解答-运筹学-第一章-线性规划及其单纯形法习题讲课讲稿
运筹学讲义_1线性规划
第一章 线性规划【教学内容】线性规划模型，图解法，可行区域的几何结构，基本可行解及线性规划的基本定理，单 纯形方法，单纯形表，两阶段法，关于单纯形方法的几点说明，对偶线性规划，对偶理论， 对偶单纯形法，求解线性规划问题的几个常用软件。
【教学要求】要求学生理解线性规划的标准形式，能熟练的将一般的线性规划问题化为标准形式；掌 握图解法，能用单纯形法求解线性规划问题；掌握灵敏度分析方法，能够建立线性规划模型 及用常用软件求解线性规划问题。
【教学重点】线性规划模型，图解法，单纯形方法，单纯形表，两阶段法，对偶线性规划，对偶单纯 形法，灵敏度分析。
【教学难点】基本可行解及线性规划的基本定理，单纯形方法，对偶线性规划，对偶理论，对偶单纯 形法。
第一节 线性规划模型线性规划(Linear Programming ， 简记为 LP )问题研究的是在一组线性约束条件下一个线 性函数最优问题。
§1．1 线性规划问题举例例 1.1.1 某工厂用 3 种原料 3 2 1 , , P P P 生产 3 种产品 3 2 1 , , Q Q Q 。
已知单位产品所需原 料数量如表 1.1.1 所示，试制订出利润最大的生产计划。
453 单位产品的利润（千元）20005 2 800 4 2 0 P 2 1500 0 3 2 P 1 原料可用量Q 3Q 2 Q 1 单位产品所需产品原料数量(kg)原料3P 3表 1.1.1分析 设产品 j Q 的产量为 j x 个单位， 3 , 2 , 1 = j ，它们受到一些条件的限制。
首先， 它们不能取负值，即必须有 3 , 2 , 1 , 0 = ³ j x j ；其次，根据题设，三种原料的消耗量分别不 能超过它们的可用量，即它们又必须满足：1223 123 231500 24800 3252000 x x x x x x x +£ ì ï+£ í ï ++£ î我们希望在以上约束条件下，求出 3 2 1 , , x x x ，使总利润 3 2 1 4 5 3 x x x z + + = 达到最大， 故求解该问题的数学模型为：123 12 23 123 max 354 231500 24800 .. 3252000 0,1,2,3j z x x x x x x x s t x x x x j =++ +£ ì ï +£ ï í++£ ï ï ³= î 类似这样的问题非常多。
第01章 线性规划及单纯形法 《运筹学》PPT课件
(f)可行域为空集 无可行解
线性 规划 及单 纯形
法
❖ 线性规划问题及数学模型 ❖ 图解法 ❖ 单纯形法原理 ❖ 单纯形法计算步骤 ❖ 单纯形法进一步讨论 ❖ 数据包络分析 ❖ 其他应用例子
§3
单
纯
线性规划问题的解的概念 凸集及其顶点
形
几个基本定理
法
原
理
线性规划问题
n
max z c j x j j 1
j 1
标 准
s.t.
n j 1
pjxj
b
x
j
0
j 1,2,, n
型
a1 j
其中：
pj
a2
j
amj
把一般的LP化成标准型的过程称为 线性规划问题的标准化
方法：
1 目标标准化
标
min Z 等价于 max ( - Z )
准
max Z’=-∑cjxj 2 化约束为等式
化
加松弛变量、减剩余变量
广度和深度、方法和算法的完
善
特点：
模型方法的应用
运
多学科的综合
筹
系统的整体观念
学 优点：
模 符号语言、便于交流
型
事前分析、减少失误
抽象反映实际、突出共性
确定目标，明确约束 提出问题 抓主要矛盾、舍次要矛盾
运
筹
选择模型、设定变量 建立模型
描述约束和目标、确定参数
学
方
求解、优化 选择求解方法、求解问题
法
(1.1a) (1.1b)
(1.1c) (1.1d)
运用图解法，以求出最优生产计划 （最优解）。
由于线性规划模型中只有两个决策
第01章 线性规划与单纯形法-运筹学
方案 规格
1 2 1
2 2 0
3 1 2
4 1 1
5 1 0
6 0 4
7 0 3
8 0 2
9 0 1
10 0 0
需求量 1000 1000
y1(根) y2
y3
余料（m）
0
0
1
0.3
0
0.5
2
0.1
3
0.4
0
0
1
0.3
2
0.6
4
0.2
5
0.5
1000
2013-6-6
第 13页
第1章 线性规划及单纯形法
充分利用设备机台时，工厂应生产Ⅰ和Ⅱ产品各多少件才能获得最大利润？试列出相应的
线性规划数学模型。
A Ⅰ 2
B 4
C 0
产品利润／ （元／件） 2
Ⅱ
设备可用机 时数（工时）
2
12
0
16
5
15
3
2013-6-6
第 4页
第1章 线性规划及单纯形法
运筹学
解：设Ⅰ、Ⅱ产品的生产数量分别为x1和x2，建立问题数学模型如下：
1 0 0
0 1 0.3
2 0 0.5
1 2 0.1
0 3 o.4 0 0
4
3 1 0.3
2 2 0.6
1 4 0.2
0 5 0.5
1000 1000
第 14页
