亥姆霍兹定理

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亥姆霍兹定理

亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理
流体力学中有关涡旋的动力学性质的定理
流体力学中有关涡旋的动力学性质的一个著名定理。

它指出，在无粘性、正压流体中，若外力有势，则在某时刻组成涡线、涡面和涡管的流体质点在以前或以后任一时刻也永远组成涡线、涡面和涡管，而且涡管强度在运动过程中恒不变。

中文名亥姆霍兹定理外文名Helmholtz'stheorems
流体力学中有关涡旋的动力学性质的一个著名定理。

意义
亥姆霍兹定理和开尔文定理合在一起全面地描述了在无粘性、正压、外力有势这三个条件下流体中涡旋的随体变化规律。

首先，流体运动的涡旋性是保持的，即某时刻有旋则永远有旋，某时刻无旋则永远无旋。

其次，对于有旋运动，涡线、涡管永远由相同的流体质点组成，并且涡管的强度不随时间改变，好像流体质点和涡旋强度冻结在涡线、涡管上，随涡线、涡管一起运动。

可见涡旋随体变化的最主要的性质是保持性或谓冻结性。

破坏涡旋保持性，使涡旋产生和消失的三个主要因素是：流体的粘性、流体的斜压性以及外力无势。

贸易风和船舶航行时船尾后面不断产生的涡旋便是斜压性、外力无势产生涡旋和粘性产生涡旋的两个例子。

2.4矢量场的环量及旋度分析

2) 在圆柱坐标系下：
1 (er e ez ) r r z 1 (rFr ) 1 F Fz F (r ) r r r z
3) 在球面坐标系下： 1 1 (er e e ( ) ) r r r sin
1、散度的定义在场空间 A(r ) 中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积为 V ，则定义场矢量 A(r ) 在M 点处的散度为：
divA( r ) lim

s
A(r ) dS v
v 0
2、散度的物理意义 1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；
2) 矢量场的散度是一个标量；
F (r ) lim

s
F (r ) dS V
V
d lim V V dV
由于 F 是通量源密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对 F 体积分后，为穿出闭合面S的通量
式中：S为包围V的闭合面
则在一定体积V内的总的通量为：
F (r )dV
S
( A) dS
意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的线积分。
斯托克斯定理的证明：由旋度的定义
S 0
c
lim

c
Α dl S
ˆn rot A e

c
A d l ( A) dS
)

c1
A dl ( A) dS1 A dl ( A ) dS2
旋度
ˆ S S n
A
矢量场除了有散度源外，还有另一种源—旋度源。
P
空间中，取一有向闭合路

1.6无旋场与无散场

q q 1 E 4r 4 r
1 'E (r ' )dV ' 4r V
q 4r
qr 4r 3
小结
1）矢量场的源 2）矢量场按源的分类 3）亥姆霍兹定理
二、矢量场按源的分类 1）无旋场仅有散度源而无旋度源的矢量场这种场一定无旋涡
F dl 0
l
这种场的旋度处处为零因为
F 0
线积分和路径无关因此是保守场
0
因此这种场可以用标量场的梯度表示
F
例：静电场
2)无散场
仅有旋度源而无散度源的矢量场这种场无通量源 F dS 0
0
2
4）既可能有散，也可能有旋的矢量场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分
F (r ) (r ) A(r )
无旋场部分无散场部分
三、亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理 : 若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为
S
这种场的散度处处为零因为
F 0
A 0
F A
因此这种矢量场可以表示为另一个矢量场的旋度
例如，恒定磁场
3）在要讨论的场区，既无旋又无散源在要讨论的区域之外 F 0 F () 0 F 0
V
求远离散度源区域处的矢量场E 。
r' 在远离散度源区域处，｜ｒ｜＞＞｜｜，可近似认为 r r ' r
E
解：由亥姆霍兹定理，因为E是无旋场，则
1 ( r ) 4 ' E (r ' ) dV ' r r' V

《电磁场理论》1.6 亥姆霍兹定理

u0
2
4）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分
F (r ) Fl (r ) FS (r ) u(r ) A(r )
无旋场部分无散场部分
无旋场与无散场可以看成是两种基本的矢量场，任一矢量场都可以分解为无旋场部分与无散场部分之和，也就是说，任一矢量场都可以表示为一标量场的梯度与另一矢量场的旋度之和。 4 F (r ) Fl (r ) Fs (r )
2)无源有旋场
若矢量场 F (r ) 在某区域V内，处处 F 0 ，但在某些位置或整个空间内，有 F J 0 ，则称在该区域V内，场 F (r ) 为有旋无源场。 2 说明：式中 J 为矢量场漩涡源密度。
F 0
重要性质：

S
F (r ) dS F (r )dV 0
由散度定理
AdV
V
S
A dS

S
A ndS
设 A ( 和为空间区域内两个任意的标量函数）
A ( ) 2
2
A n n
dS 得格林第一恒等式 ( )dV V S n
说明：
F (r ) u (r ) A(r )
1）矢量场 F 可以用一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度来表示。此标量函数由 F 的散度和 F 在边界S上的法向分量完全确定；而矢量函数则由 F 的旋度和 F 在边界面S上的切向分量完全确定；
2）由于 [u (r )] 0, [ A(r )] 0 ，因而一个矢量场可以表示为一个无旋场与无散场之和，即
1.6 亥姆霍兹定理和格林定理
一、矢量场的分类

