不等式恒成立问题的基本类型及常用解法 - 副本

不等式恒成立问题基本类型及常用解法

类型1：设f(x)=ax+b

f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔ ⎩⎨⎧0

)(0)( n f m f

f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔⎩⎨

⎧0)(0)( n f m f . 例1. 设y=(log 2x)2+(t-2)log 2x-t+1,若t 在[-2,2]上变化，y 恒取正值，求实数x 的取值范围。

例2. 对于 -1≤a ≤1,求使不等式(21)ax x +2<(2

1)12-+a x 恒成立的x 的取值范围。

类型2：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)

f(x) ＞0在x ∈R 上恒成立⇔a ＞0 且△＜0;

f(x) ＜0在x ∈R 上恒成立⇔a ＜0 且△＜0.

说明：①.只适用于一元二次不等式

②.若未指明二次项系数不等于0，注意分类讨论.

例3.不等式3

642222++++x x m mx x ＜1对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。

类型3：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)

（1） 当a ＞0时

① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立 ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-0)(2 m f m a b 或⎪⎩⎪⎨⎧∆-o n a b m 2或⎪⎩⎪⎨⎧≥-0)(2 n f n a b ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-0)(2 m f m a b 或△＜0或⎪⎩⎪⎨⎧≥-0

)(2 n f n a b . ② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔⎩

⎨⎧0)(0)( n f m f . （2） 当a ＜0时

① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔ ⎩

⎨

⎧0)(0)( n f m f ② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立 ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-0)(2 m f m a b 或⎪⎩⎪⎨⎧∆-o n a b m 2或⎪⎩⎪⎨⎧≥-0)(2 n f n a b ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-0)(2 m f m a b 或△＜0或⎪⎩⎪⎨⎧≥-0

)(2 n f n a b . 说明：只适用于一元二次不等式.

类型4：a ＞f(x) 恒成立对x ∈D 恒成立⇔a ＞f(x)m ax ，

a ＜f(x)对x ∈D 恒成立⇔ a ＜f(x)m in .

说明：①. f(x) 可以是任意函数

②.这种思路是：首先是---分离变量，其次用---极端值原理。把问题转化为求函数的最值，若f(x)不存

在最值，可求出f(x)的范围，问题同样可以解出。

例4.（2000.上海）已知f(x)=x

a x x ++22 ＞0在x ∈[)+∞,1上恒成立，求实数a 的取值范围。

例5.已知x ∈(]1,∞-时,不等式1+2x +(a-a 2).4x

＞0恒成立，求实数a 的取值范围。

类型5：①.f(x)＞g(x) 对任意x ∈D 恒成立

②. f (x 1)＞g(x 2) 对任意x 1、x 2∈D 恒成立

例6.已知两个函数f(x)=8x 2+16x-k,g(x)=x 2+4x,其中k ∈R

（1） 若对任意的x ∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立，求k 的取值范围；

（2） 若对任意的x 21,x ∈[-3,3],都有f(x 1)≤g(x 2)，求k 的取值范围。

方法：①.“f(x)＞g(x) 对任意x ∈D 恒成立”可通过分离变量，极端值原理可求得。

②.“ f (x 1)＞g(x 2) 对任意x 1、x 2∈D 恒成立” ⇔ f(x)m in ＞max )(x g