14.4 单跨超静定梁的极限荷载
结构力学专题十六(单跨梁极限荷载计算)
P
P
A
D
B
C
l/3 l/3 l/3
共有三种可能的破坏机构
Fpu
4 l
Mu
F1
5 l
Mu
F2
4 l
Mu
2.用试算法求解
F3
9 l
Mu
作业：
16—3、 16—4。
补：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
A
C
B
3m
1m
(2)平衡弯矩法
Mmax 1.5FPu M u
FPu
2 3
Mu
2F
F
2m
2m
1m
小结： 静定梁极限荷载计算特点：
静定结构无多余约束，出现一个塑性铰即成为破 坏机构。这时结构上的荷载即为极限荷载。
塑性铰出现的位置应为截面弯矩与极限弯矩之比 的绝对值最大的截面。
求出塑性铰发生的截面后，令该截面的弯矩等于 极限弯矩，利用平衡条件即可求出极限荷载。
(1)可破坏荷载 Fp
对任一破坏机构，由平衡条件求出的荷载称为可破坏 荷载；
(2)可接受荷载 Fp
同时满足屈服条件和平衡条件的荷载称为可接受荷载；
(3)极限荷载 Fpu
同时满足三个条件的荷载称为极限荷载，即极限荷载 既是可破坏荷载，又是可接受荷载。
4、一般定理
（1）基本定理（预备定理）
可破坏荷载恒不小于可接受荷载 Fp Fp
第十六章 梁和刚架的极限荷载
§16-3 单跨梁极限荷载计算
一、静定梁 例2：求图示结构的极限荷载，
材料极限弯矩为Mu。 (1)机动法
2F
F
2m
2m
1m
塑性铰出现在支座处
结构力学第17章结构的塑性分析与极限荷载
Mu
(
l
) 0
l
得:
FPu
6M u l
[例] 求梁的极限荷载，已知极限弯矩为Mu。
q
qu
A
C
B
l/2
l/2
A Mu
Mu l
C B
2 Mu
解：计算刚体虚功：
2
瞬变体系机构
W
l
y qu dx
Mu
Mu
Mu
qu
(
l
l
)
M u
qu l
M u
虚功方程：
qu l
M u
qu
16M u l2
FPu
M
' u
3 2l
Mu
9 2l
A
M ' u
A
2l /3
FPu
DC
Mu
D
l/3
FPu
l
(M u
M u )
A
3 2l
D
3 2l
3 l
9 2l
弯矩图如图，弯矩
MB=
1 2
(M
' u
Mu )
M
u
,即M
' u
3M u
时，此破坏形态就可实现。
M' u
1 2
(M
' u
-
M
u
)
FPu D
C
A
B
Mu
综上，当M
Mu
FP增大
A
C
B
FP继续增大，第二个塑性铰出现在C 截面，梁变为机构。弯矩 增量图相应于简支梁的弯矩图（如图）。
Mu
FP达到极限值FPu
梁的极限荷载
2M u A
B
Mu
B
A
1 L
B
1 0.5L
21 L
表示B截面左侧转角。代入后整理得
qu
20M u 3L2
---------------------------（1）
θA Δ1 θB-
Mu Δ2
Mu
A
Δ3 D
2Mu
B
Mu
C
Mu
2Mu
第二跨：2
q
A
B
L
解：①当荷载q≤qy时，梁处于弹性阶段，作出如下的弯矩图，
并求得最大正弯矩发生在离B端 处3，L Mmax=
8
qL2 14.22
qL2/8
qL2/14.22 3L/8
②随着荷载的增加，A截面首先出现塑性铰。若荷载继续增加， 梁变为简支梁。增加的荷载由简支梁承担。
Mu
Mu
③由于增加的荷载由简支梁承担，最大正弯矩的位置将发生 变化。设第二个塑性铰的位置距离B端 x 处
L/2
弹性阶段
M PL 4
PyL/4
L/2
L/2
弹性极限阶段
My
Py L 4
静力法求极限荷载 Pu
Mu
L/2
L/2
极限荷载阶段
Mu
Pu L 4
Pu
4M u L
虚位移法求极限荷载 Pu
θ L/2
Mu
θ L/2
极限荷载阶段
Pu 2M u
L
2 L
2
Pu
2M u
4M u L
结构力学极限荷载
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
2）虚功法(作破坏机构图)
FP
红线为变形后的杆件，兰点为塑性铰
A
C
Mu
1
Mu
2
1B1源自l/22l
2
21
4
l
令机构产生虚位移，使C截面竖向
位移和荷载FP同向，大小为δ
外力虚功： We FP
内力虚功：
Wi
M u1
Mu2
2
Mu( l
4
l
)
6Mu
l
由
We=Wi 得： FPu
Fpu
=
(a+b)M ab
u
2Fp Fp
