函数中因动点产生的直角三角形问题
3、因动点产生的直角三角形问题
1
1、直线43
4
+-
=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；
（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为
S ．
① 求S 与t 的函数关系式；
② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S =4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；
③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．
O A C
B
x
y
2
C A B
E F M
N 图①
C
A
B
E
F M
N 图②
2、已知Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，CB CA =，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ．
（Ⅰ）当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的内部旋转时，如图①，求证：222BN AM MN +=；
思路点拨：考虑222BN AM MN +=符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，只需证BN DN =，︒=∠90MDN 就可以了． 请你完成证明过程：
（Ⅱ）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
3、如图，已知A、B是线段MN上的两点，4
MN，1
=
MB．以A为中心顺时针旋转点M，以B
二次函数中因动点产生的直角三角形压轴题问题
求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围；
(3)设二次函数的图象的顶点为 Q，当△ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时，求 k
的值．
考点剖析 本题考查了反比例函数性质、二次函数性质、待定系数法、勾股定理、数
形结合思想等，是一道难度较大的综合题．将“△ABQ 是直角三角形”这一条件与反比例
函数图象的中心对称性结合是解 题的关键．
点 D'．
设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G，与 AC 交于点 H．
由 BD∥AC，得∠DBG＝∠CAO，
∴ DG CO 3 . BG AO 4
∴DG＝ 3 BG＝ 9 ，
4
4
点 D 的坐标为(1，－ 9 )． 4
∵AC∥BD，AG＝BG，∴HG＝DG．
而 D'H＝DH，∴D'G＝3DG＝ 27 ， 4
点，据此，可以先画出相应的直线，然后由待定系数法求解．
解 (1)易得抛物线与 x 轴的交点坐标为 A（－4，0）、B(2，0)，对称轴是直线 x＝－1；
(2)△ACD 与△ACB 有公共的底边 AC，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，点 B、
D 到直线 AC 的距离相等，
如图 2，过点 B 作 AC 的平行线交抛物线的对称轴于点 D，在 AC 的另一侧有对应的
4
2
所以当 k<0，且 x<－ 1 时，反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大； 2
因动点产生的等腰、直角三角形问题
因动点产生的等腰、直角三角形问题
例1：2012年广东省中考模拟试题第22题
例2：2012年东莞市中考一模第22题
例3：2012年广东省佛山市中考第22题
例4：2013年学大教育模拟试题第25题
命题规律与方向解读：
压轴题都是动态几何问题，难度比较大，通常把数与方程，函数与方程，函数与面积，相似三角形、全等三角形等联系在一起，有较强的综合性，对学生综合运用所学知识解题有很高的要求，考查学生运用代数方法解决几何问题的能力和综合解题的能力，近三年都是这个特点，预计2013年中考广东省试题还会延续以前的特点。
备考建议：
在日常的教学中我们也可以尝试把这样的题目分散难点呈现，把综合题分解为较简单的几个小题目，逐个击破，不仅可以培养学生化繁为简、分步突破的能力，还有助于提高学生解决压轴题的自信心。
典型例题分析：
例1：（2012年广东省中考模拟）如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
思路点拨
1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小．2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．
满分解答：
（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，
中考复习讲义 压轴题一：两招破解因动点产生的的直角三角形难题 ：因动点产生平行四边形的存在解题策略
压轴题一：两招破解因动点产生的的直角三角形难题
一、问题导读
因动点产生的直角三角形问题是中考试卷的考查热点，解决这类问题时，我们常常需要分情况讨论，即究竟哪个角是直角。具体解题策略分类说明如下。
二、典例精析
类型1.两动点或三动点形成的直角三角形
重要策略：
分角讨论法：讨论直角三角形的时候，如果能设出或明确出三角形三个顶点坐标，可利用两点间距离公式分别求出三角形三边长，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。涉及到的知识点有：全等；相似倒角；函数交点；两一次函数斜率之积为-1等知识求解；
例1.（2018秋梁子湖区期末）如图，已知直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过y＝ax2+bx+c经过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）若抛物线的解析式为y＝﹣1/2x2+x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．
①求点M、N的坐标；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）当点P的横坐标为2时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①把二次函数表达式化为顶点式表达式，即可求解；
