标准曲线最小二乘法拟合与相关系数

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最小二乘法曲线拟合的基本概念

最小二乘法曲线拟合是一种数学方法，旨在找到一条曲线，使得该曲线尽可能地接近给定的数据点。

这种方法广泛应用于各种领域，如物理学、化学、经济学等，用于建立变量之间的数学模型。

最小二乘法的基本思想是，对于一组观测数据，我们可以构建一个误差平方和，表示每个观测值与拟合曲线之间的差异的平方。

最小二乘法旨在找到一条曲线，使得该曲线的拟合程度最小化误差平方和。

在进行最小二乘法曲线拟合时，需要确定曲线的方程。

常见的曲线方程包括直线、多项式、指数函数等。

以直线拟合为例，我们可以假设数据点之间的关系可以用一条直线来描述，即y = ax + b。

其中，a 和b 是需要拟合的参数，可以通过最小二乘法来求解。

最小二乘法的计算过程包括以下步骤：
1. 列出观测数据点的坐标。

2. 假设数据点之间的关系可以用一条曲线来描述，确定曲线的方程。

3. 计算每个数据点到拟合曲线的距离，并将其平方。

4. 将所有平方距离相加，得到误差平方和。

5. 对误差平方和求导，并令导数为零，解出参数的值。

6. 使用求出的参数值，得到拟合曲线的方程。

通过最小二乘法曲线拟合，我们可以得到一条最佳拟合曲线，用于描述数据点之间的关系。

最小二乘法不仅能够提高模型的精度，而且还可以帮助我们更好地理解数据点之间的规律和趋势。

标准曲线的线性范围

标准曲线的线性范围标准曲线的线性范围是指在一定浓度范围内，检测方法对浓度与响应值之间呈线性关系的范围。

在实际分析中，线性范围的确定对于准确测定样品的浓度至关重要。

本文将详细介绍标准曲线的线性范围的概念、确定方法以及实际应用。

标准曲线的线性范围概念。

标准曲线的线性范围是指在一定浓度范围内，检测方法对浓度与响应值之间呈线性关系的范围。

在该范围内，样品的浓度与检测方法的响应值成正比，可以通过线性方程进行描述。

一般来说，线性范围越宽，检测方法对样品浓度的测定范围也就越广。

确定方法。

确定标准曲线的线性范围的方法有多种，常用的方法包括逐点法、最小二乘法、相关系数法等。

逐点法是最直观的确定方法，即通过一系列标准溶液的浓度与检测方法的响应值进行绘图，观察曲线的线性范围。

最小二乘法则是通过最小化实测值与拟合值之间的误差平方和来确定线性范围。

相关系数法则是通过计算相关系数来确定线性范围，相关系数越接近于1，线性范围越宽。

实际应用。

在实际分析中，确定标准曲线的线性范围对于准确测定样品的浓度至关重要。

首先，确定线性范围可以帮助选择合适的标准溶液浓度范围，避免溶液浓度过高或过低而导致测定结果不准确。

其次，确定线性范围可以帮助评价检测方法的灵敏度和准确性，为方法的优化提供依据。

最后，确定线性范围可以帮助验证检测方法的可靠性，确保在一定浓度范围内测定结果准确可靠。

总结。

标准曲线的线性范围是确定检测方法对浓度与响应值呈线性关系的范围，其确定方法包括逐点法、最小二乘法、相关系数法等。

在实际分析中，确定线性范围对于准确测定样品的浓度至关重要，可以帮助选择合适的标准溶液浓度范围、评价检测方法的灵敏度和准确性，以及验证检测方法的可靠性。

因此，对于每种检测方法，都应该进行严格的线性范围确定，确保测定结果的准确可靠性。

最小二乘法与曲线拟合-PPT

点(xi,yi)带入y=(x) ，便得到以a0,a1,…,am为未知
量的矛盾方程组
0 + 1 1 + 2 12 + ⋯ + 1 = 1
其矩阵形式为
Ԧ =
0 + 1 2 + 2 22 + ⋯ +
其中
1
= 1
⋮
1
1
2
⋮

