《向量的加法运算及其几何意义》
《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版
《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版第一章：向量的概念回顾1.1 向量的定义向量是从数学和物理学中引入的概念，具有大小和方向。
向量通常用字母表示，如\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 等，也可以用箭头表示。
1.2 向量的表示方法向量可以用坐标形式表示，如\(\vec{a} = (a_x, a_y)\)。
向量还可以用图形表示，在坐标系中表示向量的起点和终点。
第二章：向量的加法运算2.1 向量加法的定义向量加法是将两个向量相加得到一个新的向量。
如果\(\vec{a} = (a_x, a_y)\) 和\(\vec{b} = (b_x, b_y)\)，它们的和\(\vec{c}\) 可以表示为\(\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y)\)。
2.2 向量加法的几何意义向量加法可以直观地理解为在坐标系中将两个向量的终点相连，得到一个新的向量。
几何上，向量加法表示的是两个向量的位移合成。
第三章：平行向量的加法3.1 平行向量的定义平行向量是指方向相同或相反的向量。
如果两个向量平行，它们的坐标成比例。
3.2 平行向量的加法规则平行向量相加时，可以直接将它们的大小相加，方向不变。
如果\(\vec{a}\) 和\(\vec{b}\) 是平行向量，\(\vec{a} + \vec{b} = (a + b, c)\)，其中\(a\) 和\(b\) 是向量的大小，\(c\) 是它们的方向。
第四章：向量的减法运算4.1 向量减法的定义向量减法是将一个向量从另一个向量中减去。
如果\(\vec{a} = (a_x, a_y)\) 和\(\vec{b} = (b_x, b_y)\)，它们的差\(\vec{d}\) 可以表示为\(\vec{d} = \vec{a} \vec{b} = (a_x b_x, a_y b_y)\)。
4.2 向量减法的几何意义向量减法可以理解为从起点到终点的位移减去从起点到另一个终点的位移。
向量的加法运算及其几何意义.doc
如图，己知向量a 、b.在平面内任取一点A,作AB=a, BC=b,则向量AC 叫做a 与b 的和，记作 a+ b ,艮P a+ b = AB + BC = AC , 规定： a + O-=O + ab a+b 2.2.1向量的加法运算及其几何意义教学目标：1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解 决问题的能力；3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结 合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.教学思路：一、设置情景：1、 复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研 究的向量是与起点无关的自山向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提 下，移到任何位置2、 情景设置：(1) 某人从A 到B,再从B 按原方向到C,则两次的位移和：AB + BC = AC(2) 若上题改为从A 到B,再从B 按反方向到C,则两次的位移和：AB + BC = AC(3) 某车从A 到B,再从B 改变方向到C,则两次的位移和：~AB + ~BC = AC三角形法则(“首尾相接，首尾连”)2、探究：（1）两向量的和与两个数的和有什么关系？两向量的和仍是一个向量;（2）当向量。
与人不共线时，I。
+5 Ivl。
1+1人I；什么时候\a + b \=\ a \+\b \ ,什么时候\a+b \=\a\—\b\,当向量〃与5不共线时，a + b的方向不同向，且\ a+ b \<\ a \+\b当。
与同向时，则a + b、a > /?同向，且1。
+ &1=1。
1+1/?1,当口与/?反向时，若\a\>\h\,则a + h的方向与白相同，且\ a+h \=\ a \-\h \；若\a\<\h I,则ci + b的方向与/?相同，且\a+b\=\b \-\a\.OB（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加3 .例一、已知向量q、b ,求作向量。
向量的加法运算及其几何意义
向量加法的性质
结合律
向量加法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)， 表明向量的加法不依赖于其组合的顺序。
交换律