②不存在．理由如下：设点P 的坐标为（m，﹣m+4），则D（m，﹣1/2m2+m+4），PD＝﹣1/2m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣1/2m2+2m，当四边形MNPD为平行四边形，则：1/2m2+2m＝3/2，解得：m＝1，则：点P（3，1），由N（1，3），则由两点间距离公式可得：PN＝2√2≠MN，即可求解；
2014年中考专题复习之因动点产生的直角三角形问题(教案)
【教学标题】2014年中考专题复习之因动点产生的直角三角形问题（教案）
【专题诠释】
数形结合，掌握随点的位置的变换而导致的图形的变换，画图分析。
【例题讲解】
【例1】如图1，抛物线213
442
y x x =
--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧）
，与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的
一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ． （1）求点A 、B 、C 的坐标；
（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；
（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13山西26”，拖动点P 在线段OB 上运动，可以体验到，当P 运动到OB 的中点时，四边形CQMD 和四边形CQBM 都是平行四边形．拖动点P 在线段EB 上运动，可以体验到，∠DBQ 和∠BDQ 可以成为直角． 请打开超级画板文件名“13山西26”，拖动点P 在线段OB 上运动，可以体验到，当P 运动到OB 的中点时，四边形CQMD 和四边形CQBM 都是平行四边形．拖动点P 在线段EB 上运动，可以体验到，∠DBQ 和∠BDQ 可以成为直角．
思路点拨
1．第（2）题先用含m 的式子表示线段MQ 的长，再根据MQ ＝DC 列方程．
中考复习专题一 动点类问题专题(二)
中考复习专题一：动点问题
3、因动点产生的直角三角形问题
例1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13，CD //AB ，点E 为射线CD 上一动点（不与点C 重合），联结AE 交边BC 于F ，∠BAE 的平分线交BC 于点G ．
（1）当CE ＝3时，求S △CEF ∶S △CAF 的值；
（2）设CE ＝x ，AE ＝y ，当CG ＝2GB 时，求y 与x 之间的函数关系式；
（3）当AC ＝5时，联结EG ，若△AEG 为直角三角形，求BG 的长．
例2、抛物线233384
y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 、B 的坐标；
（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；
（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．
例3在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x 2＋x －1)的图象交于点A (1,k )和点B(－1,－k )．
（1）当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．
例4已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．
中考专题动点产生的直角三角形和平行四边形
＆1.3因动点产生的直角三角形问题
例13.（2011•沈阳）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交
抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．
①当线段PQ= AB时，求tan∠CED的值；
②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写
出点P的坐标．
温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，
以便作答．
例14（2011•温州）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（-4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P´（点P´不在y轴上），连接PP´，P´A，P´C．设点P的横坐标为a．
（1）当b=3时，
①求直线AB的解析式；
②若点P′的坐标是（-1，m），求m的值；
（2）若点P在第一象限，记直线AB与P´C的交点为D．当P´D：
DC=1：3时，求a的值；
（3）是否同时存在a，b，使△P´CA为等腰直角三角形？若存在，
请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由．
例15设直线l1:y1=k1x+b1与l2:y2=k2x+b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．
(1) 已知直线①
1
2
2
y x
=-+；②2
y x
=+；③22
y x
因动点产生的直角三角形问题(解析版)
因动点产生的直角三角形问题
例1 2015年上海市虹口区中考模拟第25题
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，CD//AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE交边BC于F，∠BAE的平分线交BC于点G．
（1）当CE＝3时，求S△CEF∶S△CAF的值；
（2）设CE＝x，AE＝y，当CG＝2GB时，求y与x之间的函数关系式；
（3）当AC＝5时，联结EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“15虹口25”，拖动直角顶点C运动，可以体验到，CG＝2GB保持不变，△ABC的形状在改变，EA＝EM保持不变．点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动E在射线CD上运动，可以体验到，△AEG可以两次成为直角三角形．
