利用极坐标系计算二重积分

( 3) 变换 T : D′ → D 是一对一的，则有 是一对一的，
∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫∫ f [ x(u, v ), y( u, v )] J (u, v ) dudv .
D D
例1 计算 ∫∫ e
D
y x y+ x
dxdy, 其中D由 x 轴、y轴和直
所围成的闭区域． 线 x + y = 2 所围成的闭区域．y
0 1 0
f ( x , y )dy 化为极坐标形式的二次积分
∫∫ e
D
x2 y2
dxdy = ∫ dθ∫ e
0 0
2π
a
r2
rdr
= π(1 e
a2
).
例3
求广义积分∫0 e
2
∞
x2
dx .
2
解 D1 = {( x , y ) | x + y ≤ R }
2
D2 S
D2 = {( x , y ) | x + y ≤ 2 R }
2 2 2
D1
D S2 D
(θ ) β = ∫α dθ ∫0 f ( r cosθ , r sinθ )rdr . 2π = dθ (θ ) f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
∫
0
∫
0
（在积分中注意使用对称性） 在积分中注意使用对称性） 对称性
思考题
交换积分次序: 交换积分次序
I = ∫ dθ∫
定理 设 f ( x , y ) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续， 连续，变换 T : x = x ( u, v ), y = y( u, v ) 将 uov 平面上的闭区域 D′ 变为 xoy 平面上的 D， 且满足 (1) x ( u, v ), y( u, v ) 在 D′ 上具有一阶连续偏导数 ； ( 2) 在 D′ 上雅可比式 ( x, y) J ( u, v ) = ≠ 0; ( u, v )
θ = arccos
r a
练习题
一、填空题: 填空题: 1 、 将 ∫∫ f ( x , y )dxdy , D 为 x 2 + y 2 ≤ 2 x , 表示为极坐
D
标形式的二次积分, 标形式的二次积分,为_____________________. 2 、 将 ∫∫ f ( x , y )dxdy , D 为 0 ≤ y ≤ 1 x , 0 ≤ x ≤ 1, 表
D
r = a(1 + cosθ )和圆r = a 所围的面积（取圆外部）． 所围的面积（
解
∫∫
D π 2 π 2
x2 + y2dσ
a(1+cosθ)
= ∫ dθ∫
π 2 π 2
a
r rdr
1 = ∫ a3[(1 + cos θ)3 1]dθ 3
22 π = a ( + ). 9 2
3
三、二重积分的换元法
2
所求广义积分
∫0 e
∞
x2
π . dx = 2
例4
计算 ∫∫ ( x + y )dxdy ，其 D 为由圆
2 2 D
x 2 + y 2 = 2 y ， x 2 + y 2 = 4 y 及直线 x 3 y = 0 ， y 3 x = 0 所围成的平面闭区域.
解
y 3x = 0 θ 2 =
其中 a > 0, b > 0, r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π .
在这变换下 D → D′ = {( r , θ) 0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2π},
( x, y) J= = abr . ( r ,θ )
J 在 D′ 内仅当 r = 0 处为零， 处为零， 故换元公式仍成立， 故换元公式仍成立，
λ →0 i 1 =
θ = θi
= ∫∫ f ( r cos θ, r sin θ)rdrdθ
D
o
A
1 1 2 1 2 σ i = ( ri + ri ) θ i ri θ i = ( 2ri + ri )ri θ i 2 2 2
1 ri 1 2 ) = ri ri θi + (ri ) θi = ri ri θi (1 + 2 ri 2
D
示为极坐标形式的二次积分为______________. 示为极坐标形式的二次积分为______________. 3 、 将 ∫ dx ∫
0 2 3x x
x2
f ( x 2 + y 2 )dy 化为极坐标形式的二
次积分为______________________. 次积分为______________________. 4 、 将 ∫ dx ∫
故
∫∫ e
D
2
y x y+ x
1 dxdy = ∫∫ e dudv 2 D′
u v
u v
1 1 2 = ∫0 dv ∫ ve du = ∫ (e e 1 )vdv = e e 1 . 2 2 0
v
例2
计算 ∫∫
D
x2 y2 1 2 2 dxdy, 其中D 为 a b
x2 y2 所围成的闭区域． 椭圆 2 + 2 = 1 所围成的闭区域． a b x = ar cos θ, 解 作广义极坐标变换 y = br sin θ,
∴∫∫
D
x2 y2 2 2 1 2 2 dxdy = ∫∫ 1 r abrdrdθ = πab. 3 a b D′
小结
二重积分在极坐标下的计算公式
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ D f (r cosθ , r sinθ )rdr. = ∫ dθ ∫
β 2 (θ ) α 1 ( θ )
R
S = {( x , y ) | 0 ≤ x ≤ R,0 ≤ y ≤ R}
2R
{ x ≥ 0, y ≥ 0}
显然有 D1 S D2
∵ e
x2 y2
> 0,
∴
∫∫ e
D1
x2 y2
dxdy ≤ ∫∫ e
S
x2 y2
dxdy ≤ ∫∫ e
D2
x2 y2
dxdy .
又∵ I =
∫∫ e
D
π
2
0
dθ ∫
1
1 sin θ + cosθ
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
例2
计算 ∫∫ e
D
x2 y2
dxdy ，其中 D 是由中心在
原点， 的圆周所围成的闭区域. 原点，半径为a 的圆周所围成的闭区域
解
在极坐标系下
D： D： 0 ≤ r ≤ a ，0 ≤ θ ≤ 2π .
r = a 2 cos 2θ 由 , 得交点 A = ( a, π ) , r=a 6
所求面积σ =
D1
r = a 2 cos 2θ ,
∵ D=2D1
a 2 cos 2 θ
∫∫ dxdy = 2∫∫ dxdy
D
= 2 ∫ dθ ∫
0
π 6
a2 π = ( 3 ). 2 3
D1
a
rdr
例7
计算 ∫∫ x2 + y2dσ . 其中D 是由心脏线
π 0 ≤ θ ≤ 2π,
r = (θ )
D
0 ≤ r ≤ (θ ).
o
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
= ∫ dθ ∫
0
2π
(θ )
0
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
极坐标系下区域的面积 σ =
∫∫ rdrdθ .