向量加法满足交换律，即a+b=b+a，表明向量加法 的结果与元素的组合顺序无关。
分配律
向量加法不满足分配律，即a×(b+c)不等于 a×b+a×c。
02
向量加法的几何意义
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法的平行四边形法则是向量的基本加法规则之一，它 表示将两个向量首尾相接，并连接它们的起点和终点，所形 成的平行四边形的对角线向量即为这两个向量的和。
详细描述
根据平行四边形法则，向量加法满足交换律和结合律，即不 论向量的顺序如何，也不论如何分组，向量加法的结果都相 同。
向量加法的三角形法则
分配律
总结词
向量加法的分配律是指向量加法满足分配性 ，即向量加法可以分配到括号内的各个向量 上。
详细描述
分配律是向量加法的另一个重要运算律。根 据分配律，对于任意两个向量$vec{a}$和任
意标量$k$，有$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。这意味着标量可以与括
总结词
向量加法的三角形法则是向量的另一种加法规则，它表示将一个向量的起点平 移到另一个向量的终点，所形成的向量即为这两个向量的和。
详细描述
三角形法则在几何中常用于表示力的合成或速度的合成等物理现象。通过三角 形法则，可以直观地理解向量加法的几何意义，并用于解决实际问题。
向量加法的向量场意义
总结词
向量加法的向量场意义是指向量加法可以看作是向量场中点的运动变化。在向量场中，任意两点之间 的连线可以表示为向量，而这个向量的加法运算则反映了这两点之间的相对运动关系。
向量加法运算及其几何意义
向量加法运算及其几何意义向量加法是指将两个或多个向量相加的运算。
在数学中，向量加法遵循以下规则：1.向量加法是可交换的。
即，对于任意向量a和b，a+b=b+a。
2.向量加法是可结合的。
即，对于任意向量a、b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
3.零向量是向量加法的单位元素。
即，对于任意向量a，a+0=0+a=a。
几何意义方面，向量加法可以用于描述物体的位移、力的合成以及速度的合成等。
下面以位移和力的合成为例进行解释：1.位移的合成：假设有一辆汽车沿东西方向行驶了100米，然后又沿南北方向行驶了50米。
我们可以将汽车的东西方向的位移表示为向量a=100i，南北方向的位移表示为向量b=50j。
那么，汽车的总位移可以表示为向量c=a+b，即c=100i+50j。
这个向量c表示汽车最终的位置相对于起始位置的位移。
2.力的合成：假设有两个力F1和F2作用在一个物体上，F1的大小为10牛顿，方向为东，F2的大小为5牛顿，方向为北。
我们可以将力F1表示为向量a=10i，力F2表示为向量b=5j。
那么，两个力的合力可以表示为向量c=a+b，即c=10i+5j。
这个向量c表示两个力的合力的大小和方向。
在几何上，向量加法的结果可以通过平行四边形法则进行图示。
以位移为例，我们可以将向量a和向量b的起点放在同一位置，然后将向量a按照其方向和大小绘制出来，再将向量b按照其方向和大小绘制出来。
通过平行四边形法则，我们可以找到一个平行四边形，其两条对角线的交点即为向量a和向量b的和向量c的终点。
总结起来，向量加法是一种将多个向量相加的运算，它遵循可交换和可结合的规则，并且零向量是其单位元素。
在几何上，向量加法可以用于描述位移和力的合成等。
通过平行四边形法则，我们可以找到向量加法的结果的几何意义。
向量加法运算及其几何意义 课件
[化解疑难] 1．准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则 (1)两个法则的使用条件不同： 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只 适用于两个不共线的向量求和． (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的． 如图所示：A→C＝A→B＋A→D(平行四边形法则)， 又∵B→C＝A→D， ∴A→C＝A→B＋B→C(三角形法则)． (3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四 边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．
【解析】 (1)B→C＋A→B＝A→B＋B→C＝A→C. (2)D→B＋C→D＋B→C ＝B→C＋C→D＋D→B ＝(B→C＋C→D)＋D→B ＝B→D＋D→B＝0. (3)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A ＝A→B＋B→C＋C→D＋D→F＋F→A ＝A→C＋C→D＋D→F＋F→A ＝A→D＋D→F＋F→A＝A→F＋F→A＝0.