1-4亥姆霍兹定理

— — Helmholtz Theorem
(1)总结了 (标量、矢量 )场的基本性质
(2)散度方程和旋度方程— — 矢场的基本微分方程
(3)闭合面通量和闭合线环流— — 矢场基本积分方程
(4)标量场性质完全可以由它的梯度来表明
r
rr
F = 两个特殊的场分量之和＝F无旋＋F无散r
＝ − ∇U＋∇ × A
两个恒等式(可逆 )
(1)标量场梯度的旋度为零
r r ∇Ur= F无旋保守r性
∫Q F无旋 • dl ≡ 0 Q∇ × F无旋 ≡ 0
C
— — 逆定理…？
(2)矢量场旋度的散度为零
r ∇ • (∇r × A) ≡ 0 ∇ • F无散 ≡ 0 — — 逆定理 … ？
亥姆霍兹定理(公理 )
定理的本质：
S
C
Helmholtz Theorem
Fr＝
−
∇U＋∇
×
r A
微分、积分方程
Helmholtz Theorem
r
rr
F = 两个特殊的场分量之和＝F无旋＋F无散 r
＝ − ∇U＋∇ × A
矢场的基本微分方程
— — 散度方程和旋度方程
矢场的基本积分方程 — — 闭合面通量和闭合线环流
r
rr
F = 两个特殊的场分量之和＝F无散＋F无旋
矢场的基本微分方程
— — 散度方程和旋度方程
r
rr
r
{ ∇ • Fr = ∇ • (Fr无散＋Fr无旋) = ∇ • Fr无旋 = ? ∇ × F = ∇ × (F无散＋F无旋 ) = ∇ × F无散 = ?
矢场的基本积分方程 — — 闭合面通量和闭合线环流

EM2014-Chapter-1-3-格林定理和亥姆霍兹定理

旋度源
F (r ) J (r )
已知梯度场为无旋场，旋度场为无散场，因此，根据亥姆霍兹定理，任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。
7
上述亥姆霍兹定理是针对无限区域而言的，如果是有限区域有限区域，任一，任一上述亥姆霍兹定理是针对无限区域而言的，如果是矢量场仍可表示为一个无旋场与无散场之和，但必须考虑区域边界上的边值条件。边值条件。如果已知矢量场在有限区域的散度和旋度，以及矢量场的边值条件，利用亥姆霍兹定理即可求出该矢量场的空间分布。因此，矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。及旋度特性是研究矢量场的首要问题。根据亥姆霍兹定理，无限区域中的矢量场被其散度和旋度惟一地确根据亥姆霍兹定理，无限区域中的矢量场被其散度和旋度惟一地确定，有限区域中的矢量场被其散度、旋度和区域边界上的边值条件惟一地确定。这一结论对本课程内容的讲解非常重要。在后续章节分别研究地确定。这一结论对本课程内容的讲解非常重要。在后续章节分别研究静电场、恒定磁场和时变电磁场时，将会把经过实验定律验证的矢量场的散度和旋度作为基本假设，由此推导出描述矢量场特性特性和计算矢量场和计算矢量场的散度和旋度作为基本假设，由此推导出描述矢量场空间分布的相关公式或关系式。空间分布的相关公式或关系式。
V
式中，S为包围V的闭合曲面，面元dS的方向为S表面的外法线方向。以上两式称为矢量第一格林定理，或者，矢量格林第一恒等式矢量格林第一恒等式，有时也称为，有时也称为以上两式称为矢量第一格林定理，或者，标量格林第一恒等式的矢量模拟。标量格林第一恒等式的矢量模拟。
矢量第一格林定理的证明
根据矢量恒等式
[ A ( B ) B ( A)] dS B [ ( A)] A [ ( B )] dV

[亥姆霍兹定理的证明.doc](可编辑修改word版)

例16 求V3解由上节例中可知因此根据（1.41c）式式中代人，在r#r'，即及式0处V）J_ = A_ A^o R R3 V但由上式不能确定V2j在r-/点，即7?=0点的值，为此，计算▽■募V V 5以上应用了髙斯定理将体积分转换为面积分。

如果以上体积分中不包含/点，则在体积分体积中R^O,体积分的被积函数为零，积分也为零；如果以上体积分中包含r1点，可将积分体积设为中心在点，以a为半径的球，则在该球面上半径R=a为常数，X的方向与球面的法线方向相同，因此也就是—忐去=0对于三维＜函数8(R)^S(r-r')^S(x~x' )S(y~y' )5(z—/)，有S⑻=0 穴关0卜dv C比较可知-忐去4⑻即去=—inS(R)(1.4-12)去)dV =fl▽■▽I:-7▽ 2^dV=_V亥姆霣兹定理：若矢量场f•在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为F(r) =- ▽0(r) +V X A(r) 式中V 证根据5函数的性质F(r) = JJ - r)dW(1.6-3)(1-6-4)(1- 6-5)(1.6-6) 将= 代人上式，V考虑到微分运算与积分运算的变量不同，由上式可得v^v\AV ， V利用矢量恒等式,VXVX4=W-A-V !A,上式可写为 F(r> 二—▽▽ ■i^dW) + V X V X j^d^) V V即F(r) =—▽*+▽ x A 0(r) = V •仲)=v X i^VT dr > V(1.6-3)式得证。

将(1.6-8)和(1.6-9)式中的徽分与积分运算交换次序，分别得中⑺：O=認▽ xV =—W X vVFC^ x v ，T^VT dv ，二 a厦,V V r X F<〆) 式中(1.6-7〉(1.6-8)(1.6-9〉V- M s(1.6-10)(1.6-11)打〆).v (t , \-|)dy ，A(r) = ▽ X<1.6-10)和(1.6-11)式的体积分是无限空间区域，封闭面积分是包围无限大空间区域的无限大的曲面。

