试证明：剪应力互等定理

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材料力学简答题

材料的三个弹性常数是弹性模量E，剪切弹性模量G和泊松比μ，它们的关系是G=E/2(1+μ)。

2、何谓挠度、转角？

挠度：横截面形心在垂直于梁轴线方向上的线位移。转角：横截面绕其中性轴旋转的角位移。

3、强度理论分哪两类？最大应切力理论属于哪一类强度理论？

Ⅰ.研究脆性断裂力学因素的第一类强度理论，其中包括最大拉应力理论和最大伸长线应变理论；Ⅱ. 研究塑性屈服力学因素的第二类强度理论，其中包括最大切应力理论和形状改变能密度理论。

4、何谓变形固体？在材料力学中对变形固体有哪些基本假设？在外力作用下，会产生变形的固体材料称为变形固体。

变形固体有多种多样，其组成和性质是复杂的。对于用变形固体材料做成的构件进行强度、刚度和稳定性计算时，为了使问题得到简化，常略去一些次要的性质，而保留其主要性质。根据其主要的性质对变形固体材料作出下列假设。1.均匀连续假设。2.各向同性假设。3.小变形假设。

5、为了保证机器或结构物正常地工作，每个构件都有哪些性能要求？强度要求、刚度要求和稳定性要求。

6、用叠加法求梁的位移，应具备什么条件？

用叠加法计算梁的位移，其限制条件是，梁在荷载作用下产生的变形是微小的，且材料在线弹性范围内工作。具备了这两个条件后，梁的位移与荷载成线性关系，因此梁上每个荷载引起的位移将不受其他荷载的影响。7、列举静定梁的基本形式？简支梁、外伸梁、悬臂梁。8、列举减小压杆柔度的措施？

（1）加强杆端约束（2）减小压杆长度，如在中间增设支座（3）选择合理的截面形状，在

截面面积一定时，尽可能使用那些惯性矩大的截面。9、欧拉公式的适用范围？

材料力学

示，许用剪应力 [τ ]=30M Pa。。校核其强度。试：校核其强度。
解：① 求扭矩及扭矩图
TBC
P = m = 9549 n
150 = 9549 × = 1550 ( N ⋅ m ) 924
剪应力互等定理：剪应力互等定理：
在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必成对出现，且数值相等，在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向都共同指向或背离这一交线。两者都垂直于两平面的交线，其方向都共同指向或背离这一交线。两平面的交线这一交线
W = 735.5 P
W = m⋅
2πn = 735.3P 60
2πn W = mω = m ⋅ 60
P m = 7024 (N ⋅ m) n
P — 功率，马力（PS）功率，马力（） n — 转速，转/分（rpm）转速，）
（2）功率 P（千瓦）（千瓦）
1千瓦 = 1000 N ⋅ m / s
工程实例
汽车转向轴
2、外力偶矩的换算已知：），转速（已知：功率 P（千瓦、马力），转速 n（转/分）。（千瓦、马力），求：外力偶矩 m 。解：（1）功率 P（马力）（马力）
1马力 = 735.5 N ⋅ m / s
P 马力功率相当于每秒钟作功作用在轴上的外力偶每秒钟作功作用在轴上的外力偶每秒钟作功

剪应力互等定理

剪应力互等定理:在材料中取一个正六面单元体，在这个单元体上两个相互垂直的平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等，其方向共同指向或共同背离这两个平面的交线（棱线）。

在相互垂直平面上，切应力成对存在且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。这就是（剪）切应力互等定理。

推导的前提条件是认为单元处于平衡状态，力的平衡和力矩的平衡。

扩展资料：

1、在液体层流中相对移动的各层之间产生的内摩擦力的方向一般是沿液层面(指液体流动时，流向视为一个倒圆柱时，该圆柱的横截面)的切线，流动时液体的变形是这种力所引起的，因此叫做切变力（又叫剪切力),单位面积上的切变力与单位面积之比叫做切应变力，又称切应力。

2、流体力学中，切应力又叫做粘性力，是流体运动时，由于流体的粘性，一部分流体微团作用于另一部分流体微团切向上的力。

3、杆件切应力最大处：杆件的中心轴线。切应力的量值等于单位面积上内力的量值。切应力和压强单位相同，因此实质上并不是力，而出于习惯，可以将切应力当作力来称呼，但是需要强调为“单位面积上的切应力”。