D
例 1 写出积分∫∫ f ( x , y )dxdy的极坐标二次积分形
二重积分化为二次积分的公式（ 二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
r = 1 (θ)
r = 2 (θ)
α ≤θ ≤ β,
D
1 (θ ) ≤ r ≤ 2 (θ ).
o
β
α
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
A
= ∫ dθ ∫
α
β
2 (θ )
1 (θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr.
二、利用极坐标系计算二重积分
∫∫ f ( x , y )dxdy
D
r = ri + ri
θ = θ i + θ i
σ i
D
= lim ∑ f (ξ i , ηi )xi yi
λ →0 i 1 = n
n
r = ri
= lim ∑ f ( ri cos θ i , ri sin θ i )ri ri θ i
π 2 π 2 a cos θ 0
f ( r , θ)dr ( a ≥ 0).
思考题解答
π π ≤θ≤ D: 2 2 , 0 ≤ r ≤ a cos θ
I = ∫ dr ∫
0 a r arccos a r arccos a
y
θ = arccos
D
r a r = a cosθ
a x
o
f ( r ,θ )dθ .
D
式，其中积分区域
D = {( x, y ) | 1 x ≤ y ≤ 1 x 2 , 0 ≤ x ≤ 1}.
x = r cosθ 解 在极坐标系下 y = r sinθ
x2 + y2 = 1
1 直线方程为r = , sinθ + cosθ
所以圆方程为 r = 1,
x+ y =1
∫∫ f ( x , y )dxdy= ∫
o
x
例 6 求曲线 ( x 2 + y 2 )2 = 2a 2 ( x 2 y 2 ) 所围图形最右边一块的面积. 和 x 2 + y 2 ≥ a 2 所围图形最右边一块的面积
解 在极坐标系下
x 2 + y 2 = a 2 r = a,
( x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 ( x 2 y 2 )
D2
x2 y2
∵ I1 < I < I 2 ,
R π π 2 R2 x2 2 R2 ∴ (1 e ) < ( ∫ e dx ) < (1 e ); 0 4 4
π π 当 R → ∞ 时, I 1 → , I 2 → , 4 4 π 即( ∞ e x dx )2 = π , 故当 R → ∞ 时, I → , ∫0 4 4
V1 = ∫∫ 4a 2 x 2 y 2 dxdy
D1
=∫
π 2 a sin θ 2 dθ 0 0
∫
4a 2 r 2 rdr
x
4 3 = a ( 3π 4) D1 : x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 2ay y 2 . 3 y
16 3 V = 4V1 = a ( 3π 4) . 3
注意：被积函数和区域的对称性. 注意：被积函数和区域的对称性
区域特征如图
r = 1(θ )
D
α ≤θ ≤ β,
r = 2 (θ )
1 (θ ) ≤ r ≤ 2 (θ ).
β
o
α
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
= ∫ dθ ∫
α
β
2 (θ )
1 (θ )
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
二重积分化为二次积分的公式（ 二重积分化为二次积分的公式（２）
平面上同一个点， 平面上同一个点，直角 坐标与极坐标之 x = r cos θ, 间的关系为 y = r sin θ.
上式可看成是从直角坐 标平面 roθ 到直角 θ 的一种变换， 坐标平面 xoy 的一种变换， 即对于 roθ 平
通过上式变换， 面上的一点 M ′( r , θ)，通过上式变换，变 成 xoy 平面上的一点 M ( x , y )，且这种变 换是一对一的． 换是一对一的．
解 令 u = y x,
v = y + x,
D
x+ y=2
vu , 则x= 2
v+u y= . 2
o
v
u = v
x
v=2
D → D′, 即 x = 0 → u = v; y = 0 → u = v; x + y = 2 → v = 2.
D′
u=v
o
u
1 1 ( x, y) 2 2 1 J= = = , 1 1 ( u, v ) 2 2 2
π
3
x 2 + y 2 = 4 y r = 4 sinθ
6 x 2 + y 2 = 2 y r = 2 sinθ
x 3y = 0 θ1 =
π 3
π
∫∫ ( x
D
2
+ y )dxdy = ∫
2
π 6
π dθ ∫ r rdr = 15( 3 ). 2 sin θ 2
4 sin θ 2
求由球面x 与柱面x 所围立体的体积。 例5 求由球面 2+y2+z2=4a2与柱面 2+y2=2ay所围立体的体积。 所围立体的体积 解： 计算第一挂限部分体积 z y
S
R 0
x2 y2
dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdy
R y2
=∫ e
x2
dx ∫ e
0
dy = ( ∫ e
0
R
x2
dx ) ;
2
I1 = ∫∫ e
D1
π 2
x2 y2
dxdy
r2
= ∫ dθ ∫ e
0 0
R
π R2 rdr = (1 e ); 4 π 2 R2 ); dxdy = (1 e 4
同理 I 2 = ∫∫ e
区域特征如图
r = (θ )
α ≤θ ≤ β,
0 ≤ r ≤ (θ ).
β
o
D
α
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
= ∫ dθ ∫
α
β
(θ )
0
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
二重积分化为二次积分的公式（ 二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征如图