宁夏银川市高考数学一模试卷(理科)
2020-2021学年宁夏银川市高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题及答案解析
高考数学模拟试题一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．复数1a ii+-为纯虚数，则它的共轭复数是( ) A. 2i B. 2i - C. i D. i - 2. 下列函数中，同时具有性质：(1)图象过点(0,1)；(2)在区间(0，＋∞)上是减函数； (3)是偶函数.这样的函数是 ( )A. y ＝x 3＋1 B. y ＝log 2(|x|＋2) C. y ＝(12)|x|D. y ＝2|x|3．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1=3，前三项和为21，则a 3+a 4+a 5= （ ） A.33B.72C.84D.1894．角α的终边经过点A (3,)a -，且点A 在抛物线214y x =-的准线上，则sin α=（ ） A ．12- B ．12 C ．32-D ．325．某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 值为31，则a 等于（ ） A ．1- B ．0 C ．2 D ．16.—个几何体的三视图及其尺寸如右图所示，其中正（主)视图是直角三角形,侧(左)视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是(单位cm 3)（ ） A ． B ．C ．D ．7．已知实数m 是2，8的等比中项，则圆锥曲线22y x m+＝1的离心率为（ ）A ．32 B ．5 C ．5 与32D ．以上都不对 8．曲线y=11x x -+在点（0，一1）处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（ ） A ．41B ．－12C ．43D ．189.为了测算如图所示的阴影部分的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点.已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是 （ ）A.4B.3C.2D.110．设函数()3cos(2)sin(2)(||)2f x x x πϕϕϕ=+++<，且其图象关于直线0x =对称，则（ ）A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数B ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数C ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数11.已知正方形ABCD 的边长为2，点P,Q 分别是边AB ，BC 边上的动点且,AQ DP ⊥ ，则QP CP ⊥的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412. 已知⎩⎨⎧>-≤-=0,230,2)(2x x x x x f ,若ax x f ≥|)(|在]1,1[-∈x 上恒成立,则实数a 的取值范围是( )A.),0[]1(+∞--∞YB.]0,1[-C.]1,0[D.)0,1[-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．各题答案必须填写在答题卡上（只填结果，不要过程） 13.已知点P 在抛物线y 2=4x 上，那么点P 到点Q （2，-1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 .14. 已知圆C ：x 2+y 2-6x-4y+8=0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 .15． 如图,为了测得河的宽度CD ，在一岸边选定两点A 、B ，使A 、B 、D 在同一直线上.现测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m ，则河的宽度是 .16.球内接正六棱锥的侧棱长与底面边长分别为22和2，则该球的体积为 ；三、解答题：本大题共解答5题，共60分．各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）．17.（本小题满分12分）已知函数22()2(1)57f x x n x n n =-+++-．（Ⅰ）设函数()y f x =的图像的顶点的纵坐标构成数列{}n a ，求证：{}n a 为等差数列； （Ⅱ）设函数()y f x =的图像的顶点到x 轴的距离构成数列{}n b ，求{}n b 的前n 项和n S ．18. （本小题满分12分）为了解某商场旅游鞋的日销售情况，现抽取部分顾客购鞋的尺码，将所得数据绘成如图所示频率分布直方图，已知图中从左到右前三组的频率之比为1：2：3，第二组的频数为10. （1）用频率估计概率，求尺码落在区间（37.5，43.5】的概率约是多少？（2）从尺码落在区间（37.5，43.5】和（43.5，45.5】的顾客中任意选取两人，记在区间（43.5，45.5】内的人数为X ，求X 的分布列及数学期望EX 。
宁夏银川市2022届高三一模数学(理)试题
一、单选题1. 已知双曲线的焦点分别为，，，双曲线上一点满足，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．C ．2D ．32. 若，则“”是 “”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 命题“，”的否定是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，4. 已知函数，若存在实数，对任意的实数都有，且在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．5. 设集合，，，则（ ）．A．B．C．D．6. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．7. 若，则（ ）A ．1B．C ．2D．8. 已知是虚数单位，复数，且，则的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49. 设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A．B．C．D．10.若函数存在两个极值点，，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．11. 已知函数，则（ ）A．函数的定义域为，值域为B．函数的定义域为，值域为C．函数的定义域为，值域为D．函数的定义域为，值域为12. 已知函数，若关于的方程有两个相异实根，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．宁夏银川市2022届高三一模数学（理）试题二、多选题13.若（为虚数单位），则在复平面内，复数所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14.的展开式中，的系数为A．B．C．D．15. 下列命题为真命题的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则16.若函数为偶函数，则函数在区间上的取值范围为A．B．C．D．17. 已知P 为抛物线C ：上的动点，在抛物线C 上，过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，，，则（ ）A．的最小值为4B ．若线段AB 的中点为M ，则的面积为C ．若，则直线l 的斜率为2D．过点作两条直线与抛物线C 分别交于点G ，H ，且满足EF 平分，则直线GH 的斜率为定值18. 新中国成立以来，我国共进行了7次人口普查，这7次人口普查的城乡人口数据如下：根据该图数据，这7次人口普查中（ ）A ．城镇人口数均少于乡村人口数B ．乡村人口数达到最高峰是第4次C ．和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第7次D ．城镇人口总数逐次增加19. 已知，则（ ）A．B．C．D．20. 直线是曲线的切线，则实数的值可以是（ ）A ．3πB ．πC．D．21. 意大利画家列奥纳多·达・芬奇的画作《抱银鼠的女子》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达・芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”．后人给出了悬链线的函数三、填空题四、解答题解析式：，其中为曲线顶点到横坐标轴的距离，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地，双曲正弦函数的表达式为．若直线与双曲余弦函数双曲正弦函数的图象分别相交于点，，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点，则下列结论正确的为（ ）A．B ．是偶函数C．D ．若是以为直角顶点的直角三角形，则实数22. 已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．D．23. 已知是两个不同平面，是两条不同直线，则下述正确的是（ ）A．若，则B．若，则C．若是异面直线，则与相交D．若，则24. 椭圆曲线是代数几何中一类重要的研究对象.关于椭圆曲线：，下列结论正确的是（ ）A．曲线关于点对称B．曲线关于直线对称C ．当时，曲线上点的横坐标的取值范围为D ．若曲线上存在位于y轴左侧的点，则25. 已知直线上一点A，圆上一点B ，则的最小值为__________.26.设等差数列的前n项和为，若，则_____．27. 已知双曲线：的离心率，则双曲线的渐近线方程为___________.28. 已知是奇函数，且当时，.若，则__________.29. 树人中学举办以“喜迎二十大､永远跟党走､奋进新征程”为主题的演讲比赛，其中9人比赛的成绩为：85，86，88，88，89，90，92，94，98（单位：分），则这9人成绩的第80百分位数是___________.30.已知集合，则______．31. 已知函数，若，则_________.32.在中，是上的点，若，则实数的值为___________.33. 计算求值：(1)；(2)已知，均为锐角，，，求的值．五、解答题34. （1）已知角终边上一点，求的值；（2）化简求值：35. 化简，并求函数的值域和最小正周期．36. 已知角的顶点与原点O 重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点.(1)求的值；(2)求值：.37. ChatGPT 是由人工智能研究实验室OpenAI 于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT 的开发主要采用RLHF （人类反馈强化学习）技术.在测试ChatGPT 时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT 的回答被采纳的概率为85%，当出现语法错误时，ChatGPT 的回答被采纳的概率为50%.(1)在某次测试中输入了8个问题，ChatGPT 的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望；(2)已知输入的问题出现语法错误的概率为10%，（i ）求ChatGPT 的回答被采纳的概率；（ii ）若已知ChatGPT 的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率.38. 求值.（1）；（2）.39. 已知函数，．(1)在给出的坐标系中画出函数的图像；(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．40. 体育中考（简称体考）是通过组织统一测试对初中毕业生身体素质作出科学评价的一种方式，即通过测量考生身高、体重、肺活量和测试考生运动成绩等指标来进行体质评价．已知某地区今年参加体考的非城镇与城镇学生人数之比为，为了调研该地区体考水平，从参加体考的学生中，按非城镇与城镇学生用分层抽样方法抽取人的体考成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（如图所示），体考成绩分布在范围内，且规定分数在分以上的成绩为“优良”，其余成绩为“不优良”．（1）将下面的列联表补充完整，根据表中数据回答，是否有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关？类别非城镇学生城镇学生合计优良不优良合计（2）现从该地区今年参加体考的大量学生中，随机抽取名学生，并将上述调查所得的频率视为概率，试以概率相关知识回答，在这名学生中，成绩为“优良”人数的期望值为多少？附参考公式与数据：，其中．41. 已知函数．⑴求函数的最小正周期；⑵在给定的坐标系内，用“五点作图法”画出函数在一个周期内的图象．42. 已知是函数图象的一条对称轴．（1）求的值；（2）求函数的单调增区间；（3）作出函数在上的图象简图（列表，画图）．43. 某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化，举办了一场由在校学生参加的厨艺大赛，组委会为了了解本次大赛参赛学生的成绩情况，从参赛学生中抽取了名学生的成绩作为样本，将所得数经过分析整理后画出了评论分布直方图和茎叶图，其中茎叶图受到污染，请据此解答下列问题：六、解答题(1)求频率分布直方图中的值；(2)规定大赛成绩在的学生为厨霸，在的学生为厨神，现从被称为厨霸、厨神的学生中随机抽取2人取参加校际之间举办的厨艺大赛，求所取2人中至少有1人是厨神的概率．44. 如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，设平面平面.(1)作出（不要求写作法）；(2)线段上是否存在一点，使平面？请说明理由；(3)若，求平面与平面的夹角的余弦值.45. 如图，在底面为菱形的四棱锥中，底面，其中为底面的中心.(1)证明：平面平面.(2)若，求四棱锥体积的最大值.46.已知函数的图象在处的切线斜率为.（1）求证：时，；（2）求证：..47. 在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，,,分别为的中点，点在线段上.（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）若为的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）设，当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.48. 已知函数.(1)讨论的单调性和最值；(2)若关于的方程有两个不等的实数根，求证：.七、解答题49.如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，，，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出；若不存在，请说明理由.50.如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且.点分别为线段上的动点，满足.(1)证明：直线平面；(2)是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由.51. 某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，除1kg 收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出不足1kg ，按1kg 计算需再收5元．该公司对近60天，每天揽件数量统计如表：包裹件数范围包裹件数近似处理50150250350450天数6630126某人打算将，，三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率；该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么，公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？52. 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的散点图和对比表：摄氏温度热饮杯数（1）从散点图可以发现，各点散布在从左上角到右下角的区域里．因此，气温与当天热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，当天卖出去的热饮杯数越少．统计中常用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱.统计学认为，对于变量、，如果，那么负相关很强；如果，那么正相关很强；如果，那么相关性一般；如果，那么相关性较弱．请根据已知数据，判断气温与当天热饮销售杯数相关性的强弱.（2）（i ）请根据已知数据求出气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程；（ii）记为不超过的最大整数，如，.对于（i ）中求出的线性回归方程，将视为气温与当天热饮销售杯数的函数关系.已知气温与当天热饮每杯的销售利润的关系是（单位：元），请问当气温为多少时，当天的热饮销售利润总额最大？【参考公式】，，【参考数据】，，.，，，.53.经过考察，某公司打算对两个项目进行投资，经测算，投资项目（百万元）与产生的经济效益之间满足：（百万元），投资项目与产生的项目经济效益之间满足：（百万元）.（1）公司现有1200万资金可供投资，应如何分配资金使得投资收益总额最大；（2）若投资百万元的某项目产生的经济效益为百万元，设投资该项目的边际效应函数为，其边际效应值小于0时，不建议投资该项目，那么对项目与应如何投资，才能使得经济效益最好？54. 工厂经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有某甲､乙两种设备可以独立生产该部件．如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸(单位：)，进行统计整理的频率分布直方图．根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸满足：为一级品，为二级品，为三级品（1）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400件样本中抽取40件产品，若从这40件产品中随机抽取2件产品，记为这2件产品中一级品的个数，求的分布列和数学期望；（2）为增加产量，工厂需增购设备，已知这种产品的利润如下：一级品的利润为500元/件；二级品的利润为400元/件；三级品的利润为200元/件．乙设备生产的产品中一､二､三级品的概率分别是，若将甲设备生产的产品的样本频率作为总体的概率．以工厂的利润作为决策依据，应选购哪种设备，请说明理由．55. 单板滑雪型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩．现有运动员甲、乙二人在2021赛季单板滑雪型池世界杯分站比赛成绩如下表：分站运动员甲的三次滑行成绩运动员乙的三次滑行成绩第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70假设甲、乙二人每次比赛成绩相互独立．（1）从上表5站中随机选取1站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；（2）从上表5站中任意选取2站，用表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求的分布列和数学期望；（3）假如从甲、乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪型池比赛，根据以上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由．（注：方差，其中为，，…，的平均数）56. 2022年第22届世界杯足球赛在卡塔尔举行，这是继韩日世界杯之后时隔20年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，本届世界杯还是首次在北半球冬季举行的世界杯足球赛．每届世界杯共32支球队参加，进行64场比赛，其中小组赛阶段共分为8个小组，每个小组的4支队伍进行单循环比赛共计48场，以积分的方式产生16强，之后的比赛均为淘汰赛，1/8决赛8场产生8强，1/4决赛4场产生4强，半决赛两场产生2强，三四名决赛一场，冠亚军决赛一场．下表是某五届世界杯32进16的情况统计：欧洲球队美洲球队非洲球队亚洲球队32强16强32强16强32强16强32强16强1131094515121310105514031361085240414108550515138835263合计66444525256245 (1)根据上述表格完成列联表：16强非16强合计欧洲地区其他地区合计并判断是否有95%的把握认为球队进入世界杯16强与来自欧洲地区有关？(2)淘汰赛阶段全场比赛90分钟内进球多的球队获胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负，将进行30分钟的加时赛．加时赛阶段，如果两队仍未分出胜负，则通过点球决出胜负．若每支球队90分钟比赛中胜，负，平的概率均为，加时赛阶段胜，负，平的概率也均为，并且各阶段比赛相互独立．设半决赛中进行点球比赛的场次为，求的分布列及期望．附：，0.0500.0100.0013.841 6.63510.828八、解答题57. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于，两点（异于椭圆长轴顶点），的周长为．(1)求椭圆的标准方程；(2)求（为坐标原点）面积的最大值，并求此时直线的方程．58. 已知定义在实数集R上的偶函数的最小值为3，且当时，，其中e是自然对数的底数．（1）求函数的解析式；（2）求最大的整数，使得存在，只要，就有．59. 已知函数.（1）当时，证明函数无极值点；（2）是否存在实数，使得只有唯一的正数，当时恒有？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.60. 已知直四棱柱中，底面ABCD为菱形，E为线段上一点.(1)证明：平面；(2)若，则当点E在何处时，CE与所成角的正弦值为？61. 已知直线：与轴的交点是椭圆：的一个焦点.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于、两点，是否存在使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．62. 已知定义在R上的函数，其中a为常数.（I）若x=1是函数的一个极值点，求a的值（II）若函数在区间（－1，0）上是增函数，求a的取值范围正数（III）若函数，在x=0处取得最大值，求a的取值范围。
宁夏银川市高考数学一模试卷(理科)
宁夏银川市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·南充模拟) 满足条件{1，3}∪A={1，3，5}所有集合A的个数是（）A . 4B . 3C . 2D . 12. （2分）在复平面内，复数对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）(2018·兰州模拟) 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，若曲线的方程为，则落入阴影部分的点的个数的估计为（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·四川模拟) 执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A . 45B . 55C . 66D . 1105. （2分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则 f（）=（）A . ﹣1B .C . 1D . 06. （2分）函数的图象大致是A .B .C .D .7. （2分）(2020·吉林模拟) 已知函数，则（）A .B . 的定义域为C . 为偶函数D . 在上为增函数8. （2分）已知等差数列的前项和为取得最小值时的值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高二下·哈尔滨期末) 命题“ ”为真命题的一个充分不必要条件是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017·吉安模拟) 已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣e，0），F2（e，0），以线段F1F2为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P，若直线PF2与圆E：（x﹣）2+y2= 相切，则双曲线的渐近线方程是（）A . y=±xB . y=± xC . y=± xD . y=±2x11. （2分） (2019高一上·珠海期中) 已知，，，则的最值是（）．A . 最大值为，最小值B . 最大值为，无最小值C . 最大值为，无最小值D . 既无最大值，又无最小值12. （2分） (2016高一上·济南期中) 函数y=f（x）满足：①y=f（x+1）是偶函数；②在[1，+∞）上为增函数．则f（﹣1）与f（2）的大小关系是（）A . f（﹣1）＞f（2）B . f（﹣1）＜f（2）C . f（﹣1）=f（2）D . 无法确定二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在平行四边形中，∠ABD=90° ，且，若将其沿折起使平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为________.14. （1分）设x，y满足约束条件，则z=x+3y+m的最大值为4，则m的值为________15. （1分）二项式的展开式的第四项的系数为-40，则的值为________．16. （1分）已知函数f（x）=x|2x﹣a|，g（x）=（a∈R），若0＜a＜12，且对任意t∈[3，5]，方程f （x）=g（t）在x∈[3，5]总存在两不相等的实数根，求a的取值范围________三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分）(2019高一下·宁波期末) 中，角的对边分别为，且.（I）求的值；（II）求c的值.18. （10分）(2017·南阳模拟) 观察下列三角形数表：假设第n行的第二个数为，（1）归纳出an+1与an的关系式，并求出an的通项公式；（2）设anbn=1（n≥2），求证：b2+b3+…+bn＜2．19. （10分） (2016·安徽模拟) 已知正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点．（1）在三角形内部随机取一点P，求满足|PB|≥1且|PC|≥1的概率；（2）在A、B、C、D、E、F这6点中任选3点，记这3点围成图形的面积为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．20. （10分）已知抛物线Ω的顶点是坐标原点O，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线l与抛物线交于M、N两点且满足• =﹣3．（1）求抛物线Ω的方程；（2）若直线y=x与抛物线Ω交于A、B两点，在抛物线Ω上是否存在异于A，B的点C，使得经过A，B，C 三点的圆和抛物线Ω在切点处有相同的切线？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由．21. （10分） (2019高二下·牡丹江期末) 已知 .（1）若在上单调递增, 上单调递减,求的极小值;（2）当时,恒有 ,求实数a的取值范围.22. （5分） (2019高三上·日喀则月考) 在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M ， N的极坐标分别为（2，0），（），圆C的参数方程（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．23. （10分）(2018·大新模拟) 已知数列为单调递增数列，，其前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列，其前项和为，若成立，求的最小值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷(理科)(有解析)