材料力学客观性习题

绪论部分

1-1.构件的强度、刚度和稳定性（）。

（A）只与材料的力学性质有关；（B）只与构件的形状尺寸关

（C）与二者都有关；（D）与二者都无关。

1-2.各向同项假设认为，材料内部各点的（）是相同的。

（A）力学性质；（B）外力；（C）变形；（D）位移。

1-3. 根据小变形条件,可以认为（）。

（A）构件不变形；（B）构件不变形；

（C）构件仅发生弹性变形；（D）构件的变形远小于其原始尺寸。

1-4.在下列三种力（1、支反力；2、自重；3、惯性力）中，（）属于外力。

（A）1和2；（B）3和2；（C）1和3；（D）全部。

1-5. 在下列说法中，（）是正确的。

A内力随外力的增大而增大；（B）内力与外力无关；（C）内力的单位是N或KN；（D）内力沿杆轴是不变的。

1-6. 一等截面直拉杆如图所示。在P力作用下，（）。

A横截面a上的轴力最大；

B曲截面b上的轴力最大；

C斜截面c上的轴力最大； a b

D三个截面上的轴力一样大。

1-7. 用截面法求一水平杆某截面的内力时,是对( )建立平衡方程求解的。

(A) 该截面左段; (B) 该截面右段;(C) 该截面左段或右段; (D) 整个杆。

1-8. 在杠杆的某截面上，各点的正应力（）。

A大小一定相等，方向一定平行；(B) 大小不一定相等，但方向一定平行；

1-9.在一截面的任意点处，若正应力σ与剪应力τ均不为零，则正应力σ与剪应力τ的夹角为（）。

(A)α＝900；（B）α＝450；（C）α＝00；（D）α为任意角。

切应力互等定理的适用条件是。

切应力互等定理是一种表达了一对切应力之间关系的定理。它的条件是：在相互垂直平面上，切应力成对存在且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。这个定理成立的前提是：无体力矩分布。

以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅相关文献或咨询物理学家。

土木工程结构力学测试题

第一章绪论

思考题

1-1-1 结构承载力包括哪三方面的内容？

1-1-2 什么是刚体和变形体？

1-1-3 为什么在材料力学中必须把构件看成为变形固体？可变形固体的变形分为哪两类？

1-1-4 内力和应力两者有何联系、有何区别？为什么在研究构件的强度时要引入应力的概念？

1-1-5 什么是截面法？应用截面法能否求出截面上内力的分布规律？

1-1-6 位移和变形两者有何联系、有何区别？有位移的构件是否一定有变形发生？构件内的某一点，若沿任何方向都不产生应变，则该点是否一定没有位移？

1-1-7 在理论力学中，根据“力或力偶的可移性原理”及“力的分解和合成原理”，可以将图（a）和图(c)中的受力情况分别改变成图(b)和图(d)中的情况。在材料力学中研究构件的内力或变形时，是否也可以这样做？为什么？

选择题

1-2-1 关于确定截面内力的截面法的适用范围，有下列四种说法：

（A）适用于等截面直杆；

（B）适用于直杆承受基本变形；

（C）适用于不论基本变形还是组合变形，但限于直杆的横截面；

（D）适用于不论等截面或变截面、直杆或曲杆、基本变形或组合变形、横截面或任意截面的普遍情况。

1-2-2 判断下列结论的正确性：

（A）杆件某截面上的内力是该截面上应力的代数和；（B）杆件某截面上的应力是该截面上内力的平均值；（C）应力是内力的集度；

（D）内力必大于应力。

1-2-3 下列结论中哪个是正确的：

（A）若物体产生位移，则必定同时产生变形；

（B）若物体各点均无位移，则该物体必定无变形；

（C）若物体无变形，则必定物体内各点均无位移；（D）若物体产生变形，则必定物体内各点均有位移。

C1001ADD

单元体受力后，变形如图虚线所示，则剪应变γ为

（A ）α；（B ）2α；（C ）π／2－2α；（D ）π／2＋2α。

正确答案是____________。

C1002ADD

剪应力互等定理适用情况有下列四种答案：（A ）纯剪切应力状态；

（B ）平面应力状态，而不论有无正应力作用；（C ）弹性范围（即剪应力不超过剪切比例极限）；

（D ）空间任意应力状态。

正确答案是_____________。 C1003ADC

图示木接头，水平杆与斜杆成α角，其挤压面积A bs 为（A ）bh ；（B ）bhtg α；

（C ）bh ／cos α；（D ）bh ／（cos α sin α）。

正确答案是_____________。

C1004ADC

图示铆钉联接，铆钉的挤压应力σbs 是（A ）2P/（πd 2）；（B ）P/2dt ；（C ）P/2bt ；（D ）4P/（πd 2）。

正确答案是______________。

C1005ADC

τ τ τ c ’

