2019-2020学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校八年级上学期期中数学试卷 (学生版+解析版)

2019-2020学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6小题）.1．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是()A．B．C．D．2．下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是()A．3，4，4B．3，4，5C．3，4，6D．3，4，73．如图，ABCAD=，则BC的AB=，3=，AD是BAC∠的平分线，已知5∆中，AB AC长为()A．10B．8C．5D．44．如图，Rt ABC∠=∠，10AB=，则CD的ACB∠=︒，点D在AB上，且DCA A∆中，90长为()A．4B．4.5C．5D．65．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC CD DE∠∠=︒，则CDE==，点D、E可在槽中滑动．若75BDE的度数是()A．60︒B．65︒C．75︒D．80︒6．如图，ABC∆中，C、C'关于AB对称，B、B'关于AC对称，D、E分别在AB、AC上，且////C D BC B E ''，BE ，CD 交于点F ，若BFD α∠=，A β∠=，则α与β之间的关系为( )A ．2180βα+=︒B ．2αβ=C ．52αβ=D ．51802αβ=︒- 二、填空题（每题2分，共10题，共20分）7．如图，自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有 ．8．如图，12∠=∠，要利用“SAS ”说明ABD ACD ∆≅∆，需添加的条件是 ．9．如图，ABC ADE ∆≅∆，若35C ∠=︒，75D ∠=︒，25DAC ∠=︒，则BAD ∠= ︒．10．在直角ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，若4CD =，则点D 到斜边AB 的距离为 ．11．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，55A ∠=︒，将其折叠，使点A 落在边CB 上A '处，折痕为CD ，则A DB ∠'的度数为 ．12．如图，在ABCAE=，∠=︒，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，5C∆中，90CE=，线段CB的长为．313．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⋯，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：．14．正方形ABEF的位置如图，90∆的面积为．BC=，则EBCACB∠=︒，215．如图，在ABCAE=，90BAE∠=︒，则CE的长==，E在边BC上且3AB AC∆中，4为．16．如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为am，此时梯子的倾斜角为75︒，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为2m，梯子倾斜角为45︒，这间房子的宽度是（用含a的代数式表示）．三、解答题（共10小题，共68分）17．如图，等腰ABC∆如图放置，顶角的顶点C在直线m上，分别过点A、B作直线m的垂线，垂足分别为E、D，且AE CD=．（1）求证：AEC CDB∆≅∆；（2）若设AEC∆的三边长分別为a、b、c，利用此图证明勾股定理．18．如图，网格中的ABC∆是轴对称图形．∆和DEF（1）利用网格线，作出ABC∆的对称轴l；∆和DEF（2）结合所画图形，在直线l上找点G，使GA GC+最小；（3）如果每个小正方形的边长为1，则ABC∆的面积为；（4）在图中到EF、BC的距离相等的格点有个．19．在正方形中有一条线段，请再添加一条线段，使得图形是一个轴对称图形．（要求：画出示意图，并作出对称轴）20．求证：等腰三角形两底角相等．21．已知，如图，1AC BC BD ===，3AD =，求ABD ∆的面积．22．如图，ABC ∆为等边三角形，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//DE BC 交AB 于点E ．（1）求证：ADE ∆是等边三角形．（2）求证：12AE AB =．23．如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知该纸片宽6=．BC cmAB cm=，长10（1）求EC的长；（2）在折痕AE上存在一点P到边CB的距离与到点D的距离相等，则此相等距离为．24．在ABC∆中，D为BC边上一点．（1）如图①，在Rt ABC∆沿着AD折叠，点C落在AB边上．