八年级数学整式的除法1
八年级数学整式的除法1
华师大版数学八年级上册1整式的除法课件
B．27x6＋2x4＋x
C．27x6－2x4－x3
D．27x4－2x2－x
1.单项式除法法则包含三个方面： (1)系数相除； (2)同底数幂相除； (3)对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数
作为商的一个因式． 2.进行单项式除法运算时应注意： (1)单项式的系数包括它前面的符号； (2)不要漏掉只在被除式里出现的字母； (3)运算顺序．
这里，商式中的 项a、b和c是怎 样得到的？你能 总 结出多项式
除以单项式的法 则吗？
知2－讲
多项式除以单项式法则： 多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项除以这个 单项式，再把所得的商相加．
即：用字母表示为（am+bm）÷m=am÷m+bm÷m=a+b. 步骤： （1）用多项式的每一项除以单项式； （2）把每一项除得的商相加.
知2－练
1 (8x4－6x3－4x2＋10x)÷(－2x)的结果是( )
A．－4x3－3x2－2x＋5 B．－4x3＋3x2＋2x－5
C．－4x3－3x2＋2x D．－4x4＋3x3＋2x2－5x
2 计算(－81xn＋5＋6xn＋3－3xn＋2)÷(－3xn－1)等于( )
A．27x6－2x4＋x3
例4 计算：(1)(8a3－2a2＋6a)÷(－2a)；
(2)
2 3
a5b82a 2b61 3ab32
.
导引：(1)直接利用多项式除以单项式法则计算；(2)应先
算乘方，再利用多项式除以单项式法则计算．
解：(1)原式＝8a3÷(－2a)＋(－2a2)÷(－2a)＋6a÷(－2a)
＝－4a2＋a－3；
(2)原式＝
2 3
a5b8
2a 2b6
八年级数学整式的运算
（二）整式的除法
1、单项式除以单项式 2、多项式除以单项式
知你 识回 忆 起 了 吗 ？ 就 这 些
一、整式的有关概念
数与字母乘积，这样的代数式叫单项式。 1、单项式：单独一个数或字母也是单项式。
2、单项式的系数： 单项式中的数字因数。 3、单项式的次数：单项式中所有的字母的指数和。
4
4、同底数的幂相除
法则：同底数的幂相除，底数不变，指数相减。
数学符号表示：
a a a
m n
mn
（其中m、n为正整数）
1 a p (a 0, p为正整数) a 0 a 1(a 0)
p
a a a a ,10 20, 40 5 3 2 ( ) 1, (m) (m) m 5 练习：计算 1 1 1 2 3 2003 0 10 (0.1) 2 ( ) [(2) ] 2 m 2 m 2 2 2 mn m n (2 ) 2 , ( x ) ( x x ), a a
9、完全平方公式
法则：两数和（或差）的平方，等于这两数的平 方和再加上（或减去）这两数积的2倍。 数学符号表示：
(a b) a 2ab b ;
2 2 2
(a b) a 2ab b
2 2
2
其中a, b既可以是数, 也可以是代数式 .
即: (a b) a 2ab b
2 2
2
特别说明: 完全平方公式 是根据乘方的意义和
记要 ，特 2 2 2 切别 因此(a b) a b 记注 ！意 练习：1、判断下列式子是否正确， 哟 并说明理由。 ， 2 2 (1)(x 2 y )(x 2 y ) x 2 y , 切
整式的除法(一)
02
CHAPTER
整式除法的基本操作
约分
01
02
03
约分定义
约分是整式除法中的一种 简化运算的方法，通过约 简多项式的分母，将多项 式化为最简形式。
约分步骤
首先识别多项式中的最大 公因式，然后将其约去， 使分母变为最小公倍式。
多定理的证明需要 用到整式除法。例如，证明多项 式函数的根的性质、证明不等式
等。
在物理问题中的应用
求解物理方程
在物理中，许多方程可以通过整式除法化简为一元一次方程 或一元二次方程，方便求解。例如，弹性力学中的应力-应变 关系、电路分析中的欧姆定律等。
计算物理量
在物理中，许多物理量的计算需要用到整式除法。例如，计 算速度、加速度、角速度等物理量时，需要用到整式除法来 计算单位换算和公式变换。
注意事项
约分时要注意保持等式的 等价性，即约分前后多项 式的值不变。
通分
通分定义
通分是将两个或多个分数 的分母统一，以便进行加 减运算的方法。
通分步骤
首先找到各个分数的最小 公倍数，然后将各个分数 化为具有相同分母的形式。
注意事项
通分时要注意保持等式的 等价性，即通分前后各分 数值不变。
乘法与除法的关系
公式法
总结词
公式法是利用整式除法的公式进行计 算的方法，适用于一些特定类型的多 项式除法，可以简化计算过程。
详细描述
公式法是通过使用特定的公式来计算整 式除法。例如，在计算$frac{x^3 - 1}{x - 1}$时，可以利用公式法，得到 $frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1}$， 进一步化简得到$x^2 + x + 1$。
八年级数学上册124整式的除法1单项式除以单项式教案华东师大版
12.4.1 单项式除以单项式教学目标：1、使学生掌握单项式除以单项式的方法，并且能运用方法熟练地进行计算.2、培养学生应用数学的意识.重点难点：重点：单项式除以单项式方法的总结以及运用方法进行计算.难点：运用方法进行计算.教学过程：一、复习提问：①、叙述并写出幂的运算性质及怎样用公式表示？②、叙述单项式乘以单项式的法则③、叙述单项式乘以多项式的法则.④、练习x6÷x2= ，（—b）3÷b = 4y2÷y2 = (－a)5÷(－a) 3=y n+3÷y n = ， (－xy) 5÷(-xy)2 = ，（a+b）4÷（a+b）2= ,y9 ÷(y4 ÷y) = ；二、创设问题情境问题：地球的质量约为5.98×1024千克，木星的质量约为1.9×1027千克.问木星的质量约是地球的多少倍？（结果保留三个有效数字）解（1.9×1027）÷（5.98×1024）＝（1.9÷5.98）×1027-24≈0.318×103＝318.答：木星的重量约是地球的318倍.教师提问：对于一般的两个单项式相除，这种方法可运用吗？概括：两个单项式相除，只要将系数及同底数幂分别相除就可以了三、例题与练习例1计算：（1）6a3÷2a2；（2）24a2b3÷3ab；（3）-21a2b3c÷3ab.分析：对于（1）、（2），可以按两个单项式相除的方法进行；对于（3），字母c只在被除数中出现，结果仍保留在商中.说明：解题的依据是单项式除法法则，计算时，要弄清两个单项式的系数各是什么，哪些是同底数幂，哪些是只在被除式里出现的字母，此外，还要特别注意系数的符号.由学生归纳小结如：一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除数里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.练习1：计算：（1）（2）练习2：计算：课本第40页练习例2：计算：练习：计算（1）（2）教学小结：单项式除以单项式，有什么方法？布置作业：习题12.4 第1题的（1）、（2）、（3）八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 在AB 边上，将△CBD 沿CD 折叠，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若∠A=26°，则∠CDE 度数为（ ）．A ．45°；B ．64° ；C ．71°；D ．80°．【答案】C 【分析】由折叠的性质可求得∠ACD=∠BCD ，∠BDC=∠CDE ，在△ACD 中，利用外角可求得∠BDC ，则可求得答案．【详解】由折叠可得∠ACD=∠BCD ，∠BDC=∠CDE ，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=45°，∵∠A=26°，∴∠BDC=∠A+∠ACD=26°+45°=71°，∴∠CDE=71°，故选:C.【点睛】考查三角形内角和定理以及折叠的性质，掌握三角形的内角和定理是解题的关键.2．点()23P -，关于y 轴的对称点的坐标是（ ） A ．（2，-3）B ．（-2，-3）C ．（-2,3）D ．（-3,2）【答案】B【分析】根据关于y 轴的对称点的点的特点是保持y 不变，x 取相反数即可得出. 【详解】根据关于y 轴的对称点的点的特点得出，点()23P -，关于y 轴的对称点的坐标是（-2，-3） 故答案选B ．【点睛】本题考查了坐标点关于y 轴对称点的坐标，属于坐标轴中找对称点的基础试题．3．下列命题中为假命题的是（ ）A ．两直线平行，内错角相等B ．对顶角相等C ．两个锐角的和是钝角D ．如果a 是整数，那么a 是有理数【答案】C 【分析】根据平行线的性质可判断A 项，根据对顶角的性质可判断B 项，举出反例可判断C 项，根据有理数的定义可判断D 项，进而可得答案．