(2)平行四边形法则 如图，以同一点 O 为起点的两个已知向量 a，b 为邻边作▱OACB， 则以 O 为起点的对角线O→C就是 a 与 b 的和，我们把这种作两个向 量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则．
3．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
向量加法运算及其几何意义
1．向量加法的定义 求两个向量和的运算，叫作向量的加法．
2．向量加法的运算法则 (1)三角形法则 已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作A→B＝a，B→C＝b， 再作向量A→C，则向量A→C叫作 a 与 b 的和(或和向量)，记作 a＋b， 即 a＋b＝A→B＋B→C＝A→C. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 规定：零向量 已知向量作和向量 [例 1] 如图，已知向量 a，b，c，求作和向量 a＋b＋c.
2.2.1《向量加法运算及其几何意义》
E
D
（2） FE AD; BC
（3） FE 0. OA
F A
O
B
C
数学应用
例2 如图，一艘船从 A点出发以 2 3km/h的速度向垂直于 对岸的方向行驶，同时河水以２km/h的速度向东流, 求船实际行驶速度 的大小与方向.
解:如图,设用向量 AC表示船向垂直于对岸
方向相反
如图，已知 a , b , c ，请作出 a + b , b a + ( b + c ) , ( a + b ) + c. a c
+
a ,b
+
c
b
a
b b a a+ b
ab
abc
c bc
b+ a
b
a
向量加法的运算律
交换律： a b b a 结合律：(a b) c a (b c) 想一想
≦ ≦ 何时取得等号?
练一练
AD １.化简 (1) AB CD BC ________
(2) MA BN AC CB ________ MN
(3) AB BD CA DC ________ 0
２.根据图示填空
E
g
e
f
D d
(1)a b (2)c d
的速度,用向量 AB 表示水流的速度
C
ห้องสมุดไป่ตู้
D
以AC,AB为邻边作平行四边形,则 AD
就是船实际行驶的速度
AD AB BD
《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版
《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版第一章：向量的概念回顾1.1 向量的定义1.2 向量的表示方法1.3 向量的长度和方向第二章：向量的加法运算2.1 向量加法的定义2.2 向量加法的几何意义2.3 向量加法的三角形法则2.4 向量加法的平行四边形法则第三章：向量加法的性质3.1 交换律3.2 结合律3.3 存在零向量3.4 存在相反向量第四章：向量的减法运算4.1 向量减法的定义4.2 向量减法的几何意义4.3 向量减法的三角形法则4.4 向量减法的平行四边形法则第五章：向量减法的性质5.1 减去一个向量等于加上它的相反向量5.2 减去两个向量等于减去它们的和5.3 减法运算与加法运算的关系第六章：向量的数乘运算6.1 向量的数乘定义6.2 向量的数乘几何意义6.3 向量的数乘与向量长度的关系6.4 向量的数乘与向量方向的关系第七章：向量的数乘运算性质7.1 数乘运算的分配律7.2 数乘运算的结合律7.3 数乘运算的单位元7.4 数乘运算的逆元第八章：向量的点积运算8.1 向量点积的定义8.2 向量点积的几何意义8.3 向量点积的计算公式8.4 向量点积的性质第九章：向量的叉积运算9.1 向量叉积的定义9.2 向量叉积的几何意义9.3 向量叉积的计算公式9.4 向量叉积的性质第十章：向量的应用10.1 向量在几何中的应用10.2 向量在物理中的应用10.3 向量在其他领域中的应用10.4 向量的进一步研究第六章：向量的线性组合与基底6.1 向量的线性组合定义6.2 向量的线性组合的几何意义6.3 基底的概念6.4 基底的选取方法第七章：向量空间与线性相关性7.1 向量空间的概念7.2 线性相关的定义7.3 线性无关的定义7.4 线性相关性与线性无关性的判断方法第八章：向量的坐标表示8.1 坐标系的概念8.2 向量的坐标表示方法8.3 坐标变换与向量的关系8.4 坐标表示在几何中的应用第九章：向量组的线性表示9.1 向量组的线性表示概念9.2 矩阵与向量组的关系9.3 矩阵的基本运算9.4 矩阵的逆与向量组的线性表示第十章：向量的进一步研究10.1 向量范数的概念10.2 向量范数的性质10.3 向量内积的概念10.4 向量内积的性质10.5 向量组的内积空间重点和难点解析一、向量的概念回顾：重点关注向量的定义、表示方法、长度和方向，为学生奠定扎实的向量基础。
《向量加法运算及其几何意义》
是否成立？
根据图示填空：
（1）a+b=
（2）c+d=
；
。
根据图示填空：
（1）a+b=
（2）c+d=
；Hale Waihona Puke ；（3）a+b+d=
（4）c+d+e=
；
。
1.向量加法的三角形法则 （要点：两向量首尾连接）
2.向量加法的平行四边形法则
（要点：两向量起点重合组成平行四边形两邻边）
3.向量加法满足交换律及结合律
a b
当向量a , 是共线向量时, + b 又如何 b a 作出来?