请∠=︒，将ABC∆中，90C用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图②，将ABC∆沿着过点D的直线折叠，点C落在AB边上的E处．①若DE AB⊥，垂足为E，请用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；②若22AB=，3∠=︒，求CD的取值范围．BBC=，4525．已知如图，//AB CD．（1）如图1，BE平分ABD⊥．∠交CD于E，点F为BE中点，连接DF．求证：DF BE （2）如图2，BF平分ABD∠交AC的中点F，点E在线段BD上（不包括两端点），连接EF，请问：点E在何处时，2+=？并证明你的结论．AB CD EF26．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB AD=，CB CD=，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC BD⊥．试证明：2222+=+；AB CD AD BC（3）解决问题：如图3，ACB⊥且ACB=，AB AE∆中，90∠=︒，AC AG⊥且AC AG =，连结CE、BG、GE．已知4AE ABAB=，求GE的长．AC=，5参考答案一、选择题（每题2分，共6题，共12分）1．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．解：A 、不是轴对称图形，故本选项错误；B 、不是轴对称图形，故本选项错误；C 、不是轴对称图形，故本选项错误；D 、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D ．2．下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是( )A ．3，4，4B ．3，4，5C ．3，4，6D ．3，4，7解：A 、因为222344+>，所以三条线段能组锐角三角形，不符合题意；B 、因为222345+=，所以三条线段能组成直角三角形，不符合题意；C 、因为346+>，且222346+<，所以三条线段能组成钝角三角形，符合题意；D 、因为347+=，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意．故选：C ．3．如图，ABC ∆中，AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线，已知5AB =，3AD =，则BC 的长为( )A ．10B ．8C ．5D ．4解：AB AC =Q ，AD 是BAC ∠的平分线，AD BC ∴⊥，BD CD =，5AB =Q ，3AD =，224BD AB AD ∴=-=，28BC BD ∴==，故选：B ．4．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 在AB 上，且DCA A ∠=∠，10AB =，则CD 的长为( )A ．4B ．4.5C ．5D ．6解：Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，90DCA DCB ∴∠+∠=︒，90B A ∠=∠=︒，DCA A ∠=∠Q ，DCB B ∴∠=∠，DC DA =， 152DC DB DA AB ∴====， 故选：C ．5．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动、C 点固定，OC CD DE ==，点D 、E 可在槽中滑动．若75BDE ∠=︒，则CDE ∠的度数是( )A ．60︒B ．65︒C ．75︒D ．80︒解：OC CD DE ==Q ，O ODC ∴∠=∠，DCE DEC ∠=∠，2DCE O ODC ODC ∴∠=∠+∠=∠，375O OED ODC BDE ∠+∠=∠=∠=︒Q ，25ODC ∴∠=︒，180105CDE ODC BDE ∠+∠=︒-∠=︒Q ，10580CDE ODC ∴∠=︒-∠=︒． 故选：D ．6．如图，ABC ∆中，C 、C '关于AB 对称，B 、B '关于AC 对称，D 、E 分别在AB 、AC 上，且////C D BC B E ''，BE ，CD 交于点F ，若BFD α∠=，A β∠=，则α与β之间的关系为( )A ．2180βα+=︒B ．2αβ=C ．52αβ=D ．51802αβ=︒- 解：在ABC ∆中，A β∠=Q ，180ABC ACB β∴∠+∠=︒-，////C D BC B E ''Q ，ABC C DB ∴∠=∠'，ACB B EC ∠=∠'，C Q 、C '关于AB 对称，AB ∴垂直平分线段CC '，C DB CDB ∴∠'=∠，同理B EC BEC ∠'=∠，180CDB BEC β∴∠+∠=︒-，180ADC CDB ∠+∠=︒Q ，180AEB BEC ∠+∠=︒，180ADC AEB β∴∠+∠=︒+，360ADE A AEB DFE ∠+∠+∠+∠=︒Q ，180DFE α∠=︒-，180180360ββα∴︒+++︒-=︒，2αβ∴=，故选：B ．