l/2
l/2
7 Fpl 16
5 Fpl 8
M图
5 M max 8 Fpl M u
Fpu
=
8M 5l
u
M max 2Fpl M u
Fpu
=
Mu 2l
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
例 求静定梁的比例加载时的极限荷载Fpu
2Fp Fp
弯矩图法
A
3Mu
极限荷载（P266）
结构破坏时所能承担的的荷载。
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
§17-2 极限弯矩、塑性铰、极限荷载 、极限状态
基本假设(一般针对钢材料) 1、材料为“理想弹塑性材料” 。 2、材料均匀，各向同性。 3、平面假定。即无论弹、塑性阶段，都保持平截面不变。
s A
塑性流动状态
C
o
C Mu
B Mu D
l
l/2
l/2
Fpl
解：作弯矩图
A
结构力学极限荷载
Harbin Institute of Technology超静定梁中的极限荷载的研究课程名称：结构力学院系：土木工程学院班级：1433111姓名：李渊学号： 1143310120摘要：大多数工程材料，特别是钢材，受力后发生变形，一般都存在线性弹性阶段、屈服阶段和强化阶段。
因此，随着荷载的增加，结构截面上应力大的点首先达到屈服强度，发生屈服，结构将进入弹塑性状态。
这时虽然截面部分材料已进入塑性状态，但尚有相当大的部分材料仍处于弹性范围，因而结构仍可继续加载。
当荷载增加到一定程度，结构中进入塑形的部分不断扩展直至完全丧失承载能力，导致结构崩溃(或倒塌)。
因此研究结构极限状态下的极限荷载，是十分有必要的，对于结构安全储备的考虑的依据提供有重要意义。
正文：一、极限荷载的有关意义定义：结构出现塑性变形直到崩溃时所能承受的最大荷载，称为极限荷载，它是考虑结构安全储备设计依据的因素之一，且按极限状态设计结构比弹性设计更经济。
通过对弹性设计方法及其许用应力设计法的研究，并在其方面进行了探讨，得到弹性设计方法及其许用应力设计法的最大缺陷是以某一截面上的max σ达到[σ]作为衡量整个结构破坏的标准。
事实上，由塑性材料组成的结构（特别是超静定结构）当某一局部的max σ达到了屈服应力时，结构还没有破坏，还能承受更大的荷载。
因此弹性设计法不能充分的利用结构的承载能力，是不够经济的。
塑性分析考虑了材料的塑性性质，其强度要求以结构破坏时的荷载作为标准：max []PuP p uF F F k ≤=其中，Pu F 是结构破坏时荷载的极限值，即极限荷载。
u k 是相应的安全系数。
对结构进行塑性分析时仍然要用到平衡条件、几何条件、平截面假定，这与弹性分析时相同。
另外还要采用以下假设：图1（1）材料为理想弹塑性材料。
其应力与应变关系如图所示。
（图1）（2）比例加载：全部荷载可以用一个荷载参数P 表示，不会出现卸载现象。
（3）结构的弹性变形和塑性变形都很小。
14.6 比例加载时判定极限荷载的一般定理
14.6.5 四个定理
FP+ 恒不小于可接受荷载 FP− 基本定理： 基本定理：可破坏荷载
FP+ ≥ FP−
【证明】1) 取任一可破坏荷载对于相应的单向机构的 证明】 虚位移， 虚位移，可列出虚功方程 n n FP+ ∆ = ∑ M uiθ i = ∑ M ui θ i
A
1.2 FP3 Mu D
+
待定部分
1.5Mu
Mu A
B E FP3
+
D l /2
Mu
C
C
Mu
梁的其他部分均不会超出相应的极 限弯矩。因此，满足内力局限条件。 限弯矩。因此，满足内力局限条件。
+ 1.2 FPu
1.2 FP3
1.5Mu
+
3 Mu l
Mu A D
0.27Mu B E FPu
+
Mu
C
D
4 Mu l
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+
+ +
【例14-6】试用极小定理求图示单跨超静定梁，在均布荷 】试用极小定理求图示单跨超静定梁， 载作用下的极限荷载值。 载作用下的极限荷载值。 可对图示的可能位移列出虚功方程
q+
∆
l−x
q A EI =常数 l B
l∆ = Mu (θA + θC ) 2
1.5Mu C FP3
1.5Mu E l /2
4 Mu l 3 Mu l
+
验算内力局限条件
+ 3M u l M B = FP3 − − 1.5M u = −0.27 M u l 2
国家开放大学电大《力学》题库
