解析几何的经典结论
解析几何结论大全
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解析几何结论大全是一个非常广泛的主题，涵盖了许多方面。
以下是一些常见的解析几何结论：
1. 两点之间的距离公式：$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
2. 直线方程：点斜式 $y-y_1=m(x-x_1)$，斜截式 $y=mx+b$，两点式$y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x+y_1$
3. 圆的方程：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，圆心 $(a,b)$，半径 $r$
4. 圆与圆的位置关系：相交、相切、相离
5. 圆锥曲线的标准方程：椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 或 $\frac{y^2}{a^2}-
\frac{x^2}{b^2}=1$，抛物线 $y^2=2px$ 或 $x^2=2py$
6. 圆锥曲线的焦点、准线、离心率等性质
7. 空间向量的加法、数乘、向量的模
8. 向量的数量积、向量积、向量的混合积
9. 向量的坐标表示：$(a,b,c)$，向量的模 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
10. 空间直角坐标系中的点 $(x,y,z)$ 与其相邻三个坐标面围成的单位体积为$\frac{1}{6}$。
以上只是解析几何的一部分结论，还有许多其他结论和定理，可以根据需要进行查阅和学习。
解析几何的经典结论
有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7.椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.13.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+. 二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b -=. 6.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b -=. 7.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PFS b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11.AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB=。
解析几何的经典结论
解析几何的经典结论1.通径椭圆、双曲线的通径为22b a，抛物线的通径为2p .2.点差法结论AB 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的一条弦，()00,M x y 为弦AB 的中点，则中点弦AB 所在直线的斜率是：2020AB b x k a y =-；椭圆()222210y x a b a b +=>>，()00,M x y 为弦AB 的中点，中点弦AB 所在直线的斜率是：2020AB a x k b y =-；双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，()00,M x y 为弦AB 的中点，中点弦AB 所在直线的斜率是：2020AB b x k a y =；双曲线()222210,0y x a b a b -=>>，()00,M x y 为弦AB 的中点，中点弦AB 所在直线的斜率是：2020AB a x k b y =； 抛物线)0(22>=p px y ，()00,M x y 为弦AB 的中点，中点弦AB 所在直线的斜率是：0AB p k y =；抛物线22(0)y px p =->，()00,M x y 为弦AB 的中点，中点弦AB 所在直线的斜率是：0AB p k y =-；抛物线)0(22>=p py x ，()00,M x y 为弦AB 的中点，中点弦AB 所在直线的斜率是：0AB x k p =；抛物线22(0)x py p =->，()00,M x y 为弦AB 的中点，中点弦AB 所在直线的斜率是：0AB x k p=-；（注意使用点差法结论时，保证直线AB 与圆锥曲线相交.另外，结论中的直线AB 斜率存在，且00y ≠）. 3.设椭圆 ()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A 、B 两点，则22PA PBb k k a ⋅=-；设椭圆()222210y x a b a b+=>>的下顶点、上顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A 、B 两点，则22PA PBa k k b⋅=-；设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在双曲线上且异于A 、B 两点，则22PA PBb k k a ⋅=；设双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的下顶点、上顶点分别为A 、B ，点P 在双曲线上且异于A 、B 两点，则22PA PBa k k b⋅=. 4.焦半径公式椭圆()222210x y a b a b+=>>，()00,P x y 为椭圆上一点，则焦半径10PF a ex =+,20PF a ex =-,其中e 是椭圆的离心率.椭圆()222210y x a b a b+=>>，()00,P x y 为椭圆上一点，则焦半径10PF a ey =+,20PF a ey =-，（注意此时焦点1F 在y 轴负半轴，焦点2F 在y 轴正半轴）.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，()00,P x y 为双曲线上一点，若P 在右支，则焦半径10PF ex a =+,20PF ex a =-；若P 在左支，则焦半径10PF ex a =--,20PF ex a =-+.双曲线()222210,0y x a b a b-=>>，()00,P x y 为双曲线上一点，若P 在上支，则焦半径10PF ey a =+,20PF ey a =-；若P 在下支，则焦半径10PF ey a =--,20PF ey a =-+.（注意此时焦点1F 在y 轴负半轴，焦点2F 在y 轴正半轴）. 抛物线的焦半径公式：抛物线)0(22>=p px y ，()00,P x y 为抛物线上一点，则焦半径02pPF x =+；过F 的焦点弦AB 的倾斜角为θ，则焦半径1cos p AF θ=-，1cos pBF θ=+.（A 在x 轴上方、B 在x 轴下方）抛物线)0(22>-=p px y ，()00,P x y 为抛物线上一点，则02pPF x =-； 抛物线)0(22>=p py x ，()00,P x y 为抛物线上一点，则02pPF y =+； 抛物线)0(22>-=p py x ，()00,P x y 为抛物线上一点，则02pPF y =-. 5.焦点三角形面积椭圆()222210x y a b a b +=>>、()222210y x a b a b +=>>的焦点分别为1F 、2F ，点P 为椭圆上任意一点，12F PF θ∠=，则椭圆的焦点三角形面积为：122tan2F PF S b θ∆=；双曲线()222210,0x y a b a b -=>>、()222210,0y x a b a b-=>>的焦点分别为1F 、2F ，点P 为双曲线上任意一点，12F PF θ∠=，则双曲线的焦点三角形面积为：1222cot 2tan 2F PF b S b θθ∆==； 6.切线与切点弦所在直线方程 ①切线方程过圆222x y r +=上一点()00,M x y 的切线方程：200x x y y r +=；过椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点()00,M x y 的切线方程：00221x x y ya b +=；过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上一点()00,M x y 的切线方程：00221x x y ya b-=；过抛物线)0(22>=p px y 上一点()00,M x y 的切线方程：()00y y p x x =+；过抛物线)0(22>=p py x 上一点()00,M x y 的切线方程：()00x x p y y =+.②切点弦方程过圆222x y r +=外一点()00,M x y 作圆的两条切线，切点分别为A 、B ，则切点弦AB 所在直线的方程为：200x x y y r +=；过椭圆()222210x y a b a b+=>>外一点()00,M x y 作椭圆的两条切线，切点分别为A 、B ，则切点弦AB 所在直线的方程为：00221x x y ya b+=； 过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>外一点()00,M x y 作双曲线的两条切线，切点分别为A 、B ，则切点弦AB 所在直线的方程为：00221x x y ya b-=； 过抛物线)0(22>=p px y 外一点()00,M x y 作抛物线的两条切线，切点分别为A 、B ，则切点弦AB 所在直线的方程为：()00y y p x x =+；过抛物线)0(22>=p py x 外一点()00,M x y 作抛物线的两条切线，切点分别为A 、B ，则切点弦AB 所在直线的方程为：()00x x p y y =+.7.等轴双曲线可设为：)0(22≠=-λλy x ；共渐近线x aby ±=的双曲线的标准方程可设为：()22220x y a b λλ-=≠. 8.若椭圆焦点位置不明确，椭圆方程可设为：221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠；若双曲线焦点位置不明确，双曲线方程可设为：221(0)mx ny mn +=<. 9. 弦长公式设斜率为()0k k ≠的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，()11,A x y 、()22,B x y ，则弦长：12AB x =-==，其中a和∆分别是()200ax bx c a ++=≠中的二次项系数和判别式，k 为直线l 的斜率；当代入消元消掉的是x 时，得到02=++c by ay ，此时弦长公式为：()21212122221111141AB y y y y y y k k k a∆=+-=++-=+，其中a 和∆分别是()200ay by c a ++=≠中的二次项系数和判别式，k 为直线l 的斜率.10.抛物线)0(22>=p px y 焦点弦的常用结论①2124p x x ⋅=，212y y p ⋅=-；②1222sin pAB p x x θ=++=(θ为直线AB 的倾斜角). ③22sin AOBp S θ∆=(θ为直线AB 的倾斜角)； ④112AF BF p+=； ⑤以AB 为直径的圆与准线相切，以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切； ⑥90CFD ︒∠=；⑦过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.11.已知点()11,A x y 、()22,B x y ，则以AB 为直径的圆的方程是：()()()()12120x x x x y y y y --+--=.。
解析几何中的必备结论
x2 y2 C、27＋18＝1
) x2 y2
D、18＋ 9 ＝1
【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题，是中档题.
