数学建模之机理模型建立的平衡原理
第5章机理分析建模法
1第四章 机理分析建模法机理分析方法立足于揭示事物内在规律机理分析是根据对现实对象特性的认识, 分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.的认识来源对现实对象 *与问题相关的物理、化学、经济等方面的知识.*通过对数据和现象的分析对事物内在规律做出的猜想(模型假设). 模型特点：有明确的物理或现实意义8.1 微分方程的建立实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的变化规律：y=y(t).建立关于未知变量、未知变量的导数以及自变量的方程建立变量能满足的微分方程23在工程实际问题中““改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词提示我们注意什么量在变化.关键词“速率”、“增长” “衰变” ，“边际的” ，常涉及到导数.建立方法常用微分方程运用已知物理定律 利用平衡与增长式 运用微元法应用分析法机理分析法一.运用已知物理定律建立微分方程模型时应用已知物理定律，可事半功倍例8.1.1 一个较热的物体置于室温为180c的房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体放入处于常温 m的介质中时，T的变化速率正与周围介质的温度差..比于T与周围介质的温度差45分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡分布均衡,,保持为保持为mm ，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似。
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T (t )，t ≥0，“T 的变化速率正比于T 与周围介质的温度差” 翻译为成正比与m T dtdT −数学语言6⎪⎩⎪⎨⎧=−−=.60)0(),(T m T k dt dT 建立微分方程其中参数k >0，m =18. 求得一般解为ln(T －m )=－k t+c ,代入条件，求得c=42 ，k=－ , 最后得2116ln 31,0,≥+=−t ce m T kt 或7最后得 T (t )=18+42 , t ≥0. t e2116ln 31结果 ：T(10)=18+42 =25.87℃，102116ln 31×e该物体温度降至300c 需要8.17分钟.二. 利用平衡与增长式许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等.利用变量间的平衡与增长特性，可分析和 利用变量间的平衡与增长特性，可分析和建立有关变量间的相互关系建立有关变量间的相互关系..例8.1.2人口增长模型对某地区时刻t t的人口总数P(t)，除考虑个对某地区时刻体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出的影响影响..89 在很短的时间段Δt 内，关于P(t)变化的一个最简单的模型是：{Δt 时间内的人口增长量}={Δt 内出生人口数}－{Δt 内死亡人口数}+ {Δt 内迁入人口数}－{Δt 内迁出人口数}{Δt 时间内的净改变量}={Δt 时间内输入量}－{Δt 时间内输出量时间内输出量}}般化更一基本模型不同的输入、输出情况对应不同的差分或微分方程.输入量：含系统外部输入及系统内部产生的量；输出量：含流出系统及在系统内部消亡的量.此类建模方法的关键是分析并正确描述基本模型的右端，使平衡式成立10例8.1.28.1.2 战斗模型两方军队交战，希望为这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的：预测哪一方将获胜？1.1. 预测哪一方将获胜？估计获胜的一方最后剩下多少士兵？2.2. 估计获胜的一方最后剩下多少士兵？3. 计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗？兵才能赢得这场战斗？11问题分析设x(t) ) ——t时刻X方存活的士兵数；y(t) ) ——t时刻Y方存活的士兵数；假设：1) 双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗，x(t)与y(t)都是连续变量.2) Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X 方军队a 名士兵；3) X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军队b名士兵；1213即有 Δx =－a y Δt ,同理 Δy =－b x Δt ,令Δt 0, 得到微分方程组：0,>−=a ay dtdx 0,>−=b bx dtdy {Δt 时间内X 军队减少的士兵数 }= {Δt 时间内Y 军队消灭对方的士兵数}平衡式14三. 微元法基本思想： 通过分析研究对象的有关变量在一个很短时间内的变化情况.例8.1.3 一个高为2米的球体容器里盛了一半的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为积为11平方厘米平方厘米. . . 试求放空容器所需要的时间试求放空容器所需要的时间试求放空容器所需要的时间..152米对孔口的流速做两条假设 ： 1．t 时刻的流速v 依赖于此刻容器内水的高度h (t ).2 ．整个放水过程无能量损失。
数学建模讲座机理分析方法及例子1
不稳定，轨道{xn}趋向稳定点
■ 当3<a<1+61/2时， xn 绕着两个数 x3*，x4*振动,
例 a =3.2
x2k-1 →0.799455
x2k →o.513045
这两个数满足
x f 2 ( x), x f ( x)
也称为周期2点,对应轨道称周期2轨道.(原来周期
n = 0,1,2,…
● 数值迭代（ a 逐渐增加，迭代会有何结果）
1．倍周期分叉现象
■ 当0<a <1时，由于0<xn<axn+1
xn →0
物种逐渐灭亡
■ 当1<a<3时，任何(0,1)中初始值的轨道趋于
x*=1-1/a 其中x*是方程f(x)=x的解，为映射f 的不动点
（周期1点)例：a =1.5时 xn → 1/3.
~总和生育率
f
(t )
(t) r2 r1
h(r , t )k
(r,
t)
p(r , t )dr
人口发展方程和生育率
f
(t)
(t) r2 r1
h(r , t )k
(r,t)
p(r,
t)dr
(t) ~总和生育率——控制生育的多少
h(r, t ) ~生育模式——控制生育的早晚和疏密
p(r,t)
p0
约35年增加一倍，与1700－1961年世界人 统口计结果一致
与近年统计结果有误差，由a >1,xn趋向无穷， 模型在人口长期预测方面必定是失效的.