12
22
⋮
2
⋯
⋯
⋱
最小二乘法与曲线拟合
§5.0 问题的提出
如果实际问题要求解在[a,b]区间的每一点都“很
好地” 逼近f(x)的话，运用插值函数有时就要失败。
另外，插值所需的数据往往来源于观察测量，本身有
一定的误差。要求插值曲线通过这些本身有误差的点，
势必使插值结果更加不准确。
如果由试验提供的数据量比较大，又必然使得插值
不为零，从而有rankA=m＋1。由引理2知，正则方程
组有唯一解。
证毕
四、最小二乘法拟合曲线的步骤
1..通过观察、分析得到拟合曲线的数学模型，或
根据经验公式确定数学模型。
2.将拟合曲线的数学模型转换为多项式。
3.写出矛盾方程组。
4.写出正则方程组。（可由多项式模型直接得到）
5.求解正则方程组，得到拟合曲线的待定系数。
多项式的次数过高而效果不理想。
从给定的一组试验数据出发，寻求函数的一个近似
表达式y=(x)，要求近似表达式能够反映数据的基本
趋势而又不一定过全部的点(xi,yi)，这就是曲线拟合
问题，函数的近似表达式y=(x)称为拟合曲线。本章
介绍用最小二乘法求拟合曲线。
§5.1 用最小二乘法求解矛盾方程组

化学分析中的标准曲线绘制方法

化学分析中的标准曲线绘制方法在化学分析中，标准曲线是一种非常重要的方法，用于量化分析样品中某种物质的含量。

标准曲线的绘制是分析师在实验室工作中必备的技能之一。

它不仅能够提高分析数据的准确性，还可以帮助我们了解待测物质与信号之间的关系，从而更好地理解样品中的化学成分。

首先，我们需要明白标准曲线的基本原理。

标准曲线是通过制备一系列不同浓度的标准溶液，测量其对应的信号强度，并将这些数据绘制在一张图上得到的。

通常情况下，我们认为标准溶液中待测物质的浓度与信号强度之间存在线性关系。

因此，标准曲线呈现为一条直线。

在实验中，首先我们需要制备一系列的标准溶液。

这些标准溶液的浓度范围应该尽量覆盖我们要测试的样品中待测物质的浓度范围。

制备标准溶液时，我们需要注意控制好实验条件，确保每个标准溶液的制备过程相同，这样才能保证标准曲线的可靠性。

此外，我们还需要使用纯净的溶剂和准确的浓度计量器具，以保证标准溶液的准确性。

接下来，我们需要使用适当的仪器仪表对这些标准溶液进行测量。

仪器的选择应根据待测物质的属性来确定。

如对于紫外-可见吸收光谱分析，我们可以使用紫外-可见分光光度计，通过测量标准溶液在特定波长下的吸光度来获取信号强度。

对于色谱分析，我们可以使用气相色谱仪或液相色谱仪，根据样品中化合物的保留时间来获得信号强度。

不同仪器仪表对应的信号强度也是不同的，因此在绘制标准曲线时需要注意选择适当的仪器仪表。

测量完标准溶液各个浓度对应的信号强度后，我们需要将这些数据绘制在一张图上。

横轴通常表示待测物质的浓度，纵轴表示信号强度。

对于线性关系，我们可以使用最小二乘法进行数据拟合，得到一条直线。

拟合直线的斜率和截距分别代表了信号强度与浓度之间的比例关系和零浓度时的信号强度。

这样，当我们需要测量待测样品中待测物质的浓度时，只需要通过测量其对应的信号强度，然后利用拟合直线的方程进行计算即可。

需要注意的是，绘制标准曲线时应尽量采用多个浓度点，以提高拟合直线的准确性。

大学分析化学课件—标准曲线的线形方程拟合

假设求得：a0 ；a1 代入 y’i=a0 +a1xi 得直线方程。
实测值yi与计算值 y’i之间偏差越小，拟合的越好，偏差平方和最小。
2
m
m
sa0 , a1 yi yi' yi a0 a1xi 2
i 1
i 1
2023/6/28
最小二乘法拟合
S
m
S
m
2
a0
i 1
yi a0 a1 xi
2023/6/28
内容选择：
• 第一节定量分析中的误差 • 第二节分析结果的数据处理 • 第三节定量分析数据的评价 • 第四节有效数字及其运算规则 • 第五节标准曲线的线性方程拟合
2023/6/28
结束
第二章误差与分析数
据处理
第五节标准曲线的线形
方程拟合
一、最小二乘法拟合的统计学原理
二、线形方程的相关系数
三、最小二乘线性拟合程序
2023/6/28
一、最小二乘法拟合的统计学原理
一元线性：y=a0 +a1x
实验点：（yi，xi）（i=1，2，3，…….，m）
实验点数 m＞未知数个数，矛盾方程组，
m i 1
yi
将实验数据代入，即可求得 a0，a1；
2023/6/28
二、相关系数 R
R lxy l xx l yy
m
lxy xi yi mxy i 1
lyy yi2 my 2 i 1
R=1 ；存在线性关系，无
实验误差；
R=0；毫无线性关系；
0;
2
a1
i 1
yi a0 a1 xi xi 0
a0
a1 m

