数学建模：配送中心选址

2.该模型是求解最大值问题，根据问题的分析可知它与第二问的问题具有一 定的相似性， 因此在第二问上进行修改；将第二问求解最小值问题转化成求解最 大值问题，再加上公司整体的净利润，对整体求解最大值，并且根据是否在 j 地 建立直销中心设定 0-1 变量������������ ，根据在 i 地建立配送中心设定 0-1 变量������������ ，根据 i 地的配送中心是否给 j 地的销售中心配送货物设定 0-1 变量������������������ 。得到最终结果如 下表。 表 2.直销中心、配送中心选址及配送关系 配送中心城市编号 9 70 88 5.5 问题（4）的解决 1、将该省分为两个地区，分别为地区一和地区二，对地区一的城市进行重 新编号和作图如地区一 4.2 （见附录 6） ， 再运用 Lingo 软件对目标函数进行求解。 1）目标函数的确立 本问题是在直销中心和配送中心的位置未知及直销中心周围的城市可去最 近的直销中心购买产品的情况下，计划出最佳的 5 年产品销售、配送方案。因为 直销中心周边城市的归属及月产品销售量的情况不同， 配送中心的建设成本及运 输成本也不同，所以为了求出最低的总成本，重新引入了第 i 个城市的人是否去 直销中心城市编号 6,7,8,9,16,37,45, 2,3,17,66,68,70,74, 20,83,86,88,90,91
3 符号说明
i:分配中心下标 Wj:j 地每月销售量 短路 Aij：i 地是否为 j 地运送 Qj:是否在 j 地建设销售中心 Pi:是否在 i 地建设分配中心 Zij:i 地的人是否去 j 地购买 j:销售中心下标 Dij:分配中心 i 到销售中心 j 的最
4 模型假设
为了简化问题，作如下假设： （1）选址所在区域为几何平面，区域内的公路交通网视为直线，各个城市 均视为点，它们的连线视为线段。 （2）配送中心和直销中心均视为点，且位于城市点上。近似为配送中心、 直销中心和城市三点重合。 （3） 运输成本只包含运费， 选址费用只包括建设成本， 利润即为销售利润， 其余费用不考虑。
20 0<������ <93
������������������
2 ∗ ������i,j ∗ ������������ ∗ ������ ������
������ =1
2.运用 matlab 程序得到了分别在 92 个市区的城市路线图
图 1：城市路线图 用 min 函数与 find 函数，找出分配中心的最佳建立点是 35 号城市。 5.3 问题（2）的解决——求解分配中心数目及其选址模型 1、设有 n 个配送中心，以 P1 ，P2 ，…Pn 表示之，用 Dij 表示派送中心 Pi 到直销中心 Pj 之间的距离。 1）目标函数的确立 本问题是求 5 年产品配送计划的最小成本， 成本包括建立配送中心的成本及 运输成本，所以可表示为公式：配送成本=建立 n 个配送中心的成本+n 个配送中 心到 20 个直销中心的运输成本。 2）约束条件的确立 每个销售中心有且仅有一个配送中心配送； （2） 第 i 个城市是否建立配送中心影响第 j 个直销中心由哪个配送中心配送； （3）建立了直销中心的城市才有产品销售量； 3）综上所述所得的最优化模型
5.4 问题（3）的解决——求解分配中心及销售中心选址模型 1、设有 n 个配送中心，以 V1 ，V2 ，…Vn 表示之，用 D(i,j)表示派送中心 Vi 到直销中心 Vj 之间的距离。 1）目标函数的确立 本问题是求解如何选定 20 个直销中心和若干个配送中心的位置，使得 5 年 内公司能够获得最大利润， 成本包括建立配送中心的成本及运输成本，收益为销 售后所得钱数， 所以可表示为公式： 利润=20 个直销中心的总收益-建立 n 个配送 中心的成本-n 个配送中心到 20 个直销中心的运输成本。 2）约束条件的确立 （1）������������������ 的取值收 i 第是否为配送中心，j 第是否为销售中心的影响； 每个直销中心只能由一个配送中心配送； （3）一共需要建立 20 个销售中心； （4）只有在建立了直销中心的市区才有产品销售量；