(1)同向
a
(2)反向
a
b
A
B C B C
b
A
AC = a + b
规定：
a+ 0 = 0+ a = a
AC = a + b
判断 | a + b | 与 | a | + | b | 的大小
1、不共线
b a
o·
a
A
a+ b
b
B
|a + b |< |a |+ |b |
判断 | a + b | 与 | a | + | b | 的大小
2、 共线
(1)同向
a
a + b
b
(2)反向
a
b
a + b
| a + b |= | a | + | b |
| a + b |< | a | - | a | = b + b
向量的加法运算及其几何意义
向量的加法运算及其几何意义引言向量是数学中一个重要的概念，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
向量的加法运算是向量计算中的基本操作之一，具有重要的几何意义。
本文将介绍向量的加法运算的定义、性质以及其在几何上的意义。
向量的加法定义向量是具有大小和方向的量，可以用有序数对表示。
向量的加法定义如下：设有两个向量a和a，表示为a = (a₁, a₂, …, aa)和a = (a₁, a₂, …, aa)，则两个向量的和记为a + a，它的每个分量等于对应分量之和，即(a₁ + a₁, a₂ + a₂, …, aa + aa)。
向量的加法性质向量的加法满足以下性质：1.交换律：a + a = a + a，即向量的加法是可交换的。
2.结合律：(a + a) + a = a + (a + a)，即向量的加法满足结合律。
3.零向量：对于任意向量a，存在一个称为零向量的特殊向量a，满足a + a = a。
4.相反向量：对于任意向量a，存在一个称为相反向量的特殊向量−a，满足a + (−a) = a。
这些性质使得向量的加法成为一个群运算，为后续的研究提供了基础。
向量加法与向量几何意义向量的加法在几何上有很重要的意义。
几何向量可以通过箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量的加法运算可以通过将两个向量的箭头连接起来得到。
当两个向量的方向相同且大小相等时，它们的加法运算结果是一个与它们方向相同且大小等于它们之和的向量。
这可以用以下图形表示：--------- --------------- --------- ----------------------------------当两个向量的方向相反且大小相等时，它们的加法运算结果是一个大小为零的向量。
这可以用以下图形表示：---------------------------------- --------- --------------- ---------当两个向量的方向不同且大小不等时，它们的加法运算结果是一个向量。
向量加法运算及其几何意义
向量加法运算及其几何意义向量加法是指将两个或多个向量相加的运算。
在向量加法中，将两个向量的对应分量相加，得到的结果向量被称为它们的和向量。
下面将从数学和几何的角度分别探讨向量加法的运算及其几何意义。
一、数学角度：1.向量的表示：向量通常用一个有向线段或箭头表示，箭头所指的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小或模。
一个向量通常用字母加上一个箭头上的向量符号表示，例如向量a可以表示为→a。
2.向量的分量表示：向量在坐标系中的表示通常采用分量表示法。
例如，向量a的表示可以表示为(a₁,a₂,a₃)。
这表示向量a在x、y、z轴上的分量分别为a₁、a₂、a₃。
3.向量的加法：给定两个向量a和b，其分量表示分别为(a₁,a₂,a₃)和(b₁,b₂,b₃)，那么它们的和向量c可以表示为(c₁,c₂,c₃)，其中c₁=a₁+b₁，c₂=a₂+b₂，c₃=a₃+b₃。
4.向量加法的性质：向量加法满足交换律和结合律，即a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)。
这意味着可以按照任意顺序加法运算，并且可以同时对多个向量进行加法运算。
