6.4 子群及其陪集

加法群中元素的周期
在加法群中，(a)应换为a的所有倍数的集合： …，-2a，-a，0，a，2a，… * 当(*)中的所有元素均彼此不同时，称a的周期为无穷大 或为0；否则当n为适合na=0的最小正整数时，称a的周 期为n。 注意这里的加法表示满足交换律的一种抽象运算。 定理6.4.5’ 若加法群中a的周期为n，则有 (1′) 0，a，2a，…，（n-1）a为n个不同元素； (2′) ma=0当且仅当n∣m; (3′) sa=ta当且仅当n∣(s-t)
子群的例
例. （mZ，+）是整数加法群（Z，+） 的一个子群。 例. （C，+）以（R，+）、（Q，+）、（Z，+） 为其真子群。 例. （C*，·）以（R*，·）、（Q*，·） 为其真子群。 例. 行列式等于1的所有n阶矩阵作成所有n阶非 奇异矩阵的乘法群的一个子群。 例. n次交代群是n次对称群的一个真子群。
周期的例
例. 4次对称群中（1 2 3 4）的周期是4，因为 （1 2 3 4）2=（1 3）（2 4） （1 2 3 4）3=（1 4 3 2） （1 2 3 4）4= I 例. 在（C*，·）中，1的周期为1，-1的周期为2， ±i的周期为4，模数r≠1的复数z=reiθ的周期为无 穷大。
周期的例
例子
例 设(G,*)是群，对G中任意a,令H={x|x*a=a*x, x∈G},试证明(H,*)是(G,*)的子群。 证明：显然1∈H,即H非空，对H中任意x,y 有 (x*y)*a=x*(y*a)=x*(a*y)=(x*a)*y=(a*x)*y=a*(x*y )，故x*y∈H，即H中*运算封闭。在H中*运算显 然仍满足结合律。对H中任意x 有x*a=a*x，于是 x-1*(x*a)*x-1=x-1*(a*x)*x-1，化简得到a*x-1=x-1*a， 即x-1 ∈H。证毕 使用同样办法可以证明下面练习： 设G是一个群，H是G的一个子群。a∈G。试证 aHa-1={aha-1 |h∈H}是G的子群。也称共扼子群。
6.4.1 子 群 的 定 义
设（G，·）是一个群， H ⊆ G， 如果 (H， ·) 仍是一个群，则 （H，·）叫做（G，·）的子群。 真子群 如果G的一个子群H不等于G，
子群
即H ⊂ G，则（H，·）叫做 （G，·）的真子群。 Note: G的子群H的运算必须与G的运算一样， 比如， （C*，·）不是（C，+）的子群。在 群中成立的性质在子群仍成立。
判别条件一(证明续) 判别条件一(证明续)
由群的定义，对于H中的a，应有 b∈H使，ab= 1H=1G ，此式在G中亦成 立，以a-1左乘得b= a-1 1G = a-1 ，因而 a-1∈H，即（2）成立。 必要性证毕。
判别条件一
充分性 设(1),(2),(3)成立。
由(3)，H非空。 由(1)，H中的两个元素a，b可以在H内相乘. 在G中成立的结合律在子集H中自然成立。 往证H中有单位元1G 。任取a∈H,由(2),a-1∈H, 由(1),aa-1∈H，即1G∈H；1G在G中适合1a=a， 故在H中亦有此性质。 往证H中任意元素a有逆.因由(2),a-1∈H，但是 G中，a-1a=1G，此式在H中亦应成立，故a-1即a 在H中之逆。 综上，H在G的运算下是一个群，故是G的子群。
§6.4 子 群 及 其 陪 集
6.4.1 子 群 的 定 义 6.4.2 子群的判别条件 6.4.3 循 环 群 6.4.4 陪 集
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捉大头游戏
它是一种相传很久的有趣游戏,如下图,最上面一排是参 加抽签者的名字,最下面一排是签号、奖品或公差。每 个人依次顺着竖线往下走，碰到有横线时，即转向横向 前进，碰到竖线再往下走，依次类推，则只要横线不要 跨过3条竖线（只能跨在两竖线之间），那么此游戏执 行完毕后，最上面的每个人会1-1对应到最下面一排的 位置。一般在设计游戏时，是由主持人先画好竖线和横 线，且在最下面先标好签号，由抽签者自行填上最上面 的人名。有时，为了增加趣味性，先画好竖线填好上排 的人名和下面的签号，再请参加者自行画上横线（不过 速度要快，要不然观察力强者，很快可以找出对应关 系）。请同学们考虑是否可以使用置换的复合编程处理