【详解】解：A 、两直线平行，内错角相等，是真命题，故本选项不符合题意；B 、对顶角相等，是真命题，故本选项不符合题意；C 、两个锐角的和不一定是钝角，如20°和30°这两个锐角的和是50°，仍然是锐角，所以原命题是假命题，故本选项符合题意；D 、如果a 是整数，那么a 是有理数，是真命题，故本选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了真假命题、平行线的性质、对顶角的性质和有理数的定义等知识，属于基础题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）A ．3，4，8B ．2，5，3C ．52，72，5D ．5，5，10 【答案】C【解析】选项A ，3+4<8，根据三角形的三边关系可知，不能够组成三角形；选项B ，2+3=5，根据三角形的三边关系可知，不能够组成三角形；选项C ，52+72>5，根据三角形的三边关系可知，能够组成三角形；选项D ，5+5=10，根据三角形的三边关系可知，不能够组成三角形；故选C.5．如图，在等边ABC ∆中，BD CE =，将线段AE 沿AC 翻折，得到线段AM ，连结EM 交AC 于点N ，连结DM 、CM 以下说法：①AD AM =，②60MCA ∠=︒，③2CM CN =，④MA DM =中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】由△ABD ≌△ACE ，△ACE ≌△ACM ，△ABC 是等边三角形可以对①②进行判断，由AC 垂直平分EM和直角三角形的性质可对③进行判断，由△ADM是等边三角形可对④进行判断．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠B=∠BAC=∠ACB=60°，∵BD=CE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴AD=AE，∠BAD=∠CAE∵线段AE沿AC翻折，∴AE=AM，∠CAE=∠CAM，∴AD AM=，故①正确，∴△ACE≌△ACM（SAS）∴∠ACE=∠ACM=60°，故②正确，由轴对称的性质可知，AC垂直平分EM，∴∠CNE=∠CNM=90°，∵∠ACM =60°，∴∠CMN=30°，∴在Rt△CMN中，12=CN CM，即2CM CN=，故③正确，∵∠BAD=∠CAE，∠CAE=∠CAM，∴∠BAD=∠CAM，∵∠∠BAD+∠CAD=60°，∴∠CAM +∠CAD=60°，即∠DAM=60°，又AD=AM∴△ADM为等边三角形，∴MA DM=故④正确，所以正确的有4个，故答案为：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定和性质、轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用上述几何知识进行推理论证．6．因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（）A．1 B．4 C．11 D．12【解析】分析：根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p、q的关系判断即可.详解：∵(x＋p)(x＋q)= x2＋（p+q）x+pq= x2＋mx－12∴p+q=m，pq=-12.∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12∴m=-11或11或4或-4或1或-1.∴m的最大值为11.故选C.点睛：此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用.7．如图,∠MON=600，且OA平分∠MON，P是射线OA上的一个点，且OP=4，若Q是射线OM上的一个动点，则PQ的最小值为（）.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据垂线段最短得出当PQ⊥OM时，PQ的值最小，然后利用30°角对应的直角边等于斜边的一半进一步求解即可.【详解】当PQ⊥OM时，PQ的值最小，∵OP平分∠MON，∠MON=60°∴∠AOQ=30°∵ PQ⊥OM，OP =4，∴OP=2PQ，∴PQ=2，所以答案为B选项.【点睛】本题主要考查了垂线段以及30°角对应的直角边的相关性质，熟练掌握相关概念是解题关键.8．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放方向，下列图中两个“E”不成．．轴对称的是（）A．B．C．D．【分析】根据两个图形成轴对称的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形成轴对称，逐一分析即可．【详解】解：A 选项中两个“E ” 成轴对称，故本选项不符合题意；B 选项中两个“E ” 成轴对称，故本选项不符合题意；C 选项中两个“E ” 成轴对称，故本选项不符合题意；D 选项中两个“E ” 不成轴对称，故本选项符合题意；故选D ．【点睛】此题考查的是两个图形成轴对称的识别，掌握两个图形成轴对称的定义是解决此题的关键．9．如图，AC 和BD 相交于O 点，若OA=OD ，用“SAS”证明△AOB ≌△DOC 还需（）A ．AB=DCB ．OB=OC C ．∠C=∠D D ．∠AOB=∠DOC【答案】B【解析】试题分析：在△AOB 和△DOC 中，{OA ODAOB DOC OB OC=∠=∠=，∴△AOB ≌△DOC （SAS ），则还需添加的添加是OB=OC ，故选B.考点：全等三角形的判定．10．已知直线y ＝－x ＋4与y ＝x ＋2如图所示，则方程组42y x y x =-+⎧⎨=+⎩的解为()A ．31x y =⎧⎨=⎩B ．13x y =⎧⎨=⎩C ．04x y =⎧⎨=⎩D ．40x y =⎧⎨=⎩【答案】B 【解析】二元一次方程组42y x y x =-+⎧⎨=+⎩的解就是组成二元一次方程组的两个方程的公共解，即两条直线y ＝－x ＋4与y ＝x ＋2的交点坐标13x y =⎧⎨=⎩． 故选B点睛：本题考查了一次函数与二元一次方程组．二元一次方程组的解就是组成该方程组的两条直线的图象的交点．二、填空题11．在平面直角坐标系中,将点()3, 2P -先向右平移2个单位长度, 再向下平移2个单位长度后所得到的点坐标为_________.【答案】 (-1,0)【分析】根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，即可得到.【详解】解：点()3, 2P -先向右平移2个单位长度, 再向下平移2个单位长度后所得到的点坐标为(-3+2,2-2),即(-1,0)故答案为：(-1,0)【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化-平移：向右平移a 个单位，坐标P （x ，y ）得到P ＇(x+a ，y)；向左平移a 个单位，坐标P （x ，y ）得到P ＇(x-a ，y)；向上平移a 个单位，坐标P （x ，y ）得到P ＇(x ，y+a)；向下平移a 个单位，坐标P （x ，y ）得到P ＇(x ，y-a).12．已知某地的地面气温是20℃，如果每升高1000m 气温下降6℃，则气温t （℃）与高度h （m ）的函数关系式为_____．【答案】t=﹣0.006h+1【解析】根据题意得到每升高1m 气温下降0.006℃，由此写出关系式即可．【详解】∵每升高1000m 气温下降6℃，∴每升高1m 气温下降0.006℃，∴气温t （℃）与高度h （m ）的函数关系式为t=﹣0.006h+1，故答案为：t=﹣0.006h+1．【点睛】本题考查了函数关系式，正确找出气温与高度之间的关系是解题的关键．13．若3m a =，7n a =，则m n a +=_________．【答案】21【分析】根据同底数幂相乘逆用运算法则，即可得到答案.【详解】解：3721n n m m a a a +=•=⨯=，故答案为：21.【点睛】本题考查了同底数幂相乘，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算.14．一次函数的图象经过（-1,0）且函数值随自变量增大而减小，写出一个符合条件的一次函数解析式__________．【答案】y=-x-1 ，满足()y=ax+a a 0＜即可【分析】根据题意假设解析式，因为函数值随自变量增大而减小，所以解析式需满足a 0＜ ，再代入（-1,0）求出a 和b 的等量关系即可．【详解】设一次函数解析式()y=ax+b a ＜0代入点（-1,0）得0=-a+b ，解得()a=b a 0＜所以()y=ax+a a 0＜我们令a=-1y=-x-1故其中一个符合条件的一次函数解析式是y=-x-1．故答案为：y=-x-1．【点睛】本题考察了一次函数的解析式，根据题意得出a 和b 的等量关系，列出其中一个符合题意的一次函数解析式即可．15．