最新空间几何—平行垂直证明(高一)

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空间几何的平行与垂直判定

空间几何的平行与垂直判定空间几何是数学中的一个重要分支，涉及到直线、平面、点等概念的研究。其中，平行和垂直是空间几何中常见的关系，本文将对平行和垂直的判定方法进行详细介绍。

一、平行的判定方法

在空间几何中，平行是指两个线(线段)或两个平面永远不会相交的关系。下面将介绍几种常见的平行判定方法。

1. 直线的平行判定

给定两条直线l1和l2，如果它们的斜率相等且不相交，则可以判定l1与l2平行。即若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，且

k1≠k2时，则l1和l2平行。

2. 平面的平行判定

对于两个平面P1和P2，如果它们的法向量相等或平行，则可以判定P1与P2平行。

二、垂直的判定方法

在空间几何中，垂直是指两个线(线段)或两个平面之间的相互垂直关系。下面将介绍几种常见的垂直判定方法。

1. 直线的垂直判定

给定两条直线l1和l2，如果它们的斜率互为倒数且不相交，则可以判定l1与l2垂直。即若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，并

且k1·k2=-1时，则l1和l2垂直。

2. 平面的垂直判定

对于两个平面P1和P2，如果它们的法向量互为倒数且不平行，则

可以判定P1与P2垂直。

三、平行与垂直的应用举例

平行和垂直关系在实际问题中经常被应用。以下是几个应用举例。

1. 平行线与垂直线的交点问题

当两条平行线相交时，它们的交点无穷多个；而当两条垂直线相交时，它们的交点只有一个。这一性质在导弹拦截等领域具有重要意义。

2. 平行四边形及其性质

平行四边形是指具有两对平行边的四边形。它们的特点是相对边相等、对角线相交于对角线的中点、对角线互相平分等。平行四边形的

高一立体几何平行垂直证明基础练习

高一垂直证明基础练习专项1、点线面位置关系判定问题解题方法与技巧：在判定点线面的位置关系时，通常有两个切入点（1）集合：点、线点、面的位置关系从集合的从属关系来判定；线、面都是点集，所以在考虑线面关系时从集合与集合的包含关系或者集合与集合的交、并、补关系来判定；（2）几何：把集合与几何关系结合来判定线线，线面，面面关系例1、设是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题①若，则；②若l上两点到的距离相等，则；③若④若其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．②④D．③④解析：①由面面垂直关系已知不成立，可能垂直也可能相交平行。错误；②由点到面距离易知直线还可能和平面相交；③因为所以在平面β内一定有一直线垂直α所以正确④根据平行关系易知正确答案选D练习1、设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）（A）若，，则（B）若，，则（C）若，，则（D）若，，则练习2、给定下列四个命题：（）①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；.④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④练习3.（2009浙江卷文）设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则练

习4．顺次连接空间四边形各边中点所成的四边形必定是（）A、平行四边形B、菱形C、正方形D、梯形练习题答案：练习1：B；练习2：D；练习3：C；练习4：A；2、空间中线面的平行垂直证明例1：如图：四棱锥—中，底面是平行四边形，为侧棱的中点，证明：∥平面解析：证明PC平行于面EBD，只需在面EBD内找一条直线和已知直线平行即可E为中点，首先考虑构造等腰三角形中位线，取AC中点O连接EO即可证明：取AC的中点O,连接EO，例2：三棱柱—中，为的中点，为的中点，为的中点，证明：平面∥平面解析：面面平行的证明定理，证明两平面内两组相交直线平行，即把面面平行问题转化为线线平行问题，按解决线线平行的思路即可解决问题证明：连接BC1,EF分别为BC、B1C1、BB1、CC1的中点，例3：如图：四棱锥—中，⊥平面，底面是矩形，，为的中点，⊥，证明：⊥解析：线线垂直的证明分同平面直线垂直证明和异平面垂直证明，在处理异平面垂直证明问题时，优先考虑证明一直线垂直于另一直线所在平面，转化为线面垂直证明问题即证明PD垂直于面BEF即可证明：点例4：如图：四棱锥—中，⊥平面，底面是矩形，证明：平面⊥平面练习1：如图：四棱锥—中，底面是平行四边形，为侧棱的中点，证明：∥平面练习2：如图：三棱柱—中，为的中点，证明：∥平面练习3：如图：三棱柱—中，为的中点，证明：∥平面练习4：如图：四棱锥—中，底面是平行四边形，、分别为、的中点，证明：∥平面练习5：如图：三棱柱—中，、分别为、的中点，证明：∥平面练习6：如图：四棱锥—中，底面是平行四边形，、分别为、的中点，证明：∥平面

高中数学立体几何平行、垂直位置关系证明题专项练习(带答案)

立体几何平行、垂直位置关系专练

1、如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .

2、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ．

3、如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高为6，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，点D 是棱CC 1上靠近C 的三等分点．求证：(1)B 1M ∥平面A 1BN ；(2)AD ⊥平面A 1BN.

4、如图，等边三角形ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD＝2AE，AE⊥AB，M为AB的中点．

(1)证明：CM⊥DE；(2)在边AC上找一点N，使CD∥平面BEN.

5、如图，矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，AE＝AB，M，N，H分别为DE，AB，BE 的中点．求证：(1)MN∥平面BEC；(2)AH⊥CE.

6、如图，在三棱台ABCDEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；

(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在请确定点G的位置；若不存在，请说明理由．

空间几何平行与垂直证明

空间几何平行与垂直证明线面平行

方法一：中点模型法

例：1.已知在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形， E 为PC 的中点. 求证：PA//平面BDE

练习：

1.三棱锥_P ABC 中，P A A B A C ==，120BAC ∠= ，P A ⊥平面A B C ，点E 、F 分别为线段P C 、B C 的中点，

（1）判断P B 与平面A E F 的位置关系并说明理由；（2）求直线P F 与平面P A C 所成角的正弦值。

P A B

D E

2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD .DB 平分∠ADC ，E 为PC 的中点，AD ＝CD .

(1)证明：PA ∥平面BDE ； (2)证明：AC ⊥平面PBD .

3.已知空间四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别为

AB,BC,CD,DA 的中点.

求证：AC//平面EFG.

4.已知空间四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别为AB,BC,CD,DA 的中点. 求证：EF //平面BGH.

方法二：平行四边形法

例：1.已知在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形，E 为PC 的中点，O 为BD 的中点.

求证：OE //平面ADP

A B C D

G H

A B

D E F

E O

2.正方体1111ABC D A B C D -中，,E G 分别是11,BC C D 中点. 求证：//E G 平面11BD D B

练习

1.如图，在四棱锥O A B C D -中，底面A B C D 四边长为1的菱形， M 为O A 的中点，N 为B C 的中点

高一立体几何平行垂直解答题精选

。

。 1

高一立体几何平行、垂直解答题精选

2017.12.18

1．已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，点N 在AC 上且CN=3AN ，点M ，P ，Q 分别是AA 1，A 1B 1，BC 的中点.求证：直线PQ ∥平面BMN.

2．如图，在正方形ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是棱B 1C 1，BB 1，C 1D 1的中点，是否存在过点E ，M 且与平面A 1FC 平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由.

3．在正方体1111ABCD A B C D -中， M ， O 分别是1,A B BD 的中点.

（1）求证： //OM 平面11AA D D ；

（2）求证： 1OM BC ⊥.

4．如图， AB 为圆O 的直径，点,E F 在圆O 上，且//AB EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面垂直，且1,2AD EF AF AB ====

第2页

（1）求证：平面AFC ⊥平面CBF ；

（2）在线段CF 上是否存在了点M ，使得//OM 平面ADF ？并说明理由.

5．已知：正三棱柱111ABC A B C -中， 13AA =， 2AB =， N 为棱AB 的中点．

（1）求证： 1AC 平面1NB C ．

（2）求证：平面1CNB ⊥平面11ABB A ．

（3）求四棱锥111C ANB A -的体积．

6．已知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB=60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且(01).AE AF AC AD

高中数学立体几何平行、垂直位置关系证明题专项练习(带答案)

立体几何平行、垂直位置关系专练

1、如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .

4、如图，等边三角形ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD＝2AE，AE⊥AB，M为AB的中点．

(1)证明：CM⊥DE；(2)在边AC上找一点N，使CD∥平面BEN.

5、如图，矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，AE＝AB，M，N，H分别为DE，AB，BE 的中点．求证：(1)MN∥平面BEC；(2)AH⊥CE.

