运筹学 练习题
运筹学练习题
运筹学练习题一、填空题1、线性规划模型有三种参数，其名称分别为_ 、 _ 和 。
2、一个模型是m 个约束，n 个变量，则它的对偶模型为 个约束， 个变量。
3、动态规划是解决 最优化问题的一种理论和方法。
4、在运输问题中，一个空格只存在______闭回路，计算闭回路的目的是要计算解中_______。
5、若线性规划问题最优解不唯一，则在最优单纯形表上的非基变量的检验数___________。
6、为求解销量大于产量的运输问题，可虚设一个产地A m+1，它的销量等于_ 。
二、单项选择题1．使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当所有的检验数0≤j σ，在基变量中仍含有非零的人工变量，表明该线性规划问题（ ）。
A ．有唯一的最优解；B ．有无穷多个最优解；C ．为无界解；D ．无可行解。
2．一个极大化的线性规划问题用单纯形法求解，若对所有的检验数0≤j σ，但对某个非基变量j x ，有0=j σ，则该线性规划问题（ ）。
A ．有唯一的最优解；B ．有无穷多个最优解；C ．为无界解；D ．无可行解。
3．在用对偶单纯形法解最大化线性规划问题时，每次迭代要求单纯形表中（ ）。
A ．b 列元素不小于零； B ．检验数都大于零； C ．检验数都不小于零； D ．检验数都不大于零。
4．在运输问题中，每次迭代时，如果有某基变量的解值等于零，则该运输问题（ ）。
A ．无最优解；B ．有无穷多个最优解；C ．有唯一最优解；D ．出现退化解。
5．若一个产销平衡运输问题的数据表的各元素都乘以常数k （k.>0）得到一个新的数据表，这一新数据表对应着一个新的产销平衡运输问题，则（ ）。
A ．新问题与原问题有相同的最优解；B ．新问题最优目标值大于原问题最优目标函数值；C ．新问题最优解等于原问题最优解加上k ；D ．新问题最优解小于原问题最优解。
6．如果要使目标规划实际实现值达到或超过目标值，则相应的偏差变量应满足（ ）。
运筹学练习题
最优解：X*＝（3.75，0.75,0,0）T，MaxZ＝8.25
第二章
1. 如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题 也一定存在可行解；
2. 如果线性规划问题的对偶问题无可行解，则原问题 也一定无可行解； 3. 在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，原问题可 行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标 函数值；
用对偶单纯形法求解下列线性规划问题 minz＝4x1＋12x2＋18x3 x1 ＋3x3 ≥3 st 2 x2＋2x3 ≥5 xj≥0 (j=1,2,3) MAXZ＝－4X1－12X2－18X3 －X1 －3X3＋X4 ＝－3 ST －2 X2 －2X3 ＋X5＝－5 XJ≥0
CB 0
c j XB x4
，，，，，
（7）、单纯形法计算中，如不按θi最小原则选取换出变量，则 在下一个解中至少有一个基变量的值为负
（8）、一旦人工变量在迭代中离基，该变量及相应列在单纯 形表中的数字可以不再计算，而不会影响计算结果 （9）、对一个有n个变量、m个约束的SLP问题，其可行域的 顶点恰好为Cnm个
10 b 3/2 1 x1 0 1
5 x2 1 0
0 x3 5/14
0 x4 -3/14 2/7
4 12 0 12
x2 3/2 x1 1 j x3 21/5 x1 8/5
0 1 0 0 1 0
1 0 0 14/5 2/5 -4/5
5/14
-1/7 2/7
-3/14 2/7 -18/7 -3/5 1/5 -12/5
CB 0 0
a 0
cj XB x4 x5
a
1
b 6 1
f 4
j
x1 x5
j
x1 b -1 a 1 0 0
运筹学习题
P1 11. 判断下列说法是否正确：（a）图解法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的；（b）线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大；（c）线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点；（d）如线性规划问题存在最优解，则最优解一定对应可行域边界上的一个点；（e）对取值无约束的变量，通常令x j=x j′-x j〞，其中x j′≥0 , x j〞≥0 ,在用单纯形法求得的最优解中有可能同时出现x j′>0, x j〞>0 ；（f）用单纯形法求解标准形式的线性规划问题时，与бj >0对应的变量都可以被选作换入变量；（g）单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负；（h）单纯形法计算中，选取最大正检验数бk对应的变量x k作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长；（i）一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果；（j）线性规划问题的任一可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示；（k）若x1，x2分别是某一线性规划问题的最优解，则X=λ1X1+λ2X 2 也是该线性规划问题的最优解，其中λ1 , λ2为正的实数；（l ）线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为min z=(ai ai ix x ∑为人工变量)，但也可以写为min z=i ai ik x ∑，只要所有k i 均为大于零的常数；（m ）对一个有 n 个变量 m 个约束的标准形的线性规划问题，其可行域的顶点恰好为C m n 个；（n ）单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转换到目标函数值更大的另一个可行解；（o ） 线性规划问题的可行解如为最优解 ，则该可行解一定是可行解；（p ） 若线规划问题具有可行解，切其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解；（q ）线性规划可行域的某一顶点若其目标函数值优于相邻的所有顶点的目标函数值，则该顶点处的目标函数值达到最优。
运筹学习题
习题一1.1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解。