● Logistic模型
.
生存资源是重要的因素，修改模型为：
xn+1 － xn= r xn－ b xn2 － b xn2为竞争(约束)项，r、b 称生命系数,则
机理模型
假设 1. 2. 3 同上 假设4. 兔子在三个月 假设 兔子在三个月 后生完一对幼兔就离开 群体。 群体。 参量、 参量、变量 成兔: 老兔: 月份: 幼兔: 月份 n, 幼兔 a0(n), 成兔 a1(n), 老兔 a2(n) 平衡关系 本月初的幼兔是上月成兔老兔繁殖的后代。 本月初的幼兔是上月成兔老兔繁殖的后代。 本月初的成兔是上月幼兔发育的结果。 本月初的成兔是上月幼兔发育的结果。 本月初的老兔是上月成兔发育的结果。 本月初的老兔是上月成兔发育的结果。
关于平衡关系 1.平衡关系是数学模型的核心，建 模的关键。 2.有些平衡关系是明显的。 有些平衡关系隐藏在问题的背后 需要在化简之后逐渐明确出来。 3.有些平衡关系本身就直接构成了 模型。 有些平衡关系还需要经过数学上 的加工整理才能得到理想的模型。
三. 模型举例
买房贷款： 例1 买房贷款：银行可以向购房人提供个人住房 贷款的业务。 贷款的业务。 偿还贷款时要求借款人在借款期间内每月以相 偿还贷款时要求借款人在借款期间内每月以相 等的月均还款额偿还银行贷款本金和利息。 等的月均还款额偿还银行贷款本金和利息。 试组建计算月均还款额的数学模型。 试组建计算月均还款额的数学模型。 假设: 假设: 每月月底还款； 1. 每月月底还款； 每月还款金额相等； 2. 每月还款金额相等； 按月计算利息； 3. 按月计算利息； 到期欠款全部还清。 4. 到期欠款全部还清。
模型 a0(n+1)=a1(n)+a2(n) a1(n+1)=a0(n) a2(n+1)=a1(n) 令 a(n) = (a0(n), a1(n), a2(n))’, 则 a(n) = A a(n-1) 其中
0 A = 1 0 1 0 1 1 0 0
数学建模(微积分)一
数学建模讲座
(1) 机理分析法
常用的建模方法有机理分析法、测试分析法等。 机理分析法是立足于事物内在规律的一种常见建 模方法，主要是依对现实对象的特性有较为清楚 的了解与认识，通过分析其因果关系，找出反映 其内部机理的规律性而建立其模型的一种方法.
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四、模型建立
我们以1天为时间单位，那么每天基础代谢的能量消 耗为B=24b（焦耳/日）。由于人的活动不可能是全天 进行的，所以假设每天人体活动h小时，则一天消耗的 能量应为R=rh（焦耳/日） ； 按照假设3，我们可以在任何一个时间段内考虑由 于能量的摄入与消耗引起人的体重的变化。 按照能量平衡原理，任何时间段内由于体重的改变 所引起的人体内能量变化应等于这段时间内摄入的能 量与消耗的能量之差。
从以上两个方面来看，咳嗽时气管收缩（在一定范围内） 有助于咳嗽，它促进气管内空气的流动，从而使气管中 的脏物能尽快地被清除掉
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减肥模型
一、问题的提出 随着社会的进步和发展，人们的生活水平在不断 提高，由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥 胖”已经成为社会关注的一个重要问题，无论从健康 的角度还是从审美的角度，人们越来越重视自己的形 体的健美。从面就导致目前社会上出现了各种各样的 减肥食品（或营养素）和名目繁多的健美中心。 如何对待减肥的问题，我们也可以通过组建模型， 从数学的角度对有关规律作进一步的探讨和分析
实例十一、群体遗传模型
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一、数学建模的总体介绍
1．数学建模中常用的书籍
2．数学建模基本过程
数学建模的原理
数学建模的原理
数学建模是一种以数学方法和工具为基础，对现实问题进行抽象和表达的过程。
其原理可以简单概括为以下几个步骤。
1. 问题抽象：将现实问题转化为数学模型。
在这一步骤中，需要明确问题的目标、限制条件和相关因素，并对它们进行数学化的描述。
2. 假设建立：基于对问题的理解和分析，提出相关的假设并建立相应的数学关系。
这些数学关系可以是方程、函数、概率模型等，用来表达问题中的变量间的关系。
3. 模型求解：利用数学方法，对所建立的数学模型进行求解。
这包括求解方程组、优化问题、概率分布等。
通常需要运用数学分析、优化方法、概率统计等工具以及计算机编程进行模型求解。
4. 模型评价：对得到的解进行评价，检验模型的有效性和可行性。
这可以通过与现实数据对比、敏感性分析、误差分析等方式来进行。
5. 结果分析：根据模型的求解结果，对问题的解释和分析。
分析模型的局限性、推断模型的适用范围，探究问题的深层次原因等。
6. 结论表达：将建模过程和结果进行总结和表达。
可以通过报告、论文、演示等形式对建模过程和结果进行系统化的呈现。
在数学建模过程中，需要深入理解问题本质和实际应用背景，结合数学理论和方法，进行抽象和简化，以符合现实问题的特点和需求。
同时，建模者需要具备良好的数学基础、逻辑思维能力、计算机编程技能等，并注重模型的可靠性、有效性和实用性。
机理模型
平衡原理与机理模型
数学建模 池中盐水的改变量 V(t+∆t)-V(t) t + ∆t 流入盐水量 r (τ ) dτ 流出盐水量