6、如图，在三棱台ABCDEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；

(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在请确定点G的位置；若不存在，请说明理由．

立体几何证明平行垂直

DC=SD=2，M．N分别为SA，SC的中点，E为棱SB上的一点，且SE=2EB．
(I)证明：MN//平面ABCD；
(II)证明：DE⊥平面SBC．
立体几何证明平行垂直（一）
1.如图，在空间四边形ABCD中，分别是的中点，分别在上，且 .
（1）求证：四点共面；
（2）设与交于点P，求证：三点共线.
(I)证明：MN//平面ABCD；
(II)证明：DE⊥平面SBC．
证明：（Ⅰ）连，∵ 分别为中点，
∴
又∵ 平面
平面
∴ 平面
(Ⅱ)连，∵ ，
∴
又底面，底面 ∴
∵ ，∴ 平面
∵ 平面，∴
又，
当时，，
在与中， ∴
又，∴
∴ ，即
∵ ，
∴ 平面
（2） .
6.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，
平面平面分别为棱的中点.求证：
（1）平面；
（2）平面 .
7.如图，三棱锥P﹣ABC中，点D，E分别为AB，BC的中点，且平面平面ABC．
(1)求证：平面；
(2)若，，求证：平面平面 .
8.如图，四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB//DC，AD⊥DC,AB=AD＝1,
所以CD⊥平面PAD．

3.2.1利用空间向量证明平行、垂直问题(一)

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→ → ∴A1B＝(1,0，－1)，A1D＝(0,1，－1)， → → CB1＝(0，－1,1)，CD1＝(－1,0,1)．设平面 CB1D1 的法向量为 n＝(x，y，z)， → → 则 n· CB1＝0，n· CD1＝0. －y＋z＝0 即令 z＝1，－x＋z＝0，解得 n＝(1,1,1)． → → ∴A1B· n＝0，A1D· n＝0. 又∵A1B∩A1D＝A1，且 A1B⊂平面 A1BD， A1D⊂平面 A1BD， ∴平面 A1BD∥平面 CB1D1.
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基础梳理 1．在空间中我们取一定点O作为基点，那么空间中任 → 意一点P的位置就可以用向量 OP 来确定．我们把向量 → __________ 叫做点P的位置向量． OP 2．点A是直线l上一点，向量a 表示直线l的方向(方向向 → 量)．在直线l上取 AB ＝a，那么对于直线上任意一点P，一 → →．定存在实数t，使得________ AP＝tAB 两条相交直线 3．空间中平面α的位置可以由α内______________ 来确
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高一数学立体几何专题——关于垂直与平行的问题教案

芯衣州星海市涌泉学校一.教学内容：

立体几何专题——关于垂直与平行的问题

二.本周教学目的：

深化理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的断定与性质，并能利用它们解决一些问题

三本周知识要点：

〔一〕平行与垂直

垂直和平行涉及题目的解决方法须纯熟掌握两类互相转化关系：

1平行转化：线线平行

⇔线面平行⇔面面平行

2垂直转化：线线垂直

⇔线面垂直⇔面面垂直

每一垂直或者者平行的断定就是从某一垂直或者者平行开始转向另一垂直或者者平行最终到达目的。

例如有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。

[三垂线定理]：在平面内的一条直线，假设和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

：PA，PO分别是平面的垂线，斜线，AO是PO在平面上的射影，a,a AO。

求证：a PO

证明：

PAO

⊥

⇒

⎭

⎬

⎫

⊂

⊥

⇒

⎭

⎬

⎫

⊥

⇒

⎭

⎬

⎫

⊂

⊥

面

例：：PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：PO BD，PC BD

证明：ABCD为正方形，O是对角线BD中点，AO BD，PA面ABCD

又AO是PO在ABCD上的射影，

那么有PO BD。同理可证，PC BD

【典型例题】

例1.两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE。

命题意图：此题主要考察线面平行的断定，面面平行的断定与性质，以及一些平面几何的知识。

知识依托：解决此题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线〔内〕∥线〔外〕

空间线面平行与垂直的证明

作者：

来源：《数学金刊·高考版》2015年第04期

本考点以空间几何体为载体，既考查几何体的概念和性质，又考查空间线面位置关系（平行与垂直）的判定与性质，还可结合一些简单的计算进行考查，是每年高考的必考内容，也是重点考查的内容. 该部分试题难度适中，一般都可用几何综合法解决，少部分不易证明的才通过建立空间直角坐标系用坐标法求解.