excel拟合曲线用的最小二乘法

Excel拟合曲线用的最小二乘法1. 介绍Excel作为一款常用的办公软件，被广泛应用于数据分析和处理，而拟合曲线是数据分析中常用的方法之一。

拟合曲线用的最小二乘法是一种常见的拟合方法，通过最小化数据点与拟合曲线之间的距离来找到最佳拟合曲线，从而对数据进行预测和分析。

在本文中，我将从深度和广度的角度来探讨Excel拟合曲线用的最小二乘法，带你深入探索这一主题。

2. 最小二乘法的原理在Excel中进行曲线拟合时，最小二乘法是一种常用的拟合方法。

其原理是通过最小化残差平方和来找到最佳拟合曲线。

残差是指每个数据点到拟合曲线的垂直距离，最小二乘法通过调整拟合曲线的参数，使得残差平方和最小化，从而得到最佳拟合曲线。

在Excel中，可以利用内置函数或插件来实现最小二乘法的曲线拟合，对于不同类型的曲线拟合，可以选择不同的拟合函数进行拟合。

3. Excel中的拟合曲线在Excel中进行拟合曲线时，首先需要将数据导入Excel，然后利用内置的数据分析工具或者插件来进行曲线拟合。

通过选择拟合函数、调整参数等操作，可以得到拟合曲线的相关信息，如拟合优度、参数估计值等。

可以根据拟合曲线的结果来对数据进行预测和分析，从而得到对应的结论和见解。

4. 个人观点与理解对于Excel拟合曲线用的最小二乘法，我认为这是一种简单而有效的数据分析方法。

它能够快速对数据进行拟合，并得到拟合曲线的相关信息，对于数据的预测和分析具有一定的帮助。

然而，也需要注意到拟合曲线并不一定能够准确描述数据的真实情况，需要结合实际背景和专业知识进行分析和判断。

在使用最小二乘法进行曲线拟合时，需要注意数据的可靠性和拟合结果的可信度，以避免出现不准确的结论和偏差的情况。

5. 总结通过本文的探讨，我们对Excel拟合曲线用的最小二乘法有了更深入的了解。

最小二乘法的原理、Excel中的实际操作以及个人观点与理解都得到了充分的展示和探讨。

在实际应用中，需要结合具体情况和专业知识来灵活运用最小二乘法进行曲线拟合，从而得到准确的分析和预测结果。

标准曲线拟合原则

标准曲线拟合原则
标准曲线拟合原则是指在拟合实验数据时，选择合适的拟合函数，并通过将实验数据点与拟合曲线进行比较，使得拟合曲线能够最好地描述实验数据的趋势和规律。

具体来说，标准曲线拟合原则包括以下几个方面：
1. 选择合适的拟合函数：根据实验数据的特点和目的，选择合适的拟合函数，如线性函数、多项式函数、指数函数等。

通常，选择的拟合函数应该与实验数据的趋势和规律保持一致。

2. 最小二乘法拟合：使用最小二乘法进行拟合，即使得拟合曲线与实验数据点之间的误差平方和最小。

通过求解最小二乘法拟合的优化问题，可以得到拟合曲线的参数值。

3. 拟合曲线与实验数据点的比较：将拟合曲线与实验数据点进行比较，评估拟合的优度。

常用的评估指标包括残差平方和、相关系数、回归系数等。

如果拟合曲线能够较好地描述实验数据的趋势和规律，拟合的效果就较好。

4. 验证拟合结果的可靠性：进行交叉验证或重复实验，验证拟合结果的可靠性。

如果拟合结果能够稳定地预测和解释新的实验数据，说明拟合结果比较可靠。

总的来说，标准曲线拟合原则强调在拟合实验数据时选择合适的拟合函数，并通过比较拟合曲线与实验数据点之间的误差和
拟合的优度评估指标，确保拟合结果能够较好地描述实验数据的趋势和规律。