(1) min z ＝6x1＋4x2(2) max z ＝4x1＋8x2st. 2x1＋x2≥1 st. 2x1＋2x2≤103x1＋4x2≥1.5 －x1＋x2≥8x1, x2≥0 x1, x2≥0(3) max z ＝x1＋x2(4) max z ＝3x1－2x2st. 8x1＋6x2≥24 st. x1＋x2≤14x1＋6x2≥－12 2x1＋2x2≥42x2≥4 x1, x2≥0x1, x2≥0(5) max z ＝3x1＋9x2(6) max z ＝3x1＋4x2st. x1＋3x2≤22 st. －x1＋2x2≤8－x1＋x2≤4 x1＋2x2≤12x2≤6 2x1＋x2≤162x1－5x2≤0 x1, x2≥0x1, x2≥01.2. 在下列线性规划问题中，找出所有基本解，指出哪些是基本可行解并分别代入目标函数，比较找出最优解。
(1) max z ＝3x1＋5x2(2) min z ＝4x1＋12x2＋18x3st. x1＋x3＝4 st. x1＋3x3－x4＝32x2＋x4＝12 2x2＋2x3－x5＝53x1＋2x2＋x5＝18 x j≥0 （j＝1, (5)x j≥0 （j＝1, (5)1.3. 分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形法迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。
(1) max z ＝10x1＋5x2st. 3x1＋4x2≤95x1＋2x2≤8x1, x2≥0(2) max z ＝100x1＋200x2st. x1＋x2≤500x1≤2002x1＋6x2≤1200x1, x2≥01.4. 分别用大M法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出问题的解属于哪一类：(1) max z ＝4x1＋5x2＋x3(2) max z ＝2x1＋x2＋x3st. 3x1＋2x2＋x3≥18 st. 4x1＋2x2＋2x3≥42x1＋x2≤4 2x1＋4x2≤20x1＋x2－x3＝5 4x1＋8x2＋2x3≤16x j≥0 （j＝1,2,3）x j≥0 （j＝1,2,3）(3) max z ＝ x 1＋ x 2 (4) max z ＝x 1＋2x 2＋3x 3－x 4 st. 8x 1＋6x 2≥24 st. x 1＋2x 2＋3x 3＝154x 1＋6x 2≥－12 2x 1＋ x 2＋5x 3＝202x 2≥4 x 1＋2x 2＋ x 3＋ x 4＝10x 1, x 2≥0 x j ≥0 （j ＝1, (4)(5) max z ＝4x 1＋6x 2 (6) max z ＝5x 1＋3x 2＋6x 3 st. 2x 1＋4x 2 ≤180 st. x 1＋2x 2＋ x 3≤183x 1＋2x 2 ≤150 2x 1＋ x 2＋3x 3≤16 x 1＋ x 2＝57 x 1＋ x 2＋ x 3＝10x 2≥22 x 1, x 2≥0，x 3无约束 x 1, x 2≥01.5 线性规划问题max z ＝CX ，AX ＝b ，X ≥0，如X*是该问题的最优解，又λ＞0为某一常数，分别讨论下列情况时最优解的变化：（1） 目标函数变为max z ＝λCX ；（2） 目标函数变为max z ＝（C ＋λ）X ；（3） 目标函数变为max z ＝C X ，约束条件变为AX ＝λb 。
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第一章线性规划1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4－x2＋2x3－x4＝－24xst. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14－2x1＋3x2＋x3－x4 ≥2x1，x2，x3≥0，x4无约束2)min z ＝2x1－2x2＋3x3＋x2＋x3＝4－xst. －2x1＋x2－x3≤6x1≤0 ，x2≥0，x3无约束1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1)min z＝2x1＋3x24x1＋6x2≥6st2x1＋2x2≥4x1，x2≥02)max z＝3x1＋2x22x1＋x2≤2st3x1＋4x2≥12x1，x2≥03)max z＝3x1＋5x26x1＋10x2≤120st5≤x1≤103≤x2≤84)max z＝5x1＋6x22x1－x2≥2st－2x1＋3x2≤2x1，x2≥01．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3x1，x2，x3，x4≥01．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。
1) maxz ＝10x 1＋5x 23x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥02) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥01．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。
1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥02) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4x 1＋ x 2－ x 3＝53) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥01231231231231234)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩1．61.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。
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销地
产地
1
2
3
产量
1
5
1
8
12
2
2
4
1
14
3
3
6
7
4
销量
9
10
11
表3-4
销地
产地
1
2
3
4
5
产量
1
10
2
3
15
9
25
2
5
20
15
2
4
30
3
15
5
14
7
15
20
4
20
15
13
M
8
30
销量
20
20
30
10
25
解：
（1）在表3-3中分别计算出各行和各列的次最小运费和最小运费的差额，填入该表的最右列和最下列。得到：
+ = + +
+ =
建立数学模型：
Max z=(1.25-0.25)*( + )+(2-0.35)*( + )+(2.8-0.5) -(5 +10 )300/6000-(7 +9 +12 )321/10000-(6 +8 )250/4000-(4 +11 )783/7000-7 *200/4000
s.t
2.确定 的范围,使最优解不变;取 ,求最优解;
3.确定 的范围,使最优基不变,取 求最优解;
4.引入 求最优解;
解1.由单纯形方法得
即,原问题的最优解为
例求下面运输问题的最小值解：
1