第1章 线性规划及单纯形法
运筹学
例1.4 配料问题。某钢铁公司生产一种合金，要求的成分规格是：锡不少于28%， 锌不多于15%，铅恰好10%，镍要界于35%~55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司 拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如下表所示。 矿石杂质在治炼过程中废弃，现要求每吨合金成本最低的矿物数量。假设矿石在 冶炼过程中，合金含量没有发生变化。
第1章-线性规划及单纯形法-课件(1)
✓ x1、 x2 0
IБайду номын сангаас
设备
1
原材料 A 4
原材料 B 0
利润
2
II 资源限量
2 8 台时
0
16kg
4
12kg
3
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
该计划的数学模型
✓ 目标函数 ✓ 约束条件
Max Z = 2x1 + 3x2
x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x1
✓ 美国航空公司关于哪架飞机用于哪一航班和哪些 机组人员被安排于哪架飞机的决策。
✓ 美国国防部关于如何从现有的一些基地向海湾运 送海湾战争所需要的人员和物资的决策。
✓ ……
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
二、线性规划问题的数学模型
✓ 1、一般形式 ✓ 2、简写形式 ✓ 3、表格形式 ✓ 4、向量形式 ✓ 5、矩阵形式
1、唯一最优解
max Z 2 x 1 3 x 2
2 x 1 2 x 2 12 ⑴
x1 4 x1
2 x2
8 16
⑵ ⑶
4 x 2 12 ⑷
x 1 0 , x 2 0
1 234 56
x2
⑶ ⑷
(4，2)
0 1 234 5678
x1
⑵
⑴
✓最优解：x1 = 4,x2 = 2，有唯一最优解Z=14。
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
三、线性规划模型的标准形式
✓ 1、标准形式 ✓ 2、转换方式
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
1、标准形式
maZx cjxj
xj
aijxj 0
bi
解答运筹学第一章线性规划及其单纯形法习题课件
CB
XB
解，哪些是基解，哪些是基可行解。
序号
X1
X2
X3
X4
X5
A
2
4
3
0
0
B
10
0
-5
0
4
C
3
0
2
7
4
D
1
4.5
4
0
-0.5
E
0
2
5
6
2
F
0
4 5 2 解答运筹学第一章线性规划及其单纯形法习题
0
可行解有(a), (c), (e), (f);
p1 p2 p3 p4 p5
1 0 1 0 0
A 1
2
0
1
0
√
5
p2 p4
(0, -1/2, 0, 2)
×
6
p3
p4 (0, 0, 1, 1) 解答运筹学第一章线性规划及其单纯形法习题
√
4、已知线性规划问题 :
max Z x1 3x2
x1
x3
5
1
st.x1
2x2 x2
x4
10 2
x5 4
3
x1 ... x5 0
4
下表中所列的解均满足约束条件1-3，试指出表中哪些是可行
2 1 1 0 0
A 1 3
0
1
0
4 7 1 2 1
2 1 1
1
3
0
不是基，故
X(15,5,10,0,0)
4 7 1
不是基解，更不可能是基可行解
解答运筹学第一章线性规划及其单纯形法习题
课后练习（二）
1、分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并 指出单纯形法迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一 个顶点
解答 运筹学 第一章 线性规划及其单纯形法习题
解题技巧
明确目标函数和约束条件 画出线性规划图找出可行域 利用单纯形法求解最优解 注意变量的取值范围和约束条件的有效性
ห้องสมุดไป่ตู้意事项
线性规划问题需要满足线性约束条件 单纯形法需要满足可行域条件 注意线性规划问题的最优解可能不存在 注意单纯形法的迭代次数和收敛速度
感谢您的观看
汇报人：
判断是否达到最 优解
如果没有达到最 优解则进行迭代 计算直到达到最 优解
复杂线性规划问题的求解
线性规划问题的定 义和分类
单纯形法的基本原 理和步骤
单纯形法的应用实 例：求解复杂线性 规划问题
单纯形法的优缺点 和适用范围
线性规划问题的实际应用
资源分配：合理分配资源以 最大化收益或最小化成本
生产计划：确定最优的生产 计划以最小化成本或最大化 利润
线性约束条件：约束条件是线性的 即约束条件中的变量和常数的系数 都是常数。
添加标题