二、几何角度：1.平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，它们被称为平行向量。
对于平行向量a和b，它们的和向量c的方向与它们相同，并且大小是它们的大小之和。
2.共线向量：如果两个向量的方向相同或者它们的起点和终点相同，那么它们是共线向量。
对于共线向量a和b，它们的和向量c的起点和终点分别是a和b的起点和终点。
3.零向量：零向量是一个大小为0的向量，在坐标系中表示为(0,0,0)。
任何向量与零向量相加的结果都等于该向量本身。
4.平行四边形法则：根据平行四边形法则，可以通过将两个向量的起点放在一起，然后将它们的终点连接起来得到一个平行四边形。
两个向量的和向量等于对角线的向量。
5.三角形法则：根据三角形法则，如果两个向量的起点相同，那么可以通过将它们的终点连接起来得到一个三角形。
两个向量的和向量等于这个三角形的第三条边的向量。
向量的加法运算及其几何意义课件
在解析几何中，向量加法可以用于线性组合的计算。线性组 合是指一组向量的加权和，即$overset{longrightarrow}{D} = lambdaoverset{longrightarrow}{A} + muoverset{longrightarrow}{B}$，其中$lambda$和$mu$ 为实数。线性组合在解决实际问题中具有广泛的应用。
应用拓展
随着科技的进步，向量加法的应用领域将不断拓展，如人工智能、信号处理、图像处理等，为解 决实际问题提供更多有效的方法。
算法优化
随着计算技术的发展，向量加法的算法将不断优化，提高计算效率和精度，为相关领域的研究和 应用提供更好的支持。
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向量的加法运算及其几何意义
• 向量加法的定义与性质 • 向量加法的几何意义 • 向量加法的运算规则 • 向量加法的应用实例 • 总结与展望
01
向量加法的定义与性质
向量加法的定义
向量加法是由平行四边形法则或三角形法则定义的。在二维空间中，向量加法可以通过连接两个向量 的起点和终点，并绘制一个平行四边形来完成。在三维空间中，向量加法可以通过连接两个向量的起 点和终点，并绘制一个三角形来完成。
物理应用
向量加法在物理中有广泛的应用， 如速度、加速度、力的合成等， 通过向量加法可以更直观地理解 物理现象。
解析几何
向量加法在解析几何中也有重要 的意义，它可以用来描述平面或 空间中的点、线、面等几何对象 的位置和方向。
向量加法的未来发展
理论完善
随着数学和物理学等学科的发展，向量加法的理论体系将进一步完善，为相关领域的研究提供更 坚实的基础。
算。
03
向量加法的运算规则
《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版
《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版第一章：向量的引入1.1 实数与向量的关系介绍实数的概念和性质。
解释实数可以看作是二维向量空间中的一条直线上的点。
强调实数与向量的相关性。
1.2 向量的定义定义向量的概念，包括大小和方向。
强调向量是自由矢量，可以自由平移。
解释向量与箭头表示法的区别。
第二章：向量的表示法2.1 箭头表示法介绍箭头表示法，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
强调箭头表示法中的大小和方向的表示方法。
2.2 坐标表示法介绍坐标表示法，使用有序数对(x, y) 来表示向量，其中x 表示向量在x 轴上的分量，y 表示向量在y 轴上的分量。
强调坐标表示法中的分量的概念和计算方法。
第三章：向量的加法运算3.1 向量加法的定义定义向量加法的概念，即将两个向量相加得到一个新的向量。
强调向量加法满足交换律和结合律。
3.2 向量加法的几何意义解释向量加法的几何意义，即将两个向量的箭头首尾相接，得到一个新的向量箭头。
强调向量加法是将两个向量的方向和大小相加。
第四章：平行向量与共线向量4.1 平行向量的定义定义平行向量的概念，即方向相同或相反的向量。
强调平行向量具有相同的方向或相反的方向。
4.2 共线向量的定义定义共线向量的概念，即在同一直线上的向量。