亥姆霍兹定理

亥姆霍兹定理
一、亥姆霍兹定理
在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。这就是亥姆霍兹定理的内容。
二、矢量场的分类
根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：调和场
若矢量场 F (r )在某区域V内，处处有： F 0和 F 0 则在该区域V内，场 F (r )为调和场。
已知
矢量F的通量源密度矢量F的旋度源密度场域边界条件
在电磁场中
电荷密度电流密度J （矢量A唯一地确定）场域边界条件
无源有旋场
若矢量场 F (r )在某区域V内，处处 F 0 ，但在某些位置或整个空间内，有 F J 0 ，则称在该区域V 内，场 F (r )为无源有旋场。
有源有旋场
若矢量场F (r )在某区域V内，在某些位置或整个空间内，
有 F 0和 F J 0 ，则称在该区域V内，
场F (r )为有源有旋场。
注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。
有源无旋场
若矢量场 F (r )在某区域V内，处处 F 0 ，但在某
些位置或整个空间内，有 F 0 ，则称在该区域V
内，场 F (r )为有源无旋场。
讨论：由于旋度为零，由斯托克斯定理
c F(r ) dl 0
结论：有源无旋场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零。有源无旋场也称保守场。
有源有旋场可分解一个有源无旋场和无源有旋场的叠加，即：
F (r ) F ) 0
Fs (r ) 0 Fs (r ) J
F (r ) Fl (r ) F (r ) Fs (r ) J
亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线。