6.4.2 子群的判别条件
判别条件一 定理6.4.1 群G的一个子集H是G的一个子群 的充分必要条件是： (1) 若a∈H，b∈H，则ab∈H； (2) 若a∈H，则a-1∈H； (3) H非空。
判别条件一
证明： 必要性 若H是G的子群，则(1)、(3)显然。现要证（2）. 先证H中的单位元就是G中的单位元。 设1G是G中的单位元，1H是H中的单位元。 任取a∈H，则在H中有： 1H a=a， 故在G中也成立。以a-1右乘得 (1H a)a-1 =aa-1，即，1H (aa-1) =1G ， 1H 1G = 1G ， 故，1H=1G。
判别条件三
定理6.4.3 设H群G的一个有限非空子集，则 H是G的子群的充分必要条件是H对G的运算 是封闭的，即若a∈H，b∈H，则ab∈H 。
提示：充分性证明用教材201页习题2得出的结论：若非 空、运算封闭、结合律、消去律、有限，则为群。
6.4.3 循 环 群
定理6.4.4 设a是群G的一个元素。于是a的所 有幂的集合 an，n=0，±1，±2，… 做成G的一个子群，记为（a）。此群称为由a生 成的子群。 证明： （1）（a）非空，至少a0=1∈（a）。 （2）任取（a）中二元素am，an，有 am（an）-1=ama-n=am-n∈（a）。 故由子群判别条件二，（a）做成G的一个子群。
循环群的生成元素
定理6.4.6 （1） 无限循环群（a）一共有两个生成元： a及a-1。 （2） n元循环群（a）中，元素ak 是（a） 的生成元的充要条件是（n，k）=1。 所以（a）一共有ϕ(n)个生成元素。
证明：如果ak是（a）的一个生成元，那么（a） 中每个元素都可表示为ak的方幂。特别地，a也可 表示为ak的方幂。设 a = (ak) m = ak m。 （1） 由（a）是无限循环群知，km=1。 因此，k=±1。即， a及a-1为无限循环群 （a）的生成元。
周期的例子
（2）设τ的周期为t，[k1,k2,…,ks]=d。由于τ1, τ2,… ,τs是不相杂的，则τd= τ1dτ2d… τsd =(a1)，因 此有t|d。另一方面， τt =(a1), 由于两两不相杂，必有τid =(a1),i=1,2,…,s。根据 （1）部分的结果知τi的周期为ki，因此对于所有 的i ∈{1,2,…,s}有ki|t，即t是k1,k2,…,ks的公倍数， 由于d是k1,k2,…,ks的最小公倍数，必有d|t。综合 上述结果有t=d。
结论：设a为群G的一个元素， （1）如果a的周期为无穷大，则（a）是无限循 环群，（a）由彼此不同的元素 …，a-2，a-1，1，a，a2，… 组成。 （2）如果a的周期为n，则（a）为n元循环群， 它由n个不同的元素 1，a，a2，a3，…，an-1 组成。
周期的例
例 设Sn是n次对称群。 （1）若σ∈Sn， σ =(a1a2…ak)，则σ 的周期是k。 （2）τ ∈Sn， τ= τ1 τ2… τs是不相杂轮换的乘积， 若τi是ki阶轮换，i=1,2,…,s，则τ的周期是τ1, τ2,… ,τs的最小公倍数[k1,k2,…,ks] 证（1） σ k= (a1a2…ak) k =(a1)，假若σ 的周期 j<k，则σ j(a1)= (a1a2…ak)j(a1)=aj+1≠a1,矛盾，这就 证明了j=k。
判别条件二(证明续) 判别条件二(证明续)
设（*）成立，往证(1),(2)成立。 设a∈H，由（*）可推得，a∈H ，a∈H，故 aa-1∈H,即1∈H。又由（*）可推得，1∈H，a∈H，故 1a-1∈H，即a-1∈H，因而（2）成立。设a∈H，b∈H， 因为（2）已证,故b-1∈H。再由(*)推知,a∈H,b-1∈H,故a （b-1）-1∈H，即 ab∈H，故（1）成立。
平凡子群