2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|1≤x≤10}，B是A的子集，且B中各元素的和为8，则满足条件的集合B共有()A. 8个B. 7个C. 6个D. 5个)3等于()2.复数(i−1iA. 8B. −8C. 8iD. −8i3.已知数列{a n}是公比为2的等比数列，若a4=16，则a1=()A. 1B. 2C. 3D. 44.设m∈R，则“m=1”是“函数f(x)=m⋅2x+2−x为偶函数”的()A. 充分而不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.函数f(x)=ax+cosx在R上是单调函数，则实数a的取值范围是()A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,−1]∪[1,+∞)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是()A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱7.阅读如图所示的程序框图，若输入p=5，q=6，则输出a，i的值分别为()A. a =5，i =1B. a =5，i =2C. a =15，i =3D. a =30，i =68. (x 2−1x )6的展开式中，常数项等于( ) A. 15 B. 10 C. −15 D. −109. 在满足不等式组{x −y +1≥0x +y −3≤0y ≥0的平面点集中随机取一点M(x 0,y 0)，设事件A =“y 0<2x 0”，那么事件A 发生的概率是( )A. 14B. 34C. 13D. 23 10. 已知α，β，γ是两两不重合的三个平面，下列命题中错误的是( )A. 若α//β，β//γ，则α//γB. 若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γC. 若α//β，β⊥γ，则α⊥γD. 若α//β，α∩γ=a ，β∩γ=b ，则a//b11. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点是F l ，P 是双曲线右支上的点，若线段PF 1与y 轴的交点M 恰好为PF 1的中点，且|OM|=a ，则该双曲线的离心率为( )A. √2B. √3C. 2D. 312. 如果曲线2|x|−y −4=0的图象与曲线C ：x 2+λy 2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是( )A. [−14,14]B. [−14,14)C. (−∞,−14]∪[0,14)D. (−∞,−14]∪[14,+∞) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知，则sin2α+cos2α=__________．14. 在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =r AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +s AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则r +s =________． 15. 已知抛物线y =x 2的焦点为F ，过点F 的直线1交抛物线于A ，B 两点，若|AB|=3，则线段AB的中点到x 轴的距离为______16. 观察下列等式：1=1，2+3+4=9，3+4+5+6+7=25，4+5+6+7+8+9+10=49，……照此规律，第n 个等式为_______________________________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，己知．(1)求角A ；(2)若a =2，求△ABC 面积的最大值．18.为了了解某班在全市“一检”中数学成绩的情况，按照分层抽样分别抽取了10名男生和5名女生的试卷成绩作为样本，他们数学成绩的茎叶图如图所示，其中茎为百位数和十位数，叶为个位数．(Ⅰ)若该样本男女生平均分数相等，求x的值；(Ⅱ)若规定120分以上为优秀，在该5名女生试卷中每次都抽取1份，且不重复抽取，直到确定出所有非优秀的女生为止，记所要抽取的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．19.在直角三角形ABC中，AB=BC=2，D为AC的中点，以BD为折痕将△ABD折起，使点A到达点P的位置，且PB⊥CD．(1)求证：PD⊥平面BCD；(2)求PA与平面PBC所成角的正弦值．20. 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为√22，过点F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为√2，直线l ：y =kx +m 与椭圆交于不同的A ，B 两点．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若在椭圆C 上存在点Q 满足：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点).求实数λ的取值范围．21. 已知函数f(x)=4x 3+ax 2+bx +5的图象在x =1处的切线方程为y =−12x ，且f(1)=−12，(1)求函数f(x)的解析式和单调区间．(2)求函数f(x)在[−3,1]上的最值．22. (Ⅰ)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知直线的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)，它与曲线{x =2+√5cosθy =1+√5sinθ(θ为参数)相交于两点A 和B ，求|AB|；(Ⅱ)已知极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，若直线C 1的极坐标方程为：ρcos(θ−π4)=√2，曲线C 2的参数方程为：{x =1+cosθy =3+sinθ(θ为参数)，试求曲线C 2关于直线C 1对称的曲线的直角坐标方程．23. 已知函数f(x)=|x −3|+|x +2|．(Ⅰ)若不等式f(x)≥|m +1|恒成立，求实数m 的最大值M ；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若正数a ，b ，c 满足a +2b +c =M ，求证：1a+b +1b+c ≥1．【答案与解析】1.答案：C解析：本题主要考查子集的应用．属于基础题．列举出集合A 的所有元素，根据B 中各元素的和为8，确定集合B 的组成．即可得到满足条件的集合B 的个数．解：由题意：集合A ={x ∈N|1≤x ≤10}={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10}∵B ⊆A ，且B 中各元素的和为8，满足条件的集合有：{8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}，{1,2，5}，{1,3，4}共6个．故选：C ．2.答案：D解析：解：由(i −1i )3=(−2i )3=−8⋅ii 4=−8i ，故选D ．先化简复数，然后进行复数幂的运算即可．本题考查复数代数形式的运算，复数幂的运算，是基础题． 3.答案：B解析：解：∵数列{a n }是公比为2的等比数列，且a 4=16，∴a 1=a 423=168=2，故选：B ．依题意，知a 1=a423，于是可得答案． 本题考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题．4.答案：C解析：解：若m=1，则函数f(x)=2x+2−x，又f(−x)=2−x+2x=f(x)，且定义域为R，函数f(x)为偶函数；若函数f(x)=m⋅2x+2−x为偶函数，则f(−x)=m⋅2−x+2x=m⋅2x+2−x=f(x)恒成立，即(m−1)(2−x−2x)=0，m=1；综上可得，“m=1”是“函数f(x)=m⋅2x+2−x为偶函数”的充要条件，故选：C．将m=1代入函数解析式，由偶函数的定义判断成立；再由函数为偶函数，根据定义法求出m=1，即“m=1”是“函数f(x)=m⋅2x+2−x为偶函数”的充要条件．本题考查简易逻辑，以及函数的奇偶性定义，属于中档题．5.答案：C解析：解：∵f(x)=ax+cosx，∴f′(x)=a−sinx，∵f(x)=ax+cosx在(−∞,+∞)上是单调函数，∴a−sinx≥0或a−sinx≤0在(−∞,+∞)上恒成立，∴a≥1或a≤−1，故选：C．求出函数f(x)的导函数，令导函数大于等于0或小于等于0在(−∞,+∞)上恒成立，分析可得a的范围．解决函数的单调性已知求参数范围问题，常求出导函数，令导函数大于等于(或小于等于)0恒成立．6.答案：B解析：本题主要考察根据三视图，还原几何体，属于基础题．解：根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等．可得几何体如下图所示．故该几何体为一个三棱柱．故选B．7.答案：D解析：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求输出p，q的公倍数及相应的i值∵p=5，q=6，i=1，a=5×1=5；i=2，a=5×2=10；i=3，∴a=5×3=15；i=4，∴a=5×4=20；i=5，∴a=5×5=25；i=6，∴a=5×6=30；可以整除a，此时输出a=30，i=6．故选D．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求输出p，q 的公倍数a及相应的i值．根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型．8.答案：A)6的展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅(−1)r⋅x12−3r，解析：解：(x2−1x令12−3r=0，求得r=4，∴常数项为C64=15，故选：A．先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．9.答案：B解析：解：作出不等式组{x −y +1≥0x +y −3≤0y ≥0的平面区域即△ABC ，其面积为4，且事件A =“y 0<2x 0”表示的区域为△AOC ，其面积为3， ∴事件A 发生的概率是34． 故选：B ．确定不等式组表示的区域，求出面积，求出满足y <2x 的区域的面积，利用几何概型概率公式，可得结论．本题考查几何概型，考查不等式组表示的平面区域，确定以面积为测度，正确计算面积是关键，属于中档题．10.答案：B解析：本题考查线线关系、线面关系中的平行的判定、面面关系中垂直的判定，要注意判定定理与性质定理的综合运用．解：A 中，若α//β，β//γ，则γ//β，满足平面与平面平行的性质，正确； B 中，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可以平行，也可以相交，故不正确；C 中，若α//β，β⊥γ，则α⊥γ，满足平面与平面平行的性质定理，故正确；D 中，若α//β，α∩γ=a ，β∩γ=b ，则a//b ，满足平面平行的性质定理，所以正确． 故选B ．11.答案：B解析：本题考查双曲线的离心率，考查勾股定理的运用，确定|PF 2|=2a ，|PF 1|=4a ，PF 2⊥F 1F 2，是关键．由题意，设右焦点是F2，则|PF2|=2a，|PF1|=4a，由勾股定理可得16a2=4a2+4c2，即可求出双曲线的离心率．解：由题意，设右焦点是F2，则|PF2|=2a，|PF1|=4a，PF2⊥F1F2，由勾股定理可得16a2=4a2+4c2，∴e=ca=√3，故选B．12.答案：B解析：解：由2|x|−y−4=0可得y=2|x|−4，当x≥0时，y=2x−4；当x<0时，y=−2x−4，∴函数y=2|x|−4的图象与方程x2+λy2=4的曲线必相交于(±2,0)∴为了使函数y=2|x|−4的图象与方程x2+λy2=1的曲线恰好有两个不同的公共点，则y=2x−4代入方程x2+λy2=1，整理可得(1+4λ)x2−16λx+16λ−4=0，当λ=−14时，x=2满足题意，由于△>0，2是方程的根，∴16λ−41+4λ<0，解得−14<λ<14时，方程两根异号，满足题意；y=−2x−4代入方程x2+λy2=1，整理可得(1+4λ)x2+16λx+16λ−4=0当λ=−14时，x=−2满足题意，由于△>0，−1是方程的根，16λ−41+4λ<0，解得−14<λ<14时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[−14,1 4 )故选：B．去绝对值可得x≥0时，y=2x−4；当x<0时，y=−2x−4，数形结合可得曲线必相交于(±2,0)，分别联立方程结合一元二次方程根的分布可得．本题考查椭圆的简单几何性质，考查分类讨论的数学思想和不等式的解法以及数形结合，属中档题．13.答案：15解析：由题意可得： ．14.答案：0解析：本题考查平面向量基本定理的应用，属于基础题目． 解：因为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以CD →=23CB →=23AB →−23AC →=rAB →+sAC →，所以r =23,s =−23， 所以r +s =0． 故答案为0．15.答案：54解析：解：设A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)，F 为焦点，抛物线准线方程y =−14， 根据梯形的中位线定理，得所求的距离为：d =y 1+y 22=|AF|+|BF|2−p2，由抛物线定义d =|AF|+|BF|2−p 2≥|AB|2−p 2=54(两边之和大于第三边且A ，B ，F 三点共线时取等号)，故答案为：54．设A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)，根据抛物线方程可求得准线方程，所求的距离为d =y 1+y 22，根据抛物线的定义可知d =|AF|+|BF|2−p2，根据两边之和大于第三边且A ，B ，F 三点共线时取等号求得d 的最小值． 本题主要考查了抛物线的应用．灵活利用了抛物线的定义，考查分析问题解决问题的能力．16.答案：n +(n +1)+⋯+(3n −2)=(2n −1)2解析：本题考查归纳推理的运用，关键是从所给的式子中，发现变化的规律．由图知，第n个等式的等式左边第一个数是n，共2n−1个连续整数的和，右边是奇数2n−1的平方，即可得结果．解：由图知，第n个等式的等式左边第一个数是n，共2n−1个连续整数的和，右边是奇数2n−1的平方，故有n+(n+1)+(n+2)+⋯+(3n−2)=(2n−1)2．故答案为：n+(n+1)+(n+2)+⋯+(3n−2)=(2n−1)2．17.答案：解：(1)由及正弦定理得：，因为sinB≠0，所以，即，因为A为三角形的内角，所以；(2)因为a=2，所以4=c2+b2−√3bc⩾2bc−√3bc，所以4(2+√3)⩾bc，因为，所以当且仅当b=c=√6+√2时，SΔABC最大，所以SΔABC的最大值为2+√3．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．(1)由正弦定理化简已知等式可得，，又结合0<A<π，即可求得A的值；(2)由已知及余弦定理4=c2+b2−√3bc⩾2bc−√3bc，可得4(2+√3)⩾bc，当且仅当b=c时，取“=”，由三角形面积公式即可得解．18.答案：(Ⅰ)解：依题意得102+118+124+127+1345=100+102+104+119+12x+128+130+131+132+13810解得x=6…(6分)(Ⅱ)由茎叶图知，5名女生中优秀的人数为3人，非优秀的有2人，由题设知ξ=2，3，4，P(ξ=2)=C21C11C51C41=110，P(ξ=4)=C21C32C53=35，P(ξ=3)=1−P(ξ=2)−P(ξ=4)=310，∴ξ的分布列为：Eξ=2×110+3×310+4×610=72…(12分)解析：(Ⅰ)由该样本男女生平均分数相等，利用茎叶图分别求出男生和女生的平均分数就能求出x 的值．(Ⅱ)由茎叶图知，5名女生中优秀的人数为3人，非优秀的有2人，由题设知ξ=2，3，4，分别求出相对应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望Eξ．本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查茎叶图的应用，是历年高考的必考题型，解题时要认真审题，注意合理运用排列组合知识．19.答案：解：(1)∵直角三角形ABC中，AB=BC=2，D为AC的中点，∴BD⊥CD，又∵PB⊥CD，BD∩PB=B，∴CD⊥平面PBD，∴CD⊥PD，又∵AD⊥BD，∴PD⊥BD．又因为BD∩CD=D，∴PD⊥平面BCD．(2)以D为坐标原点，DA，DB，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D−xyz，则A(√2,0，0)，B(0,√2,0)，C(−√2,0，0)，P(0,0，√2)， PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0，−√2)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,−√2)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,√2,0) 设平面PBC 的法向量n ⃗ =(x,y ，z)， 由PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0得{√2y −√2z =0√2x +√2y =0取n⃗ =(1,−1,−1)． cos〈PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√63， ∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为√63．解析：(1)证明BD ⊥CD ，结合PB ⊥CD ，CD ⊥平面PBD ，推出CD ⊥PD ，PD ⊥BD.证明PD ⊥平面BCD ．(2)以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ，平面PBC 的法向量，利用空间向量的数量积求解直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值即可． 本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.答案：解：(Ⅰ)由已知得e =c a =√22，2b 2a=√2，又a 2=b 2+c 2，联立解得a =√2,b =1,c =1．故所求椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．(Ⅱ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，Q(x 0,y 0)当λ=0时由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 知，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，A 与B 关于原点对称，存在Q 满足题意，∴λ=0成立．当λ≠0时，设直线AB 的方程为y =kx +m ．联立{y =kx +m x 2+2y 2=2得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0， 由△=(4km)2−4(1+2k 2)(2m 2−2)>0解得m 2<1+2k 2…(∗) ∴x 1+x 2=−4km 1+2k2,x 1x 2=2m 2−21+2k2，y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m1+2k 2． 由OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(x 1+x 2,y 1+y 2)=(λx 0,λy 0)，可得x 1+x 2=λx 0，y 1+y 2=λy 0， ∴{x 0=1λ(x 1+x 2)=1λ⋅−4km1+2k 2y 0=1λ(y 1+y 2)=1λ⋅2m 1+2k 2, 代入到x 22+y 2=1得到m 2=λ24(1+2k 2)，代入(∗)式λ24(1+2k 2)<1+2k 2，由1+2k 2>0得λ2<4，解得−2<λ<2且λ≠0． ∴综上λ∈(−2,2)．解析：(Ⅰ)由已知得e =ca=√22，2b 2a =√2，又a 2=b 2+c 2，联立解得即可．(II)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，Q(x 0,y 0)，分类讨论：当λ=0时，利用椭圆的对称性即可得出；λ≠0时，设直线AB 的方程为y =kx +m.与椭圆的方程联立得到△>0及根与系数的关系，再利用向量相等，代入计算即可得出．21.答案：解：(1)f′(x)=12x 2+2ax +b ，f′(1)=12+2a +b =−12.①又x =1，y =−12在f(x)的图象上，∴4+a +b +5=−12.②由①②得a =−3，b =−18， ∴f(x)=4x 3−3x 2−18x +5． f′(x)=12x 2−6x −18，令f′(x)<0，得：12x 2−6x −18<0， 可得−1<x <32，∴函数f(x)的单调减区间为(−1,32)， 令f′(x)>0，得：12x 2−6x −18>0， 可得x <−1或x >32，∴函数f(x)的单调增区间为(−∞,−1)，(32,+∞)， (2)f′(x)=12x 2−6x −18=0，得x =−1，x =32， f(−1)=16，f(32)=−614，f(−3)=−76，f(1)=−13． ∴f(x)的最大值为16，最小值为−76．解析：(1)根据导数的几何意义求出函数在x =1处的导数，从而得到切线的斜率，建立等式关系，再根据切点在函数图象建立等式关系，解方程组即可求出a 和b ，从而得到函数f(x)的解析式；令f′(x)>0和令f′(x)<0，即可求出函数f(x)的单调区间(2)先求出f′(x)=0的值，根据极值与最值的求解方法，将f(x)的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数求闭区间上函数的最值等基础题知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．22.答案：解：(Ⅰ)直线的极坐标方程是θ=π4(ρ∈R)，化为普通方程是y =x ； 曲线的参数方程是{x =2+√5cosθy =1+√5sinθ(θ为参数)，化为直角坐标方程为圆：(x −1)2+(y −2)2=5；…(1分) 则圆心为C(1,2)，半径R =√5，…(2分) ∴圆心C 到直线y =x 的距离为：d =22=√22； …(3分) 由垂径定理得，|AB|=2√R 2−d 2=2√5−12=3√2；…(4分) (Ⅱ)∵直线C 1的极坐标方程为：ρcos(θ−π4)=√2， ∴√22ρcosθ+√22ρsinθ=√2，化为普通方程是x +y =2；…(5分) 又曲线C 2的参数方程为：{x =1+cosθy =3+sinθ(θ为参数)，消去参数得(x −1)2+(y −3)2=1，∴曲线C 2是以(1,3)为圆心，1为半径的圆；…(6分) 设点P(x,y)是圆心(1,3)关于直线x +y =2的对称点，则{y−3x−1=1x+12+y+32=2；解得{x =−1y =1，∴P(−1,1)；∴所求的曲线为圆(x +1)2+(y −1)2=1. …(7分)解析：(Ⅰ)把直线l 的极坐标方程、曲线C 的参数方程都化为直角坐标方程，根据圆心到直线的距离与半径的关系求出弦长|AB|；(Ⅱ)把直线C 1的极坐标方程C 2的参数方程化为普通方程，利用点的对称关系求出对应曲线的方程． 本题考查了直线与圆的方程的应用问题、也考查了参数方程与极坐标方程的应用问题，考查了运算与求解能力，是综合性题目．23.答案：解：(Ⅰ)若f(x)≥|m +1|恒成立，即f(x)min ≥|m +1|由绝对值的三角不等式|x −3|+|x +2|≥|x −3−x −2|=5， 得f(x)min =5即|m +1|≤5，解得−6≤m ≤4， 所以M =4 ．(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知a +2b +c =4， 得(a +b)+(b +c)=4，所以有1a+b +1b+c =14[(a +b)+(b +c)](1a+b +1b+c )=14(2+b +c a +b +a +b b +c )≥14(2+2)=1 即1a+b +1b+c ≥1．解析：本题考查了绝对值不等式的性质，考查基本不等式的性质，是一道中档题． (Ⅰ)求出f(x)的最小值，得到关于m 的不等式，求出M 的值即可；(Ⅱ)求出a +2b +c =4，得到(a +b)+(b +c)=4，根据基本不等式的性质证明即可．。
银川市高考数学一模试卷(理科)(I)卷
银川市高考数学一模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）已知函数的定义域为的值域为B，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高三上·太原期末) 设复数z=1+2i，则 =（）A .B .C .D . 13. （2分） (2017高二下·伊春期末) 若，则角的终边在第几象限（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分） (2016高一下·郑州期末) 已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足| |=| |，则• 的最小值是（）A . ﹣B . ﹣C . ﹣D . ﹣15. （2分）(2018·广东模拟) 已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若，是抛物线的准线与轴的交点，则（）A . 45°B . 30°C . 15°D . 60°6. （2分）已知x，y满足约束条件，则z=-2x+y的最大值是（）A . -1B . -2C . -5D . 17. （2分） (2015高三上·临川期末) “m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分）(2017·天津) 设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A . ω= ，φ=B . ω= ，φ=﹣C . ω= ，φ=﹣D . ω= ，φ=9. （2分）(2017·山东) 执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（）A . 0，0B . 1，1C . 0，1D . 1，010. （2分） (2017高二下·长春期中) 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A . 140种B . 120种C . 35种D . 34种11. （2分）某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是（）A . 4B .C .D . 612. （2分）不等式的解集为（）A . {x|x<-2或x>3}B . {x|x<-2或1<x<3}C . {x|-2<x<1或x>3}D . {x|-2<x<1或1<x<3}二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·扬州期中) 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直，则实数a=________14. （1分） (2016高二下·辽宁期中) 已知a＞0，且二项式展开式中含项的系数是135，则a=________．15. （1分） (2016高一下·定州期末) 用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1：4，截去的小圆锥的母线长是3cm，则圆台的母线长________ cm．16. （1分）(2019·金华模拟) 在中，，，内角所对的边分别为，，，已知且，则的最小值为________．三、解答题： (共7题；共65分)17. （10分）(2018·河北模拟) 已知等差数列的前项和为， .（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，且，求数列的前项和 .18. （10分） (2018高二下·中山月考) 某班名同学的数学小测成绩的频率分布表如图所示，其中，且分数在的有人.（1）求的值;（2）若分数在的人数是分数在的人数的，求从不及格的人中任意选取3人，其中分数在50分以下的人数为，求的数学期望.19. （10分） (2016高二下·汕头期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（1）求证：EF⊥平面PAC；（2）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值．20. （10分）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆短轴的两个端点和两个焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆过点（﹣1，）．（1）求椭圆的方程；（2）直线l过点P（0，2）且与椭圆相交于A、B两点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程．21. （5分） (2016高三上·呼和浩特期中) 已知函数．（Ⅰ）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2＜0．22. （10分） (2019高三上·广东月考) 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为 .（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点，l和C交于A，B两点，求 .23. （10分）(2020·晋城模拟) 已知函数 .（1）求不等式的解集；（2）正数满足，证明： .参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷(理科)
