杆梁结构的有限元分析原理
第9章 桁架和梁的有限元分析
第9章桁架和梁的有限元分析
第1节基本知识
一、桁架和梁的有限元分析概要
1．桁架杆系的有限元分析概要
桁架杆系系统的有限元分析问题是工程中最常见的结构形式之一，常用在建筑的屋顶、机械的机架及各类空间网架结构等多种场合。
桁架结构的特点是，所有杆件仅承受轴向力，所有载荷集中作用于节点上。由于桁架结构具有自然离散的特点，因此可以将其每一根杆件视为一个单元，各杆件之间的交点视为一个节点。
2．梁的有限元分析概要
梁的有限元分析问题也是是工程中最常见的结构形式之一，常用在建筑、机械、汽车、工程机械、冶金等多种场合。
梁结构的特点是，梁的横截面均一致，可承受轴向、切向、弯矩等载荷。根据梁的特点，等截面的梁在进行有限元分析时，需要定义梁的截面形状和尺寸，用创建的直线代替梁，在划分网格结束后，可以显示其实际形状。
二、桁架和梁的常用单元
桁架和梁常用的单元类型和用途见表９-1。
通过对桁架和梁进行有限元分析，可得到其在各个方向的位移、应力并可得到应力、位移动画等结果。
第2节 桁架的有限元分析实例
一、案例1——2D 桁架的有限元分析
图9-1 人字形屋架的示意图 问题
人字形屋架的几何尺寸如图9-1所示。杆件截面尺寸为0.01m 2，试进行静力分析，对人字形屋架进行静力分析，给出变形图和各点的位移及轴向力、轴力图。
条件
人字形屋架两端固定，弹性模量为2.0×1011 N/m 2，泊松比为0.3。
解题过程
制定分析方案。材料弹性材料，结构静力分析，属2D 桁架的静力分析问题，选用Link1单元。建立坐标系及各节点定义如图9-1所示，边界条件为1点和5点固定，6、7、8点各受1000 N 的力作用。
杆梁结构的有限元分析原理
• 所有物理量的表达（所有力学量都用结点位
移来表达）
其中
• 单元的平衡关系
上式的实质（物理含义）是对应于单元体内的力 平衡和单元结点上的力平衡。 (3) 装配集成
• 整体平衡关系
其中
(4) 处理BC并求解结点位移 目的是获得满足位移边界条件的许可位移场。
其中，qu为未知结Baidu Nhomakorabea位移，qk为已知结点位移， Pu为未知结点力（即支反力），Pk为已知结点力。
有
则结点1的外力为：
(7) 讨论
如果我们在处理位移边界条件之前，先对总势能取 极值，有
在上述方程的基础上，再处理位移边界条件(BC)， 即令u1=0，即可从上述方程求出u2，u3和P1，其求解 的值与前面的结果完全相同。
这就给我们提供了一个方便，即，可以先 进行各单元的装配集成，以形成该系统的 整体极值方程，类似于上页的式子，最后 才处理位移边界条件，同时也可以通过该 整体方程直接求出支反力。这样可以适应 更多的边界条件工况，更具有通用性。
其中， 为整体坐标系下的单元刚度矩阵， 为 整体坐标系下的结点力，即
由最小势能原理（针对该单元），将 对待定的 结点位移向量 取一阶极小值，有整体坐标系中 的刚度方程
对于本节给出的杆单元，具体有
4.3.3 空间问题中杆单元的坐标变换
就空间问题中杆单元，局部坐标系下的结点位移还 是 而整体坐标系中的结点位移为
2_杆系结构有限元分析1
( x) Nii N j j
x x N 1 , N 其中 i 为形函数。 j l l
由材料力学扭转可知
d dN e e M GI p GI p θ GI p B θ dx dx
其中 B
dN 1 1 dx l l
§1-2 扭转杆单元
ul' cos ul ' vl sin
sin ul λul cos vl
l i, j
§1-1 拉(压)杆单元
对两结点杆单元，当用总体坐标系位移ue表示局部坐标系中 位移(u´)e 时有转换关系
ui( Ui ) uj( Uj)
i
x
l
j
x´
单元在结点力作用下各点的位移叫内位移 描绘内位移的函数叫位移函数
设位移函数：u(x)=a1+a2x
a1,a2是两个待定常数，可由i，j两结点的位移唯一确定。
§1-1 拉(压)杆单元
x=0，u(0)=ui x=l，u(l)=uj a1=ui , 代入位移函数：u(x)=a1+a2x a2=(uj-ui)/l ui uj ui =Nue uj
一般规定
杆单元ij，单元局部坐标系为o´x´y´z´，i点为原点，x轴沿 着杆轴线，其正方向为由i指向j，其余各轴按右手螺旋规则确 定。设ui，vi，wi，uj，vj，wj为杆元结点位移分量；Ui，Vi，Wi ，Uj，Vj，Wj为杆单元结点力分量，一律规定和坐标轴正向一 致时为正。设杆的长度为l，弹性模量为E，横截面积为A。