1.对图示平面体系进行几何组成分析，以下体系是（无多余约束的几何不变体系）。
2.对图示平面体系进行几何组成分析，该体系是（瞬变体系）。
3.对图示平面体系进行几何组成分析，该体系是（有两个多余约束的几何不变体系）。
4.对图示平面体系进行几何组成分析，该体系是（可变体系）。
5.对图示平面体系进行几何组成分析，该体系是（有一个多余约束的几何不变体系）。
6.对图示平面体系进行几何组成分析，该体系是（几何可变体系）。
7.三刚片组成几何不变体系的规则是（三铰两两相联，三铰不在一直线上）。
8.刚结点在结构发生变形时的特征是（结点处各杆端之间的夹角保持不变）。
9.一个平面体系的计算自由度W>0，则该体系是（可变体系）。
10.在无多余约束的几何不变体系上增加或去掉一个二元体后构成（无多余约束的几何不变体系）。
11.图乘法的假设为（Mp及M图中至少有一图是由直段组成、杆件EI为常数、杆件为直杆）。
12.图示结构AB杆件A截面的剪力等于（Fp）。
13.瞬变体系在很小的荷载作用下会产生很大的内力。
14.如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此减少，则称此约束为多余约束。
15.体系的实际自由度绝对不小于其计算自由度。
16.如果体系的计算自由度等于其实际自由度，那么体系中没有多余约束。
17.如果体系的计算自由度大于零，那么体系一定时几何可变体系。
18.仅利用静力平衡条件即可确定结构全部反力和内力，且解答唯一，这样的结构称为静定结构。
19.两个刚片用不全平行也不全交于一点的三根链杆相联，组成的体系是无多余约束的几何不变体系。
20.两刚片用三个链杆相联，且三链杆平行不等长，则构成瞬变体系。
21.当结构中某个杆件的EI为无穷大时，其含义是这个杆件无弯曲变形（无轴向变形）。
1.对图a所示结构，按虚拟力状态b将求出（A、D连线的转动）。
2.图示虚拟状态是为了求（A截面转角）。
3.图示为刚架的虚设力状态，按此力状态及位移计算公式可求出（）。
李廉锟《结构力学》(下册)笔记和课后习题(含考研真题)详解(结构的极限荷载)
第14章 结构的极限荷载14.1 复习笔记【知识框架】结构分析方法 弹性分析方法 塑性分析方法的基本概念 塑性分析方法 塑性分析中力学性能的简化 塑性分析的注意事项塑性铰 塑性铰的定义 塑性铰与普通铰的区别 极限弯矩、塑性铰、破坏机构与静定梁的计算 极限弯矩的定义及求法 破坏机构超静定梁的特点 静定梁的极限荷载计算 单跨超静定梁的极限荷载 静力法求极限荷载极限荷载的计算 机动法求极限荷载 比例加载的定义 机构条件 结构处于极限状态时满足的条件 内力局限条件 比例加载时有关极限荷载的几个定理 破坏荷载与接受荷载 平衡条件 极小定理 比例加载时有关极限荷载的几个定理 极大定理结构的极限荷载穷举法的描述唯一性定理计算极限荷载的穷举法和试算法试算法的描述穷举法的计算步骤试算法的计算步骤连续梁的可能破坏机构形式连续梁的极限荷载计算方法连续梁的极限荷载的计算计算步骤刚架的可能破坏机构形式刚架的极限荷载计算方法刚架的极限荷载的计算计算步骤矩阵位移法求刚架极限荷载的概念【重点难点归纳】一、塑性分析方法的基本概念1．结构分析方法（1）弹性分析方法①定义弹性分析方法是指以结构在弹性阶段的最大应力达到极限应力作为结构破坏的标志的结构分析方法，又称为许用应力法。
②强度条件式中，σmax为结构的实际最大应力；[σ]为材料的许用应力；σu为材料的极限应力，对于脆性材料为其强度极限σb，对于塑性材料则为其屈服极限σs；k是安全因数。
③优点结构在设计荷载作用下，大多数仍处于弹性阶段，因此弹性分析对于研究结构的实际工作状态及其性能仍是很重要的。
④缺点按许用应力法以个别截面的局部应力来衡量整个结构的承载能力是不够经济合理的，而且以确定许用应力的安全因数k也不能反映整个结构的强度储备。
（2）塑性分析方法①定义塑性分析方法是指以结构进入塑性阶段并最后丧失承载能力时的极限状态作为结构破坏的标志的结构分析方法。
②极限载荷极限荷载是指结构在极限状态时所能承受的荷载。
中央电大2015年《建筑力学》填空、判断、选择汇总
中央电大2015年《建筑力学》填空、判断、选择汇总填空一1、对于作用在刚体上的力，力的三要素是大小、 方向 、 作用点 。
2、力对矩心的矩，是力使物体绕矩心 转动 效应的度量。
3、杆件变形的基本形式共有 轴向拉伸（压缩）变形 、 弯曲 、 剪切 和扭转 四种。