曲线最小二乘法拟合

最小二乘法拟合曲线算法1、概述给定数据点P(x i ,y i )，其中i=1,2,…,n 。

求近似曲线y= φ(x)。

并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。

近似曲线在点pi 处的偏差δi = φ(x i )-y ，i=1,2,...,n 。

按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，这种方法为最小二乘法，偏差平方和公式为：min σ2 = (φ(x i −y i ))2ni =1n i =12、推导过程1）设拟合多项式为：y = a 0+ a 1x +⋯+a k x k2）各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方如下:R 2= [y i −(a 0+ a 1x +⋯+a k x k )]2ni =13）多项式系数为学习对象，为了求得符合条件的系数值，对上面等式的a i 分别求导，得：−2 y i − a 0+ a 1x +⋯+a k x k =0ni=1−2 y i − a 0+ a 1x +⋯+a k x k x =0ni=1……−2 y i − a 0+ a 1x +⋯+a k x k x k =0ni=14）将等式移项化简，得：a 0+ a 1x +⋯+a k x k = y i ni =1n i =1a 0+ a 1x +⋯+a k x k x = y i x ni =1n i =1……a 0+ a 1x +⋯+a k x k x k = y i x k ni =1n i =15）依上式得矩阵为：x i0 ni=1⋯x i kni=1⋮⋱⋮x i k ni=1⋯x i2kni=1a0⋮a k=y i x i0ni=1⋮y i x i kni=1上边等式左边为1+K阶对称矩阵，解此矩阵方程即可得到曲线系数a k6）对于AX=B，A为对称矩阵，对称矩阵可以分解为一个下三角矩阵、一个上三角矩阵（下三角矩阵的转置）和一个对角线矩阵相乘。

即A=LDL T所以AX=LDL T X=B，令DL T X=Y -> LY=B，其中L为下三角矩阵，且已知，可求出Y。

曲线拟合的最小二乘法

一、曲线拟合是什么？曲线拟合也就是求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处, 它既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较大的波动, 能反映被逼近函数的特性,使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小。

设函数y=f(x)在m个互异点的观测数据为求一个简单的近似函数φ(x)，使之“最好”地逼近f(x),而不必满足插值原则。

这时没必要取φ(xi) = yi, 而要使i=φ(xi)yi 总体上尽可能地小。

这种构造近似函数的方法称为曲线拟合,称函数y=φ(x)为经验公式或拟合曲线。

如下为一个曲线拟合示意图。

清楚什么是曲线拟合之后，我们还需要了解一个概念——残差。

曲线拟合不要求近似曲线严格过所有的数据点，但使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到总体上尽可能地小。

若令（1-1）则为残向量（残差）。

“使（1-1）尽可能地小”有不同的准则（1）残差最大值最小（2）残差绝对值和最小（绝对值的计算比较麻烦）（3）残差平方和最小（即最小二乘原则。

计算比较方便，对异常值非常敏感，并且得到的估计量具有优良特性。

）二、最小二乘法是什么？个人粗俗理解：按照最小二乘原则选取拟合曲线的方法,称为最小二乘法。

百度百科：最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。

它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

最小二乘法还可用于曲线拟合。

其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

三、求解最小二乘法（包含数学推导过程）我们以最简单的线性模型来解释最小二乘法。

什么是线性模型呢？监督学习中，如果预测的变量是离散的，我们称其为分类（如决策树，支持向量机等），如果预测的变量是连续的，我们称其为回归。

回归分析中，n个自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为一/多元线性回归分析。

标准曲线的相关系数

标准曲线的相关系数相关系数是用来衡量两个变量之间关系强度的统计指标，常用于描述变量之间的线性关系程度。

在实际数据分析中，相关系数的计算和解释对于理解变量之间的关系至关重要。

本文将重点介绍标准曲线的相关系数，以及相关系数的计算方法和解释。

首先，我们来了解一下相关系数的概念。

相关系数是一个介于-1和1之间的数值，它反映了两个变量之间的线性关系程度。

当相关系数为1时，表示两个变量之间存在完全的正相关关系；当相关系数为-1时，表示两个变量之间存在完全的负相关关系；当相关系数为0时，表示两个变量之间不存在线性关系。