梁的有限元分析原理
梁的有限元分析原理
梁的有限元分析原理是一种工程结构分析方法，广泛应用于建筑、桥梁、航空航天、汽车等领域。它通过将连续的结构离散化为有限数量的小单元，通过数学模型进行计算，得出结构的力学性能和响应情况。梁的有限元分析原理是有限元分析的基础，下面将对其进行详细介绍。
首先，梁的有限元分析原理基于梁理论，即在横向较小、纵向较长的情况下，结构可以近似为一维梁。梁的有限元分析原理通过将梁划分为多个单元，每个单元内部可以看作两个节点之间的一段杆件，通过建立节点之间的力学关系方程，得到整个结构的力学性能。
其次，梁的有限元分析原理利用了变分原理，即将结构的势能取极小值，建立了结构的力学方程。通过对于梁的弯曲、剪切和轴向力等方面的力学模型进行合理的假设与简化，可以得到结构的位移与力的关系，从而解决结构的力学问题。
在梁的有限元分析中，需要进行以下几个步骤：
1.几何离散化：将梁结构划分为多个单元，每个单元具有相同的形状与尺寸，通常为矩形或三角形。
2.模型建立：根据梁理论以及力学方程的简化假设，建立节点的力学关系方程，包括位移、应力、应变等参数。
3.材料性能定义：确定梁材料的力学性能参数，如弹性模量、截面惯性矩等。这些参数对梁结构的力学性能具有重要影响。
4.边界条件施加：根据实际问题设定边界条件，包括固定支座、约束条件等。这些条件对于解决梁结构的位移、应力等问题至关重要。
5.方程求解：通过数学方法求解得到节点之间的力学关系方程，利用
数值计算技术进行迭代求解，得到梁结构的位移、应力等参数。
6.结果分析：根据求解得到的结果，进行力学性能分析，如最大应力、挠度、模态分析等。根据分析结果评估结构的强度与稳定性。
第五章杆系结构的有限元法
第五章 杆系结构的有限元法 5.1 引言
杆系结构是工程中应用较为广泛的结构体系，包括平面或空间形式的梁、桁架、刚架、拱等。其组成形式虽然复杂多样，但用计算机进行分析时却较为简单。杆系结构中的每个杆件都是一个明显的单元。杆件的两个端点自然形成有限元法的节点，杆件与杆件之间则用节点相连接。显然，只要建立起杆件两端位移与杆端力之间的关系，则整体平衡方程的建立与前几章完全相同。
杆端位移与杆端力之间的关系，可用多种方法建立，包括前面几章一直采用的虚功原理，但是采用材料力学、结构力学的某些结论，不仅物理概念清晰、直观，而且推导过程简单明了。因此，本章将采用这种方法进行单元分析。至于整体平衡方程的建立，则和前面几章所讲的方法一样，即借助于单位定位向量，利用单元集成法进行。
5.2 平面桁架的有限元分析
平面桁架在计算上有以下几个特点： 1． 杆件的每个节点仅有两个线位移； 2． 杆件之间的连接为理想铰，即在节点处各杆件可相对自由转动，且杆件轴线交于一点。 3． 外载荷均为作用于节点的集中力。
由于以上特点，所以在理论上各杆件只产生轴向拉、压力，截面应力分布均匀，材料可得到充分利用，因此桁架结构往往用于大跨结构。
5.2.1 局部坐标系下的单元刚度矩阵
从平面桁架中任取一根杆件作为单元，称作桁架单元，单元长为L ，横截面面积为A ，图5.1。两端节点分别用i 和j 表示，规定从i 到j 的连线方向为局部坐标x 轴，垂直于x 的方向为y 轴。
图5.1
由于桁架中各杆只产生轴向力和轴向变形，所以节点i 和j 只发生沿x 方向的位移，用i u 和j u 表示，相应的杆端轴力分别用xi F 和xj F 表示。由虎克定律可推得
杆系结构的有限元法分析
2021/6/19
12
2.2.1 拉压杆单元
ui Fi i y
q(x)
Fj
uj
x j
拉压杆单元示意图
2021/6/19
13
① 用结点位移表示单元上任意截面的位移u
u(x) a bx
其中 a、b 为待定系数。
由位移的边界条件： u(0) ui
u(l) u j
a ui b u j ui
根据应变的定义，有：
du dx
dN dx
δⓔ
1 l
1 l
δⓔ
Bi
Bj δⓔ Bδⓔ
由虎克定律，其应力为：
E EBδⓔ
2021/6/19
16
③ 求单元刚度矩阵
利用虚位移原理求单元刚度矩阵：
假设杆端 i 、 j 分别产生虚位移 ui 、 u j ，则由此引起的杆
轴任意截面的虚位移为： u N ui ui T N δ ⓔ