4、轴力是指沿着 杆件轴线 的内力。
5、轴向拉伸（压缩）的正应力大小和轴力的大小成 正比 ，规定 受拉 为正， 受压 为负。
6、两端固定的压杆，其长度系数是一端固定、一端自由的压杆的 4 倍。
7、细长压杆其他条件不变，只将长度增加一倍，则压杆的临界应力为原来的 0.25 倍。
8、在力法方程中，主系数δii恒 大于 零。
9、力矩分配法的三个基本要素为转动刚度、 分配系数 和 传递系数 。
10、梁的变形和抗弯截面系数成 反 比。
11、结构位移产生的原因有 荷载作用 、 温度作用 、 支座沉降 等。
填空二1、在任何外力作用下,大小和形状保持不变的物体称__刚体__________。
2、2、力是物体之间相互的_____机械作用_____________。
这种作用会使物体产生两种力学效果分别是____外效果________和____内效果________。
3、力的三要素是_______力的大小_________、_____力的方向___________、____力的作用点4、4、加减平衡力系公理对物体而言、该物体的___外____效果成立。
5、一刚体受不平行的三个力作用而平衡时，这三个力的作用线必____汇交于一点__________。
6、使物体产生运动或产生运动趋势的力称_______荷载（主动力）_______。
7、约束反力的方向总是和该约束所能阻碍物体的运动方向______相反________。
8、柔体的约束反力是通过___接触_________点，其方向沿着柔体____中心________线的拉力。
9、平面汇交力系平衡的必要和充分的几何条件是力多边形_____自行封闭_________。
梁和刚架的极限荷载课件
02
梁的极限荷载
简支梁的极限荷载
简支梁的极限荷载是指在特定条件下，简支 梁所能承受的最大荷载。这个最大荷载受到 材料强度、截面尺寸、跨度等因素的影响。
在垂直荷载作用下，简支梁的弯矩分布不均 匀，跨中弯矩最大，支座处弯矩为零。因此 ，简支梁的极限荷载主要受到跨中弯矩的限 制。
简支梁的极限荷载可以通过理论计算和实验 方法得到。在理论计算中，通常采用材料力 学的方法，根据截面尺寸和材料强度进行计 算。而在实验方法中，通过加载试验来测定 简支梁的极限荷载。
求解
通过合适的求解器，得到每个节 点的位移和应力分布。
01
离散化
将连续的求解域离散化为由有限 个单元组成的集合，每个单元具 有一定的物理和几何性质。
02
03
系统平衡
将所有单元的平衡方程联立，得 到系统的总体刚度方程，保证所 有节点的力和位移协调。
04
有限差分法
离散化
将连续的求解域离散化为由有限个网格点组 成的集合，每个网格点代表一定的物理和几
梁的抗弯强度与刚度
梁的抗弯强度是指梁在承受垂直荷载作用下抵抗弯矩的能力。这个能力受到材料强度、截面 尺寸等因素的影响。
梁的刚度是指梁在承受垂直荷载作用下抵抗变形的能力。这个能力受到材料弹性模量、截面 尺寸等因素的影响。
在设计梁时，需要综合考虑抗弯强度和刚度要求。通常，增加截面尺寸可以提高梁的抗弯强 度和刚度，但也会增加材料的用量和重量。因此，需要在满足设计要求的前提下，合理选择 截面尺寸和材料。
基函数
利用一组基函数展开未知 的位移和应力场，这些基 函数在局部范围内具有加 权残差为零的性质。
系统平衡
通过基函数的加权残差为 零的性质，建立系统的总 体刚度方程，保证所有节 点的力和位移协调。
1、静定结构与超静定结构静力计算公式
静定结构与超静定结构静力常用计算公式一、短柱、长柱压应力极限荷载计算公式1、短柱压应力计算公式荷载作用点轴方向荷载AF =σ bhF =σ 偏心荷载)1(21x Y i ye A F W M A F -=-=σ )1(22x Y i ye A F W M A F +=+=σ )61(2,1hebh F ±=σ 偏心荷载)1(22xy y x xx y Y i ye i xe A FI x M I x M A F ±±=⨯±⨯±=σ)661(be h e bh Fy x ±±=σ长短柱分界点如何界定？