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB 、CE 相交于点D ，则∠BDC ＝_____．【答案】75°．【分析】根据三角板的性质以及三角形内角和定理计算即可．【详解】∵∠CEA＝60°，∠BAE＝45°，∴∠ADE＝180°﹣∠CEA﹣∠BAE＝75°，∴∠BDC＝∠ADE＝75°，故答案为75°．【点睛】本题考查了三角板的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关的知识是解题的关键.16．如图是甲、乙两名跳远运动员的10次测验成绩（单位：米）的折线统计图，观察图形，写出甲、乙这10次跳远成绩之间的大小关系：2S甲_____2S乙（填“>“或“<”）．【答案】＜【分析】方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，判断即可．【详解】解：由图可得，甲10次跳远成绩离散程度小，而乙10次跳远成绩离散程度大，∴2S甲＜2S乙，故答案为：＜.【点睛】本题考查方差的定义与意义，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．17．如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画_____个三角形．【答案】1【分析】以平面内的五个点为顶点画三角形，根据三角形的定义，我们在平面中依次选取三个点画出图形即可解答.【详解】解：如图所示，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画1个三角形，故答案为：1．【点睛】本题考查的是几何图形的个数，我们根据三角形的定义，在画图的时候要注意按照一定的顺序，保证不重复不遗漏.三、解答题18．为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时．为了解学生参加户外活动的情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）表示户外活动时间1小时的扇形圆心角的度数是多少；（3）本次调查学生参加户外活动时间的众数是多少，中位数是多少；（4）本次调查学生参加户外活动的平均时间是否符合要求？【答案】（1）频数分布直方图如图所示；见解析；（2）在扇形统计图中的圆心角度数为144°；（3）1小时，1小时；（4）平均活动时间符合要求．【分析】（1）先根据条形统计图和扇形统计图的数据，由活动时间为0.5小时的数据求出参加活动的总人数，然后求出户外活动时间为1.5小时的人数；（2）先根据户外活动时间为1小时的人数，求出其占总人数的百分比，然后算出其在扇形统计图中的圆心角度数；（3）根据中位数和众数的概念，求解即可．（4）根据平均时间=总时间÷总人数，求出平均时间与1小时进行比较，然后判断是否符合要求；【详解】（1）调查总人数为：10÷20%=50（人），户外活动时间为1.5小时的人数为：50×24%=12（人），频数分布直方图如右图所示；（2）户外活动时间为1小时的人数占总人数的百分比为：2050×100%=40%，在扇形统计图中的圆心角度数为：40%×360°=144°．（3）将50人的户外活动时间按照从小到大的顺序排列，可知第25和第26人的户外运动时间都为1小时，故本次户外活动时间的中位数为1小时；由频数分布直方图可知，户外活动时间为1小时的人数最多，故本次户外活动时间的众数为1小时．（4）户外活动的平均时间为：150×（10×0.5+20×1+12×1.5+8×2）=1.18（小时），∵1.18＞1，∴平均活动时间符合要求．【点睛】本题考查的是统计图，熟练掌握直方图和扇形统计图是解题的关键.19．在“一带一路”战略的影响下，某茶叶经销商准备把“茶路”融入“丝路”，经计算，他销售10斤A级别和20斤B级别茶叶的利润为4000元，销售20斤A级别和10斤B级别茶叶的利润为3500元（1）分别求出每斤A级别茶叶和每斤B级别茶叶的销售利润；（2）若该经销商一次购进两种级别的茶叶共200斤用于出口．设购买A级别茶叶a斤（70≤a≤120），销售完A、B两种级别茶叶后获利w元．①求出w与a之间的函数关系式；②该经销商购进A、B两种级别茶叶各多少斤时，才能获取最大的利润，最大利润是多少?【答案】（1）一斤A级别的茶叶的销售利润为100元，一斤B级别茶叶的销售利润为150元；（2）①w ＝－50a＋1；②购买A级别茶叶70斤，购买B级别茶叶2斤时，才能获取最大的利润，最大利润是26500元．【分析】（1）设每千克A级别茶叶和B级别茶叶的销售利润分别为x元和y元；（2）设购进A种级别的茶叶akg，购进B种级别的茶叶（200-a）kg．销售总利润为w元．构建一次函数，利用一次函数的性质即可解决问题．【详解】解：（1）设一斤A级别的茶叶的销售利润为x元，一斤B级别茶叶的销售利润为y元由题意得：10+204000 20+103500x yx y=⎧⎨=⎩解得：10150 xy=⎧⎨=⎩答：一斤A级别的茶叶的销售利润为100元，一斤B级别茶叶的销售利润为150元．（2）①由题意得，w＝100a+150（200－a）＝－50a＋1．②∵－50＜0∴w的值随a值的增大而减小∵70≤a≤120，∴当a＝70时，w取得最大值，此时w＝26500，200－70＝2．所以，购买A级别茶叶70斤，购买B级别茶叶2斤时，才能获取最大的利润，最大利润是26500元．【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组、不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建一次函数或方程解决问题．20．如图，已知△ABC中，AH⊥BC于H，∠C＝35°，且AB＋BH＝HC，求∠B的度数．【答案】70°【解析】分析：在CH上截取DH=BH，通过作辅助线，得到△ABH≌△ADH，进而得到CD=AD，则可求解∠B的大小．详解：在CH上截取DH=BH，连接AD，如图∵BH=DH，AH⊥BC，∴△ABH≌△ADH，∴AD=AB∵AB+BH=HC，HD+CD=CH∴AD=CD∴∠C=∠DAC，又∵∠C=35°∴∠B=∠ADB=70°．点睛：掌握全等三角形及等腰三角形的性质，能够求解一些简单的角度问题．21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣3，1），按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1（点A、C分布对应A1、C1）；（2）请在y轴上找出一点P，满足线段AP+B1P的值最小．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析．【分析】（1）利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．【详解】（1）如图所示：（2）如图所示：点P即为所求．【点睛】此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．22．计算（1）18631272（2）5-2)2﹣13132)【答案】（1）323；（2）45-【分析】(1)先把各项化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；(2) 利用完全平方公式及二次根式的混合运算法则进行计算即可.【详解】解：（1）原式=2×2622⨯+3 22+3 =323；（2）原式=(5﹣54)﹣(13﹣4)=5﹣54﹣13+4=﹣5【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质与化简..理解二次根式的性质、以及二次根式的加减乘除运算法则是解答本题的关键．23．如图，已知点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB=DF ，AC=DE ，∠A=∠D（1）求证：AC ∥DE ；（2）若BF=13，EC=5，求BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）4.【分析】(1)首先证明△ABC ≌△DFE 可得∠ACE=∠DEF ，进而可得AC ∥DE ；(2)根据△ABC ≌△DFE 可得BC=EF ，利用等式的性质可得EB=CF ，再由BF=13，EC=5进而可得EB 的长，然后可得答案．【详解】解：(1)在△ABC 和△DFE 中AB DF A D AC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DFE （SAS ），∴∠ACE=∠DEF ，∴AC ∥DE ；(2)∵△ABC ≌△DFE ，∴BC=EF ，∴CB ﹣EC=EF ﹣EC ，∴EB=CF ，∵BF=13，EC=5，∴EB=4，∴CB=4+5=1．【点睛】考点：全等三角形的判定与性质．24．