二、填空题（每题2分，共10题，共20分）7．如图，自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有 稳定性 ．解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具稳定性，故答案为：稳定性．8．如图，12∠=∠，要利用“SAS ”说明ABD ACD ∆≅∆，需添加的条件是 CD BD= ．解：添加CD BD =，12∠=∠Q ，CDA BDA ∴∠=∠，在ADC ∆和ADB ∆中AD AD ADC ADB CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACD SAS ∴∆≅∆，故答案为：CD BD =．9．如图，ABC ADE ∆≅∆，若35C ∠=︒，75D ∠=︒，25DAC ∠=︒，则BAD ∠= 45 ︒．解：ABC ADE ∆≅∆Q ，75D ∠=︒，75D B ∴∠=∠=︒，又35C ∠=︒Q ，70BAC ∴∠=︒，又25DAC ∠=︒Q ，45BAD ∴∠=︒，故答案为：45．10．在直角ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，若4CD =，则点D 到斜边AB 的距离为 4 ．解：如右图，过D 点作DE AB ⊥于点E ，则DE 即为所求，90C ∠=︒Q ，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，CD DE ∴=（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）， 4CD =Q ，4DE ∴=．故答案为：4．11．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，55A ∠=︒，将其折叠，使点A 落在边CB 上A '处，折痕为CD ，则A DB ∠'的度数为 20︒ ．解：Rt ABC ∆Q 中，90ACB ∠=︒，55A ∠=︒，将其折叠，使点A 落在边CB 上A '处，折痕为CD ，90905535B A ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，A CA D ∠=∠'，CA D B A DB ∠'=∠+∠'Q ，5535A DB ∴︒=︒+∠'，20A DB ∴∠'=︒．故答案为：20︒．12．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，5AE =，3CE =，线段CB 的长为 4 ．解：连接BE ，AB Q 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，5AE =，5BE AE ∴==，在Rt ECB ∆中，由勾股定理得：2222534CB BE CE =-=-=，故答案为：4．13．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⋯，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数： 13、84、85 ．解：经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3，第②勾股数的第一个数是5，⋯，故第⑤组勾股数的第一个数是11，第6组勾股数的第一个数是13，又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差1，故设第二个数为x ，第三个数为1x +， 根据勾股定理的逆定理，得：13的平方x +的平方(1)x =+的平方，解得84x =． 则得第6组数是：13、84、85．故答案为：13、84、85．14．正方形ABEF 的位置如图，90ACB ∠=︒，2BC =，则EBC ∆的面积为 2 ．解：如图，过点E 作EF BC ⊥，交CB 的延长线于F ，Q 四边形ABEF 是正方形，AB BE ∴=，90ABE ∠=︒，90ABC EBF ∴∠+∠=︒，且90ABC BAC ∠+∠=︒，EBF BAC ∴∠=∠，且AB BE =，90EFB ACB ∠=∠=︒，()ABC BEF AAS ∴∆≅∆2BC EF ∴==，1122222EBC S BC EF ∆∴=⨯⨯=⨯⨯=， 故答案为：215．如图，在ABC ∆中，4AB AC ==，E 在边BC 上且3AE =，90BAE ∠=︒，则CE 的长为 1.4 ．解：过A 作AD BC ⊥，3AE =Q ，90BAE ∠=︒，4AB AC ==， 2222345BE AB AE ∴=+=+=，125AB AE AD BE ∴==g ， 90ADE ∠=︒Q ，22221293()55DE AE AD ∴=-=-=， 222212164()55CD AC AD ∴=-=-=， 169 1.455CE ∴=-=， 故答案为：1.416．