【解析】设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，则 x1 + x2 =2， y1 + y2 =－2，
x12 a2
+
y12 b2
= 1
①
x22 a2
+
y22 b2
= 1
②
①－②得
.
2, 12ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ° ：用的中间结论要优于余弦定理
；∠F1PF2
|
PF1
||
PF2
|=
2b2 1+ cosθ
,∵| PF1 |= 4 ,| PF2 |= 2，∴代入求解非常方便，这是自己所没有想到的！
S ∠F1PF2
=
1 2
|
PF1
||
PF2
|
sin θ
=
b2
tan
θ 2
⇒ 1 × 4× 2sinθ =2 tan θ
，则有
x1 2 a2
−
x2 2 a2
−
y12 b2
= 1
，
两
式
相
减
并
结
合
y22 b2
= 1
x1 + x2 =−24, y1 + y2 =−30
得，
y1 − y2 x 1 − x2
=
4b2 5a2
4b2
，从而
5a2
= 1，即 4b2
= 5a2 ，又 a2
+ b2
= 9 ，解得= a2
4= , b2
有关解析几何的经典结论
有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.2. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.3. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.4. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.5. 若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.6. 椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.7. 椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,( , ).8. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.9. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.10. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。
11. 若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.12. 若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.二、双曲线1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）5. 若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.6. 若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7. 双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.8. 双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( ,当在右支上时，,.当在左支上时，,9. AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。
解析几何192条相关结论
解析几何192条相关结论结论1：过圆2222a y x =+上任意点P 作圆222a y x =+的两条切线，则两条切线垂直．结论2：过圆2222b a y x +=+上任意点P 作椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的两条切线，则两条切线垂直．结论3：过圆2222b a y x -=+（0>>b a ）上任意点P 作双曲线12222=-by a x 的两条切线，则两条切线垂直．结论4：过圆222a y x =+上任意不同两点A ，B 作圆的切线，如果切线垂直且相交于P ，则动点P 的轨迹为圆：2222a y x =+．结论5：过椭圆12222=+by a x （0>>b a ）上任意不同两点A ，B 作椭圆的切线，如果切线垂直且相交于P ，则动点P 的轨迹为圆2222b a y x +=+．结论6：过双曲线12222=-by a x （0>>b a ）上任意不同两点A ，B 作双曲线的切线，如果切线垂直且相交于P ，则动点P 的轨迹为圆2222b a y x -=+．结论7：点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）上，过点M 作椭圆的切线方程为12020=+b y y a x x ．结论8：点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为12020=+byy a x x ． 结论8：（补充）点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）内，过点M 作椭圆的弦AB （不过椭圆中心），分别过B A 、作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：12020=+byy a x x ． 结论9：点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）上，过点M 作双曲线的切线方程为12020=-byy a x x ． 结论10：点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为12020=-byy a x x ． 结论10：（补充）点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）内，过点M 作双曲线的弦AB（不过双曲线中心），分别过B A 、作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：12020=-byy a x x ． 结论11：点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）上，过点M 作抛物线的切线方程为)(00x x p y y +=．结论12：点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为)(00x x p y y +=．结论12：（补充）点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过B A 、作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：)(00x x p y y +=． 结论13：点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-bn y am x 上，过点M 作椭圆的切线方程为1))(())((2020=--+--bn y n y a m x m x ． 结论14：点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---bn y am x 上，过点M 作双曲线的切线方程为()()()()12020=-----bn y n y am x m x ．结论15：点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22上，过点M 作抛物线的切线方程为()()()m x x p n y n y 200-+=--．结论16：点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-bn y am x 外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为1))(())((2020=--+--b n y n y a m x m x ．结论17：点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---bn y am x 外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()()12020=-----bn y n y am x m x ．结论18：点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()m x x p n y n y 200-+=--．结论16：（补充）点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-bn y am x 内，过点M 作椭圆的弦AB （不过椭圆中心），分别过B A 、作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：1))(())((2020=--+--bn y n y a m x m x ． 结论17：（补充）点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---bn y am x 内，过点M 作双曲线的弦AB （不过双曲线中心），分别过B A 、作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：()()()()12020=-----bn y n y am x m x ．结论18：（补充）点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过B A 、作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：()()()m x x p n y n y 200-+=--．结论19：过椭圆准线上一点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．结论20：过双曲线准线上一点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．结论21：过抛物线准线上一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．结论22: AB 为椭圆的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在相应的准线上． 结论23: AB 为双曲线的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在相应的准线上． 结论24: AB 为抛物线的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在准线上．结论25:点M 是椭圆准线与长轴的交点，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是通径．结论26: 点M 是双曲线准线与实轴的交点，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是通径．结论27:M 为抛物线的准线与其对称轴的交点，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是其通径．结论28：过抛物线px y 22=（0>p ）的对称轴上任意一点)0,(m M -（0>m ）作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(m N ．结论29：过椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的对称轴上任意一点),(n m M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）当0=n ，a m >时，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(2m a P ； （2）当0=m ，b n >时，则切点弦AB 所在的直线必过点),0(2nb Q ．结论30：过双曲线12222=-b y a x （0,0>>b a ）的实轴上任意一点)0,(m M （a m <）作双曲线（单支）的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(2ma P ． 结论31：过抛物线px y 22=（0>p ）外任意一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，弦AB 的中点为N ，则直线MN 必与其对称轴平行．结论32：若椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）与双曲线12222=-ny m x （0>m ，0>n ）共焦点，则在它们交点处的切线相互垂直．