2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合{1A =-，0，1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有( ) A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2．（5分）复数32(1)(i i += ) A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -3．（5分）已知等比数列{}n a 的公比为正数，且23952a a a =g ，21a =，则1(a = )A ．12B ．2 C ．2 D ．24．（5分）已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上为减函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）若函数()cos f x x ax =-+为增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1-，)+∞B ．[1，)+∞C ．(1,)-+∞D ．(1,)+∞6．（5分）一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )A ．23B ．25C 43D 537．（5分）我国古代名著《庄子g 天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是()①②③A7i„？1s si=-1i i=+B128i„？1s si=-2i i= C7i„？12s si=-1i i=+D128i„？12s si=-2i i=A．A B．B C．C D．D8．（5分）若231()nxx+展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为() A．1B．5C．10D．209．（5分）在平面区域{(,)|0}2y xM x y xx y⎧⎪=⎨⎪+⎩……„内随机取一点P，则点P在圆222x y+=内部的概率()A．8πB．4πC．2πD．34π10．（5分）已知直线l，m，平面α、β、γ，给出下列命题：①//lα，//lβ，mαβ=I，则//l m；②//αβ，//βγ，mα⊥，则mγ⊥；③αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥； ④l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥． 其中正确的命题有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．（5分）设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P ，满足212||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为( )A ．43B ．53C ．54D12．（5分）已知以4T =为周期的函数(1,1]()1|2|,(1,3]x f x x x ⎧⎪∈-=⎨--∈⎪⎩，其中0m >，若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为( )A ．B ．4(3C ．3(4，8)3D ．，8)3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）已知tan 2x =，求cos2x = ．14．（5分）若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且4CD DB r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r，则3r s +的值为 ．15．（5分）已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上，若||||4AF BF +=，线段AB 的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为 ． 16．（5分）观察下列算式：311=， 3235=+， 337911=++， 3413151719=+++⋯⋯若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n = ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin()0b A a A C -+=． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若3a =，ABC ∆的面积为33，求11b c+的值． 18．（12分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率；（2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为X ，求X 的分布列和数学望期．19．（12分）如图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将ADE ∆向上折起，使D 到P ，且PC PB = （1）求证：PO ⊥面ABCE ．（2）求AC 与面PAB 所成角θ的正弦值．20．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点(0,1)6l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足12,PM MQ PN NQ λλ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r．（1）求椭圆的标准方程；（2）若123λλ+=-，试证明：直线l 过定点并求此定点．21．（12分）已知函数21()12f x lnx ax bx =-++的图象在1x =处的切线l 过点1(2，1)2．（1）若函数()()(1)(0)g x f x a x a =-->，求()g x 最大值（用a 表示）； （2）若4a =-，121212()()32f x f x x x x x ++++=，证明：1212x x +…．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线222:12x C y +=．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求||AB ．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知关于x 的不等式|2||3||1|x x m --++…有解，记实数m 的最大值为M ． （1）求M 的值；（2）正数a ，b ，c 满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+++…．2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合{1A =-，0，1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有( ) A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【解答】解：根据题意，在集合A 的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，1}-、{1-，0，1}，四个； 故选：B ．2．（5分）复数32(1)(i i += ) A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -【解答】解：32(1)()(2)2i i i i +=-=， 故选：A ．3．（5分）已知等比数列{}n a 的公比为正数，且23952a a a =g ，21a =，则1(a = )A ．12B C D ．2【解答】解：设公比为q ，由已知得28421112()a q a q a q =g ， 即22q =，又因为等比数列{}n a 的公比为正数，所以q =21a a q ===． 故选：B ．4．（5分）已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上为减函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：若函数()21x y f x m ==+-有零点，则(0)111f m m =+-=<， 当0m …时，函数log m y x =在(0,)+∞上为减函数不成立，即充分性不成立，若log m y x =在(0,)+∞上为减函数，则01m <<，此时函数21x y m =+-有零点成立，即必要性成立，故“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上为减函数”的必要不充分条件， 故选：B ．5．（5分）若函数()cos f x x ax =-+为增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1-，)+∞B ．[1，)+∞C ．(1,)-+∞D ．(1,)+∞【解答】解：由 题意可得，()sin 0f x x a '=+…恒成立， 故sin a x -…恒成立， 因为1sin 1x --剟， 所以1a …． 故选：B ．6．（5分）一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )A ．23B ．25C 43D 53【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体． 11111111PB C ABC A B C ABC P A B C V V V ---=-2231322213=⨯-⨯ 53=故选：D ．7．（5分）我国古代名著《庄子g 天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是( )①② ③A 7i „？ 1s s i =-1i i =+ B 128i „？ 1s s i=-2i i = C7i „？ 12s s i =- 1i i =+ D128i „？12s s i=-2i i =A ．AB ．BC ．CD ．D【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示： 第1次循环：112S =-，4i =，第2次循环：11124S =--，8i =，第3次循环：1111248S =---，16i =，⋯ 依此类推，第7次循环：11111248128S =----⋯-，256i =， 此时不满足条件，退出循环，其中判断框内①应填入的条件是：128i „？， 执行框②应填入：1s s i=-，③应填入：2i i =． 故选：B ． 8．（5分）若231()nx x+展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为( ) A ．1B ．5C ．10D ．20【解答】解：令1x =可得231()nx x+展开式的各项系数之和为232n =， 5n ∴=，故其展开式的通项公式为10515r r r T x -+=g ð，令1050r -=，求得2r =， 可得常数项为2510=ð， 故选：C ．9．（5分）在平面区域{(,)|0}2y x M x y x x y ⎧⎪=⎨⎪+⎩……„内随机取一点P ，则点P 在圆222x y +=内部的概率( ) A ．8π B ．4π C ．2π D ．34π 【解答】解：如图示：作出不等式组对应的平面区域，对应区域为OAB ∆， 则三角形的面积为11212S =⨯⨯=，点P 取自圆222x y +=内部的面积为圆面积的18，即2184ππ⨯⨯=，则根据几何概型的概率公式可得，则点P 取自圆222x y +=内部的概率等于4π． 故选：B ．10．（5分）已知直线l ，m ，平面α、β、γ，给出下列命题： ①//l α，//l β，m αβ=I ，则//l m ； ②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥； ④l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥． 其中正确的命题有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①由线面平行的性质定理可知①正确；②由面面平行的性质定理可知，//αγ，因为m α⊥，所以m γ⊥，即②正确； ③若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，即③错误； ④由面面垂直的判定定理可知④正确． 所以正确的命题有①②④， 故选：C ．11．（5分）设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P ，满足212||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A ．43B ．53C ．54D ．114【解答】解：依题意212||||PF F F =，可知三角形21PF F 是一个等腰三角形，2F 在直线1PF 的投影是其中点，由勾股定理知可知1||2PF =4b =根据双曲定义可知422b c a -=，整理得2c b a =-， 代入222c a b =+整理得2340b ab -=，求得43b a =；53c e a ∴==．故选：B ．12．（5分）已知以4T =为周期的函数(1,1]()1|2|,(1,3]x f x x x ⎧⎪∈-=⎨--∈⎪⎩，其中0m >，若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为( )A ．B ．4(3C ．3(4，8)3D ．，8)3【解答】解：Q 当(1x ∈-，1]时，将函数化为方程2221(0)y x y m+=…，∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当(1x ∈，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线13y x =与第二个椭圆222(4)1(0)y x y m -+=…相交，而与第三个半椭圆222(8)1y x m-+=(0)y …无公共点时，方程恰有5个实数解，将13y x =代入222(4)1y x m -+=(0)y …得，2222(91)721350m x m x m +-+=，令29(0)t m t =>，则2(1)8150t x tx t +-+=，由△2(8)415t t =-⨯(1)0t +>，得15t >，由2915m >，且0m >得m >，同样由 13y x =与第三个椭圆222(8)1y x m -+=(0)y …由△0<可计算得m <，综上可知m ∈． 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）已知tan 2x =，求cos2x = 35- ．【解答】解：tan 2x =Q ，222111cos sec 1tan 5x x x ∴===+； 所以213cos22cos 12155x x =-=⨯-=-故答案为35-14．（5分）若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且4CD DB r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r，则3r s +的值为85． 【解答】解：如图， Q 4CD DB r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴444555CD CB AB AC ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴根据平面向量基本定理得，44,55r s ==-， ∴12483555r s +=-=． 故答案为：85．15．（5分）已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上，若||||4AF BF +=，线段AB 的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为 1或3 ． 【解答】解：分别过A 、B 作交线:2pl x =-的垂线，垂足分别为C 、D ， 设AB 中点M 在准线上的射影为点N ，连接MN ， 设1(A x ，1y )，2(B x ，2y )，0(M x ，0y ) 根据抛物线的定义，得||||||||4AF BF AC BD +=+=，∴梯形ACDB 中，中位线1(||||)22MN AC BD =+=， 可得022p x +=，022p x =-， Q 线段AB 的中点到直线2p x =的距离为1，可得0||12px -=， |2|1p ∴-=，解得1p =或3p =，故答案为：1或3．16．（5分）观察下列算式：311=， 3235=+， 337911=++， 3413151719=+++⋯⋯若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n = 45 ． 【解答】解：由已知规律可得：3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有n 个正奇数． 而前面1n -个等式共含有(1)12(1)2n n n -++⋯⋯+-=个奇数， (1)220212n n -∴⨯<， 即(1)2021n n -<，而454419802021.464520702021⨯=<⨯=>．45n ∴=，故答案为：45．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin()0b A a A C -+=． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若3a =，ABC ∆的面积为33，求11b c+的值． 【解答】解：（Ⅰ）由sin 2sin()0b A a A C -+=得sin2sin sin b A a B b A ==⋯⋯（3分） 又0A π<<，所以sin 0A ≠，得2cos 1A =，所以3A π=⋯⋯（6分）（Ⅱ）由ABC ∆的面积为33及3A π=， 得133sin 23bc π=，即6bc =⋯⋯（8分） 又3a =，从而由余弦定理得222cos 9b c bc A +-=， 所以33b c +=⋯⋯（10分） 所以113b c b c bc ++==⋯⋯（12分）18．（12分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率；（2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为X ，求X 的分布列和数学望期．【解答】解：（1）由茎叶图知，分数在[50，60)之间的频数为4，频率为0.0125100.125⨯=，∴全班人数为40.125人．∴分数在[80，100]之间的频数为32481010---=， ∴分数在[80，100]之间的频率为100.312532=； （2）由（1）知，分数在[80，100]之间有10份，分数在[90，100]之间有0.012510324⨯⨯=份．由题意，X 的取值为0，1，2，3，则363101(0)6C P X C ===，12463101(1)2C C P X C ===，21463103(2)10C C P X C ===，343101(3)30C P X C ===，X ∴的分布列为X 0 1 2 3 P1612310130数学期望1131()0123 1.2621030E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．19．（12分）如图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将ADE ∆向上折起，使D 到P ，且PC PB = （1）求证：PO ⊥面ABCE ．（2）求AC 与面PAB 所成角θ的正弦值．【解答】解：（1）PA PE =，OA OE PO AE =∴⊥（1） 取BC 的中点F ，连OF ，PF ，//OF AB ∴，OF BC ∴⊥ 因为PB PC BC PF =∴⊥，所以BC ⊥面POF 从而BC PO ⊥（2）由（1）（2）可得PO ⊥面ABCE（2）作//OG BC 交AB 于G ，OG OF ⊥如图，建立直角坐标系{,,}OG OF OP u u u r u u u r u u u r，(1,1,0),(1,3,0),(1,3,0),(0,02)(2,4,0),(1,1,2),(0,4,0)A B C P AC AP AB --=-=-=u u u r u u u r u u u r设平面PAB 的法向量为20(,,)(2,0,1)40n AP x y z n x y z n AC n AB y ⎧=-++=⎪=⇒=⎨==⎪⎩u u u r r g r r u u u rr g 与面PAB 所成角θ的正弦值30sin |cos ,|n AC θ=<>=u u ur r20．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点(0,1)6l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足12,PM MQ PN NQ λλ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r．（1）求椭圆的标准方程；（2）若123λλ+=-，试证明：直线l 过定点并求此定点． 【解答】解：（1）由题意可知22216b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得：312a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆的标准方程为：2213x y +=；（2）由题意设(0,)P m ，0(Q x ，0)，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 设直线l 的方程为()x t y m =-，由1PM MQ λ=u u u u r u u u u r知，1(x ，1101)(y m x x λ-=-，1)y -，111y m y λ∴-=-，由题意10λ≠，∴111my λ=-， 同理由2PN NQ λ=u u u r u u u r 知，221my λ=-，123λλ∴+=-，1212()0y y m y y ∴++=①，联立方程2233()x y x t y m ⎧+=⎨=-⎩，消去x 得：22222(3)230t y mt y t m +-+-=，∴需△2422244(3)(3)0m t t t m =-+->②，且有212223mt y y t +=+，2212233t m y y t -=+③，把③代入①得：222320t m m mt -+=g ，2()1mt ∴=， 由题意0mt <，1mt ∴=-，满足②式，∴直线l 的方程为1x ty =+，过定点(1,0)，即(1,0)为定点．21．（12分）已知函数21()12f x lnx ax bx =-++的图象在1x =处的切线l 过点1(2，1)2．（1）若函数()()(1)(0)g x f x a x a =-->，求()g x 最大值（用a 表示）； （2）若4a =-，121212()()32f x f x x x x x ++++=，证明：1212x x +…．【解答】解：（1）函数21()12f x lnx ax bx =-++的导数为：1()f x ax b x'=-+， 可得图象在1x =处的切线l 的斜率为1k a b =-+， 切点为1(1,1)2b a +-，由切线经过点1(2，1)2，可得111221112b a a b +---+=-， 化简可得，0b =，则21()12f x lnx ax =-+，21()1(1)(02g x lnx ax a x x =-+-->，0)a >，1(1)(1)()(1)x ax g x ax a x x+-'=---=-， 当10x a <<时，()0g x '>，()g x 递增；当1x a>时，()0g x '<，()g x 递减． 可得1111()()1122max g x g lna lna a a a a==--+-+=-；（2）证明：4a =-时，2()21f x lnx x =++， 121212()()32f x f x x x x x ++++=，可得2211221212212132lnx x lnx x x x x x ++++++++=， 化为2212121212122(2)()()x x x x x x x x ln x x ++++=-， 即有2121212122()()()x x x x x x ln x x +++=-， 令12t x x =，0t >，设()h t t lnt =-，1()1h t t'=-，当1t >时，()0h t '>，()h t 递增；当01t <<时，()0h t '<，()h t 递减．即有()h t 在1t =取得最小值1， 则212122()()1x x x x +++…， 可得1212(1)(221)0x x x x +++-…， 则122210x x +-…， 可得1212x x +…．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线222:12x C y +=．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求||AB ．【解答】解：（Ⅰ）曲线11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）可化为普通方程：22(1)1x y -+=， 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为22(1sin )2ρθ+=．（Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与曲线1C 的交点A 的极径为12cos6πρ==射线(0)6πθρ=…与曲线2C 的交点B 的极径满足222(1sin )26πρ+=，解得2ρ=，所以12||||AB ρρ=-= [选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知关于x 的不等式|2||3||1|x x m --++…有解，记实数m 的最大值为M ． （1）求M 的值；（2）正数a ，b ，c 满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+++…． 【解答】解：（1）由绝对值不等式得|2||3||2(3)|5x x x x --+--+=厔， 若不等式|2||3||1|x x m --++…有解， 则满足|1|5m +„，解得64m -剟．4M ∴=．（2）由（1）知正数a ，b ，c 满足足24a b c ++=，即1[()()]14a b b c +++=∴11111111[()()]()(11)(2414444b c a b a b b c a b b c a b b c a b b c +++=++++=++++⨯=++++++厖， 当且仅当b c a ba b b c++=++即2a b b c +=+=，即a c =，2a b +=时，取等号． ∴111a b b c+++…成立．。
宁夏银川二中2021届高考数学一模试卷(理科) Word版含解析
宁夏银川二中2021届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={y|y=sinx，x∈R}，则( )A．A⊆B B．B⊆A C．A∪B=[﹣1，2）D．A∩B=Φ2．若（1+2ai）•i=1﹣bi，其中a，b∈R，则|a+bi|=( )A ．B ．C ．D ．3．设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=( ) A．2 B．﹣2 C ．D ．﹣4．若实数x，y 满足，则z=x﹣2y的最大值是( )A．﹣3 B ．C ．D ．5．阅读下列算法：（1）输入x．（2）推断x＞2是否成立，若是，y=x；否则，y=﹣2x+6．（3）输出y．当输入的x∈[0，7]时，输出的y的取值范围是( )A．[2，7]B．[2，6]C．[6，7]D．[0，7]6．将三封信件投入两个邮箱，每个邮箱都有信件的概率是( )A．1 B ．C ．D ．7．下列命题正确的个数是( )①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；④“平面对量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”．A．1 B．2 C．3 D．48．把一个三棱锥适当调整位置，可以使它的三视图（正视图，侧视图，俯视图）都是矩形，外形及尺寸如图所示，则这个三棱锥的体积是( ) A．1 B．2 C．3 D．69．若函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在（0，2π）上有两个极大值和一个微小值，则ω的取值范围是( ) A．（，]B．（，]C．（1，]D．（，]10．设F是抛物线C：y2=12x的焦点，A、B、C 为抛物线上不同的三点，若，则|FA|+|FB|+|FC|=( )A．3 B．9 C．12 D．1811．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1.5）=﹣f（x），当x∈[0，3）时，f（x）=|（x﹣1）2﹣0.5|，记集合A={n|n是函数y=f（x）（﹣3≤x≤5.5）的图象与直线y=m（m∈R）的交点个数}，则集合A的子集个数为( )A．8 B．16 C．32 D．6412．已知椭圆C1：的左右焦点分别为F，F′，双曲线C2：=1与椭圆C1在第一象限的一个交点为P，有以下四个结论：①＞0，且三角形PFF′的面积小于b2；②当a=b时，∠PF′F﹣∠PFF′=；③分别以PF，FF′为直径作圆，这两个圆相内切；④曲线C1与C2的离心率互为倒数．其中正确的有( )A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡中横线上．13．已知向量，的夹角为120°，若||=3，||=4，|+|=λ||，则实数λ的值为__________．14．已知相关变量x，y之间的一组数据如下表所示，回归直线所表示的直线经过的定点为（1.5，5），则mn=__________．x 0 1 n 3y 8 m 2 415．已知函数f（x）=ln（2x+1）+3，若方程f（x ）+f′（x）﹣3=a有解，则实数a的取值范围是__________．16．已知数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，且S n=2S n﹣1+1（n≥2且n∈N*），数列{b n}是等差数列，且b1=a 1，b4=a1+a2+a3，设c n =，数列{c n}的前n项和为T n，则T10=__________．三、解答题：（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答过程写在指定位置）17．已知函数f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣1（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间，并说明可把f（x）图象经过怎样的平移变换得到g（x）=sin2x的图象．（Ⅱ）若在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=，求△ABC的面积．18．如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（Ⅰ）求异面直线AD1与BD所成的角的余弦值；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．19．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）估量这500件产品质量指标值的样本平均数．（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种总产品的质量指标值Z近似听从正态分布N（μ，δ2），其中μ近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s2．（由样本估量得样本方差为s2=150）（i）利用该正态分布，求P（Z＜212.2）；（ii）若将这种产品质量指标值位于这三个区间（﹣∞，187.8）（187.8，212.2）（212.2．，+∞）的等级分别为二等品，一等品，优质品，这三类等级的产品在市场上每件产品的利润分别为2元，5元，10元．某商户随机从该企业批发100件这种产品后卖出获利，记X表示这100件产品的利润，利用正态分布原理和（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．20．如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且相互垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（I）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）求△ABD面积的最大值及取得最大值时直线l1的方程．21．设函数f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（I）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若g（x）=ax﹣e x，求证：在x＞0时，f（x）＞g（x）[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧BD的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）23．已知曲线C ：=1，直线l ：（t为参数）（I）写出曲线a，b的参数方程，直线2a+3b=6的一般方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值及取得最大值时P点的坐标．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|（I）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若f（x）+|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求实数m的取值范围．宁夏银川二中2021届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={y|y=sinx，x∈R}，则( )A．A⊆B B．B⊆A C．A∪B=[﹣1，2）D．A∩B=Φ考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出集合A，B的等价条件，进行推断即可．解答：解：A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，B={y|y=sinx，x∈R}={y|﹣1≤y≤1}，则A∪B=[﹣1，2），故选：C．