2、长柱方程式及极限荷载计算公式 支座形式图 示方 程 式极限荷载 一般式 n=1两端铰支β=1y a dxy d ∙=222 ax B ax A y sin cos +=y F M EIFa ∙==,2 EI l n 222π EI l 22π一端自由他端固定 β=2y a dxyd ∙=222 ax B ax A y sin cos +=EI l n 2224)12(π-EI l 224πy F M EIFa ∙==,2 两端固定β=0.50)(22=-+F M y a dxyd A FM ax B ax A y A++=sin cos A M y F M EIFa +∙-==,2 EI l 224π EI l 224π 一端铰支他端固定 β=0.75)(222x l EI Q y a dx y d -=∙+)(sin cos x l FQax B ax A y -++=水平荷载-=Q EIFa ,2 ——EI l227778.1π注：压杆稳定临界承载能力计算公式：EI l P cr 22)(βπ=二、单跨梁的反力、剪力、弯矩、挠度计算公式 1、简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度计算公式荷载形式M 图V 图反力 2F R R B A == L Fb R A =L Fa R B =2qL R R B A == 4qL R R B A == 剪力V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R B弯矩4max FL M =LFabM =max 82maxqL M = 122maxqL M = 挠度EIFL 483max=ω 若a ＞b 时，3)2(932maxab a EIL Fb +=ω（在)2(3b a ax +=处） EIqL 84max=ω EIqL 1204max=ω 注：1、弯矩符号以梁截面下翼缘手拉为正（+），反之为负（—）。
结构力学第16章 结构的塑性分析
qu
Mu
A
L
B
A
θ1
B
θ2
x
外力做功 极限荷载
δ
1 1 qu Lδ qu × ( × δ × x) + qu × [ × δ × ( L − x)] = 2 2 2
qu = − 2M u 2 L − x L x( L − x)
一阶导数 = 0：x 2 − 4 Lx + 2 L2 = 0 x1 = (2 − 2 ) L；x2 = (2 + 2 ) L(舍去)
δ
解：A点先出现塑性铰，第二个塑性铰的位置为x，假定x位 置向下移动虚位移δ 极限弯矩做功 − M u × (θ1 + θ 2 )
δ δ δ 2L − x = −M u [ + ( + )] = − M uδ x x L−x x( L − x)
例2：图示超静定梁的极限荷载qu， Mu为已知
qu
Mu
机构2 ′ FPuδ − M uθ1 − M uθ 2 = 0
δ
L 3
+(
δ
L 3
+
δ
L 3
)] = 0
′ FPuδ − M u FPu 2
δ
2L 3
− Mu(
δ
2L 3
+
δ
L 3
)=0
3 = ( M u' + 3M u ) 2L
二、连续梁的极限荷载：
FP1 A1 L FP2 A2 L FP1 A1 FP2 A2 不可能机构
Mu
1.2P
δ
机构4
2.5M u Pu1 = a 2M u Pu 2 = a 5M u Pu 3 = 3a
14.4 单跨超静定梁的极限荷载ppt课件
1) 无需考虑结构弹塑性变形的发展过程以及塑性铰形成 的顺序，只需预先判定最后的破坏机构。
2) 无需考虑变形协调条件，只需考虑极限状态下机构的平 衡条件（极限平衡法）即可求得，因而，比弹性计算简 单。
3)不受温度变化、支座移动等因素的影响。这些因素只影 响结构变形的发展过程，而不影响极限荷载的数值。 因为超静定结构在变为机构之前，已先成为静定结构。
极限荷载
FP
A
C
B
FPu C6M u / l
l /2
l /2
MA
=
3FPl 16
Mes3e1Frv6Peld
A FP FPs 重庆大学土木工程学院®
FP FPs
CFP= FPu
B
C
MC
=
5FPl 32
B
Mu
FPs FP FPu
C
B
FPu
2
Mu
Mu
2、机构法（虚功法、机动法）
u
M/ mu
20kNMu
m/
m
20kN
4m
2m 2m
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FPu
A
Mu
Mu
D= 6
DC 3
2 Mu
4
6m
2m
6
Mu
l
x0 x
C
B
Mu M (x)
FBy = ql /2 - Mu /l
5
【例14-4】试求图14-8a所示变截面梁的极限荷载。已知AB 段的极限弯矩为2Mu 40kN m，BC段的极限弯矩为 Mu 20kN m
FFPP