结论33：过椭圆外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论34：过双曲线外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论35：过抛物线外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论36：过双曲线外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作双曲线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论37：过椭圆外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作椭圆的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论38：过抛物线外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作抛物线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论39：从椭圆22221x y a b +=（0>>b a ）的右焦点向椭圆的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222a y x =+．结论40：从12222=-b y a x （00>>b a ，）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222a y x =+．结论41：F 是椭圆22221x y a b+=（0>>b a ）的一个焦点，M 是椭圆上任意一点，则焦半径||[,].MF a c a c ∈-+结论42：F 是双曲线12222=-by a x （00>>b a ，）的右焦点，M 是双曲线上任意一点．（1）当点M 在双曲线右支上，则焦半径||MF c a ≥-； （2）当点M 在双曲线左支上，则焦半径||MF c a ≥+．结论43：F 是抛物线22 (0)y px p =>的焦点，M 是抛物线上任意一点，则焦半径0||22p p MF x +≥=． 结论44：椭圆上任一点M 处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说M 处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角），亦即椭圆的光学性质．结论45：双曲线上任一点M 处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说M 处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角），亦即双曲线的光学性质．结论46：抛物线上任一点M 处的切线平分该点的焦半径与该点向准线所作的垂线的夹角，亦即抛物线的光学性质．结论47：椭圆的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其相应的焦点F ，且MF ⊥PQ ． 结论48：双曲线的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其相应的焦点F ，且MF ⊥PQ ． 结论49：抛物线的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其焦点F ，且MF ⊥PQ ．结论50：椭圆上任一点P 处的切线交准线于M ，P 与相应的焦点F 的连线交椭圆于Q ，则MQ 必与该椭圆相切，且MF ⊥PQ ．结论51：双曲线上任一点P 处的切线交准线于M ，P 与相应的焦点F 的连线交双曲线于Q ，则MQ 必与该双曲线相切，且MF ⊥PQ ．结论52：抛物线上任一点P 处的切线交准线于M ，P 与焦点F 的连线交抛物线于Q ，则MQ 必与该抛物线相切，且MF ⊥PQ ．结论53：焦点在x 轴上的椭圆（或焦点在y 轴）上三点P ，Q ，M 的焦半径成等差数列的充要条件为P ，Q ，M 的横坐标（纵坐标）成等差数列．结论54：焦点在x 轴上的双曲线（或焦点在y 轴）上三点P ，Q ，M 的焦半径成等差数列的充要条件为P ，Q ，M 的横坐标（纵坐标）成等差数列．结论55：焦点在x 轴上的抛物线（或焦点在y 轴）上三点P ，Q ，M 的焦半径成等差数列的充要条件为P ，Q ，M 的横坐标（纵坐标）成等差数列．结论56：椭圆上一个焦点F 2关于椭圆上任一点P 处的切线的对称点为Q ，则直线PQ 必过该椭圆的另一个焦点F 1．结论57：双曲线上一个焦点F 2关于双曲线上任一点P 处的切线的对称点为Q ，则直线PQ 必过该双曲线的另一个焦点F 1．结论58：椭圆上任一点P （非顶点），过P 的切线和法线分别与短轴相交于Q ，S ，则有P ，Q ，S 及两个焦点共于一圆上．结论59：双曲线上任一点P （非顶点），过P 的切线和法线分别与短轴相交于Q ，S ，则有P ，Q ，S 及两个焦点共于一圆上．结论60：椭圆上任一点P （非顶点）处的切线与过长轴两个顶点A ，'A 的切线相交于M ，'M ，则必得到以'MM 为直径的圆经过该椭圆的两个焦点．结论61：双曲线上任一点P （非顶点）处的切线与过实轴两个顶点A ，'A 的切线相交于M ，'M ，则必得到以'MM 为直径的圆经过该双曲线的两个焦点．结论62：以椭圆的任一焦半径为直径的圆内切于以长轴为直径的圆． 结论63：以双曲线的任一焦半径为直径的圆外切于以实轴为直径的圆． 结论64：以抛物线的任一焦半径为直径的圆与非对称轴的轴相切．结论65：焦点在x 轴上的椭圆（或焦点在y 轴上）上任一点M （非短轴顶点）与短轴的两个顶点,'B B 的连线分别交x 轴（或y 轴）于P ，Q ，则2P Q x x a =（或2P Q y y a =）．结论66：焦点在x 轴上的双曲线（或焦点在y 轴上）上任一点M （非顶点）与实轴的两个顶点,'B B 的连线分别交y 轴（或x 轴）于P ，Q ，则2P Q y y b =-（或2Q P x x b =-）．结论67：P 为焦点在x 轴上的椭圆上任一点（非长轴顶点），则12PF F ∆与边2PF （或1PF ）相切的旁切圆与x 轴相切于右顶点A （或左顶点'A ）．结论68：P 为焦点在x 轴上的双曲线右支（或左支）上任一点，则12PF F ∆的内切圆与x 轴相切于右顶点A （或左顶点'A ）．结论69：AB 是过椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>）的焦点F 的一条弦（非通径），弦AB 的中垂线交x 轴于N ，则||2||AB NF e=． 结论70：AB 是过双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>的焦点F 的一条弦（非通径，且为单支弦），弦AB 的中垂线交x 轴于M ，则||2||AB MF e=． 结论71：AB 是过抛物线22 (0)y px p =>的焦点F 的一条弦（非通径），弦AB 的中垂线交x 轴于M ，则||2||AB MF =． 结论72：AB 为抛物线的焦点弦，分别过A ，B 作抛物线的切线，则两条切线的交点P 在其准线上． 结论73：AB 为椭圆的焦点弦，分别过A ，B 作椭圆的切线，则两条切线的交点P 在其相应的准线上．结论74：AB 为双曲线的焦点弦，分别过A ，B 作双曲线的切线，则两条切线的交点P 在其相应的准线上． 结论75：AB 为过抛物线焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其准线相切．结论76：AB 为过椭圆焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其相应的准线相离（当然与另一条准线更相离）．结论77：AB 为过双曲线焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其相应的准线相交，截得的圆弧度数为定值，且为12arccose． 结论78：以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相切，则该曲线必为抛物线． 结论79：以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相离，则该曲线必为椭圆． 结论80：以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相交，则该曲线必为双曲线，此时截得的圆弧度数为定值，且为12arccose． 结论81：AB 为过抛物线22 (0)y px p =>焦点F 的焦点弦，()()1122,,,A x y B x y ，则12||AB x x p =++.结论82：AB 为过椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>焦点F 的焦点弦，()()1122,,,A x y B x y ，则12||2AB a e x x =-+．结论83：AB 为过双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>的焦点F 的焦点弦，()()1122,,,A x y B x y ．若AB 为单支弦，则12||2AB e x x a =+-；若AB 为双支弦，则12||2AB e x x a =++.结论84：F 为抛物线的焦点，,A B 是抛物线上不同的两点，直线AB 交其准线l 于M ，则FM 平分AFB ∠的外角．结论85：F 为椭圆的一个焦点，,A B 是椭圆上不同的两点，直线AB 交其相应的准线l 于M ，则FM 平分AFB ∠的外角．结论86：F 为双曲线的一个焦点，,A B 是双曲线上不同的两点（同一支上），直线AB 交其相应的准线l 于M ，则FM 平分AFB ∠的外角．结论87：F 为双曲线的一个焦点，,A B 是双曲线上不同的两点（左右支各一点），直线AB 交其相应的准线l 于M ，则FM 平分AFB ∠．结论88：AB 是椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>过焦点F 的弦，点P 是椭圆上异于,A B 的任一点，直线P A 、PB 分别交相应于焦点F 的准线l 于M 、N ，则点M 与点N 的纵坐标之积为定值，且为42b c-．结论89：AB 是双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b -=>>过焦点F 的弦，点P 是双曲线上异于,A B 的任一点，直线P A 、PB 分别交相应于焦点F 的准线l 于M 、N ，则点M 与点N 的纵坐标之积为定值，且为42b c-．结论90：AB 是抛物线22 (0)y px p =>过焦点F 的弦，点P 是抛物线上异于,A B 的任一点，直线P A 、PB 分别交准线l 于M 、N ，则点M 与点N 的纵坐标之积为定值，且为2p -．结论91：,A B 为椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>的长轴顶点，P 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线P A 、PB 分别交直线2(0)a x m a m =<<于M 、N ，则M N y y ⋅为定值，且有()2222M N b m a y y m-⋅=． 结论92：,A B 为椭圆2222 1 (0)x y a b a b +=>>的长轴顶点，(,0),(,0),(0),E m F m m a P -<<为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线P A 、PB 分别交直线2a x m=于M 、N ，则E M F N ⋅为定值，且有()()222222a m a mb EM FN m-+-⋅=；()()222222a m a mb EN FM m-+-⋅=；()()222222a m a mb FM FN m---⋅=；()()2222222a mb a m EM EN m+--⋅=；()()22222a m a amb BM FN m-+-⋅=；()()22222a m a amb AM FN m---⋅=；()()22222a m ab AM BN m --⋅=．结论99： ,A B 为双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b -=>>的顶点，(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线P A 、PB 分别交直线2a x m=于M 、N ，则M N y y ⋅为定值，且有()2222M M b a m y y m-=.结论100： ,A B 为双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b -=>>的顶点，(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线P A 、PB 分别交直线2a x m=于M 、N ，则EM FN ⋅为定值，且有()()222222a m ab m EM FN m-++⋅=；()()222222a m ab m EN FM m-++⋅=；()()222222a m ab m FM FN m-+-⋅=；()()2222222a mb a m EM EN m++-⋅=；()()22222a m ab am BM FN m-++⋅=；()()22222a m ab am AM FN m-+-⋅=；()()22222am a b AM BN m-+⋅=.