根据定义，可以进一步求得单元刚度矩阵为：
kⓔ
EA l
1 1
1
1
18 2021/6/19
2.2.2 扭转杆单元
i Mi i y
m (x)
扭转杆单元示意图
Mj j x
6 4
3 (7 8 9) 3
1
2 (0 0 1)
1 (1 2 3)
单元划分示意图
杆梁结构的有限元分析原理
BEAM23 2-D Plastic Beam a uniaxial element with tension-compression and bending capabilities
BEAM54 2-D Elastic Tapered Unsymmetric Beam This element allows a different unsymmetrical geometry at each end and permits the end nodes to be offset from the centroidal axis of the beam
39
（1）半带宽存贮法
行号
UBW
1 → 0 0
000
IR →
0
0
0
N→
列号 1
JC
方阵形式
行号
UBW
1 → 0 0
0 0 0
IR → 0
杆梁结构有限元分析
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（3）平面杆单元坐标变换 总体坐标系与局部坐标系间结点力的关系式:
f e TT f 'e
u' e
uuvi'i'j'
λ
v'j
λ
uuviij
Tue
v j
ue T 1 u'e T T u'e
f e T T f' e T T K 'e u' e T T K 'e Tue
将压杆件看成是连接三 个节点的两个单元
单元①，由材料力学公式：
l Fl EA
可得到杆件一端位移为1，另一端位移为0时所需 加的力。
同理，对单元②同样处理(所有节点位移和节点力 均向右为正)。
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（1）平面压杆有限元法的直接法
由作用和反作用定律可知，节点1、2、3的受力：
Ui U j 0
Vi V j 0
Mi M j 0
3.1 杆梁结构的直接解法
机械分社
（2）平面梁单元有限元法的直接法
Fi e Fje
Kiei
K
e ji
Kiej
K
e jj
e i
e j
（3）平面杆单元坐标变换
需要将原来在局部坐标系中所得到的单元表达等价地转换 到整体坐标系中。
第二章 有限元分析基本理论
第二章 有限元分析基本理论
有限元法的基本思路是将一个连续求解区域分割成有限个不重叠且按一定方式相互连接在一起的子域(单元)，利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数。单元内的场函数通常由未知场函数或其导数在单元各个节点的数值和其插值函数来近似表示。这样，未知场函数或其导数在各个节点上的数值即成为未知量(自由度)。根据单元在边界处相互之间的连续性，将各单元的关系式集合成方程组，求出这些未知量，并通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到全求解域上的近似解。
有限元将一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题进行求解。如果将区域划分成很细的网格，也即单元的尺寸变得越来越小，或随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断被改进。如果单元是满足收敛要求的，近似解最后可收敛于精确解。
2.1 有限元分析的基本概念和计算步骤
首先以求解连续梁为例，引出结构有限元分析的一些基本概念和计算步骤。
如图2-1，连续梁承受集中力矩作用。将结构离散为三个节点，两个单元。结构中的节点编号为1、2、3
2.1.1单元分析
在有限元分析过程中，第一步是进行结构离散，并对离散单元进行分析，分析的目的是得到单元节点的力与位移的关系。单元分析的方法有直接法和能量法，本节采用直接法。
从连续梁中取出一个典型单元e ，左边为节点i ，右边为节点j 。将节点选择在支承点处，单元两端只产生转角位移e i θ、e
j θ，顺时针转动为正。独立的单元杆端内力为弯矩i m 、j m ，顺时针为正。
第二章-杆和梁结构的有限元法.