亥姆霍兹定理

各科学习都取得了较好成绩。学习成绩报告表明：他的拉丁语、希腊语、希伯来语、宗教、数学及物理学方面的成绩良好，历史和地理学成绩优异。中学毕业考试结果表明，他的希腊语、法语、拉丁语成绩出色，数学考试表明了他对数学原理有着超乎寻常的理解。在额外提交的一篇题为 “论自由落体定律”的论文中，其思想和表述非同一般地准确，表明了他对物理问题的深思熟虑。在随后举行的口试中，他以优异的成绩获得通过。１８３８年９月，亥姆霍兹以出色的成绩完成了中学学业。还在中学阶段，亥姆霍兹就对物理学产生了浓厚的兴趣。通过物理学和化学实验的具体操作以及父亲和其同事间常有的科学讨论的熏陶，他决定投身科学事业的愿望日益强烈。同时，一些独具创造性的实验也一再唤起他求知的欲望。然而收入欠丰的父亲还要承担亥姆霍兹的两个妹妹和一个弟弟的教育任务，实在无钱支持他专门从事物理学的学习，遂推荐他到弗里德里希－维廉医学院学习。这样，一方面在学医的同时，还可以学到一些物理知识；另一方面，学习上能得到政府的资助，条件是五年的医学学习之后，必须作为军医服务八年。于是亥姆霍兹愉快地接受了父亲的建议，踏上了学医的道路。扎根弗里德里希－维廉医学院１８３８年１０月，亥姆霍兹带着对知识的渴求和对自然科学的无限热爱之情，来到了位于柏林的弗里德里希－维廉医学院，从此开始了新的生活。正是在这里，他接受了多方面的教育，加之自身的天赋和父母的精心培养，他的智力达到了更高的水平，从而为未来的辉煌事业奠定了坚实的基础。医学院的学习生活是紧张而有秩序的，他每周都要上４０多节课。它们包括化学、一般解剖学、内脏学、骨科学、感觉器官解剖学、物理学、内科学、逻辑学、历史、拉丁语、法语等课程。尽管功课很忙，他还是按父亲嘱咐的那样，每天抽时间用于音乐，演奏莫扎特和贝多芬等人的名作，晚上时常研究歌德和拜伦的作品或做些微积分。第一学期的课程结束后，他认真研读了休谟、康德等人的著作。在他看来，自己需要认真学习这些伟人的著作，特别是康德和休谟的著作。休谟的著作曾使他爱不释手，以致有一天晚上他一气之下连读了几本休谟的著作，其中的认识论问题深深地打动着他，并对他日后的哲学思想的形成产生了重大影响。第二学期，他特别被缪勒（Johannes Muller）的生理学课程所吸引。另一件对他来说特别有意义的事情是，他被学院图书馆指定为助理馆员，馆内丰富的资料给他提供了充足的精神食粮。正如他于１８３９年３月给父母的信中所说：“助理馆员的工作每周要花去我两个小时，但这是从馆藏的大量旧文献中发现有价值的东西的最好方式”。（〔１〕，ｐ．１９）正是在这期间，他自学了欧拉（Euler）、伯努利（D.Bernoulli）、达兰贝尔（d Alembert ）、拉格朗日（Lagrange）和其它科学家的重要著作，从而大大提高了自己的数学物理水平。１８３９年夏季学期的课程依然十分紧张，其内容包括动物化学、植物学、自然史、生理学、化学、历史、拉丁语、法语等课程。但亥姆霍兹仍然挤出时间欣赏希腊著名文学作品。１８４０年冬季学期一开始，在充分准备基础上，亥姆霍兹顺利通过了解剖学实验考试。此后便开始了自己独立的科学研究和博士论文工作。１８４０年冬季—１８４１年夏季，亥姆霍兹致力于拓宽自己的知识，特别是数学和力学知识。１８４１年底，他开始考虑生理学问题并与缪勒的学生布吕克（ Brü cke,E. ）、杜布瓦－莱蒙（du Bois-Reymond,E）等人密切交往，并很快成为这个团体中的一员。他们之间的交流、讨论使彼此受益匪浅。正如亥姆霍兹在回忆这段宝贵时光时所说的那样：“与这些杰出人物的交往能改变人的价值观，这种智力交流是人生最有意义的经历”（〔１〕，ｐ．２２）。这个团体的目标在于把心理学与物理学结合起来，从而把心理学建立在牢固的物理学基础上。在这个小组的所有成员中，亥姆霍兹所表现出的数学才能远非他人所能及。他那深厚的数学基础已经预示了一个杰出的数学家在生理学、物理学等领域中的光辉未来。老师缪勒极力反对当时流行的关于生命本质的各种形而上学学说，主张一切科学概念都建立在严格的经验基础之上，倡导生理学研究中应用归纳方法、反对演绎方法。正是在这种影响下，亥姆霍兹利用自己节省下来的生活津贴买到的一个小显微镜和几本物理、化学教科书为条件开始了自己的生理学方面的博士论文。１８４２年８月，他向缪勒提交了有关神经生理学内容的博士论文。缪勒认为论文的选题意义重大，但要使理论无懈可击还必须做另外一些动物实验。９月底他到夏特里（Charité )医院做实习外科医生，这是一件费时而又繁忙的工作，但亥姆霍兹认为这是非常有趣和有益的工作。与此同时，他还挤时间十九世纪下半叶的德国已成为世界科学中心，其科学界真可谓群星灿烂、人才辈出。亥姆霍兹正是这个科学家群体中的一颗光彩照人的巨星。他既有渊博的知识，又具有融实验家和理论家为一体的非凡天才，在其所涉猎的许多领域中都作出了杰出的贡献。为此，医学、生理学、化学、物理学、数学、哲学、美学等学科都为拥有亥姆霍兹而倍感光荣。他的科学贡献之大，仅从亥姆霍兹微分方程、亥姆霍兹方程、亥姆霍兹双电层、亥姆霍兹流动、亥姆霍兹自由能、亥霍姆兹线圈、亥姆霍兹共鸣器、杨－亥姆霍兹三色学说，以及他的学生维恩（ W.Wien）、赫兹（H.Hertz）、罗兰（H.Rowland）、迈克耳逊（A.A.Michelson）等人就足见一斑。而他的科学和哲学思想又是如此地丰富而深刻，以致现代西方哲学中的新康德主义、维也纳学派、弗洛伊德精神分析哲学等流派都从他那里获得了使自身得以产生和发展的营养，并把他作为自己的主要拥护者和最出色的见证人。就连马克思主义经典作家恩格斯、列宁也都曾对其科学和哲学思想作了认真研究，这是只有爱因斯坦等极少数杰出人物才享有的殊荣。因此，认真研究亥姆霍兹的科学与哲学，对于我们全面而深刻地理解现代科学与现代西方哲学的产生与发展有着极为重要的意义。鉴于亥姆霍兹的科学与哲学思想之丰富而深刻，因此，本文将着力于他的科学生涯及其贡献的一般方面。奇特的少年时代１８２１年８月３１日，赫尔曼· 冯· 亥姆霍兹（Hermann Von Helmholtz）诞生于德国柏林附近的波茨坦（Potsdam）。父亲Ａ．Ｆ．Ｊ．亥姆霍兹（August Ferdinand Julius Helmholtz）是波茨坦一所中学的教师。他兴趣广泛，对于绘画、美学、哲学、语言学都有相当研究。他常与朋友在一起谈论哲学问题，著名哲学家Ｊ．Ｇ．费希特的儿子Ｉ．Ｈ．费希特就是他的挚友和家中常客。无论是作为一位教师还是一位父亲，他都尽心尽责地履行着自己的义务。母亲Ｆ．Ｃ．彭妮（Fraü lein CaralinePenne）是汉诺威一位军官的女儿。她性情温和、天资聪颖，对每件事情的判断都十分朴实、清晰而富有启发，似乎有着一种透过现象而直视本质的直觉。她把自己全部的精力都奉献给了持家和教育四个孩子这一平凡而伟大的事业。双亲的优良品格在亥姆霍兹身上都得到了继承和发扬。幼时的亥姆霍兹是一个体弱多病的孩子，每次生病都加重着父母的忧虑，然而庆幸的是每次他都得到了良好的恢复。有一次，一位亲戚对他的父亲说：“你不要为儿子还没学到什么东西而忧伤，我肯定八岁前不让他学什么将对他是有益的。洪堡（ A.von Humboldt）不是在八岁前还不知道什么吗，而现在他被国王任命为科学院院长，有着阁下头衔和一大笔年薪。我预见你儿子也会这样的。”（〔１〕，ｐ．６）。说不清这是一种安慰，还是真的预见，这种奇迹果真在亥姆霍兹身上实现了。由于体弱多病，他老是被限制在家里，时常是在床上看画册、玩积木游戏，对于这些他近乎达到了入迷的地步。也正是通过这些，父母对他进行了精心的早期教育，以致他在小学时，在几何学课上所表现出的超常的几何知识令老师们都感到吃惊，７岁入小学时，他身体仍不健壮，后经体育锻炼逐渐好转。１８３２年，亥姆霍兹升入中学一年级。在班上他已能很轻松地跟上课程，对此他的老师也很满意。尽管他的写字和家庭数学作业做的都不太令人满意，但他的自学能力，以及他对于自己感兴趣的问题所倾注的热情和所具有的丰富的想象力，都受到了高度评价。也许是幼时多病所致，他的记忆力十分不好。对他来说，单词、语法和成语的记忆是较难对付的，历史课更是他所不能及的，背诵散文对他来说简直是一种折磨。然而奇怪的是，欣赏文学大师的诗作他并不感到困难，这也许是因为他那敏锐的审美鉴赏力的缘故吧。在家时，父亲总是竭尽全力去唤起孩子们对于诗歌、艺术和音乐的美感，并把他们塑造成虔诚的爱国者。中学阶段的最初三年，亥姆霍兹主要学习语法和美学。二年级时他的课程又增加了数学和物理学。有时他不在班上读西塞罗和维吉尔〔（＊）ｂ〕，而在老师视力所不及的桌子下研究望远镜所涉及的光学问题或学习一些光学原理，这些知识在他此后发明检眼镜时起了重要作用。十五岁时，亥姆霍兹还是一个性情温和、沉默寡言的孩子。这时他的智力已得到了突飞猛进的发展，