结论107：,A B 为椭圆2222 1 (0)x y a b a b +=>>的长轴顶点， P 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线P A 、PB 分别交直线2a x m =于M 、N ，则AP BP k k 为定值，且有2221AP BP AM BN b k k k k e a =-==-．2221AN BMb k k e a =-=-；()21AM AN a m k k e a m +=--；()21BM BN a m k k e a m -=-+结论111：,A B 为椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>的长轴顶点，(,0),(,0),(0),E m F m m a P-<<为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线P A 、PB 分别交直线2a x m =于M 、N ，则EM FN k k ，EN FM k k 为定值，且有222EM FNb k k a m -+=;222EN FM b k k a m -+=结论113：,A B 为椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>的任一直径（中心弦），P 为椭圆上任一点（不与,A B 点重合），则PA PB k k 为定值，且有2221PA PBb k k e a-==-结论114：AB 为椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>的任一弦（不过原点且不与对称轴平行），M 为弦AB 的中点，若OM k 与AB k 均存在，则OM AB k k 为定值，且有2221OM ABb k e ak -==-结论115：AB 为椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>的任一弦（不与对称轴平行），若平行于AB 的弦的中点的轨迹为直线PQ ，则有2221AB PQb k k e a=-=-．结论116：过椭圆2222 1 (0)x y a b a b +=>>上任意一点P (不是其顶点)作椭圆的切线P A ，则有2221PA OP b k k e a=-=-．结论117：椭圆2222 1 (0)x y a b a b +=>>及定点(,0),()F m a m a -<<，过F 的弦的端点为A ，B ，过点A ，B 分别作直线2a x m =的垂线，垂足分别为D ，C ，直线2a x m=与x 轴相交于E ，则直线AC 与BD 恒过EF的中点，且有0AB BE k k +=．结论118：椭圆2222 1 (0)x y a b a b +=>>及定点(,0),()F m m c =±，过F 任作一条弦AB ，E 为椭圆上任一点，连接AE ，BE ，且分别与准线2a x m=相交于P ，Q ，则有1FP FQ k k ⋅=-结论119：椭圆2222 1 (0)x y a b a b +=>>及定点(,0),(,0)F m a m a m -<<≠，过F 任作一条弦AB ，E 为椭圆上任一点，连接AE ，BE ，且分别与直线2a x m =相交于P ，Q ，则有222FP FQ b k k m a⋅=- 结论120：A ，B 为双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b -=>>的顶点，P 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线AP ，BP 分别交直线2 ()a x m a m =>于M ，N ，则AP BP k k 为定值，且有2221AP BP AM BN b k k k k e a -=== 结论121：A ，B 为双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>的顶点，P 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线AP ，BP 分别交直线2()a x m a m=>于M ，N ，则AN BM k k 为定值，且有21AN BM k k e =-． 结论122：A ，B 为双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b -=>>的顶点，P 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线AP ，BP 分别交直线2 ()a x m a m =>于M ，N ，则AM AN k k 为定值，且有()21AM AN a m k k e a m+--= ()21BM BN a m k k e a m-=-+ 结论124：A ，B 为双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b -=>>的顶点，(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线AP ，BP 分别交直线2a x m =于M ，N ，则F EM N k k 为定值，且有222EM FN b k k a m =+． 222EN FMb k k a m =+ 结论126：AB 为双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>的任一直径，P 为双曲线上任一点（不与A ，B 点重合），则PA PB k k 为定值，且有2221PA PBb k k e a==-． 结论127：AB 为双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>的任一弦（不过原点且不与对称轴平行），M 为弦AB 的中点，若OM k 与AB k 均存在，则OM AB k k 为定值，且有22OM ABb k k a=． 结论128：AB 为双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>的任一弦（不与对称轴平行），若平行于AB 的弦的中点的轨迹为直线PQ ，则有2221AB PQb k k e a==-． 结论129：过双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b -=>>上任意一点P (不是其顶点)作双曲线的切线P A ，则有2221PA OPb k k e a==-结论130：双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b -=>>及定点(,0),()F m m a m a ><-或，过F 的弦的端点为A ，B ，过A ，B 分别作直线2a x m =的垂线，垂足分别为D ，C ，直线2a x m=与x 轴相交于E ，则直线AC 与BD恒过EF 的中点，且有0AB BE k k +=．结论131：双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b -=>>及定点(,0),()F m m c =±，过F 任作一条弦AB ，E 为双曲线上任一点，连接AE ，BE ，且分别与准线2a x m=相交于P ，Q ，则有1FP FQ k k ⋅=-．结论132：双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b -=>>及定点(,0),()F m m a m a ><-或，过F 任作一条弦AB ，E为双曲线上任一点，连接AE ，BE ，且分别与直线2a x m =相交于P ，Q ，则有222FP FQ b k k a m ⋅=-．结论133：抛物线22 (0)y px p =>及定点(,0),(0)F m m >，过F 的弦的端点为A ，B ，过A ，B 分别作直线x m =-的垂线，垂足分别为D ，C ，直线x m =-与x 轴相交于E ，则直线AC 与BD 恒过EF 的中点，且有0AB BE k k +=．结论134：抛物线22 (0)y px p =>及定点(,0),)2(pF m m =，过F 任作一条弦AB ，E 为抛物线上任一点，连接AE ，BE ，分别与准线x m =-相交于P ，Q ，则1FP FQ k k ⋅=-． 结论135：抛物线22 (0)y px p =>及定点(,0),(0)F m m >，过F 任作一条弦AB ，E 为抛物线上任一点，连AE ，BE ，分别与直线x m =-相交于P ，Q ，则2FP FQ pk k m⋅=-． 结论136：过抛物线22 (0)y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的弦（焦点弦）与抛物线相交于A ，B ，过B 作直线BC 与x 轴平行，且交准线于C ，则直线AC 必过原点（即其准线与x 轴交点E 与焦点F 的线段的中点）．结论137：AB 为椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>的焦点F 的弦，其相应的准线与x 轴交点为E ，过A ，B 作x轴的平行线与其相应的准线分别相交于M ，N ，则直线AN ，BM 均过线段EF 的中点．结论138：AB 为双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>的焦点F 的弦，其相应的准线与x 轴交点为E ，过A ，B作x 轴的平行线与其相应的准线分别相交于M ，N ，则直线AN ，BM 均过线段EF 的中点．结论139：过圆锥曲线（可以是非标准状态下）焦点弦的一个端点向其相应的准线作垂线，垂足与另一个端点的连线必经过焦点到相应的准线的垂线段的中点．结论140：AB 为垂直于椭圆2222 1 (0,0,)x y a b a b a b+=>>≠长轴上的动弦，其准线与x 轴相交于Q ，则直线AF 与BQ （或直线BF 与AQ ）的交点M 必在该椭圆上．结论141：AB 为垂直于双曲线2222 (0)x y a bλλ-=≠实轴的动弦，其准线与x 轴相交于Q ，则直线AF 与BQ （直线BF 与AQ ）的交点M 也恒在该双曲线上．结论142：AB 为垂直于抛物线()22(0)y tx x ty t ==≠或，对称轴的动弦，其准线与x 轴相交于Q ，则直线AF 与BQ （直线BF 与AQ ）的交点M 也恒在该抛物线上．结论143：AB 为垂直于圆锥曲线的长轴（椭圆）（或实轴（双曲线）或对称轴（抛物线））的动弦，其准线与x 轴相交于Q ，则直线AF 与BQ （直线BF 与AQ ）的交点M 也恒在该圆锥曲线上．结论144：圆锥曲线的焦点弦AM （不为通径，若双曲线则为单支弦），则在x 轴上有且只有一点Q 使AQF MQF ∠=∠．结论145：过F 任作圆锥曲线的一条弦AB （若是双曲线则为单支弦），分别过A 、B 作准线l 的垂线（Q 是其相应准线与x 轴的交点），垂足为11,A B ，则直线1AB 与直线1A B 都经过QF 的中点K ，即11A K B 、、及1B K A 、、三点共线．结论146：若AM 、BM 是圆锥曲线过点F 且关于长轴（椭圆）对称的两条动弦(或实轴（双曲线）或对称轴（抛物线）)，如图5，则四线1111,,,AM BN NB MA 共点于K ．结论147：A 、B 分别为椭圆2222 1 (0)x y a b a b +=>>的右顶点和左顶点，P 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线AP ，BP 分别交直线2a x m =于M ，N ，则以线段MN为直径的圆必过二个定点，且椭圆外定点为Q ⎫⎝⎪⎪⎭及椭圆内定点为R ⎫⎝⎪⎪⎭结论148：A 、B 分别为双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>的右顶点和左顶点，P 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线AP ，BP 分别交直线2()a x m a m =>于M ，N ，则以线段MN 为直径的圆必过二个定点，且双曲线内定点为2a m Q ⎛⎫⎝+ ⎪⎪⎭及双曲线外定点为2a m R ⎛⎫⎝- ⎪⎪⎭结论149：过直线 (0)x m m =≠上但在椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>外一点M 向椭圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点2,0a N m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且有()22222AB MM b m k k a a m =-． 