相关系数的绝对值越接近1，说明两个变量之间的线性关系越强。

接下来，我们将介绍标准曲线的相关系数的计算方法。

标准曲线是指经过标准化处理后的曲线，其均值为0，标准差为1。

计算标准曲线的相关系数可以采用皮尔逊相关系数的计算公式，即。

r = Σ((X X̄)(Y Ȳ)) / √(Σ(X X̄)²Σ(Y Ȳ)²)。

其中，r表示相关系数，X和Y分别表示两个变量的取值，X̄和Ȳ分别表示两个变量的均值。

通过这个公式，我们可以计算出标准曲线的相关系数，从而了解标准曲线之间的线性关系程度。

在解释标准曲线的相关系数时，我们需要注意一些细节。

首先，相关系数的取值范围在-1到1之间，可以通过相关系数的大小来判断两个变量之间的线性关系程度。

其次，相关系数只能反映两个变量之间的线性关系，对于非线性关系无法进行准确描述。

此外，相关系数的正负号表示了两个变量之间的正相关或负相关关系，但并不代表因果关系。

因此，在解释相关系数时，需要谨慎对待，避免错误的推断和解释。

总之，标准曲线的相关系数是衡量两个变量之间线性关系程度的重要统计指标。

通过计算和解释相关系数，我们可以更好地理解变量之间的关系，为实际数据分析提供有力的支持。

希望本文能够帮助读者更好地理解相关系数的概念和应用，提高数据分析的准确性和可靠性。

标准曲线,拟合曲线与相关系数

相关系数、标准曲线与回归方程相关系数（r）是衡量两个变量之间的相互关系的一个参数。

两个变量之间的相互关系大体上可以分为3种，正相关、负相关和无关，如果细分还有完全正相关r=1和完全负相关r=-1。

一般说来，相关系数r的绝对值大于0.8就可以认为两个变量有很强的相关性。

相关系数的求解方程很复杂【表达式如下】，很少有人专门笔算，用很多软件和带有统计功能的计算器都能计算。

在大家熟悉的Excel里面就是函数“CORREL”。

从道理上说，首先求得两个变量相关系数，确定了两个变量之间的相互关系，在此之后才能能确定两个变量之间是一种什么关系，然后去建立回归方程，但是绝大多数计算时候并不需要一个这样的过程。

比如液相中的样品浓度和响应值之间的关系很明显就是一种正先关，稀释倍数与响应值之间很明显就是一种负相关。

这样做的确省事多了。

液相中常用的外标法所用的曲线常被称为是标准曲线，其实不是这样的。

标准曲线（standard curve）是由标准品含量和其产生的响应值组成的坐标点连接而成的线，几乎不能画成直线。

而外标法用的是拟合曲线（fit curve），是通过最小二乘法计算出来的，都是直线。

另外，标准曲线都会通过所有的标准点，而拟合曲线几乎不会通过任何一个标准点（如果你的保留足够多的有效数字）。

标准曲线在标准点上是没有计算误差的，而把标准点的横坐标带入拟合曲线方程是很少能得到该点纵坐标，如果有幸计算值刚好等于纵坐标的值，也不要高兴太早，因为这种结果是由于有效数字保留近似而成的。

标准曲线没有拟合曲线方便，当时不是所有拟合出来的曲线都能用，必须要与标准曲线很吻合才能用，什么样的情况才算很吻合呢？这个就需要用到相关系数r了。

一般药典规定液相方法的r的绝对值不得小于0.998，也就是r的平方不小于0.996。

常用的Excel回归给出的是r的平方。

拟合曲线是一条标准的直线，是直线就会很容易得出他的方程，回归方程就是这条曲线的方程。

第五章最小二乘法和曲线拟合

L
i 1 n
1 1 y f ( xi , C ) 2 exp{ [ i ]} 2 i 2 i 1 (5.1.7)
1 n [ yi f ( xi , C )]2 exp{ } n2 2 (2 ) 1... n 2 i 1 i
最大似然法要求上式取极值，即要求指数项中
残差平方和表为
R i2 V TV
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2013-7-29 13
正则方程可表为
F T FC F T Y
其中
n T F F x i
(5.2.5)
xi T FY 2 xi
xi x y i i
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(5.2.3)
总目录
动画演示
2013-7-29
11
另一形式为
简记几个表达式
1 1 x xi , y yi , L2 ( xi x ) 2 , L2y ( yi y ) 2 x n n L ( x x )( y y ) x y 1 x y i i i i i i xy n
合值由最小二乘法的准则知
R i [ yi f ( xi ; C )]2
i 1 2 i i i 1 n n
(5.1.5)
取最小值。由极值条件有
0 ck f ( xi ; C ) 2i [ yi f ( xi ; C )] c , k 1, 2,..., m i i i k
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2013-7-29 10
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标准曲线的相关系数