亥姆霍兹定理

curl A A
ˆ ˆ ˆAx y ˆAy z ˆ ˆAz ) A x y z (x x A y z x y z Az Ay Ax Az Ay Ax ˆ ˆ ˆ x z Ax Ay Az y z y z x x y
A矢量的模：
2 2 A Ax Ay Az2
A矢量的单位矢量：
Ay Ax Az A ˆ ˆ ˆ ˆ A x y z A A A A ˆ cos a y ˆ cos z ˆ cos x
两个矢量的对应分量相加或相减：
ˆ( Ax Bx ) y ˆ ( Ay By ) z ˆ( Az Bz ) A B x
轾轾骣骣骣 y 抖骣 x鼢 z 抖骣 y鼢 x 珑珑犏犏 ˆ ˆ + y + z 鼢鼢珑珑 3鼢 3 3鼢 3 珑珑犏犏桫桫桫桫 z桫 r3 抖 z r x r 抖 x r y r 臌臌
电磁场与电磁波
第一章矢量分析
因
z 3 yz 3 5 y r r y 3 yz 3 5 z r r
(或旋涡量), 记为
A dl
l
二、旋度
1. 环量密度
D S® 0
A ×dl ò lim
l
DS
把封闭曲线收小, 使它包围的面积ΔS趋近于零, 取极限意义：环量的面密度注意：该极限值与S的形状无关，但与S的方向n有关
电磁场与电磁波
第一章矢量分析
2. 旋度
矢量A的旋度是一个矢量, 其大小是矢量A在给定点处的最大环量面密度, 其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时, 该面元矢量的方向 [ A dl ]max ˆ lim l Curl A n S 0 S

电磁波与电磁场——第一章

• 令
为矢量G的三个坐标分量，即
• 矢量l的单位矢量 • 标量场在 P 点沿 l 方向上的方向导数定义为
• 矢量G称为标量场Φ的梯度
• • • •
标量场Φ的梯度是一个矢量场由可知，当的方向与梯度方向一致时，方向导数取最大值。标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。
1-2 矢量的代数运算
• • • • 矢量A=B：矢量A、B的大小及方向均相同时矢量加法：平行四边形法则矢量减法：三角形法则在直角坐标系中两矢量的加法和减法：
• 矢量的加法运算，结合律和交换率 • 结合律：（A+B）+C=A+（B+C） • 交换律：A+B=B+A
1-3 矢量的标积和矢积
• 标积（点积或内积），以点号“•”表示
直角坐标系下散度表达式的推导
• 不失一般性，令包围P点的微体积V 为一直平行六面体，如图所示。则
由此可知，穿出前、后两侧面
的净通量值为
• 同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通量为
• 根据定义，则得到直角坐标系中的散度表式为
• 散度运算规则
例：已知点电荷q所产生的电场强度
• 标量场的等值线（面）
• 等值面的特点： • 常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族； • 标量场的等值面充满场所在的整个空间； • 标量场的等值面互不相交。
• 方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率
• 例如标量场在 P 点沿 l 方向上的方向导数定义为
——拉普拉斯算符

亥姆亥兹定理

亥姆亥兹定理
亥姆霍兹定理是物理力学中的一个重要定理，它被广泛应用于液体力学、电磁学、热力学等领域。

该定理是由德国科学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹（Hermann von Helmholtz）在19世纪提出的。

亥姆霍兹定理分为两个部分，即“法向分量”与“切向分量”。

1.法向分量：在数学上，亥姆霍兹定理的“法向分量”又称为散度定理。

该定理描述了一个有限多面体表面积分等于该多面体内部的体积分的散度。

换言之，对于一个向量场V，其在有限多面体Ω的表面的通量等于V在Ω内的散度的体积积分。

2.切向分量：亥姆霍兹定理的另一部分是切向分量，也称作旋度定理。

该定理描述了一个矢量场在一个闭合曲面的切向通量与该矢量场在该曲面所围成的区域上的环向积分的关系。

也就是说，切向分量可以将矢量场的旋度与环向积分相联系。

以上信息仅供参考，可以查阅相关的物理书籍或者咨询专业人士，以获取更全面更准确的信息。

格林公式、亥姆霍兹定理

l+
rr ( f ) d S
S
S
(
r f
)

erz
d
S

( f y fx ) d S S x y
Ñ l ( fx d x f y d y)
( f y fx ) d x d y S x y
这就是格林环量公式。
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4
亥姆霍兹定理
亥uv姆霍兹定理：在空间有限区域 V 内的任一个矢量场F ，由它的散度、旋uv 度和边界条件唯一地确定，并可表uv 示成一uv个无旋场（F1 ）和一个无发散源场（ F 2 A）之和。即
uv uv uv
uv
F F1 F 2 A
uv
r uv

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7
《矢量与场论》课程结束
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8
格林公式和亥姆霍兹定理
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1
格林闭曲面通量公式
由高斯散度定理得:
r
ÑS d S V () dV V ( 2) dV
（a）
因为
r
蜒 S d S

S

ern
dS

?S

n
dS
所以公式也可以写成
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5
如果矢量场 uFv在远处以足够快的速度减弱至零，即
R
uv 时，F(x,
y, z)