∫ ∫
t
I
t +∆t
t
rO (τ )dτ
池中盐的改变量 p(t+ ∆ t)V(t+ ∆ t)-p(t)V(t) t+∆ t 流入盐量 pI (τ)rI (τ)dτ
∫
t
流出盐量
平衡原理与机理模型
假设1. 人群个体同质。 假设2. 群体规模大。 假设3. 群体封闭，只考虑生育和死 亡对人口的影响。 假设4. 从大群体的平均效应考虑生 育和死亡对人口的影响。（生育率 和死亡率） 假设5. 群体增长恒定。 假设6. 个体增长独立。
模型的讨论 1. 作为人口自然增长，模型与实 际是不同的。许多国家、地区人口 增长不符合这个模型。 2. 只考虑增长和衰减时，模型是 正确的。 3. 模型是可以改进的。
平衡原理与机理模型
由于R(t,∆t,N)|t=0=0，将R(t,∆ t,N) 关于∆t展开
dR R(t, ∆t, N) = ∆t + o(∆t) = r(t, N)∆t + o(∆t) d∆t ∆t =0
令 Δt→0 取极限可得
dN = r (t , N ) N dt
假设5. 群体增长恒定. 则 r(t, N) = r( N)
但到了下午3点28分，电视里传来了 振奋人心的消息：大江截流成功！ 小明后来想明白了，他估算的方法 不好。 现在请你根据上面的数据设计一种 合理的估算方法（建立一种合理的 数学模型）进行估算，使你的计算 结果更切合实际。
K − N0 K N (t ) = , C= − rt参数。
数学建模之机理模型建立的平衡原理
数学建模之机理模型建立的平衡原理机理模型建立的平衡原理是指根据物理、化学、生物等领域的基本原理与规律，通过建立数学方程组或动力学方程，描述系统内部各个因素之间的相互作用和调控机制，以达到系统的平衡状态。
机理模型建立的平衡原理涉及到许多重要的概念和方法，在此我将着重介绍以下几个方面：1.平衡状态的定义：在机理模型建立中，平衡状态是指系统的各个因素之间达到相对稳定的状态，即系统处于一个无明显变化的状态。
平衡状态可以是静态平衡，即系统中各个因素之间的变化速度为零；也可以是动态平衡，即系统中各个因素之间的变化速度相互抵消，使得系统整体保持相对稳定。
2.平衡原理的表达：平衡原理可以通过一系列的数学方程或动力学方程来表示，这些方程描述了系统内部各个因素之间的相互作用和调控关系。
常用的数学工具包括微分方程、偏微分方程、差分方程等。
通过对这些方程的求解，可以推导出系统平衡时各个因素之间的关系，从而揭示系统的机理。
3.平衡条件的确定：机理模型的建立需要确定系统平衡的条件。
一般来说，平衡条件可以通过平衡态的守恒方程来确定，守恒方程描述了系统中一些物质或能量的产生、消耗和传递过程。
在平衡状态下，守恒方程达到平衡时，系统处于相对稳定的状态。
4. 稳定性分析：在机理模型建立过程中，需要对系统的稳定性进行分析。
稳定性分析一般包括线性稳定性和非线性稳定性两方面。
线性稳定性分析主要是通过线性化的方法，将系统的非线性方程线性化，从而判断系统平衡时的稳定性。
非线性稳定性分析则需要对系统的非线性方程进行分析，例如通过构造Lyapunov函数，判断系统在平衡状态附近的稳定性。
5.参数估计与模拟：机理模型的建立需要通过实验或观测数据对模型中的参数进行估计，以获得最合理的模型描述。
参数估计可以通过最小二乘法、极大似然估计等方法进行。
同时，通过对模型的数值模拟，可以验证模型的合理性，并对系统的动态行为进行预测和分析。
总之，机理模型建立的平衡原理是数学建模中的重要环节之一、通过建立数学方程组或动力学方程，描述系统内部各个因素之间的相互作用和调控机制，可以揭示系统的平衡状态和稳定性，为实际问题的研究和解决提供指导和依据。
数学模型方法论
1.4 数学建模的特点
（1）数学建模不一定有唯一正确的答案．事实上，对于一个实际问题，不同 的人、不同的建模目的、不同的建模方法、不同的时间场合、不同的分析、不同 的假设等都可能导致完全不同的结果．因此，数学建模的结果无所谓对与错，但 有优与劣的区别，实践检验是评价一个模型优劣的唯一标准．
（2）数学建模没有统一的方法．对于同一个问题，不同的人采取的数学建模 方法可以不同，每个人可根据自己的特长和偏好采取适合自己的方法．我们建模 的目的是解决实际问题，使用近代数学方法建立的模型并不一定比采用初等数学 方法建立的模型好．
1.3 模型分析与检验
对求解结果进行数学上的分析，如误差分析、统计分析、模型对数据的灵敏度 分析、模型对假设的强健性分析等，再将结果与实际的现象、数据进行比较，检 验模型的适应性和合理性．如果结果与实际不符，通常是模型假设出了问题，应 对其进行补充修改，再重新建模、求解、检验，如此反复，直至检验结果达到要 求．
综上分析，我们给出数学模型与数学建模较为严格的定义：对于现实世界的一个 特定对象，为了一个特定目的，根据对象特有的内在规律，在做出问题分析和一些 必要、合理的简化假设后，运用适当的数学工具得到的数学结构，就称为该特定对 象的数学模型，根据上述基本步骤建立数学模型的全过程称为数学建模．
1.1 问题分析与模型假设
1.4 数学建模的特点
（3）模型的可行性．尽管人们总是希望模型可以逼近研究对象，但是一个 非常逼近实际的模型在数学上通常是很难处理的，这达不到通过建模解决实际 问题的目的．因此，建模时不必追求完美无缺，模型只要符合实际问题的基本 要求即可．
（4）模型的渐进性．对于稍微复杂的一些实际问题，其建模通常不能一次 成功，往往需要反复几次，一般是由简到繁，再由繁到简，逐渐变成符合要求 的模型，这也符合人们认识问题的规律性．