强调共线向量可以是同方向的或反方向的。
第五章：向量加法的平行四边形法则5.1 平行四边形法则的定义介绍平行四边形法则，即将两个向量的起点相连，形成一个平行四边形，平行四边形的对角线表示两个向量相加的结果。
强调平行四边形法则是向量加法的一种直观表示方法。
5.2 平行四边形法则的应用解释如何使用平行四边形法则计算两个向量的和。
强调平行四边形法则适用于任意两个向量的加法运算。
第六章：向量减法与相反向量6.1 向量减法的定义定义向量减法，即将一个向量与它的相反向量相加。
强调向量减法实际上是加上一个相反向量。
6.2 相反向量的概念解释相反向量的定义，即大小相等、方向相反的向量。
《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版
《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版第一章：向量概念的复习1.1 向量的定义1.2 向量的基本性质1.3 向量的表示方法1.4 向量的模长与方向第二章：向量的加法运算2.1 向量加法的定义2.2 向量加法的基本性质2.3 向量加法的几何意义2.4 向量加法的运算规则第三章：向量的减法运算3.1 向量减法的定义3.2 向量减法与向量加法的关系3.3 向量减法的几何意义3.4 向量减法的运算规则第四章：向量的数乘运算4.1 向量数乘的定义4.2 向量数乘的基本性质4.3 向量数乘的几何意义4.4 向量数乘的运算规则第五章：向量加法运算的坐标表示5.1 坐标系的建立5.2 向量坐标的定义5.3 向量加法运算的坐标表示方法5.4 向量加法运算的坐标运算规则第六章：向量加法运算的图形验证6.1 向量加法图形的表示方法6.2 向量加法的平行四边形法则6.3 向量加法的三角形法则6.4 向量加法的图形验证练习第七章：向量的减法与数乘的图形意义7.1 向量减法的图形意义7.2 向量减法的三角形法则7.3 向量数乘的图形意义7.4 向量数乘的三角形法则第八章：向量加减法的综合应用8.1 向量加减法的混合运算8.2 向量加减法的坐标应用8.3 向量加减法的几何解释8.4 向量加减法的综合练习第九章：向量数乘的应用9.1 向量数乘与向量长度的关系9.2 向量数乘与向量方向的关系9.3 向量数乘的几何应用9.4 向量数乘的实际问题应用第十章：总结与提高10.1 向量加法、减法、数乘的总结10.2 向量运算在几何中的应用10.3 向量运算在坐标系中的应用10.4 向量运算的综合练习与提高重点和难点解析一、向量概念的复习补充说明：向量是具有大小和方向的量，可用箭头表示。
向量具有平行四边形法则、三角形法则等基本性质。
向量可用字母和箭头表示，例如→a、→b。
向量的模长表示向量的大小，方向表示向量的指向。
二、向量的加法运算补充说明：向量加法是将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。
6.2.1向量的加法运算及其几何意义
如图：
| a b || a | - | b | (或 | b | - | a |);
且 | a b || a | + | b |;
| a | | b | | a b || a | + | b |;
(2)当a与b共线时， (ⅰ)当a与b同向时， 如图：
| a b | = | a | + | b || a | - | b | (或 | b | - | a |); | a | | b | | a b | = | a | + | b |;
6.2.1向量加法运算及其几何意义
思考：
(1).某人从A地到B地,再从B地按原来的方向到C地,
则两次位移的和 AB BC __A_C____
A
C
(2).飞机从A地到B地,再从B地左转450方向到C地,
则两次位移的和 AB BC __A_C____
C A
B
这是物理学中从点A到点B,再从点B到点C的问题。
因此： AB BC AC
1、向量的加法的定义：
求两个向量和的运算叫向量的加法。
B C
a
b
A
口诀：首尾相接，首尾连 2.向量的加法的作法： 三角形法则
(1)在平面内任取一点A (2)作 AB a, BC b
(3)则向量 AC a+b.
