恒成立问题：

恒成立问题的基本类型

类型1：对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：

⎩

⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。

解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(

⎨

⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ],[βα∈x

（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0

)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 ],[0)(βα∈

)(0)(βαf f （2）当0x x f 在上恒成立⎩

⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f ],[0)(βα∈-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0

)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或例2：若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围. 12

不等式的恒成立问题基本解法9种解法

不等式的恒成立问题基本解法：9种解法

导语：在数学中，我们经常会遇到不等式的问题，而不等式的恒成立

问题则更加耐人寻味。不等式的恒成立问题是指对于某个特定的不等式，是否存在一组解使得不等式始终成立。解决这种问题需要灵活运

用数学知识和技巧。本文将介绍不等式的恒成立问题的基本解法，共

包括9种方法。

一、置换法。这是最简单的一种方法，即将不等式中的变量互相置换，然后观察不等式是否成立。如果成立，则不等式恒成立。对于x^2 +

y^2 ≥ 0这个不等式，我们可以将x和y置换一下，得到y^2 + x^2 ≥ 0。由于平方数是非负数，所以不等式始终成立。

二、加法法则。这种方法是通过在不等式的两边同时加上相同的数来

改变不等式的符号。对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同

时加上-3，得到2x + 3 - 3 ≥ x + 4 - 3，即2x ≥ x + 1。由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。

三、减法法则。与加法法则相似，减法法则是通过在不等式的两边同

时减去相同的数来改变不等式的符号。对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，

我们可以在两边同时减去x，得到x + 3 ≥ 4。由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。

四、乘法法则。这种方法是通过在不等式的两边同时乘以相同的正数

来改变不等式的符号。对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边

同时乘以2，得到4x + 6 ≥ 2x + 8。由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。

五、除法法则。与乘法法则相似，除法法则是通过在不等式的两边同

不等式中的恒成立问题

主讲人王洪英

不等式中的恒成立问题能够很好的考察函数、不等式等知识以及转化化归等数学思想，因此备受命题者青睐，而大家在碰到不等式中的恒成立问题时，往感觉无从下手，而且此类问题有时表现比较隐蔽，不易分辨，下面通过实例就不等式中的恒成立问题的常用解法加以剖析。

1、函数（或方程）思想

【例1】已知│m │＜2时，不等式ｘ2

+m ｘ+1＞2ｘ+m 恒成立，求实数ｘ的取值范围。

分析：通过把对应的不等式问题转化为函数问题，构造一次函数求解，结合函数思想，利用已知条件求出ｘ的取值范围。解：原不等式即为(1-ｘ)m-ｘ2 +2ｘ-1＜0,在│m │＜2时,即-2＜m ＜2恒成立.

令ƒ(m)= (1-ｘ)m-ｘ2 +2ｘ-1 则{ 即{ 解得ｘ≤-1或ｘ≥3.

所以ｘ的取值范围是(-∞,-1］∪[9, ∞).

点评:本题利用了一次函数的图象,即只要在两点m=-2和m=2处的函数值均小于零即可满足恒成立,巧妙的解出了ｘ的取ƒ(2)≤0 ƒ(-2)≤0

2(1-ｘ)-ｘ2 +2ｘ-1≤0

-2(1-ｘ)-ｘ2

+2ｘ-1≤0

值范围,解决此类问题转换主元后得到的函数一般是一次函数或易于求解满足条件的函数.

2.最值思维

【例2】已知不等式（ｘ+y ）

9对任意正实数ｘ，y

恒成立，则正实数a 的最小值为（）

（A ）

2 （B ）4 （

C ）6 （

D ）8

分析：如果对（ｘ+y 各取最时，要使取“＝”条件相同，必须且只有a ＝

1，但此时右端的最小值为4，显然不等式不恒成立。因此，要先对左端进行变形，尽量避免两次使用基本不等式求解。

不等式恒成立问题3种基本方法

不等式恒成立问题是指在数学中有特定条件下，当不等式满足某些条件时，就能证明不等式恒成立。一般来说，要证明不等式恒成立，都是采用一定的技巧和方法，其中，最常用的三种方法包括把不等式化简为等式、归纳法或组合法以及图解法。