思路点拨
1．第（1）题中的△CEF和△CAF是同高三角形，面积比等于底边的比．
2．第（2）题中的△ABC是斜边为定值的形状不确定的直角三角形．
3．第（3）题中的直角三角形AEG分两种情况讨论．
满分解答
（1）如图2，由CE//AB，得
．
由于△CEF与△CAF是同高三角形，
所以S△CEF∶S△CAF＝3∶13．
（2）如图3，延长AG交射线CD于M．图2
由CM//AB，得
．所以CM＝2AB＝26．
由CM//AB，得∠EMA＝∠BAM．
又因为AM平分∠BAE，所以∠BAM＝∠EAM．
所以∠EMA＝∠EAM．所以y＝EA＝EM＝26－x．
图3 图4
（3）在Rt△ABC中， AB＝13，AC＝5，所以BC＝12．
①如图 4，当∠AGE＝90°时，延长EG交AB于N，那么△AGE≌△AGN．
直角三角形动点问题
因动点产生的直角三角形问题（练习）
1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244
m m
y x x m m -=-
++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．
（1）求点B 的坐标；
（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．
①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；
②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．
（3）如果以PD 为直径的圆E 与以QM 为直径的圆F 相切，求t 的值．
2.如图1，已知A、B是线段MN上的两点，4
MN，1
=
>
MB．以A为中心
MA，1
=
顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设x
AB=．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
二次函数压轴题总结
二次函数常见压轴
y=322
--x x （以下几种分类的函数解析式就是这个）
一、 因动点产生的线段和差问题
课前导学
线段和差的最值问题，常见的有两类： 第一类问题是“两点之间，线段最短”．
两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）． 三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．
两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，P A 与PB 的差的最大值就是AB ，此时点P 在AB 的延长线上，即P ′．
解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题．
图1 图2 图3
第二类问题是“两点之间，线段最短”结合“垂线段最短”．
如图4，正方形ABCD 的边长为4，AE 平分∠BAC 交BC 于E ．点P 在AE 上，点Q 在AB 上，那么△BPQ 周长的最小值是多少呢？
如果把这个问题看作“牛喝水”问题，AE 是河流，但是点Q 不确定啊．
第一步，应用“两点之间，线段最短”．如图5，设点B 关于“河流AE ”的对称点为F ，那么此刻PF ＋PQ 的最小值是线段FQ ．
第二步，应用“垂线段最短”．如图6，在点Q 运动过程中，FQ 的最小值是垂线段FH ． 这样，因为点B 和河流是确定的，所以点F 是确定的，于是垂线段FH 也是确定的．
图4 图5 图6
和最小，差最大
例： 在对称轴上找一点P ，使得PB+PC 的和最小，求出P 点坐标（PBC 的周长最短）
因动点产生的等腰三角形、直角三角形问题
因动点产生的等腰三角形问题
例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题
如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，点D 为边BC 的中点，DE ⊥BC 交边AC 于点E ，点P 为
射线AB 上的一动点，点Q 为边AC 上的一动点，且∠PDQ ＝90°．
（1）求ED 、EC 的长；
（2）若BP ＝2，求CQ 的长；
（3）记线段PQ 与线段DE 的交点为F ，若△PDF 为等腰三角形，求BP 的长．
图1 备用图
满分解答
（1）在Rt △ABC 中， AB ＝6，AC ＝8，所以BC ＝10． 在Rt △CDE 中，CD ＝5，所以315tan 544ED CD C =⋅∠=⨯
=，25
4
EC =． （2）如图2，过点D 作DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，垂足分别为M 、N ，那么DM 、DN 是
△ABC 的两条中位线，DM ＝4，DN ＝3．
由∠PDQ ＝90°，∠MDN ＝90°，可得∠PDM ＝∠QDN ．
因此△PDM ∽△QDN ．所以
4
3
PM DM QN DN ==．所以34QN PM =，43PM QN =．
图2 图3 图4
①如图3，当BP ＝2，P 在BM 上时，PM ＝1．此时3344QN PM =
=．所以319444
CQ CN QN =+=+=． ②如图4，当BP ＝2，P 在MB 的延长线上时，PM ＝5．此时31544QN PM ==．所以31
4
CQ CN QN =+=．
（3）如图5，如图2，在Rt △PDQ 中，3
tan 4
QD DN QPD PD DM ∠===．
2020年中考数学压轴解答题02 因动点产生的直角三角形问题(学生版)
备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律
专题02 因动点产生的直角三角形问题
【类型综述】
解直角三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标准,第二步列方程,第三步解方程并验根．
一般情况下,按照直角顶点或者斜边分类,然后按照三角比或勾股定理列方程．
有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．
解直角三角形的问题,常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．
如果直角边与坐标轴不平行,那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线,可以构造两个新的相似直角三角形,这样列比例方程比较简便．