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二、填空选择题：（每空格2分，共16分）1、线性规划的解有划的唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种。
2、在求运费最少的调度划的运划的输问题中，如划的果某划的一非基变量的检验数为4，则说明如果在该空格中增加一个运量运费将增加划的4 。
3、“如果线性规划的原问题存在可行解，则其对划的偶问题一定存在可行解”，这句话对还是划的错？错4、如果某一整数规划：MaxZ=X划的1+X2划的X1+9/1划的2≤1/3X1,X2≥0且均为整数所对应的线性规划（松弛问题）的最优划的解为X1=3/2，X2=10/3，MaxZ=6/29，我们现在划的要对X1进行分枝，划的应该分为X1≤1和X1≥2。
5、在用逆向解法求动态规划时，f k(s k)的含义是：从第k个阶段到第n个阶段的最优解。
6.假设某线性规划的可行解的集合为D，而其所对应的整数规划的可行解集合为B，那么D 和B的关系为 D 包含 B7.已知下表是制订生产计划问题的一张LP最优单纯形表（极大化问题，约束条问：（1）写出B-1=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---13/20.3/1312(2)对偶问题的最优解： Y＝（5，0，23，0，0）T8. 线性规划问题如果有无穷多最优解，则单纯形计算表的终表中必然有___某一个非基变量的检验数为0______；9. 极大化的线性规划问题为无界解时，则对偶问题_无解_________；10. 若整数规划的松驰问题的最优解不符合整数要求，假设Xi =bi不符合整数要求，INT（bi ）是不超过bi的最大整数，则构造两个约束条件：Xi≥INT（bi）＋1 和 Xi≤INT（bi），分别将其并入上述松驰问题中，形成两个分支，即两个后继问题。
11. 知下表是制订生产计划问题的一张LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条问：(1)对偶问题的最优解： Y ＝(4,0,9,0,0,0)T （2）写出B -1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛611401102二、计算题（60分）1、已知线性规划（20分）MaxZ=3X 1+4X 2 1+X 2≤5 2X 1+4X 2≤12 3X 1+2X 2≤81,X 2≥02）若C 2从4变成5，最优解是否会发生改变，为什么？3）若b 2的量从12上升到15，最优解是否会发生变化，为什么？4）如果增加一种产品X 6，其P 6=(2,3,1)T ，C 6=4该产品是否应该投产？为什么？ 解：1)对偶问题为Minw=5y1+12y2+8y3 y1+2y2+3y 3≥3y1+4y2+2y 3≥4 y1,y2≥02)当C 2从4变成5时， σ4=-9/8 σ5=-1/4由于非基变量的检验数仍然都是小于0的，所以最优解不变。
最全运筹学习题及答案
最全运筹学习题及答案共1 页运筹学习题答案）1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
（1）max z?x1?x25x1+10x2?50x1+x2?1x2?4x1，x2?0（2）min z=x1+1.5x2x1+3x2?3x1+x2?2x1，x2?0（3）+2x2x1-x2?-0.5x1+x2x1，x2?0（4）max z=x1x2x1-x2?03x1-x2?-3x1，x2?0（1）（图略）有唯一可行解，max z=14（2）（图略）有唯一可行解，min z=9/4（3）（图略）无界解（4）（图略）无可行解1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。
共2 页（1）min z=-3x1+4x2-2x3+5x4 4x1-x2+2x3-x4=-2x1+x2+3x3-x4?14 -2x1+3x2-x3+2x4?2x1，x2，x3?0，x4无约束（2zk?i??xk?1mxik?（1Max s. t .-4x1xx1,x2共3 页(2)解：加入人工变量x1，x2，x3，…xn，得：Max s=(1/pk)? i?1n?k?1m?ikxik-Mx1-Mx2-…..-Mxnm（1）max z=2x1+3x2+4x3+7x4 2x1+3x2-x3-4x4=8x1-2x2+6x3-7x4=-3x1,x2,x3,x4?0(2)max z=5x1-2x2+3x3-6x4共4 页x1+2x2+3x3+4x4=72x1+x2+x3+2x4=3x1x2x3x4?0（1）解：系数矩阵A是：?23?1?4??1?26?7? ??令A=(P1，P2，P3，P4)P1与P2线形无关，以（P1，P2有2x1+3x2=8+x3+4x4x1-2x2=-3-6x3+7x4令非基变量x3，x4解得：x1=1；x2=2基解0，0)T为可行解z1=8(2)同理，以（P=（45/13，0，-14/13，0)T是非可行解；3以（P1，P4X(3)=，，7/5)T是可行解，z3=117/5；(4)以（P2，P=（，45/16，7/16，0)T是可行解，z4=163/16；3以（P2，P4）为基，基解X(5)0，68/29，0，-7/29)T是非可行解；(6)TX以（P4，P）为基，基解=（0，0，-68/31，-45/31是非可行解；)3最大值为z3=117/5；最优解X(3)=（34/5，0，0，7/5)T。
运筹学习题
《运筹学》习题集重点课程建设小组2010.3第一章 线性规划1、将下列线性规划问题化为标准型(1) max Z = 3x 1+ 5x 2- 4x 3+ 2x 4⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+≥+≤++0x , x , x 9 5x -3x -4x x -13 2x -2x 3x -x 18 3x x -6x 2x s.t.421432143214321 (2) min f = 3x1+ x2+ 4x3+ 2x4 ≤ 1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥=++≥+≤+0x 0, x , x 15 2x 3x -4x 2x 7- x -2x 2x -3x 51- 2x - x -3x 2x s.t. 4214214321 43213 (3) min F=x1+x2+x3+x4⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥+≥+0x ,x ,x ,x 7x x 8x x 6x x 5x x s.t.432143222141 (4) 3213m in x x x F -+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≥≥0x ,x ,x 4x +5x +x -22x +x -3x +x +x ..32132121321t s2、用图解法求解下列线性规划问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+=0x ,x 3 x 122x +3x 6 x -2x ..max )1(211212121t s X X Z⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥++-=0 x ,x 155x -3x 56 7x 4x ..3min )2(21212121t s x x Z3、用单纯形法求解以下线性规划问题⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+=0x ,x 5 x x -3 3x -2x ..23max )1(21212121t s x x Z⎪⎩⎪⎨⎧≥≤=++-=0 x ,x ,x 12 x -2x 124x 3x x ..2max )2(3213232132t s x x Z （３） max z = x 1 +2 x 2 +3 x 3（４） max z = 3x 1 + x 2（５） max z = 5x 1 + 2 x 2 + 4 x 34、试用大M 法或两阶段求下述线性规划问题的最优解和最优值（只做一题即可）x 1 + x 2 ≤4－x 1 + x 2 ≤2 6x 1 + 2x 2≤18 x １ ，x 2 ≥0s.t. x 1 + 2x 2 + 3x 3≤84x 1 + 5x 3≤12 x 1，x 2 ，x 3 ≥0 s.t. 3 x 1 + x 2 + 2 x 3 ≤ 4 6 x 1 + 3 x 2 + 5 x 3 ≤ 10 x 1，x 2，x 3 ≥ 0s.t.（３） max z = 3x 1 – 3 x 2x 1 + x 2 ≥12x 1 + 3x 2 ≤6x 1，x 2 ≥0（4）32122max x x x z +-=s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≥+-≥++0,,022263213231321x x x x x x x x x x5、写出下列问题的对偶规划（3）s.t.⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+-≥++-+=0,,12222max 32132132121x x x x x x x x x x x Z （4）⎪⎩⎪⎨⎧≥=+-≥+-++-=0,,6242..2min 32121321321x x x x x x x x t s x x x f6、考虑如下线性规划（1）写出对偶规划。
运筹学练习题
运筹学练习题1、 用图解法求下列线性规划问题：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0,42366432min 21212121x x x x x x x x z2、用单纯形法求下列线性规划问题：1212312123max 10534952 8,,0z x x x x x x x x x x =+++=⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩ 3、 线性规划问题0,,max ≥==X b AX CX z ,设)0(X为问题的最优解。
若目标函数中用*C 代替C 后，问题的最优解变为*X ，证明：0)*)(*()0(≥--X X C C4、某饲养场饲养动物出售，设没头动物每天至少需700g 蛋白质、30g 矿物质、100g 维生素。
要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料的方案。
（只建立模型，不求解）5、 某医院护士值班班次、每班工作时间及各班所需护士数如下表，每班护士值班开始向病房报到，试决定：（1） 若护士上班后连续工作8h ，该医院最少需要多少名护士？ （2） 若除22：00上班的护士连续工作8h 外（取消第6班），其它护士班次由医院排定上6、⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤++≤+≤+++++=)4,3,2,1(096628342max 321432214214321j x x x x x x x x x x x x x x x x z j要求：（1）写出对偶问题；（2）已知对偶问题的最优解为)0,4,2,2(*=X ，试根据对偶理论直接求出对偶问题的最优解。
7、下表给出了各产地和各销地的产量和销量，以及各产地至各销地的单位运价，试用表上作业法求最优解：10个井位的代号为12310,,s s s s ，相应的钻井费用为1210,,,c c c ，并且井位选择上要满足下列限制条件：①选择了1s 和7s 就不能选择钻探8s ；反过来也一样；②选择了3s 或4s 就不能选5s ；反过来也一样；③在5678,,,s s s s 中最多只能选两个；试建立这个问题的整数规划模型。
运筹学习题精选
运筹学习题精选第一章线性规划及单纯形法选择1．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为……………………………………………………( C )A．多余变量 B．松弛变量 C．自由变量 D．人工变量2．约束条件为0AX的线性规划问题的可行解集b,≥=X 是………………………………………( B )A．补集 B．凸集 C．交集 D．凹集3．线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域的（ C）上达到。
A．内点 B．外点 C．顶点 D．几何点4．线性规划标准型中bi（i=1，2，……m）必须是…………………………………………………( B)A．正数 B．非负数 C．无约束 D．非零的5．线性规划问题的基本可行解X对应于可行域D 的………………………………………………( D)A．外点 B．所有点 C．内点 D．极点6．基本可行解中的非零变量的个数小于约束条件数时，该问题可求得……………………………( B ) A．基本解 B．退化解 C．多重解 D．无解7．满足线性规划问题全部约束条件的解称为…………………………………………………( C )A．最优解 B．基本解 C．可行解 D．多重解8．线性规划一般模型中，自由变量可以用两个非负变量的（B ）代换。
A．和 B．差 C．积 D．商9．当满足最优检验，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得………………………( A )A ．多重解B ．无解C ．正则解D ．退化解 10．若线性规划问题有最优解，则必定存在一个( D )是最优解。
A ．无穷多解 B. 基解 C. 可行解 D. 基可行解 填空计算 1． 某厂生产甲、乙、丙三种产品，已知有关数据如下表所示,求使该厂获利最大的生产计划。