结论150：过直线 (0)x m m =≠上但在双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>外（即双曲线中心所在区域）一点M 向双曲线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点2,0a N m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且有()22222AB MN b m k k a m a =-． 结论151：过直线 (0)x m m =≠上但在抛物线22 (0)y px p =>外（即抛物线准线所在区域）一点M 向抛物线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点(,0)N m -，且有2AB MN p k k m=． 结论152：设点M 是圆锥曲线的准线上一点（不在双曲线的渐近线上），过点M 向圆锥曲线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过准线对应的焦点F ，且FM AB ⊥．结论153：过直线1mx ny +=上但在椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>外一点M 向椭圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点()22,N ma nb ．结论154：过直线1mx ny +=上但在双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>外（即双曲线中心所在区域）一点M 向双曲线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点()22,N ma nb ．结论155：过直线 1 (0)mx ny m +=≠上但在抛物线22 (0)y px p =>外（即抛物线准线所在区域）一点M 向抛物线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点1,pn N m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 结论156：A ，B 是椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>的左右顶点，点P 是直线 (,0)x t t a t =≠≠上的一个动点（P 不在椭圆上），直线P A 及PB 分别与椭圆相交于M ，N ，则直线MN 必与x 轴相交于定点2,0a Q t ⎛⎫⎪⎝⎭．结论157：A ，B 是在双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>的顶点，点P 是直线 (,0)x t t a t =≠≠上的一个动点（P 不在双曲线上），直线P A 及PB 分别与双曲线相交于M ，N ，则直线MN 必与x 轴相交于定点2,0a Q t ⎛⎫⎪⎝⎭． 结论158：A ，B 是抛物线22 (0)y px p =>上异于顶点O 的两个动点，若直线AB 过定点()2,0N p ，则OA OB ⊥，且A ，B 的横坐标之积及纵坐标之积均为定值．结论159：A ，B 是抛物线22 (0)y px p =>上异于顶点O 的两个动点，若OA OB ⊥，则直线AB 必过定点()2,0N p ，且A ，B 的横坐标之积及纵坐标之积均为定值．结论160：A ，B 是抛物线22 (0)y px p =>上异于顶点O 的两个动点，若OA OB ⊥，过O 作OM AB ⊥，则动点M 的轨迹方程为2220 (0)x y px x +-=≠．结论161：A ，B 是抛物线22 (0)y px p =>上异于顶点O 的两个动点，若OA OB ⊥，则()2min 4A O BSp =．结论162：过抛物线22 (0)y px p =>上任一点()00,M x y 作两条弦MA ，MB ，则MA MB ⊥的充要条件是直线AB 过定点()002,N x p y +-．结论163：过抛物线22 (0)y px p =>上任一点()00,M x y 作两条弦MA ，MB ，则 (0)MA MB k k λλ=≠的充要条件是直线AB 过定点002,pN x y λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 结论164：过椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>上任一点()00,M x y 作两条弦MA ，MB ，则MA MB ⊥的充要条件是直线AB 过定点2222002222,a b b a N x y a b b a ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭． 特别地，（1）当M 为左、右顶点时，即00,0x a y =±=时，MA MB ⊥的充要条件是直线AB 过过定点()2222,0a a b N a b ⎛⎫±- ⎪ ⎪+⎝⎭．（2）当M 为上、下顶点时，即000,x y b ==±时，MA MB ⊥的充要条件是直线AB 过定点()22220,b b a N b a ⎛⎫±- ⎪ ⎪+⎝⎭．结论165：过双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>上任一点()00,M x y 作两条弦MA ，MB ，则MA MB ⊥的充要条件是直线AB 过定点2222002222,a b b a N x y a b b a ⎛⎫++ ⎪--⎝⎭． 特别地，当M 为左、右顶点时，即00,0x a y =±=时，MA MB ⊥的充要条件是直线AB 过定点()2222,0a a b a b N ⎛⎫ ±⎝+ -⎪⎪⎭结论166：过二次曲线：22Ax By Cx Dy E +++=（A ，B ，C ，D ，E 为常数，0A B +≠）上任一点()00,M x y 作两条弦MA ，MB ，若MA MB ⊥，则直线AB 恒过定点000022,Ax C By D x y A B N A B ++⎛⎫-- ⎪++⎝⎭．值得注意的是：在结论166中 （1）令000,1,2,0A D B C p x y ====-==就是结论159；（2）令0,1,2A D B C p ====-就是结论162；（3）令22,,0A a B b C D ====就得到结论164； （4）令22,,0A b B a C D ==-==就得到结论165．结论167：A ，B 是椭圆2222 1 (0)x y a b a b +=>>上不同的两个动点，若OA OB ⊥，则22222211||||a b OA OB a b++=． 结论168：A ，B 是椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>上不同的两个动点，若O A O B ⊥，则有min 11||||a b OA OB ab ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，max11||||OA OB ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结论169：A ，B 是双曲线2222 1 (0)x y b a a b -=>>上不同的两个动点（在同一支上），若OA OB ⊥，则有22222211||||b a OA OB a b-+=结论170：在抛物线22 (0)y px p =>的对称轴上存在一个定点(,0)M p ，使得过该点的任意弦AB 恒有222111||||MA MB p+=结论171：在椭圆2222 1 (0)x y a b a b +=>>的长轴上存在定点M ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，使得过该点的任意弦AB 恒有2222411||||a b MA MB b ++=．结论172：在双曲线2222 1 (0)x y a b a b -=>>的实轴上存在定点M ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，使得过该点的任意弦AB 恒有2222411||||a b MA MB b ++=．结论173：过椭圆2222 1 (0)x y a b a b +=>>的焦点F 作一条直线与椭圆相交于M 、N ，与y 轴相交于P ，若,PM MF PN NF λμ==，则λμ+为定值，且222a bλμ+=-．结论174：过双曲线2222 1 (00)x y a b a b -=>>，的焦点F 作一条直线与双曲线相交于M 、N ，与y 轴相交于P ，若,PM MF PN NF λμ==，则λμ+为定值，且222a bλμ+=．结论175：过抛物线22 (0)y px p =>的焦点F 作一条直线与抛物线相交于M 、N ，与y 轴相交于P ，若,PM MF PN NF λμ==，则λμ+为定值，且1λμ+=-．结论176：过椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>的焦点F 作一条直线与椭圆相交于M 、N ，与相应准线相交于P ，若,PM MF PN NF λμ==，则λμ+为定值，且0λμ+=．结论177：过双曲线2222 1 (00)x y a b a b-=>>，的焦点F 作一条直线与双曲线相交于M 、N ，与相应准线相交于P ，若,PM MF PN NF λμ==，则λμ+为定值，且0λμ+=．结论178：过抛物线22 (0)y px p =>的焦点F 作一条直线与抛物线相交于M 、N ，与准线相交于P ，若,PM MF PN NF λμ==，则λμ+为定值，且0λμ+=．结论179：MN 是垂直椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>长轴的动弦，P 是椭圆上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，若,PE EM PF FN λμ==，则λμ+为定值，且0λμ+=．结论180：MN 是垂直双曲线2222 1 (00)x y a b a b-=>>，实轴的动弦，P 是双曲线上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，若,PE EM PF FN λμ==，则λμ+为定值，且0λμ+=． 结论181：MN 是垂直抛物线22 (0)y px p =>对称轴的动弦，P 是抛物线上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，若,PE EM PF FN λμ==，则λμ+为定值，且0λμ+=．结论182：MN 是垂直椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>长轴的动弦，P 是椭圆上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，A 为长轴顶点，若,OE EA OF FA λμ==，则λμ+为定值，且1λμ+=-．结论183：MN 是垂直双曲线2222 1 (00)x y a b a b-=>>，实轴的动弦，P 是双曲线上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，A 为实轴顶点，若,OE EA OF FA λμ==，则λμ+为定值，且1λμ+=-． 结论184：MN 是垂直抛物线22 (0)y px p =>对称轴的动弦，P 是抛物线上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，A 为抛物线焦点，若,OE EA OF FA λμ==，则λμ+为定值，且112λμ+=．结论185（补充）：点P 是椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>上任意一点，弦P A 、PB 分别过定点(,0)M m -、(,0)N m ，（0m a <<），且,PM MA PN NB λμ==，则λμ+为定值，且()22222a m a mλμ++=-结论186（补充）：点P 是双曲线2222 1 (00)x y a b a b-=>>，上任意一点，弦P A 、PB 分别过定点(,0)M m -、(,0)N m ，（0m a <<），且,PM MA PN NB λμ==，则λμ+为定值，且()22222a m a mλμ++=-．结论187：（补充）：M 、P 是圆222:( 0)C x y r r +=>上任意两点，点M 关于x 轴对称点为N ，若直线PM 、PN 与x 轴分别相交于点(,0),(,0)A m B n ，则mn 为定值，且2mn r =．。
解析几何常用结论
2.用点斜式（斜截式）先考虑斜率是否存在。
3.用截距式 ，先考虑是否经过原点，与坐标轴是否垂直（否则不存在）
4.参数式 （α为直线倾斜角）
5. 其中椭圆为 ， ， ，则
6.已知椭圆 ，A为定点，则 = ，可求最值。
又， ，则 ，可求出最小值。
7.圆锥曲线中类似极坐标的处理方式。椭圆：设 ， ， ，角 ，
抛物线用极坐标也很简单。已知抛物线 ，设 ，同理 。若要设点，常设（ ），而不是（ ）
一些结论
1.①P任意动，有 = （可用点差法证明）