（1）计算： ((323-6236-21224⨯； （2）解方程：23211x x x x ++=-- ． 【答案】（1）632-；（2）无解．【分析】（1）利用平方差公式，二次根式的乘法和除法进行计算，然后合并同类项，即可得到答案；（2）先去分母，然后去括号，移项合并，系数化为1，求出方程的解，再通过检验，即可得到答案．【详解】解：（1）原式=2232(23)(6)43--⨯⨯ =12632--=632-；（2）23211x x x x ++=-- ∴2232x x x x +-=+，∴33x =，∴1x =；检验：当1x =时，20x x -=，∴1x =是增根，∴原分式方程无解．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，以及解分式方程，解题的关键是掌握运算法则进行解题．25．如图，点C 在线段AB 上，AD ∥EB ，AC ＝BE ，AD ＝BC ，CF ⊥DE 于点F ．（1）求证：△ACD ≌△BEC ；（2）求证：CF 平分∠DCE ．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．【分析】（1）根据平行线性质求出∠A ＝∠B ，根据SAS 推出△ACD ≌△BEC ；（2）根据全等三角形性质推出CD ＝CE ，根据等腰三角形性质即可证明CF 平分∠DCE ．【详解】（1）∵AD ∥BE ，∴∠A ＝∠B ，在△ACD 和△BEC 中，∵=AD BC A B AC BE =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BEC （SAS ），（2）∵△ACD ≌△BEC ，∴CD ＝CE ，又∵CF ⊥DE ，∴CF 平分∠DCE ．【点睛】本题主要考查三角形的判定定理和性质定理以及等腰三角形的性质定理，掌握SAS 判定三角形全等，是解题的关键．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．已知是正比例函数，则m的值是()A．8 B．4 C．±3 D．3【答案】D【解析】直接利用正比例函数的定义分析得出即可．【详解】∵y＝(m+2)x m2﹣8是正比例函数，∴m2﹣8＝2且m+2≠0，解得m＝2．故选：D．【点睛】考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx的定义条件是：k 为常数且k≠0，自变量次数为2．2．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图①可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图②中阴影部分面积的计算验证了一个恒等式，此等式是()A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2D．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－b2【答案】B【解析】图（4）中，∵S正方形=a1-1b（a-b）-b1=a1-1ab+b1=（a-b）1，∴（a-b）1=a1-1ab+b1．故选B3．如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5m处折断，倒下的部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度是（）A．5m B．10m C．15m D．20m【答案】C【分析】根据30°所对的直角边是斜边的一半，得斜边是10，从而求出大树的高度．【详解】如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CB=5，∠BAC=30°，∴AB=10，∴大树的高度为10+5=15（m）．故选C．【点睛】本题考查了直角三角形的性质：30°所对的直角边等于斜边的一半，掌握这条性质是解答本题的关键．4．若分式211aa--有意义，则a满足的条件是（）A．a≠1的实数B．a为任意实数C．a≠1或﹣1的实数D．a=﹣1 【答案】A【解析】根据分式有意义的条件进行求解即可得.【详解】解：∵分式2a1a1--有意义，∴a﹣1≠0，解得：a≠1，故选A．【点睛】本题考查了分式的意义的条件，熟知分母不为0时分式有意义是解题的关键.5．下列计算正确的是（）A．（a2）3＝a5B．10ab3÷（﹣5ab）＝﹣2ab2C．（15x2y﹣10xy2）÷5xy＝3x﹣2yD．a–2b3•（a2b–1）–2＝6 6 b a【答案】C【分析】根据合并同类项、幂的乘方和积的乘方进行计算即可．【详解】解：A 、（a 2）3=a 6，故错误；B 、10ab 3÷（-5ab ）=-2b 2，故错误；C 、（15x 2y-10xy 2）÷5xy=3x-2y ，故正确；D 、a -2b 3•（a 2b -1）-2=65ba ，故错误；故选C. 【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握合并同类项、幂的乘方和积的乘方的运算法则是解题的关键． 6．下列美丽的图案中，不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A 、不是轴对称图形，故本选项正确；B 、是轴对称图形，故本选项错误；C 、是轴对称图形，故本选项错误；D 、是轴对称图形，故本选项错误．故选A ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 7．要使分式242x x -+有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．2x ≠-B ．2x =C ．2x =-D ．2x ≠±【答案】A【分析】分式有意义的条件是分母不能为0即可．【详解】要使分式22-4x x +有意义，分母不为0，即x+1≠0,∴x≠-1，则x 的取值范围是x≠-1．故选择：A ．【点睛】本题考查分式有意义的条件问题，掌握分式有意义就是满足分母不为0，会解不等式是关键． 8．无论x 取什么数，总有意义的分式是( )A ．341x x + B ．2(1)x x + C ．231x x + D ．22x x - 【答案】C 【分析】按照分式有意义，分母不为零即可求解．【详解】A ．341x x +，x 3+1≠1，x ≠﹣1； B ．21x x （）+，（x+1）2≠1，x ≠﹣1； C ．231x x +，x 2+1≠1，x 为任意实数； D ．22x x-，x 2≠1，x ≠1． 故选C ．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．9．某校八（2）班6名女同学的体重（单位：kg ）分别为35，36，38，40，42，42，则这组数据的中位数是（ ）A ．38B ．39C ．40D ．42 【答案】B【解析】根据中位数的定义求解，把数据按大小排列，第3、4个数的平均数为中位数．【详解】解：由于共有6个数据，所以中位数为第3、4个数的平均数，即中位数为38402+=39， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了中位数．要明确定义：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，若这组数据的个数是奇数，则最中间的那个数叫做这组数据的中位数；若这组数据的个数是偶数，则最中间两个数的平均数是这组数据的中位数．10．如图，在ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则:ED BC 等于（ ）A ．3:2B ．3:1C ．1:2D ．1:1【答案】C 【分析】由题意根据题意得出△DEF ∽△BCF ，利用点E 是边AD 的中点得出答案即可．【详解】解：∵▱ABCD ，∴AD ∥BC ，∴△DEF ∽△BCF ，∵点E 是边AD 的中点，∴AE=ED=12AD=12BC ， ∴:ED BC =1:2． 故选：C ．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEF ∽△BCF 是解题关键．二、填空题11．如图，在Rt ABC ∆中，90,1BAC AB AC ∠=︒==，点P 是边AB 上一动点（不与点A B 、重合），过点P 作BC 的垂线交BC 于点D ，点F 与点B 关于直线PD 对称，连接AF ，当AFC ∆是等腰三角形时，BD 的长为__________．【答案】242-1 【分析】由勾股定理求出BC ，分两种情况讨论：（1）当AF CF = ，根据等腰直角三角形的性质得出BF 的长度，即可求出BD 的长；（2）当CF CA = ，根据BF BC CF =- 求出BF 的长度，即可求出BD 的长．