如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75︒，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为2m ，梯子倾斜角为45︒，这间房子的宽度是 a （用含a 的代数式表示）．解：过N 点作MA 垂线，垂足点D ，连接NM ．由题意得AB ND =，CNM ∆为等边三角形(180457560︒-︒-︒=︒，梯子长度相同）， 75ACM ∠=︒Q ，15AMC ∴∠=︒．75AMN ∴∠=︒，在MND ∆中，sin 75ND MN =⨯︒，．在MAC ∆中，sin 75AM MC =⨯︒，MN MC =Q ，ND MA a ∴==．故答案为a ．三、解答题（共10小题，共68分）17．如图，等腰ABC ∆如图放置，顶角的顶点C 在直线m 上，分别过点A 、B 作直线m 的垂线，垂足分别为E 、D ，且AE CD =．（1）求证：AEC CDB ∆≅∆；（2）若设AEC ∆的三边长分別为a 、b 、c ，利用此图证明勾股定理．【解答】（1）证明：90ACB ∠=︒Q ，90ACE BCD ∴∠+∠=︒．90ACE CAE ∠+∠=︒Q ，CAE BCD ∴∠=∠．在AEC ∆与BCD ∆中，CEA BDC CAE BCD AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CAE BCD AAS ∴∆≅∆．（2）解：由①知：CAE BCD ∆≅∆，BD CE aCD AE b ∴==== ()()12AEDB S a b a b∴=++梯形 221122a ab b =++． 又AEC BCD ABC AEDB S S S S ∆∆∆=++Q 梯形2111222ab ab c =++ 212ab c =+． ∴222111222a ab b abc ++=+． 整理，得222a b c +=．18．如图，网格中的ABC ∆和DEF ∆是轴对称图形．（1）利用网格线，作出ABC ∆和DEF ∆的对称轴l ；（2）结合所画图形，在直线l 上找点G ，使GA GC +最小；（3）如果每个小正方形的边长为1，则ABC ∆的面积为 3 ；（4）在图中到EF 、BC 的距离相等的格点有 个．解：（1）如图所示，直线l 即为ABC ∆和DEF ∆的对称轴；（2）如图所示，连接CD ，交l 于G ，连接AG ，则GA GC +最小，点G 即为所求；（3）ABC∆的面积111 241222143222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故答案为：3；（4）如图，延长EF，BC交于点H，根据角的轴对称性可得，到EF、BC的距离相等的格点在BHE∠的角平分线上，故符合题意的格点在直线l上，共8个．故答案为：8．19．在正方形中有一条线段，请再添加一条线段，使得图形是一个轴对称图形．（要求：画出示意图，并作出对称轴）解：如图所示：20．求证：等腰三角形两底角相等．【解答】已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =．求证：B C ∠=∠．证明：过点A 作AD BC ⊥于点D ，AB AC =Q ，AD BC ⊥，BD DC ∴=（等腰三角形三线合一）． 又90ADB ADC ∠=∠=︒Q ，AD 为公共边，()ABD ACD SAS ∴∆≅∆．B C ∴∠=∠．21．已知，如图，1AC BC BD ===，3AD =ABD ∆的面积．解：在Rt ACB ∆中，由勾股定理得：2222112AB AC BC =+=+=， Q 在ABD ∆中，2AB =，3AD =，1BD =，222AB BD AD ∴+=，90ABD ∴∠=︒，ABD ∴∆的面积是11221222AB BD ⨯⨯=⨯⨯=． 22．如图，ABC ∆为等边三角形，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//DE BC 交AB 于点E ．（1）求证：ADE ∆是等边三角形．（2）求证：12AE AB =．【解答】证明：（1）ABC ∆Q 为等边三角形，60A ABC C ∴∠=∠=∠=︒．//DE BC Q ，60AED ABC ∴∠=∠=︒，60ADE C ∠=∠=︒．ADE ∴∆是等边三角形．（2）ABC ∆Q 为等边三角形，AB BC AC ∴==．BD Q 平分ABC ∠，12AD AC ∴=． ADE ∆Q 是等边三角形，AE AD ∴=．12AE AB ∴=． 23．如图，折叠长方形纸片ABCD ，使点D 落在边BC 上的点F 处，折痕为AE ．已知该纸片宽6AB cm =，长10BC cm =．（1）求EC 的长；（2）在折痕AE 上存在一点P 到边CB 的距离与到点D 的距离相等，则此相等距离为 103．