14.4 单跨超静定梁的极限荷载
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FPu Mu D C 3 4 2m
C
A
Mu
D= 6
2Mu 6m
B M (x) FBy = ql /2 - Mu /l
Mu
极限荷载
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Mu M qu = = 11.66 2u 2 l (1.5 − 2) l
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1
所示变截面梁的极限荷载。 【例14-4】试求图 】试求图14-8a所示变截面梁的极限荷载。已知 所示变截面梁的极限荷载 已知AB 2M 段的极限弯矩为 段的极限弯矩为 u = 40kN ⋅ m ，BC段的极限弯矩为 Mu = 20kN⋅ m
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【例14-3】试用静力法求图示单跨超静定梁的极限荷载。已 】试用静力法求图示单跨超静定梁的极限荷载。 知该梁的极限弯矩为 Mu 极限状态下
q A Mu l B
ql qx 2 M u M ( x) = x − x − 2 l 2
ql Mu − qx − =0 2 l ql qx 2 M u x = Mu x− − 2 l 2 (a) (b)
Mu
确定跨中塑性铰位置
dM ( x) dx = 0, 令 M ( x) = M u ,
x0 x C A
跨中塑性铰位置为
x0 = ( 2 − 1)l = 0.414l
1 2= 2 1
FPu = 6 M u / l
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14.4.3 超静定梁极限荷载 Pu的计算特点 超静定梁极限荷载F
1) 无需考虑结构弹塑性变形的发展过程以及塑性铰形成 的顺序，只需预先判定最后的破坏机构。 的顺序，只需预先判定最后的破坏机构。 2) 无需考虑变形协调条件，只需考虑极限状态下机构的平 无需考虑变形协调条件， 衡条件（极限平衡法）即可求得，因而， 衡条件（极限平衡法）即可求得，因而，比弹性计算简 单。 3)不受温度变化、支座移动等因素的影响。这些因素只影 不受温度变化、支座移动等因素的影响。 不受温度变化 响结构变形的发展过程，而不影响极限荷载的数值。 响结构变形的发展过程，而不影响极限荷载的数值。 因为超静定结构在变为机构之前，已先成为静定结构。 因为超静定结构在变为机构之前，已先成为静定结构。 4）不能使用叠加原理，因而每种荷载组合都需要单独进 ）不能使用叠加原理， 行计算。 行计算。
FPu (6θ ) − 2Muθ − Mu (3θ +θ ) = 0 FPu = 6Mu /6m =1Mu /m = 20kN⋅ m/m = 20kN
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A 2 Mu 4m
B
D Mu 2m 2m
C
A2 A1 A 2Mu B2 B1 B Mu D Mu
FPu l / 4 = (0.5 + 1) M u
A C
C
FP B
l /2
l /2
极限荷载
Mu C A
FP = FPu B Mu
FPu = 6 M u / l
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2、机构法（虚功法、机动法） 、机构法（虚功法、机动法） 取梁的破坏机构，如图所示。 取梁的破坏机构，如图所示。 给体系一个虚位移
FP
形成极限状态需有两个塑性铰， 形成极限状态需有两个塑性铰，而 可能出现塑性铰的截面有三个， 可能出现塑性铰的截面有三个，即 除了A、 截面外还有截面突变处 截面外还有截面突变处B 除了 、D截面外还有截面突变处 1) B、D不可能同时出现塑性铰 、 不可能同时出现塑性铰 2) A、D可能同时出现塑性铰 、 可能同时出现塑性铰 可按破坏机构列写虚功方程
14.4 单跨超静定梁的极限荷载
14.4.1 超静定梁的破坏过程 静定梁，只要有一个截面出现塑性铰，梁就成为机构。 静定梁，只要有一个截面出现塑性铰，梁就成为机构。 在超静定梁中，由于具有多余约束，因此， 在超静定梁中，由于具有多余约束，因此，必须有足够 多的塑性铰出现， 多的塑性铰出现，梁才形成机构 。
FP A C
C
MA = B
3FP l 16
FP FPs C B 5FP l 32
A l /2 MC =
l /2
Mu
FP s FP FPu C B
Mu C A
FP = FPu B Mu
A
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14.4.2 超静定梁极限荷载 Pu的计算方法 超静定梁极限荷载F 1、静力法 、 根据极限状态弯矩图,应用平 根据极限状态弯矩图 应用平 衡条件求解
A C
C
FP B
W总 = W1 + W2 = 0
l W1 = FPu ∆ = FPu ( θ1 ) 2
l /2
l /2
百度文库
W2 = − M u (θ1 + 2θ1 ) = − M u (3θ1 ) A