铆钉受力如图，其挤压应力的计算有下列四种：（A ）σbs ＝P ／（td ）；（B ）σbs ＝P ／（dt ／2）；（C ）σbs ＝P ／（πdt ／2）；（D ）σbs ＝P ／（πdt ／4）。

正确答案是____________。

C1006ADC

图示A 和B 的直径都为d ，则两者中最大剪应力为：（A ）4bP ／（a πdB ）；

（B ）4（a ＋b ）P ／（a πdB ）；

（C ）4（a ＋b ）P ／（b πdB ）；（D ）4aP ／（b πdB ）。

材料力学8

1 OC R 半径 3
x
2
y
（
x
2
y
） xy
2 2
3 2
O C B(y ,yx)
1

min
max R 半径 min （
max
2
min
x
2
y
） xy
2 2
P1
1 2 3 4 5
x
2
y
cos 2 xy sin 2

xy

60 40 2
60 40 2
cos( 60 ) 30 sin( 60 )

9 . 02 MPa
x

x
2
60 40 2
y
sin 2 xy cos 2
sin( 60 ) 30 cos( 60 )
P2
q
如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、 Q>0，试确定截面上各点主
应力大小及主平面位置。
单元体：
x
My Iz

xy

QS
z
b Iz
1 x x 2 2 （） xy 2 3 2
1

3 3
D1 A2 C A1 D2 O

工程力学第8章剪应力分析习题及解析

第8章弹性杆件横截面上的切应力分析

8-1扭转切应力公式r(p)^M x p/I p的应用范圉有以下几种，试判断哪一种是正确的。

(A)等截面圆轴，弹性范囤内加载：

(B)等截面圆轴：

(C)等截面圆轴与椭恻轴：

(D)等截面圆轴与椭恻轴.弹性范鬧内加较。

知识点：圆轴扭转时横截面上的切应力

难度：易

解答•

正确答案是A c

Tip) = M x p/l?在推导时利川J'等截面鬪轴受扭后.其横截血保持平血的假设•同时推导过程中还应用了剪切胡克定律.婆求在线弹性范刑加載。

8-2两根长度相等、直径不等的圆轴受扭后.轴表iftlJJU线转过相同的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大切应力分别为耳吨'和r2max,切变模虽分别为Gi和G2O试判断下列结论的正确性。

(A)

(B)

(C)若G、>G“则有r Inux > r2nux:

(D)若G>G“则有右叭沁。

知识点：圆轴扭转时横截面上的切应力

难度：易

解答•

正确答案是c °

因两恻轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即/,=/,=/由剪切胡克定律2“知> °2 时，

f lnux > r2max °

8-3承受相同扭矩且长度相等的直径为山的实心恻轴与内.外径分别为D2(a = d2/D2)的空心圆轴.二者横截面上的垠大切应力相等。关于二者重之比(M/WJ有如下结论.试判断哪一种是正确的。

(A)(l-a4严；

(B)(l-a4)V2(l-a2)：

(C)(l-^Xl-a2)：

(D)(1 一a」)的/(I一小)。

知识点：组合圆轴扭转时横截面上的切应力

工程力学名词解释

所谓刚体是这样的物体，在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不变。刚体是在力的作用下不变形的物体。

变形体：构件尺寸与形状的变化。这时的物体即视为变形固体。

二力平衡公理：作用在同一刚体上的的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是，这两个力的大小相等、方向相反、且在同一直线上。

加减平衡力系原理：在已知力上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。

力的可传性原理：作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。

三力平衡汇交定理：作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则第三个力的作用线必通过此汇交点，且三个力共面。

刚化原理：变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，则平衡状态保持不变。

约束：对非自由体的位移起限制作用的物体。

约束力：约束对非自由体的作用力。

由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为力偶，记作力偶中两力所在平面称为力偶作用面。

力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂。

合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。力偶系的平衡条件：空间力偶系平衡的必要充分条件是合力偶矩矢等于零，即力偶系各力偶矩矢的矢量和等于零。