【方法揭秘】
我们先看三个问题：
1．已知线段AB,以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？
2．已知线段AB,以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？
3．已知点A(4,0),如果△OAB是等腰直角三角形,求符合条件的点B的坐标．
图1 图2 图3
如图1,点C在垂线上,垂足除外．如图2,点C在以AB为直径的圆上,A、B两点除外．如图3,以OA为边画两个正方形,除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点,都是符合题意的点B,共6个．
如图4,已知A(3, 0),B(1,－4),如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上,求点C的坐标．
我们可以用几何的方法,作AB为直径的圆,快速找到两个符合条件的点C．
如果作BD⊥y轴于D,那么△AOC∽△CDB．
设OC＝m,那么34
1
m
m
-=．
这个方程有两个解,分别对应图中圆与y轴的两个交点．
【典例分析】
【例1】如图1,已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1,m),以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2),点A、B关于y轴的对称点分别为点A′、B′．
中考数学压轴专练专题03 因动点产生的直角三角形问题(学生版)
【类型综述】
解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．
一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．
有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．
解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．
如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．
【方法揭秘】
我们先看三个问题：
1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？
2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？
3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标．
图1 图2 图3
如图1，点C在垂线上，垂足除外．如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外．如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个．如图4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标．
我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C．
如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．
设OC＝m，那么34
1
m
m
-=．
这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点．
【典例分析】
例1 如图1，已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1,m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2)，点A、B 关于y轴的对称点分别为点A′、B′．
因动点产生的等腰三角形、直角三角形问题
因动点产生的等腰三角形问题
例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题
如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，点D 为边BC 的中点，DE ⊥BC 交边AC 于点E ，点P 为
射线AB 上的一动点，点Q 为边AC 上的一动点，且∠PDQ ＝90°．
（1）求ED 、EC 的长；
（2）若BP ＝2，求CQ 的长；
（3）记线段PQ 与线段DE 的交点为F ，若△PDF 为等腰三角形，求BP 的长．
图1 备用图
满分解答
（1）在Rt △ABC 中， AB ＝6，AC ＝8，所以BC ＝10． 在Rt △CDE 中，CD ＝5，所以315tan 544ED CD C =⋅∠=⨯
=，25
4
EC =． （2）如图2，过点D 作DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，垂足分别为M 、N ，那么DM 、DN 是
△ABC 的两条中位线，DM ＝4，DN ＝3．
由∠PDQ ＝90°，∠MDN ＝90°，可得∠PDM ＝∠QDN ．
因此△PDM ∽△QDN ．所以
4
3
PM DM QN DN ==．所以34QN PM =，43PM QN =．
图2 图3 图4
①如图3，当BP ＝2，P 在BM 上时，PM ＝1．此时3344QN PM =
=．所以319444
CQ CN QN =+=+=． ②如图4，当BP ＝2，P 在MB 的延长线上时，PM ＝5．此时31544QN PM ==．所以31
4
CQ CN QN =+=．
（3）如图5，如图2，在Rt △PDQ 中，3
tan 4
QD DN QPD PD DM ∠===．
二次函数中因动点产生的直角三角形_小结(26)
——二次函数中因动点产生的直角三角形
泉州五中 杨培锋
直角三角形，你能联想到什么？
1、勾股定理 2、射影定理 3、“一线三等角”模型 4、直径所对的圆周角是直角 5、斜率
引例：已知定点A（2,1）、B（6,4）和x轴上 一动点M，使得△ABM构成直角三角形？ 你能找到几个点M呢？
引例：已知定点A（2,1）、B（6,4）和x轴上 一动点M，使得△ABM构成直角三角形？ 你能找到几个点M呢？
Baidu Nhomakorabea
引例：已知定点A、B和x轴上一动点M，使得△ABM 构成直角三角形？若存在，能找到几个M点？ 若不存在，请说明理由.
