分式函数的图像与性质

y ax=ba b a -2ab 2ab-xO y 高一数学选修课系列讲座(一)-----------------分式函数的图像与性质一、概念提出1、分式函数的概念形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。

如221x y x x +=+,212x y x +=-,413x y x +=+等。

2、分式复合函数 形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f++=∈++的函数称为分式复合函数。

如22112x xy +=-,sin 23sin 3x y x +=-,12x y -+=等。

二、学习探究探究任务一:函数(0)by ax ab x=+≠的图像与性质问题1:(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像就是怎样的？例1 画出函数211x y x -=-的图像,依据函数图像,指出函数的单调区间、值域、对称中心。

小结:(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像的绘制,可以经由反比例函数的图像平移得到,需要借助“分离常数”的处理方法。

分式函数(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像与性质: (1)定义域: ; (2)值域: ; (3)单调性:单调区间为 ;(4)渐近线及对称中心:渐近线为直线 ,对称中心为点 ; (5)奇偶性:当 时为奇函数; (6)图象:如图所示问题2:(0)by ax ab x=+≠的图像就是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像,绘制函数1y x x =+的图像,并结合函数图像指出函数具有的性质。

小结:分式函数(,0)by ax a b x=+>的图像与性质:(1)定义域: ; (2)值域: ; (3)奇偶性: ;(4)单调性:在区间 上就是增函数,在区间 上为减函数;(5)渐近线:以 轴与直线 为渐近线; (6)图象:如右图所示 例3、根据y x =与1y x =的函数图像,绘制函数1y x x=-的图像,并结合函数图像指出函数具x O yxO y有的性质。

结合刚才的两个例子,思考1y xx=--与1y xx=-的图像又就是怎样的呢？思考12+y xx=与23y xx=-的图像就是怎样的呢？(,,0)by ax a b R abx=+∈≠的图像呢？小结:(,,0)by ax a b R abx=+∈≠的图像如下:(i)(0,0)by ax a b=+>>(ii) (0,0)by ax a b=+><(iii) (0,0)by ax a b=+<>(0,0)by ax a bx=+<<(,,0)by ax a b R abx=+∈≠的单调性、值域、奇偶性等,可以结合函数的图像研究。

探究任务二:函数22(,,,,,)ax bx cy a b c d e f Rdx ex f++=∈++的图像与性质问题3:例4 函数2211x xyx++=+的图像就是怎样的？单调区间如何？思考:函数2121xyx x+=++的性质如何呢？单调区间就是怎样的呢？小结:对于分式函数22(,,,,,)ax bx cy a b c d e f Rdx ex f++=∈++而言,分子次数高于分母时,可以采用问题3中的方法,将函数表达式写成部分分式,再结合函数的图像的平移,由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像,再结合函数的图像研究函数的性质。

对于分子的次数低于分母的次数的时候,可以考虑分子分母同时除以分子(确保分子不为0),再着力研究分母的性质与图像,间接地研究整个函数的性质。

如:22111(1)221212(1)311xy xx xx x xxx+===≠-++++++-++巩固练习:1、若,,3,x y R xy y+∈+=则x y+的最小值就是;2、函数234xyx=+的值域就是;3、已知[)221(),1,ax xf x xx--=∈+∞内单调递减,则实数a的取值范围就是;4、不等式2x ax-->的在[]2,1内有实数解,则实数a的取值范围就是;5、不等式2x ax-->的在[]2,1内恒成立,则实数a的取值范围就是;6、已知()af x xx=-+在区间[2,3)单调递减,求a的取值范围就是;7、函数221x xy x x -=-+的值域就是8、定义在R 上函数()f x ,集合{A a a =为实数,且对于任意},()x R f x a ∈≥恒成立,且存在常数m A ∈,对于任意n A ∈,均有m n ≥成立,则称m 为函数()f x 在R 上的“定下界”.若21()12x xf x -=+,则函数()f x 在R 上的“定下界”m =__________.9、设(),[0,+)1af x x x x =+∈∞+. (1)当4a =时,求()f x 的最小值; (2)当(0,1)a ∈时,判断()f x 的单调性,并写出()f x 的最小值。

10、已知函数()2af x x x=+的定义域为(]0,2(a 为常数)、 (1)证明:当8a ≥时,函数()y f x =在定义域上就是减函数;(2)求函数()y f x =在定义域上的最大值及最小值,并求出函数取最值时x 的值。