2． 目标函数为max Z =28x4+x5+2x6，约束形式为“≤”，且x1，x2，x3为松弛变量，表中的解代入目标函数中得Z=14，求出a~g 的值，并判断是否→j c 0 0 0 28 1 2B C 基 b 1x 2x 3x 4x5x 6x 2 6x A 3 0 -14/3 0 1 1 0 2x 5 6 D 2 0 5/2 0 28 4x 0 0 E F 1 0 0 j j z c - B C 0 0 -1 G3． 某工厂生产A 、B 两种产品，已知生产A 每公斤要用煤6吨、电4度、劳动力3个；生产B 每公斤要用煤4吨、电5度、劳动力10个。
运筹学习题集
运筹学复习题1. 某一求目标函数极大值的线性规划问题，用单纯形法求解时得到某一步的单纯形表如下：当现行解为唯一最优解时有 。
A. ª1≥0 a 5＞0 a 3＞0B. a 3≥0 a 5＝0 a 6＝0C. ª2＝0 a 5≥0 a 6≥0D. a 1≥0 a 6＜0 a 5＜0 答案：（ ）2. 单纯形乘子是指 。
A ．1-BC B B.b B C B 1- C.A B C B 1- D.b B C C 1B -- 答案：（ ）3．在满足下列条件 时，增加资源是有利的。
A ．单位资源代价大于资源的影子价格 B ．单位资源代价小于资源的影子价格 C ．单位资源代价等于资源的影子价格D ．单位资源代价不等于资源的影子价格 答案：（ ）4．线性规划的灵敏度分析应在⎽⎽⎽⎽⎽⎽的基础上，分析系数的变化对最优解产生的影响。
A ．初始单纯形表 B. 最优单纯形表 C. 对偶问题初始单纯形表 D. 对偶问题的最优单纯形表 答案：（ ）5．一个图G 中,奇点的个数为 。
A.偶奇数 B.偶数 C.奇数或偶数 D. 不能确定 答案：（ ）6．若运输问题已求得最优解，此时所求出的检验数一定是全部 。
A ．大于或等于零B ．大于零C ．小于零D ．小于或等于零 答案：（ ）7. 线性规划一般模型中，自由变量可以用两个非负变量的 代换。
A ．和 B ．差 C ．积 D ．商 答案：( )8．目标规划中，对于优先级别，则下列说法正确的是 。
A ．P k ×P k+1=0B ．P k <<P k+1C ．P k >>P k+1D ．P k =P k+1 答案：（ ）9．求解指派问题的匈牙利方法要求系数矩阵中每个元素都是 。
A ．非负的B ．大于零C ．无约束D ．非零常数 答案：（ ）10．若运输网络G 中发点到收点不存在流f 的增广链，则称流f 为G 的 。
A ．最小流 B ．零流 C ．最大流 D ．无法确定 答案：（ ）11.运输问题中，闭合回路的数字格分布在每行每列的个数必定为 。
运筹学考试试题
运筹学考试试题
问题一：线性规划
某食品公司有两种包装酱油的产品，产品 A 和产品 B。
产品 A 需
要 2 包的玻璃瓶和 3 包的金属瓶，产品 B 需要 4 包的玻璃瓶和 1 包的金属瓶。
公司每天共有 60 包玻璃瓶和 50 包金属瓶可用于生产。
产品
A 毛利为 10 元/包，产品
B 毛利为 15 元/包。
为了最大限度地提高公司的毛利，请问公司每天应该生产多少包产品 A 和产品 B？
问题二：整数规划
某快递公司需要派送多个包裹，在不同的送货地点停靠。
每个派送地点需要 1 辆专门的送货车。
快递公司最多可以使用 5 辆送货车。
每辆车的容量为 30 个包裹。
每个送货地点的包裹量如下：地点 1 需要 12 个包裹，地点 2 需要 8 个包裹，地点 3 需要 15 个包裹，地点 4 需要 10 个包裹。
每个送货地点停靠一辆车后，可以继续往下一个地点派送。
请问如何安排送货车来最大化送货量？
问题三：动态规划
假设有一个 3×3 的方格矩阵，每个格子里都写有一个正整数。
从左上角出发，每次只能向右或向下移动，直到达到右下角。
路线上所有经过的格子的数字加起来就是这条路径的价值。
求最优路径和的最大值。
问题四：网络流
某市有 4 座工厂，生产不同种类的零件。
每座工厂每天的生产能力不同，且每种零件的需求也不相同。
如何设计一个合理的生产调度方案，使得所有工厂的产量最大化，且满足市场对不同零件的需求？
以上考试试题仅供参考，实际考试内容以试卷内容为准。
祝考试顺利！。
运筹学习题库
运筹学习题库一、线性规划1．某工厂生产甲、乙、丙三种产品，单位产品所需工时分别为2、3、1个工时；单位产品所需原材料分别为3、1、5公斤；单位产品利润分别为2元、3元、5元。
工厂每天可利用的工时为12个，可供应的原材料为15公斤。
1）试确定使总利润为最大的日生产计划和最大利润。
2）若由于原材料涨价，使得产品丙的单位利润比原来减少了2元，问原来的最优生产计划变否？若不变，说明为什么；若变，请求出新的最优生产计划和最优利润。
3）在保持现行最优基不变的情况下，若要增加一种资源量，应首先考虑增加哪种资源？为什么？单位资源增量所支付的费用是多少才合算？为什么？2．给出一线性规划问题如下：max z = 3x1 + x2x1 + x2≤4－x1 + x2≤26x1 + 2x2≤18x１，x2≥0试用对偶理论判断该问题是否存在以x１、x2和x3为基变量的最优解？3．用单纯形法求解某个目标函数为max，约束为≤形式，x4、x5为松弛变量的线性规划问题的最终表如下：试用改进单纯形法原理求该问题的数学模型。
4．给出一个线性规划问题如下：max z = x1 +2 x2 +3 x3x1 + 2x2 + 3x3≤84x1+ 5x3≤12x1，x2 ，x3 ≥0已知其对偶问题的最优解为Y* = (1，0 )，试用对偶理论求上述问题的最优解和最优值。
5．试用大M法求下述线性规划问题的最优解和最优值（不能用图解法）：max z = 3x 1 – 3 x 2x1 + x2 ≥1 2x 1 + 3x 2 ≤6x 1，x 2 ≥06．已知一线性规划问题如下：max z = 5x 1 + 2 x 2 + 4 x 3 3 x 1 + x 2 + 2 x 3 ≤ 46 x 1 + 3 x 2 + 5 x 3 ≤ 10 x 1，x 2，x 3 ≥ 0试用松紧定理判断X = ( 0，0，2 )T 是否是该问题的最优解，若不是，说明为什么；若是， 请求出相应的目标函数值。
运筹学习题——精选推荐
运筹学习题运筹学练习题2010-2011-1 天津财经⼤学珠江学院⼀、线性规划：基本概念1、下⾯的表格总结了两种产品A和B的关键信息以及⽣产所需的资源Q, R, S：满⾜所有线性规划假设。
（1）在电⼦表格上为这⼀问题建⽴线性规划模型；（2）⽤代数⽅法建⽴⼀个相同的模型；（3）⽤图解法求解这个模型。
2、今天是幸运的⼀天，你得到了10000美元的奖⾦。
除了将4000美元⽤于交税和请客之外，你决定将剩余的6000美元⽤于投资。
两个朋友听到这个消息后邀请你成为两家不同公司的合伙⼈，每⼀个朋友介绍了⼀家。
这两个选择的每⼀个都将会花去你明年夏天的⼀些时间并且要花费⼀些资⾦。
在第⼀个朋友的公司中成为⼀个独资⼈要求投资5000美元并花费400⼩时，估计利润（不考虑时间价值）是4500美元。
第⼆个朋友的公司的相应数据为4000美元和500⼩时，估计利润为4500美元。
然⽽每⼀个朋友都允许你根据所好以任意⽐例投资。
如果你选择投资⼀定⽐例，上⾯所有给出的独资⼈的数据（资⾦投资、时间投资和利润）都将乘以⼀个相同的⽐例。
因为你正在寻找⼀个有意义的夏季⼯作（最多600⼩时），你决定以能够带来最⼤总估计利润的组合参与到⼀个或全部朋友的公司中。