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线性目标函数：目标函数是线性的 即目标函数中的变量和常数的系数 都是常数。
线性规划问题的解：线性规划问题 的解是满足所有约束条件的一组变 量值使得目标函数达到最大值或最 小值。
线性规划问题的几何解释
线性规划问题的标准形式
目标函数：线性 函数表示要最大 化或最小化的目 标
约束条件：线性 不等式或不等式 组表示决策变量 的取值范围
决策变量：表示 问题的未知数可 以是连续的或离 散的
线性规划问题的解： 满足所有约束条件 的最优解可以是唯 一的或无穷多个
单纯形法的基本原理
第三章
单纯形法的概念
单纯形法是一种解决线性规划 问题的方法
单纯形法的基本原 理是通过迭代求解 线性规划问题的最 优解
线性规划及单纯形法详解演示文稿
收集 数据 和 建立 模型
求解 模型 和 优化 方案
检验 模型 和 评价 方案
方案 实施 和 不断 改进
制定决策
第1章 线性规划与单纯形法
运筹学的一个主要的分支是数学规划。
数学规划研究：在一些给定的条件（约束条件）下， 求所考察函数（目标函数）在某种意义下的极值（极 小或极大）问题。 例如：在经济决策中，经常会遇到诸如在有限的资源 （人、原材料、资金等）情况下，如何合理安排生产， 使效益达到最大；或者给定具体的任务，如何统筹安 排现有资源，能够完成给定的任务，使花费最小这类 问题。 在这章，我们重点介绍的是应用最为广泛的线性规划 问题。
自己动手试一试【解】 两种新产品的有关数据如表：
车间
1 2 3
单位利润 （元）
单位产品的生产时间 （小时）
门
窗
1
0
0
2
3
2
每周可获得的生产时间 （小时）
4 12 18
300
500
自己动手试一试【解】 设x1为每周门的产量（扇），x2为每周窗的产量 （扇）。 线性规划模型如下：
maxz 300x1 500x2
仅仅生产II产品，设备的生产能力还有剩余。结论是 两种产品都要进行生产。 （4）两种产品的产量会受到什么限制条件呢？ 各种设备的生产能力，即占用各种设备的工时。 （5）要决策的问题是：I产品生产多少？II产品生产多 少？才能实现利润最大化呢？
一、线性规划模型实例（问题的提出）
按工艺资料规定，
生产例每1件-产1【品解I需】占：用各设备分别为2、1、4、0h；
二、线性规划问题的数据模型
1、线性规划模型的一般表达形式 （1）一般形式
min或（max）z c1x1 c2 x2 ... cn xn a11x1 a12 x2 ... a1n xn (, )b1
运筹学讲义第一章
4x 1<164x 2 _12a 21X 1 a 22X 2 ... a 2n X n 十，-）b a m1 X 1第一章线性规划的单纯形法§.1线性规划的基本概念建立数学模型：设X i ,X 2分别是生产的件数，则有:maxz = 2x 1 3x 2x 1, x 2 0这里X 1,X 2称为决策变量。
目标函数与约束条件关于决策变量是线 性的称为线性规划线性规划的一般形式:max(min)z yxr c 2x 2 …厲人耳必+%X 2 +...+九人兰（=,a ）ba m2X 2 ・・・ a mn X n - (一, —)bm x ,,x 2,..,x n 一（专0或无约束2. 线性规划的标准形maxz 二C1X1 …Cn X n"a^x, +ai2x2+••• + 印*人=Ra21^ +a22x2+... + a2n x n= b2a m1 为* a m2 X2 * …+ a mn 人=b m捲_ 0,X2_0,...,X n_0特点：目标函数求极大；等式约束；变量非负。
^令c =(G,c2,…,q), X = (X1,X2，…,x n) , A = (a ij )m n，b=(九^,…,b m ) 则线性规划标准形的矩阵表达式为:max z = exAx = bx _0约定：b — 0,m ^ n,秩A=m.如何化标准形：（I）目标函数实现极大化，即min z=cx，令w--z，则m w丸；（II ）约束条件为不等式约束条件为“「不等式，则在约束条件的左端加上一个非负的松弛变量；约束条件为“ 一”不等式，则在约束条件的左端减去一个非负的松弛变量。
（III ）若存在无约束的变量X k，可令X k = Xk - x k，其中x k 一0,x'k- 0.故有 x^ -B 4b 。
由此，得到Ax -b 的一个解例1.将线性规划min z = -捲 2x 2x-i x 2 x 3 _ 2* X i — X ? + X 3 乏 1论Z0,x 2兰0,x 3无约束化为标准形。
第一章线性规划问题及单纯形解法2讲课文档
第八页，共65页。
例1.2-2 运输问题
单台 运费
B1
B2
B3
(100) (80) (90,120)
A1(200) 15 21
18
A2(150) 16 25
16
问题：如何调运才能即满足用户需要，又使 总运费最少？
9
第九页，共65页。
设 xij 表示从 Ai 调到 Bj 的调拨
数
Min s.t.