点评：本题主要考查集合的基本运算和集合关系的推断，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2．若（1+2ai）•i=1﹣bi，其中a，b∈R，则|a+bi|=( )A ．B ．C ．D ．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出．解答：解：∵（1+2ai）•i=1﹣bi，其中a，b∈R，∴i﹣2a=1﹣bi，∴﹣2a=1，﹣b=1，解得a=﹣，b=﹣1，则|a+bi|=|﹣﹣i|==．故选：C．点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，属于基础题．3．设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=( ) A．2 B．﹣2 C ．D ．﹣考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的前n项和求出S1，S2，S4，然后再由S1，S2，S4成等比数列列式求解a1．解答：解：∵{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，由S1，S2，S4成等比数列，得：，即，解得：．故选：D．点评：本题考查等差数列的前n项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．4．若实数x，y 满足，则z=x﹣2y的最大值是( )A．﹣3 B ．C ．D ．考点：简洁线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，将z=x﹣2y化为y=x ﹣，﹣相当于直线y=x ﹣的纵截距，由几何意义可得．解答：解：由题意作出其平面区域，将z=x﹣2y化为y=x ﹣，﹣相当于直线y=x ﹣的纵截距，由解得，E （，﹣）；此时z=x﹣2y 有最大值+2×=；故选：C．点评：本题考查了简洁线性规划，作图要细致认真，同时留意几何意义的应用，属于中档题．5．阅读下列算法：（1）输入x．（2）推断x＞2是否成立，若是，y=x；否则，y=﹣2x+6．（3）输出y．当输入的x∈[0，7]时，输出的y的取值范围是( )A．[2，7]B．[2，6]C．[6，7]D．[0，7]考点：排序问题与算法的多样性．专题：计算题；算法和程序框图．分析：确定分段函数，分别求y的取值范围，即可得出结论．解答：解：由题意，y=，x∈（2，7]，y=x∈（2，7]；x∈[0，2]，y=﹣2x+6∈[2，6]，∴输入的x∈[0，7]时，输出的y的取值范围是[2，7]，故选：A．点评：本题考查算法，考查函数表达式的确定于运用，比较基础．6．将三封信件投入两个邮箱，每个邮箱都有信件的概率是( )A．1 B ．C ．D ．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：求出三封信件投入两个邮箱的全部种数，求出每个邮箱都有信件的种数，然后求解概率．解答：解：三封信件投入两个邮箱的全部种数：23=8．每个邮箱都有信件的种数：C32•A22=6．将三封信件投入两个邮箱，每个邮箱都有信件的概率是：．故选：B．点评：本题考查古典概型的概率的求法，基本学问的考查．7．下列命题正确的个数是( )①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；④“平面对量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”．A．1 B．2 C．3 D．4考点：命题的真假推断与应用．专题：简易规律．分析：（1）依据特称命题的否定是全称命题来推断是否正确；（2）化简三角函数，利用三角函数的最小正周期推断；（3）用特例法验证（3）是否正确；（4）依据向量夹角为π时，向量的数量积小于0，来推断（4）是否正确．解答：解：（1）依据特称命题的否定是全称命题，∴（1）正确；（2）f（x）=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax ，最小正周期是=π⇒a=±1，∴（2）正确；（3）例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4，∴（3）不正确；（4）∵，当θ=π时，•＜0．∴（4）错误．∴正确的命题是（1）（2）．故选：B点评：本题借助考查命题的真假推断，考查命题的否定、向量的数量积公式、三角函数的最小正周期及恒成立问题．8．把一个三棱锥适当调整位置，可以使它的三视图（正视图，侧视图，俯视图）都是矩形，外形及尺寸如图所示，则这个三棱锥的体积是( )A．1 B．2 C．3 D．6考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：依据已知中的三视图，画出三棱锥的直观图，利用割补法，可求出三棱锥的体积．解答：解：依据已知中的三视图，画出三棱锥的直观图，如下：图中长方体的体积为：3×2×1=6，切去的四个角的体积为：4×=4，故几何体的体积V=6﹣4=2，故选：B．点评：本题考查的学问点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的外形．9．若函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在（0，2π）上有两个极大值和一个微小值，则ω的取值范围是( ) A．（，]B．（，]C．（1，]D．（，]考点：正弦函数的图象．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：依据函数f（x）=2sinωx（ω＞0）的图象在（0，2π）恰有两个极大值和一个微小值，可得T＜2π≤T，结合周期的求法，即可得到结论．解答：解：∵函数f（x）=2sinωx（ω＞0）的图象在（0，2π）恰有两个极大值和一个微小值∴T＜2π≤T，∴×＜2π≤×，∴＜ω≤故选：A．点评：本题考查三角函数图象的性质，考查周期的求法，考查同学的计算力量，属于基础题．10．设F是抛物线C：y2=12x的焦点，A、B、C 为抛物线上不同的三点，若，则|FA|+|FB|+|FC|=( )A．3 B．9 C．12 D．18考点：向量的线性运算性质及几何意义．专题：平面对量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由已知条件推导出x1+x2+x3=9，依据，得出点F（3，0）是△ABC重心，运用重心的坐标公式得出：x1+x2+x3=9，再依据抛物线的定义得出|FA|+|FB|+|FC|=x1+3+x2+3+x3+3，整体求解即可．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）抛物线y2=12x焦点坐标F（3，0），准线方程：x=﹣3，∵，∴点F（3，0）是△ABC重心，∴x1+x2+x3=9，y1+y2+y3=0，而||=x1﹣（﹣3）=x1+3，||=x2﹣（﹣3）=x2+3，||=x3﹣（﹣3）=x3+3，∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+3+x2+3+x3+3=（x1+x2+x3）+9=9+9=18．故选：D．点评：本题考查抛物线的简洁性质的应用，是中档题，解题时要认真审题，留意三角形重心性质的机敏运用11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1.5）=﹣f（x），当x∈[0，3）时，f（x）=|（x﹣1）2﹣0.5|，记集合A={n|n是函数y=f（x）（﹣3≤x≤5.5）的图象与直线y=m（m∈R）的交点个数}，则集合A的子集个数为( )A．8 B．16 C．32 D．64考点：抽象函数及其应用；子集与真子集．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，函数f（x）的周期为3，在同一坐标系中画出函数y=f（x）与y=m的图象，确定集合A有6个元素，即可得出结论．解答：解：由题意，函数f（x）的周期为3，在同一坐标系中画出函数y=f（x）与y=m的图象如图，由于集合A={n|n是函数y=f（x）（﹣3≤x≤5.5）的图象与直线y=m（m∈R）的交点个数}，如图可知，交点的个数有6种状况，所以集合A有6个元素，所以集合A的子集个数为64．故选：D．点评：本题考查函数的性质，考查集合的子集个数，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．12．已知椭圆C1：的左右焦点分别为F，F′，双曲线C2：=1与椭圆C1在第一象限的一个交点为P，有以下四个结论：①＞0，且三角形PFF′的面积小于b2；②当a=b时，∠PF′F﹣∠PFF′=；③分别以PF，FF′为直径作圆，这两个圆相内切；④曲线C1与C2的离心率互为倒数．其中正确的有( )A．4个B．3个C．2个D．1个考点：命题的真假推断与应用；椭圆的简洁性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；简易规律．分析：依据题意，写出F′、F、B1各点坐标，通过联立椭圆与双曲线的方程及点P在第一象限，可得P （，），①通过计算、S△PFF′，可得①正确；②当a=b时，通过计算可得cos（∠PF′F﹣∠PFF′）=cos∠PF′Fcos∠PFF′+sin∠PF′Fsin∠PFF′=0，故②正确；③举出反例，当a=b时不成立，故③不正确；④直接计算出曲线C1与C2的离心率即可④正确．解答：解：依据题意，得F′（，0），F （﹣，0），B1（0，b），联立椭圆与双曲线的方程，消去y ，得，又∵点P在第一象限，∴P （，），①=（﹣﹣，﹣）•（﹣，﹣）=2﹣（a2﹣b2）+=＞0，三角形PFF′的面积为=×＜b2，故①正确；②当a=b时，有a2=2b2，则F′（b，0），F（﹣b，0），，∴=（，），=（，），=（﹣2b，0），∴=，=，=2b，∴cos∠PF′F==，cos∠PFF′==，∴sin∠PF′F=，sin∠PFF′=或（舍），∵cos（∠PF′F﹣∠PFF′）=cos∠PF′Fcos∠PFF′+sin∠PF′Fsin∠PFF′=×+×=0，∴∠PF′F﹣∠PFF′=，故②正确；③当a=b时，线段PF的中点为M （，），则OM=，MF=，OF=2b，∵MF﹣OF=﹣2b ＜=OM，故③不正确；④曲线C1与C2的离心率分别为：e1=，e2==，故④正确；综上所述，命题①②④正确，故选：B．点评：本题考查圆锥曲线的简洁性质，向量数量积运算，三角形面积计算公式，三角函数差角公式，中点坐标公式，圆与圆的位置关系，考查分析问题、解决问题的力量，考查计算力量，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡中横线上．13．已知向量，的夹角为120°，若||=3，||=4，|+|=λ||，则实数λ的值为．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面对量及应用．分析：把|+|=λ||平方代人已知数据可得λ的方程，解方程可得答案．解答：解：∵|+|=λ||，∴λ＞0，平方可得++2•=λ2，∵向量，的夹角为120°，且||=3，||=4，∴9+16+2×3×4×（）=9λ2，解得λ=故答案为：点评：本题考查数量积与向量的夹角，属基础题．14．已知相关变量x，y之间的一组数据如下表所示，回归直线所表示的直线经过的定点为（1.5，5），则mn=12．x 0 1 n 3y 8 m 2 4考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：利用回归直线方程经过中心点坐标，然后求出mn即可．解答：解：∵回归直线方程经过中心点坐标，∴==1.5；==5，解得m=6，n=2．mn=12．故答案为：12；点评：本题考查了线性回归方程的应用，在线性回归分析中样本中心点（，）在回归直线上的解题的关键．15．已知函数f（x）=ln（2x+1）+3，若方程f（x）+f′（x ）﹣3=a有解，则实数a的取值范围是[1+ln2，+∞）．考点：利用导数争辩函数的极值；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：求函数的导数，利用导数争辩函数的极值和最值即可得到结论．解答：解；函数的导数f′（x）=，函数的定义域为{x|x＞}，则由f（x）+f′（x）﹣3=a得ln（2x+1）+﹣3=a，设g（x）=ln（2x+1）++3﹣3=ln（2x+1）+，则函数的f（x）的导数g′（x）==，当x＞得函数的导数g′（x ）＞0，当﹣＜x＜，则函数的导数g′（x ）＜0，则函数g（x）的微小值同时也是最小值为g（）=1+ln2，故若方程f（x）+f′（x）﹣3=a有解，则a≥1+ln2，故答案为：[1+ln2，+∞）；点评：本题主要考查函数与方程的应用，求函数的导数，利用导数争辩函数的极值和最值是解决本题的关键．16．已知数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，且S n=2S n﹣1+1（n≥2且n∈N*），数列{b n}是等差数列，且b1=a1，b4=a1+a2+a3，设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，则T10=．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由S n=2S n﹣1+1（n≥2且n∈N*），变形为S n+1=2（S n﹣1+1），利用等比数列的通项公式可得S n．再利用等差数列的通项公式可得b n，利用“裂项求和”可得T n．解答：解：∵S n=2S n﹣1+1（n≥2且n∈N*），∴S n+1=2（S n﹣1+1），∴数列{S n+1}是等比数列，首项为2，公比为2，∴S n+1=2n，∴﹣1．设等差数列{b n}的公差为d，∵b1=a1=1，b4=a1+a2+a3=S3﹣1=7，∴1+3d=7，解得d=2．∴b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．设c n ===，∴数列{c n}的前n项和为T n =+…+==．∴T10=．故答案为：．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．三、解答题：（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答过程写在指定位置）17．已知函数f（x）=sin（2x ﹣）+2cos2x﹣1（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间，并说明可把f（x）图象经过怎样的平移变换得到g（x）=sin2x的图象．（Ⅱ）若在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=，求△ABC的面积．考点：正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）首先对函数的关系式进行恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间，利用函数的图象平移变换求出函数的结果．（Ⅱ）利用函数的解析式，依据函数的定义域求出A的值，进一步利用余弦定理求出bc，再利用三角形的面积公式求出结果．解答：解（Ⅰ）∵f（x）=sin（2x ﹣）+2cos2x﹣1=sin2x ﹣cos2x+cos2x=sin 2x+cos 2x =sin （），令：（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z），把函数f（x）=sin （）的图象上的全部点的坐标向右平移个单位，就可得到g（x）=sin2x的图象．（Ⅱ）∵f（A）=，∴sin （）=．又0＜A＜π，∴＜2A+＜．∴2A+=，故A=．在△ABC中，∵a=1，b+c=2，A=，∴1=b2+c2﹣2bccos A，即1=4﹣3bc．∴bc=1．∴S△ABC =bcsin A=．点评：本题考查的学问要点：三角函数关系式的恒等变换，利用整体思想求三角函数的单调区间，正弦型函数的图象变换问题．利用函数的关系式求函数的值，余弦定理和三角形面积的应用，主要考查同学的应用力量．18．如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（Ⅰ）求异面直线AD1与BD所成的角的余弦值；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间角．分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，先求出AB ，可得=，而，利用向量的夹角公式，即可求异面直线AD1与BD所成的角的余弦值；（Ⅱ）求出平面ACD1的一个法向量，利用向量的夹角公式，求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．解答：解：（Ⅰ）由题意，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB=t，则相关各点的坐标为：A（0，0，0），B（t，0，0），B1（t，0，3），C（t，1，0），C1（t，1，3），D（0，3，0），D1（0，3，3）．从而=（﹣t，3，﹣3），=（t，1，0），=（﹣t，3，0）．由于AC⊥BD ，所以•=﹣t2+3+0=0．解得t=或t=﹣（舍去）．所以=，而，所以=（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=（0，3，3），=（，1，0），=（0，1，0）．设=（x，y，z）是平面ACD1的一个法向量，则令x=1，则=（1，﹣，）．设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则sinθ=|cos ＜，＞|==．即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为．点评：本题给出直四棱柱，求异面直线、直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直四棱柱的性质、空间向量等学问，属于中档题．19．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）估量这500件产品质量指标值的样本平均数．（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种总产品的质量指标值Z近似听从正态分布N（μ，δ2），其中μ近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s2．（由样本估量得样本方差为s2=150）（i）利用该正态分布，求P（Z＜212.2）；（ii）若将这种产品质量指标值位于这三个区间（﹣∞，187.8）（187.8，212.2）（212.2．，+∞）的等级分别为二等品，一等品，优质品，这三类等级的产品在市场上每件产品的利润分别为2元，5元，10元．某商户随机从该企业批发100件这种产品后卖出获利，记X表示这100件产品的利润，利用正态分布原理和（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的期望与方差．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（2）（i）由（1）知Z～N，从而求出P（187.8＜Z＜212.2），P=0.3413，即可得出结论；（ii）设这种产品每件利润为随机变量Y，求出E（Y），即可求得EX．解答：解：（1）取个区间中点值为区间代表计算得：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（2）（i）由（1）知Z～N，从而P（187.8＜Z＜212.2）=P=0.6826，所以P=0.3413，所以P（Z＜212.2）=0.8413（ii）设这种产品每件利润为随机变量Y，其分布列为Y 2 5 10P 0.1587 0.6826 0.1587E（Y）=2×0.1587+5×0.6826+10×0.1587=5.3174，E（x）=E（100Y）=100×5.3174=531.74．点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算力量．20．如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且相互垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（I）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）求△ABD面积的最大值及取得最大值时直线l1的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）求出椭圆的几何量，然后求解椭圆C1的方程．（2）设A（x1，y2），B（x2，y2），P（x0，y0）．设直线l1的方程为y=kx﹣1．求出点O到直线l1的距离，然后利用直线与椭圆联立方程组，通过韦达定理求出PD，表示出△ABD的面积为S，利用基本不等式求出最值，然后求解直线方程．．解答：解：（1）由题意点P（0，﹣1）是椭圆C1：的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，得∴椭圆C1的方程为．（2）设A（x1，y2），B（x2，y2），P（x0，y0）．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．故点O到直线l1的距离为，又圆C2：x2+y2=4，∴．又l1⊥l2，∴直线l2的方程为x+ky+k=0．由，消去y，整理得（4+k2）x2+8kx=0，故，代入l2的方程得．∴．设△ABD的面积为S ，则，∴．当且仅当，即时上式取等号．∴当时，△ABD 的面积取得最大值，此时直线l1的方程为．点评：本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的力量．21．设函数f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（I）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若g（x）=ax﹣e x，求证：在x＞0时，f（x）＞g（x）考点：利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（I）通过f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，可得f′（e）=，解得，再将切点（e，﹣1）代入切线方程x﹣ey+b=0，可得b=﹣2e；（II）由（I）知：f′（x）=（x＞0），结合导数分①a≤0、②a＞0两种状况争辩即可；（III）通过变形，只需证明g（x）=e x﹣lnx﹣2＞0即可，由于g′（x）=，依据指数函数及幂函数的性质可知，依据函数的单调性及零点判定定理即得结论．解答：解：（I）∵f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）∴f′（x）==（x＞0），∵f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，即f（x）在点（e，f（e））的切线的斜率为，∴f′（e）==，∴，∴切点为（e，﹣1），将切点代入切线方程x﹣ey+b=0，得b=﹣2e，所以，b=﹣2e；（II）由（I）知：f′（x）=（x＞0），下面对a的正负状况进行争辩：①当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=，当x变化时，f′（x）、f（x）随x的变化状况如下表：0 （a，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↓↑由此表可知：f（x）在（0，）上单调递减，f（x ）在（，+∞）上单调递增；综上所述，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（0，），f（x ）的单调递增区间为（，+∞）；（III）∵f（x）=ax﹣2﹣lnx，g（x）=ax﹣e x，∴要证：当x＞0时，f（x）＞g（x），即证：e x﹣lnx﹣2＞0，令g（x）=e x﹣lnx﹣2 （x＞0），则只需证：g（x）＞0，由于g′（x）=，依据指数函数及幂函数的性质可知，g′（x）=在（0，+∞）上是增函数，∵g（1）=e﹣1＞0，=，∴g（1），∴g（x ）在内存在唯一的零点，也即g（x）在（0，+∞）上有唯一零点，设g（x）的零点为t，则g（t）=，即（），由g（x）的单调性知：当x∈（0，t）时，g（x）＜g（t）=0，g（x）为减函数；当x∈（t，+∞）时，g（x）＞g（t）=0，g（x）为增函数，所以当x＞0时，，又，故等号不成立，∴g（x）＞0，即当x＞0时，f（x）＞g（x）．点评：本题考查求函数解析式，函数的单调性，零点的存在性定理，留意解题方法的积累，属于难题．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧BD的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：（I）要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明∠CAB=∠DAC，依据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，我们易依据同角的余角相等，得到结论．（II）由已知及（I）的结论，我们易证明△BFC及△GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论．解答：解：（I）∵CF=FG∴∠CGF=∠FCG∴AB圆O的直径∴∵CE⊥AB∴∵∴∠CBA=∠ACE∵∠CGF=∠DGA∴∴∠CAB=∠DAC∴C为劣弧BD的中点（II）∵∴∠GBC=∠FCB∴CF=FB同理可证：CF=GF∴BF=FG点评：本题考查的学问点圆周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中依据AB是圆O的直径，CE⊥AB 于E，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解答本题的关键．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）23．已知曲线C ：=1，直线l ：（t为参数）（I）写出曲线a，b的参数方程，直线2a+3b=6的一般方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值及取得最大值时P点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用三角函数的平方关系式，推出曲线C的参数方程，消去参数t求解直线L的一般方程．（2）设曲线上任意一点P 的坐标为，则|PA|的距离是P到直线距离的两倍，得到关系式，利用三角函数的有界性求出最值．得到点的坐标．解答：解：（1）曲线C ：=1，曲线C 的参数方程为：，直线l ：（t为参数），消去参数t，可得，直线L的一般方程为x+2y﹣6=0（2）设曲线上任意一点P 的坐标为，则|PA|的距离是P到直线距离的两倍所以得，当时，|PA|有最大值，此时θ的一个值为：﹣．此时P的坐标为（﹣2，﹣3．．点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，参数方程与一般方程的互化，考查计算力量．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|（I）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若f（x）+|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求实数m的取值范围．考点：函数的最值及其几何意义；确定值不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：（I）分类争辩当x≥4时，当时，当时，求解原不等式的解集．（II）利用确定值三角不等式求出最值，可得m的范围，解答：解：（I）当x≥4时，f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0，得x＞﹣5，所以x≥4成立．当时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以1＜x＜4成立．当时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5成立．综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣5}．…5分（II）f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9．当，所以m＜9．…10分．点评：本题考查函数的最值，极大值不等式的解法以及转化思想的应用，考查计算力量．。
高三数学(理科)：银川一中2024届高三第一次模拟考试试题和答案
绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题卷( 银川一中第一次模拟考试 )注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2|230A x x x =∈--≤N ，2023{R |log 0}B x x =∈≤，则A B =I A ．](0,1B ．[0,1]C ．{1}D ．∅2．已知z1+i =1−1i ，则|z |=A ．2B ．22C ．2D ．13．若直线l 的一个方向向量()1,0,1u =r ，平面α的一个法向量()0,1,1n =-r，则l 与α所成角为A ．π6B ．π3C ．π3或2π3D ．π6或5π64．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计 成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀总计甲班10b 乙班c30合计附：P (K 2≥k 0)0.050.0250.0100.005k 03.8415.0246.6357.879已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是A ．列联表中c 的值为30，b 的值为35B ．列联表中c 的值为15，b 的值为50C ．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D ．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”5．已知向量(1,2)a =r ，(4,)b t =-r，则A ．若a b r r ∥，则8t =B ．若a b ⊥r r，则2t = C ．若||5a b +=r r ，则2t = D ．若a r 与b r的夹角为钝角，则2t <6．将顶点在原点，始边为x 轴非负半轴的锐角α的终边绕原点逆时针转过π4后，交单位圆 于点3,5P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，那么cos α的值为A B C D 7．贺兰山岩画公园不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图1是岩画公园风景优美的公园地图，其形状如一颗 爱心．图2是由此抽象出来的一个“心 形”图形，这个图形可看作由两个函数 的图象构成，则“心形”在x 轴上方的图 象对应的函数解析式可能为A ．B ．y =C ．y =D ．y =8．已知()()2,0,2,0A B -，点P 满足方程0(0,0)nx my m n ±=>>，且有2PA PB -=， 则nm的取值范围是A ．(0,1)B ．C ．D ．2)9．若数列{}n a 满足11a =-，则“m ∀，*n ∈N ，m n m n a a a +=”是“{}n a 为等比数列”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．若经过点(),a b 可以且仅可以作曲线ln y x =的一条切线，则下列选项正确的是 A ．0a ≤B ．ln b a =C ．ln a b =D ．0a ≤或ln b a=11．多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求．全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分．若选项中有其中个选项符合题目要求，随机作答该题时至少选择一个选项所得的分数为随机变量其中，则有 A ．B ．C ．D ．12．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABCD 的棱长为2，则下列说法正确的是A ．勒洛四面体ABCD 被平面ABC 截得的截面面积是(8πB ．勒洛四面体ABCD 内切球的半径是4C ．勒洛四面体的截面面积的最大值为2π-D ．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为362-二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin cos a C A =，则角A ________.14．甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”，从这个回答分析，5人的名次排列共可能有________种不同的情况.（用数字作答）15．斜率为k 的直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A ，B 两点，与圆（x -5）2+y 2 =9相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，则k =________.16．已知函数()()sin cos 0f x a x b x ab =+≠的图象关于6x π=对称，且()085f x a =，则0sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值是________.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．(12分)已知数列{}n a 的首项a 1=2，且0)1(1=-+-n n na a n (n ≥2)．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：32n T <．18．(12分)已知菱形ABCD 边长为1，AC =BD 为折痕把△ABD 和△CBD 折起，使点A 到达点E 的位置，点C 到达点F 的位置，E ，F 不重合. （1）求证：BD EF ⊥； （2）若32EF =，求点B 到平面DEF 的距离.19．(12分)某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：产品的性能指数在[)50,70的适合小小班幼儿使用（简称A 类产品），在[)70,90的适合小班和中班幼儿使用（简称B 类产品），在[]90,110的适合大班幼儿使用（简称C 类产品），A ，B ，C ，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率. （1）求每件产品的平均销售利润；（2）该公司为了解年营销费用x （单位：万元）对年销售量y （单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用i x ，和年销售量()1,2,3,4,5i y i =数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.根据散点图判断，b y a x =⋅可以作为年销售量y （万件）关于年营销费用x （万元）的回归方程.（i ）建立y 关于x 的回归方程；（ii ）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用，取4.15964e =）.参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u u u υυυL ，其回归直线u υαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆnii i nii uu uuυυβ==--=-∑∑，ˆˆu αυβ=-.20．(12分)已知O 为坐标原点，椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的上焦点F是抛物线2x =的焦点，过焦点F 与抛物线对称轴垂直的直线交椭圆C 于,M N两点，且MN OF=，过点()22,0P b 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若点()1,0E -，记△APE 面积为1,S BPE △的面积为2S围．21．(12分)已知函数()1e 3xf x x a=-，其中0a ≠． （1）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围； （2）若()()12sin f x a x ≥-，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为x =2+2cosθ，y =2sin θ（θ为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2=41+3sin 2α. (1)求曲线C 1的极坐标方程以及曲线C 2的直角坐标方程；(2)若直线l:y =kx 与曲线C 1、曲线C 2在第一象限交于P ，Q ，且|OQ|=|PQ|，点M 的直角坐标为(1,0)，求△PMQ 的面积．23．[选修4-5：不等式选讲] 已知,,a b c 均为正实数，函数()49f x x a x b c =-+++的最小值为4． (1)求证：9ab bc ca abc ++≥；(2)求证：4++≤．的银川一中2024届高三第一次模拟数学(理科)参考答案1．【答案】C 由2230x x --≤,解得13x -≤≤，又因为x N ∈，所以{}0,1,2,3A =，又由2023log 0x ≤，可得20232023log log 1x ≤，解得01x <≤，所以{R |01}B x x =∈<≤，所以A B =I {1}，2．由z 1+i =1−1i =1+i ，得z =(1+i)2=2i ，则z =−2i ，所以|z |=2.故选：C.3．A4．【答案】C 【解析】 由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c＝20，b ＝45，选项A 、B 错误．根据列联表中的数据，得到K 2＝105×（10×30－20×45）255×50×30×75≈6.109>5.024，因此有97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”． 5.【答案】B【解析】对于A ，若a b r r∥，则有142t ⨯=-⨯，所以8t =-，A 错误；对于B ，若a b ⊥r r，则有420t -+=，所以2t =，B 正确；对于C ，(3,2)a b t +=-+r r ，所以||5a b +==r r，解得2t =或6t =-，C 错误；若a r 与b r 的夹角为钝角，则420a b t ⋅=-+<r r ，即2t <，且a r 与b r不能共线且反向，由A 选项可知，当8t =-时，4b a =-r r ，此时a r 与b r共线且反向，所以若a r 与b r的夹角为钝角，则2t <且8t ≠-，D 错误，故选:B.6．【答案】A【详解】由点P 在单位圆上，则22315y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得45y =±，由锐角π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即ππ3π,444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则45y =，故π3π4cos ,sin 4545αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭，ππππππcos cos cos cos sin cos444444αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3455=-=.故选A.7.【答案】C【分析】利用基本不等式可求得2≤，知A 错误；由()2,0x ∈-时，0y =<可知B 错误；根据y =、图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调性可知C 正确；根据函数定义域可知D【详解】对于A ，2=≤=Q （当且仅当224x x =-，即x∴在()2,2-上的最大值为2，与图象不符，A 错误；对于B ，当()2,0x ∈-时，0y =<，与图象不符，B 错误；对于C ，y =Q ∴当1x =±时，max 1y =；又y =()()()2,0,2,0,0,0-；由220x x -+≥得：()20x x -≤，解得：22x -≤≤，即函数定义域为[]22-,；y ∴=[]22-,上的偶函数，图象关于y 轴对称；当[]0,2x ∈时，y =，则函数在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减；综上所述：y=C正确；对于D，由220x x-+≥得：02x≤≤，y∴=不存在()2,0x∈-部分的图象，D错误.故选：C.8.【答案】B【详解】由题意，点()()2,0,2,0A B-且满足2PA PB-=，根据双曲线的定义，可得点P的轨迹表示以,A B为焦点的双曲线C的右支，其中22,24a c==，可得1,2a c==，则b==可得双曲线C的渐近线方程为by xa=±=，又因为点P满足方程0(0,0)nx my m n±=>>，即ny xm=±，结合双曲线的几何性质，可得0nm<<nm的取值范围是.故选：B.9.【答案】A解：“m∀，*n∈N，m n m na a a+=”，取1m=，则11n na a+=-，{}na∴为等比数列．反之不成立，{}n a为等比数列，设公比为q()0q≠，则1m nm na q+-+=-，()()112nnmmm na a q q q--+-=-⨯-=，只有1q=-时才能成立满足m n m na a a+=．∴数列{}na满足11a=-，则“m∀，*n∈N，m n m na a a+=”是“{}na为等比数列”的充分不必要条件．10.【答案】D设切点()00,lnP x x．因为lny x=，所以1yx'=，所以点P处的切线方程为()001lny x x xx-=-，又因为切线经过点(),a b，所以()001lnb x a xx-=-，即1lnab xx+=+.令()ln(0)af x x xx=+>，则1y b=+与()ln(0)af x x xx=+>有且仅有1个交点，()221a x af xx x x'-=-=，当0a≤时，()0f x¢>恒成立，所以()f x单调递增，显然x→+∞时，()f x→+∞，于是符合题意；当0a>时，当0x a<<时，()0f x'<，()f x递减，当x a>时，()0f x¢>，()f x递增，所以()min()ln1f x f a a==+，则1ln1b a+=+，即lnb a=．综上，0a≤或lnb a=．故选：D11. 【答案】B12.【答案】C对A选项结合勒洛三角形得到其截面图，利用扇形面积和三角形面积公式即可得到答案，而A选项的截面积为C选项的最大截面积，对B选项四面体的能够容纳的最大球的半径，即可判断D选项.【详解】对于A()2221π322322π23ABC ABCABCS S S S⎛⎫=-⋅+=⨯⨯⨯=-⎪⎪⎝⎭V V截扇形故A错误，截面示意图如下：对于B，由对称性知,勒洛四面体ABCD内切球球心是正四面体ABCD的内切球、外接球球心O,如图：正BCD △外接圆半径122cos303O B =⋅⋅=o 正四面体ABCD 的高1AO==令正四面体ABCD 的外接球半径为R ,在1Rt BOO V 中,222R R⎫=-+⎪⎪⎭，解得R =,此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示：图中取正四面体ABCD 中心为O ,连接BO 交平面ACD 于点E ，交»AD于点F ，其中»AD 与ABD△共面，其中BO 即为正四面体外接球半径R =，设勒洛四面体内切球半径为r ，则由图得2r OF BF BO ==-=，故B 错误；对于C 某三个顶点的截面，由对A 的分析知()max 2Sπ=-截C 正确；对于D ，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切,,所以勒洛四面体ABCD 能够容纳的最大球的半径为2D 错误.故选：C ．13.π314.54由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，有第二、三、四名3种情况，再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3种情况，其他三名同学排在三位置全排列有33A 种，由分步乘法计数原理可知共有3333A 54⨯⨯=种，故答案为：54.15. 【详解】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0），则1201202,2.x x x y y y +=⎧⎨+=⎩又2112224,4,y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-121212042y y k x x y y y -===-+.设圆心为C （5，0），则kOM =005y x -，因为直线l 与圆相切，所以000215y y x ⋅=--，解得03x=，代入22(5)9x y -+=得002y k y ====16．先对函数化简变形，然后由题意可得6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭求得b =，再由()085f x a =可得04sin 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果【详解】因为()()sin cosf x a x b x x ϕ=+=+，ab ≠其中sin ϕ=，cos ϕ=，由于函数的图象关于6xπ=对称，所以6fπ⎛⎫=⎪⎝⎭，即12a+，化简得b=，所以()00008sin cos2sin35f x a x x a x aπ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭，即4sin35xπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以20000227sin2sin2cos22sin16323325 x x x xπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：C.17. （1）()11n nna n a-=+，11n na an n-∴=+，且112a=，∴数列1nan⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以每一项均为1的常数列，则11nan=+，即()*1na n n N=+∈；（2）由（1）得1na n=+，()()2222211221na n n n nn∴=<=-+++，11111111113113243522122nTn n n n∴<-+-+-++-=+--<+++L.18.（1）证明：菱形ABCD中，AC BD⊥，设AC，BD交于点O，连接EO，FO，则EO BD⊥，FO BD⊥，又EO FO O=I，EO⊂平面EOF，FO⊂平面EOF，所以BD⊥平面EOF；又EF⊂平面EOF，所以BD EF⊥；（2）因为菱形ABCD边长为1，AC=，所以12OE OF OA OC AC=====，则1BD==，又32EF=，所以2221cos22OE OF EFEOFOE OF+-∠==-⋅，则120EOF∠=o，所以1sin1202OEFS OE OF=⋅⋅=oVDEFV中，1DE DF==，32EF=，则2221cos28ED DF EFEDFDE DF∠+-==-⋅，所以sin EDF∠=，所以1sin2DEFS DE DF EDF∠=⋅⋅=V；设点B到平面DEF的距离为h，由题意，B DEF B OEF D OEFV V V---=+即11113333DEF OEF OEF OEFS h S OB S OD S BD⋅=⋅+⋅=⋅V V V V，则1OEFDEFS BDhS⋅===VV.19.【详解】（1）设每件产品的销售利润为ξ元，则ξ的所有可能取值为1.5，3.5，5.5，由直方图可得，A ，B ，C 三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4，所以，()1.50.15P ξ==，()3.50.45P ξ==，()5.50.4P ξ==，所以随机变量ξ的分布列为：ξ1.5 3.5 5.5P0.150.450.4所以， 1.50.15 3.50.45 5.50.44E ξ=⨯+⨯+⨯=，故每件产品的平均销售利润为4元；（2）（i ）由b y a x =⋅得，()ln ln ln ln by a x a b x =⋅=+，令ln u x =，ln y υ=，ln c a =，则c bu υ=+，由表中数据可得，()()()515210.41ˆ0.251.61ii i i i uu bu uυυ==--===-∑∑，则24.8716.30ˆˆ0.25 4.15955cbu υ=-=-⨯=，所以，ˆ 4.1590.25u υ=+，即14.1594ˆln 4.1590.25ln ln y x e x ⎛⎫=+=⋅ ⎪⎝⎭，因为 4.15964e =，所以14ˆ64y x =，故所求的回归方程为1464y x =；（ii ）设年收益为z 万元，则()14256z E y x x x ξ=⋅-=-，设14t x =，()4256f t t t =-，则()()332564464f t t t '=-=-，当()0,4t ∈时，()0f t '>，()f t 在()0,4单调递增，当()4t ,∈+∞时，()0f t '<，()f t 在()4,+∞单调递减，所以，当4t =，即256x=时，z 有最大值为768，即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.20.【小问1详解】因为2x =的焦点坐标为(，所以(F ，所以22,b MN OF c a ===．因为MN OF =2=，化简可得2b a =，又2222a b c -==，解得223,1a b ==，所以椭圆C 的标准方程为2213y x +=．【小问2详解】由（1）可知()2,0P ，可知过点P 的直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为()2y k x =-，由()22213y k x y x ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，化简可得()222234430k x k x k +-+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212243k x x k +=+，2122433k x x k -=+，由()()()2222Δ443430k k k =--+->，解得201k <<．根据弦长公式可得2AP BP x⋅=()()()22121212122142k x x k x x x x=+-⋅-=+-++()()()()22222224384391133k k k kkk k+-+-+=+⋅=++．因为APEV的面积为1,S BPE△的面积为2S，设点E到直线l的距离为d，根据点到直线的距离公式可得d=所以1211,22S AP d S BP d=⋅=⋅，因此()22221222291118181314434343k kS S AP BP dk k k+⎛⎫⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=-⎪+++⎝⎭，因为201k<<，所以2334k<+<，则281381014316k⎛⎫<-<⎪+⎝⎭，从而94<<，的取值范围是90,4⎛⎫⎪⎝⎭．21．【解析】（1）由()f x有两个零点，得方程13e xxa=有两个解，设()3e xxr x=，则()()31e xxr x-'=，由()0r x'>，可得1x<，()r x单调递增，由()0r x'<，可得1x>，()r x单调递减，所以()r x的最大值为()31er=，当x→+∞时()0r x→，当x→-∞时，()r x→-∞，所以可得函数()r x的大致图象，所以13ea<<，解得3ea>，所以，()f x有两个零点时，a的取值范围是e,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭；（2）设()()()12sing x f x a x=--，（3）即()()1e312sinxg x x a xa=---，则()0g x≥恒成立，由()100g aa=-≥，π6π1πe3066ga=-⨯⎫⎪⎝⎭≥⎛，可得01a<≤，下面证明当01a<≤时，()()1e312sin0*x x a xa---≥，即证213e2sin10x x xa a-+-≥，令1b a=，则证2e 32sin 10x b bx x -+-≥，[)1,b ∈+∞，令()2e 32sin 1xh b b bx x =-+-为开口向上的二次函数，对称轴为32e xxb =，由（1）可知3312e 2e x x b =≤<，故()h b 在[)1,b ∈+∞时单调递增，则()()1e 32sin 1xh b h x x ≥=-+-，下面只需证明e 32sin 10x x x -+-≥即可，即证32sin 110e xx x -+-≤，令()32sin 11e x x x F x -+=-，则()232sin 2cos exx x xF x -+-'=，令()232sin 2cos q x x x x =-+-，则()π32cos 2sin 304q x x x x ⎛⎫'=-++=+-< ⎪⎝⎭，所以函数()q x 单调递减，且()00q =，所以当0x <时，()0F x '>，当0x >时，()0F x '<，所以函数()F x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，故()()00F x F ≤=，即32sin 110exx x -+-≤，从而不等式()*得证，综上，a 的取值范围是(]0,1．22.【答案】解：(1)依题意，曲线C 1:(x−2)2+y 2=4，即x 2+y 2−4x =0,故ρ2−4ρcos θ=0，即ρ=4cos θ,因为ρ2=41+3sin 2α，故ρ2+3ρ2sin 2α=4.即x 2+4y 2=4，即x 24+y 2=1.将θ=θ0代入ρ2=41+3sin 2α得，ρ2Q =41+3sin 2θ0.将θ=θ0代入ρ=4cos θ得，ρP =4cos θ0.由|OQ|=|PQ|，得ρP =2ρQ ，即(4cos θ0)2=161+3sin 2θ0.解得sin 2θ0=23，则cos 2θ0=13又0<θ0<π2，故ρQ =41+3sin 2θ0=233，ρP =4cos θ0=433故△PMQ 的面积S △PMQ =S △OMP −S △OMQ =12⋅|OM|⋅(ρP −ρQ )⋅sin θ0=12⋅233⋅63=23.23. 【详解】（1）,,0a b c >Q ，()()494949f x x a x b c x a x b c a b c ∴=-+++≥--++=++，当且仅当()()490x a x b -+≤时取等号，494a b c ∴++=，要证9ab bc ca abc ++≥，只要证1119a b c++≥，由柯西不等式得()2211149(231)36a b c a b c ⎛⎛⎫++++≥=++= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当2233a b c ===时取等号，1119,9ab bc ca abc a b c∴++≥∴++≥．（2）由基本不等式得494a b b c c a +≥+≥+≥以上三式当且仅当4493a b c ===时同时取等号，将以上三式相加得49948a b b c c a ≤+++++=，即4≤．。
宁夏回族自治区银川一中2022届高三一模数学(理)试题
一、单选题二、多选题1. 已知复数，则复数的虚部为（ ）A．B．C．D．2.已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ）A．B．C．D．3.已知在数列中，且，设为的前项和，若，则（ ）A ．8B ．12C ．16D ．724. 已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，点M 在抛物线C 上，过点M作，为垂足，已知直线的斜率为2，的面积为10，则p 等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．105. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为（）A．B．C．D．6. 已知，，，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．7. 设复数满足（其中为虚数单位），则（ ）A．B．C．D．8.已知函数，则要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位9. 若z 满足，则（ ）A ．z 的实部为3B ．z 的虚部为1C．D ．z 对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为310.下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的，，，都是以O 为圆心的圆弧，CMNK 是为计算所做的矩形，其中M ，N ，K 分别在线段OD ，OB ，OA上，，．记宁夏回族自治区银川一中2022届高三一模数学（理）试题宁夏回族自治区银川一中2022届高三一模数学（理）试题三、填空题四、解答题，，，，则（）A．B．C．D．11. 已知复数满足，则（）A．的虚部为B．C．在复平面内对应的点在第四象限D．若复数满足，则12.等差数列中，，，若，，则（）A．有最小值，无最小值B．有最小值，无最大值C．无最小值，有最小值D ．无最大值，有最大值13.在中，已知，则的面积_______．14. 如图所示，一圆形纸片的圆心为，是圆内一定点（不同于点），是圆周上一动点，把纸片折叠使与重合，然后抹平纸片，折痕为，设与交于点，则点的轨迹是_____15. 已知椭圆与双曲线的离心率分别为，，且有公共的焦点，，则___________.若为两曲线的一个交点，则___________.16.如图，在直三棱柱中，，，点，分别为和的中点，（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．17.如图，为正三角形，平面平面，点分别为的中点，点在线段上，且．(1)证明：直线与直线相交；(2)求平面与平面夹角的余弦值．18.已知动点Q到点的距离与到直线的距离之比为，Q点的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知，，A，B为曲线C上异于M，N的两点，直线，相交于点T，点T在直线上，问直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标：若不过定点，请说明理由.19. 今年上半年“新冠肺炎”全球大爆发.在某个时间点，某城市从有人发病到发现人传人时，已有发病人数（千人），从此时起，每周新增发病人数（单位：千人）与时间（单位：周）之间近似地满足，且当时，（千人）.为阻止病毒蔓延，该城市第3周后果断采取了封城的隔离措施，再经过2周后隔离措施产生了效果，新增发病人数.（1）求该城市第5，6，7周新增发病人数；（2）该城市从发现人传人时，就不断加大科技投入，第周治愈人数（单位：千人）与时间（单位：周）存在关系，为了保障每一位“新冠肺炎”病人能及时入院治疗，该城市前9周（不考虑死亡人数的前提下）至少需准备多少张床位？（注：出院人数不少于新增发病人数时，总床位不再增加）20. 设向量，，定义一种向量．已知向量，，点为函数图象上的点，点为的图象上的动点，且满足（其中为坐标原点）．(1)求的表达式并求它的周期；(2)把函数图象上各点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象．设函数，试讨论函数在区间内的零点个数．21. 已知椭圆C：的右焦点F与抛物线E：的焦点相同，曲线C的离心率为，为E上一点且.(1)求曲线C和曲线E的方程；(2)若直线l：交曲线C于P､Q两点，交y轴于点R.（i）求三角形POQ面积的最大值（其中O为坐标原点）.（ii）若，求实数的取值范围.。
2023年宁夏银川一中高考数学一模试卷(理科)+答案解析(附后)