②CD为任意与椭圆有两个交点的直线，E为CD中点，有 。
（若.弦中点常用点差法， ，两式做差， ，再利用
3.对于任意直线 经过E（m,0），设A ，由抛物线与直线联立可得， ，
高中数学中的解析几何的常用结论
解析几何的常用结论一．有关椭圆的经典结论焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 范围 顶点轴长焦点焦距 对称性离心率1.椭圆的两焦点分别为12,F F ,P 是椭圆上任意一点,则有以下结论成立:(1)第一定义：122PF PF a +=； (2)焦半径的最大值与最小值：1a c PF a c -≤≤+；(3)2212b PF PF a ≤⋅≤；2.设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,12,F F 为其焦点，记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+；(2)焦点三角形的面积： 122||=tan 2PF F P S c y b θ∆=；(3)当P 点位于短轴顶点处时,θ最大,此时12PF F S ∆也最大；3.有关22b a-的经典结论(1).AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.(2).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），12,A A 为椭圆的长轴顶点，P 点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有1222PA PA b K K a=-(3). 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），12,B B 为椭圆的短轴顶点，P 点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有1222PB PB b K K a=-(4). 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PBb K K a=-4. 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为ab 225. 从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.6. 椭圆内接矩形最大面积：2ab .二．有关双曲线的经典结论焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 范围 顶点轴长焦点焦距 对称性 离心率渐近线方程1.设P 点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-. (2)焦点三角形的面积 122||=cot 2PF F P S c y b θ∆=.2.有关22b a的经典结论(1)AB 是双曲线22221x y a b -=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=，即2020ABb x K a y =。
解析几何的经典结论
解析几何的经典结论(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7.椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF⊥NF. 11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
解析几何的经典结论
有关解析几何的经典结论一、椭圆1. 点P处的切线PT平分△PF1F2 在点P 处的外角.2. PT 平分△PF1F2 在点P 处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若P0 (x0, y0 ) 在椭圆2 2x y2 2 1上，则过P0 的椭圆的切线方程是a bx x y y0 02 2 1.a b6. 若P x y 在椭圆0 ( 0, 0 )2 2x y x x y y1 、P2，则切点弦P1P2 的直线方程是0 02 2 1 2 2 1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为Pa b a b.7. 椭圆2 2x y2 2 1a b1，F2 ，点P 为椭圆上任意一点(a ＞b＞0) 的左右焦点分别为 FF PF ，则椭圆的焦点角形的面积为1 2S b .F PF1 228. 椭圆2 2x y2 2 1（a＞b＞0）的焦半径公式：a b| MF | a ex , | MF2 | a ex0 ( F1( c,0) , F2(c,0) M (x0, y0 ) ).1 09. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点，A1P 和A2Q交于点M，A2P 和A1Q交于点N，则MF⊥NF.11. AB是椭圆2 2x y2 2 1a b的不平行于对称轴的弦，M( x0 , y0 ) 为AB的中点，则k kOM AB2b2a，即2b xK AB 。
2a y12. 若P0 (x0, y0 ) 在椭圆2 2x y2 2 1内，则被Po所平分的中点弦的方程是a b2 2x x y y x y0 0 0 02 2 2 2a b a b.13. 若P0 (x0, y0 ) 在椭圆2 2x y2 2 1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是a b2 2x y x x y y0 02 2 2 2a b a b.二、双曲线1. 点P 处的切线PT平分△PF1F2 在点P 处的内角.2. PT平分△PF1F2 在点P 处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切. （内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若P x y 在双曲线0 ( 0 , 0)2 2x y2 2 1a b（a＞0,b ＞0）上，则过P0 的双曲线的切线方程是x x y y0 02 2 1.a b6. 若P0 (x0 ,y0) 在双曲线2 2x y2 2 1a b1、P2，则切点弦P1P2 的直线（a＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P方程是x x y y0 02 2 1.a b14. 双曲线2 2x y2 2 11，F2，点P 为双曲线上任意一点（a＞0,b ＞o）的左右焦点分别为 Fa bF PF ，则双曲线的焦点角1 2形的面积为 2 tS b co .F PF1 2215. 双曲线2 2x y2 2 1（a＞0,b ＞o）的焦半径公式：( F1( c,0) , F2 (c,0)a b当M (x , y ) 在右支上时，| MF1 | ex0 a , | MF2 | ex0 a .0 0当M (x , y ) 在左支上时，| MF1 | ex0 a, | MF2 | ex0 a0 016. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交P 、Q两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.17. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点，A1P 和A2Q交于点M，A2P 和A1Q交于点N，则MF⊥NF.18. AB是双曲线2 2x y2 2 1a b（a＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M( 0 ,y )x 为AB的中点，则2b xK OM K AB ，即2a y2b xK AB 。
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有关解析几何的经典结论一、椭圆1. 点 P 处的切线 PT 平分△ PF 1F 2 在点 P 处的外角 .2.PT 平分△ PF 1F 2 在点 P 处的外角， 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 .3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相离 .4.以焦点半径 PF 1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 .5.若 P 0 ( x 0 , y 0 ) 在椭圆x 2y 21上，则过x 0 x y 0 y 1. 22P 0 的椭圆的切线方程是b 2a ba 26.若 P 0 ( x 0 , y 0 ) 在椭圆x 2 y 2 1外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点a2b2弦 P P 的直线方程是x 0 x y 0 y 1.12a2b27.椭圆x 2 y 2 1 (a ＞ b ＞ 0) 的左右焦点分别为F 1 ， F 2 ，点 P 为椭圆上任意一点a 2b 2F 1 PF 2，则椭圆的焦点角形的面积为SF PF2b 2 tan .128.椭圆 x 2y 2 1（ a ＞ b ＞ 0）的焦半径公式：a 2b 2| MF 1 | a ex 0 , | MF 2 | a ex 0 ( F 1 ( c,0) , F 2 (c,0) M ( x 0 , y 0 ) ).9.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交P 、 Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、 N 两点，则 MF ⊥ NF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 、 A 为椭圆长轴上的顶点， A P 和 A Q121 2交于点 M ， A P 和 A Q 交于点 N ，则 MF ⊥NF.2111. AB 是 椭 圆x 2y 2 1 的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 ， M (x 0 , y 0 ) 为 AB 的 中 点 ， 则a 2b 2kOMkABb 2a 2，即K ABb 2 x 0 。
解析几何的结论
有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=. 6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=. 7.椭圆22221x y a b+= a ＞b ＞0的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFS b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=a ＞b ＞0的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y .9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M,A 2P 和A 1Q 交于点N,则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则22OM AB b k k a ⋅=-,即0202y a x b K AB -=;12.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.13.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b +=+. 二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.内切：P 在右支；外切：P 在左支5.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=a ＞0,b ＞0上,则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b -=. 6.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=a ＞0,b ＞0外 ,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7.双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞o 的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=,则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PFS b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞o 的焦半径公式：1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时,10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时,10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M,A 2P和A 1Q 交于点N,则MF ⊥NF. 11.AB 是双曲线22221x y a b -=a ＞0,b ＞0的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则0202y a x b K K AB OM =⋅,即0202y a x b K AB =;12. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞0内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-.13. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞0内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b-=-. 椭圆与双曲线的对偶性质--会推导的经典结论椭 圆1.椭圆22221x y a b+=a ＞b ＞o 的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.2.过椭圆22221x y a b+= a ＞0, b ＞0上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点,则直线BC 有定向且2020BCb x k a y =常数.3. 若P 为椭圆22221x y a b +=a ＞b ＞0上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点,12PF F α∠=,21PF F β∠=,则tan t 22a c co a c αβ-=+.4.设椭圆22221x y a b+=a ＞b ＞0的两个焦点为F 1、F 2,P 异于长轴端点为椭圆上任意一点,在△PF 1F 2中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有sin sin sin ce aαβγ==+.5.若椭圆22221x y a b+=a ＞b ＞0的左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为L,则当0＜e 1时,可在椭圆上求一点P,使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6. P 为椭圆22221x y a b +=a ＞b ＞0上任一点,F 1,F 2为二焦点,A 为椭圆内一定点,则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时,等号成立.7.椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.8.已知椭圆22221x y a b +=a ＞b ＞0,O 为坐标原点,P 、Q 为椭圆上两动点,且OP OQ ⊥.122221111||||OP OQ a b+=+;2|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;3OPQ S ∆的最小值是2222a b a b+. 9.过椭圆22221x y a b +=a ＞b ＞0的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于P,则||||2PF eMN =. 10.已知椭圆22221x y a b+= a ＞b ＞0 ,A 、B 、是椭圆上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.11. 设P点是椭圆22221x y a b+= a ＞b ＞0上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=,则12122||||1cos b PF PF θ=+.2 122tan2PF FS b γ∆=.12. 设A 、B 是椭圆22221x y a b+= a ＞b ＞0的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有122222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.22tan tan 1eαβ=-.3 22222cot PABa b S b a γ∆=-.13.已知椭圆22221x y a b+= a ＞b ＞0的右准线l 与x 轴相交于点E ,过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BCx ⊥轴,则直线AC 经过线段EF 的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e 离心率.注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.双曲线1.双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞0的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.2.过双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞o 上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-常数.3.若P 为双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞0右或左支上除顶点外的任一点,F 1, F2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=,则tan t 22c a co c a αβ-=+或tan t 22c a co c a βα-=+.4.设双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞0的两个焦点为F 1、F 2,P 异于长轴端点为双曲线上任意一点,在△PF 1F2中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.5.若双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞0的左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为L,则当1＜e 1时,可在双曲线上求一点P,使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6. P 为双曲线22221x y a b -=a ＞0,b ＞0上任一点,F 1,F 2为二焦点,A 为双曲线内一定点,则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时,等号成立.7. 双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞0与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A a B b C -≤.8. 已知双曲线22221x y a b-=b ＞a ＞0,O 为坐标原点,P 、Q 为双曲线上两动点,且OP OQ ⊥.122221111||||OP OQ a b+=-;2|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;3OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -. 9.过双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞0的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于P,则||||2PF eMN =. 10.已知双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞0,A 、B 是双曲线上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+≥或220a b x a +≤-.11.设P 点是双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞0上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=,则12122||||1cos b PF PF θ=-.2 122cot 2PF F S b γ∆=.12.设A 、B 是双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞0的长轴两端点,P 是双曲线上的一点,PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有122222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-.2 2tan tan 1eαβ=-.3 22222cot PABa b S b aγ∆=+.13.已知双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞0的右准线l 与x 轴相交于点E ,过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF 的中点.14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e 离心率. 注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦,利用方程的根与系数关系来计算弦长,常用的弦长公式：212122111AB k x x y y k =+-=+-2、直线的一般式方程：任何直线均可写成A,B 不同时为0的形式;3、知直线横截距,常设其方程为它不适用于斜率为0的直线与直线垂直的直线可表示为;4、两平行线间的距离为;5、若直线与直线平行则斜率且在轴上截距 充要条件6、圆的一般方程：,特别提醒：只有当时,方程才表示圆心为,半径为的圆;二元二次方程表示圆的充要条件是且且;7、圆的参数方程：为参数,其中圆心为,半径为;圆的参数方程的主要应用是三角换元：；8、为直径端点的圆方程切线长：过圆外一点所引圆的切线的长为9、弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距,弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：；②过两圆、交点的圆公共弦系为,当时,方程为两圆公共弦所在直线方程.;。
解析几何常用公式结论
1、斜率公式 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.2、直线的五种方程（熟练掌握两点和截距式、一般式）（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).点法式和点向式在求直线方程时较直观. 3、两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠；11112222A B C l l A B C ⇔==与重合 ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 4、到角公式和夹角公式 1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 夹角公式(1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π.当12121210k k A A B B =-+=或时，直线12l l ⊥，直线l 1到l 2的角及l 1及l 2的夹角都是2π.5、四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．6、点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).7、两条平行线：1122:0:0l Ax By C l Ax By C ++=++=与之间的距离是：d =8、点(,)P u v 关于点(,)Q s t 的对称点的坐标为：(2,2)s u t v --.特别地，点(,P u v 关于原点的对称点的坐标为：(20,20)u v ⨯-⨯-，即(,)u v --.9、直线0Ax By C ++=关于点(,)P u v 对称的直线的方程为：(2)(2)0A u x B v y C -+-+=. 