弹簧单元的刚度矩阵
kui
k
u
j
d 单元节点位移向量
f 单元节点力向量
思考问题： 1）k 有什么特点？
k
kii k ji
kij
k
jj
2）k 中元素代表什么含义？
3）上面方程可以求解吗？为什么？
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
求解一个弹簧系统：
1）各单元的特性分别为：
单元1： 单元2：
k1 k1 k2 k2
k1u1
k1
u2
f11
f
1 2
k2 k2
uu32
f12
f
2 2
第二章 杆和梁结构的有限元法
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
方法2：单元刚度方程扩大叠加 a.将单元刚度方程扩大到整体规模：
元素按总体 节点序号重 新排列，对 号入座。 要点：1、单元刚度方程扩大规模并不改变其表达的力学关系。 2、扩大后的单元刚度方程采用整体节点位移列阵。 3、扩大后的方程中矩阵元素按对应的整体节点序号排列！
第二章 杆和梁结构的有限元法
上面方程写成 矩阵形式：
有限元-梁系结构的有限元法
4x l
3x 2 l2
) i
x l
(3x l
2)
j
容易验证 ： x 0： u ui v vi i x l： u u j v v j j
(3-1a)，(3-1b)或(3-2a)，(3-2b)称为平面梁单元的位移插值 函数
二、建立节点位移与节点力关系
1、 轴向节点力
E Fx A
u
v
ui
1 (u l
(1
3x 2 l2
j
u
2x l3
i )x (1
3
)vi
x2 l2
x l )ui
x l
u
j
(3
2
x l )v j
x(1
2x l
x2 l2
) i
x2 l
(x l
1)
j
(3 2a) (3 2b)
dv dx
6x l2
(x l
1)vi
6x l2
(1
x l )v j
(1
因为：
du dx
1 l
ui
1u l
j
所以：Fx
EA
EA l
ui
uj
在局部坐标中：
Fx
i
EA l
ui
uj
Fx
j
EA l
uj
杆结构 分析的有限元方法(有限元)
杆单元形状函数
杆单元刚度矩阵
平面问题中的坐标变换
梁结构分析的有限元方法
梁：承受横向荷载和弯矩的杆件。
梁的主要变形为挠度v
横截面变形前后都垂直于杆变形前的轴线x轴
中性层变形=0
纯弯曲没有剪力，只有弯矩
梁截面的惯性矩
杆结构分析的有限元方法
杆：承受轴向荷载的杆件
最基本的承力结构件：杆、梁
弹簧--简单的承受轴力的结构件
有限元方法中，每一个处理步骤都是标准化和规范化的，
因而可以在计算机上通过编程来自动实现。
F=kδ
k--刚性系数
位移的绝对变化量/杆件的伸长量δ=u2—u1
应力某截面上单位面积上的内力/内力的分布集度
应变相对伸长量单位长度的伸长量
杆单元的特性是节点位移及节点力的方向都是沿轴线方向。
杆结构来自百度文库力学分析
铰接的杆结构----杆只受轴力-----杆件拉伸问题---可自然离散
两端为铰接的杆件只承受轴力。
各个单元研究（基于局部坐标系的表达)
各个单元研究
离散单元的集合、组装
杆单元及坐标变换
自由度：描述物体位置状态的每个独立变量。
对于杆单元，其节点位移有两个自由度。
第二章-杆和梁结构的有限元法案例
2.2.2 二维空间 杆单元
什么叫坐标变换？
如何对节点位移向量进行坐标变换？
什么是虚功原理？ 杆单元刚度矩阵的特点？
如何对刚度矩阵进行坐标变换？ 应用举例——二维桁架
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
研究一个2节点一维等截面杆单元：
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
3) 给定载荷和约束条件下的求解 设边界条件为：
u1 0 F2 F3 P
则系统平衡方程为：
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
该方程展开后分为2个部分： 未知量为2个节点位移 u 2 , u3 和一个支反力 F1
解上面方程得：
第二章 杆和梁结构的有限元法
§2.2.1 等截面杆单元
截面法
f i = - F = - k (u j - ui ) f j = F = k (u j - u i )
禳 fi 镲 睚 fj 镲 铪
第二章
轾 k =犏 犏 -k 臌
-k k
禳 ui 镲 睚 uj 镲 铪
{ f } = [ K] {u}
杆和梁结构的有限元法
式中 N N i
N j ,称为单元形函数矩阵。