数学建模学习数学建模的基本原理与方法
数学建模学习数学建模的基本原理与方法数学建模是一门应用数学学科，它将数学方法与实际问题相结合，通过建立数学模型来解决各种实际问题。
数学建模在现代科学、工程技术以及社会经济各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍数学建模学习的基本原理与方法。
一、数学建模的基本原理数学建模的基本原理是将实际问题抽象为数学模型，并通过数学方法对模型进行求解，进而得到解决问题的方法和结论。
数学建模的核心思想是用数学语言和工具描述实际问题，通过运用数学原理和方法对问题进行分析和求解。
数学建模的基本原理包括以下几个方面：1. 抽象问题：将实际问题转化为数学问题。
通过对问题的分析和理解，找出问题的关键因素和变量，建立数学模型。
2. 建立模型：选择适当的数学模型来描述实际问题，如线性模型、非线性模型、随机模型等。
3. 建立假设：在建立数学模型时，需要进行一定的假设和简化，以降低问题的复杂性。
4. 求解模型：运用适当的数学方法对建立的模型进行求解，如解析解、数值解、优化方法等。
5. 模型评价：对求解得到的结果进行评价，分析结果的合理性和可行性。
如果结果不符合实际需求，需要对模型进行修正和改进。
二、数学建模的学习方法学习数学建模需要掌握一定的数学知识和方法，并能熟练运用这些知识和方法解决实际问题。
以下是学习数学建模的一般方法与步骤：1. 学习数学知识：数学建模需要运用到多个数学学科的知识，包括数学分析、线性代数、概率论与数理统计等。
因此，首先要通过系统学习数学基础知识，掌握数学的基本概念、定理和方法。
2. 学习建模方法：了解数学建模的基本方法和步骤，学会如何对实际问题进行抽象和建模。
这包括问题分析、模型建立、模型求解和结果评价等方面的内容。
3. 实践运用：通过实际问题的练习和应用，提升建模能力。
可以选择一些典型的数学建模问题进行实践，如交通流量预测、股票价格预测等。
4. 深入研究与拓展：在掌握基础知识和基本方法的基础上，进一步深入研究和探索数学建模的领域和技术。
机理模型资料课件
通过机理模型，利用历史数据和 现代优化算法，可以找到最优的 投资组合，以最大化收益或最小
化风险。
风险管理
机理模型可以用于预测市场价格、 信用评级等的变化，从而帮助金融 机构更好地管理风险。
信贷评估
在信贷评估中，可以利用机理模型 对借款人的信用等级进行评估，以 决定是否发放贷款。
工业领域应用
况和他相关信息，预测其是否会违约。 • 总结词：支持向量机具有较好的泛化能力和鲁棒性，能够有效地应对数据集较小的情况。 • 详细描述：在贷款违约风险预测中，输入数据可以是客户的财务指标、信用记录和其他相关信息，输出数据则
是“违约”或“不违约”。通过调整支持向量机的参数和核函数，可以提高预测的准确性和稳定性。
机理模型资料课件
目 录
• 模型介绍 • 模型建立 • 模型应用 • 模型改进与拓展 • 案例分析 • 相关软件与工具介绍
01
模型介绍
定义与背景
机理模型是指基于事物的基本原 理、机制和规律，通过数学建模 或其他形式来描述和预测系统行
为的模型。
机理模型通常用于研究复杂系统 ，如物理、化学、生物等领域的
神经网络是一种模拟人脑神经元连接方式的计算 模型，适合处理具有复杂非线性关系的预测问题 。
总结词
神经网络具有自学习和自适应能力，能够处理大 量数据并给出相对准确的预测结果。
详细描述
股票价格受到众多因素的影响，如宏观经济指标 、公司业绩、行业动态等。通过构建神经网络模 型，可以学习历史数据中的模式，并预测未来的 股票价格。
• 详细描述：在环境质量预测中，输入数据可以是各种气象指标、地形地貌特征 和污染物排放量等，输出数据则是未来的环境质量等级。通过调整随机森林的 参数和结构，可以提高预测的准确性和稳定性。同时，随机森林还可以给出各 因素对环境质量的影响程度，有助于制定相应的环境保护措施。
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结四大模型对应算法原理及案例使用教程：一、优化模型线性规划线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在线性回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
案例实操非线性规划如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题，是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。
建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数。
然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，即约束条件。
整数规划整数规划分为两类：一类为纯整数规划，记为PIP，它要求问题中的全部变量都取整数；另一类是混合整数规划，记之为MIP，它的某些变量只能取整数，而其他变量则为连续变量。
整数规划的特殊情况是0-1规划，其变量只取0或者1。
多目标规划求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。
目标规划目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法，是线性规划的特殊类型。