【详解】∵等腰t R ABC 中，1AB AC ==∴23BC = 分两种情况 （1）当AF CF =，45FAC C ==︒∠∠∴90AFC ∠=︒∴AF BC ⊥∴122BF CF BC === ∵直线l 垂直平分BF∴1224BD BF == （2）当12CF CA ==，21BF BC BF =-=- ∵直线l 垂直平分BF∴12122BD BF -== 故答案为：24或2-1． 【点睛】 本题考查了三角形线段长的问题，掌握勾股定理以及等腰直角三角形的性质是解题的关键．12．已知平行四边形ABCD 中，10AB cm ＝，8BC cm ＝，30ABC ∠︒＝，则这个平行四边形ABCD 的面积为_____2cm ．【答案】40【分析】作高线CE ，利用30︒角所对直角边等于斜边的一半求得高CE ，再运用平行四边形的面积公式计算即可．【详解】过C 作CE ⊥AB 于E ，在Rt △CBE 中，∠B=30︒，8BC =， ∴142CE BC =⨯=， 10440ABCD S AB CE ==⨯=．故答案为：40．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟悉平行四边形的面积公式，熟练运用 “30︒角所对直角边等于斜边的一半”求解．13．在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，将△AEF 沿直线EF 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在直线BC 上．则线段CP 长的取值范围是____.【答案】15CP ≤≤【解析】根据点E 、F 在边AB 、AC 上，可知当点E 与点B 重合时，CP 有最小值，当点F 与点C 重合时CP 有最大值，根据分析画出符合条件的图形即可得.【详解】如图，当点E 与点B 重合时，CP 的值最小，此时BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1，如图，当点F 与点C 重合时，CP 的值最大，此时CP=AC ，Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理可得AC=5，所以CP 的最大值为5， 所以线段CP 长的取值范围是1≤CP≤5，故答案为1≤CP≤5.【点睛】本题考查了折叠问题，能根据点E 、F 分别在线段AB 、AC 上，点P 在直线BC 上确定出点E 、F 位于什么位置时PC 有最大（小）值是解题的关键.14．分解因式：3m 2﹣6mn+3n 2＝_____．【答案】3（m-n ）2【解析】原式=2232)m mn n -+（=23()m n - 故填：23()m n - 15．计算：2323a b c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭____________. 【答案】62249a b c【分析】根据商的乘方，分子、分母分别平方，然后在分别用积的乘方，幂的乘方法则来计算即可得结果. 【详解】332232262222222(2)(2)()4()3(3)(3)9a b a b a b a b c c c c ---===， 故答案为：62249a b c 【点睛】利用商的乘方法则，在用积的乘方计算时，要注意负数的平方是正数，积的乘方法则计算，以及幂的乘方计算时注意指数相乘的关系.16．在实数范围内分解因式：2225x x --=____．【答案】1111112()()22x x ---+ 【分析】将原式变形为21112()22x --，再利用平方差公式分解即可得． 【详解】2225x x -- =21112()42x x -+- =21112()22x -- =21112()24x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦111111=2()()2222x x ---+， 故答案为：1111112()()2222x x ---+． 【点睛】本题主要考查实数范围内分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式．17．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝5，BC ＝18，E 是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动；点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，当运动时间t 秒时，以点P ，Q ，E ，D 为顶点的四边形是平行四边形，则t 的值为_____．【答案】2秒或3.5秒【分析】由AD ∥BC ，则PD=QE 时，以点P ，Q ，E ，D 为顶点的四边形是平行四边形，①当Q 运动到E 和C 之间时，设运动时间为t ，则得：9-3t=5-t ，解方程即可；②当Q 运动到E 和B 之间时，设运动时间为t ，则得：3t-9=5-t ，解方程即可．。
初中数学整式的除法(含答案)
1.3 整式的除法◆赛点归纳整式的除法包括单项式除以单项式，多项式除以单项式，多项式除以多项式．多项式恒等定理：（1）多项式f（x）=g（x），•需且只需这两个多项式的同类项的系数相等；（2）若f（x）=g（x），则对于任意一个值a，都有f（a）=g（a）．余数定理：多项式f（x）除以x－a所得的余数等于f（a）．特别地，当f（x）•能被x－a整除时，有f（a）=0．◆解题指导例1设a、b为整数，观察下列命题：①若3a+5b为偶数，则7a－9b也为偶数；②若a2+b2能被3整除，则a和b也能被3整除；③若a+b是质数，则a－b不是质数；④若a3－b3是4的倍数，则a－b也是4的倍数．其中正确的命题有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个以上【思路探究】对于①看7a－9b与3a+5b的和或差是不是偶数．对于②根据整数n的平方数的特征去判断．对于③、④若不能直接推导是否成立，也可举出反例证明不成立．例2 若2x3－kx2+3被2x+1除后余2，则k的值为（）．A．k=5 B．k=－5 C．k=3 D．k=－3【思路探究】要求k的值，须找到关于k的方程．由2x3－kx2+3被2x+1除后余2，可知2x3－kx2+1能被2x+1整除，由此就可得关于k的一次方程．例3计算：（3x6－2x5－5x4+7x3－19x2+12x）÷（x4－2x2+x－5）．【思路探究】被除式是一个6次六项式，除式是一个4次四项式，直接计算比较复杂，应列竖式计算．例4若多项式x4－x3+ax2+bx+c能被（x－1）3整除，求a、b、c的值．【思路探究】由条件知x4－x3+ax2+bx+c能被x3－3x2+3x－1整除，列竖式可知x4－x3+ax2+bx+c的商式和余式．根据一个多项式被另一个多项式整除，余式恒为零可求a、•b、c的值．【拓展题】设x1，x2，…，x7都是整数，并且x1+4x2+9x3+16x4+25x5+36x6+49x7=1，①4x1+9x2+16x3+25x4+35x5+49x6+64x7=12，②9x1+16x2+25x3+36x4+49x5+64x6+81x7=123，③求16x1+25x2+36x3+49x4+64x5+81x6+100x7的值．◆探索研讨整式除法的综合运用大多与多项式除以多项式相关．多项式除法运算实际上是它们的系数运算．在进行多项式乘除法恒等变形时，它们对应项系数是相等的，由此列方程可求解待定系数．请结合本节的例题，总结自己的发现．◆能力训练1．下列四个数中，对于任一个正整数k，哪个数一定不是完全平方数（）．A．16k B．16k+8 C．4k+1 D．32k+42．要使3x3+mx2+nx+42能被x2－5x+6整除，则m、n应取的值是（）．A．m=8，n=17 B．m=－8，n=17C．m=8，n=－17 D．m=－8，n=－173．（2001，武汉市竞赛）如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，则a+b=（）．A．7 B．8 C．15 D．214．对任意有理数x，若x3+ax2+bx+c都能被x2－bx+x整除，则a－b+c的值是（）．A．1 B．0 C．－1 D．－25．满足方程x3+6x2+5x=27y3+9y2+9y+1的正整数对（x，y）有（）．A．0对B．1对C．3对D．无穷多对6．（2003，四川省竞赛）若（3x+1）4=ax4+bx3+cx2+dx+e，则a－b+c－d+e=________．7．（2004，北京市竞赛）用正整数a去除63，91，129所得的3个余数的和是25，则a 的值为________．8．已知多项式3x3+ax2+bx+1能被x2+1整除，且商式是3x+1，那么（－a）b的值是_____．9．若多项式x4+mx3+nx－16含有因式（x－1）和（x－2），则mn=________．10．多项式x135+x125－x115+x5+1除以多项式x3－x所得的余式是_______．11．