2023年宁夏银川一中高考数学一模试卷（理科）1. 以下五个写法中：①；②；③；④，正确的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则( )A.B.C. D.3.已知命题p ：，，则p 的否定为( )A.， B. ，C. ，D.，4. 已知点，，则满足下列关系式的动点M 的轨迹是双曲线C 的上支的是( )A. B.C.D.5. 祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为的平面截该几何体，则截面面积为( )A.B. C.D.6. 已知函数，对任意，都有成立，则a的取值范围是( )A. B.C.D.7. 已知为等比数列，是它的前n 项和.若，且与的等差中项为，则等于( )A. 37B. 35C. 31D. 298. 为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉.如图所示，喷头装在管柱OA 的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状.现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA 所在直线的距离为2m，且水流落在地面上以O为圆心，6m为半径的圆内，则管柱OA的高度为( )A. 2mB. 3mC.D.9. 如图所示的直角坐标系中，角、角的终边分别交单位圆于A、B两点，若B点的纵坐标为，且满足，则的值为( )A.B.C.D.10. 长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是，夏季来的概率是，如果冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬捕，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择两处参观，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为( )A. B. C. D.11. 已知函数，若，其中，则的最小值为( )A. B. C. D.12. 如图，在三棱锥中，侧棱平面ABC，，，侧棱SB与平面ABC所成的角为，M为AC的中点，N是侧棱SC上一动点，当的面积最小时，异面直线SB与MN所成角的正弦值为( )A.B.C.D.13. 已知的展开式中，二项式系数之和为64，则展开式中常数项为______ .14. 经过点，且被圆C：所截得的弦最短时的直线l的斜率为______ .15.已知公差不为0的等差数列的前n项和为，若，，，则的最小值为______.16. 等腰直角的斜边AB的端点分别在x，y的正半轴上移动点不与原点O重合，，若点D为AB中点，则的取值范围是______.17. 近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展，某城市推出了两套方案，并分别在A，B两个大型居民小区内试行，方案一：进行广泛的宣传活动，通过设立宣传点、发放宣传单等方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：智能化垃圾分类，在小区内分别设立分类垃圾桶，垃圾回收前端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过设备进行自动登录、自动称重、自动积分等一系列操作，建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾分类换积分，积分可兑换礼品等，激发了居民参与垃圾分类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类，经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分满分100分，将数据分成6组并整理得到如图频率分布直方图：请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎同一组中的数据用该组中间的中点值作代表；以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成推行此方案，低于70分说明居民不太赞成推行此方案.现从B小区内随机抽取5个人，用X表示赞成该小区推行方案的人数，求X的分布列及数学期望.18.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，为PD的中点，点F在PC上，且在求证：平面平面PAD；求二面角的余弦值；设点G在PB上，且判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.19. 重庆某公园有两块三角形草坪，准备修建三角形道路不计道路宽度，道路三角形的顶点分别在草坪三角形的三条边上．第一块草坪的三条边米，米，米，若，如图，区域内种植郁金香，求郁金香种植面积．第二块草坪的三条边米，米，米，M为PQ中点，如图，区域内种植紫罗兰，求紫罗兰种植面积的最小值．20. 已知椭圆的焦距为2，经过点，若点P是椭圆C上一个动点异于椭圆C的左右顶点，点，，，直线PN与曲线C的另一个公共点为Q，直线EP与FQ交于点求椭圆C的标准方程；求证：当点P变化时，点M恒在一条定直线上.21.已知函数的图像与直线l：相切于点求函数的图像在点处的切线在x轴上的截距；求c与a的函数关系；当a为函数的零点时，若对任意，不等式恒成立.求实数k 的最值.22. 如图，在极坐标系Ox中，点，曲线M是以OA为直径，为圆心的半圆，点B在曲线M上，四边形OBCD是正方形．当时，求B，C两点的极坐标；当点B在曲线M上运动时，求D点轨迹的极坐标方程．23. 已知若a、b、c均为正数，证明：，并且写出等号成立的条件；若，且恒成立，求a的取值范围.答案和解析1.【答案】C【解析】解：“”用于表示集合与元素的关系，故：①正确；空集是任一集合的子集，故②正确；根据集合元素的无序性，可得③正确；空集与任一集合的交集均为空集，故④错误故选：根据“”用于表示集合与元素的关系，可判断①的真假；根据空集的性质，可判断②④的正误；根据合元素的无序性，可判断③的对错，进而得到答案．本题考查的知识点是元素与集合关系，空间的性质及集合相等的概念，熟练掌握集合的基本概念及性质是解答本题的关键．2.【答案】D【解析】解：复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，，故选：根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的运算，即可求解．本题主要考查复数的几何意义，以及复数的运算，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：命题，的否定是：，故选：对原命题“改量词，否结论”即可求得结果．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属基础题．4.【答案】A【解析】解：对A选项，，，又，动点M的轨迹是双曲线C的上支，选项正确；对B选项，，，又，动点M的轨迹是双曲线C的下支，选项错误；对C选项，，，又，动点M的不表示任何图形，选项错误；对D选项，，，又，动点M的轨迹是双曲线，选项错误．故选：根据双曲线的定义，即可分别求解．本题考查双曲线的定义，属基础题．5.【答案】D【解析】解：由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2，高为2，截面为圆环，大圆半径为2，设小圆半径为r，则，所以，所以截面圆环的面积为；故选：根据三视图知该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得到截面为圆环，根据圆环面积公式计算即可．本题考查了几何体得到三视图以及截面面积的计算问题，也考查了空间几何体的结构特征，是基础题．6.【答案】B【解析】解：对任意，都有成立，函数在定义域内单调递增，函数，，解得，故实数a的取值范围为故选：根据条件可知函数在定义域内单调递增，可得，结合分段函数的性质可得，即可得出答案．本题考查分段函数的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：，，解得，与的等差中项为，，解得，设等比数列的公比为q，则，解得，，，故选：根据等比数列的性质可得，解得结合，解得，利用等比数列的通项公式求出首项和公比的值，即可得出答案．本题考查等比数列和等差数列的综合，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．.8.【答案】B【解析】解：以B为原点，分别以过点B平行于地面及垂直于地面的直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，故可设抛物线方程为，由题意可知，，，，则，故，则，解得，抛物线方程为，由题意可设，则，解得，故故选：先建立平面直角坐标系，根据已知条件，求出抛物线的方程，再结合A点的横坐标，即可求解．本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由题意可得，，，又，可得：，可得，，即，则故选：由题意可得的值，先由三角形的面积公式求得，可得，将所求利用三角函数恒等变换的应用化简即可求解．本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，两角和差的三角函数以及二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：设事件“冬季去吉林旅游”，事件“夏季去吉林旅游”，事件“去了一眼望三国”，则，，在冬季去了“一眼望三国”的概率为，在夏季去了“一眼望三国”的概率为，某人去了“一眼望三国”景点的概率为：故选：根据古典概型分别求出冬季去了“一眼望三国”和夏季去了“一眼望三国”的概率，再结合全概率公式能求出某人去了“一眼望三国”景点的概率．本题考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】A【解析】解：因为，由上面结论可得，所以，其中，则，当时，，当且仅当，时等号成立；当时，，当且仅当，时等号成立；因为，所以的最小值为故选：根据得到，即，然后分和两种情况，利用基本不等式求最小值即可．本题主要考查基本不等式的运用，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：由题意知为等腰直角三角形，因为M为AC的中点，所以又平面ABC，所以，所以平面SAC，所以，故的面积由题意知，所以，所以，当MN最小时，的面积最小，此时当时，过S作，交CA的延长线于点E，则，连接BE，则为异面直线SB与MN所成的角或其补角．因为平面ABC，所以为直线SB与平面ABC所成的角，所以，所以，所以，又，所以，所以，，在中，由题意知，所以由余弦定理得：，故当的面积最小时，异面直线SB与MN所成角的余弦值为故选：推导出为等腰直角三角形，，，从而平面SAC，，当MN最小时，的面积最小，此时，过S作，交CA的延长线于点E，则，连接BE，则为异面直线SB与MN所成的角或其补角．由此能求出异面直线SB与MN所成角的正弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】【解析】解：根据题意，的展开式中，二项式系数之和为64，则，解可得，则的展开式为：，令可得：，即展开式中常数项为；故答案为：根据题意，由展开式的二项式系数之和为64，即，求出n的值，进而求出展开式，分析可得答案．本题考查二项式定理的应用，关键是求出n的值，属于基础题．14.【答案】【解析】解：根据题意，圆C：的圆心C为，当CP与直线l垂直时，点P且被圆C所截得的弦最短，此时，则直线l的斜率故答案为：根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线垂直的性质，即可求解．本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．15.【答案】【解析】解：①当时，，，，，，，令得，，的最小值为，②当时，，不符合题意，综上所述，的最小值为，故答案为：对的值进行分类讨论，结合等差数列前n 项和最值的求法得到的最小值．本题主要考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于中档题．16.【答案】【解析】解：如图，设，则，，线段AB 的中点，，，则有，又，，由得，故答案为：设，用的正余弦表示出C 、D 的坐标，结合向量模的坐标表示及三角函数的性质求解作答．本题考查图形上的点的变化引起的线段长度，面积等问题，若点的运动与某角有关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决，属于中等难度题．17.【答案】解：设A 小区方案一的满意度平均分为，B 小区方案二的满意度平均分为，由频率分布直方图可得，，，，方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎；由题意可知方案二中，满意度不低于70的频率为，低于70分的频率为，现从B小区内随机抽取5个人，用X表示赞成该小区推行方案的人数，则，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，，，，，，，故X的分布列为：X012345P故【解析】根据已知条件，结合平均数公式，即可求解；由题意可得，，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，依次求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，考查期望公式的应用，属于中档题．18.【答案】解：证明：平面ABCD，平面ABCD，，又由题意可知，且，平面PAD，又平面PCD，平面平面PAD；以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x 轴，AD ，AP 方向为y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则根据题意可得：，，，，由，可得点F 的坐标为，由，可得，，，设平面AEF 的法向量为，则，取，又平面AEP 的一个法向量为，，又二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为；直线AG 不在平面AEF 内，理由如下：点G 在PB 上，且，，平面AEF 的法向量，，故直线AG 不在平面AEF 内． 【解析】根据线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，即可证明；建系，根据向量法，向量夹角公式，即可求解；根据向量法，向量数量积运算，即可求解．本题考查线面垂直的判定定理，面面垂直判定定理，向量法求解二面角问题，属中档题．19.【答案】解：，米，米，在中，运用余弦定理可得，，，，在中，，设，则，在中，，，由正弦定理可得，，可得，所以，，，故当时取得最小值450平方米．【解析】本题主要考查解三角形实际应用，以及正余弦定理，需要学生较强的综合能力，属于较难题．根据已知条件，结合余弦定理和三角形面积公式，即可求解．根据已知条件，结合正弦定理，以及三角含的和差化积公式，即可求解．20.【答案】解：椭圆的焦距为2，经过点，，解得，所以椭圆C的标准方程为设直线PQ的方程为：，，，联立方程得：，则，，所以，又直线PE的方程为：，又直线QF 的方程为：，联立方程得：，把代入上式得：，所以当点P 运动时，点M 恒在定直线上．【解析】由题意可知，求解可得椭圆C 的标准方程；设直线PQ 的方程为：，，，联立方程组可得，，进而可得PE ，QF 的方程，联立直线方程组可得，可求x 为定值．本题考查椭圆方程的求法，考查点的轨迹是定直线，属中档题．21.【答案】解：，，，函数的图像在点处的切线方程是：令得，所以该切线在x 轴上的截距等于，，函数的图像在处的切线方程是：，即，两端乘以b 变作：①．又已知函数的图像在点处的切线方程是：②．直线①与直线②重合，则③，④，联立③④消去b 得，所以c 与a 的函数关系为：函数的零点为，时对，恒成立，转化为对，不等式恒成立．①当时，对恒成立，此时②当时，恒成立．设，求得时，由得，由得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以当时，取得极小值，，此时③当时，恒成立．与②同，设，令，则，在上单调递增．所以，时，得，在上单调递减．所以，时，取得最大值，此时整合①②③三种情形，得，且等号都取得到．所以，实数k的最大值为3，最小值为【解析】利用导数求切线方程，进而求出截距；先求出函数在处的切线方程，对照系数消去b即可得到；把题意转化为对，不等式恒成立．对x分类讨论：①直接判断；②时，利用分离参数法得到恒成立．设，求得利用导数求出；③当时，与②同，求出k的范围．本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：根据题意：当时，所以，点，在正方形OBCD中，，所以设，，所以，由题意知曲线M的极坐标方程，将上式代入点D的极坐标方程得到【解析】直接利用转换关系，求出点B和D的极坐标；利用极径的应用求出曲线D的方程．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】证明：因为，，，所以，，，三式相加可得，，当且仅当时取等号，又，所以，当且仅当时取等号．解：若，因为，则，所以，则，因为恒成立，则，因为，当且仅当时取等号，所以，解得或，故实数a的取值范围为【解析】三次利用基本不等式，再利用不等式的基本性质证明即可；利用绝对值不等式的结论求出的最小值，由题意可知，，求解不等式即可得到答案．本题考查了不等式恒成立问题，不等式的证明，基本不等式的应用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．。
银川市高考数学一模试卷(理科)(II)卷
银川市高考数学一模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)2. （2分）已知等差数列的公差，前项和满足：，那么数列中最大的值是（）A .B .C .D .3. （2分） (2020·海南模拟) 将函数的图象向左平移个长度单位后得函数的图象，则函数的图象的一条对称轴方程为（）A .B .C .D .4. （2分）(2018·辽宁模拟) 已知当时，关于的方程有唯一实数解，则值所在的范围是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一下·广东期末) 在△ABC中，，AC=1，∠A=30°，则△ABC面积为（）A .B .C . 或D . 或6. （2分）已知tanα＝4，cotβ＝，则tan（α＋β）等于（）A .B .C .D .7. （2分）抛物线y2＝8x的焦点到双曲线－＝1的渐近线的距离为（）A . 1B .C .D .8. （2分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为（）A . 8B .C .D . 411. （2分） (2017高二下·张家口期末) 五名同学站成一排，若甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的站法有（）A . 36种B . 60种C . 72种D . 108种二、填空题 (共4题；共4分)15. （1分） (2016高一下·宜昌期中) 在等比数列{an}中，a1=2，前n项和为Sn ，若数列{an+λ}（λ≠0）也是等比数列，则Sn等于________16. （1分）在平面直角坐标系xOy中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若•=0，=λ，则实数λ的值为________三、解答题 (共7题；共70分)17. （5分） (2016高一上·承德期中) 已知函数f（x）=1+ ．（Ⅰ）是否存在实数a的值，使f（x）为奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（Ⅱ）若a=1，t（2x+1）f（x）＞2x﹣2对x∈R恒成立，求实数f（x）的取值范围．18. （10分） (2017高三上·唐山期末) 在中,角、、所对的边分别为、、 .已知 .（1）求；（2）若，求 .19. （10分）某单位生产A、B两种产品，需要资金和场地，生产每吨A种产品和生产每吨B种产品所需资金和场地的数据如表所示：资源资金（万元）场地（平方米）产品A2100B350现有资金12万元，场地400平方米，生产每吨A种产品可获利润3万元；生产每吨B种产品可获利润2万元，分别用x，y表示计划生产A、B两种产品的吨数．（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问A、B两种产品应各生产多少吨，才能产生最大的利润？并求出此最大利润．22. （10分）(2017·河北模拟) 已知在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求椭圆C的极坐标方程；（2）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求x+2y的取值范围．23. （10分） (2017高三上·会宁期末) 已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（1）求证：﹣3≤f（x）≤3；（2）解不等式f（x）≥x2﹣2x．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、11-1、二、填空题 (共4题；共4分)15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、18-1、18-2、19-1、答案：略19-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2020届银川一中第一次摸拟试数学理科试题答案
设平面
PAB
的法向量为 n
(x, y, z)
n AP
x
y
2z
0
n
2, 0,1 …………………………………………10 分
n AB 4y 0
AC 与面 PAB 所成角 的正弦值 sin | cos ＜ n, AC ＞|=
由（1）（2）且 BC 与 AE 相交，可得 PO 面 ABCE ……………………6 分
（2）作 OG ∥ BC 交 AB 于 G ，可知 OG、 OF、OP 两两 垂直，建立直角坐标系{OG,OF,OP},
……7 分
A(1, 1, 0), B(1,3, 0),C(1,3, 0), P(0, 0 2) AC (2, 4, 0), AP (1,1, 2), AB (0, 4, 0) …………………………8 分
又 0 A π ，所以 sin A 0 ，得 2 cos A 1，所以 A π ．…… 6 分 3
（2）由△ABC 的面积为 3 3 及 A π 得 1 bc sin π 3 3 ，即 bc 6 ，……8 分
2
32
32
又 a 3 ，从而由余弦定理得 b2 c2 2bc cos A 9 ，所以 b c 3 3 ，……10 分
∴需 4m2t 4 4(t 2 3)(t 2m2 3) 0
（**）
且有
y1
y2
2mt t2
2
3
,
y1
y
2
t2m2 3 t2 3
（***）
（***）代入（*）得 t 2m2 3 m 2mt 2 0 ，∴ (mt)2 1，
2022年银川市高三数学(理)高考第一次模拟考试卷附答案解析
2022年银川市高三数学（理）高考第一次模拟考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，若，，则（）A. B. C. D.2. ，则（）A. B. C. D.3. 某高校有4名大学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务．冬奥会志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶、短道速滑、花样滑冰3个项目比赛的志愿服务，每个项目至少安排一名志愿者，则不同的安排方法有（）A．72 种B．81种C．6种D．36种4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，5. 2022年北京冬奥会成功举办，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领相关户外用品行业市场增长．下面是2015年至2021年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面结论中正确的是（）A．2016年-2021年,中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年下降B．2016年-2021年,中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等,所以同比增长人数也近似相等C．2016年-2021年,中国雪场滑雪人次逐年增加D．2016年-2021年,中国雪场滑雪人次增长率为12.6 %6．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，，成等差数列，则（）A．B．C．D．57.已知命题命题某物理量的测量结果服从正态分布，则该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等．下列命题中的假命题是（）A. B. C．D．8.已知函数，则下列结论中错误的是（）A．的最小正周期为B．是图象的一个对称中心C．将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象D．是图象的一条对称轴9. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，为等腰三角形，若E，F分别是AB，SC的中点，则异面直线EC与BF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10. 若函数在上的最大值与最小值之和为（）A．6 B．3 C．4 D．811.已知抛物线上一点，F为焦点，直线FA交抛物线的准线于点B，满足,则（）A．B．C．D．12. 若，则（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题 ,每小题5分,共20分．13.已知变量满足约束条件则的最小值为________．14.已知非零向量，，满足且，则向量与的夹角为________．15.若直线与圆交于M、N两点，则弦长的最小值为___．16.我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.现有一张半径为的圆形纸，对折次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两个之一进行第次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形规格相同.如果把次对折后得到的不同规格的图形面积和用表示，由题意知，，则_______；如果对折次，则________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）在中，分别为内角的对边，若（1）求（2）若求周长的取值范围.18.（本小题满分12分）2022年2月1日是春节，百节年为首，春节是中华民族最隆重的传统佳节，为拉动春节全民消费，宁夏某市政府分批发行2亿元政府消费券．为了解政府消费券使用人群的年龄结构情况，在发行完第一批政府消费券后，该市政府采用随机抽样的方法在全市市民中随机抽取了200人，对是否使用过政府消费券的情况进行调查，部分结果如表所示，其中年龄在45岁及以下的人数占样本总数的，没使用过政府消费券的人数占样本总数的．（1）请将题中表格补充完整，并判断是否有的把握认为该市市民是否使用政府消费券与年龄有关？（2）为配合政府消费券的宣传，现需该市45岁及以下的3位市民参与线上访谈．用随机抽样的方法从该市45岁及以下市民中每次抽取1人，共抽取3次，每次抽取的结果相互独立．记抽取的3人中“没使用过政府消费券”的人数为，以样本频率作为概率，求随机变量的分布列和数学期望．附：，其中．19.（本小题满分12分）如图，已知直三棱柱，，，分别为线段，，的中点，为线段上的动点，，. （1）若，试证；（2）在（1）的条件下，当时，试确定动点的位置，使线段与平面所成角的正弦值为.20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC 、BD 过原点O ，直线AC 和BD 的斜率之积为，证明：四边形的面积为定值． 21.（本小题满分12分）已知函数，.（1）若，求函数的单调区间；（2）若，且，证明：.0.15 0.10 0.05 0.0252.0722.7063.8415.024()20P K k ≥（二）选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将通过伸缩变换后，得到曲线．（1）求的普通方程；（2）过点作直线交曲线于两点，，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）已知函数的最小值为t，正实数a，b，c满足，证明：．1．C【分析】求出集合后可求. 【详解】因为，，所以.故选：C. 2．B【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的模长公式即得解 【详解】由题意，故选：B 3．D 【分析】利用两角和的余弦公式及同角三角函数的基本关系得到，再利用同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得； 【详解】解：由，即，，则，所以.故选：D 4．A【分析】由已知条件求得，然后利用公式可求得该双曲线的离心率的值.【详解】由题设，所以，，则故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，在涉及渐近线的问题时，利用公式计算较为方便，考查计算能力，属于基础题. 5．C【分析】设出底面半径，利用侧面积求出半径，进而利用圆锥体积公式进行所求解. 【详解】设该圆锥体交通锥的底面半径为r ，则，解得：，所以该圆锥体交通锥的体积为故选：C 6．D【分析】依题意根据奇函数的性质得到，即可得到，代入函数解析求出，最后根据计算可得；【详解】解：依题意得，，由，即，得，所以当时，所以.故选：D7．B 【分析】由题意，10组随机数中，表示“3轮滑跳全都不成功”的有659，845，利用对立事件，即可得到答案；,A B A B {}24A x x =-<<{}32B x x =-<<{}22A B x x ⋂=-<<()()32i 1i 32i 15i ||1i 22----====+tan α2cos sin 6παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭2cos cos 2sin sin sin 66ππααα-=sin sin ααα-=tan α=222sin cos tan sin cos sin cos tan 1αααααααα===++221b a =e =1b b a a -⨯=-221b a =c e a ===e =π65πr =5r 2125π100π3⨯=()00f =()3e f =-a ()()11f f -=-()00f =()()f x f x -=-()()0e 3f f +=-()ln 3e e e2af =+=-8e a =-0x >()4n e l f x x x =-()()411ln e 1e 14f f ⎛⎫-=-=--= ⎪⎝⎭由题意，10组随机数中，表示“3轮滑跳全都不成功”的有659，845，共2个，所以估计谷爱凌“3轮滑跳中至少有1轮成功”的概率为.故选：B8．C【分析】模拟执行程序，即可得到输出结果； 【详解】解：模拟执行程序可知：第1循环，，，不满足， 第2次循环，，，不满足， 第3次循环，，，不满足， 第4次循环，，，不满足， 第5次循环，，，不满足， 第6次循环，，，不满足， 第7次循环，，，不满足， 第8次循环，，，不满足，第9次循环，，，满足，故输出的值是9.故选：C 9．C【分析】设第n 轮感染的人数为，则数列是，公比的等比数列，利用等比数列求和公式，结合，即可得到答案；【详解】设第n 轮感染的人数为，则数列是，公比的等比数列，由，可得，解得，两边取对数得，则，所以，故需要的天数约为.故选：C 10．B 【分析】依题意可得且，且，即可得到平面，再判断与为相交直线，即可判断②②，由四边形为梯形，所以与必相交，设交点为，即可得到，从而判断②； 【详解】解：因为，所以且，又分别为的中点，所以且，则，又平面，平面，所以平面，因为为的中点，为的一个三等分点，所以与为相交直线，故与平面必不平行，也不平行平面，因为为梯形，所以与必相交，设交点为，又平面，平面，则是平面与平面的一个交点， 所以，即直线交于一点，故选：B. 11．B【分析】根据题意得到，利用余弦定理和面积公式，化简得到，结合，得到，即可求解. 【详解】由，可得，由余弦定理可得.210.810-=1n =1S =40?S >2n =123S =+=40?S >3n =336S =+=40?S >4n =6410S =+=40?S >5n =10515S =+=40?S >6n =15621S =+=40?S >7n =21728S =+=40?S >8n =28836S =+=40?S >9n =36945S =+=40?S >n n a {}n a 12a =2q lg20.3010≈n a {}n a 12a =2q ()2121199912nn S ⨯-+=+=-121000n +=2500n =lg 2lg500n =lg 23lg 2n =-33118.979lg 20.3010n =-=-≈=9763⨯=//GH BD 23HG BD =//EF BD 12EF BD =//BD EGHF FH AC EFHG EG FH M M AC ∈::BG GC DH HC =//GH BD 23HG BD =,E F ,AB AD //EF BD12EF BD =//EF GH BD ⊄EGHF GH ⊂EGHF //BD EGHF F AD H CD FH AC FH ABC AC EGHF EFHG EG FH M EG ⊂ABC FH ⊂ACD M ABC ACD M AC ∈,,GE HF AC 2cos 6b A a +=()222226144a Sbc -=-222222b c b c ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭42232416a a S -+≤26AB AC a ⋅+=2cos 6b A a +=22212a b c ++=因为的面积，所以，因为，所以，故当时，取得最大值3，此时故选：B. 12．