特别地：
方向相同 a b
A
B
C
AC a b
a0 0a a
练习2. 如图,已知a,b用向量加法的平行四边形法则作出a b
（1）
性质
(1) 交换律:a b b a
b ab b
a
(2) 结合律:(a b) c a (b c)
abc
向量的加法运算及其几何意义PPT优秀课件
A2
A3
A1
A4
Aｎ
A1A2+A2A3+…+ Aｎ-１Aｎ+AｎA１ =____０___
例 1 ： 已 知 O 为 正 六 边 形 A B C D E F 的 中 心 ， 作 出 下 列 向 量 u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
当向 a与 量 b反向 , 若 时 ab, 则 ab的方 向a与 相,同 且 abab;
当向 a与 量 b反向 ,若 时 ab, 则 ab的方 向b与 相,同 且 abba.
已知 a8,b6,则ab的最大值和最1_4小 _, 2_
探究
向量加法的运算律
对于任意的向量 a ， b ，c ：
2.2.1向量的加法 运算及其几何意义
复习回顾:
向量的概念：
既有大小又有方向的量叫向量
向量的表示方法：
（1）几何表示法： 用有向线段表示
B(终点）
a
（2）代数表示法：
A(起点）
AB 或 a
向量的长度(或模)：| AB | 或 | a |
复习回顾:
零向量的概念： 长度（模）为0的向量，记作 0 单位向量概念： 长度（模）为1个单位长度的向量
B A
(2)作 ABa,ADb 共
(3)以AB,AD为邻边 作平行四边形ABCD
起
D
C 则 ACab
点
作平移,共起点,四边形,对角线
课堂练习（一）
１.如图,已知a、b，用向量加法的三角形法则 作出a+b．
(1)
a+b
b
(2)
b
a
a
向量加法运算及其几何意义
课堂练习
教材P84页练习4.
1 a+b = ___c___
2c+d = ___f___
3 a+b+c = ___f___ 4c+d+e = ___g___
D
e
E
f
g
c
Aห้องสมุดไป่ตู้
a
d
C
b
B
向量加法的运算律
数的加法满足交换律和结合律，那么对任意向量 a, b 的加法
是否也满足交换律和结合律？请画图进行探索。
连结OC,则 OC OA OB a b.
O
a
A
ab
b
B
C
练习:P84,第1,2,3题 平行四边形法则
课堂练习
教材P84页练习3.
1a+d= ___D_A___
2c+b= ___C_B___
C
D
d
c
O
a
A
b
B
课堂练习
向量加 法
教材P84页练习2.
2、（1）
b
ab
ba
（2）
b
a
ab
a
课堂练习
例1.如图,已知向量 a, b,求作向量 a b 。
作法1：在平面内任取一点O，
b
作 OA a，AB b，
a
则 OB a b 。
O
a
A
b
ab
B
三角形法则
例1.如图,已知向量 a, b,求作向量 a b 。
作法2：在平面内任取一点O，
作 OA a，OB b，
b
以OA,OB为邻边作平行四边形OACB， a
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一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的 加法.
如图，对于下列两个向量，如何求出和向量？
b
a
任意给出两个向量 a与b
向 量 加 法 的 法 则
O
a
b
三 角 形 法 则: B
A
作法:1.取点:在平面内任取一点O; 2.平移:作 OA a, AB b 3.连线：则 OB OA+AB=a b.
解：（ 1 ） OA OC OB;
E
D
（2） BC FE AD;
（ 3 ） OA FE 0.
（4）OA + OB 2
F A
O
B
C
OA OB 3
巩固练习：
学案P61：例3、例4
例2 长江南岸某渡口处,江水以12.5km/h速度向东流，渡船
C
C A B a b AB BC AC
当向量a, b同向时，a b的方向与a , b同向.
当a , b反向时，a b的方向与a、b中模大的向量同向.
巩固练习
•课本P65：练习1 - 2
巩固练习
１.化简
AD . (1) AB CD BC ________ MN . (2) MA BN AC CB ________ (3) AB BD CA DC ________ 0 .来自
OB BC OC 所以, (a b ) c a (b c（结合律） ) .