1.不等式化简为等式

最常用的一种方法是将不等式化简为等式，这种方法最为直观，也是最容易的方法，也就是利用数学语言，利用数学公式将不等式化为等式，然后利用数学推论让等式恒成立。

例1:y+2除以3大于9，则y大于17

令y+2=3x

得3x除以3大于9

化简得 x大于9

代入y+2=3x，y大于17

所以y+2除以3大于9时，y大于17。

2.纳法或组合法

归纳法或组合法是比较常用的一种方法，也称为反演法。特别是在分析比较复杂的不等式时，往往可以借助这种方法。

归纳法或组合法的步骤是：

1首先分析不等式的全部特性，然后根据不等式的特性进行分析，把这些特性分为若干步，每步解决一个特殊问题；

2）然后利用反演法，逐步推出最后的结论。

例 2:y>8，则9-y<1

第一步： y>8明 y>8成立的

第二步：y>8带入y-8>0，即可推出y-8的值大于0

第三步：y-8>0带入9-y<1，即可推出9-y的值小于1

第四步：以上四步推出，若y>8，则9-y<1

3.解法

图解法是把问题的定义，公式，结果等用图示表示出来，从而把问题用图形化的方式来分析。

例 3:|x-2|≤3，则-1≤x≤5

由于|x-2|≤3，即x-2≤3 x-2≥-3，因此可以把上述问题用图形化的方式来分析，即x-2=3时表示x-2≤3，x-2=-3时表示x-2≥-3，两条线在x=5和x=-1的位置相交，由此可以推出-1≤x≤5。

一元二次不等式的恒成立的基本类型与解题技巧

ʏ孙新晓

一元二次不等式的恒成立及综合应用问题,是高考中比较常见的热点题型之一㊂解决这类问题,可以合理联系一元二次不等式㊁一元二次方程和二次函数这三个二次问题,实现三个二次问题之间的相互转化㊂下面就一元二次不等式的恒成立问题中最常见的三种基本类型,结合实例加以剖析,意在总结解题技巧与应试策略,探索解题规律与解题方法㊂

一㊁一元二次不等式在R 上的恒成立问题涉及一元二次不等式在R 上的恒成立问题,可将一元二次不等式问题转化为相应的二次函数的图像问题,利用不等式与二次函数图像的开口情况,并结合判别式的取值进行转化求解㊂

例1 若不等式(a -2)x 2

+2(a -2)x -

4<0对一切x ɪR 恒成立,则实数a 的取值范围是( )

㊂A .{a |a ɤ2

}B .{a |-2ɤa ɤ2}C .{a |-2<a ɤ2

}D .{a |a <-2

}分析:在解决一元二次不等式在R 上恒

成立时,将一元二次不等式转化为相应的二次函数的图像问题,通过二次函数图像的开口情况与判别式的取值范围进行合理转化,列出不等式来确定参数的取值范围㊂

解:当a -2=0

,即a =2时,原不等式可化为-4<0,显然对一切x ɪR 恒成立;当a ʂ2时,则a -2<0

,Δ=4(a -2)2

+16(a -2)<0

整

理得

a -2<0

,a 2

解得-2<a <2㊂综上可得,实数a 的取值范围是{a |-2

<a ɤ2

}㊂应选C

㊂在解决一元二次不等式在R 上恒成立问题时,往往涉

不等式的恒成立问题基本解法9种解法

在解决不等式的恒成立问题时，有多种基本解法可以选择，每种解法都有其独特的特点和适用场景。在本文中，我们将深入探讨不等式的恒成立问题，并从不同的角度提出9种基本解法，帮助读者更全面、深入地理解这一主题。

1. 直接法

直接法是解决不等式的恒成立问题最直接的方法。通过对不等式的特定性质和条件进行分析，直接得出不等式恒成立的结论。这种方法通常适用于简单的不等式，能够快速得到结果。

2. 间接法

间接法是一种通过反证法或对立法解决不等式的恒成立问题的方法。当直接法无法直接得出结论时，可以尝试使用间接法来推导不等式的恒成立条件。这种方法通常适用于较为复杂的不等式，可以通过推翻假设得到结论。

3. 分类讨论法

分类讨论法是一种将不等式的条件分为多种情况进行分析的方法。通过将不同情况进行分类讨论，找出每种情况下不等式的恒成立条件，从而得出综合结论。这种方法适用于不等式条件较为复杂的情况，能够全面考虑不同情况下的特殊性。

4. 代入法

代入法是一种通过代入特定的数值进行验证的方法。通过选择合适的数值代入不等式中，可以验证不等式在特定条件下是否恒成立。这种方法通常适用于验证不等式的特定性质或条件。

5. 齐次化法

齐次化法是一种将不等式中的不定因子统一化的方法。通过将不等式中的不定因子进行统一化，可以简化不等式的表达形式，从而更容易得出不等式的恒成立条件。这种方法通常适用于不等式较为复杂的情况，能够简化问题的复杂度。

6. 几何法

几何法是一种通过几何形象进行分析的方法。通过将不等式转化为几何图形，可以直观地理解不等式的恒成立条件。这种方法通常适用于具有几何意义的不等式问题，能够通过几何图形进行直观分析。

专题12 利用导数研究不等式恒成立问题(解析版)

专题12利用导数研究不等式恒成立问题

不等式恒成立问题的基本类型

类型1：任意x ，使得f (x )＞0，只需f (x )min ＞0.