你需要解决这个问题，找到最佳组合。
（1）为这⼀问题建⽴电⼦表格模型。
找出数据单元格、可变单元格、⽬标单元格，并且⽤SUMPRODUCT函数表⽰每⼀个输出单元格中的Excel等式。
（2）⽤代数⽅法建⽴⼀个同样的模型。
（3）分别⽤模型的代数形式和电⼦表格形式确定决策变量、⽬标函数、⾮负约束、函数约束和参数。
（4）使⽤图解法求解这个模型。
你的总期望利润是多少？3、伟特制窗（Whitt Window）公司是⼀个只有三个雇员的公司，⽣产两种⼿⼯窗户：⽊框窗户和铝框窗户。
公司每⽣产⼀个⽊框窗户可以获利60美元，⼀个铝框窗户可以获利30美元。
Doug制作⽊框窗户，每天可以制作6扇。
Linda制作铝框窗户，每天可以制作4扇。
运筹学期末试题及答案
运筹学期末试题及答案一、选择题1. 运筹学是通过分析和决策来实现最佳利益的学科。
以下哪个选项最准确地描述了运筹学的定义？A. 运筹学是一门研究如何安排和管理物流的学科。
B. 运筹学是一门研究如何制定合理的销售策略的学科。
C. 运筹学是一门研究如何决策和规划资源的学科。
D. 运筹学是一门研究如何提高生产效率的学科。
答案：C2. 线性规划是一种常用于解决最优化问题的数学方法。
以下哪个选项最准确地解释了线性规划问题？A. 线性规划是一种通过建立线性方程组来寻找最小值或最大值的方法。
B. 线性规划是一种通过建立非线性方程组来寻找最小值或最大值的方法。
C. 线性规划是一种通过建立线性方程组来寻找全局最优解的方法。
D. 线性规划是一种通过建立非线性方程组来寻找局部最优解的方法。
答案：C3. 整数规划是一种特殊的线性规划问题，其中决策变量必须是整数。
以下哪个选项最准确地描述了整数规划的特点？A. 整数规划只适用于小规模问题，无法处理大规模问题。
B. 整数规划可以保证找到问题的最优整数解。
C. 整数规划只能用于决策变量为0或1的二进制问题。
D. 整数规划在求解过程中需要考虑所有可能的整数解。
答案：B4. 单纯形法是一种用于解决线性规划问题的常用算法。
以下哪个选项最准确地描述了单纯形法的特点？A. 单纯形法只能用于求解可行解存在且有限的线性规划问题。
B. 单纯形法可以保证找到线性规划问题的最优解。
C. 单纯形法在求解过程中需要考虑所有可能的解空间。
D. 单纯形法只适用于二维线性规划问题，无法处理高维问题。
答案：B5. 敏感性分析是一种用于评估线性规划模型解的稳定性和可靠性的方法。
以下哪个选项最准确地解释了敏感性分析？A. 敏感性分析是一种通过调整决策变量的值来优化线性规划模型的方法。
B. 敏感性分析是一种通过改变约束条件的值来评估线性规划模型的可行性的方法。
C. 敏感性分析是一种通过改变目标函数系数的值来评估线性规划模型解的稳定性的方法。
运筹学习题
判断题：1． 单纯形法计算中，选取最大正检验数k 对应的变量k x 作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长。
（ ）2． 单纯形计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负。
（ ）3． 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。
（ ）4． 任何线性规划问题存在并具有唯一的对偶问题。
（ ）5． 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解。
（ ） 6． 对偶问题的对偶问题一定是原问题。
（ ）7． 运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求解结果也可能出现下列四种情况之一；有惟一最优解，有无穷多最优解，无界解，无可行解。
（ ）8． 整数规划解的目标函数值一般优于其相应的线性规划问题的解的目标函数值。
（ ） 9． 指派问题效率矩阵的每个元素都乘上同一常数k ，将不影响最优指派方案。
（ ） 10．指派问题数学模型的形式同运输问题十分相似，故也可以用表上作业法求解。
（ ） 11．按最小元素法给出的初始基可行解，从每一空格出发可以找到而且仅能找出惟一的闭回路。
（ ）12．表上作业法实质就是求解运输问题的单纯形法。
（ ）13．图论中的图不仅反映了研究对象之间的关系，而且是真实图形的写照，因而对图中点与点的相对位置、点与点边线的长短曲直等都要严格注意。
（ ）14．在任一图G 中，当点集V 确定后，树图是G 中边数最少的连通图。
（ ）15．大M 法处理人工变量时，若最终表上基变量中仍含有人工变量，则原问题无可行解。
（ ）16．若可行域是空集，则表明存在矛盾的约束条件。
（ ）17．用单纯形法求线性规划问题，若最终表上非基变量的检验数均非正，则该模型一定有唯一最优解。
（ ）18．指派问题的每个元素都加上同一个常数k ，并不会影响最优分配方案。
（ ） 19．指派问题的每个元素都乘上同一个常数k ，并不会影响最优分配方案。
运筹学习题
运筹学习题一、填空题1、线性规划问题是求一个线性目标函数_在一组线性约束条件下的极值问题。
2、图解法适用于含有两个变量的线性规划问题。
3、线性规划问题的可行解是指满足所有约束条件的解。
4、在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于零。
5、在线性规划问题中，基可行解的非零分量所对应的列向量线性无关6、若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点（极点）达到。
7、线性规划问题有可行解，则必有基可行解。
8、如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。
9、满足非负条件的基本解称为基本可行解。
10、在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰数量在目标函数中的系数为零。
11、将线性规划模型化成标准形式时，“期约束条件要在不等式左_端加入松弛变量。
12、线性规划模型包括决策（可控）变量，约束条件，目标函数三个要素。
13、线性规划问题可分为目标函数求极大值和极小_值两类。
14、线性规划问题的标准形式中，约束条件取等式，目标函数求极大值，而所有变量必须非负15、线性规划问题的基可行解与可行域顶点的关系是顶点多于基可行解16、在用图解法求解线性规划问题时，如果取得极值的等值线与可行域的一段边界重合，则这段边界上的一切点都是最优解。
17、求解线性规划问题可能的结果有无解，有唯一最优解，有无穷多个最优解。
18、19、如果某个变量Xj为自由变量，则应引进两个非负变量Xj , Xj同时令Xj=Xj-Xj。
20、表达线性规划的简式中目标函数为ijij21 、、(2 、1 P5)) 线性规划一般表达式中，aij 表示该元素位置在二、单选题1、如果一个线性规划问题有n 个变量，m 个约束方程(m<n) ，系数矩阵的数为m，则基可行解的个数最为_C_ ’A、m个B、n 个C、CnD、Cm 个2、下列图形中阴影部分构成的集合是凸集的是A mn3、线性规划模型不包括下列_ D要素。