形成极限状态需有两个塑性铰，而 AA
14.3 静定梁的极限荷载
【例14-1】图示等截面简支梁在跨中承受集中荷载作用， 】图示等截面简支梁在跨中承受集中荷载作用， 已知梁截面的极限弯矩为Mu 。试求极限荷载FPu 。 已知梁截面的极限弯矩为 试求极限荷载
FP A C Mu B
(1)静力法 静力法由平衡条件
M E = M B = 0.5 FPu a = M u
A
FP a 2 D B FP a 2 Mu
FP E C
FPu D E C Mu
2 M u 2 × 20 FPu = = kN = 40kN a 1
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A B
l /2
l /2 FP A C B
FPu l = Mu 4 4M u FPu = l
FP l 4 FPu A C B
Mu
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(2)机构法 机构法
FP A C Mu B
取破坏机构如图所示 虚位移过程中力系所作的虚总 功应等于零， 功应等于零，虚功方程为
A B D E 4a a a a FP C
由弹性弯矩图的分布可知， 、 由弹性弯矩图的分布可知，E、 B截面的弯矩最大且相等。 截面的弯矩最大且相等。 截面的弯矩最大且相等 在极限状态时， 、 截面将同 在极限状态时，E、B截面将同 时出现塑性铰，梁成为机构， 时出现塑性铰，梁成为机构， 在此极限状态弯矩图中， 、 在此极限状态弯矩图中，E、B 截面的弯矩等于极限弯矩， 截面的弯矩等于极限弯矩，即
A
l /2 FPu Mu C C1
l /2
Mu
B
FPu ∆ − M u (θ + θ ) = 0
极限荷载
s A1 s A2 0
A1 A2 A / 2
中性轴亦为等分截面轴。 由此可得极限弯矩的计算方法
M u s A1a1 s A2a2 s (S1 S2 )
例：已知材料的屈服极限 解:
S1、S2为A1、A2对该轴的静矩。 距离， 式中 a1、a2为A1、A2的形心到等分截面轴的
---弯矩与曲率关系
非线性关系
ks M 3 2 或 k Ms
3.塑性流动阶段
M
bh2 Mu s 4
Mu 1.5 Ms
---塑性极限弯矩(简称为极限弯矩)
M
s
h
s
y0 y0
s s
bh2 Ms s 6
b
s
s
极限弯矩与外力无关,只与材料的物理性质和截面几何形状、尺寸有关。 设截面上受压和受拉的面积分别为 A1 和 A2 ，当截面上无轴力作用时
20 mm
塑性铰 若截面弯矩达到极限弯矩,这时的曲率记作 ku 。
ks M 3 2 k Ms ks Mu 3 2 0 ku Ms
Mu 1.5 Ms
ku 意味着该截面两侧可以发生相对转角，形如一个铰链。
称为塑性铰。 塑性铰与铰的差别： 1.塑性铰可承受极限弯矩; 2.塑性铰是单向的;
s A1 s A2 0
A1 A2 A / 2
中性轴亦为等分截面轴。 由此可得极限弯矩的计算方法
M u s A1a1 s A2a2 s (S1 S2 )
S1、S2为A1、A2对该轴的静矩。 距离， 式中 a1、a2为A1、A2的形心到等分截面轴的
极限弯矩与外力无关,只与材料的物理性质和截面几何形状、尺寸有关。 设截面上受压和受拉的面积分别为 A1 和 A2 ，当截面上无轴力作用时
梁和刚架的极限荷载
pp
q 2pa
1.2 p
A
EF B
C
D
机构1 机构2 机构3 机构4
a a a 2a a a
p
p Mu
q 2pa
1.2 p
2
Mu 3
p
p
2
Mu
q 2pa
1.2 p
Mu 3
pp
Mu
q 2pa
1.2 p
Mu
2
Mu
pp
q 2pa
1.2 p
Mu
2
Mu
解：
机 构 （1）
验算屈服条件：
机构（2）
2
Mu
1
2
M DA 3 (1.1 p2 ) 2a 3 Mu
1 3
(1.1
3Mu a
)
2a
2 3
Mu
1.1 p Mu
p
1.53Mu Mu
经验算各截面弯矩值不满足屈服条件，
MDA M 图
Mu
p2
3
Mu a
不是极限荷载。
第15章
例题3 求图示结构的极限荷载。
Mu
Mu
Mu qu2l 2 28
（4）极限状态
qu2 qu1
Mu
Mu
第15章
2、确定单跨梁极限荷载的机动法
q
l
A
Mu
x
qu
x l 2 2
dx C Mu
B
Mu
临界状态时，由虚功方程：
l
2
2 0
x
qudx
Mu