理模型,模型的构建从对零售商经营总成本的分解及其定量化描述为起点,分析了 在多次配送情况下其运输成本、 库存持有成本和订货成本的变化，接着使用粒子 群算法和相关参数设定对其进行了实证分析， 定量地分析了该模型中运输成本系 数、中心建设投入成本系数、库存成本系数以及目标函数满意值之间的关系、变 化和互相影响情况，从而为配送中心选址及库存管理决策提供一定的支持。 总之， 现有的文献在解决问题的过程中解题过程不够完美，或多或少存在缺 憾之处。 2.2 本文研究思路 本文在解决三个问题的过程中遵循从简单到复杂， 从特殊到一般的建模规律， 使用最短路模型、Floyd 算法和线性规划一气呵成，将问题（1）的模型推广就成 为问题(2)的模型，将问题（2）的模型推广就成为问题(3)的模型。 针对问题（1） ，利用 MATLAB 和附件一所给数据将 92 个城市的具体位置以 图的形式展示出来，根据公式：运输成本=所走公里数*每吨公里运费*产品质量 吨数，利用 Floyd 算法求得邻接矩阵，进而求出前 20 位城市配送成本最低的城 市； 针对问题（2） ，给该企业制定一个成本最小的 5 年配送计划，即引入了是否 在第 i 城市建立配送中心的 0-1 变量，并在此基础上考虑到成本的最小值，即可 利用公式： 最终获利=销售利润-运输成本-建造成本， 利用 lingo 软件求得最优解， 获得一个最佳的五年配送计划； 针对问题（3） ，在第二问的基础上，引入了是否在第 j 城市建立销售中心的 0-1 变量，利用公式：最终获利=销售利润-运输成本-建造成本，利用 lingo 软件 求得最优解，获得一个获利最高的五年配送计划； 针对问题（4） ，依图 1 划分为两个区域，以 62-4-39-38 的公路为边界，左边 的为一个地区，右边的为一个地区。对不同的地区分别求解最低成本，最终得到 最佳的 5 年产品销售、配送计划。结果为：第一个地区在 21、25 城市建设 2 个 配送中心，在 12、13、21、22、23、23、25 城市设立直销中心；第二个地区在 16、53、57 城市建设配送中心，在 5、6、16、49、50、51、52、53、56、57、 58、59、61 城市设立直销中心。
3）综上所述所得的最优化模型 （1）目标函数
92 92 20
max⁡
������ ������ =1
300 ∗ 5 ∗ 12 ∗ ������������ ∗ ������������ −
������ =1
300000 ∗ ������������ +
������ =1
120 ∗ ������������������ ∗ ������ ������ ,������ ∗ ������������
5 模型的建立与求解
5.1 建模准备 5.2 问题（1）的解决——求解最短路模型 1.通过附件 1 中数据绘制出城市路线图（见图一） ，运用 Floyd 算法计算出 城市间最短路径矩阵 Dij；然后与 20 个城市中的营销中心的销量矩阵相乘。运用 min 函数与 find 函数，找出分配中心的建立点以及最小费用。 （1）目标函数的确立 为使得运输成本降低，只要使配送中心前往 20 个直销中心的总运输成本降 低，所以求公式：运输成本=运输路径*运输吨数*单位吨公里成本；的最小值。 （2）约束条件的确立 利用只有在建立了直销中心的市区才有产品销售量这一隐含条件，引入 0-1 变量 Qj； （3）综上所述所得的最优化模型 目标函数：
2 问题分析
2.1 研究现状综述 隋崴崴等[1]在对物流配送中心选址问题进行理论综述和分析的基础上 ,以综 合运输成本最低为基本约束条件构建了选址的数学模型,并通过启发式算法求得 了模型的最优解,得出了各工厂对各物流配送中心以及物流配送中心到各货物配 送需求点的最佳配送数量,并通过一个实例对模型进行验证和分析,结果证明该模 型和算法可以有效优化物流系统的运作和提高运行效益。 李婷婷等[2]在综合考虑存储费用、运输费用、固定建设成本的前提下，建立 了使总费用最低的配送中心选址问题的数学模型， 分别给出了精确算法和近似算 法，并通过具体的案例进行了求解及分析。 潘夏霖[3] 选择向零售商配送次数这个重要变量来研究物流配送中心选址及 库存管理问题.首先构建了基于向零售商配送次数的物流配送中心选址及库存管
������. ������.