33
第三十三页，共65页。
图中的OABC即为满足约束条件的可行解集S,需在S中找出
最优解,若z 为一常数 z0则z0=5x1+4x2为目标函数等值线
（x1=10/7,x2=15/7,z*=110/7)。
34
第三十四页，共65页。
例1.2-2 假设上例中的目标函数变为
z=3x1+5x2
此时最优目标函数等值线与AB边重合，AB
若基解中所有的x最优解可行解基解和基可行解举例43可行解基础解和基础可行解举例变量基变量图中的点基础可行解最优解可行解444513单纯型法的基本思路确定初始基可行解是否为最优确定改善方向求新的基可行解求最优解的目标函数值是初始可行基向量则目标函数可写为两部分1约束条件也写为两部分经整理得47iviiiii单纯形表48例11试列出下面线性规划问题的初始单纯形表244540404524obj404524始基础可行基对于max松弛变量对应的列构成一个单检验当前基础可行解是否为最优解所有检验数0则为最优解否则132标准型的单纯型法基本步骤50ijij称为主元迭代以主元为中心进行迭代的实质是线性变换即要将主元变为1主列上其它元素变为0变换步骤如下
a
m
1
x
1
am2x2
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st.
x1' 2x1'
x2 (x3' x3'' )
4
x2 (x3' x3'' ) x4 6
x1' 0 x2 0 x3' ,x3'' 0 x4 0
3 对下述线性规划问题找出所有基解，指出那些是基可行 解，并确定最优值。
min
Z
5 x1
2x 2
3x 3
2x 4
x 2x 3x 4x 7
s.t
.
X(9,7,0,0,0)
为非可行域上的点，故不是
2 1 1 0 0
A 1
3
0
1
0
4 7 1 2 1
2 1 1
1
3
0
不是基，故
X(15,5,10,0,0)
4 7 1
不是基解，更不可能是基可行解
课后练习（二）
1、分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并 指出单纯形法迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一 个顶点
0
2
x1 15
1
-1
x2
5
0
检验数j -25 0
4
-5
1
-3
0 30/4=7.5
-1 2
0
1
0
-
2
-3
0
-1
1
10/2=5
1 -3 0 -2 0
0
1
1
-1 -2
0 1/2 0 1/2 1/2 1 -3/2 0 -1/2 1/2
0 -3/2 0 -3/2 -1/2
同理： （2）为无界解
3 用单纯形法中的大M法求解下列线性规划问题，并指出属 那一类解
min Z 2x1 3x2 x3
化为标准式有
st. 3x1x1
4x2 2x2
2x3
8 6
x1, x2 , x3 0
maxZ2x13x2x30x40x5Mx6Mx7
st.3x1x1
4x2 2x3 x4
x6
2x2
x5
x7
x1~70
8 6
Cj
-2 -3 -1 0 0 -M -M 比
5x1
st.
