直线与圆锥曲线的综合问题专题二

专题二 直线与圆锥曲线的综合问题

第一课时

一.知识体系小结

22

2222222222

222222

cos 1(0)()sin 11(0)1(00)1(00)2(0)2(0213x a x y x a b y b a b y x

y a b a b

x y y x x a b y a b a b a b y px p y px p

圆锥曲线的标准方程

椭圆：焦点在轴上时参数方程，其中为参数； 焦点在轴上时．

双曲线：焦点在轴上：，；焦点在轴上：，．

抛物线：开口向右时，，开口向左时，．22)2(0)2(0)x py p x py p ，开口向上时，开口向下时．

2222

2222

2222

222222

222222

221111

1(0)123142x y x y a b a b x y x y

a b a b x y x y

a b a b

mx ny 常用曲线方程设法技巧

共焦点的设法：与椭圆有公共焦点的椭圆方程为；与双曲线有公共焦点的双曲线方程为；与双曲线共渐近线的双曲线方程为；中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆、双曲线方程可设为；不清楚开口方向的抛．物线设法：焦22(0)(0)x y mx m y x my m 点在轴上，； 焦点在轴上，．

3．解决直线与圆锥曲线问题的通法: (1)设方程及点的坐标；

(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程； (3)应用韦达定理及判别式；

(4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．

1212|||| |.AB AB x x y y (5)直线与圆锥曲线相交的弦长公式或 222

0002220

222

0002220

2000

1()1()2(0)().

b x x y P x y k a b a y b x x y

P x y k a b a y p

y px p P x y k y 圆锥曲线中点弦斜率公式

在椭圆中，以，为中点的弦所在直线的斜率；

在双曲线中，以，为中点的弦所在直线的斜率；

在抛物线中，以，为中点的弦所在直线的斜率以上公式均可由点4．差法可得．

(1)(1234)05.()n k m n k m

OA OB AB OA OB AB PM PN P MN AP AQ BP BQ A B PQ

解析几何与向量综合的有关结论

给出直线的方向向量，或，，等价于已知直线的斜率或

给出与相交，等价于已知过的中点．

给出，等价于已知是的中点．

给出，．等价于已知，与的中点三点共线．

u u

106//50AB AC AB AC OC OA OB A B C MA MB MA MB AMB MA MB m AMB MA MB m

给出以下情形之一：①；②存在实数，使；

③若存在实数，，且，使，等价于已知，，三点共线．

给出，等价于已知，即是直角；给出，等价于已知是钝角或反向共线；给出

70(AMB MA MB

MP MP AMB MA MB

，等价于已知是锐角或同向共线．

给出，等价于已知是的角平分线．二. 例题剖析

1.概念性质

22

121221259

||12||______1____.

x y F F F A B F A F B AB 已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点．

若，则【例】 解析:由椭圆的定义可知：|F 1A |+|F 2A |=2a =10，|F 1B |+|F 2B |=2a =10，所以|AB |=20-|F 2A |-|F 2B |=8. 小结: 1．对椭圆、双曲线，已知曲线上的点与一个焦点的距离时，常作辅助线：连结它与另一个焦点，考虑使用定义解题．

2．要熟悉焦点三角形的性质及研究方法 22

121121123

A 7

B 5

C 4

D 3x y F F P PF y PF PF 椭圆的焦点为，，在椭圆上，如果线段的

中点在轴上，则是的．倍 【变式训练1】 ．倍 ．倍 ．

倍

2221123373

222

7b PF x PF PF a PF PF 解析：由题意，轴，则可计算出，因此是的倍．答案为A

2.椭圆方程

22

1122122211(0)1,01.

12().

.

2y x C a b A C a b

C P C y x h h R C P C M N AP MN h 已知椭圆：＞＞的右顶点为，过的焦点且垂直

长轴的弦长为求椭圆的方程；

设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点、当线段的中点与的中点的横坐标相等时，】求【的最小值例

22212 . .

11

4112b a x b b a

y

由题意解析：椭圆方程为，得，从而因此，所求的 211222212222222214221()()()|22.4(2)40.4(1)4()()40.16[2(2)4]0.2x t M x y N x y P t t h C P y t MN y tx t h C x tx t h t x t t h x t h MN C t h t h 设，，，，，，则抛物线在点处的切线斜率为，

直线的方程为：将上式代入椭圆的方程中，

得即①因为直线与椭圆有两个不同的交点，

所以①式中的＞②

设212332

()

.22(1)

x x t t h MN x x t 线段的中点的横坐标是，则244342221

.(1)10.2

(1)401 3.320,401.1111.

1t PA x x x x t h t h h h h h h h t h t h h

设线段的中点的横坐标是，则由题意，得，即③由③式中的，得，或当时，＜＜，则不等式②不成立，所以当时，代入方程③得，将，代入不等式②的，检验成最小立以，值为．所 22

12221

12210,0,02()0x y a b e

F c a b

F c Q x FQ a P x y QF T F Q PT TF T

已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，，是椭圆外且不在轴上的动点，满足，点，是线段与椭圆的交点，点是【变式训练2线段上的点，且满足，求点】的轨迹． 112212111

2

2

22222121211()(),022,2.24x y 24y 44.

T x y Q x y F c PT TF FQ a T F Q x c x y y FQ a x c y x a a a c c 不妨设，，，，如图所示，．

且，得为的中点．因此有，则可得，因此有，

化简因为又因为得解析：

【例3】如图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；

(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1+y 2的值及直线AB 的斜率．

221

21212211222.1,2221 2.22

(1)(1)111

.

()()4 1.

2PA PB PA PB PA PB y px P p p y y PA k PB k k x k x x x PA PB k k A x y B x y y x x 由已知条件，可设抛物线的方程为因为点在抛物线上，

所以，解得故所求设直线的斜率为，直线的抛物线的方程是，其准线方程是斜率为，则，．因为与的斜率存在且倾斜角互补，所以由，，，均解析：在抛物线22112244y x y x 上，得， ① ，

②