目标规划的一般模型如下：设xj是目标规划的决策变量，共有m个约束条件是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。
设有l个柔性目标约束条件，其目标规划约束的偏差为d+, d-。
设有q个优先级别，分别为P1, P2, …, Pq。
在同一个优先级Pk中，有不同的权重，分别记为[插图], [插图]（j=1,2, …, l）。
数学建模的基本思路与方法
数学建模的基本思路与方法数学建模是一种通过数学模型来描述和解决实际问题的方法，它在现代科学研究和工程实践中具有重要的地位和作用。
本文将介绍数学建模的基本思路和方法，帮助读者了解和掌握这一重要工具。
一、问题定义在进行数学建模之前，首先需要明确和定义问题。
问题定义的准确性和清晰性对于后续的建模过程至关重要。
在明确问题的基础上，可以进一步分析问题的相关因素和要求，并确定解决问题所需要的变量和参数。
二、建立数学模型建立数学模型是数学建模的核心环节。
在建立模型时，我们需要根据具体问题选择合适的数学方法和理论，并使用数学语言对问题进行抽象和描述。
常用的数学方法包括微积分、线性代数、概率论与数理统计等。
通过建立数学模型，可以将实际问题转化为数学问题，并得到具体的数学表达式。
三、模型求解在建立数学模型后，需要进行模型求解来获得问题的解答。
模型求解可以利用数值方法、符号计算方法或优化方法等不同的技术手段。
对于复杂的数学模型，可能需要借助计算机和数值模拟来进行求解。
通过模型求解，可以得到对于实际问题的数学描述和定量分析。
四、模型验证和评估模型验证和评估是数学建模过程中的重要环节。
在模型验证中，需要将数学模型的结果与实际数据进行比较，判断模型的准确性和适用性。
评估模型的优劣可以通过不同的指标和方法进行，例如误差分析、灵敏度分析、鲁棒性分析等。
通过模型验证和评估，可以评估模型的可信度和可靠性。
五、模型应用和推广在模型验证通过后，可以将数学模型应用到实际问题中，并进行推广和应用。
数学模型可以帮助我们理解和解决实际问题，优化决策和资源配置。
通过模型的应用和推广，可以进一步完善和改进模型，提高模型的预测和分析能力。
综上所述，数学建模是一种解决实际问题的有效工具，它不仅能够帮助我们理解问题的本质和机理，还可以为决策和规划提供科学的依据。
通过明确问题、建立模型、模型求解、模型验证和评估以及模型应用和推广等步骤，我们可以合理有效地进行数学建模工作。
数学建模中的模型建立与求解
数学建模中的模型建立与求解数学建模是一种通过数学模型描述和解决实际问题的方法，它在各个领域具有重要应用。
在数学建模过程中，模型的建立和求解是关键步骤，决定了最终的分析和预测结果。
本文将探讨数学建模中的模型建立与求解的方法和技巧。
一、模型建立模型建立是数学建模的基础，它要求根据实际问题的特点和背景进行合理的抽象和假设，将复杂的实际问题转化为易于处理的数学形式。
模型的建立需要遵循以下原则：1. 简化与拟合：模型应该尽可能简化实际问题，将其关键特点和变量进行提取和抽象。
同时，模型也需要与实际数据进行拟合，以确保模型的准确性和可靠性。
2. 合理性与可验证性：模型的建立应该基于科学的理论和推理，避免主观臆断和不合理的假设。
模型也需要通过实际数据和实验进行验证，确保其能够准确地描述和预测实际问题。
3. 可操作性与实用性：模型的建立需要考虑其可操作性和实用性，以便能够得到实际问题的解决方案。
模型应该能够提供可行的策略和可靠的结果，帮助决策者做出正确的决策。
二、模型求解模型求解是数学建模的核心，它要求通过数学的方法和工具对模型进行求解，并得到实际问题的答案和解决方案。
在模型求解的过程中，可以采用多种方法和技巧，包括数值方法、优化方法和统计方法等。
1. 数值方法：数值方法是模型求解中常用的方法之一，它通过数值计算和近似算法来求解复杂的数学模型。
数值方法的优点是求解速度快，适用范围广，但精度相对较低。
常用的数值方法包括数值积分、数值逼近和数值解微分方程等。
2. 优化方法：优化方法是模型求解中常用的方法之一，它通过优化算法和数学规划来求解最优化问题。
优化方法的优点是能够得到全局最优解或近似最优解，但求解复杂度较高。
常用的优化方法包括线性规划、非线性规划和整数规划等。
3. 统计方法：统计方法是模型求解中常用的方法之一，它通过数据分析和概率统计来求解和预测实际问题。
统计方法的优点是能够考虑不确定性和随机性因素，但需要依赖大量的实际数据。
机理模型和数据模型
机理模型和数据模型在科学研究中，模型是一种重要的工具，它可以帮助我们理解现象、预测未来、设计新的实验和技术。
模型可以分为两类：机理模型和数据模型。
机理模型是基于已知的物理、化学和生物学原理，通过建立方程和模拟来描述和解释现象。
数据模型则是通过统计分析和机器学习算法，从大量的观测数据中发现规律和关联，用来预测未来的趋势和结果。
本文将分别介绍机理模型和数据模型的原理、应用和优缺点，并探讨它们之间的关系和互补性。
一、机理模型机理模型是基于物理、化学和生物学原理，建立数学方程和模拟来描述和解释现象的模型。
机理模型通常包括两个部分：一是描述系统结构和组成的方程，二是描述系统行为和响应的方程。
例如，化学反应速率方程、生物代谢方程、电路方程等，都是机理模型的例子。
机理模型的优点是可以精确地描述和预测系统的行为和响应，可以深入理解系统的物理、化学和生物学机制，可以为实验设计和技术开发提供指导和优化。