（1）掌握线面平行、垂直的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行与垂直，会用性质定理解决线面平行与垂直的问题.

（2）通过线面平行、垂直的证明，培养同学们的空间观念及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力.

该知识点的重点、难点是：线线垂直、线面垂直及面面垂直之间的灵活转化；同时要注意推理表达的规范与完整.

（1）证明平行或垂直问题，一般利用平行或垂直的判定定理及其推论，将面面平行转化为线面平行或线线平行来证明；而无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线线垂直. 可见，转化是证明平行、垂直问题的关键.

（2）在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，再从结论中分析所要证明的关系，从而架起已知与未知之间的桥梁. 增添辅助线是解决问题的关键，常见的添辅助线的方法有：中点、垂足等特殊点，用中位线、高线转化；有面面垂直的条件，则作交线的垂线，等等.

例1 如图12，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，在等腰梯形ABEF中，

AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，∠BAF=60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF

的重心.

图12

（1）求证：平面ADF⊥平面CBF；？摇

立体几何中平行与垂直的证明（5篇模版）

第一篇：立体几何中平行与垂直的证明

立体几何中平行与垂直的证明

姓名

2.掌握正确的判定和证明平行与垂直的方法.D

1【学习目标】1.通过学习更进一步掌握空间中线面的位置关系;

例1．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．

求证：（1）C1O//平面AB1D1；（2）A1C⊥平面AB1D1．【反思与小结】1.证明线面平行的方法：2.证明线面垂直的方法：

BC【变式一】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB>1，点E在棱AB上移动。求证：D1E⊥A1D；

【反思与小结】1．证明线线垂直的方法：

1．谈谈对“点E在棱AB上移动”转化的动态思考 2．比较正方体、正四棱柱、长方体

【变式二A】如图平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩

形，且AF=

AD=2,G是EF的中点，2（1）求证平面AGC⊥平面BGC；（2）求空间四边形AGBC的体积。

反思与小结1．证明面面垂直的方法：2．如果把【变式二A】的图复原有什么新的认识？【变式二B】.如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC-A1B1C1中，AB=8，AC=6，BC

（Ⅰ）求证：

=10，D是BC边的中点.AB⊥A1C；（Ⅱ）求证：AC1∥ 面AB1D；

【反思与小结】和前面证明线线垂直、线面平行比较有什么新的认识？【变式三】如图组合体中，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ABB1A1 是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合一个点.（Ⅰ）求证：无论点C如何运动，平面A1BC⊥平面A1AC；

高一(必修二)线面平行、垂直的证明

数学高一（必修二）专题系列之几何证明（一）

1.球的面积和体积公式

S 球面 = ； V 球 = 。 2.平行

（1）线面平行：。（2）面面平行：。 3.垂直

（1）线面垂直：。（2）面面垂直：。 4.二面角：。

题型一：函数复习

例1.若不等式3ax

->(1

3 )x +1对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为。

拓展变式练习

1.函数y ＝⎪⎩

⎪

⎨⎧>+-≤<+≤+)1( 5)10( 30 32x x x x x x 的最大值是。

2.方程log 3(1－2·3x )＝2x ＋1的解x ＝______。

3.当x ∈(1，2)，不等式(x －1)2<log a x ，则a 的取值范围是_____________。

4.若f (x )＝ x —1

x ，则方程f (4x )＝x 的根是。 5.函数y ＝log 2

1(x 2－6x ＋17)的值域是。

题型二：表、体的求法

例2.（本小题满分12分）太阳光照射高为m 3的竹竿时，它在水平地面上的射影为m 1；同时，照射地面上一圆球时，如下图所示，其影子长度cm AB 33 ，求球的体积。

拓展变式练习

1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点，设AA 1＝2，求三棱锥F －A 1ED 1的体积。

2.一球内切于圆锥，已知球和圆锥的底面半径分别为r ，R ，求圆锥的体积。

3.如图△ABC中，AC＝BC＝

2AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面

ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点。

空间几何平行垂直证明练习.docx

平行垂直证明练习

1.已知空I'可四边形ABCD屮，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的屮点. 求证：

AC//平面EFG.

2.已知空间四边形ABCD中，E,F,GH分别为AB,BC,CD,DA的屮点. 求证：EF//

平面BGH.