3x1 4x1
6x2 3x2 2x2
4x3 4x4 20 2x3 8x4 25 x3 3x4 10
xj 0 ( j 1,2,3,4)
Cj
2 -1 1 0 0 0 比
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
值
0
x4 60
3
1
1
1
0
0 60/3=20
0
x5 10
1
-1 2
0
1
0 10/1=10
0
x6 20
1
1
-1
0
0
1 20/1=20
检验数j 0
2 -1 1
0
0
0
0
x4 30
0
2
x1 10
1
0
x6 10
0
检验数j -20 0
4
-5
-1 2
2
-3
1 -3
1
-3
0
1
0
-1
0 -2
0 30/4=7.5
0
-
1
10/2=5
0
0
x4 30
0
2
x1 10
1
0
x6 10
0
检验数j -20 0
0
x4 10
X(9,7,0,0,8) X(15,5,10,0,0)
2 1 1 0 0
A 1
3
0
1
0
4 7 1 2 1
2 1 0
1
3
1
4 7 2
不是基，故 X(5,15,0,20,0)
不是基解，更不可能是基可行解
2 1 0
1
3
0
是基，故 X(9,7,0,0,8) 是基解
4 7 1
又由于其每个分量非负，故为基可行解
解答-运筹学-第一章-线性规划 及其单纯形法习题
2、将下述线性规划问题化成标准形式
min Z 2 x1 2 x2 3x3
st.
x1 x2 x3 4 2 x1 x2 x3 6
x1 0, x2 0, x3无约束
解：
maxZ' 2x1' 2x2 3(x3' x3'' )0x4
0
0
B
10
0
-5
0
4
C
3
0
2
7
4
D
1
4.5
4
0
-0.5
E
0
2
5
6
2
F
0
4
5
2
0
可行解有(a), (c), (e), (f);
p1 p2 p3 p4 p5
1 0 1 0 0 A 1 2 0 1 0
0 1 0 0 1
1 0 1
1
2
0
0 1 0
是基
0 1 0
2
0
1
是基
1 0 0
1 1 0
9
3
4
1
0 9/3=3
0 x4
8
5
20
1
8/5
检验数j 0 10 5 0 0
0 x3 21/5 0 14/5 1 -3/5 3/2
10 x1 8/5 1 2/5 0 1/5
4
检验数j -80/5 0
1
0
-2
5 x2 3/2 0
10 x1 1
1
检验数j -175/10 0
1 5/14 -3/14 0 -1/7 2/7 0 -5/14 -25/14
√
√
5
p2 p4
√√6来自p3 p4√√
序号 1
基 p1 p2
基解
(-4, 11/2, 0 , 0)
是否为基可行解
×
2
p1 p3
(2/5, 0, 11/5 , 0) √
3
p1 p4
(-1/3, 0, 0, 11/6)
×
4
p2 p3
(0, 1/2, 2, 0)
√
5
p2 p4
(0, -1/2, 0, 2)
×
同理： （2） X*=(3.5, 1.5, 7.5, 0, 0) Z*=8.5
2 用单纯形法求解下列线性规划问题
max Z 2x1 x2 x3
3x1
st.
x1 x1
x2
x3 60
x2
2x3 10
x2
x3 20
x j 0 ( j 1, 2,3)
maxZ 6x1 2x2 10x3 8x4
6
p3 p4
(0, 0, 1, 1) √
4、已知线性规划问题 :
max Z x1 3x2
x1
x3
5
1
st.x1
2x2 x2
x4
10 2
x5 4
3
x1 ... x5 0
4
下表中所列的解均满足约束条件1-3，试指出表中哪些是可行
解，哪些是基解，哪些是基可行解。
序号
X1
X2
X3
X4
X5
A
2
4
3
m ax Z 10 x1 5 x2
s
t
.
3 5
x x
1 1
4 2
x2 x2
9 8
x 1 , x 2 0
m ax Z 2 x1 x2
5 x2 15
s
t
.
6
x1 x1
2 x2 x2
24 5
x 1 , x 2 0
Cj
10 5 0 0 比
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
值
0 x3
1
2x 1
2
2x 2
3
x 3
4
2x 4
3
x 0( j 1,...., 4) j
关键：判断2个列向量线性相关性，若线性无关，则成为基
A
1 2
2 2
3 1
4 2
p1 p2 p3 p4
序号 向量组
A
1 2
2 2
3 1
4 2
是否线性无关 是否为基
1
p1 p2
√
√
2
p1 p3
√
√
3
p1 p4
√
√
4
p2 p3
1
0
0
0 0 1
是基
基解有(a), (b), (f); 基可行解有(a) (f).
5 已知某线性规划问题的约束条件为
2x1 x2 x3
25
st.4xx11
3x2 7x2
x3
x4 2x4
x5
30 85
x1 x2 x3 x4 x5 0
判断下列各点是否为该线性规划问题可行域上的顶点：
X(5,15,0,20,0)