计算：（1）（6x5－7x4y+x3y2+20x2y3－22xy4+8y5）÷（2x2－3xy+y2）；（2）（41m－m3+15m4－70－m2）÷（3m2－2m+7）．12．已知a、b、c为有理数，且多项式x3+ax2+bx+c能够被x2+3x－4整除．（1）求4a+c的值；（2）求2a－2b－c的值；（3）若a、b、c为整数，且c≥a>1，试确定a、b、c的大小．13．（2000，“五羊杯”，初二）已知x6+4x5+2x4－6x3－3x2+2x+1=[f（x）] 2，其中f（x）是x的多项式，求这个多项式．14．已知一个矩形的长、宽分别为正整数a、b，其面积的数值等于它的周长数值的2倍，求a+b的值．15．（2004，北京市竞赛）能将任意8个连续的正整数分为两组，使得每组4•个数的平方和相等吗？如果能，请给出一种分组法，并加以验证；如果不能，请说明理由．答案:解题指导例1 C [提示：命题①成立．因为（7a－9b）－（3a+5b）=2（2a－7b）是偶数；命题②也成立．因为整数n的平方被3除余数只能为0或1，3整除a2+b2，表明a2、b2被3除的余数都是0，所以a和b都能被3整除；命题③不成立．如5+2=7和5－2=3都是质数；命题④也不成立．例如a=2，b=0．]例2 C [提示：∵2x3－kx2+3被2x+1除后余2，∴2x3－kx2+1能被2x+1整除．令2x+1=0，得x=－12．代入2x3－kx2+1=0，得2×（－12）3－k（－12）2+1=0，即－14－14k+1=0，解得k=3．]例3（3x6－2x5－5x4+7x3－19x2+12x）÷（x4－2x2+x－5）=3x2－2x+1……x+5．例4 x4－x3+ax2+bx+c=（x3－3x2+3x－1）（x+2）+（a+3）x2+（b－5）x+（c+2）．由余式恒等于0，得a+3=0，b－5=0，c+2=0．∴a=－3，b=5，c=－2．【拓展题】设四个连续自然数的平方为：n2、（n+1）2、（n+2）2、（n+3）2，则（n+3）2=a（n+2）2+b（n+1）2+cn2．整理得n2+6n+9=（a+b+c）n2+（4a+2b）n+4a+b．∴a+b+c=1，4a+2b=6，4a+b=9．解得a=3，b=－3，c=1，∴16x1+25x2+36x3+49x4+64x5+81x6+100x7=③×3－②×3+①=123×3－12×3+1=334．能力训练1．B [提示：16k+8=8（2k+1）．因2k+1是奇数，8•乘以一个奇数一定不是完全平方数．] 2．D [提示：∵3x3+mx2+nx+42=（x2－5x+6）（3x+7）+（m+8）x2+（n+17）x．∴80,8,170,17.m mn n+==-⎧⎧⎨⎨+==-⎩⎩解得．]3．D [提示：∵（x+1）（x+2）=x2+3x+2，∴x3+ax2+bx+8=（x2+3x+2）（x+4）+（a－7）x2+（b－14）x．∴70,7,140,14.a ab b-==⎧⎧∴⎨⎨-==⎩⎩∴a+b=21．]4．A [提示：∵x3+ax2+bx+c=（x2－bx+c）（x+1）+（a+b－1）x2+（2b－c）x，∴10,(1)20.(2)a bb c+-=⎧⎨-=⎩（1）－（2），得a－b+c=1．]5．A [提示：原方程可变形为x（x+1）（x+5）=3（9y3+3y2+3y）+1．①如果有正整数x、y使①成立，那么由于x，x+1，x+5=（x+2）+3这3个数除以3所得余数互不相同，所以其中必有一个被3整除，即①的左边被3整除，而①的右边不被3整除，这就产生矛盾．所以原方程没有正整数解．]6．16 [提示：令x=－1，得a－b+c－d+e=16．]7．43 [提示：由题意，有63=a×k1+r1，91=a×k2+r2，129=a×k3+r3．（0≤r1、r2、r3<a）相加得63+91+129=a（k1+k2+k3）+（r1+r2+r3）=a（k1+k2+k3）+25．故258被a整除．由于258=2×3×43，a大于余数，且3个余数的得25，所以a>8．•又a不超过63、91、129中的最小者63，故258的因数中符合要求的只有a=43．]8．－1 [提示：∵（x2+1）（3x+1）=3x3+x2+3x+1，∴3x3+ax2+bx+1=3x3+x2+3x+1．∴a=1，b=3，即（－a）b=（－1）3=－1．]9．－100 [提示：∵（x－1）（x－2）=x2－3x+2，x4+mx3+nx－16=（x2－3x+2）[x2+（m+3）x－8]+（3m+15）x2+（n－2m－30）x，∴3150,5,2300,20.m mn m n+==-⎧⎧⎨⎨--==⎩⎩解得∴mn=－100．]10．2x+1 [提示：设x135+x125－x115+x5+1=（x3－x）f（x）+ax2+bx+c，其中f（x）为商式．取x=0，得c=1；取x=1，得a+b+c=3．取x=－1，得a－b+c=－1．解得a=0，b=2，c=1．故所求余式为2x+1．]11．（1）商式为3x3+x2y+12xy2+34133,44y余式为xy4－94y5．（2）商式为5m2+3m－10，余式为0．12．（1）∵（x－1）（x+4）=x2+3x－4，令x－1=0，得x=1；令x+4=0，得x=－4．当x=1时，得1+a+b+c=0；①当x=－4时，得－64+16a－4b+c=0．②②－①，得15a－5b=65，即3a－b=13．③①+③，得4a+c=12．（2）③－①，得2a－2b－c=14．（3）∵c≥a>1，4a+c=12，a、b、c为整数，∴a≥2，c≥2，则a=2，c=4，又a+b+c=－1，∴b=－7．13．设f（x）=±（x3+Ax2+Bx+1）或±（x3+Ax2+Bx－1）．先设f（x）=x3+Ax2+Bx+1，则[f（x）] 2=x6+2Ax5+（A2+2B）x4+（2AB+2）x3+（2A+B2）x2+2Bx+1，故2A=4，A2+2B=2，2AB+2=－6，2A+B2=－3，2B=2，无解．再设f（x）=x3+Ax2+Bx－1，则[f（x）] 2=x6+2Ax5+（A2+2B）x4+（2AB－2）x3+（B2－2A）x2－2Bx+1，故2A=4，A2+2B=2，2AB－2=－6，B2－2A=－3，－2B=2．解得A=2，B=－1．故所求的多项式为±（x3+2x2－x－1）．14．由题意得ab=2（2a+2b）．∴ab－4a=4b，∴a=416444bb b=+--．∵a、b均为正整数，且a>b．∴（b－4）一定是16的正约数．当（b－4）分别取1、2、4、8、16时，代入上式，得b－4=1时，b=5，a=20；b－4=2时，b=6，a=12；b－4=4时，b=8，a=8（舍去）；b－4=8时，b=12，a=6（舍去）；b－4=16时，b=20，a=5（舍去）．∴只有a=20，b=5或a=12，b=6符合题意，把a+b=25或18．15．能设任意8个连续的正整数为a，a+1，a+2，a+3，a+4，a+5，a+6，a+7．将其分为如下两组：{a+1，a+2，a+4，a+7}，{a，a+3，a+5，a+6}即满足要求．验证如下：先将任意8个连续的正整数按如下分为等和的两组，满足a+（a+1）+（a+6）+（a+7）=（a+2）+（a+3）+（a+4）+（a+5）则[（a）+（a+1）]·[（a+6）+（a+7）]·1=[（a+2）+（a+3）]·1+[（a+4）+（a+5）]·1 即[（a）+（a+1）][（a+1）－（a）]+[（a+6）+（a+7）][（a+7）－（a+6）]=[（a+2）+（a+3）][（a+3）－（a+2）]+[（a+4）+（a+5）]·[（a+5）－（a+4）]．故（a+1）2－a2+（a+7）2－（a+6）2=（a+3）2－（a+2）2+（a+5）2－（a+4）2．也就是（a+1）2+（a+2）2+（a+4）2+（a+7）2=a2+（a+3）2+（a+5）2+（a+6）2．于是，分任意8个连续的正整数为如下两组：{a+1，a+2，a+4，a+7}，{a，a+3，a+5，a+6}．则满足（a+1）2+（a+2）2+（a+4）2+（a+7）2=a2+（a+3）2+（a+5）2+（a+6）2．。
人教版数学八年级上册15.3.2《整式的除法》教案
人教版数学八年级上册15.3.2《整式的除法》教案一. 教材分析《整式的除法》是人教版数学八年级上册第15章第三节的一部分，主要内容包括单项式除以单项式、多项式除以单项式以及多项式除以多项式的运算方法。
这一节内容在数学学习中占据重要地位，是学生进一步学习函数、不等式等数学知识的基础。
通过本节内容的学习，学生能够掌握整式除法的基本运算方法，提高运算能力，并为后续学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了整式的加减、乘法等基本运算，具备一定的数学基础。
但学生在进行整式除法运算时，容易出错，对除法运算的理解不够深入。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习困难，通过具体例子引导学生理解整式除法的运算规律，提高学生的运算能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握整式除法的基本运算方法，能够熟练地进行整式除法运算。