杆梁结构的有限元分析原理[详细]
![杆梁结构的有限元分析原理[详细]](https://img.taocdn.com/s3/m/a4e2b56776eeaeaad1f330d6.png)
本章主要内容
4.1有限元分析的完整过程 4.2有限元分析的基本步骤及表达式 4.3杆单元及其坐标变换 4.4梁单元及其坐标变换
4.1有限元分析的完整过程
E1=E2=2E7Pa A1=A2=2cm2 l1=l2=10cm
P3为10N作用下二杆结构的变形。
问题的解题思路： 1）用标准化的分段小单元来逼近原结构 2）寻找能够满足位移边界条件的许可位移场 3）基于位移场的最小势能原理来求解
基本变量为：
节点 位移
(1)
内部各 点位移
(2)
应变
(3)
应力
完整的求解过程
1）离散化 该构件由两根杆件做成，因此可以自然离散成2个杆单元。
假定以这类单元位移的特征为两个端点位移，就这两个离散单元给出 节点编号和单元编号。
单元1：i=1，j=2 单元2：i=2，j=3
2）单元分析
单元位移模式：u(x)=a0+a1x
y
x
ui ui cos vi sin
v
R
u j u j cos v j sin
B
u
Xi Xi cos Yi sin
y
X j X j cos Yj sin
写成矩阵形式为
o
x u A
qe Tq e Pe TPe
其中是一个单位正交矩阵，单位正交矩阵的逆即等于其转置。
桥梁结构分析的杆系有限元法及结构模型的建立2015
2．引入边界条件，求解节点位移
3．后处理计算。根据需要计算变形、应力和反力等
有限单元法概述
分解 结构 合成 单元
刚架分析的 移植 弹性力学的
矩阵位移法
有限元法
连续问题 无限自由度问 题 微分方程问题
离散化
离散问题 有限自由度问 题 代数方程问题
有限单元法概述
有限元法是20世纪40年代萌芽,近20、30年来得到迅猛 发展的现代数值方法。 有限元法的解题思路是: “先分后合” 从求解基本未知量入手，化无限自由度问题为有限自由 度问题，用节点上的力学特征去确定整体结构的力学特 征(如用节点位移去确定整体位移，用节点等效集中荷 载去表示实际的分布荷载等)，从而把连续体问题的函 数解的研究转化为对若干节点上函数值的求解。
结构分析的有限元法
• 有限元程序的开发是有限元研究一个很重要的部分，它是 理论与方法的载体，是理论应用于实际必不可少的桥梁， 是有限元学术和实际应用水平的代表。具有好的高深的理 论与算法并不等于有好的程序，因为有限元法从它诞生到 广泛应用于实际，都是带有强烈的工程背景，都需要有实 际经验的多年积累，丰富的计算机使用知识，大量的智力 劳动和资金投入，多年的开发，维护、改进，才能研究开 发出好的程序来。整个程序的发展历史也体现出了这一规 律。
结构分析程序设计
• 程序设计需要一种算法语言。在WINDOWS操作系统推出 以前，我国土木工程界的结构分析程序设计所使用的计算 机语言主要有基于DOS操作系统的FORTRAN语言、 BASIC语言和PASCAL语言。从实际应用的角度来看，结 构分析工作中使用FORTRAN语言较多，特别是大量的商 品化程序。在WINDOWS操作系统推出以后，计算机语言 呈现出了百花齐放的局面，最为引人注目的是Visual C++、 Visual Basic 中文版等。本书采用的编程语言是Visual Basic 5.0中文版。
杆系结构的有限元法
节点1
单元①
节点2 节点2
车辆工程教研室
单元②
节点3
4.1 概述
4.1.2 杆系单元
分类
桁架单元：桁架中的杆件 刚架单元：刚架中的杆件
区别：
桁架节点：铰节点
传递力！
刚架节点：刚节点
传递力和力矩！
车辆工程教研室
机电工程学院
4.1 概述
机电工程学院
4.1.3 杆系单元的有限元分析
与平面问题和空间问题比较， 基本流程完全相同； 具体计算细节需要按照杆系单元的特性来进行。
400mm
25kN 3
②
2
X
20kN
车辆工程教研室
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析
网格离散 单元分析：在局部坐标系下建立单元平衡方程 整体分析：在整体坐标系下组装整体平衡方程
因此，组装过程中需要两个坐标系之间的转换：
整体坐标系:OXY 局部坐标系: Oxy
节点坐标值：xi=0, xj=l 节点位移值：挠度vi和转角θi 节点力：弯距 Mi 和剪力 Qi
因此， 单元位移列阵：
单元载荷列阵： e vi i v j j T F e Qi Mi Qj M j T
车辆工程教研室
机电工程学院
4.3 梁的有限元分析