1 R1
, 其中

0,
则在包围整个空间的面上，上述的两个面积分等于零，
于是Biblioteka uv x,y,

研究生-高等电磁理论重要定理和原理

H=0
J = E×n
m S
V1
(II )
V2
Jm 区域V 区域 1 内的源为 J 1 、 1 ，场为E 、H ；问题（）问题（I）：
区域V 区域 2 内的源为 J 2、 m ，场为E 、H ； J2 上无源，上场是连续的，分界面 S 上无源，则在 S 上场是连续的，其切向分量为n × H 、 × n 。 E
且
n × H0
S
= n × H1 S n × H2
S
=0
n × E0
E0
t =0
S
= n × E1 S n × E2
t =0
S
=0
t =0
= E1
E2
t =0
= 0 ， H0
= H1
t =0
H2
t =0
=0
由坡印廷定理，在区域上由坡印廷定理，在区域V上，有
d ε 2 2 ∫V ( 2 E0 + 2 H0 )dV = ∫S (E0 ×H0 )ind S = dt
r
y
Il
d
E0
E
E′
y
Il
d
R
r
θ
R′
( Il )′
R
d
z
( I l )′
z E0 E′ d E R′
r
对于远区场：对于远区场：
θ0 ≈ θ
y
Il
d
2 2 12
E0
E
E′
θ ′ ≈ π θ
1 R ≈ 1 R′ ≈ 1 r
R
r
θ
R′
( Il )′
kR = k[ x + ( y d ) + z ] ≈ kr kd sin θ sin