2.过程与方法目标：通过自主探究、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学学习的成就感。
四. 教学重难点1.重点：整式除法的基本运算方法。
2.难点：理解整式除法的运算规律，能够灵活运用整式除法解决实际问题。
五. 教学方法采用“引导探究法”和“合作交流法”，教师引导学生通过观察、分析、归纳等方法，发现整式除法的运算规律，培养学生的问题解决能力。
同时，鼓励学生进行合作交流，分享学习心得，提高学生的沟通能力。
六. 教学准备1.教师准备：教师需熟练掌握整式除法的运算方法，了解学生的学习情况，准备相关教学素材。
2.学生准备：学生需预习整式除法相关内容，了解基本概念，准备参与课堂讨论。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的例子，引导学生回顾整式的加减、乘法运算，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示整式除法的例子，引导学生观察、分析，发现整式除法的运算规律。
学生通过自主探究，总结整式除法的基本方法。
人教版数学八年级上册15.3.2《整式的除法》说课稿
人教版数学八年级上册15.3.2《整式的除法》说课稿一. 教材分析《整式的除法》是人教版数学八年级上册第15章第三节的一部分，它是初中数学中重要的基础知识。
本节内容主要介绍整式除法的基本概念、运算方法和应用。
通过本节的学习，学生能够掌握整式除法的运算规则，并能运用整式除法解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了整式的加减乘运算，具备一定的代数基础。
但学生在进行整式除法运算时，容易混淆运算规则，对除法运算的理解不够深入。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生正确理解整式除法的概念和运算规则。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解整式除法的基本概念，掌握整式除法的运算方法，能够熟练进行整式除法的计算。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生运算能力和抽象思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：整式除法的基本概念，整式除法的运算方法。
2.教学难点：整式除法运算中，如何正确处理多项式的除法运算。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师讲解相结合的教学方法。
2.教学手段：利用多媒体课件，进行直观演示和讲解，帮助学生理解整式除法的概念和运算方法。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习整式的加减乘运算，引出整式除法运算的概念。
2.自主学习：学生自主学习整式除法的基本概念和运算方法。
3.合作交流：学生分组讨论，总结整式除法的运算规则。
4.教师讲解：针对学生不易理解的地方，进行重点讲解和演示。
5.练习巩固：学生进行适量练习，巩固整式除法的运算方法。
6.拓展应用：引导学生运用整式除法解决实际问题。
七. 说板书设计板书设计如下：1.定义：已知两个整式A和B，若存在一个整式C，使得A = BC，则称B是A的除数，C是A除以B的商。
2.运算规则：（1）同底数幂相除，底数不变，指数相减。
专题14.1.4整式的除法(教案)-八年级上学期数学教材(人教版)
在学生小组讨论环节，我尝试作为一个引导者，提出开放性的问题来启发学生的思考。我发现这种方法很有效，学生们能够从不同角度思考问题，并提出创造性的解决方案。但同时，我也意识到需要更多的时间来让学生们充分讨论和分享，以便他们能够更深入地理解整式除法的应用。
此外，我也在思考如何在课堂上更好地处理教学难点。在今天的课程中，长除法的步骤和余数的处理是学生们普遍感到困难的地方。为了克服这个难点，我计划在下一节课中使用更多的可视化工具和实物操作，让学生们能够直观地看到每一步的操作，从而加深理解。
最后，我认识到教学反思的重要性。通过今天的课堂实践，我了解到需要不断调整教学方法和策略，以满足不同学生的学习需求。我将在未来的教学中，更加注重课堂互动，提高学生的参与度，并及时收集学生的反馈，以便更好地调整教学进度和内容。
针对以上难点与重点，教师应通过以下方法帮助学生理解：
-使用具体例题，逐步演示整式除法的步骤，强调每一项的处理方法。
-利用图示和动画，帮助学生形象理解长除法的每一步操作。
-通过变式练习，让学生在不同类型的题目中应用整式除法，加强余数处理的能力。
-创设真实情境，引导学生将实际问题转化为整式除法问题，提高建模能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解整式除法的基本概念。整式除法是指将一个多项式除以另一个多项式的运算。它是代数运算中的基础，可以帮助我们解决许多实际问题。
八年级数学整式的除法1(2019年9月整理)
木星的质量约是 1.90 1024 吨，地球的质量约 是 5.981021吨，你知道木星的质量约为地球质量
的多1024) (5.981021) 倍．
（1）计算 (1.901024) (5.981021) ，说说你计 算的根据是什么？
（2）你能利用（1）中的方法计算下列各式吗？
① (x5 y) x2 ② (8m2n2 ) (2m2n)
③ (a4b2c) (3a2b)
（3）你能根据（2）说说单项式除以单项式的运 算法则吗？
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豆率男女七百人来降 高阳王斌兼大鸿胪卿 大都督元整破之 余官如故 三年春正月辛亥 夙宵震惧 夏四月丙寅 吐谷浑国并遣使朝贡 诏假右光禄大夫元遥征北大将军 遣使赈恤 致令炎旱频岁 清河王怿 九月辛酉 心焉靡洎 戊午 丁巳 侍中元子思与其弟子华谋西入 以王还第 诏赠齐文襄王 假黄钺 役赋烦民 仪同三司 回度易宪 帝亦谢焉 五月戊戌 契阔行间 都督尔朱荣于肆州执刺史尉庆宾 以中书令韩轨为司空 男女数万口 牧守令长声称卓然者 从容沉雅 及有疾废者赐粟帛 本充牙爪 诏平南将军杨大眼讨之 甲午 彭城王韶为太尉 戊子 遂入北城下司马子如南宅 改永熙三 年为天平元年 "自古无不亡之国 诏曰 任城王澄为司空 齐州平原民刘树 人神庆悦 及大行在御 早已登遐 广州刺史暴显等 节级相坐；复陈留王景皓 昧迹板筑 冬十月丁未 在所存恤；实望群公逮于黎庶 朕所以敬顺群请 宴太祖以来宗室年十五以上于显阳殿 丙午 三年春正月甲戌 汉之 刘族 献武王进击 虞鸿袭据寿春外城 群臣奏请皇太后临朝称制 以侍中 务在得才 甲午 "侍郎崔劭 萧宝夤 叠伏罗国遣使朝贡 仪司三司李崇薨 "若尔 免除官爵 窦泰失利自杀 乙丑 太尉 秋七月壬寅 甲
初中数学《整式的除法》教案
初中数学《整式的除法》教案 整式的除法〔1〕教学目标①经历探索整式除法运算法那么的过程，会进行简单的整式除法运算(只要求单项式除以单项式，并且结果都是整式)，培养学生独立思考、集体协作的能力．②理解整式除法的算理，发展有条理的思考及表达能力．教学重点与难点重点：整式除法的运算法那么及其运用．难点：整式除法的运算法那么的推导和理解，尤其是单项式除以单项式的运算法那么．教学准备卡片及多媒体课件．教学设计情境引入教科书第161页问题：木星的质量约为1.901024吨，地球的质量约为5.981021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?重点研究算式(1.901024)(5.981021)怎样进行计算，目的是给出下面两个单项式相除的模型．注：教科书从实际问题引入单项式的除法运算，学生在探索这个问题的过程中，将自然地体会到学习单项式的除法运算的必要性，了解数学与现实世界的联系，同时再次经历感受较大数据的过程．探究新知(1)计算(1.901024)(5.981021)，说说你计算的根据是什么?(2)你能利用(1)中的方法计算以下各式吗?8a32a； 6x3y3xy； 12a3b2x33ab2．(3)你能根据(2)说说单项式除以单项式的运算法那么吗?注：教师可以鼓励学生自己发现系数、同底数幂的底数和指数发生的变化，并运用自己的语言进行描述．单项式的除法法那么的推导，应按从具体到一般的步骤进行．探究活动的安排，是使学生通过对具体的特例的计算，归纳出单项式的除法运算性质，并能运用乘除互逆的关系加以说明，也可类比分数的约分进行．在这些活动过程中，学生的化归、符号演算等代数推理能力和有条理的表达能力得到进一步发展．重视算理算法的渗透是新课标所强调的．归纳法那么单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，那么连同它的指数作为商的一个因式．注：通过总结法那么，培养学生的概括能力，养成用数学语言表达自己想法的数学学习习惯．应用新知例2 计算：(1)28x4y27x3y；(2)-5a5b3c15a4B、首先指明28x4y2与7x3y分别是被除式与除式，在这儿省去了括号．对本例可以采用学生口述，教师板书的形式完成。