3.已知在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，E为PC的中点，0为BD 的中点.

求证：0E//平面ADP

4.已知在四棱锥P-ABCD屮，ABCD为平行四边形，E为PC的中点. 求证：PA//平面BDE

5.正方体ABCD— A冋CQ中，E, G分别是BC, C】0中点求证：£G〃平面BDD X B X

6.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，M为OA的中点，7V为的中点证明：直线MN //平面OCD；

7.在四棱锥P-ABCD屮，底面四边形ABCD是平行四边形，E,F分別是AB, PD的屮点. 求证：AF//平面PCE

D &如图，£,尸,0分别为〃，PB, AC的中点.G是0C的中点，证明：FG//平面BOE

9.已知正方体ABCD—A|B|C|D], 0是底ABCD对角线的交点. 求

证：（1） C|O〃平面AB1D1；

10.如图,ABCD—A.B.C.D,是正四棱柱.求证：BD丄平面ACCA;

11.如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD丄底面ABCD，点E在

棱PB上.

求证：平ifij' AEC丄平面

12.如图，三棱柱ABC-A^C}的所有棱长都相等，且A/丄底面ABC, D为C、C

的中点，A冋与A/相交于点O,连结OD,

空间平面几何中的平行、垂直证明

l P mn
m
n m

n

P

l

.
lm

l n
☺ 简称：线线垂直，线面垂直.
复习定理
空间中的垂直
2．直线与平面垂直性质
判定：如果一条直线和一个平面垂直,则称这条直线和这个平面内任意一条直线都垂直.
l
m

l

m
☺ 简称：线面垂直，线线垂直.
又AA1∩AB＝A， ∴CD⊥平面AA1B1B.
又CD⊂平面CA1D， ∴平面CA1D⊥平面AA1B1B.
例 2. 如图所示，在四棱锥 P—ABCD 中， △PAB 为正三角形，且面 PAB⊥面 ABCD，四边形 ABCD 是直角梯形，且 AD∥BC， ∠BCD＝π4，AD＝1，BC＝2，E 为棱 PC 的中点． (1)求证：DE∥平面 PAB； (2)求证：平面 PAB⊥平面 PBC；
又∵ＡＨ⊂平面 PAB，且ＥD 平面 PAB
∴DE∥平面 PAB.
H
构造平行四边行法
(2)证明在直角梯形中，CB⊥AB，又∵平面 PAB⊥平面 ABCD，且平面 PAB∩平面 ABCD＝AB， ∴CB⊥平面 PAB. ∵CB⊂平面 PBC， ∴平面 PBC⊥平面 PAB.
1．线线、线面、面面的平行与垂直的关系可以通过下列形式转化．

立体几何中平行和垂直问题的证明

摇生"攵浬化

知识篇科学备考新指向

高考数学2021年2月

立"#何％&行直问题的证明

■江苏省华罗庚中学李普红

平行与垂直关系的证明是高考考查立体几何的高频考点，大部分问题都可以用传统的几何方法解决，有一部分问题需要建立空间直角坐标系利用空间向量解决。用传统法解题时，应注重线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等问题的性质定理和判定定理的灵活应用。用向量法解题时，应建立恰当的空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标。

考向一：证明线面平行

!!如图1,已知空间

几何体BACDE中，&BCD

与&CDE均是边长为2的等

边三角形,&ABC是腰长为

3,底边为BC的等腰三角形，

平面CDE丄平面BCD，平面

ABC丄平面BCD"

(1)试在平面BCD内

作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出证明；

(2)求三棱锥E-ABC的体积。

解析：(1)如图2所示，

取DC的中点为N,BD的

中点为/，连接MN，则

MN即为所求。

连接EM，EN，取BC

的中点4，连接AH"

因为&ABC是腰长为3

的等腰三角形，H为BC的

中点，所以AH丄BC。

又平面ABC丄平面BCD，平面ABC'平面BCD$BC，AH U平面ABC，所以AH 丄平面BCD"

同理可证EN丄平面BCD"

所以EN/AH"

因为EN1平面ABC，AH U平面ABC，所以EN/平面ABC"

又M，N分别为BD，DC的中点，所以MN/BC"

因为MN1平面ABC，BC U平面ABC，所以MN/平面ABC"

又MN'EN$N，MN U平面EMN，EN U平面EMN，所以平面EMN/平面ABC"