浅论亥姆霍兹定理在电磁场理论中的贯穿作用

18物理与工程 Vol. 17 No. 5 2007浅论亥姆霍兹定理在电磁场理论中的贯穿作用王彬陈德智(华中科技大学电气与电子工程学院 ,湖北武汉 430074)(收稿日期 : 2006210218 ;修回日期 : 2007204204)摘要讨论了亥姆霍兹定理的表述形式及其在电磁场理论教学中的贯穿作用. 根据亥姆霍兹定理 ,可以由麦克斯韦方程组自然地引出标量电位和矢量磁位函数 ,并可方便地导出库仑定律或毕奥2萨伐定律 ,以及位函数与场在自由空间的积分表达式.关键词亥姆霍兹定理 ;电磁场 ;教学THE ROL E OF HELM H OL TZ ’S THEOREM INTEACHING EL ECTROMAGNETIC FIELD THEORYWang Bin Chen Dezhi( College of Electrical and El ect ronic Engineering , Huazhong University of Science and Technology , Wuhan , Hubei , 430074)Abstract The role of t he representation and applications of Helmholtz ’s t heorem in teaching elect romagnetic field t heory is discussed. According to Helmholtz ’s t heorem , t he elect ric scalar potential and t he magnetic vector potential can be introduced , and t he Coulomb ’s law , as well as t he Biot 2Savart law can be derived f rom Maxwell ’s equations. The integral express ions of t he potential f unctions and t he fields in f ree space can also be obtained. Key Words Helmholtz ’s t heorem ; electromagnetic field ; teaching引言亥姆霍兹定理 ,有时也称作矢量场的惟一性定理 ,是电磁场理论中的一条重要定理 ,它表明 : 一个矢量场可以由它的散度、旋度及相应的边界条件惟一确定. 因此电磁场理论的研究总是围绕着场的散度和旋度表达式展开的.麦克斯韦方程组是描述宏观电磁场的基本方程 ,所有的宏观电磁场现象和规律都可以从麦克斯韦方程组导出. 在大学物理的学习中 ,已经建立了积分形式的麦克斯韦方程组 ,在电磁场课程中 , 复 ,而且概念清楚 ,理论简明. 而借助于亥姆霍兹定理可以省略许多烦琐的数学推导.亥姆霍兹定理的表述亥姆霍兹定理表述为[ 3 ]: 如果一个矢量场的散度和旋度只在有限区域内不为零 ,则该矢量场可惟一地由它的散度和旋度所确定. 考虑矢量场 F = F ( r ) , 假定在有限体积 V 中 , 函数·F = b ( r )(1)及×F = c ( r ) (2) 通过少量的场论知识即可得到它的微分形式. 以此为出发点 ,可以以演绎的方式讲述电磁场[ 1 , 2 ] . 演绎方式可以避免与大学物理电磁学内容的重处处给定 ;在 V 外函数 :·F 和 ×F 处处为零. 定义作者简介王彬 , 1972 出生 , 女 , 现在华中科技大学电气与电子工程学院任教.π∫ πε∫2 R π∫π∫物理与工程 Vol. 17 No. 5 2007υ( r ) = 14 V ′A ( r ) = 1b ( r ′) d V ′Rc ( r ′)d V ′(3)(4)零”与“旋度等于零的矢量恒可以表示成一个标量函数的梯度”毕竟是两个不同的命题 , 并不显而易见地等价.4π∫V ′R在无界的均匀线性媒质中 , ·E =ρ/ε, ×E其中 , R = r - r ′而 R = | r - r ′| ;则 F 可从下式求得= 0 , 参照亥姆霍兹定理中的式 ( 3) 与式 ( 4) , 矢量 F ( r ) = - υ( r ) + ×A ( r )(5) 位 A 等于零 , 标量位上述亥姆霍兹定理的表述适用于无界区域 ,ρ因此没有涉及边界条件 , 实际上隐含了在无限远υ( r ) = 14V ′ d V ′ R (11)处 F 的量值至少以1/ r 衰减[ 4 ]. 对于有界区域 , 亥姆霍兹定理表述为 :如果一因此 E 的积分解为 ρ个矢量场的散度和旋度在所研究的全部区域内已 E ( r ) 1d V ′ 0 (12)R知 , 且在包围该场域的边界面上矢量场的分布已知 , 则该矢量场可惟一地由它的散度、旋度和边界条件所确定.需要指出的是 , 要求已知矢量场在边界上的分布是一个充分条件 , 但不是必要的. 关于这个问题已经讨论得很多 , 试图给出一个简明并且实用的充分必要条件非常困难 , 主要是因为涉及到场域的拓扑结构[ 5～8 ] . 许多教科书上把边界条件表述为已知矢量场在边界上的法向分量或切向分量是不正确的 (附录给出了一个简单的讨论) . 式 (5) 表明 , 任意矢量场都可以表示为一个标量函数的梯度与一个矢量函数的旋度之和. 我们把υ和 A 叫做位函数 , 其中υ称为标量位 ; A 称为矢量位. 还可以证明υ和 A 分别满足泊松方程2υ( r ) = - b ( r )(6) 2A ( r ) = - c ( r )(7)由于边界条件反映了场域外的源的作用结果 , 因此这个结论可以推广到有界区域的情况.静电场中的位函数式 (11) 和式 ( 可以用σd S 、τd l或 d q 等其他形区域也相应改变.式 (11) 定义的显然它满足电位泊松方程. 笔者以为 , 这种引进方式更自然一些. 式 (12) 就是库仑定律的内容 , 因此 , 站在演绎的角度上 , 库仑定律可以看作是麦克斯韦方程组的一个推论.恒定磁场中的位函数恒定磁场基本方程为·B = 0 (13)×H = J(14)B = μH(15)类似的 , 许多教科书在引进矢量磁位时把 “矢量函数旋度的散度恒等于零”与“散度等于零的矢量恒可以表示成一个矢量函数的旋度”直接作为等价命题来使用 , 不能让人很顺畅地接受. 而从亥姆霍兹定理出发却可以很自然. 与上一节的讨论相似 , 在无界的均匀线性媒质中 , ·B = 0 , 在麦克斯韦方程组中 , 令场量关于时间的导数为零 , 即可得到分别解耦了的静电场与静磁场 ×B =μJ , 参照亥姆霍兹定理 , 标量位υ等于零 , 矢量位的基本方程. 静电场基本方程为A ( r ) = μ 4 V ′ J d V ′ R(16) ·D = ρ (8) ×E = 0(9)因此 B 的积分解为 μ J ×R 0d V ′D = εE(10)B ( r ) = ×A ( r ) = 4 V ′R 2(17) 多数教科书上是这样引进电位函数的 :静电场是无旋场 , 由于任意一个标量函数的梯度的旋度恒等于零 , 因此静电场的电场强度 E 可以由一式(16) 和式(17) 中的电流元 J d V 可以用 Kd S 、I dl 或 d q 等其他形式替换 ,当然积分区域也相应改变.式 (16) 定义的 A 即矢量磁位 , 显然它满足矢个标量函数的梯度表示 , 即 E = - υ. 这在逻辑上量磁位泊松方程. 而式 (17) 就是毕奥 2萨伐定律的是不顺畅的 , 因为“标量函数梯度的旋度恒等于(下转第 21 页)≤ 物理与工程 Vol. 17 No. 5 2007这是一个关于 r 的一阶线性非齐次微分方程 , 其 H θ 在 r = R 处应连续 , 由式(12) 和式 (13) 得 2通解为H θ = ε r5 E + C(8)C = εR2 5 E5 t2 5 t r式(8) 中 C 为积分常数. 则 H θ = εR 5 E(14) 对于 r ≤R , r →0 时 , H θ →∞, 所以 C = 0 , 则2 r 5 t R 25 EH θ = ε r2 5 E5 t (9)B θ = με2 r 5 t(15)B θ = με r 5 E (10)综上所述 , 电场所激发的磁场为2 5 tB = με r 2 5 E 5 t e θ ( r R ) (16) 对于 r > R , 5 E = 0 , 由式(8) 得 2R 5 E内容 ,因此 ,毕奥2萨伐定律可以看作是麦克斯韦方程组的一个推论.小结本文讨论了电磁场中亥姆霍兹定理的表述问题和该定理在静态电磁场中的贯穿作用. 应用亥姆霍兹定理 ,可以以一种很自然的方式引进标量电位和矢量磁位 ,并可以非常简洁地由麦克斯韦方程组导出库仑定律和毕奥2萨伐定律 ,以及场函数与位函数在自由空间的积分表达式.与电路相比 ,电磁场课程公认为难教难学 ,这除了电磁场本身的抽象特点外 ,与电磁场的叙述形式也有一定关系. 经过大学物理的学习 ,电磁场的基本方程已经建立起来. 因此 , 在电磁场课程中 ,完全可以以麦克斯韦方程组为起点 , 把静电 460～464[ 5 ] 姚一民. 唯一地确定矢量场的边界条件. 大学物理 , 1988 , 7 (9) :6[ 6 ] 曲世光. 矢量场唯一解的本质及相关问题. 沈阳工业大学学报 ,1990 ,12 (1) :59～68 [ 7 ] 文盛乐 ,朱久运. 矢量场的普遍解和电磁场的边值条件. 大学物理 ,1992 ,11 (3) :14 [ 8 ] 罗世彬 ,宋福. 矢量场惟一性定理. 大学物理 ,1994 ,13 (7) :5附录 :关于边界条件的一个简单说明目前教科书上关于矢量场惟一性所要求的边界条件的论述有 3 种 : ①给定边界上的法向分量 ; ②给定边界上的切向分量 ; ③同时给定边界上的法向分量和切向分量. 采用不同的论述都给出了证明. 但是 ,许多证明是有缺陷的 ,主要图 1 环形区域内的磁场不能由边场、恒定电场、恒定磁场、似稳场、时谐场、电磁波等作为麦克斯韦方程组在不同条件下的特殊形是没有考虑到场域的拓扑结构 ,导致了错误使用高界上的法向分量惟一确定式 ,以演绎的形式讲述电磁场理论 ,这样的一个体系结构变得非常简明 ,而且可以与电磁学的知识相互印证 ,加深学生的理解.参考文献[ 1 ] 倪光正. 工程电磁场原理. 北京 :高等教育出版社 ,2002 [ 2 ] 孙敏 , 孙亲锡 , 叶齐政. 工程电磁场基础. 北京 : 科学出版社 ,2001[ 3 ] 旺斯纳斯 ·R K . 电磁场. 陈菊华等译. 北京 : 科学出版社 ,1987 . 29斯散度定理或斯托克斯定理. 如果场域是单连域 (既是线单连的 ,又是面单连的) ,则 ①、②都正确 ,否则就可能有问题.一个简单的反例是研究自由空间里长直载流细导线周围的磁场. 这是一个平行平面场 ,如果取一个与导线垂直并且同心的圆环作为求解区域 ,如图 1 中的阴影部分 ,则由于环内没有电流存在 ,磁场强度 H 的旋度与散度在环内处处为零 ,而边界上 H 的法向分量也处处已知(都为零) . 但是依靠这些条件并不能得到 H 的惟一、正确的解 , 因为我们知道 , H 惟一地取决于环心处电流 I (在场域外) 的大小.2。