机理模型的缺点是需要大量的实验数据和参数估计，模型复杂度高，计算量大，对初始条件和边界条件敏感，对误差和不确定性的容忍能力较低。
机理模型适用于研究系统的基本原理和机制，对于复杂的系统和不确定的环境，机理模型的应用受到限制。
二、数据模型数据模型是基于观测数据，通过统计分析和机器学习算法，发现规律和关联，用来预测未来的趋势和结果的模型。
数据模型通常包括两个部分：一是描述变量和关系的模型，二是描述预测和决策的模型。
例如，线性回归模型、逻辑回归模型、决策树模型、神经网络模型等，都是数据模型的例子。
数据模型的优点是可以利用大量的观测数据，发现系统的规律和关联，可以预测未来的趋势和结果，可以为决策和优化提供支持和指导。
数据模型的缺点是对数据的质量和数量要求较高，对数据的分布和偏差敏感，对模型的选择和调整需要专业知识和经验。
数据模型适用于研究系统的统计规律和趋势，对于复杂的系统和不确定的环境，数据模型的应用受到限制。
三、机理模型和数据模型的关系和互补性机理模型和数据模型在科学研究中都有重要的作用，它们之间存在一定的关系和互补性。
简述建模的几点基本原理。
简述建模的几点基本原理。
建模是通过对现实问题或系统进行抽象和描述，建立相应的数学模型来研究和解决问题的过程。
建模的基本原理如下：
1. 确定研究对象：建模的第一步是确定研究对象，了解其特性、属性等，以便针对性地选择建模方法和建立数学模型。
2. 确定变量：变量是数学模型中的重要组成部分，建模需要确定哪些因素对研究对象产生影响，将其转化为数学变量，并进行量化和分析。
3. 建立模型：根据研究对象和变量，选择合适的数学模型，并进行建模。
模型的建立需要考虑模型的简洁性、可靠性、实用性等因素，以及模型的假设和局限性。
4. 模型求解：完成模型的建立后，需要对其进行求解，即通过数学方法求解模型的解析解或数值解，以获取研究对象的相关信息和预测结果。
5. 模型验证：建立的模型需要进行验证，检验其预测结果是否准确、可靠，并进行模型的修正和改进，以提高模型的精度和实用性。
总之，建模是一个复杂的过程，需要综合运用数学、物理、计算机等多学科知识，以及实践经验和创新思维。
建模的基本原理是建立在科学、严谨、实用和创新的基础上的。
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模型简化的常用原理
模型简化的常用原理
模型简化的常用原理可以概括为以下几点:
1. 等效原理
对模型中线性部件进行合并,用一个等效参数表示,例如将多个连续的电阻合并为一个等效电阻。
2. 忽略原理
模型中的某些次要部件或参数对系统影响很小,可以忽略不计,例如简化时忽略芯片中的寄生参数。
3. 分解原理
将模型分解为若干个相对独立的子系统模型,分别对子系统模型简化,最后再组合,例如分解为机械、电气、热学等子系统建模。
4. 平衡原理
如果模型某部分的参数难以确定,可以根据模型的平衡关系设定参数,使模型满足平衡约束。
5. 逼近原理
使用简单的函数逼近替代模型中的复杂功能,例如用线性函数逼近非线性模块。
6. 排序原理
根据模型参数对系统的敏感性排序,只保留对系统影响明显的重要参数。
7. 聚合原理
将模型中的多个相似模块或部件用一个统计的参数表示,例如将个体参数化为总人口数量。
8. 自相似原理
对于分形或自相似结构,通过简化得到一个代表性基础单元的模型。
9. 经典原理
使用经典的简化模型,如用旋转质点代替复杂机构。
综上所述,简化原则的应用需要根据具体问题,只有配合系统专业知识,才能得到合理有效的简化模型。
等效平衡中“建立模型法”的理解及应用
等效平衡中“建立模型法”的理解及应用等效平衡（或称等效加载）是指将一个复杂的电路或系统，转化为一个等效的简单电路或系统，该等效电路或系统与原电路或系统在某个目标性能指标上具有相同的表现。
等效平衡在电路分析和设计中有着广泛的应用，可以显著简化电路模型，加速计算过程，方便电路分析和设计。
建立模型法是等效平衡的一种重要手段，它是指将单个器件或者若干个器件组成的子系统，用一个等效元件代替。
这个等效元件可以是电阻、电容、电感或管子等，具体根据需要来决定。
这样，我们可以将原电路或系统看做由若干个等效元件组成的简单电路，便于进行进一步的分析和设计。
建立模型法的应用主要可以分为以下几个方面：1. 电路分析建立模型法可以用于电路分析，是一种非常简单、通用、实用的电路分析方法。
例如，通常情况下可以将一个二极管看做一个伏安特性不稳定的电阻元件，这样可以将复杂的二极管特性简化为单一的电阻元件，便于进一步的分析。
2. 电路优化设计在电路设计和优化中，建立模型法可以有效减少电路的复杂度，简化设计过程。
例如，可以将一个复杂的滤波电路转化为一个等效的低通或高通滤波器，便于设计和调试。
3. 电路仿真建立模型法可以用于电路仿真，是一种非常常用的电路仿真方法。
例如，可以将一个集成电路看做是由若干个电子器件组成的等效电路，可以利用Spice等仿真软件进行仿真和分析。
4. 电路测试建立模型法可以用于电路测试，是一种常用的测试方法。
例如，可以将电子管看做是由若干个等效元器件组成的简单电路，利用各种测试仪器对其进行测试和分析。
总之，建立模型法是一种非常重要的等效平衡手段，可以有效减少电路复杂度，简化设计、分析和测试过程。
在实际应用中，建立模型法需要根据具体情况进行选择，选择合适的等效元件和等效电路，合理简化电路模型，以达到理想的分析效果。
简述建模的几点基本原理