求点：
例：已知定点A（2,1）、B（6,4） 和x轴上一动点M，使得△ABM构成直角三角形？ 请求出点M的坐标.
平面直角坐标系和抛物线结合起来考查，这种题的解 法套路一般都是固定的，同学们在学习的过程中只需 要牢固掌握直角三角形存在的基本模型：“两线一 圆”，这类点就可以轻松找到.
求点：
找到点后的计算有三种方法可选：
1、 代数法——勾股定理；
2、 几何法——“一线三等角”模型；
3、 解析法——利用斜率来计算.
泉州五中 杨培锋
法一：
求点：
例：已知定点A（2,1）、B（6,4） 和x轴上一动点M，使得△ABM构成直角三角形？ 请求出点M的坐标.
中考数学压轴题之动点问题
中考数学压轴题之——
一、因动点产生的直角三角形问题
1．已知，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=11，CD=6，tan∠ABC=2，点E在AD边上，且AE=3ED，EF∥AB交BC于点F，点M、N分别在射线FE和线段CD 上．
（1）求线段CF的长；
（2）如图2，当点M在线段FE上，且AM⊥MN，设FM•cos∠EFC=x，CN=y，求y关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长．
2．如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．
（1）分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；
（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；
（3）我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．
二、因动点产生的平行四边形问题
3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2﹣2ax ﹣3a （a ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：y =kx +b 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD =4AC ．
（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k ，b 用含a 的式子表示）；
（2）点E 是直线l 上方的抛物线上的一点，若△ACE 的面积的最大值为4
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专题6：函数中因动点产生的直角三角形问题
构造直角三角形的方法： 1．要分别考虑以三点为直角顶点的情况 2．再利用相似、勾股定理或者锐角三角函数的相关知识计算，从而求出对应的点坐标．
例题、已知：如图一次函数y ＝
12x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y ＝12x 2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝12
x ＋1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为(1，0)
(1)求二次函数的解析式；
(2)求四边形BDEC 的面积S ；
(3)在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由．
解：(1)将B (0，1)，D (1，0)的坐标代入y ＝12
x 2＋bx ＋c 得 1,10.2c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩
得解析式y ＝12x 2－32x ＋1………………3分 (2)设C (x 0，y 0)，则有
00200011,13 1.22y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩
解得004,3.x y =⎧⎨=⎩∴C (4，3)．………6分 由图可知：S ＝S △ACE －S △ABD ．又由对称轴为x ＝
32可知E (2，0)． ∴S ＝12AE ·y 0－12AD ×OB ＝12×4×3－12×3×1＝92
………………………8分 当P 为直角顶点时，如图：过C 作CF ⊥x 轴于F ．
∵Rt△BOP ∽Rt△PFC ，∴
BO OP PF CF =．即143a a =-． 整理得a 2－4a ＋3＝0．解得a ＝1或a ＝3
∴所求的点P 的坐标为(1，0)或(3，0)
综上所述：满足条件的点P 共有二个………………12分
(3)设符合条件的点P 存在，令P (a ，0)：
当P 为直角顶点时，
如图：过C 作CF ⊥x 轴于F ，
∵Rt △BOP ∽Rt △PFC ，∴
CF OP PF BO =,即341a a =-， 整理得a 2-4a+3=0，解得a=1或a=3，
∴所求的点P 的坐标为（1，0）或（3，0）， 综上所述：满足条件的点P 共有二个。