电磁场-重点部分

1、静磁场不是由通量源，而是由_______旋涡源__________产生的；2、在两种媒质分界面的两侧，而磁场的法向分量_________________(连续或不连续)。

3、亥姆霍茨定理表述在有限区域的任一矢量场由它的散度，旋度以及边界条件唯一地确定；说明的问题是要确定一个矢量或一个矢量描述的场，须同时确定其____散度和旋度_____________4、静电场中E 的切向分量在通过分界面时_________________。

5、S d tB l d E l S ⎰⎰∂∂-=∙其物理描述为___变换的磁场是产生电场的旋涡源___. 6、时谐场是激励源按照单一频率随时间作正弦变化时所激发的也随时间按正弦变化的场；一般采用时谐场来分析时变电磁场的一般规律，是因为1)任何时变周期函数都可以用正弦函数表示的傅里叶级数来描述;2)在线性条件下可以_____使用叠加原理____________7、坡印廷矢量的数学表达式_________________；8、电介质的极化是指在外电场作用下，电介质中出现有序排列的电偶极子表面上出现束缚电荷的现象。

描述电介质极化程度或强度的物理量是_________________9、介质的三个本构方程分别是__________、H B μ=、E J C γ= 10、趋肤效应是指当交变电流通过导体时，随着电流变化频率的升高，导体上所流过的电流将越来越集中于导体表面附近，导体内部的电流____越来越小_____________的现象11静电场是由________________________、不是由________________________产生的场；12．矢量的通量物理含义是矢量穿过曲面的矢量线的总和；散度的物理意义是矢量场中任意一点处通量对体积的变化率；散度与通量的关系是________________________。

13、矢量函数的环量定义 ⎰⋅=l l d A C ；旋度的定义MAX l S Sl d A A rot ∆⋅=⎰→∆lim 0；二者的关系________________________ ；旋度的物理意义：最大环量密度和最大环量密度方向。

亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理

若r xi y j zk , r r ，则有： (24) [ f (r )r ] 0 r (25) ( 3 ) 0 r (26) A d S ( A)dV , (奥氏公式)
s V
(27) A dl ( A) d S , (斯托克斯公式)
2 2 2
为了使用方便，引入 A Ax Ay Az x y z
22
哈米顿(Hamilton)算子
(1)(cu ) cu, (c为常量，u为数性函数) (2) (c A) c A, ( A为矢性函数) (3) (c A) c A (4)(u v) u v (5) ( A B) A B (6) ( A B) A B
23
哈米顿(Hamilton)算子
(7) (uc) u c, (c为常矢量，u为数性函数) (8) (uc) u c, (c为常矢量，u为数性函数) (9)(uv) uv vu (10) (u A) u A u A, ( A为矢性函数) (11) (u A) u A u A (12)( A B) A ( B) ( A ) B B ( A) ( B ) A
28
球面坐标系
坐标：（r, ,） 1 1 er e e r r r sin
2 1 1 1 2 2 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 r r r r sin r sin 2 1 2 1 1 f f 2 (r f r ) (sin f ) r r r sin r sin f 1 1 f r f [ (sin f ) ]er [ (rf )]e r sin sin r f r 1 [ (rf ) ]e r r 29

2012电磁场与电磁波06_矢量与场论5-亥姆霍兹定理和矢量场分类

South China University of Technology
❖ 下面通过例题说明算子的运算规则。【例】证明 (uv)u vv u ❖ 证明：应用乘积函数的微分运算规则
(u v) (u cv) (u vc)
➢ 运算规则1：运算中，先把有下标c的量看成常数，待运算结束后，再去除下标c。
则矢量场Fr 称为域内V的无旋有散场。
r
由
F 0
u 0
r Fu
2u
其中，u为
r F
的标量位函数，ρ是
r F
的标量源函数（散度
源或通量源）
根据ρ的分布，由泊松方程求出u，继而求出。Fr
泊松方程
School of Electronics and Information Engineering
矢径的性质
a ˆR R a ˆR 1 a ˆR s1 in R
r
R
aˆR
R R
r
11RR
R R2
R3
gR rR12
(R2R)3 R
South China University of Technology
R ra ˆRs1 in Ra ˆR 1 R0
r
r
r
[f(R )R ] f(R )Rf(R ) R
❖ 应用矢量恒等式： (ku)ku（k为常数）
❖有
(uv)u vv u
❖ 可以应用算子直角坐标公式，验证上式的正确性。但应用运算规则更为简单，而且也说明了算子与坐标无关。
School of Electronics and Information Engineering
【例】证明
rr r rr r • ( A B ) B • ( A ) A • ( B )