类型2：任意x ，使得f (x )＜0，只需f (x )max ＜0.

类型3：任意x ，使得f (x )＞k ，只需f (x )min ＞k .

类型4：任意x ，使得f (x )＜k ，只需f (x )max ＜k .

类型5：任意x ，使得f (x )＞g (x )，只需h (x )min ＝[f (x )－g (x )]min ＞0.

类型6：任意x ，使得f (x )＜g (x )，只需h (x )max ＝[f (x )－g (x )]max ＜0.

(1)构造函数分类讨论：遇到f (x )≥g (x )型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数h (x )＝f (x )－g (x )或“右减左”的函数u (x )＝g (x )－f (x )，进而只需满足h (x )min ≥0或u (x )max ≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论．

(2)分离函数法：分离参数法的主要思想是将不等式变形成一个一端是参数a ，另一端是变量表达式v (x )的不等式后，应用数形结合思想把不等式恒成立问题转化为水平直线y ＝a 与函数y ＝v (x )图象的交点个数问题来解决．

可化为不等式恒成立问题的基本类型

类型1：函数f (x )在区间D 上单调递增，只需f ′(x )≥0.

类型2：函数f (x )在区间D 上单调递减，只需f ′(x )≤0.

如何解不等式恒成立问题

不等式恒成立问题是中学数学中常见问题之一，也是各级各类考试中常见的题型之一，解答这类问题常常有如下三种常用技巧和思路．

一、利用判别式

例1 若不等式2

10mx mx ++>对一切实数恒成立，求实数m 的取值范围．解：当0m =时，10>显然对一切实数恒成立；

当0m ≠时，要使不等式2

10mx mx ++>对一切实数恒成立，须有00m >⎧⎨

∆<⎩，

，

，即

040m m m >⎧⎨-<⎩

，

，解得04m <<．综上可知，所求实数m 的取值范围是[04)，

．说明：①不等式2

0ax bx c ++>对任意实数x 恒成立00a b c ==⎧⇔⎨

>⎩，，或00a >⎧⎨∆<⎩，

；

；②不

等式2

0ax bx c ++<对任意实数x 恒成立00a b c ==⎧⇔⎨<⎩，或00.a <⎧⎨∆<⎩

，

二、借助形的直观

例2 已知当(1

2]x ∈，时，不等式2(1)log a x x -≤恒成立，求实数a 的取值范围．分析：本题若直接求解，则较为繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数

()(1)

f x x =-与函数()lo

g a g x x =在(12]，上的图象，借助图形可直观、简捷求解．解：在同一平面直角坐标系内作出函数2

()(1)f x x =-与函数()log a g x x =在(12]，

上的图象（如图），从图象中易看出：当01a <<，且(12]x ∈，时，函数()f x 的图象恒在()g x 的图象的

恒成立问题常见类型及解法

2
,
∵x∈［1,+∞),
∴
1
m 2m 2
2
＜
1
,
精选课件
26
∴m2＞1,∴m＜-1.
当m＞0时，只要2m2x2-(1+m2)＜0恒成立即可,
即 x 2＜ 12∵mmx2 2∈. ［1,+∞),
∴
x
2＜1 不 m恒2 成立.
2m 2
综上，实数m的取值范围为(-∞,-1).
答案：(-∞,-1)
精选课件
a
0
1 4
或＜
a
a＞ 1 2
＜
1
a
a
1 4 3 8
,
∴ a1或 1＜ a＜ 1或 ,即 a＞ 1,
2
2
精选课件
31
当a＜0时,
f f
1a2解2得0a∈, Ø; 416a820
当a=0时,f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,∴不合题意.
综上可得,实数a的取值范围是 a ＞ 1 .
精选课件
29
【例3】设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足1＜x＜4的一切x值都
有f(x)＞0,求实数a的取值范围.
【解题指南】解答本题可以有两条途径：(1)分a＞0,a＜0,a=0
三种情况,求出f(x)在(1,4)上的最小值f(x)min,再令f(x)min＞0,