标准曲线的相关系数标准曲线的相关系数是指在统计学中用来衡量两个变量之间相关程度的指标。

它可以帮助我们了解变量之间的关系强弱，对于数据分析和预测具有重要的意义。

在实际应用中，我们常常需要计算相关系数来评估变量之间的相关性，从而为决策提供依据。

本文将介绍标准曲线的相关系数的计算方法和应用场景，帮助读者更好地理解和运用相关系数。

首先，我们来介绍一下相关系数的计算方法。

常见的相关系数有皮尔逊相关系数、斯皮尔曼相关系数和肯德尔相关系数等。

其中，皮尔逊相关系数是最常用的一种。

它的计算公式如下：r = Σ((Xi X)(Yi Ȳ)) / √(Σ(Xi X)²Σ(Yi Ȳ)²)。

其中，r表示相关系数，Xi和Yi分别表示两个变量的取值，X和Ȳ分别表示两个变量的均值。

通过计算相关系数，我们可以得到一个介于-1和1之间的数值。

当相关系数接近1时，表示两个变量之间存在着强烈的正相关关系；当相关系数接近-1时，表示两个变量之间存在着强烈的负相关关系；当相关系数接近0时，表示两个变量之间不存在线性相关关系。

在实际应用中，相关系数有着广泛的应用场景。

首先，相关系数可以帮助我们了解变量之间的关系强弱，从而为决策提供依据。

例如，在市场营销中，我们可以通过计算相关系数来评估不同营销策略与销售额之间的关系，从而找出最有效的营销策略。

其次，相关系数还可以用于预测。

通过分析历史数据的相关系数，我们可以预测未来变量之间的关系，为未来的决策提供参考。

再次，相关系数还可以用于研究。

在科学研究中，我们可以通过相关系数来研究不同变量之间的关系，从而推动学科的发展。

总之，标准曲线的相关系数是一个重要的统计指标，它可以帮助我们了解变量之间的关系强弱，为决策提供依据。

在实际应用中，我们可以通过计算相关系数来评估变量之间的相关性，从而做出更加准确的决策。

希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和运用相关系数。

标准曲线的最小二乘法拟合和相关系数

标准曲线的最小二乘法拟合和相关系数（合肥工业大学控释药物研究室尹情胜）1 目的用最小二乘法拟合一组变量（，，i＝1-n）之间的线性方程（y＝ax+b），表示两变量间的函数关系；（开创者：德国数学家高斯）一组数据（，，i＝1-n）中，两变量之间的相关性用相关系数（R）来表示。

（开创者：英国统计学家卡尔·皮尔逊）2 最小二乘法原理用最小二乘法拟合线性方程时，其目标是使拟合值（）与实测值（）差值的平方和（Q）最小。

式（1）3 拟合方程的计算公式与推导当Q最小时，；得到式（2）、式（3）：式（2）式（3）由式（3）和式（4），得出式（4）和式（5）：式（4）式（5）式（4）乘以n，式（5）乘以，两式相减并整理得斜率a：斜率（k＝xy／xx，n*积和-和积）式（6）截距b的计算公式为公式（5），也即：截距b＝（y-x）／n，差平均差）式（7）4 相关系数的意义与计算公式相关系数（相关系数的平方称为判定系数）是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。

相关系数（也称积差相关系数）是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。

相关系数r xy取值在-1到1之间。

r xy = 0时，称x,y不相关；| r xy | = 1时，称x,y完全相关，此时，x,y之间具有线性函数关系；| r xy | < 1时，X的变动引起Y的部分变动，r xy的绝对值越大，x的变动引起y的变动就越大，|r xy | > 0.8时称为高度相关，当0.5< | r xy|<0.8时称为显著相关，当0.3<| r xy |<0.5时，成为低度相关，当| r xy | < 0.3时，称为无相关。

(式（7）5 临界相关系数的意义5.1 临界相关系数中显著性水平（α）与置信度（P）的关系显著性水平取0.05，表示置信度为95%；取0.01，置信度就是99%。