A 【分析】 先求出函数的单调区间，根据题意得出参数的范围，设，则，由，得出函数在上的零点情况出答案.【详解】由，，得，， 取，可得.若在上单词递增，则， 解得.若，则. 设，则，因为 所以函数在上的零点最多有2个.所以在上的零点最多有2个.故选：A 13．6【分析】依题意画出可行域，数形结合，即可求出的最大值； 【详解】解：画出可行域如下所示：由，解得，即，由，则，平移，由图可知当经过点时，取得最大值，即，即最大值为6.ABC 1sin 2S bc A =()()222222222222611611cos 14444a a S b c A b c b c bc ⎡⎤-⎛⎫-=-=-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦222222b c b c ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭()()()()222222222422612632416416416b c a a a a a S +----+≤-=-=24a =2S S =()f x ω6t x πω=+,266t ππωπ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭172,666πππωπ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦sin y t =,266ππωπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭22262k x k ππππωπ-+++≤≤k ∈Z 22233k k x ππππωωωω-++≤≤k ∈Z 0k =233x ππωω-≤≤()f x ,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦23634ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩403ω<≤()0,2x π∈,2666x πππωωπ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭6t x πω=+,266t ππωπ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭172,666πππωπ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦sin y t =,266ππωπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x ()0,2πz 200x y x -+=⎧⎨=⎩02x y =⎧⎨=⎩()0,2B 32z y x =-2133y x z =+23y x =21:33l y x z =+()0,2B z max 32206z =⨯-⨯=z故答案为：6 14．1【分析】根据题意，由在R 上恒成立求解. 【详解】因为函数在R 上单调递增，所以在R 上恒成立， 即在R 上恒成立，所以.故答案为：1 15． 【分析】由题意可得到P 到AB 中点距离的最大值和最小值，然后根据数量积的运算，可得到答案. 【详解】设C 为AB 的中点，如图示：由题意可知： ,则，又因为，所以的取值范围是,故答案为：16． 【分析】过M 作C 的一条切线，切点为Q ，设，根据在抛物线上存在点N ，使得，得到，然后求得当时的即可. 【详解】过M 作C 的一条切线，切点为Q ，如图所示：设，因为在抛物线上存在点N ，使得， 所以，当时，直线MQ 的方程为，将代入，可得，由，解得，所以的取值范围为.故答案为： 17．(1)(2) 【分析】()sin 0f x m x '=+≥()cos f x mx x =-()sin 0f x m x '=+≥sin m x ≥-1m ≥[]21,119-2||12PC ≤≤()()22225PA PB PC CA PC CB PC CB PC ⋅=+⋅+=-=-[]2,12PC ∈PA PB ⋅[]21,119-[]21,119-[)1,0-OMQ θ∠=2:4C y x =45OMN ∠=︒45θ≥︒=45θ︒0x OMQ θ∠=2:4C y x =45OMN ∠=︒45θ≥︒=45θ︒0y x x =-0y x x =-24y x =20440y y x --=016160x ∆=+=01x =-0x [)1,0-[)1,0-21n a n =-22n S n =（1）设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式得到，即可求出、，从而得到通项公式；（2）由（1）可得，即可得到，利用并项求和法计算可得；(1)解：设等差数列的公差为，所以，所以，所以，解得，则.(2)解：因为且，所以，所以，所以.18．(1)甲需要选择置换，理由见解析；(2)分布列答案见解析，数学期望：.【分析】（1）利用条件概率即求；（2）由题可得的可能取值为0，100，分别求概率，即得.(1)甲需要选择置换.理由如下：若甲同学不选择置换，则获得有100元的红包的概率为，若甲同学选择置换，若甲同学第一次抽到100元，概率为，置换后概率为0，故为，若甲同学第一次没有抽到100元，概率为，置换后概率为，故为；则获得有100元的红包的概率为，因为，所以甲需要选择置换.(2)由题可知的可能取值为0，100.，，.19．(1)证明见解析【分析】（1）连接，通过证明和可得答案；（2）以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出面和面的法向量，利用夹角公式求解即可.(1)证明：连接.因为平面，所以又因为，且为平行四边形，{}na d1122n na a dn a d++=+-1a d()21,21,nn nbn n-⎧⎪=⎨--⎪⎩为偶数为奇数2122k kb b-+={}na d()111na a n d nd a d=+-=+-11224n na a dn a d n++=+-=12420da d=⎧⎨-=⎩121da=⎧⎨=⎩21na n=-21na n=-cosn nb a nπ=()()21,21cos21,nn nb n nn nπ-⎧⎪=-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数()()21243412k kb b k k-+=--+-=()()()212342122n n nS b b b b b b n-=++++++=37.5X14141004⨯=3412313428⨯=3388+=3184>X()31008P X==()350188P X==-=()3010037.588E X=⨯+⨯=AC PA AE⊥AE AD⊥A AE AD AP x y z AEFABCDAC PA⊥ABCD PA AE⊥AB AD=ABCD，所以为等边三角形.又因为为的中点，所以又因为，所以，因为，所以平面，又平面，所以平面平面.(2)解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，因为平面，所以是平面的一个法向量.设平面的法向量为，由，，可得令，则，即.又二面角的平面角为锐角，所以二面角.20．(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意得到，再由圆与圆相交，结合椭圆的定义得到，进而求得的值，即可求得椭圆方程；（2）当AB垂直于x轴时，得到，，求得AB与x轴不垂直时，设直线的直线方程为，联立方程组得到，结合弦长公式和点到直线的距离公式，求得.(1)解：由椭圆，即，又由圆与圆，可得圆心分别为，半径分别为，因为圆与圆相交，两圆的交点在椭圆E上，可得，解得，则，3ABCπ∠=ABCE BC AE BC⊥AD BC∥AE AD⊥PA AD A⋂=AE⊥PAD AE⊂AEF AEF⊥PADA AE AD AP x y z()002P,,)E1,12⎫⎪⎪⎝⎭F()3,0,0AE=31,122⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭AFPA⊥ABCD()0,0,1n=ABCDAEF(),,m x y z=m AE⋅=0m AF⋅=0,10,2y z⎧=++=1z=0x=2y=-()0,2,1m=-1cos,5n mn mn m⋅===F AE D--F AE D--22142x y+=ca=1F2F213a=+,a bA⎛⎝⎭1,B⎛⎝⎭ABCS=△AB y kx m=+1212,x x x x+2122ABCmS AB dm===Ecea==()221:1F x c y++=()222:9F x c y-+=12(,0),(,0)F c F c-121,3r r==()221:1F x c y++=()222:9F x c y-+=12213a r r=+=+2a=c=可得E 的方程为. (2)证明：设，，当AB 垂直于x 轴时，，因为O 为△ABC 的重心，所以或.根据椭圆的对称性，不妨令，此时，，可得. 当AB 与x 轴不垂直时，设直线的直线方程为，联立方程组，整理得，则，，设，则，.代入，得， 又由，原点到的距离，所以，所以，即的面积为定值. 21．(1)答案见解析(2)【分析】（1）求导，讨论导函数的符号变化进行求解；（2）分三种情况进行讨论：当时，适当放缩进行证明；当时，证明恒成立；当时，根据函数的单调性确定最小值，再讨论、进行求解. (1)解：，，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增.(2)解：若，因为，取，则，，，此时，故此时不可能恒成立.若，此时恒成立.若，则在上单调递减，在上单调递增，故的最小值在处取到，即，而. 显然当时，，，此时.b 22142x y +=()11,A x y ()22,B x y 12x x =()2,0C ()2,0C -()2,0C -A ⎛ ⎝⎭1,B ⎛ ⎝⎭ABC S =AB y kx m =+22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()()222124220k x kmx m +++-=122421km x x k +=-+()21222221m x x k -=+()33,C x y ()3122421km x x x k =-+=+()3122221m y y y k -=-+=+22142x y +=22122k m +=12AB x =-O AB d =1122ABCS AB d ==22122m m k m ==+3ABC OAB S S ==△△ABC []0,e 0a <0a =()0f x >0a >()f x e a >0e a <≤()()()()11x x a a f x x a x x+-=+--='()0,x ∈+∞0a ≤()f x ()0,∞+0a >()f x ()0,a (),a +∞0a <()()()22e ln 22x f x x ax a x ⎛⎫=+++-+- ⎪⎝⎭71min 1,e a x a ⎧⎫=-+⎨⎬⎩⎭222e e 36222x x +++<<()11ax a a ⎛⎫-≤-⋅-= ⎪⎝⎭()7ln ln e 7aa x a -≤-⋅=-()()6170f x <++-=()0f x ≥0a =()22e 022x f x x =++>0a >()f x ()0,a (),a +∞()f x x a =()0f a ≥()()2222e e ln 1ln 222a a f a a a a a a -=-+-+=+-0e a <≤22e 02a -≥()1ln 0a a -≥()0f a ≥当时，，，此时，故.综上所述. 22．(1)【分析】（1）平方相加进行消参即可；（2）由在圆上，设，，表示出后借助三角恒等变换化简得，再结合单调性求出最小值.(1)由题可知，，所以． 因为，所以C 的直角坐标方程为． (2)点是曲线C 上在第一象限内的一动点，令，，，则 ， 因为上式在上单调递减，故当．23．(1)(2)【分析】(1)首先分类讨论去绝对值，再求解不等式；（2）首先讨论时，的范围，当时，不等式化简为，利用含绝对值三角不等式求最值，即可求得的取值范围.(1)不等式等价于或或解得或．故原不等式的解集为．(2)当时，不等式恒成立，即．当时，可化为，因为，当且仅当时等号成立所以，即a 的取值范围为．e a >22e 02a-<()1ln 0a a -<()0f a <0e a <≤[]0,e a ∈()2211x y x +=≠-P cos x θ=sin y θ=33y x x y +2sin 2sin 2-θθ242241212t t x t t -+=++2224412t y t t=++221x y +=222121111t x t t-==-+≠-++()2211x y x +=≠-(),P x y x ⎛⎫⎫∈ ⎪⎪⎪ ⎪⎣⎭⎝⎭cos x θ=sin y θ=0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦3333sin cos cos sin y x x y +=+θθθθ()2222244sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin cos +-⋅+==θθθθθθθθθθ211sin 222sin 21sin 2sin 22-==-θθθθ0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦6πθ={}13x x x 或(),3-∞0x =a 0x ≠2212a x x-++>a ()21,1,3,12,21,2,x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩()2f x x >+1,212x x x <-⎧⎨-+>+⎩12,32x x -≤<⎧⎨>+⎩2,212,x x x ≥⎧⎨->+⎩1x <3x >{}13x x x 或0x =()1f x a x x >-+a R ∈0x ≠()1f x a x x >-+2212a x x-++>222212123x x x x -++≥-++=22120x x ⎛⎫⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3a <(),3-∞。
宁夏银川届高三下学期第一次模拟数学(理科)试卷Word版含答案
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学(银川一中第一次模拟考试)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|230},{1,0,1,2,3}A x x x B =--<=-，则AB =.A {0,1} .B {0,1,2} .C {1,0,1}-.D {1,3}-2．复数z 满足z •i =3﹣i ，则在复平面内，复数z 对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知)1,1(),2,(a n a m -=-=，且n m //，则a= A ．﹣1B ．2或﹣1C ．2D ．﹣24．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2+a 4+a 9=24，则S 9= A ．36B ．72C ．144D ．705．在6)2(y x -的展开式中，含24y x 的项的系数是 A ．15B ．-15C ．60D ． -606．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体， 它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的 A ．43 B ．41 C ．21 D ．83 7．经过原点且与直线20x y +-=相切于点()2,0的 圆的标准方程是A ．()()22112x y -++= B ．()()22112x y ++-= C ．()()22114x y -++= D ．()()22114x y ++-=8．图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法， 若输入121,209==n m ，则输出的m 的值为A ．0B ．11C ．22D ．88 9．下列4个命题中正确命题的个数是（1）对于命题,:0R x p ∈∃使得0120≤-x ，则,:R x p ∈∀⌝都有012>-x ；（2）已知),2(~2σN X ，5.0)2(=>x P ；（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为32ˆ-=x y ； （4）“1≥x ”是“21≥+xx ”的充分不必要条件. A ．1B ．2C ．3D ．410．已知点A 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上一点，F 是右焦点,若AOF ∆(O 是坐标原点)是等边三角形，则该双曲线离心率e 为A B C ．1+ D ．1+11．将函数)62sin(2)(π+=x x f 的图象向左平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到g (x)的图象．若g(x 1)g (x 2)=9，且x 1，x 2∈[﹣2π，2π]，则2x 1﹣x 2的最大值为A ．1249πB ．635πC ．625πD ．417π12．如果定义在R 上的函数f （x ）满足：对于任意x 1≠x 2，都有x 1f （x 1）+x 2f （x 2）≥x 1f （x 2）+x 2f （x 1），则称f （x ）为“环环函数”．给出下列函数：①y =﹣x 3+x +1；②y =3x ﹣2（sinx ﹣cosx ）；③y =e x +1；④f （x ）=⎩⎨⎧<≥)10(0)1(ln x x其中“环环函数”的个数有 A ．3个 B ．2个C ．1个D ．0个第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．若两平面互相平行，第三个平面与这两个平面分别相交于21,l l ，则这两条直线之间的ACPADO位置关系是__________（填写“平行、相交、异面”中的某一种或者某几种）14．设实数,x y 满足101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，则2x y -的最小值为______15．学校艺术节对同一类的D C B A ,,,四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是C 或D 作品获得一等奖”乙说：“B 作品获得一等奖”丙说：“D A ,两项作品未获得一等奖”丁说：“是C 作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_____.16．设数列{}n a 满足122,6a a ==，且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122017201720172017a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分12分）如图，在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，tan BAM ∠=,cos AMC ∠=. （1）求角B 的大小；（2）若角6BAC π∠=，BC 边上的中线AM ABC ∆的面积．18.（本题满分12分）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的 24小时平均浓度不得超过75微克/ 立方米.我市环保局随机抽取了一居 民区2016年20天PM2.5的24小时 平均浓度（单位：微克/立方米）的 监测数据，数据统计如右表：（1）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如右图. ①求右图中a 的值；②在频率分布直方图中估算样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均 浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？ 并说明理由.（2）将频率视为概率，对于2016年的某3天， 记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符 合环境空气质量标准的天数为X ，求X 的分布 列和数学期望.19（本小题满分12分）如图，已知在四棱锥ABCD P -中，O 为AB 中 点，POC ⊥平面平面ABCD ； BC AD //，BC AB ⊥，2====AB BC PB PA ，3=AD . （1）求证：平面⊥PAB 面ABCD （2）求二面角C PD O --的余弦值. 20.（本题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>()2,1P -是1C 上一点（1）求椭圆1C 的方程； （2）设,,A B Q 是点P 分别关于x 轴、y 轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线l 与1C 相交于不同于,P Q 的两点,C D ，点C 关于原点的对称点为E ，证明：直线,PD PE 与y 围成的三角形为等腰三角形.21.（本小题满分12分）已知函数f （x ）=（x 3﹣6x 2+3x +t ）e x ，t ∈R ． （1）当1t =时，函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （2）若函数y =f （x ）有三个不同的极值点，求t 的值；（3）若存在实数t ∈[0，2]，使对任意的x ∈[1，m ]，不等式f （x ）≤x 恒成立，求正整数m 的最大值．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为)4πρθ=+．（1）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点P (2,0)作斜率为1直线l 与圆C 交于,A B 两点，试求11PA PB+的值. 23．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．已知函数()a x x f -=（1）若()m x f ≤的解集为[]5,1-，求实数m a ,的值；（2）当2=a 且20<≤t 时，解关于x 的不等式()()2+≥+x f t x f银川一中2017届高三第一次模拟理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．二、填空题13.平行 14. 3-15. B16. 2016 三、解答题：17. 解：（Ⅰ）由题意可知AMB AMC π∠+∠=，又cos AMC ∠= ……… 1分 所以cos AMB ∠=，sin 7AMB ∠= t a n A M B ∠=……………2分 tan tan tan tan()1tan tan BAM BMAB BAM BMA BAM BMA∠+∠=-∠+∠=--∠⋅∠ ……4分== 又(0,)B π∈， 所以23B π=．…………………6分 （Ⅱ）由（1）知23B π=，且6BAC π∠= 所以，6C π=，则AB BC = …………7分 设BM x =，则2AB x =在AMB ∆中由余弦定理得2222cos AB BM AB BM B AM +-⋅=， …………9分解得1x = ……………………10分 故2124sin 23ABC S x π∆==． ……………………12分 18.19.（Ⅰ）证明： BCAD //，BC AB ⊥， 2BC AB ==，3=AD .OC AD CD ∴=== =+=222BC OB OC 5OC CD ∴⊥ 即CD POC ⊥平面 CD PO ∴⊥AB PB PA ==，O 为AB 中点 ∴AB PO ⊥∴⊥PO 底面ABCD∴⊥CD 平面POC ∴ 平面⊥PAB 面ABCD ……………6分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系xyz O -，则)3,0,0(P ，)0,3,1(-D ，)0,2,1(C∴(0,0,3),(1,3,0),(1,2,3),(2,1,0)OP OD CP CD ==-=--=-假设平面OPD 的一个法向量为),,(111z y x m =，平面PCD 的法向量为),,(222z y x =则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00m OD m OP 可得⎩⎨⎧=+-=0303111y x z ，取11=y ，得31=x ，01=z ，即)0,1,3(=m ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00可得⎩⎨⎧=+-=+--020*******y x z y x ，取32=x ，得322=y ，52=z ，即)5,32,3(=n∴43401035,cos ==>=< 故二面角C PD O --的余弦值为43.……………12分 20.解：（1）由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-1144312222b a a b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==2822b a ，所以椭圆的方程为：12822=+y x . （2）由题意得)1,2(),1,2(B A --，所以直线l 的斜率为21，令直线l 的方程为t x y +=21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=1282122y x t x y ,解得.22,0164,0422222<<->+-=∆=-++t t t tx x 即 令),(),,(2211y x D y x C ，则42,222121-=∙-=+t x x t x x)2)(2()2)(1()2)(1(21211221121122+-++--++--=+---++-=+∴x x x y x y x y x y k k PE PD ， 上式的分子即：04)()2)(1()2)(1(21212112=-+--=+--++--x x t x x x y x y所以，结论得证。
宁夏银川一中2021届高考数学一模试卷(理科) Word版含解析
宁夏银川一中2021届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，设集合A={x|y=ln（x﹣1）}，集合B={x|x≥2}，则A∩（C U B）=( ) A． B．（1，2）C．（1，2]D．A．4 B．12 C．24 D．364．已知复数（1+i）（a+bi）=2+4i（a，b∈R），函数f（x）=2sin（ax+）+b图象的一个对称中心是( ) A．（﹣，1）B．（﹣，0）C．（﹣，3）D．（，1）5．如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中推断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是( )A．i＞100，n=n+1 B．i＞100，n=n+2 C．i＞50，n=n+2 D．i≤50，n=n+26．设a=，则二项式开放式中的x3项的系数为( )A．﹣20 B．20 C．﹣160 D．1607．给出下列四个结论：（1）如图Rt△ABC中，|AC|=2，∠B=90°，∠C=30°．D是斜边AC上的点，|CD|=|CB|．以B为起点任作一条射线BE交AC于E点，则E点落在线段CD 上的概率是；（2）设某高校的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，依据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=0.85x﹣85.71，则若该高校某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；（3）为调查中同学近视状况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些同学眼睛近视是否与性别有关时，应当用独立性检验最有说服力；（4）已知随机变量ξ听从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21；其中正确结论的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．48．一个四周体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四周体的外接球的表面积是( )A．πB．3πC．4πD．6π9．已知z=2x+y，x，y 满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是( )A ．B ．C ．D ．10．对于函数y=f（x），部分x与y的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9y 3 7 5 9 6 1 8 2 4数列{x n}满足x1=1，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y=f（x）的图象上，则x1+x2+x3+x4+…+x2021+x2022的值为( )A．7549 B．7545 C．7539 D．753511．已知F2、F1是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为( )A．3 B ．C．2 D ．12．已知函数f（x）=a（x ﹣）﹣2lnx（a∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x0∈，使得f（x0）＞g（x0）成立，则实数a的范围为( )A．17．△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos 2﹣1）且∥．（Ⅰ）求锐角B的大小；（Ⅱ）假如b=2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．18．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．19．前不久，省社科院发布了2021年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”．随后，师大附中同学会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估量整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．20．已知A，B，C是椭圆m ：+=1（a＞b＞0）上的三点，其中点A的坐标为（2，0），BC过椭圆m的中心，且，且||=2||．（1）求椭圆m的方程；（2）过点M（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且||=||．求实数t的取值范围．21．