解：（1）Q 四边形ABCD 是矩形，10AD BC cm ∴==，6CD AB cm ==，90B C ∠=∠=︒，由折叠可知10AD AF cm ==，DE EF =90B ∠=︒Q222AB BF AF ∴+=，6AB cm =Q ，10AF cm =22221068()BF AF AB cm ∴=-=-=2FC BC BF cm ∴===，90C ∠=︒Q ，222EC FC EF ∴+=设EC x =，则6DE EF x ==-，222(6)2x x ∴-=+解得：83x =， 即EC 的长为83； （2）过P 作PG BC ⊥于G ，连接PD ，连接PF 、DF ，如图所示：由题意得：PD PG =，由折叠的性质得：AE 垂直平分DF ，PF PD ∴=，PF PG ∴=，∴点F 与G 重合，过P 作PH CD ⊥于H ，则90PHD ∠=︒，2PH CF ==，PF CH =，设PD y =，则PD PF CH y ===，6DH y =-，在Rt PHD ∆中，由勾股定理得：2222(6)y y +-=， 解得：103y =； 故答案为：103．24．在ABC ∆中，D 为BC 边上一点．（1）如图①，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，将ABC ∆沿着AD 折叠，点C 落在AB 边上．请用直尺和圆规作出点D （不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图②，将ABC ∆沿着过点D 的直线折叠，点C 落在AB 边上的E 处． ①若DE AB ⊥，垂足为E ，请用直尺和圆规作出点D （不写作法，保留作图痕迹）； ②若22AB =，3BC =，45B ∠=︒，求CD 的取值范围．解：（1）点D 如图所示．（作CAB ∠的角平分线即可）（2）①点D 如图所示．（过点C 作CE BC ⊥，交BA 的延长线于F ，作CFB ∠的角平分线即可）②如图②中，设CD DE x ==，则DE EB x ==，90DEB ∠=︒，2DB x =， 3BC =Q ，23x x ∴+=，323x ∴=-，如图③中，当E 与A 重合时，作AH CB ⊥于H ，设CD DE x ==，在Rt AHB ∆中，易知2AH HB ==，90AHB ∠=︒，1HD x =-，DE x =， 2222(1)x x ∴=+-， 52x ∴=， 综上可知，CD 的最大值为52，最小值为323-， 53232CD ∴-剟， 故答案为53232CD -剟． 25．已知如图，//AB CD ．（1）如图1，BE 平分ABD ∠交CD 于E ，点F 为BE 中点，连接DF ．求证：DF BE ⊥．（2）如图2，BF 平分ABD ∠交AC 的中点F ，点E 在线段BD 上（不包括两端点），连接EF ，请问：点E 在何处时，2AB CD EF +=？并证明你的结论．【解答】证明：（1）//AB CD Q ，ABE DEB ∴∠=∠，BE Q 平分ABD ∠，ABE DBE ∴∠=∠，DBE DEB ∴∠=∠，BD DE ∴=，且点F 是BE 的中点，DF BE ∴⊥；（2）当点E 在BD 中点时，2AB CD EF +=，延长BF ，交DC 的延长线于H ，Q点F是AC的中点，∴=，AF CFQ，AB CD//=，∠=∠，且AF CF∴∠=∠，ABF FHCBAF HCF∴∆≅∆，()ABF CHF AAS∴=，AB CHBF FH=，∴+=+=，AB CD HC CD HDQ，且点E在BD中点，=BF FGHD EF∴=，2∴+=．AB CD EF226．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB AD=，CB CD=，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC BD⊥．试证明：2222+=+；AB CD AD BC（3）解决问题：如图3，ACB⊥且⊥且AC AG=，AB AE∠=︒，AC AG∆中，90ACB=，连结CE、BG、GE．已知4AE ABAB=，求GE的长．AC=，5解：（1）四边形ABCD是垂美四边形，理由如下：连接AC，BD，Q，AB AD=∴点A在线段BD的垂直平分线上，=Q，CB CD∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴是线段BD的垂直平分线，AC∴四边形ABCD是垂美四边形；（2）AC BD⊥Q，∴∠=∠=∠=∠=︒，90AOD AOB BOC COD由勾股定理得，222222AD BC AO DO BO CO+=+++，222222+=+++，AB CD AO BO CO DO2222∴+=+；AD BC AB CD故答案为：2222+=+；AB CD AD BC（3）90Q，CAG BAE∠=∠=︒∠=∠，CAG BAC BAE BAC∴∠+∠=∠+∠，即GAB CAE在GAB∆中，∆和CAEAG AC GAB CAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()GAB CAE SAS ∴∆≅∆，ABG AEC ∴∠=∠，又90AEC AME ∠+∠=︒， 90ABG AME ∴∠+∠=︒，即CE BG ⊥， ∴四边形CGEB 是垂美四边形， 由（2）得，2222CG BE CB GE +=+， 4AC =Q ，5AB =，3BC ∴=，CG =，BE =， 222273GE CG BE CB ∴=+-=，GE ∴=．。