11、(1)若函数()log 4,(0,1)a a f x x a a x ⎛⎫=+->≠ ⎪⎝⎭的定义域为R +,求实数a 的取值范围; (2)若函数()log 4,(0,1)a a f x x a a x ⎛⎫=+->≠ ⎪⎝⎭的值域为R +,求实数a 的取值范围。

12、已知函数ay x x=+有如下性质:如果常数0a >,那么该函数在上就是减函数,在)+∞上就是增函数。

(1)如果函数2by x x=+在(0,4]上就是减函数, 在[4,)+∞上就是增函数,求实常数b 的值;(2)设常数[1,4]c ∈,求函数(12)cy x x x=+≤≤的最大值与最小值。

分式函数的图像与性质一、概念提出1、分式函数的概念形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。

如221x y x x +=+,212x y x +=-,413x y x +=+等。

2、分式复合函数 形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f++=∈++的函数称为分式复合函数。

如22112x xy +=-,sin 23sin 3x y x +=-,23y x =+等。

二、学习探究探究任务一:函数(0)by ax ab x=+≠的图像与性质问题1:(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像就是怎样的？例1、画出函数211x y x -=-的图像,依据函数图像,指出函数的单调区间、值域、对称中心。

【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---,即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1y x=的图像向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到。

如下表所示:12111211y y y x x x =−−→=−−→=+--右上 由此可以画出函数211x y x -=-的图像,如下: 单调减区间:(,1),(1,)-∞+∞; 值域:(,2)(2,)-∞+∞U ; 对称中心:(1,2)。

【反思】(,,,)ax by a b c d R cx d +=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？ 【小结】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像的绘制,可以经由反比例函数的图像平移得到,需要借助“分离常数”的处理方法。

分式函数(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像与性质 (1)定义域:{|}dx x c ≠- ;(2)值域:{|}ay y c≠;(3)单调性:单调区间为(,),(,+)d dc c-∞--∞;(4)渐近线及对称中心:渐近线为直线,d a x y c c =-=,对称中心为点(,)d ac c-;(5)奇偶性:当0a d ==时为奇函数;(6)图象:如图所示问题2:(0)by ax ab x=+≠的图像就是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像,绘制函数1y x x=+的图像,并结合函数图像指出函数具有的性质。

【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间,奇偶性,周期性,凸凹性(此点不作要求),关键点坐标(最值点、与坐标轴交点)、辅助线(对称轴、渐近线)。

绘图过程中需综合考虑以上要素,结合逼近与极限x OyxO yxOyxOy12xOy 1思想开展。

解:函数的定义域为:{|0}x x ≠; 根据单调性定义,可以求出1y x x=+的单调区间 增区间:(,1][1,)-∞-+∞U 减区间:[1,0),(0,1]-函数的值域为:(,2][2,)-∞-+∞U 函数的奇偶性:奇函数函数图像的渐近线为:,y x =0x = 函数的图像如下:【反思】如何绘制陌生函数的图像？研究新函数性质应从哪些方面入手？【小结】分式函数(,0)by ax a b x=+>的图像与性质: (1)定义域:{|0}x x ≠;(2)值域:{|2,2}y y ab y ab ≥≤-或; (3)奇偶性:奇函数; (4)单调性:在区间(,][,+)b ba a-∞∞U 上就是增函数, 在区间],[,0)b ba a上为减函数; (5)渐近线:以y 轴与直线y ax =为渐近线;(6)图象:如右图所示例3、根据y x =与1y x =的函数图像,绘制函数y x x=-的图像,并结合函数图像指出函数具有的性质。

【分析】结合刚才的绘图经验,不难绘制出1y x x=-的图像解:函数的定义域为:{|0}x x ≠;根据单调性定义,可以判断出1y x x=-的单调性,单调增区间为:(,0),(0,)-∞+∞函数的值域为:RxOyy x=xO yy x=1y x=y ax=b ab a-2ab2ab-xOy函数的奇偶性:奇函数函数图像的渐近线为:,y x =0x = 函数的图像如下:【反思】结合刚才的两个例子, y x x =--与1y x x =-的图像又就是怎样的呢？思考12+y x x =与23y x x=-的图像就是怎样的呢？(,,0)by ax a b R ab x=+∈≠的图像呢？ 函数1y x x=--的图像如下,绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。