全国自考结构力学（二）历年真题带答案
全国⾃考结构⼒学（⼆）历年真题带答案全国2009年7⽉⾃考结构⼒学（⼆）试题课程代码：02439⼀、单项选择题（本⼤题共10⼩题，每⼩题2分，共20分）在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均⽆分。
1．对称结构在反对称荷载作⽤下，内⼒图中为正对称的是( ) A ．弯矩图 B ．剪⼒图C ．轴⼒图D ．弯矩图、剪⼒图和轴⼒图2．图⽰桁架中零杆(不含零⽀座杆)的根数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．图(a)和图(b)为简⽀梁的两种单位⼒状态，由位移互等定理可得（）A ．2112δ=δB ．2211δ=δC ．2221δ=δD ．1211δ=δ4．图⽰超静定结构的超静定次数为( )A ．4B ．3C ．2D ．15．图⽰结构各杆长均为l ，EI=常数，欲使结点A 产⽣单位转⾓，则在结点A 施加⼒偶矩M=（）A ．6l EIC ．8lEID ．9lEI 6．以下关于影响线的说法不正确的⼀项为( )A ．影响线指的是单位⼒在结构上移动时所引起的结构的某⼀内⼒(或反⼒)变化规律的图形B ．利⽤影响线可以求结构在固定荷载作⽤下某个截⾯的内⼒C ．利⽤影响线可以求结构某个截⾯内⼒的最不利荷载位置D ．影响线的横坐标是截⾯位置，纵坐标为此截⾯位置处的截⾯内⼒值 7．单元刚度矩阵中第3列元素表⽰( ) A ．3?=1时，在各个位移⽅向上产⽣的⼒ B ．3?=1时，在某个位移⽅向上产⽣的⼒C ．在各个位移⽅向上发⽣单位位移时，在3?⽅向上产⽣的⼒D ．在某个位移⽅向上发⽣单位位移时，在3?⽅向上产⽣的⼒ 8．不计杆的分布质量，图⽰体系的动⼒⾃由度为A ．1B ．2C ．3D ．49．为提⾼单⾃由度体系的⾃振频率可采取的措施有( ) A ．减⼩外荷载 B ．增⼤体系的刚度 C ．增⼤阻尼D ．增⼤质量10．AB 梁为矩形截⾯梁，截⾯⾼为h ，上侧温度升⾼10℃，下侧温度下降2℃，B 点的竖向位移(以向下为正)为( )B ．-3h l 2αC ．6hl 2αD ．-6hl 2α⼆、填空题（本⼤题共10⼩题，每⼩题2分，共20分）请在每⼩题的空格中填上正确答案。
结构极限荷载
题1
1.5M u
4m
P 题5
Mu
l
2m 1m
3
题2
2M u
4m
P Mu
1.5m 2m
题6
l 3
P
2P
题3
l Mul
2
2
l
Mu l
2
2
题4
q
P Mu
l 3 P Mu l 3
P
题7
2P P l 3
Mu 常数 2a P
l 3
题8
P
aa 2P
Mu 常数
2a
2M u 10m
Mu
aa
6m
极限荷载习题45分钟
计算极限荷载q u
s
卸载
O
理想弹塑性材料
• 屈服弯矩 •极限弯矩 •塑性铰 •破坏机构
§12.3 单跨梁的极限荷载
• 静力法——平衡条件
Pu l 4
Mu 2
Mu
l 2
Mu
Pu
6M u l
• 机动法——虚功原理
Pu2lMuMu2
P
l 2
Pl 4
Mu
P
Mu
2
Pu
6M u l
Mu
Mu Mu
Mu
§12.4 有关极限荷载的条件与定理
q
A
Mu
B
l
A、B截面上侧必须出现塑性铰
Mu A l
ql 6
Mu A
ql 6x
q BMu ql 3
qx l
Mx Mu
Qx 0
A、B之间剪力为零处,必须出现 一个塑性铰
Y0 Qxq2l2xq6l0
x l 3
M A0M uM uq 2l2x2 3 x0
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C
MA = B
3FP l 16
FP FPs C B 5FP l 32
A l /2 MC =
l /2
Mu
FP s FP FPu C B
Mu C A
FP = FPu B Mu
A
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14.4.2 超静定梁极限荷载 Pu的计算方法 超静定梁极限荷载F 1、静力法 、 根据极限状态弯矩图,应用平 根据极限状态弯矩图 应用平 衡条件求解
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【例14-3】试用静力法求图示单跨超静定梁的极限荷载。已 】试用静力法求图示单跨超静定梁的极限荷载。 知该梁的极限弯矩为 Mu 极限状态下