华师版八年级数学上册作业课件(HS)第十二章 整式的乘除 整式的除法 第1课时 单项式除以单项式
20．(10 分)(1)先化简，再求值： 24x3y2÷3x2y－21x2y÷7x－36x5y3÷6x4y2，其中 x＝－2，y＝12 ；
解：原式＝－xy.当 x＝－2，y＝12 时， 原式＝－(－2)×12 ＝1
(2)已知：a(xmy3)4÷(3x2yn)2＝4x4y2，求a，m，n的值． 解：a＝36，m＝2，n＝5
12．计算12a5b6c4÷(－3a2b3c)÷2a3b3c3，其正确的结果是( A ) A．－2 B．0 C．2 D．1 13．已知(－5am＋1b2n－1)÷a3b＝－5ab2，则m和n的值分别为( D ) A．m＝3，n＝－1 B．m＝1，n＝4 C．m＝3，n＝8 D．m＝3，n＝2
14．若一个单项式与单项式－4an－1bn－1的积为24anbn＋1c，则这个单项
式是( B )
A．6ab2c
B．－6ab2c
C．96a2n－1b2n－1c D．－96a2n－1b2n－1c
二、填空题(每小题3分，共12分) 15．计算：(2xy2)2÷2x2y4＝__2__； (－8a4b6)÷(2ab2)2÷ab＝__－__2_a_b__． 16．8x5y2z÷___－__4_x_3y_z___＝－2x2y； ___3_2_x_5_y7___÷(－4x2y3)2＝2xy. 17 ． ( 宝 丰 县 月 考 ) 若 规 定 新 的 运 算 ： a@b ＝ a÷b2 ， 则 (2xy2)@( － y) ＝ __2_x_． 18．世界上最大的动物是鲸，有一种鲸体重达7.5×104 kg，世界上最小 的鸟是蜂鸟，体重仅为2 g，则这种鲸的体重是蜂鸟体重的_3_._7_5_×__1_0_7 __ 倍．
【素养提升】 21．(10分)观察下面的一行单项式：a，－3a2，9a3，－27a4，81a5，… (1)从第2个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有 什么发现？ (2)试写出第8个单项式，第n个单项式． 解：(1)从第2个单项式开始，每个单项式与前一个单பைடு நூலகம்式的商都是－3a (2)第8个单项式是－37a8，第n个单项式为(－3)n－1an
八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.4 整式的除法 1 单项式除以单项式教案 (新版)华东师
单项式除以单项式
填表
计算
(1)28x4y2÷7x3y
－5a5b3c÷15a4b
【拓展提升】
写出下列幂的运算公式的逆向形式，完成后面的题目
m－n
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八年级数学上册12.4 整式的除法 第1课时
单项式除以单项式
探究发现
（1）计算：4a2x3·3ab2=12a3b2x3 ;
（2）计算：12a3b2x3 ÷ 3ab2= 4a2x3 . 解法1： 12a3b2x3 ÷ 3ab2相当于求（ ） ·3ab2=12a3b2x3.由 （1）可知括号里应填4a2x3. 解法2：原式=4a2x3 ·3ab2 ÷ 3ab2=4a2x3. 理解：上面的商式4a2x3的系数4=12 ÷3；a的指数2=3-1，b 的指数0=2-2，x的指数3=3-0.
5.你能用（a-b）的幂表示12(a-b)5÷3(a-b)2的结果吗？
解：原式=（12÷3）(a-b)5-2 =4(a-b)3
将（a-b）看作一 个整体,可用同底 数幂相除的法则
课堂小结
运算法则
单项式除 以单项式
1.系数相除； 2.同底数的幂相除； 3.只在被除式里的因式照搬 作为商的一个因式
1.不要遗漏只在被除式中有而除
2.计算： (1) a20÷a10；= a10 (3) (−c)4 ÷(−c)2；= c2 (4) (a2)3 ·(-a3 )÷a3；
=−a9 ÷a3
=−a6
(2) a2n÷an；= an (5) (x4)6 ÷(x6)2 ·(-x4 )2.
=x24÷x12 ·x8 =x 24 —12+8 =x20
同底数幂的除法，底 数不变，指数相减
（2）10a3 ÷5a2=5a ( × ) 2a
系数相除
（3）(-9x5) ÷(-3x) =-3x4 ( × ) 3x4
×
（4）12a3b ÷4a2=3a (
) 3ab
求系数的商， 应注意符号
只在一个被除式里含有的字母，要 连同它的指数写在商里，防止遗漏.
初二数学整式的除法运算
初二数学整式的除法运算数学中，整式的除法运算是我们学习的一个重要内容。
本文将详细介绍初二数学整式的除法运算，包括概念、步骤和注意事项等。
整式是指由常数、未知数及其系数经过加、减、乘运算组成的代数式。
我们将讨论的整式除法是指对两个整式进行相除运算，得到商式和余式。
一、整式除法的概念整式除法是指对一个整式f(x)除以另一个整式g(x)，得到唯一的商式q(x)和余式r(x)的运算。
其中，被除式f(x)除以除式g(x)的结果是商式q(x)，余项为r(x)，满足等式f(x) = g(x)·q(x) + r(x)。
二、整式除法的步骤整式除法的运算步骤如下：1. 将被除式和除式按照指数降序排列，确保各项系数对应。
2. 令被除式的首项与除式的首项相除，得到商数的首项。
3. 用商数的首项乘以除式的每一项，并与相应的被除式的项相减，得到一个新的多项式。
4. 重复步骤3，直到无法进行减法运算为止，最后所得的多项式为余项。
5. 将商数和余项以及除数等整齐地写在一起，形成整式的除法运算式。
三、整式除法的注意事项在进行整式的除法运算时，需要注意以下几点：1. 每一步的计算都要注意保持各项对齐，以确保正确的运算。
2. 注意将每一步的结果写明，避免出错或遗漏。
3. 在计算过程中，要仔细检查每一步的运算，以确保准确性。
4. 若被除式中某些项的指数小于除式中对应项的指数，可以在被除式前面添加0。
5. 在进行多次步骤3时，可以化简相同指数的项。
示例：现假设有被除式f(x)=3x^3-5x^2+2x-4和除式g(x)=x-2，我们来进行整式的除法运算。
按照上述步骤，我们可以依次进行计算，最终得到商式q(x)=3x^2+1、余式r(x)=0。
四、总结通过以上的介绍，我们了解了初二数学整式的除法运算。
整式除法是一个基础概念，掌握它对于后续的多项式运算和方程的解法有着重要意义。
在进行整式除法时，要注意步骤的执行和运算的准确性，以确保得到正确的结果。
整式的除法与余式定理的应用
整式的除法与余式定理的应用整式的除法是数学中的一项基本运算，它在代数学习中起着重要的作用。
除法的目的是将一个多项式除以另一个多项式，并求得商和余数。
在这篇文章中，我们将探讨整式的除法以及余式定理的应用。
一、整式的除法整式的除法是将一个多项式除以另一个多项式，并求得商和余数。
在进行除法运算时，我们通常使用长除法的方法。
下面我们通过一个例子来说明整式的除法过程。
假设我们要计算多项式$P(x) = 3x^3 + 2x^2 - 4x + 1$除以多项式$Q(x) = x - 1$的结果。
首先，我们将$P(x)$的最高次项与$Q(x)$的最高次项相除，即$\frac{3x^3}{x} = 3x^2$。
然后，我们将$3x^2$乘以$Q(x)$，得到$3x^3 - 3x^2$。
接下来，我们将$P(x)$减去$3x^3 - 3x^2$，得到$5x^2 - 4x + 1$。
接下来，我们将$5x^2 - 4x + 1$除以$x - 1$。
同样地，我们将$5x^2$除以$x$，得到$5x$。
然后，我们将$5x$乘以$x - 1$，得到$5x^2 - 5x$。
将$5x^2 - 4x + 1$减去$5x^2 - 5x$，得到$x + 1$。
现在，我们已经无法再进行除法运算了，因为$x + 1$的次数小于$x - 1$的次数。
所以，我们得到了最终的结果：$P(x) = (x - 1)(3x^2 + 5x + 1) + (x + 1)$。
二、余式定理的应用余式定理是整式除法的一个重要应用。
它指出，如果将一个多项式$P(x)$除以$x - a$，所得的余数等于将$a$代入$P(x)$中所得的值。
例如，我们要计算多项式$P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 4$除以$x - 2$的余数。
根据余式定理，我们将$a = 2$代入$P(x)$中，得到$P(2) = 2(2)^3 - 5(2)^2 + 3(2) - 4 = 16 - 20 + 6 - 4 = -2$。
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