已知函数f（x）=lnx﹣kx+1（k∈R）（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）证明：+++…+＜（n∈N*且n＞1）请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．选修4-1；几何证明选讲．22．如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P做AP 的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．（1）求证：∠PEC=∠PDF；（2）求PE•PF的值．选修4-4：坐标系与参数方程．23．已知直线l ：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．选修4-5；不等式选讲．24．选修4﹣5；不等式选讲．设不等式|2x﹣1|＜1的解集是M，a，b∈M．（I）试比较ab+1与a+b的大小；（II）设max表示数集A的最大数．h=max，求证：h≥2．宁夏银川一中2021届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，设集合A={x|y=ln（x﹣1）}，集合B={x|x≥2}，则A∩（C U B）=( )A．B．（1，2）C．（1，2]D．分析：首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形MF1F2，运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率．解答：解：由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y=x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选C．点评：本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查同学的计算力量，属于中档题．12．已知函数f（x）=a（x ﹣）﹣2lnx（a∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x0∈，使得f（x0）＞g（x0）成立，则实数a的范围为( )A．，使得f（x0）＞g（x0）成立，即f（x）﹣g（x）＞0在x∈，时有解，设F（x）=f（x）﹣g（x）=a（x ﹣）﹣2lnx+=ax﹣2lnx＞0有解，x∈，即a，则F′（x）=，当x∈时，F′（x）=≥0，∴F（x）在上单调递增，即F min（x）=F（1）=0，因此a＞0即可．故选：D．点评：本题主要考查不等式有解的问题，将不等式进行转化为函数，利用函数的单调性是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．等差数列{a n}中，a4+a8+a12=6，则a9﹣a11=．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知求得a8=2，再由a9﹣a11=（3a9﹣a11）转化为含有a8的代数式得答案．解答：解：在等差数列{a n}中，由a4+a8+a12=6，得3a8=6，a8=2．则a9﹣a11=（3a9﹣a11）=（a9+a7+a11﹣a11）=（a9+a7）=a8=．故答案为：．点评：本题考查了等差数列的性质，考查了同学的机敏变形力量，是基础题．14．若α∈（0，π），且3cos2α=sin （﹣α），则sin2α的值为1，或﹣．考点：二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：由题意可得3cos2α﹣3sin2α=cosα﹣sinα，求得cosα﹣sinα=0，或3（cosα+sinα）=，分类争辩求得sin2α的值．解答：解：∵α∈（0，π），且3cos2α=sin（﹣α），∴3cos2α﹣3sin2α=cos α﹣sinα，∴cosα﹣sinα=0，或3（cosα+sinα）=．若cosα﹣sinα=0，则α=，sin2α=1；若3（cosα+sinα）=，平方求得sin2α=﹣，故答案为：1，或﹣．点评：本题主要考查二倍角公式、两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．15．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：基本大事总数为=17×16×3，选出火炬编号为a n=a1+3（n﹣1），依据分类计算原理可得共有12种选法，由经能求出所求概率．解答：解：基本大事总数m==17×16×3，选出火炬编号为a n=a1+3（n﹣1），当n=1时，由1，4，7，10，13，16可得4种选法，当n=2时，由2，5，8，11，14，17可得4种选法，当n=3时，由3，6，9，12，15，18可得4种选法，依据分类计算原理可得共有12种选法，∴所求概率为P===．故答案为：．点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，留意等可能大事概率计算公式的合理运用．16．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C 的准线的距离为．则抛物线C的方程为x 2=2y．考点：抛物线的简洁性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知条件推导出点Q到抛物线C的准线的距离为=，由此能求出抛物线C的方程．解答：解：抛物线C：x2=2py （p＞0）的焦点F（0，），设M（x0，），x0＞0，Q （a ，b），由题意知b=，则点Q到抛物线C的准线的距离为b+===，解得p=1，∴抛物线C的方程为x2=2y．故答案为：x2=2y．点评：本题考查抛物线的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，留意抛物线的简洁性质的机敏运用．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．△ABC中内角A ，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1）且∥．（Ⅰ）求锐角B的大小；（Ⅱ）假如b=2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．考点：解三角形；平面对量共线（平行）的坐标表示；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由两向量的坐标及两向量平行，利用平面对量平行时满足的条件列出关系式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简，求出tan2B的值，由B为锐角，得到2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（Ⅱ）由B的度数求出sinB及cosB的值，进而由b及cosB的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式化简求出ac的最大值，再由ac的最大值及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）∵=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1）且∥，∴2sinB（2cos 2﹣1）=﹣cos2B，∴2sinBcosB=﹣cos2B，即sin2B=﹣cos2B，∴tan2B=﹣，又B 为锐角，∴2B∈（0，π），∴2B=，则B=；…（Ⅱ）当B=，b=2，由余弦定理cosB=得：a2+c2﹣ac﹣4=0，当B=，b=2，由余弦定理cosB=得：a2+c2+ac﹣4=0，又a 2+c 2≥2ac ，代入上式得：ac≤4（当且仅当a=c=2时等号成立），∴S△ABC=acsinB=ac≤（当且仅当a=c=2时等号成立），则S△ABC的最大值为．…点评：此题属于解三角形的题型，涉及的学问有：平面对量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，余弦定理，基本不等式的运用，以及三角形的面积公式，娴熟把握公式及定理是解本题的关键．18．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥平面ACD，BC∥DE，由此证明DE⊥平面ACD，从而得到平面ADE⊥平面ACD．（Ⅱ）依题意推导出当且仅当时三棱锥C﹣ADE体积最大，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC…，∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…，∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD…∵CD∥BE，CD=BE，∴BCDE是平行四边形，BC∥DE，∴DE⊥平面ACD…，∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD…（Ⅱ）依题意，…，由（Ⅰ）知==，当且仅当时等号成立…如图所示，建立空间直角坐标系，则D（0，0，1），，，∴，，，…设面DAE 的法向量为，，即，∴，…设面ABE 的法向量为，，即，∴，∴…∵与二面角D﹣AE﹣B的平面角互补，∴二面角D﹣AE﹣B 的余弦值为．…点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，留意向量法的合理运用．19．前不久，省社科院发布了2021年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”．随后，师大附中同学会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估量整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（1）依据所给的茎叶图看出16个数据，找出众数和中位数，中位数需要依据从小到大的挨次排列得到结论．（2）由题意知本题是一个古典概型，至多有1人是“极幸福”包括有一个人是极幸福和有零个人是极幸福，依据古典概型公式得到结果．（3）由于从该社区任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”同学的人数，得到变量的可能取值是0、1、2、3，结合变量对应的大事，算出概率，写出分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）众数：8.6；中位数：8.75；（Ⅱ）设A i表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为大事A ，则；（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3．；；；．则ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P所以Eξ=．另解：ξ的可能取值为0，1，2，3．则ξ～B（3，），．所以Eξ=．点评：本题是一个统计综合题，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，题目分别表示一组数据的特征，这样的问题可以消灭在选择题或填空题，考查最基本的学问点．20．已知A，B，C是椭圆m ：+=1（a＞b＞0）上的三点，其中点A的坐标为（2，0），BC过椭圆m的中心，且，且||=2||．（1）求椭圆m的方程；（2）过点M（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且||=||．求实数t的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用．分析：（1）如图，点A是椭圆m的右顶点，∴a=2；由•=0，得AC⊥BC；由=2和椭圆的对称性，得=；这样，可以得出点C的坐标，把C点的坐标代入椭圆标准方程，可求得．（2）如图，过点M的直线l，与椭圆m交于两点P，Q；当斜率k=0时，点M在椭圆内，则﹣2＜t＜2；当k≠0时，设过M点的直线l：y=kx+t与椭圆方程组成方程组，消去y，可得关于x的一元二次方程，由判别式△＞0，得不等式①，由x1+x2的值可得PQ的中点H坐标，由=，得DH⊥PQ，所以斜率，这样得等式②；由①②可得t的范围．解答：解（1）如图所示，∵=2，且BC过点O（0，0），则；又•=0，∴∠OCA=90°，且A（2，0），则点C，由a=，可设椭圆的方程m ：；将C点坐标代入方程m ，得，解得c2=8，b2=4；∴椭圆m 的方程为：；（2）如图所示，由题意，知D（0，﹣2），∵M（0，t），∴1°当k=0时，明显﹣2＜t＜2，2°当k≠0时，设l：y=kx+t，则，消去y，得（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣12=0；由△＞0，可得t2＜4+12k2 ①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），且PQ的中点为H（x0，y0）；则x0==﹣，y0=kx0+t=，∴H；由，∴DH⊥PQ，则k DH=﹣，∴=﹣；∴t=1+3k2 ②∴t＞1，将①代入②，得1＜t＜4，∴t的范围是（1，4）；综上，得t∈（﹣2，4）．点评：本题考查了直线与椭圆学问的综合应用，以及向量在解析几何中的应用；用数形结合的方法比较简洁理清思路，解得结果．21．已知函数f（x）=lnx﹣kx+1（k∈R）（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）证明：+++…+＜（n∈N*且n＞1）考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数争辩函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=．能求出函数f（x）的单调区间．（Ⅱ）由（1）知k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，而f（1）=1﹣k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值为f （），由此能确定实数k的取值范围．（Ⅲ）由（2）知，当k=1时，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）=0，即lnx＜x﹣1在x∈选修4-4：坐标系与参数方程．23．已知直线l ：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．考点：圆的参数方程；函数的图象与图象变化；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．专题：计算题．分析：（I）将直线l中的x与y代入到直线C1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|．（II）将直线的参数方程化为一般方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，依据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可．解答：解：（I）l的一般方程为y=（x﹣1），C1的一般方程为x2+y2=1，联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B （，﹣）所以|AB|==1；（II）曲线C2：（θ为参数）．设所求的点为P （cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d==当sin （）=﹣1时，d 取得最小值．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的学问有直线与圆的参数方程与一般方程的互化，点到直线的距离公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，依据曲线C2的参数方程设出所求P的坐标，依据点到直线的距离公式表示出d，进而利用三角函数来解决问题是解本题的思路．选修4-5；不等式选讲．24．选修4﹣5；不等式选讲．设不等式|2x﹣1|＜1的解集是M，a，b∈M．（I）试比较ab+1与a+b的大小；（II）设max表示数集A的最大数．h=max，求证：h≥2．考点：平均值不等式；不等式比较大小；确定值不等式的解法．专题：压轴题；不等式的解法及应用．分析：（I）解确定值不等式求出M=（0，1），可得0＜a＜1，0＜b＜1，再由（ab+1）﹣（a+b）=（a﹣1）（b ﹣1）＞0可得ab+1与a+b的大小．（II）由题意可得h≥，h≥，h≥，可得h3≥=4，从而证得h≥2．解答：解：（I）由不等式|2x﹣1|＜1 可得﹣1＜2x﹣1＜1，解得0＜x＜1，从而求得M=（0，1）．由a，b∈M，可得0＜a＜1，0＜b＜1．∴（ab+1）﹣（a+b）=（a﹣1）（b﹣1）＞0，∴（ab+1）＞（a+b）．（II）设max表示数集A的最大数，∵h=max，∴h≥，h≥，h≥，∴h3≥=4•≥8，故h≥2．点评：本题主要考查确定值不等式的解法，不等式的性质以及基本不等式的应用，属于中档题．。
宁夏回族自治区银川高三第一次模拟预测数学(理科) 试卷有答案
宁夏回族自治区银川高三第一次模拟预测数学（理） 试卷第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．设集合M={x|1242x ≤≤}，N={x|x-k>0},若M∩N=φ，则k 的取值范围为 A. [)2,+∞ B.（2，+∞） C.（-∞，-1） D.(],1-∞-2．复数()21i 1i+-等于A ．-1-iB ．1+iC ．1-iD ．-1+i3．下列说法正确的是A ．命题“R x ∈∃使得0322<++x x ”的否定是：“032,2>++∈∀x x R x ” B ．a ∈R,“1a<1”是“a>1”的必要不充分条件 C ．“p q ∧为真命题”是“q p ∨为真命题”的必要不充分条件 D ．命题p ：“2cos sin ,≤+∈∀x x R x ”，则⌝p 是真命题4．等差数列{}n a 中，564a a +=，则10122log (222)aaa⋅⋅⋅⋅= A ．10B ．20C ．40D ．2+log 255．如图，长方形的四个顶点为)2,0(),2,4(),0,4(),0,0(C B A O ，曲线x y =经过点B ．现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是 A ．125 B ．21C ．32 D ．43 6．要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣 小组学习，则按分层抽样组成此课外兴趣小组的概率为A ．42105615A A C ⋅B ．615615C AC ．33105615C C C ⋅D ．42105615C C C ⋅ 7．执行如图的程序框图，那么输出S 的值是理科数学试卷 第1页(共6页)A ．2B ．21C ．-1D ．18．已知y x z c y x y x x y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≥++-≤+≥302,42,且目标函数满足的最小值是5，则z 的最大值是A ．10B ．12C ．14D ．159．若,,均为单位向量，b a ∙21-=，y x +=，),(R y x ∈，则y x +的最大值是 A ． 2B. CD. 110．将函数f （x ）＝3sin （4x ＋6π）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象．则y ＝g （x ）图象的一条对称轴是 A ．x ＝12π B ．x ＝6πC ．x ＝3πD ．x ＝23π 11．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 A ．34πB ．π3C ．πD ．π23 12．在直线2-=y 上任取一点Q ，过Q 作抛物线y x 42=的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 恒过的点是 A ．（0，1） B ．（0，2）C ．（2，0）D ．（1，0）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若二项式22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式共7项，则该展开式中的常数项为___________.14．在△ABC 中，AB，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于 .15．设双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点,则22BF AF +的最小值为____________.16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12(2)n n a S n -=≥，则n a = . 三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．(本题满分12分)设函数2()sin(π)2cos 1(0).62f x x x ωωω=--+>直线y =与函数()y f x =图象相邻两交点的距离为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若点（,02B）是函数()y f x =图象的一个对称中心，且3b =，求△ABC 周长的取值范围.18．(本题满分12分)如图，在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,a CB DC AD ===, 60=∠ABC ,平面⊥ACFE 平面ABCD ,四边形ACFE 是矩形,a AE =,点M 在线段EF 上.(1)求证:⊥BC 平面ACFE ;(2)当EM 为何值时,AM ∥平面BDF ?证明你的结论; (3)求二面角D EF B --的平面角的余弦值.19.（本小题满分12分）为迎接2012年伦敦奥运会,在著名的海滨城市青岛举行了一场奥运选拔赛,其中甲、乙两名运动员为争取最后一个参赛名额进行的7轮比赛的得分如茎叶图所示：（1）若从甲运动员的每轮比赛的得分中任选3个不低于80且不高于90的得分，求甲的三个得分与其每轮比赛的平均得分的差的绝对值都不超过2的概率；（2）若分别从甲、乙两名运动员的每轮比赛不低于80且不高于90的得分中任选1个，求甲、乙两名运动员得分之差的绝对值ξ的分布列与期望.20. （本小题满分12分）已知函数()f x 是奇函数，()f x 的定义域为(,)-∞+∞．当0x <时，()f x ln()ex x-=．(e 为自然对数的底数)．(1)若函数()f x 在区间1(,)(0)3a a a +>上存在极值点，求实数a 的取值范围；8甲乙7 95 4 5 4 18 4 4 6 7 4 191MFECD BA(2)如果当x ≥1时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围.21．（本小题满分12分）如图，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一个焦点是F （1，0），O 为坐标原点.（1）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成 、正三角形，求椭圆的方程；（2）设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.若直线l 绕点F 任意转动，则有|OA |2+|OB |2<|AB |2,求a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．如图，圆1O 与圆2O 相交于A 、B 两点，AB 是圆2O 的直径，过A 点作圆1O 的切线交圆2O 于点E ，并与BO 1的延长线交于点P ，PB 分别与 圆1O 、圆2O 交于C ，D 两点。
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宁夏银川市高考数学一模试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题： (共12题；共24分)
1. （2分）设集合,或,则=（）
A .
B .
C .
D . R
2. （2分） (2019高三上·蚌埠月考) 已知i为虚数单位，复数z满足，则（）
A .
B . 1
C .
D . 5
3. （2分） (2020高一下·扬州期末) 已知平面、平面、平面、直线以及直线，则下列命题说法错误的是（）
A . 若，则
B . 若，则
C . 若，则
D . 若，则
4. （2分） (2017高三上·西湖开学考) 已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）= 给出
下列结论：
①函数f（x）的值域为（0，8]；
②对任意的n∈N，都有f（2n）=23﹣n；
③存在k∈（，），使得直线y=kx与函数y=f（x）的图象有5个公共点；
④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在n∈N，使得（a，b）⊆（2n ， 2n+1）”
其中正确命题的序号是（）
A . ①②③
B . ①③④
C . ①②④
D . ②③④
5. （2分）=（）
A .
B . 1
C .
D .
6. （2分）对任意非零实数a，b，若的运算原理如图示，则的值为（）．
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2015高三上·潍坊期末) （理）已知x，y满足且目标函数z=3x+y的最小值是5，则z的最大值是（）
A . 10
B . 12
C . 14
D . 15
8. （2分） (2017高二下·黄冈期末) 函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=2x．若在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）
A . （，）
B . （，）
C . （，2）
D . （1，2）
9. （2分）已知函数，把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若是在内的两根，则的值为（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分） (2017高三上·商丘开学考) 已知双曲线C：﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），直线x=a与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为A，O为坐标原．若△OAF的面积为 a2 ，则双曲线C的离心率为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为R的球O的球面上，AB=6，BC=2，棱锥O﹣ABCD的体积为8，则球O的表面积为（）
A . 16π
B . 32
C . 48π
D . 64π
12. （2分） (2019高二上·荔湾期末) 函数y = 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2019高三上·郑州期中) 已知向量与向量的夹角为120°，若向量且
，则的值为________.
14. （1分）(2017·晋中模拟) 在的展开式中，x2的系数为________．
15. （1分）(2018·临川模拟) 在中，若，且，则 ________.
16. （1分）(2019·全国Ⅲ卷理) 设F1 ， F2为椭圆C：的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________。
三、解答题 (共7题；共60分)
17. （10分）已知数列的前项和为（），且，数列是首项为1、公比为的等比数列．
（1）若数列是等差数列，求该等差数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18. （5分） (2016高三上·嘉兴期末) 如图，已知矩形所在平面与等腰直角三角形所在平面互相垂直，，，为线段的中点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求与平面所成的角的余弦值．
19. （10分） (2019高二上·长沙期中) 2019年的流感来得要比往年更猛烈一些据四川电视台
“新闻现场”播报，近日四川省人民医院一天的最高接诊量超过了一万四千人，成都市妇女儿童中心医院接诊量每天都在九千人次以上这些浩浩荡荡的看病大军中，有不少人都是因为感冒来的医院某课外兴趣小组趁着寒假假期空闲，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到成都市气象局与跳伞塔社区医院抄录了去年1到6月每月20日的昼夜温差情况与患感冒就诊的人数，得到如下资料：
日期1月20日2月20日3月20日4月20日5月20日6月20日
昼夜温差1011131286
就诊人数人222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
（1）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？
参考公式：，
20. （10分）(2017·枣庄模拟) 已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，点A到x轴的距离等于|AF|﹣1．
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线AF与C交于另一点B，抛物线C分别在点A，B处的切线交于点P，D为y轴正半轴上一点，直线AD与C交于另一点E，且有|FA|=|FD|，N是线段AE的靠近点A的四等分点．
（i）证明点P在△NAB的外接圆上；
（ii）△NAB的外接圆周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
21. （10分）(2017·深圳模拟) 已知三次函数f（x）=x3+bx2+cx+d（a，b，c∈R）过点（3，0），且函数f （x）在点（0，f（0））处的切线恰好是直线y=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=9x+m﹣1，若函数y=f（x）﹣g（x）在区间[﹣2，1]上有两个零点，求实数m的取值范围．
22. （5分） (2017高三上·漳州期末) 已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ= （p∈R），曲线C1 ， C2相交于A，B两点．
（Ⅰ）把曲线C1 ， C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求弦AB的长度．
23. （10分）(2016·海南模拟) 已知f（x）=|2x﹣1|．
（1）求f（x）≤3x的解集；
（2）求f（x）+|x+1|≤1的解集．
参考答案一、选择题： (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共7题；共60分)
17-1、
17-2、
18-1、
19-1、19-2、20-1、
21-1、21-2、
22-1、23-1、
23-2、。