任意给出两个向量 a与b , 如何求 a b.
向 量 加 法 的 法 则
O
a
b
三角形法则: B
b
平行四边形法则: C B
A
a
A
O
作法:1.取点:在平面内任取一点O; 2.平移:作 OA a,OB b 3.连线：以 OA OB OACB， ， 为邻边作平行四边形 则对角线 OC OA+OB=a b.
班级：高一（16）班 姓名：尹池江
引例
• 1+1在什么情况下不等于2？
• 例如右图，两个小孩分别用1牛 顿的力提起水桶，则水桶的重 力是2牛顿吗？
思考：
如图，元旦假期将到，某人计划外出旅游，先从A岛 到B岛，再从B岛到C岛，这两次的位移之和可以用哪 一个向量表示？
A
C
B
上述现象表明，两个向量可以求和，并且两个向量 的和还是一个向量.
3. a与 b为相反向量
a b 0.
练习 ：若向量 a与 b 同向，则向量 a b的方向如何？如 何作出和向量？若向量 a与 b 反向，则向量 a b 的方向
如何？如何作出和向量？
a b a
b
B A a b AB BC AC
平行四边形法则求和向量的关键：
同起点的对角线.
力的合成可以看作向量加法平行四边形法 则的物理模型.
归纳小结
加 法法则
三角形法则 平行四边形法则
连接
起终相连 起点重合
指向
起 →终 同起点的对角线
注： 1.平行四边形法则适用范围是非零不共线向量 2.任意向量与零向量的和仍是这个向量 即 a 0 0 a a.
•评：用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表 示物理量，再进行向量运算，最后回到物理问题， 解决问题.
巩固练习
1.若a表示“向南走10km”, b表示“向西走10 3km”, 20km 则a b表示 西偏南60°方向走 .
2.若a， b满足 a 3， b 5，求 a b 的 最大值，并指出a， b满足什么条件时? a b 取到最大值 8 .
三角形法则求和向量的关键：
起点、终点顺次相连
起→终
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.
巩固练习
化简： 1. (1) AB BA (2) AB BC CD (3) AB BC CD DA
a b 与 a b 课后探究：观察下列各图， 的大小关系如何？a b 与 a b 的大小
关系如何？
b
a b
b
a
b
a
a
a+ b
a b
a b
课堂小结
向量加法的物理背景
位移的合成可以看作向量加法三角 形法则的物理模型 三角形法则 力的合成可以看作向量加法平行四边 形法则的物理模型.
向量的加法运算
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法实际应用
作业
课本P65-66
练习5-9
学案：《向量的加法》习题
２.根据图示填空
E
g
e
f
a
D d
(1)a b (2)c d (3)a b d (4)c d e
c f
. .
A
c
B
b
C
f g
. .
应用举例
例1 已知O为正六边形ABCDEF的中心，说出下列向量的和， 并在图中作出：（） 1 OA OC；（2） BC FE ； (3) OA FE. （4）若正六边形的边长为1，求 OA + OB 和 OA OB
思考1：如果平面内有n个向量依次首尾连接组成 一条封闭折线，那么这n个向量的和是？
即： A0 A1 A1 A2 + An-1 A0 = 0
a b c OA AB BC 所以, a b b a（交换律） .
速度为25km/h,渡船要垂直的渡过长江，其航向应如何确定？ 解：如图，设AB表示水流的速度， AD表示渡船的速度， AC表示渡船实际垂直过江的速度.
C
因为AB+AD=AC， 所以四边形ABCD为平行四边形 在Rt△ACD中，∠ACD=90°，|AD|=25， A |DC|=|AB|=12.5， 所以∠CAD=30° •答：渡船要垂直地渡过长江，其航向为北偏西30°.
思考：实数的加法运算满足交换律、结合律，那 C 么向量的加法是否也满足上述规律？ a B a b c C c b c a b b a b B b O a O A a b A a b OA AC OC . a b c OA AB BC AC OC b a OB BC OC . OA