l W总 = W1 + W2 = FPu ( θ1 ) − M u (3θ1 ) = 0 2
Mu
1
FPu Mu Mu B
C
A
Mu
D= 6
2Mu 6m
B M (x) FBy = ql /2 - Mu /l
Mu
极限荷载
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Mu M qu = = 11.66 2u 2 l (1.5 − 2) l
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1
所示变截面梁的极限荷载。 【例14-4】试求图 】试求图14-8a所示变截面梁的极限荷载。已知 所示变截面梁的极限荷载 已知AB 2M 段的极限弯矩为 段的极限弯矩为 u = 40kN ⋅ m ，BC段的极限弯矩为 Mu = 20kN⋅ m
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【例14-3】试用静力法求图示单跨超静定梁的极限荷载。已 】试用静力法求图示单跨超静定梁的极限荷载。 知该梁的极限弯矩为 Mu 极限状态下
q A Mu l B
ql qx 2 M u M ( x) = x − x − 2 l 2
ql Mu − qx − =0 2 l ql qx 2 M u x = Mu x− − 2 l 2 (a) (b)
Mu
确定跨中塑性铰位置
dM ( x) dx = 0, 令 M ( x) = M u ,
x0 x C A
跨中塑性铰位置为
x0 = ( 2 − 1)l = 0.414l
1 2= 2 1
FPu = 6 M u / l
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14.4.3 超静定梁极限荷载 Pu的计算特点 超静定梁极限荷载F
1) 无需考虑结构弹塑性变形的发展过程以及塑性铰形成 的顺序，只需预先判定最后的破坏机构。 的顺序，只需预先判定最后的破坏机构。 2) 无需考虑变形协调条件，只需考虑极限状态下机构的平 无需考虑变形协调条件， 衡条件（极限平衡法）即可求得，因而， 衡条件（极限平衡法）即可求得，因而，比弹性计算简 单。 3)不受温度变化、支座移动等因素的影响。这些因素只影 不受温度变化、支座移动等因素的影响。 不受温度变化 响结构变形的发展过程，而不影响极限荷载的数值。 响结构变形的发展过程，而不影响极限荷载的数值。 因为超静定结构在变为机构之前，已先成为静定结构。 因为超静定结构在变为机构之前，已先成为静定结构。 4）不能使用叠加原理，因而每种荷载组合都需要单独进 ）不能使用叠加原理， 行计算。 行计算。
FPu (6θ ) − 2Muθ − Mu (3θ +θ ) = 0 FPu = 6Mu /6m =1Mu /m = 20kN⋅ m/m = 20kN
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A 2 Mu 4m
B
D Mu 2m 2m
C
A2 A1 A 2Mu B2 B1 B Mu D Mu
FPu l / 4 = (0.5 + 1) M u
A C
C
FP B
l /2
l /2
极限荷载
Mu C A
FP = FPu B Mu
FPu = 6 M u / l
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2、机构法（虚功法、机动法） 、机构法（虚功法、机动法） 取梁的破坏机构，如图所示。 取梁的破坏机构，如图所示。 给体系一个虚位移
FP
形成极限状态需有两个塑性铰， 形成极限状态需有两个塑性铰，而 可能出现塑性铰的截面有三个， 可能出现塑性铰的截面有三个，即 除了A、 截面外还有截面突变处 截面外还有截面突变处B 除了 、D截面外还有截面突变处 1) B、D不可能同时出现塑性铰 、 不可能同时出现塑性铰 2) A、D可能同时出现塑性铰 、 可能同时出现塑性铰 可按破坏机构列写虚功方程
14.4 单跨超静定梁的极限荷载
14.4.1 超静定梁的破坏过程 静定梁，只要有一个截面出现塑性铰，梁就成为机构。 静定梁，只要有一个截面出现塑性铰，梁就成为机构。 在超静定梁中，由于具有多余约束，因此， 在超静定梁中，由于具有多余约束，因此，必须有足够 多的塑性铰出现， 多的塑性铰出现，梁才形成机构 。
FP A C
C
MA = B
3FP l 16
FP FPs C B 5FP l 32
A l /2 MC =
l /2
Mu
FP s FP FPu C B
Mu C A
FP = FPu B Mu
A
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14.4.2 超静定梁极限荷载 Pu的计算方法 超静定梁极限荷载F 1、静力法 、 根据极限状态弯矩图,应用平 根据极限状态弯矩图 应用平 衡条件求解
A C
C
FP B
W总 = W1 + W2 = 0
l W1 = FPu ∆ = FPu ( θ1 ) 2
l /2
l /2
百度文库
W2 = − M u (θ1 + 2θ1 ) = − M u (3θ1 ) A
l W总 = W1 + W2 = FPu ( θ1 ) − M u (3θ1 ) = 0 2
Mu
1
FPu Mu Mu B