平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫平面任意力系。

力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已知力系（平面汇交力系和平面力偶系）

力的平移定理：可以把作用在刚体上点A 的力平行移到任一点B ，但必须同时附加一个力偶。这个力偶的矩等于原来的力对新作用点B 的矩。

《建筑力学》习题集与答案

《建筑力学》习题集

一、单项选择题

在下列每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其字母标号填入题干的括号内。

1．三力平衡定理是指（）

A．共面不平行的三个力若平衡必汇交于一点

B．共面三力若平衡，必汇交于一点

C．三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡

D．三力若平衡，必汇交于一点

2．光滑面对物体的约束反力，作用点在接触面上，其方向沿接触面的公法线，并且有（）A．指向受力物体，为拉力

B．指向受力物体，为压力

C．背离物体，为压力

D．背离物体，为拉力

3．两根拉杆的材料、横截面积和受力均相同，而一杆的长度为另一杆长度的两倍。试比较它们的轴力、横截面上的正应力、轴向正应变和轴向变形。正确的是（）A．两杆的轴力、正应力、正应变和轴向变形都相同

B．两杆的轴力、正应力相同，而长杆的正应变和轴向变形较短杆的大

C．两杆的轴力、正应力和正应变都相同，而长杆的轴向变形较短杆的大

D．两杆的轴力相同，而长杆的正应力、正应变和轴向变形都较短杆的大

4．圆轴扭转时，若已知轴的直径为d，所受扭矩为T，试问轴内的最大剪应力τmax和最大正应力σmax各为（）

A．τmax=16T/（πd3），σmax=0

B．τmax=32T/（πd3），σmax=0

C．τmax=16T/（πd3），σmax=32T/（πd3）

D．τmax=16T/（πd3），σmax=16T/（πd3）

5．梁受力如图示，则其最大弯曲正应力公式：σmax=My max/I z中，y ma x为（）

A． d B．（D-d）/2 C．D D．D/2

6．工程中一般是以哪个指标来区分塑性材料和脆性材料的（）

工程力学

例2 冲头材料 []=440MPa, 钢板 b=360MPa, F=400kN。试估计所能冲出的最小孔径d及此时所能冲剪的最大钢板厚度t。解：冲头受压，落料受剪。 1) 考虑冲头强度由强度条件有： =4F/d2[] 解得： d34mm 2) 考虑板的剪切。冲头由落料受力可知，剪力 Q=F，剪切面为圆柱面，面积为 dt。有剪断条件： =Q/A=F/td>b t<10.4mm
3) 设计板宽b 四个铆钉可布置成一排或二排。若布置二排，有矩形和菱形二种排列如图，则危险截面在虚线处。只要使外力的作用线通过钉群图形的形心，则可假定各钉受力相等。
F/2
Fjy=F/8
F/2
对于矩形布置，考虑板拉压有: =F/2t1(b-2d)[] 矩形排列轴力图即得： b2d+F/2t1[] =40+210×103/2×5×160=172mm F/2 对于菱形布置，有： F/8 F/4 =F/2t1(b-d)[] 菱形排列轴力图即得： bd+F/2t1[]=152mm。
线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。
二、剪切虎克定律：剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ
≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因无量纲，故G的量纲与相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：

剪应力互等定理推导

剪应力互等定理是固体力学中的基本定理之一，也称为剪应力力学定理。它表明，在弹性条件下，一个平面内通过一直线的切应力（剪应力）在该直线两侧相等。

我们可以通过以下推导来理解剪应力互等定理。

假设有一个矩形横截面为A的杆件，其长度为L。我们考虑在该杆件上沿横截面施加一个垂直于其长度方向的力F，使之发生剪变形。该剪变形引起杆件内部的剪应力。

我们将杆件在剪应力作用下切割成两个相等的部分。在切割面之间考虑一个无穷小的区域，该区域的高度为h，宽度为dx。这个区域所受到的剪应力为τ，在这个区域中受到的剪力为dF。

根据黏性流体的模型，剪应力可以表示为剪切速率和黏度的乘积，即τ = η(dθ/dx)，其中，dθ为相对于杆件轴线的剪变形角度，η为材料的剪切黏度。

根据几何关系，我们可以得到剪变形角度与截面高度之间的关系，即dθ = (dφ/dx)h，其中，dφ为区域宽度的变化。

根据杆件平衡条件，我们可以得到剪应力在该区域所受到的剪力为dF = τA = η(dθ/dx)Ah = η(dφ/dx)Ah。

我们注意到，区域宽度的变化可以表示为dφ/dx = dA/dx，其中，dA为区域面积的变化。

因此，剪应力在该区域所受到的剪力可以简化为dF = η(dA/dx)Ah。

我们将该区域与整个杆件上的所有区域进行积分，得到总的剪力 F = η∫(dA/dx)Ah dx。

由于剪变形是弹性的，杆件上各截面的剪应力分布应该是均匀的。因此，剪应力在截面上的分布不依赖于具体的位置，只与剪变形角度的变化有关。

根据积分计算的性质，我们可以将积分中的dA改写为截面面积A，并将积分范围改写为整个杆件的长度L，即F = ηAh∫(1/L) dx。

材料力学3讲解

2G[']
74.49mm
已知：L,d,m0,G，试画扭矩图，并求最大切应力
和AB相对扭转角。
C
B
d
d/2
Tmax m0 L / 2
A
L/2
L/2
max
Tmax Wt

m0L / 2
d 3

64m0 L
d 3
16 2
m0L/2
LL
LL

m0 2 2
d 4
• 受力特点：杆两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
• 变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动本章主要研究圆截面等直杆的扭转
M