群G一般都有两个明显的子群,称为G 的平凡子群： 由其单位元素组成的子群{1}，称为G的单 位子群； G本身。 其余的子群（如果有的话）称为非平 凡子群。
子群的例
设Z6={0,1,2,3,4,5}是模6的剩余类集合， 则Z6在剩余类加法下是一个群，其中{0} 和Z6是该群的两个平凡子群，{0，3}和 {0，2，4}是其非平凡子群，而{0，1，3， 5}不是子群。
6.4.3 循 环 群
定义.如果群G可以由它的某元素a生成，即有 a∈G使G=（a），则G叫做一个循环群，或巡回 群。上面定理中的（a）称为由a生成的循环子群。 例. 整数加法群（Z，+）是由1生成的循环群。 （nZ，+）是由n生成的循环群。 容易证明循环群必是 Abel群
元素的周期
看由元素a所生成的循环群（a）： …，a-2，a-1，a0，a，a2，… （1） 情形10 如果（1）中所有元素都彼此不同，则称 a a的周期为无穷大或0。此时，对任意两个不同的 0 整数s与t，as≠at。 s t a 情形20 如果（1）中出现重复的元素，即有整数 s≠t，使as=at。不妨设s>t，于是 s-t>0且as-t=1， 即有正整数m使am=1。 若n为适合an=1的最小正整数，则称a的周期（阶） 为n。
周期的例
例 若有限群G的元数为偶数，则G中周期 等于2的元素个数一定是奇数。 例 若群中除单位元外，所有其他元素的 周期为2，则该群为Abel群。
周期的性质
定理6.4.5 若群G中元素a的周期为n，则 （1） 1，a, a2，a3，…，an-1为n个不同元素； （2） am=1当且仅当n∣m; （3） as=at当且仅当n∣(s-t)。
例 一个有限群中，周期大于2的元素个数为偶数。 证明：任取群中周期大于2的元素a，于是a2≠1， 由群的概念知a有逆元a-1，且a ≠ a- 1 (否则，若 a=a-1，有a2=1，矛盾），这就是说a与a的逆a-1是 成对出现的且它们的周期都大于2，由于a的任 意性知周期大于2的元素个数为偶数。证毕。
证明：因为任意整数m恒可唯一地表为 m=nq+r，0≤r<n 故 am=anqar=(an ) qar=1qar=lar=ar； 由于0≤r<n，故按周期的定义知 ar=1 iff r=0 所以 am=1 iff r=0 iff n∣m 即（2）得证。由（2）即知 as=at iff as-t=1 iff n∣(s-t)， 即（3）得证，最后由（3）立即可得（1）。
例子
例 设H和K都是群G的子群，令 HK={xy|x∈H,y∈K}。试证若HK=KH，则HK是 G的子群（此题的逆命题就是书中习题6.4的14） 因为1∈H,1∈K，故1∈HK，即非空。 对于任意的x=hk, y=h1k1,这里h, h1∈H, k, k1∈K， 有xy- 1 =(hk)(h1k1)-1=h(kk1-1)h-1。 记k2=kk1-1∈K, 由HK=KH，存在h3∈H, k3∈K使 k2h1-1=h3k3。 从而xy-1=hh3k3=(hh3)k3∈HK。由定理6.4.2知HK 是G的子群。
（2） 如果（a）是一个n元有限群，那么a的周 期为n。由周期的性质知，n|km-1。因此， km-1=nq， 这说明k与n互质。 另一方面，如果k与n互质，则有h和-q，使 h k-qn=1， 即，hk-1=qn，故 n│(kh-1)，由周期 的性质知，a1=akh， a=(ak)h.故a可表为ak的若干次 方. 总之，a可表为ak的若干次方 iff k与n互质。 但在0≤k<n中，共有ϕ(n)个k与n互质，故共有 ϕ(n)个元素ak可生成（a）。 km-nq=1。
子群H与大群G的关系 H的单位元素就是G的单位元素， H中任一元素a在H中的逆元素也就是a在G 中的逆元素。
判别条件二
定理6.4.2 判别条件一中的两个条件（1）， （2）可以换成下面一个条件 （*） 若a∈H，b∈H，则ab-1∈H。 证明：设(1),(2)成立，往证（*）成立。设 a∈H，b∈H， 由 （ 2 ） ， b-1∈H， 故 由 （1），ab-1∈H，因而（*）成立。