q A Mu l B
ql qx 2 M u M ( x) = x − x − 2 l 2
FPu (6θ ) − 2Muθ − Mu (3θ +θ ) = 0 FPu = 6Mu /6m =1Mu /m = 20kN⋅ m/m = 20kN
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A 2 Mu 4m
B
D Mu 2m 2m
C
A2 A1 A 2Mu B2 B1 B Mu D Mu
A C
C
FP B
W总 = W1 + W2 = 0
l W1 = FPu ∆ = FPu ( θ1 ) 2
l /2
l /2
W2 = − M u (θ1 + 2θ1 ) = − M u (3θ1 ) A
l W总 = W1 + W2 = FPu ( θ1 ) − M u (3θ1 ) = 0 2
Mu
1
FPu Mu Mu B
FPu Mu D C 3 4 2m
C
A
Mu
D= 6
2Mu 6m
1 2= 2 1
FPபைடு நூலகம் = 6 M u / l
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14.4.3 超静定梁极限荷载 Pu的计算特点 超静定梁极限荷载F
1) 无需考虑结构弹塑性变形的发展过程以及塑性铰形成 的顺序，只需预先判定最后的破坏机构。 的顺序，只需预先判定最后的破坏机构。 2) 无需考虑变形协调条件，只需考虑极限状态下机构的平 无需考虑变形协调条件， 衡条件（极限平衡法）即可求得，因而， 衡条件（极限平衡法）即可求得，因而，比弹性计算简 单。 3)不受温度变化、支座移动等因素的影响。这些因素只影 不受温度变化、支座移动等因素的影响。 不受温度变化 响结构变形的发展过程，而不影响极限荷载的数值。 响结构变形的发展过程，而不影响极限荷载的数值。 因为超静定结构在变为机构之前，已先成为静定结构。 因为超静定结构在变为机构之前，已先成为静定结构。 4）不能使用叠加原理，因而每种荷载组合都需要单独进 ）不能使用叠加原理， 行计算。 行计算。
B M (x) FBy = ql /2 - Mu /l
Mu
极限荷载
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Mu M qu = = 11.66 2u 2 l (1.5 − 2) l
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1
所示变截面梁的极限荷载。 【例14-4】试求图 】试求图14-8a所示变截面梁的极限荷载。已知 所示变截面梁的极限荷载 已知AB 2M 段的极限弯矩为 段的极限弯矩为 u = 40kN ⋅ m ，BC段的极限弯矩为 Mu = 20kN⋅ m
FPu l / 4 = (0.5 + 1) M u
A C
C
FP B
l /2
l /2
极限荷载
Mu C A
FP = FPu B Mu
FPu = 6 M u / l
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2、机构法（虚功法、机动法） 、机构法（虚功法、机动法） 取梁的破坏机构，如图所示。 取梁的破坏机构，如图所示。 给体系一个虚位移
ql Mu − qx − =0 2 l ql qx 2 M u x = Mu x− − 2 l 2 (a) (b)
Mu
确定跨中塑性铰位置
dM ( x) dx = 0, 令 M ( x) = M u ,
x0 x C A
跨中塑性铰位置为
x0 = ( 2 − 1)l = 0.414l
14.4 单跨超静定梁的极限荷载
14.4.1 超静定梁的破坏过程 静定梁，只要有一个截面出现塑性铰，梁就成为机构。 静定梁，只要有一个截面出现塑性铰，梁就成为机构。 在超静定梁中，由于具有多余约束，因此， 在超静定梁中，由于具有多余约束，因此，必须有足够 多的塑性铰出现， 多的塑性铰出现，梁才形成机构 。
FP
形成极限状态需有两个塑性铰， 形成极限状态需有两个塑性铰，而 可能出现塑性铰的截面有三个， 可能出现塑性铰的截面有三个，即 除了A、 截面外还有截面突变处 截面外还有截面突变处B 除了 、D截面外还有截面突变处 1) B、D不可能同时出现塑性铰 、 不可能同时出现塑性铰 2) A、D可能同时出现塑性铰 、 可能同时出现塑性铰 可按破坏机构列写虚功方程