运筹学习题
一、判断1、在线性规划的模型中全部变量要求是整数。
( × )2、如果在单纯形表中，所有的检验数都为正，则对应的基本可行解就是最优解。
( × )3、一个图中的最短边一定包含在最短路内。
( × )4、如线性规划问题存在最优解，则最优解一定对应可行域边界上的一个点。
( √ )5、在二元线性规划问题中，如问题有可行解，则一定有最优解。
( × ) 1、在线性规划的模型中全部变量要求是整数。
( × ) 2、产地数与销地数相等的运输问题是产销平衡运输问题。
( × )3、如果在单纯形表中，所有的检验数都为正，则对应的基本可行解就是最优解。
( × )4、如线性规划问题存在最优解，则最优解一定对应可行域边界上的一个点。
( √ )5、无圈且连通简单图G 是树图。
( √ )1、运筹学主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及生产经营活动。
（ √ ）2、运筹学的目的在于针对所研究的系统求得一个合理应用人才，物力和财力的最佳方案。
（ √ ）3、如果在单纯形表中，所有的检验数都为正，则对应的基本可行解就是最优解。
（ × ） 5、运筹学最早是应用在生产管理方面。
（ × ） 6、在线性规划的模型中全部变量要求是整数。
（ × ）7、在二元线性规划问题中，如问题有可行解，则一定有最优解。
（ × ）二、单项选择题1、线性规划问题的数学模型由目标函数、约束条件和（ D ）三个部分组成。
A. 非负条件 B. 顶点集合 C. 最优解 D. 决策变量2、对于线性规划121231241234max 24..3451,,,0z x x s t x x x x x x x x x x =-+-+=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩如果取基1110B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则对于基B 的基解为（ B ）。
A.(0,0,4,1)T X =B.(1,0,3,0)TX =C.(4,0,0,3)TX=- D.(23/8,3/8,0,0)TX=-3、已知x1= ( 2, 4), x2=(4, 8)是某线性规划问题的两个最优解，则（ B ）也是该线性规划问题的最优解。
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案例1，原始问题：某公司现有三条生产线，由于原有产品出现销售量下降的情况，管理部门决定调整公司的产品线，停产不赢利的产品以释放产能来生产两种新产品。
其中，生产甲产品要占用生产线1和生产线3的部分产能，产品乙需要占用生产线2和3的部分产能。
管理部门需要考虑下列问题：1、公司是否应该生产这两种产品2、若生产，则两种产品的数量如何确定数据：运筹小组与管理部门研究后去顶，两种产品的数量如何确定以使产品的总利润最大因此，需要如下的信息：1、每条生产线的可得生产能力是多少2、生产每一单位产品需要每条生产线多少生产能力3、每种产品的单位利润是多少生产部门和财务部门经过分析，提出如下数据：模型：1、要做出什么决策（决策变量）2、做出的决策会有哪些条件限制（约束条件）3、这些决策的全部评价标准是什么（目标函数）max z=3x1+5x2st. x1<=42x2<=123x1+2x2<=18x1,x2>=0决策：x1=2,x2=6, z=3600生产时间信息：按模型所确定的生产方案需要生产线2和3的所有时间，只有生产线1有2小时的剩余。
1、用单纯形表求解以下线性规划问题（1）max z=x1-2x2+x3.x1+x2+x3≤122x1+x2-x3≤6-x1+3x2≤9x1,x2,x3≥0解：标准化，将目标函数转变成极小化，引进松弛变量x4,x5,x60,得到：z’min-x1+2x2-x3=.x1+x2+x3+x4=122x1+x2-x3+x5= 6-x1+3x2+x6= 9x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0列出初始单纯形表z’x1x2x3x4x5x6RHSz’x412/1x5--x6--选取x3为进基变量，确定x4为离基变量z’x1x2x3x4x5x6RHSz’x312/1x518/3x6--得到最优解（x1, x2, x3, x4, x5, x6）=（0, 0, 12, 0, 18, 9），min z’=-12，max z=12由于其中非基变量x1在目标函数中的系数为0，x1进基，x5离基，可以得到另一最优解：z’x1x2x3x4x5x6RHSz’x3x1x6新的最优解为（x1,x2,x3,x4,x5,x6）=（6, 0, 6, 0, 0, 15），min z’=-12，max z=12原问题最优解的全体为：x x x x x x 123456001201891606001566066018156⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥+-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=-+-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥λλλλλλ()，（0≤≤1），都有max z=12（2） max z= x 1 +3x 2 +4x 3. 3x 1 +2x 2 ≤13 x 2 +3x 3 ≤172x 1 +x 2 +x 3 =13x 1,x 2,x 3≥0解：将目标函数转化成极小化，引进松弛变量x 4，x 5，x 6≥0，得到min z’= -x 1 -3x 2 -4x 3. 3x 1 +2x 2 +x 4 =13 x 2 +3x 3 +x 5 =17 2x 1 +x 2 +x 3 =13x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,≥0引进人工变量x 60，构造辅助问题：minz’’= x 6. 3x 1 +2x 2 +x 4 =13 x 2 +3x 3 +x 5 =172x 1+x 2+x 3+x 6=13x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0列出辅助问题的系数矩阵表：z’x1x2x3x4x5x6RHS’z’’x4x5x6消去基变量x6在目标函数中的系数，并开始单纯形叠代：z’x1x2x3x4x5x6RHS’z’’x413/3 x5--x613/2 x1进基，x4离基，z’x1x2x3x4x5x6RHS’z’’x1--x517/3x613/3 x3进基，x6离基，z’x1x2x3x4x5x6RHS’z’’x1x5x3辅助问题已经获得最优解，且min z’’=0，因而可以转入第二阶段，其系数矩阵表为：z’x1x2x3x4x5RHSz’x1x5x3消去基变量x1，x3在目标函数中的系数：z’x1x2x3x4x5RHSz’x113/2x54/2x3--x2进基，x5离基z’x1x2x3x4x5RHSz’x1x2x3得到原问题的最优解：（x1, x2, x3）=（3, 2, 5），min z’=-29，max z=293、用对偶单纯形法求解以下问题(1)min z=4x1+6x2+18x3.x1+3x3≥3x2+2x3≥5x1,x2,x3≥0引进松弛变量x4、x5≥0min z=4x1+6x2+18x3.