直线0Ax By C ++=关于原点、x 轴，y 轴对称的直线的方程分别为：()()0A x B y C -+-+=，()0Ax B y C +-+=，()0A x By C -++=.10、直线0Ax By C ++=关于直线,x u y v ==对称的直线的方程分别为： (2)0A u x By C -++=，(2)0Ax B v y C +-+=.11、曲线(,)0f x y =关于点(,)P u v 对称的直线的方程为：(2,2)0f u x v y --=.12、点(,)P s t 关于直线0Ax By C ++=的对称点的坐标为：22(2As By Cs A A B ++-⨯+，222)As By Ct B A B++-⨯+.特别地，当||||0A B =≠时，点(,)P s t 关于直线0Ax By C ++=的对称点的坐标为：(,)Bt C As CA B++--.点(,)P s t 关于x 轴、y 轴，直线x u =，直线y v =的对称点的坐标分别为：(,),(,),(2,),(,2)s t s t u s t s v t ----. 13、0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 14、111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是：12111222()()0B B A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域是上上、下下两部分；12111222()()0B B A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下、下上两部分. 12111222()()0A A A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域是左左、右右两部分； 12111222()()0A A A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域左右、右左两部分.15、圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).16、 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．17、点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.18、直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA CBb Aa d +++=.19、两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .20、圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x x E y y x x y y F ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点00(,)P x y 的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k的圆的切线方程为y kx =±21、椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.22、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.23、椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b ⇔+>. 24、椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c +=.25、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.26、双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b⇔-<. 27、双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.28、双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. （3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=.29、椭圆、双曲线的心准距是：2a c ，焦准距是：2b c ，通径长是：22b a.30、过椭圆、双曲线的焦点的弦长为：22222|cos |ab a c θ-，过顶点的弦长为：22222|cos |cos ab a c θθ-，其中θ是弦与长（实）轴所成的一个角（是锐角或直角或钝角都可以）.31、抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+.过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122.32、抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中 22y px = . 33、二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-；（3）准线方程是2414ac b y a--=. 34、抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 35、抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.（2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+. （3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =. 36、两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.37、直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =|AB|y , 剩下x ,后者适用于消去x ，剩下y ）或AB =1212||||x x y y =-=-（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程(,)0y kx b F x y =+⎧⎨=⎩ 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）. 38、圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=.（2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B++++--=++. 39、“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y+代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均可由此方程得到.。
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有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=. 6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7.椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即0202y a x b K AB-=。
12.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.13.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+. 二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b-=. 6.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PFS b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即22y a x b K AB=。
12.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b -=-.13.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b-=-. 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）椭 圆1.椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.2.过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BCb x k a y =（常数）.3. 若P为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+.4.设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.5.若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6. P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.7.椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.8.已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.9.过椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 10.已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.11. 设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan2PF FS b γ∆=.12.设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2)2tan tan 1e αβ=-.(3)22222cot PABa b S b aγ∆=-.13.已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C在右准线l 上，且BCx ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.双曲线1.双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.2.过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且202BCb x k a y =-（常数）.3. 若P为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）.4.设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.5.若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜e 1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6.P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立.7.双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC -≤.8.已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b+=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -.9.过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF e MN =.10.已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+≥或220a b x a+≤-.11. 设P 点是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122cot2PF FS b γ∆=.12. 设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1eαβ=-.(3) 22222cot PABa b S b a γ∆=+.13.已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BCx ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：212122111AB k x x y y k=+-=+-2、直线的一般式方程：任何直线均可写成(A,B 不同时为0)的形式。