简述建模的几点基本原理建模是一个极其重要的过程，它可以帮助我们更好地理解和描述复杂的系统或问题。
在建模过程中，我们需要遵循一些基本原理，以确保我们所建模型的准确性和可靠性。
本文将简述建模的几点基本原理。
一、建模目标明确在建模之前，我们需要确定建模的目标和对象。
建模的目标应该是明确的，包括建模的目的、建模的应用和建模的对象。
只有在明确了建模目标之后，我们才能更好地确定建模的范围和内容，从而有效地进行建模。
二、建模数据准确建模的数据来源非常重要，建模数据的准确性直接影响到我们所建模型的准确性和可靠性。
因此，在建模之前，我们需要对建模数据进行仔细的筛选和处理，确保建模数据的准确性和完整性。
同时，我们还需要对建模数据进行合理的分类和归纳，以便更好地进行建模。
三、建模方法合理在建模过程中，我们需要选择合适的建模方法。
不同的建模方法适用于不同的问题和对象。
因此，在选择建模方法时，我们需要根据建模目标和对象的特点，选择合适的建模方法。
同时，我们还需要对所选建模方法进行深入的了解和研究，以确保建模方法的合理性和有效性。
四、建模过程透明建模过程应该是透明的，建模过程中所使用的方法和数据应该能够被其他人理解和重复。
只有在建模过程透明的情况下，我们才能保证所建模型的可靠性和有效性。
因此，在建模过程中，我们需要记录每一步所采取的方法和使用的数据，并将记录公开，以便其他人进行复查和验证。
五、建模结果可靠建模的最终目的是得到可靠的建模结果。
建模结果应该能够真实地反映所建模型的特征和规律。
因此，在得到建模结果之后，我们需要对建模结果进行仔细的分析和评估，以确保建模结果的可靠性和有效性。
同时，我们还需要对建模结果进行合理的解释和说明，以便其他人能够理解和使用建模结果。
综上所述，建模是一个极其重要的过程，我们需要遵循一些基本原则，以确保所建模型的准确性和可靠性。
建模过程需要明确建模目标，使用准确的建模数据，选择合适的建模方法，保持建模过程透明，得到可靠的建模结果。
机理建模方法
机理建模方法机理建模方法是一种用来描述和解释系统行为的工具和技术。
它通过建立模型来模拟和分析系统中的各种过程和交互关系，从而帮助我们理解系统的运行机制和规律。
本文将介绍机理建模方法的基本概念、常见的建模技术以及其在不同领域的应用。
机理建模方法的核心思想是将一个复杂的系统抽象为一个或多个数学模型。
这些模型可以是基于物理原理、统计学方法或者其他适合系统特点的数学工具。
通过建立这些模型，我们可以定量地描述系统中的各个组成部分以及它们之间的相互作用。
这样一来，我们就可以利用模型进行仿真实验和数值计算，从而预测和分析系统的行为。
在机理建模方法中，常见的建模技术包括系统动力学建模、代理模型、离散事件建模和网络建模等。
系统动力学建模是一种基于微分方程的建模方法，它适用于描述具有时间延迟和反馈机制的系统。
代理模型则是一种基于个体行为规则的建模方法，它适用于研究多智能体系统的行为和演化。
离散事件建模是一种描述系统中离散事件和状态变化的建模方法，它适用于处理系统中的突发性事件和不确定性。
网络建模则是一种描述复杂网络结构和相互作用的建模方法，它适用于分析网络系统的稳定性和性能。
除了上述建模技术，机理建模方法还包括了一系列数据分析和参数估计的方法。
这些方法可以帮助我们从实际观测数据中提取有关系统机理的信息，并对模型的参数进行校准和优化。
常见的数据分析方法包括回归分析、主成分分析和聚类分析等，而参数估计方法则可以通过最大似然估计、贝叶斯推断和遗传算法等进行。
机理建模方法在许多领域中都有广泛的应用。
在生物医学领域，它可以用来研究疾病的发生和发展机制，预测药物的疗效和副作用。
在环境科学领域，它可以用来评估污染物的扩散和传输规律，优化环境保护策略。
在工业制造领域，它可以用来优化生产过程，提高产品质量和效率。
在金融领域，它可以用来建立风险模型，预测市场波动和投资回报。
机理建模方法是一种重要的工具和技术，可以帮助我们理解和解释复杂系统的行为。
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例1：池水的含盐量
池子中有一定体积的盐水，从池的一端向池中注入一定浓度的盐水，混合 的盐水将在池子的另一端流出。建模描述池中盐水的浓度变化。（类似的 有河水污染问题等）
理想化假设：为简化问题，我们假设注入的盐水迅速与池中盐水均匀混合。
n
成活
1.109 105 2
0.84
x ek 3 E4 3
2
1.109 105 x4ke 3 E4
x k 1 1
1.22 1011 n
/(1.22 1011
ri ( )d t
ro ( )d
即
dV dt
ri (t) ro (t)
例2：烟雾的扩散与消失
问题：当一颗炮弹爆炸时，天空升腾起以爆炸点为中心的烟雾并向四周迅 速扩散，形成一个近于圆形的不透光区域。这个区域逐渐扩大，后来它的 边界变得明亮起来，不透光区域逐渐缩小，最后完全消失。
建立数学模型描述这一过程。
r3 x3 t 1
dx4 dt
r4
x4 E4 r4 x4
x4
0t 2/3 2/3t 1
计算得到
x1 (t )
x e0 r1t 1
x2(t)
x e0 r2t 2
x3(t)
0 ( r3 0.42E4 )t
x e3
x
0 3
e
0.84 3
E
0.84 3
E4
r3 3
1
3
4
0
2 3
E4
r4 3
4
过了年后，鱼增加一龄，因此，第k年初和第k+1 年初各龄鱼的关系为
x k 1 2
x1k e0.8
x k 1 3