M
构件特征：等圆截面直杆——圆轴。
受力特征：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。变形特征：纵向线倾斜一个角度，称为剪切角(或称剪应变)；两个横截面之间绕杆轴线发生相对转动，称为扭转角。
F
A
Me B d1
2m
E
d2
C
G
1m
1m
2m
H
一内外径比为=d/D的空心圆轴，横截面的最大切应力为，则内圆周处的切应力为 B 。 A. B. C.(1-3) D.(1-4)
TR
Ip
Tr
Ip
r d RD

材料力学第三章扭转

d 4 2 d 2 2d 4 2 4 0 32
d 4
32
0.1d 4
IP
D
4
32

d
4
32

D
4
32
(1 4 )
d D
说明2：单位长度扭转角
d dx
称为单位长度扭转角。（反映相对扭转变形大小）
说明3：扭转刚度
d T dx GI P
扭矩一定时，GI
d 0.945 D cm3 WT 0.2 D 3 (1 4 ) 0.2 8.9 3 (1 0.9454 ) 29
（2）强度校核
max
T WT 1930 Nm 6 3 29 10 m 6 66.7 10 Pa 66.7MPa [ ] 70MPa
T2 M B M A 114.6Nm
3、做扭矩图
3-3
薄壁圆筒的扭转
1、薄壁圆筒扭转时的应力
观察一个实验将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆周线划分
两端施以大小相等方向相反一对力偶矩 # 圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变
观察到： # 纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只
38.8 106 Pa 38.8MPa [ ] 40MPa
满足强度条件.
(4) 刚度校核:

剪应力互等定理推导

剪应力互等定理是弹性力学中的一个重要概念，用于分析材料受力后的应力分布。它是基于弹性力学理论和平衡条件而推导出来的，为我们理解和研究材料在受外力作用下的力学行为提供了重要的依据。在本文中，我们将深入探讨剪应力互等定理的推导过程，以期更全面地理解这一概念的实质和应用。

1. 引言和背景知识

剪应力互等定理是弹性力学中的基本定理之一，它描述了横截面内沿不同方向的剪应力之间的关系。在了解这一定理之前，我们首先需要了解几个基本概念：应力、剪应力和平衡条件。

1.1 应力

应力是指单位面积上的力的大小。它可以分为三种类型：拉应力、压应力和剪应力。拉应力是指垂直于横截面的应力，压应力是指与拉应力方向相反的应力，而剪应力则是指平行于横截面的应力。

1.2 剪应力

剪应力是材料内部抵抗剪切力的大小。它是由于外力作用于材料的结果，通过改变材料内部分子或原子之间的相对位置来达到平衡状态。

1.3 平衡条件

平衡条件是指在理想状态下，物体受到的所有力和力矩之间的关系达到平衡。平衡条件可以用来分析受力物体的应力分布和力平衡关系。

2. 剪应力互等定理的推导

剪应力互等定理是通过应力的定义和平衡条件的假设，通过数学推导而得到的。在这里，我们假设材料处于弹性变形状态，并且忽略可能存在的剪切力矩和变形的旋转。

2.1 剪应力互等定理的表达式

剪应力互等定理可以表达为：在一个平面内的任意一点，沿任意两个方向取得的剪应力大小相等，并且与该点的坐标无关。

2.2 推导过程

为了推导出剪应力互等定理，我们需要做以下几个步骤：

第一步，根据平衡条件，把我们要研究的平面内的力分解为垂直和平行于该平面的力分量。

试证明：剪应力互等定理

材料力学简答题

材料力学

剪应力互等定理

材料力学客观性习题

切应力互等定理的适用条件是 。

土木工程结构力学测试题

C1001ADD

材料力学8

工程力学第8章剪应力分析习题及解析

工程力学名词解释

《建筑力学》习题集与答案

工程力学

剪应力互等定理推导

材料力学3讲解

材料力学 第三章 扭转

剪应力互等定理推导

切应力互等定理的适用条件是。

材料力学第三章扭转