������������������ = 1
������ =1
������������������ ≤ ������������
2.该模型运用了规划问题， 运用了 Lingo 程序得到了在建立三个配送中心时， 可以得到 5 年产品配送计划的最小成本，由结果可知三个配送中心分别建在第 8 个城市、第 11 个城市和第 69 个城市，5 年产品配送计划成本最小，具体结果见 表 1。 表 1.配送中心选址及最小成本 8 配送中心选址 11 最小成本 254（万元） 69
最后，对所建模型的特点进行了评价，对模型的应用范围进行了推广 本文使用 MATLAB 软件和 LINGO 软件计算。 关键词： Floyd 算法 线性规划(0-1 规划) 纯整数线性规划 配送中心选址 最短路模型
1 问题重述
某省共有 92 个城市，城市位置、标号，公路交通网数据见附件 1。 某企业在该省标号前 20 位的城市建立了直销中心，各直销中心负责所在城 市的销售，销售量见附件 1。该企业欲在该省设立一个配送中心负责给直销中心 配送产品，配送中心建设成本为 30 万元。每吨公里运费 2 元，每吨产品的销售 利润为 300 元。 试建立数学模型分析研究下面的问题： （1）为了降低运输成本，配送中心应选在哪个城市？ （2）请为该企业制定一个成本最小的 5 年产品配送计划：应设立几个配送 中心、各设在何处？ （3） 如果该企业考虑重新为 20 个直销中心选址， 请给出最佳的 5 年产品销 售、配送计划。 （4）假定没有直销中心城市的客户按就近的原则购买产品，请重新考虑问 题（3） 。
配送中心选址
摘 要
本文针对配送中心的选址问题进行了研究。 在设计配送中心选址问题方案时，所追求的目标应该是总费用最小，因此应 该建立优化模型来解决。遵循从简单到复杂、从特殊到一般，循序渐进，逐步贴 近实际情况的策略进行建模。 针对问题（1） ，先对 92 个城市的位置进行绘图分析,进而在 92 个城市之间 建立最短路模型,将最短路和该省标号前 20 位的城市的产品销售量结合,求解出 配送中心建立在各个城市中对前 20 位城市的运输成本,得到成本由高到低的排序, 最终可得建立在 35 号城市,运输成本最低。 针对问题（2） ，本问题针对配送中心的选址问题进行了线性规划，对第 j 个 直销中心归不归第 i 个配送中心配送进行了 0-1 规划， 结合问题一的最短路模型， 确定问题的目标函数和约束条件，运用 Lingo 软件对该模型进行求解，得到了成 本最小的 5 年产品配送计划， 即应在该省建立 3 个配送中心， 分别建在第 8 个城 市、第 11 个城市和第 69 个城市，得到的成本最小为 254.033 万元。 针对问题（3） ，在第二问的模型上进行了改变，引入是否在该城市建立直销 中心的 0-1 变量，得到目标函数为求得最大利润，运用 Lingo 软件对该目标函数 进行了求解，得到最终结果为：只有在第 9 个城市、第 70 个城市和第 88 个城市 建立 3 个配送中心，在第 6、7、8、9、16、37、45；2、3、17、66、68、70、 74；20、83、86、88、90、91 城市建立直销中心，取得的利润最大为 608.6152 万元。 针对问题（4） ，依据图 1 划分为两个区域，以 62-4-39-38 的公路为边界，左 边的为一个地区，右边的为一个地区。对不同的地区分别求解最低成本，最终得 到最佳的 5 年产品销售、配送计划。结果为：第一个地区在 21、25 城市建设 2 个配送中心，在 12、13、21、22、23、23、25 城市设立直销中心；第二个地区 在 16、53、57 城市建设配送中心，在 5、6、16、49、50、51、52、53、56、57、 58、59、61 城市设立直销中心。
（2)约束条件
92
������������������ = ������������ ������. ������.
������ =1 92
������������ = 20
������ =1
������������������ ≤ ������������ ������������������ ≤ ������������
（1）目标函数
92 20
������������������
���பைடு நூலகம்�� ������ =1
300000 ∗ ������������ +
������ =1
120 ∗ ������������������ ∗ ������ ������ ,������ ∗ ������������
（2)约束条件
92