x2k e 0.8
0.84 0.8
x k 1 4
x3k e
3
E4 3
下面考虑。它是一年后4个月的新生鱼成活数量。 根据题意，3，4龄鱼共产卵
建模方法：利用物质平衡原理，在 [t,t t]上，池子中的盐的改变量等于 该时间段注入和流出的盐的数量差，池子中的盐水的体积改变量等于注入 的盐水体积和流出体积的差。
模型变量：ri (t), pi (t)表示盐水注入的速度和浓度，ro (t), po (t)表示盐水流出的速 度和浓度，V(t)是池中盐水体积，p(t)是池中盐水的浓度。
模型假设：
（1）炮弹的爆炸看作在空中某一点向四周等强度的瞬时释放烟雾，烟雾 在无穷空间扩散，不记风力和大地影响。
（2）烟雾的传播服从扩散定律，即单位时间通过单位法向面积的流量与 它的浓度梯度成正比。
（3）光线穿过烟雾时其强度由于烟雾的吸收而减少，单位距离上光强的 相对减少量与烟雾浓度成正比，没有烟雾的大气对光线的吸收作用忽略不 计。
由盐的数量守恒得到
t t
t t
p(t t)V (t t) p(t)V (t) t
pi ( )ri ( )d t
po ( )ro ( )d
等式两端同除以△t取极限得到
d dt
p(t)V (t)
pi (t)ri (t)
po (t)ro (t)
由体积守恒得到
t t
t t
V (t t) V (t) t
4
e
r3
(
t
2 3
)
0 t 2/3 2/3 t 1
x4 (t )
x e0 (r4 E4 )t 4
x40
e
2 3
E4
e
r4
(
t
2 3
)
0 t 2/3 2/3 t 1
不考虑新生鱼，年末和年初鱼群数量的关系为
x x e x x e x11 x10er1
1 2
0 r2 1
2
3
x x e 0
数学模型第三讲
机理模型建立的平衡原理
平衡原理
运动和静止的事物、事物之间的内在联系往往可以利用一组方程（代数方 程、微分方程和差分方程等）描述。方程描述一种量的平衡关系。
通过量的平衡关系建立数学模型是利用机理分析建模的基本方法之一。也 常常是我们是否能够得到结构简明、刻画深刻的模型的重要方法。这样的 模型的建立的好坏取决于我们对问题的洞察能力。
1.22 1011 /(1.22 1011 n)
渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进 行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次 数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条 数成正比，比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用13mm 网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其捕捞强度系 数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。
（4）在烟雾扩散过程中，不穿过烟雾直接进入观测仪器的标准光强 I0 保 持不变，对于穿过烟雾进入仪器的光强I，观测结果只有亮、暗之分，仅 当 I / I0 1 时观测结果为亮。
模型的建立： 1、烟雾浓度的变化规律
最优捕鱼策略
为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业 资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持 续收获的前提下，追求最大产量或最大效益。 考虑对某种鱼的最优捕涝策略： 假设这种鱼分成4个年龄组：1龄鱼， …，4龄鱼。各年龄组的每 条鱼平均重量分别为5.07g，11.55g，17.86g，22.99g；各年龄组 鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖， 平均每条4龄鱼的产卵量为1.109105个，三龄鱼的产卵量为4龄鱼 的一半，二龄鱼和一龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4 个月：卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数和产卵总数n 之比）为
问题分析：问题包括两个部分：（1）系统的稳定性；（2）在稳定系 统的前提下，求捕捞强度，使得稳定收获最大。 （1）状态参数：时刻t各龄鱼的数量，。 （2）控制参数：4龄鱼的捕捞强度E4。由条件，在一年中
dx1 dt
r1 x1
dx2 dt
r2 x2
xi (0) xi0 0 t 1
dx3 dt
（1）建立数学模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕 捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到 最高年收获量（捕捞总重量）
（2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后 鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。已知承包时各年龄组 鱼群的数量分别为：122，29.7，10.1，3.29（条）如果仍利 用固定努力量的捕捞方式，该公司应采用怎样的策略才能使 总收获量最高。