-x1-3x3+x4=-3-x2-2x3+x5=-5x1,x2,x3，x4，x5≥0列出单纯形表zx4x54/118/3x 4离基，x 1进基z x 1 x 56/16/2x 5离基，x 3进基z x 1x 324x 1离基，x 2进基z x 2 x 3最优解为x 1=0，x 2=3，x 3=1，x 4=0，x 5=0，min z=36某工厂用甲、乙、丙三种原料生产A,B,C,D 四种产品，每种产品消耗原料定额以及（1） 求使总利润最大的生产计划和按最优生产计划生产时三种原料的耗用量和剩余量；（2） 求四种产品的利润在什么范围内变化，最优生产计划不会变化 （3） 求三种原料的影子价格和四种产品的机会成本，并解释最优生产计划中有的产品不安排生产的原因。
（4） 在最优生产计划下，哪一种原料更为紧缺如果甲原料增加120吨，这时紧缺程度是否有变化(1)利润最大化的线性规划模型为： max z= 25x 1 +12x 2 +14x 3 +15x 4 . 3x 1 +2x 2+x 3 +4x 4 ≤2400 2x 1 +2x 3+3x 4 ≤3200 x 1 +3x 2 +2x 4 ≤1800x 1,x 2,x 3,x 4≥0单纯形表为： z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 RHS zx 5 x 6 x 7x 1进基，x 5离基 z x 1 x 2 x 3x 4x 5 x 6 x 7 RHS zx 1 x 6x7x3进基，x6离基z x1x2x3x4x5x6x7RHS Arrayzx1x3x7x2进基，x1离基z x1x2x3x4x5x6x7RHSzx2x3x7最优解为：x1=0，x2=400，x3=1600，x4=0，x5=0，x6=0，x7=600，max z=27200即最优生产计划为：产品A：不生产；产品B：400万件；产品C：1600万件；产品D：不生产，最大利润：27200万元。
原料甲：耗用2400吨，没有剩余；原料乙：耗用3200吨，没有剩余；原料丙：耗用1200吨，剩余600吨。
（2）产品A利润变化范围：-C -25+-12 -14 -15 0 0 0 0z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 RHS -C B z 1 -1- 0 0 -21 -6 -4 0 -27200 -12 x 2 0 1 1 0 5/4 1/2 -1/4 0 400 -14 x 3 0 1 0 1 3/21/2 0 1600 0x 7-2-7/4 -3/23/41600-1-≤0，≥-1，-c 1’=-c 1+≥-25-1=-26，即c 1≤26（万元/万件） 产品B 利润变化范围：-C-25-12+-14-15z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 RHS -C Bz1-1--21+5/4-6+1/2-4-1/4 0-27200+400-12+x 2115/41/2-1/40 400-14 x 3 0 1 0 1 3/2 0 1/2 0 1600 0x 7-2-7/4-3/23/41600--≤-+≤-+≤--≤⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪102154061204140δδδδ///，δδδδ≥-≤≤≥-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪18451216/，-1≤≤12，-13≤-12+≤0，-13≤-c 2’≤0， 即：0≤c 2’≤13。
产品C 利润的变化范围：-C-25-12-14+-15zx 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7RHS-C B z 1 -1-0 0 -21+3/2-6 -4+1/20 -27200+1600-12 x 2 0 1 1 0 5/4 1/2 -1/4 0 400 -14+x 3113/21/21600x 7 0 -2 0 0 -7/4 -3/2 3/4 1 600--≤-+≤-+≤⎧⎨⎪⎩⎪10213204120δδδ//，δδδ≥-≤≤⎧⎨⎪⎩⎪1148 -1≤≤8，-15≤-14+≤-6，-15≤-c 3’≤-6，6≤c 3’≤15 产品D 的变化范围-C-25-12-14-15+z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 RHS -C Bz1-1-21--6-4-27200-12 x 2 0 1 1 0 5/4 1/2 -1/4 0 400 -14 x 3 0 1 0 1 3/2 0 1/2 0 1600 0x 7-2-7/4-3/23/41600-21-≤0，≥-21，-15+≥-36，-c 4’≥-36，c 4’≤36。
（3） 求三种原料的影子价格和四种产品的机会成本 由最优单纯形表可知，原料甲、乙、丙的影子价格分别为：6万元/吨、4万元/吨、0万元/吨。
产品A 、B 、C 、D 的机会成本分别为：26万元/万件、12万元/万件、14万元/万件、36万元/万件。
产品A 、D 在最优解中不安排生产的原因是机会成本大于利润。
（4） 在最优解中，原料甲的影子价格（6万元/吨）最大，因此这种原料最紧缺。
如果原料A 增加120吨，最优单纯形表的右边常数成为：B b -'=--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥+⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥+-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥≥11214001203234124001203200180040016006006000180100016004200///// 因此最优基保持不变，影子价格不变，原料的紧缺程度不变。
一、以下集合中，哪些是凸集，哪些不是凸集（1） {(x 1,x 2)| x 1+x 2≤1}是凸集 （2） {(x 1,x 2,x 3)| x 1+x 2≤1,x 1-x 3≤2} 是凸集 （3） {(x 1,x 2)| x 1-x 2=0}是凸集（4） {(x 1,x 2,x 3)| x 1≥x 2,x 1+x 2+x 3≤6} 是凸集 （5） {(x 1,x 2)| x 1=1,|x 2|≤4}是凸集 （6） (x 1,x 2,x 3)| x 3=|x 2|, x 1≤4}不是凸集。